Slezská univerzita v Opavě – Filosoficko-přírodovědecká fakulta

                       Fyzikální praktikum I – Mechanika a molekulová fyzika

Jméno:


               Ročník, obor:

               První,

                            Vyučující:


                                      Datum měření:


Akademický rok:


Název úlohy:

                             Měření tíhového zrychlení pomocí kyvadla

Datum odevzdání:


Číslo úlohy:

                         4

Hodnocení:



1  Úkoly:

Změřte tíhové zrychlení pomocí matematického a reverzního kyvadla .


2 Teoretický úvod :


            Tíhové zrychlení je zrychlení volného pádu ve vakuu. Jeho velikost se mění se
zeměpisnou šířkou a nadmořskou výškou. Rozměr tíhového zrychlení v soustavě SI je m s^-2.


Mezi jednoduché, ale současně velmi přesné metody pro zjištění velikosti tíhového zrychlení patří
měření pomocí kyvadel.


Fyzickým kyvadlem (obr.1) nazýváme každé tuhé těleso libovolného tvaru volně otáčivé kolem
vodorovné pevné osy neprocházející těžištěm. Těleso je ve stabilní poloze, je-li těžiště v nejnižší
poloze, tj. leží-li na svislici protínající osu. Je-li  okamžitá úhlová výchylka těžiště z
rovnovážné polohy, mg tíha kyvadla, působící v těžišti, d vzdálenost těžiště od osy, působí na
kyvadlo moment


                                                                                                (1)


Moment působí proti výchylce a snaží se přivést kyvadlo zpět do rovnovážné polohy (proto má záporné
znaménko). Po vychýlení a uvolnění bude fyzikální kyvadlo vykonávat kmitavý pohyb, který je popsán
pohybovou rovnicí


                                                                         (2)


Kde J je moment setrvačnosti tělesa k ose O. Největší možný moment K=mgd nazýváme direkčním
momentem.


Po úpravě pohybové rovnice (2) dostaneme

                                                                                          (3)


Pro malé výchylky z rovnovážné polohy ( ) můžeme přibližně položit sin . Zavademe-li navíc, že



        (4)

Kde = konst., dostaneme rovnici



(5)


Která je totožná s diferenciální rovnicí harmonického pohybu, v níž  je čtverec úhlové frekvence.
Označíme-li T periodu (dobu kmitu) při nahrazení kmitavého pohybu kyvadla harmonickým pohybem, pak


                                                                                            (6)


 Při velmi malých výchylkách kyvadla z rovnovážné polohy nezávisí perioda pohybu na jeho amplitudě.

Chyba vzniklá nahrazením skutečného pohybu fyzikálního kyvadla harmonickým pohybem činí při [max ]=
asi 0,002 % při [max ]= asi 0,05 %


Dobu kyvu definujeme jako polovinu doby kmitu


Je to tedy doba, kterou potřebuje těleso k pohybu z rovnovážné polohy do krajní výchylky a zpět do
rovnovážné polohy, nebo doba z jedné krajní výchylky do druhé krajní výchylky na opačné straně,
kdežto perioda je doba potřebná k proběhnutí celého kmitu, tj. doba z jedné krajní výchylky do
druhé krajní výchylky a zpět do počáteční krajní výchylky.


Matematickým kyvadlem nazýváme hmotný bod hmotnosti m zavěšený na tuhém nehmotném závěsu délky l.
Moment setrvačnosti je tu dán součinem hmotnosti bodu a čtverce jeho vzdálenosti od osy, kolem níž
kývá : .


Doba kmitu matematického kyvadla je pak podle (6), dosadíme-li za d = l,


                                                                                      (7)


Délka l[r] matematického kyvadla, které kývá se stejnou dobou kmitu jako fyzické kyvadlo, se nazývá
redukovaná délka fyzikálního kyvadla. Mají-li být doby kyvu stejné, pak podle (6) a (7)

                                                                                     (8)



           (9)


Reverzním kyvadlem nazýváme takové fyzické kyvadlo, které kývá se stejnou dobou kmitu kolem dvou
rovnoběžných os ležících v rovině, která prochází hmotným středem kyvadla. Shoda doby kmitu kolem
obou os může nastat ve dvou případech:


a)   osy jsou symetricky položeny vzhledem ke hmotnému středu fyzického kyvadla

b)      osy jsou vzhledem k hmotnému středu fyzického kyvadla položeny asymetricky a jsou od sebe
vzdáleny o redukovanou délku fyzického kyvadla.


Použijem-li druhý případ, pak pro dobu kmitu T reverzního (převratného) kyvadla platí formálně
shodný vztah jako pro dobu kmitu matematického kyvadla (7), v němž však délka l je nahrazena
redukovanou délkou l[r], tj.



        (10)

Pro tíhové zrychlení g dostaneme:



         (11)


Reverzního kyvadla se používá k přesnému zjištění tíhového zrychlení na základě měření jeho doby
kmitu. Výhodou použití  reverzního kyvadla k určení tíhového zrychlení je, že se vyhneme nutnosti
určování momentu setrvačnosti J vzhledem k ose otáčení a určování vzdálenosti d osy otáčení od
hmotného středu. Určujeme pouze redukovanou délku l[r] fyzického kyvadla a jeho dobu kmitu.

Nejjednodušší typ reverzního kyvadla je kovová tyč se dvěma pevnými břity, ostřím obráceným
k těžišti, které leží mezi nimi. Nesouměrné  polohy břitů k těžišti je dosaženo kovovým závažím  Z
připojeným k tyči tak, aby doba kmitu pro obě osy byla stejná (obr. 2). Najít rychle polohu závaží
není snadné, proto volíme interpolační metodu určení doby kmitu. Pro danou polohu závaží na tyči x
určíme dvojici doby kmitu  a  pro osy o1 a o2.

Z několika hodnot x sestrojíme graf závislosti časů  a . Dostaneme dvě křivky, které se protnou
v hledaném čase T. Vzdálenost obou břitů je rovna redukované délce .Pro kyvadlo pak platí vztahy
(10) a (11).


                                              Obr.1 Fyzické a matematické kyvadlo




                                                  Obr. 2 Reverzní kyvadlo









3 Použité měřící přístroje a pomůcky


matematické kyvadlo

reverzní kyvadlo

stopky

metr


4 Postup měření

1)    Pro určení tíhového zrychlení pomocí mat. kyvadla jsem zvolil 2 různé délky d a změřil dobu
kmitu ( při určení T jsem ve všech měřeních měřil dobu 10 kmitů a měření opakoval 3x)

2)    Pro určení tíhového zrychlení pomocí reverzního kyvadla jsem pro 3 různá x změřil doby deseti
 a  pro osy o1 a o2  (viz bod 1) . Z časů sestrojil křivky, odečetl hledaný čas T. Změřil
vzdálenost mezi břity  a g vypočítal ze vztahu  (11).


5 Naměřené a vypočtené hodnoty