Slezská univerzita v Opavě – Filosoficko-přírodovědecká fakulta

                       Fyzikální praktikum I – Mechanika a molekulová fyzika

Jméno:


               Ročník, obor:

               První

                            Vyučující:


                                      Datum měření:


Akademický rok:


Název úlohy:

                                      Modul pružnosti v tahu

Datum odevzdání:


Číslo úlohy:

                           6

Hodnocení:



1       Pracovní úkoly:


Určete modul pružnosti v tahu oceli a dřeva statickou a dynamickou metodou.


2       Teoretický úvod:



            Působí – li na těleso síla a je – li zajištěno, že se pohybový stav tělesa nemění,
nastává deformace tělesa. Tato deformace je buďto elastická neboli pružná (taková deformace je
vratná), nebo plastická (obecně nevratná). V našem případě budeme uvažovat výhradně pružnou
deformaci.

            Napětí v tahu , které při působení síly v tělese vzniká, je definováno jako poměr kolmé
složky síly  k velikosti plochy , na níž síla působí:



                                                               (1)


Jednotkou napětí je pascal [Pa]. Relativní deformace tělesa , k níž působením síly dojde, je



               ,                                                                (2)


kde l je příslušný lineární rozměr tělesa a  prodloužení.

            Souvislost napětí  a relativní deformace  vyjadřuje tzv. pracovní diagram, v němž je
vynesena závislost



                                                               (3)


Křivka znázorňující tuto závislost vychází z počátku souřadných os. Pro ocel a < 100 Mpa přechází
funkce  v přímou úměrnost:


                                                                            ,
                                                        (4)

což je tzv. Hookův zákon. Veličina E se nazývá modul pružnosti v tahu (též Youngův modul). Jeho
jednotkou je pascal. Číselné hodnoty E většiny technických materiálů jsou v rozmezí  10^9 ¸ 10^12
Pa. Pro ocel je přibližná číselná hodnota  E = 2×10^11 Pa.



2.1        Metody měření


2.1.1   Statická metoda


K měření modulu pružnosti E použijeme tyč obdélníkového průřezu  Představme si tuto tyč volně
položenou na dva břity, kolmé na délku tyče. Vzdálenost břitů je l.   Zatížíme – li tyč uprostřed
mezi oběma břity silou F, kolmou na stranu b průřezu, tyč se prohne, o vzdálenost y. Lze odvodit,
že průhyb tyče y je



                                                        (5)


z čehož plyne



                                                         (6)


Tuto rovnici dosazením  upravíme na tvar



                                                            (7)


kde m je hmotnost použitého závaží.

Změřením příčných rozměrů tyče a a b, vzdálenosti břitů l a průhybu tyče y při známé síle F můžeme
tedy určit modul pružnosti E. Průhyb měříme hodinkovým indikátorem. Při posunutí měřícího kolíčku
hodinkového indikátoru o 1 mm opíše jeho ručička úhel 360°.Kruhová stupnice je rozdělena na 100
dílků, proto posunutí ručičky o 1 dílek odpovídá posunu kolíku o 10^-2 mm.  Indikátorové hodinky
upevníme tak, že při nezatížené tyči ukazují počáteční výchylku n[0]. Při zatěžování tyče se údaj
hodinek mění na hodnotu n. Pro průhyb tyče pak platí


2.1.2   Dynamická metoda


Upevníme – li jeden konec tyče a druhý ponecháme volný, může tento volný konec vykonávat harmonické
kmity. Pro dobu kmitu lze odvodit vztah



                                                         (8)


V tomto vztahu E značí modul pružnosti v tahu materiálu, ze kterého je vetknutá tyč zhotovena, m[r]
značí redukovanou hmotnost volné části vetknuté tyče (hmotnost tyče redukovaná na její volný
konec), l[1] značí celkovou délku tyče od místa vetknutí až k jejímu volnému konci, J značí
kvadratický moment průřezu (moment setrvačnosti průřezu), pro který vzhledem k tvaru zkoumané tyče
platí



                                                            (9)


kde a je rozměr tyče ve směru kmitů.

            Redukovanou hmotnost tyče m[r ]nelze přímo měřit a proto ji ze vztahu (8) vyloučíme
následujícím způsobem: na volný konec tyče připevníme pomocné těleso známé hmotnosti m[p ]tak, aby
jeho těžiště připadalo na volný konec tyče. Doba kmitu se v důsledku změřené hmotnosti prodlouží na
T[1], pro kterou platí



                                                 (10)


Obě rovnice (8) a (10) umocníme a výsledky vzájemně odečteme. Jednoduchou úpravou pak obdržíme pro
hledanou hodnotu modulu pružnosti v tahu E výraz



                                                      (11)


Rovnici (11) převedeme s využitím rovnice (9) na výraz



                                                     (12)


Stanovením jednotlivých parametrů na pravé straně rovnice (12) lze modul pružnosti v tahu
vypočítat.


3       Použité měřící přístroje a pomůcky


- Hodinový indikátor

- Stolní váhy

- Posuvné měřítko

- Stopky

- Svinovací metr

4       Postup měření


1)      Nejprve jsem posuvným měřítkem změřil oba rozměry (a,b) ocelové tyče.

2)      Dále jsem změřil svinovacím metrem vzdálenost l[1 ] pro statickou metodu.

3)      Poté jsem určil hmotnosti obou závaží m[1] a m[2].

4)      Provedl jsem měření průhybu tyče pro zatížení závažími m[1] a m[2].

5)      Potom tyč upevnil do zařízení na stěně a změřil délku tyče l[2] pro dynamickou metodu.

6)      Změřil jsem dobu kmitu pro dynamickou metodou bez připevněného závaží a s připevněným
závažím ( m[1] + m[2).]

7)      Statickou a dynamickou metodou jsem vypočítal E pro ocelovou tyč.

8)      Statickou metodou jsem obdobně vypočítal E pro dřevěnou tyč.



5       Naměřené a vypočtené hodnoty