SOUVISEJÍCÍ KAPITOLY:
Tato kapitola je příkladem toho, jak lže filozofické myšlení použít v životě -v tomto případě je řešena otázka, které jednání je morálně správné. Další příklady toho, jak lze filozofické myšlení aplikovat na etické otázky viz ve 2. kapitole, Co je špatného na homosexualitě?, 21. kapitole, Měli bychom to jíst?, a 12. kapitole, Značkové děti.
DALŠÍ ČETBA:
Doporučuji přečíst pojednáníjohna Stuarta Milla, „Higherand Lower Pleasures", a Bernarda Williamse, „A Critique of Utilitarianism", které tvoří 13. a 14. kapitolu knihy:
Nigel Warburton (ed.), Philosophy: Basic Readings (Routledge, Londýn 1999). Dobrý úvod do utilitarismu najdete v:
Chris Horner, Emrys Westacott, Th'mkingthrough Philosophy (Cambridge University Press, Cambridge 2000), 5. kapitola.
18.
PODIVNÁ ŘÍŠE ČÍSEL
STUPEŇ NÁROČNOSTI FILOZOFICKÉ gymnastiky
ROZCVIČKA STŘEDNÍ ZÁTĚŽ NÁROČNĚJŠÍ CVIČENÍ
Matematika je pevně vetkána do tkaniva moderního života. Ať už dláždíte koupelnu, počítáte, jak dlouho vám potrvá cesta do Glasgowa, navrhujete opékač topinek nebo chcete vystřelit člověka na Měsíc, bez matematiky se neobejdete. Bez ní by náš život vypadal téměř nepředstavitelně jinak. Co přesně aleje matematika? Zkoumáme při výkonu matematického výpočtu, jak tvrdí někteří matematici a filozofové, podivnou říši čísel, která existuje „venku", nezávisle na nás? Nebo jsou matematika a její pravdy ve skutečnosti naším výtvorem?
Dláždění koupelny
Kraus studuje matematiku- a Bridie přírodní vědy. Chtějí si vydláždit koupelnu dlaždicemi o velikosti 30x30 cm. Bridie předtím změřila podlahu a vy slojí, že na délku i na šířku se vleze přesně 12 dlaždic. Kraus vypočítal, že 12 x 12 = 144 a koupil 144 dlaždic. Prdvě rozložil dlaždice po podlaze a zjistil, že sedí přesně.
Kraus:      Perfektní. Je úžasné, co dokáže matematika. Bridie:      A co?
Kraus: Podlaha měří na šířku i na délku 12 dlaždic. Podle matematického zákona - zákona násobení - jsem vypočítal, že budeme potřebovat přesně 144 dlaždic. A když dlaždice vyskládám vedle sebe, ukáže se, že 144 dlaždic opravdu přesně pokrývá podlahu.
Bridie:      A to tě překvapuje?
Kraus: Ano. Ať už chceme vydláždit koupelnu, vypočítáváme výšku hory nebo chceme zjistit, kolik paliva načerpat do rakety, matematika nám dá vždy správnou odpověď.
228
229
t ,,kc J wi.:. o „ revn,' t. iaje. matematika pro nás má ,;lPťu m.<»va v)?«c>K,Jak to, že matematika je tak
Konvencionalismus
Na
Bridie tato úvaha žádný dojem neudělala.
Bridk: Matematika ve skutečností vůbec poučná není. Říct, že potřebujeme 144 dlaždíc a říct, že potřebujeme 12 y 12 dlaždic, to jsou jen dva různé způsoby vyjádření téhož
Bríaíe ukáže z okna na pole venku.
-í' ( f
Rexneme. ze mi budeš tvrdit, ze to zvire, které vidím tamhle v daice. ie hřebec. Nato la pnjdu s prognózou, že to zvire ie kun a:e to samec. Prekvap! re, když se ukáže, že rooie prognóza je pravdivá? Samozřejmé ne. ťroc neť
I'uuo^l evi^tc j** h hi,t tul.e pi« eiď'1 tv bo konvence, podle ní(•?'»•!í"'"-tsr.....vvec ir-vě' s. „Hrcbcr* významově
zaměnitelné. To je dane. Takže na rve prognóze není nic šokujícího, Pokud riKas. ze je to samec kone, neuvádíš o nic víc mrorraaci nez ja. kavz tvrdím, ze ie to hřebec, aourdastm. Ale nepiati presne totez i o prognóze, že 12 x 1.2 dlaždic je 144 dlaždic? Proč?
Protože zákony, podle kterých násobíme, jsou také jen usta -novení nebo konvence,'které jsou námi dané. A podle těch zákonů jsou stejně tak zaměnitelné i výrazy „12x12" a „ 144'*. Proto tvrdit, že potřebujeme 12 x 12 dlaždic, a tvrdit, že potřebujeme 144 dlaždic, znamená podávat tutéž informaci.
Teorie, že matematické pravdy jsou „pravdivé podle konvence/do-hody"', protože jsou více či méné důsledkem konvencí, které jsme
Kraus: Bridie:
stanovili, se nazývá ko",<t .... y.u'.^ni l. *\ kony týkající se matematických wpočtů jsou nepu.b\ 1 'iv J„>»|.  složitější než jediný, prostý zákon, který říká. ■> ,.' >r i •    >     i tc koně" jsou významově zaměnitelné výrazy, ak    »T> l't Ve r r ncip zůstává stejný.
Matematické skutečnost!
Kraus má o matematice naprosto jinou teorii.
Kraus: Bridie: Kraus: Bridie; Kraus:
Bridie: Kraus:
Briďie: Ur 7
Matematické pravdy nejsou pravdivé podle konvence.
Tak proč jsou tedy pravdivé? Pravdivými ie činí skutečnosti, jaké skutečnosti?
Matematické skutečností, samozřejmě. Řekněme, že budu tvrdit, že všichni hřebci jsou samci, jak říkáš, to je triviální pravda, pravda, podle konvence. Nyní ale řekněme, že budu tvrdit, že všichni hřebci mají uši. To přece mítíí pravda podle konvence, nebo ano? Ne. Na světě by mohlo být i pár hřebců bez uší. Ano, to by mohlo. Takže pokud je mé tvrzení, že všichni hřebci mají uši, pravdivé, pak je pravdivým činí skutečnost. „Tam venku" ve světe existuje skutečnost, která čitu mé tvrzeni pravdivým. Všichni hřebci opravdu mají uši. Správné? Ano.
"» ia |-rm převeden** ?c rcrez rlact rayr pro mše marc-mwcV* "trnu Remta nTabcuv ••otjz**^rronorntcké,
p,-r>prar!f-k'> ryz'ka'rn a -hemulcr «yu«vraosti Zahrnuje r?Ve rnir-rp-;rtcke skutečnosti tako y ^•"■ec^at /e 12 * 12 - J14 ;\ rra**e řyc^ map-tninc^e ^trifvn-><ri ani na.se matematická rameni piavd.ivT.mi.
Dví druhy rr-»vríy
'^-bnd, vsmj.,,,,,,^, ,ri,ou    .^T.ared a,r,P,
238
231
jsou „triviální" pravdy: jsou pravdivé podle konvence. Jiné pravdy, jako • je pravda (pokud tedy je), že všichni hřebci mají uši, jsou pravdivé podle skutečností.
Pokud je pravda podle konvence, že všichni hřebci jsou samci, pak z roho vyplývá, že nemusíme kontrolovat hřebce, abychom zjistili, jestli jsou všichni samci. To, jak se věci mají ve světě ve skutečností, je irelevantní, Nezáleží na tom, jaké jsou skutečnosti „tam venku". Pravda, která je pravdivá podle konvence, bude pravdivá v každém, případě. Je to „triviální" pravda.
Na druhé straně tvrzení, které činí pravdivým skutečnost, není „triviální" pravda. Ve skutečnosti při takovém tvrzení riskujeme, že bude mylné, právě proto, že svět může být jiný než tvrdíme, že je. Jak říká Kraus,-mohlo by se ukázat, že ne všichni hřebci mají uši. Abychom zjistili, jestli je netriviální tvrzení pravdivé, musíme prozkoumat, jestli jsou skutečnosti opravdu takové, jak se tvrdí: musíme ven a prohlédnout všechny hřebce.
Bridie je přesvědčena, že matematické pravdy jsou pravdivé podle konvence, tedy že jsou námi vytvořenými pravdami, podobně jako pravda, že všichni hřebci mají uši. Na druhé straně Kraus je přesvědčen, že matematické pravdy činí pravdivými nezávislé matematické skutečnosti. Toto je názor matematického realisty.
Který z obou názorů, pokud vůbec nějaký, je správný?
Podivná říše čísel
Začneme tím, že si poněkud osvětlíme, jakého druhu je skutečnost, která podle Krause činí matematický úsudek pravdivým. Pokud chceme zjistit, jaké jsou astronomické, geografické, fyzikální nebo chemické skutečnosti, víme, kde hledat. Kam se však obrátit, pokud chceme poznat matematické skutečnosti? Kraus to vysvětluje následovně.
Kraus: My matematikové sami sebe považujeme skoro za astronomy. Stejně jako astronomové zkoumají nebe svými teleskopy, aby na něm nacházeli podivuhodné nové objekty a skutečnosti - jako jsou pulsary, kvazary a vznik
velkého třesku   tak matematikové zkoumají ještě vyšší a vznešenější říši, říši čísel. Bridie: Čísel?
Kraus: Ano. A je to pozoruhodná říše. Čísla jsou totiž ještě podivuhodnější než pulsary a kvazary, protože nejsou vůbec fyzické povahy.
Bridie:      Souhlasím, že těžko někde zakopneš třeba o číslo 2.
Kraus:      To je pravda. Fyzicky nikde není. A přece existuje.
Bridie: Pokud čísla nejsou fyzická a fyzicky nikde nejsou, pak si nejsem jistá, jestli dává smysl tvrzení, že existují. Existuje přece jen fyzický vesmír, s fyzickými ob|ekty silami a vlastnostmi, ne?
Kraus:      Ne. Realita přece není pouze fyzické povahy.
Bridie:      A jak tahle podivná říše vypadá?
Kraus:      Říše čísel je věčná. Fyzický vesmír má začátek v čase -velký třesk - a nakonec bude mít i svůj konec, ale říše čísel nemá ani začátek, ani konec. 2 + 2 = 4 je věčná pravda - a zůstane pravdou, i kdyby fyzický vesmír a všechno v něm bylo zničeno.
Bridie: Aha.
Kraus: Hvězdy tam nah oře jsou ve stavu neustálé změny. Ale říše čí -sel se nikdy nemění. Právě skutečnosti o těchto podivných předmětech - číslech - činí naše matematické úsudky pravdivými, nebo nepravdivými. Moje mínění, že 12 * 12 = 144, je pravdivé, protože přesně popisuje realitu v říši čísel.
Samozřejmě, že Bridie jako konvenci onalistka věří, že tato podivná říše, která podle Krause existuje „tam venku", je iluze.
Bridie: Mně se zdá, že tahle „říše čísel", kterou matematikové zkoumají, je ve skutečnosti jakýsi zábavní park, který si sami vymysleli. Matematikové při počítání ve skutečnosti pouze řeší, jaké jsou důsledky jistých konvencí, které sami zavedli pro manipulaci se symboly (a někdy také zavádějí nové konvence). Matematika a její ptavdy jsou zcela naším vlastním výtvorem.
232
233
Má Kraus pravdu? Popisuje matematika nějakou vznešenou ne-' závislou realitu? Nebo je matematika skutečně jakýmsi zábavním parkem, který jsme si sami postavili?
Proč nedokážeme matematická tvrzení ověřit vlastními smysly?
Bridie se snaží dokázat, že realismus je chybný. Nejdříve argumentuje tím, že matematické vědění není založeno na zkušenosti.
Bridie:      Můžu dokázat, že matematika nepopisuje realitu „tam
venku". Kraus: jak?
Bridie:      Především si všimni, že naše vědění o matematických
pravdách se nezakládá na zkušenosti. Kraus:      To je nesmysl. Zkušenost přece samozřejmě potvrzuje,
že 12 x 12 = 144. Pokud mám 12 řad po 12 dlaždicích,
vynásobím je a zjistím, že mám 144 dlaždic, tak to přece
potvrzuje, že 12 x 12 = 144, ne?
Může se zdát, že Kraus má pravdu, ale situace není tak jednoduchá, jak nyní vysvětluje Bridie.
Bridie: Ne, nepotvrzuje. Řekněme, že naženeš do prázdné ohrady 12 krat 12 králíků. Budeš mít potom v ohradě 144 králíků? To není jisté. Až je spočítáš příště, třeba zjistíš, že se rozmnožili a že máš 150 králíků, jasné?
Kraus: Ano.
Bridie: Matematika neříká, že nebudeš mít 150 králíků, když je spočítáš podruhé. Matematika říká prostě jen to. že když dáš do ohrady 12 krát 12 králíků, budeš tam mít 144 králíků. Matematika nedělá žádné prognózy, kolik králíků budeš mít, až je příště spočítáš.
Zdá se, že Bridie má pravdu. Matematika neříká, co se stane, když něco fyzicky dáte k sobě. Pokud dáte k sobě dva králíky, můžou dohromady tvořit více než dva králíky. Pokud v matematice ho-
voříme o „sčítání", nemyslíme tím dávat věci k sobě fyzicky, jako podle nějakého receptu. Například pokud fyzicky „sečteme" 20 kilogramových kusů obohaceného uranu 235, je možné, že nevytvoříme dvacetikilogramový kus uranu, ale jaderný výbuch. Skutečně, matematicky můžeme „sčítat" věci, které zůstávají fyzicky od sebe vzdálené celé světelné roky - například hvězdy.
Bridie: Ale v tom případě ti matematika neříká nic ani o tom, kolik dlaždic budeš mít, až je spočítáš podruhé. Možná se objeví nějaké navíc, nebo nějaké zmizí. Může po nich zbýt jen obláček dýmu. Matematika netvrdí opak. Takže skutečnost, že když spočítáš dlaždice a náhodou jich je 144, nepotvrzuje, že 12 * 12 144, protože matematika neříká, že až je spočítáš příště, bude jich, alespoň pravděpodobně, 144.
Opět se zdá, že má Bridie pravdu. Pokud chcete obhájit nějaké matematické tvrzení, nemůžete a nepotřebujete se odvolávat na zkušenost. Lze připustit, že potřebujete zkušenost k tomu, abyste se naučili, co znamenají různé matematické symboly - potřebujete zkušenost, abyste se naučili hovořit matematickým jazykem. Ale jakmile mu porozumíte, v podstatě už nepotřebujete žádnou další zkušenost k tomu, abyste věděli, že to, co vyjadřuje „12 x \ 7 - 144", je pravda. Toto 12 x 12 = 144 umí potvrdit rozum sám. Je to něco, co lze vyřešit „v hlavě". Tento druh vědění - vědění, které není závislé na zkušenosti - se nazývá apriorní vědění.
Proč matematika nemůže být „tam venku"
Bridie pokračuje v argumentaci takto:
Bridie: Pokud je pravda pravdou pouze podle konvence, víš, že je pravdou prostě tím, že chápeš příslušné konvence. Například jsme si ukázali, že nemusíš zkoumat všechny hřebce, abys zjistil, že všichni hřebci jsou samci. Stačí, když chápeš, co „hřebec" znamená.
234
235
Kraus: Bridže:
Kraus: Bridie:
Kräus: Bridie:
Ľi í °
Kraus: Bridie:
To je pravda.
Pokud aie nejaké tvrzení nečiní pravdivým konvence, ale skutečnost', pak evidentne musíš ověřit tu skutečnost, pokud chceš zjistit, jestli je tvrzení pravdivé nebo ne. Takže, napríklad, musíš ověřit realitu, abys zjistil, jestli je pravda, že všichni hřebci mají uši. To je taky pravda.
Aie matematičtí realisté jako ty jsou přesvědčeni, že matematické pravdy nečiní pravdivými konvence, ale matematické skutečností, skutečnosti, které existují „tam venku" nezávisle na nás. v „říší čísel", jak tomu říkáš. A tady právě vzniká otázka: pokud máš pravdu, pak jak získáváme svoje vědění o těchto skutečnostech? Myslím, že ti nerozumím.
Pokud- jsi přesvědčený, že výkonem matematických výpočtů mapujeme něiakou nezávislou realitu, která je „tam u u u   pak | ik uo/nav t n   r/-.v t°'o realit'? Jaká kou-
^ hupnost o r
Prii     i aiiJl
Ta •.tr \ "ikvP   K t
lipni- /{.t istředková.vá? Vino iit ícrfli u t m venku",
p v i r n
im ' i   po<     svj ch pt, smWs   ví\ vedu j.nznáváme >t i> tahem i'jlI e n c hnr j otel in a někdy
i < huu \   " t i/i ^jnu  «, m-, mi ■• i ■• t jx\' také ná-CU ]i jäS o !S Au t altK n t di i n In k p\ í o vim.
)<m / l ti d i'j-, /e u jim • rk" e f \ n ia nás ne-i_-*k jipuiue c    íoímc 3, i^ ke f, ikilní a che-
mické skutečnosti, ale je tam také jakási tiše matematických skutečností.
To je pravda.
Aie jak potom vy, matematikové, stanovujete, jaké tyto
skutečnosti jsou? Kterými z vašich smyslů je rozpoznáváte?
Na tuto otázku není snadné odpovědět, jak říká Bridie, astronomové stanovují astronomické skutečnosti pozorováním, s pomocí
svých pěti smyslů, posílených často dalekohledy a jinými přístroji, ale jak zjišťují matematikové, jaká je realita v říši čísel?
Možná, že namítnete, že mstematikové získávají vědomosti stejným způsobem jako astronomové - prostřednictvím svých smyslů. Stejně jako je pozorováním možné objevit, že Země se točí kolem Slunce, tak je možné objevit, že 12 >'- 12 » 144.
jak jsme si však řekli, nezdá se, že by matematické vědění bylo založeno na zkušenosti. Nezdá se, že by 12 x 12 - 144 bylo něčím, co známe apriorně, je to néco, co lze v podstatě zcela vyřešit v hlavě.
Jenže pokud, je to pravda, pak realisté jako Kraus musí čelit jistému problému. Naším jediným oknem do vnější reality je, zdá se, našich pět smyslň. Prostřednictvím pozorování zjišťujeme, jaké jsou astronomické, fyzikální, geografické a chemické skutečnosti, ale. pokud část této nezávislé reality tvoři také matematické skutečností a pokud našich pět smyslů není schopno tyto skutečnosti odhalit, pak jak se o nich dozvídáme?
Zkrátka, realisté jako Kraus jen velmi složitě vysvětlí, jak je matematické vědění možné.
Mate ntatiti á .intuicr" a Platónovo řešv*m'
Nck<tn /.i unci mdtematickeno „ealumu e pokorněji r,-r>to pro-bh'm v) ŕc u lAizemr , e ismf v\ bavě*- do/atev nym, » .tv*n sni) sic n, nckd.v aiľ'm mtmee'
jde o dodáte ny mvd   ,akesi matem ard • aôUs  , krev nám umo/nujv po. ná'« ai m.,Ucmouckr skutečnosti
lo        tede pouze 1. dahi záhade ui |t o za pod vri" s hopnoí._ kiem. nas spoiuje - tísi tisehjík fun^ive'1 ío-kazern na „intuici" tak pouze jednu záhadu nahrazujeme jinou.
Jiní matematičtí realisté, jako Platón (cca 427-347 před Kristem), se pokoušeli na otázku, jak přicházíme k matematickému vědění, odpovědět tvrzením,
236
237
že takové vědomosti si v zásadě pamatujeme. Podle Platóna byly naše • nesmrtelné duše obdařeny říší čísel ještě před narozením. Tehdy nám byly odhaleny matematické skutečnosti. Když nyní provádíme nějaký výpočet, pouze si připomínám? skutečnosti, které nám byly odhaleny před narozením.
Ale toto tvrzení opět podněcuje nejméně tolik složitých otázek, kolik jich zodpovídá. Co je to duše a jak přesně přichází k vědění o říši čísel, než se fyzicky zhmotní? Tyto otázky nematou o nic méně než ty, na které se Platón pokouší odpovědět.
Konvencionalísmus má na druhé straně velkou výhodu v tom, že umí snadno vysvětlit, jak dosahujeme vědění o matematických pravdách. Pokud je 12 x 12 = 144 pouze „pravdou podle konvence", pak nemáme žádný velký problém s tím, jak poznat, že je to pravda: stačí nám k tomu pouze chápat příslušné konvence.
Snadnost, s jakou konvencionalísmus vysvětluje matematické vědění, nám dává silný důvod pro upřednostňování konvenci ona-lismu před realismem.
Proč matematika může být „tam venku"
Měli bychom se tedy vzdát realismu a přijmout za svůj konvencionalísmus? Asi ne. Protože i konvencionalísmus musí čelit pádným námitkám. O tom, že konvencionalísmus zřejmě nemůže platit, svědčí především následující myšlenkový pochod:
Kraus:
Bridie: Kraus:
Dobře, připouštím, že je trochu záhada, jak získáváme matematické vědění. Ale to neznamená, že bychom měli začít vyznávat konvencionalísmus. Je přece evidentní, že konvencionalísmus je mylný.
Proč?
Představ si nějakou mimozemskou civilizaci, ve které se počítá podle jiných matematických konvencí. Místo zákonů násobení, sečítání, odečítání a tak dále tito mimozemšťané používají zákony šmásobení a Smečí tání a šmodečítání. Nazvěme tento mimozemský alternativní systém počítání šmatematika. Ve šmatemarice
Bridie: Kraus:
Bridie: Kraus:
Bridie: Kraus:
Bridie: Kraus:
Bridie: Kraus:
12 šrnásobeno 12ti je 150. To je „pravda podle konvence". To je bizarní.
já vím. Ale takový alternativní systém početních zákonů je přinejmenším možný, ne? Asi ano.
No a podle tebe přece 12 násobeno 12ti rovná se 144 je pravda pouze podle konvence, Jf-, \^ ne?
Ano. Ale
potom
12 šrnásobeno 12ti je 150 je také pravda podle konvence. Správně? Ano.
Jenže pokud tahle mimozemská civilizace nepočítá podle zákonů matematiky, ale šma-tematiky, nebude jim nic fungovat. My počítáme podle zákonů mateni triky, a proto do kážeme siavet mosty k ten- \ ydt i, pucikt lidi na Me íc a doiet třeba do CTa-gon anu b v' nam docel ben/m v půli ce>ty Na i ruhe «-träne, mimozemská civilizace, která používa smatematiku, nebude mít příliš dlouhého trvání. Budou jim padat mosty, nebudou jim fungovat elektrické spotřebiče a ve vt smírných lodích jim bude neustále docházet palivo. Na rozdíl od šma-tematíky, matematika opravdu funguje. To je asi pravda.
Z toho ale vyplývá, že na rozdíl od šmatematických pravd, matematické pravdv nejsou pouze „pravdou podle konvence". Matematické pravdy jsou skutečné pravdivé. Přesně vyjadřují realitu ve světě Pokud ale místo
238
239
matematiky použiješ šmatematiku, dostaneš špatný • výsledek.
Zdá se, že na tom, co říká Kraus, něco je. Často s pomoci matematiky předpovídáme, co bude. Kdyby Kraus při výpočtu toho, kolik přesně bude potřebovat do koupelny dlaždic, použil místo matematiky šmatematiku, zůstalo by mu šest zbytečných dlaždic navíc. Matematika, na rozdíl od šmatematiky, dává správný výsledek. A tak se zdá, že. na. rozdíl od šmatematiky, matematika skutečně nějakým způsobem přesně odráží strukturu světa „tam venku". Pokud je tomu však skutečně tak, potom 12 x 12 ~ 144 není pouze „triviální" pravda a konvencionalismus nemůže platit.
Myšlenkové pomůcky; Racionalismus versus empirismus
Konvepciof.alisntus ie často úzce spojován s názorem, který ; se nazývá empirisr-na.
Empírisřé jsou přesvědčeni, že všechny netriviální vědomosti se odvíjejí ocl našich pěti smyslů. Racionalisté to po-'. pííají: jsou přesvědčeni, že přinejmenším některé netriviální ' vědomosti můžeme vlastnit a priori. V táboře empiristů na-" jdeme filozofy jako jo MiJl (1806-1873), Locke (1632-1704), Berkeiev (1685- i 753), Hunie (17U-1776) nebo Quine (1908-2000), na druhé straně v táboře racionalistů jsou třeba Platón, Descartcs (1596"-1650), Leibniz (1646-1716) nebo Spinoza (1632 ■ .1677) .Například Descartes si myslel, že můžeme vědět a prion, že iMih existuje - což je veimí netriviální vědomost... Někteří raHonalisré tvrdí, že nezávisle na zkušenosti ' můžeme raic nejen nějaké netriviální vědomosti, ale že je to jediná cesta k opravdovému vědění: našich pět smyslů není schopno nám obstarat vůbec žádné vědomosti. Takový názor ostával například Platón.
Hmpiristům byia matematika vždy tak trochu trnem v oku, protož,:, jak právě tvrdil Kraus, matcr.jacké vědí ni
se opravdu zdá být netriviálni. A přece, jak poznamenala Btidie, matematické vědění se zároveň joví bvr apriorní vědomostí.
A tak mají empiríscé dvě možnosti: buď musí popřít, že matematika je apriorní (rento názor zastáva! například Mil!), nebo' musí dokázat, že matematické věděni je přece jenom triviální (tuto strategii vyznávali Locke. Berkeíey a H ume).
Konvencionalismus je zjevně jedním z pokusů dokázat, že matematické vedení je ve skutečnosti „triviální", což je důvodem, proč oslovil tolik empiristů.
Závěr
Jsou matematika a její pravdy naším vlastním výmyslem? Nebo matematika popisuje realitu, která je „tam venku" nezávisle na nás? Filozofické a matematické názory se nadále různí.
Na jedné straně jsme si uvedli velmi pádný argument pro konvencionalismus: zdá se, že právě pouze konvencionalismus, nebo něco jemu podobného, dokáže vysvětlit matematické vědění.
Na druhé straně se však zdá, že Kraus má pravdu, když tvrdí, že na rozdíl od. smatematických pravd nejsou matematické pravdy pravdivé pouze podle konvence. Skutečnost, že matematika, funguje, dokazuje, že na rozdíl od šmatematiky matematika nějakým způsobem přesně odráží vnější realitu „tam venku".
Který z obou názorů je tedy správný, pokud vůbec nějaký?
240.
241