MU:MUDGGA Geometry and Global Analysis - Course Information

MUDGGA Geometry and Global Analysis

Extent and Intensity

0/0. 0 credit(s). Type of Completion: -.

Guaranteed by

doc. RNDr. Michal Marvan, CSc.
Mathematical Institute in Opava

Course Enrolment Limitations

The course is also offered to the students of the fields other than those the course is directly associated with.

fields of study / plans the course is directly associated with

• Geometry and Global Analysis (programme MU, P1102)

Syllabus (in Czech)

• 1. Základy analýzy na varietách:
  Algebra hladkých funkcí. Vektorová a tenzorová pole, Lieova závorka, integrabilní distribuce. Vnější formy, integrování na varietách, Stokesova věta. Tok vektorového pole, Lieova derivace. Základy teorie Lieových grup a Lieových algeber. De Rhamovy kohomologie. Základy Riemannovy geometrie. Prostory jetů. Základy variačního počtu.
  2. Teorie Lieových grup a algeber:
  Lieovy grupy a podgrupy, Lieovy algebry, jejich ideály. Reprezentace Lieových grup a algeber, G-moduly a g-moduly, jejich souvislosti. Nilpotentní, řešitelné a polojednoduché algebry. Základy strukturní teorie jednoduchých algeber a jejich reprezentací, váhy a kořeny. Příklady v komplexním i reálném oboru, klasické série.
  3. Homologická algebra:
  Moduly, řetězcové komplexy, exaktnost, rezolventy a derivované funktory, Tor a Ext. Bikomplexy, spektrální posloupnosti. Homologie a kohomologie některých algebraických struktur.
  4. Algebraická topologie:
  Metoda algebraické topologie. Singulární homologie a kohomologie, buněčné komplexy a jejich (ko)homologie. Homotopie a homotopické grupy, nakrytí a univerzální nakrytí. Zobecněné homologické a kohomologické teorie, spektrální posloupnosti. Svazky, abstraktní de Rhamova věta.
  5. Riemannova geometrie:
  Diferenciální geometrie vnořené podvariety v euklidovském prostoru, základní formy a rovnice. Variety s afinní konexí, geodetiky, tenzor křivosti a torze. Riemannova metrika, metrická konexe, základní identity. Prosty konstantní křivosti. Gaussova-Bonnetova formule.
  6. Aplikace diferenciální geometrie v matematické fyzice:
  Geometrické základy obecné teorie relativity. Symplektické variety, Poissonovy variety, Hamiltonův formalismus, Liouvilleova věta, proměnné akce - úhel. Variační počet, Eulerovy--Lagrangeovy rovnice, invariance a pohybové integrály, věta Noetherové.
  7. Geometrická teorie diferenciálních rovnic:
  Prostory jetů, Cartanova distribuce, formální integrabilita. Bodové, kontaktní a vyšší symetrie, Lieova algebra symetrií. Zákony zachování, horizontální kohomologie. Nakrytí, nelokální symetrie a zákony zachování, Bäcklundovy transformace, reprezentace nulové křivosti. Operátory rekurze, Hamiltonovy struktury, úplná integrabilita.
  Student zvolí tři z těchto sedmi okruhů podle svého zaměření. Oborová komise může na návrh školitele uvedenou nabídku rozšířit.

Language of instruction

Czech

Further Comments

The course can also be completed outside the examination period.

• Enrolment Statistics (Summer 2012, recent)
  
• Permalink: https://is.slu.cz/course/sumu/summer2012/MUDGGA