1
Veličiny a jednotky v mechanice
2
3
Vektory
1. Dokažte, že úhlopříčky kosočtverce jsou na sebe kolmé.
Řešení
Pokládejme strany kosočtverce a, b i jeho úhlopříčky c, d za vektory.
Pro velikosti stran platí a = b.
Pro úhlopříčky platí c = a + b, d = a – b.
Skalární součin c ⋅⋅⋅⋅ d = (a + b) ⋅⋅⋅⋅ (a – b) =
22
ba − .
Protože a = b, pak také c ⋅⋅⋅⋅ d = 0 neboli úhlopříčky jsou na sebe kolmé.
2. Vypočtěte výslednici d vektorů a = 2i – j + k, b = i + j – k a c = 3i – 2j + 3k a jednotkový
vektor ve směru výslednice. Ověřte, že velikost jednotkového vektoru je rovna 1.
d = 6i – 2j + 3k, kjid
7
3
7
2
7
6
0 +−= .
3. Jsou dány vektory a = 3i + 4j a b = i + 2j – 3k. Vypočítejte velikost průmětu vektoru a do
směru vektoru b (ab) a vektor tohoto průmětu (ab).
b
11
a
14
= ,
11 22 33
14 14 14
= + −ba i j k .
4. Trojúhelník je určen dvěma vektory a = 2i – j + 5k a b = 4i + 2j – k. Složky vektorů jsou dány
v metrech. Určete velikost vektoru c, jež tvoří třetí stranu trojúhelníka.
Jsou možná dvě řešení: a) c = a – b, c = 7 m, b) c = a + b, 53c = m.
5. Plavec plave přes řeku kolmo na její proud rychlostí 1m/s. Rychlost proudu v řece je
0,5 m/s. Jakou rychlostí v plave plavec vzhledem k břehu řeky? O kolik metrů x unese proud řeky
plavce, je-li šířka řeky 40 m?
v = 1,12 m/s, x = 20 m.
6. Jaká je plocha rovnoběžníka, jehož strany tvoří vektory a = 3i + 2j – k a b = 4i – 3j + 2k,
jestliže jsou složky vektorů udány v metrech?
a × b  = 19,7 m2
.
7. Pod jakým úhlem α musí plout člun, aby se dostal na protějším břehu přesně naproti místu,
z něhož vyplul? Rychlost člunu je vzhledem k proudu v řece 3 m/s a rychlost proudu v řece je
1 m/s. Jakou rychlostí v vzhledem k břehu řeky se člun vzdaluje?
α = 19,47˚, v = 2,82 m/s.
4
8. Jsou dány dva trojúhelníky. Jeden má vrcholy v bodech P1(5, -2, 1), P2(6, 1, -1), P3(4, -3, 0),
druhý v bodech P4(2,1,1), P5(-1,3,0), P6(2,-4,3). Souřadnice bodů jsou udány v metrech. Který
z trojúhelníků má větší plochu?
2
262
2
38
21 =<= SS , plocha druhého trojúhelníka je větší.
9. Rovnoběžnostěn je určen třemi vektory a = -3i + 2j - k, b = -i + j + 3k, c = 3i + 2j – k. Složky
vektorů jsou udány v metrech. Jaký je objem rovnoběžnostěnu, jehož hrany jsou vektory a, b, c?
V = 42 m3
.
10. Vektor r má velikost r = 7. Tento vektor začíná v bodě A(2,1,-1) a jeho složky jsou rx = 2 a
ry = – 3. Určete jeho chybějící souřadnici rz a souřadnice bodu B, který je jeho koncovým bodem.
B1(4,-2,5) nebo B2(4,-2,-7).
11. Tři vektory tvoří rovnoběžnostěn. Určete jeho plochu, když tyto vektory jsou
a = 4i + j, b = i + 3j – k, c = i + j + 3k, když složky vektoru jsou udány v metrech.
Plocha rovnoběžnostěnu je 70,7 m2
.
12. Vypočítejte velikost momentu síly F = 3i + 2j + 9k působící v bodě B(4, 2, -3) vzhledem
k počátku souřadného systému. Moment síly M = r x F (Nm).
2605=M Nm.
13. Loďka je tažena dvěma vodními skútry na lanech podle obrázku. Výsledný směr, kterým je
loďka tažena je shodný s její podélnou osou. Velikost výsledné tažné síly, kterou působí skútry na
loďku je 30 kN. Vypočtěte
a) napětí v lanech 21, TT (síly, kterými jsou lana napínána), když je znám úhel o
40=α ,
b) velikost úhlu α , při kterém je napětí lana 2 minimální.
a) 1T = 21,27 kN, 2T = 13,99 kN, b) o
65=α .
5
Kinematika
14. Polohový vektor r hmotného bodu závisí na čase t podle rovnice
2
2
21
t
t ccr += , kde 1c a 2c
jsou konstantní vektory. Jaká je jeho rychlost v a její velikost a zrychlení a hmotného bodu?
Řešení
.const
dt
d
tctcccvt
dt
d
===++===+== 2
22
221
2
1
2
21 2 c
v
avvcc
r
v
Známe-li závislost r(t), můžeme určit rychlost v a zrychlení a v libovolném čase t.
A obrácená úloha?
Lze určit závislost r(t) a v(t), když známe pouze závislost a(t) ?
Pro jednoznačné řešení takové úlohy je zadání nedostatečné. Potřebujeme znát počáteční podmínky,
tj.
( ) ( )0a0 00 ==== tt vvr r ,
protože platí
( ) ( ) ( ) ( ) 00
2
0
2
1
a rvavrvaav ++==+== ∫∫ ttdttttdttt .
15. Pohyb hmotného bodu je dán rovnicí
5,782
6
1 23
−+−= ttts ,
do níž dosadíme-li čas t v sekundách, vyjde dráha s v metrech. a) Určete polohu hmotného bodu
za čas t = 3 s. b) Najděte rovnici rychlosti. c) Jaká je počáteční rychlost 0v ? d) Jaká je rovnice
zrychlení? e) Jaké je počáteční zrychlení 0a ? f) Ve kterém okamžiku je zrychlení nulové?
a) m3=s , b) 84
2
1 2
+−= ttv , c) 1
0 ms8 −
=v , d) 4−= ta , e) 2
0 ms4 −
−=a , f) s4=t
16. Pro rychlost hmotného bodu platí rovnice 389 2
+−= ttv , do níž dosadíme-li čas v sekundách,
vyjde rychlost v m/s. a) Jakou dráhu urazí hmotný bod v časovém intervalu od s21 =t do s52 =t ?
b) Kdy je zrychlení tohoto bodu nulové? c) Ve kterém okamžiku je hmotný bod nehybný?
a) m276=s , b) s
9
4
=t , c) nikdy.
17. Pohyb auta je znázorněn grafem závislosti rychlosti v na uražené dráze s na obrázku křivkou
v – s. Vypočtěte velikost zrychlení a auta a sestrojte graf závislosti jeho zrychlení na dráze s (a – s).
6
18. Pilot letadla je od svého cíle vzdálen o s = 200 km na západ a přitom vane severozápadní vítr
o rychlosti u = 30 km/h. Určete vektor rychlosti v letadla, které chce dosáhnout svého cíle za čas
t = 40 min.
( )km/h.2218278v ,;,=
19. Pohyb částice je dán rovnicemi tBy,tAx ωω 2coscos == . Určete rovnici a tvar její trajektorie.
,AxA,Bx
A
B
y ≤≤−−= 2
2
2
což je rovnice paraboly.
20. Určete rovnici trajektorie a rychlost hmotného bodu, jehož pohyb je popsán rovnicemi:
konst.0,=23
=== b,az,bty,atx
22423223
49 tbta,yaxb +== v .
21. * Částice se pohybuje v rovině x, y z počátku souřadného systému rychlostí jiv xcc 21 += , kde
1c a 2c jsou konstanty a i a j jsou jednotkové vektory na osách x a y. Jaká je rovnice trajektorie
částice y(x)?
2
1
2
2
x
c
c
y = , takže trajektorií je parabola.
22. * Částice se pohybuje přímočaře z bodu A do bodu B se zrychlením a, které je určeno vztahem
xcca 21 −= , kde 1c a 2c jsou kladné konstanty a x je její vzdálenost od bodu A. Určete vzdálenost
mezi body A a B a maximální rychlost částice.
2
1
0
2
c
c
x = ,
2
1
c
c
vmax = .
23. Časový interval mezi přijetím signálu k zastavení automobilu a sešlápnutím brzdového pedálu
je u průměrného řidiče asi 0,6 s. Může-li automobil brzdit se zpožděním 2
ms5 −
=a , vypočtěte
celkovou dráhu, kterou urazí od okamžiku, kdy řidič zpozoroval signál do okamžiku, kdy zastaví,
byla-li počáteční rychlost automobilu hkm50 .
m.66,27≅s
24. Dvě tělesa se pohybují po přímce proti sobě s konstantním zrychlením 2
1 ms6 −
=a ,
2
2 ms4 −
=a . Jejich počáteční rychlosti jsou 1
01 ms10 −
=v , 1
02 ms15 −
=v . Počáteční vzdálenost
je s = 750 m. Za jaký čas se obě tělesa střetnou?
Tělesa se střetnou za 10 s.
7
25. Těleso pohybující se přímočaře s konstantním zrychlením urazí vzdálenost s =180 m mezi
dvěma body za čas t = 6 s. Jeho rychlost v okamžiku, kdy prochází druhým bodem je 1
ms45 −
=v .
Jaké je jeho zrychlení? Jakou rychlost 0v mělo v okamžiku, když procházelo prvním bodem?
.ms15,ms5 1
0
2 −−
== va
26. Těleso se pohybuje konstantní rychlostí 1
0 ms6 −
=v . V čase t = 0 s začne působit konstantní
zpoždění tak, že se těleso zastaví a) za čas t = 30 s, b) na dráze s = 120 m. Jaké je jeho zpoždění
v obou případech?
a) 2
ms2,0 −
−=a , b) .ms15,0 2−
−=a
27. Z určité výšky padá těleso A. Po čase s50,t =∆ začne padat z výšky menší o m94,h =∆ těleso
B. Jak dlouho padalo těleso A, jestliže obě dopadla současně?
Pro dobu pádu tělesa A platí t ≅ 1,23 s.
28. Vlak se rozjíždí z klidu s konstantním zrychlením 2
1 ms3,0 −
=a po dobu 1t = 30 s. Po nějakou
dobu se pohybuje stálou rychlostí a pak bržděním se jeho rychlost zmenšuje se stálým zpožděním
2
2 ms4,0 −
=a až se vlak zastaví. Vypočítejte dobu rt , po kterou se vlak pohyboval rovnoměrně a
dobu trvání ct celé cesty, urazil-li vlak celkem dráhu s = 4 km.
s,418≅rt s.5470,tc ≅
29. Polohový vektor r hmotného bodu se mění s časem podle rovnice
( ) ttt ωω cossin 21 ccr += ,
kde 1c a 2c jsou konstantní na sebe kolmé vektory a ω je kladná konstanta. Jaké je zrychlení
hmotného bodu a rovnice jeho trajektorie y(x), jestliže směr vektoru 1c odpovídá orientaci osy x
a směr vektoru 2c orientaci osy y ?
ra 2
ω−= , 12
2
22
1
2
=+ cycx , což je rovnice elipsy s poloosami 1c a 2c .
30. Z pušky se střílí po autě délky b, které se dá při pozorování úplně zakrýt tužkou o průměru
c, jež je ve svislé poloze ve vzdálenosti d před okem. a) O kolik délek auta n se musí mířit před
auto, které se pohybuje rovnoměrně po přímé silnici rychlostí v, aby se zasáhl cíl, je-li průměrná
rychlost střely u (u >> v)? b) Jaká je vzdálenost r auta od pušky v okamžiku, kdy je zasaženo
střelou? c) Jakou dobu t trvá pohyb střely, než po opuštění hlavně zasáhne cíl?
a) ,
cu
dv
n ≈ b)
c
db
r ≈ , c)
cu
db
t ≈ , vše s ohledem na u >> v.
31. Vodák plul proti proudu řeky a právě pod středem mostu mu vypadl z loďky nafouknutý míč.
Vodák zpozoroval ztrátu až za dobu t = 0,5 hod. Ihned se pak po řece vrátil a dostihl míč ve
8
vzdálenosti d = 5 km od středu mostu. Vypočtěte rychlost vody v proudící v řece za předpokladu,
že rychlost loďky u vzhledem k vodě byla stále stejná.
km/h.5=v
Úhlové veličiny
32. Vlak se pohybuje po kruhové dráze o poloměru 800 m mezi dvěma body. V počátečním bodě
dráhy měl vlak rychlost 54 km/h a v koncovém bodě 18 km/h. Mezi počátečním a koncovým
bodem vlak urazil 800 m. Určete dobu potřebnou k uražení této dráhy a velikost zrychlení
v počátečním a koncovém bodě.
Řešení
Nejdříve budeme uvažovat (posuvný) pohyb po kolejnicích, pak tvar dráhy. Protože nebylo o
brždění nic uvedeno, budeme předpokládat, že vykonávaný pohyb je rovnoměrně zpožděný. Pro
rovnoměrně zpožděný pohyb platí vztahy
2
000
2
1
0 attvssatvv.consta ++=+=<= ,
kde a je zrychlení, v a 0v je rychlost a počáteční rychlost, s a 0s poloha a počáteční poloha a t
označuje čas. Volíme-li počáteční časový okamžik 0t = 0, počáteční polohu 0s = 0 a koncový
okamžik jako t, dostaneme rovnice
2
00
2
1
attvsatvv +=+= ,
kde v je koncová rychlost a s uražená dráha. Získali jsme tak dvě rovnice o dvou neznámých a a t,
jejichž řešením je
0
2
0
2
2
2 vv
s
t
s
vv
a
+
=
−
= .
Po převodu jednotek a dosazení dostaneme
s.80m/s1250 2
=−= t,,a .
Vypočtené zrychlení odpovídá změně rychlosti a je tedy s ohledem vykonávaný křivočarý
(kruhový) pohyb zrychlením tečným ta .
Normálové zrychlení
R
v
an
2
= , kde R je poloměr dráhy. Velikost výsledného zrychlení, označíme
ho ac, vyplývá z Pythagorovy věty
( )
4
22
0
2
4
2
22
4s
vv
R
v
aaa tnc
−
+=+= .
Po dosazení číselných hodnot dostaneme pro celkové zrychlení na počátku a na konci dráhy
ac(t = 0) = 0,308 m/s2
a ac(t = 80) = 0,129 m/s2
.
9
33. Vyšetřete pohyb hmotného bodu, jehož polohový vektor r závisí na čase dle rovnice
.s
4
m,6kde,sincos 1-π
==⋅⋅+⋅⋅= bAbtAbtA jir
Určete
a) vektor rychlosti v, jeho velikost a směr pomocí jednotkového vektoru,
b) vektor zrychlení a, jeho velikost a dále tečné a normálové zrychlení,
c) tvar trajektorie pohybu a poloměr křivosti trajektorie R,
d) a dokažte, že vektor rychlosti v a polohový vektor r jsou vzájemně kolmé,
e) vektor úhlové rychlosti ω a dokažte, že ω je kolmé na rovinu, ve které se pohyb děje,
tedy rωvω ⊥⊥ , .
a) 





⋅+⋅−= t
4
cos
4
sin
2
3 πππ
jiv ,
1
ms
2
3 −
= πv , tt
4
cos
4
sin
ππ
jiτ +−= ,
b) 





⋅−⋅−== tt
dt
d
4
sin
4
cos
8
3 2
2
2
ππ
π ji
r
a , 22
ms
8
3 −
= πa , 22
ms
8
3
0 −
== πnt a,a ,
c) Trajektorií je kružnice, jedná se tedy o kruhový pohyb. m6=R ,
d) 0=⋅rv ,
e) 00 =⋅=⋅ rωvω , .
34. * Hmotný bod se pohybuje zpomaleně po kružnici o poloměru R tak, že v libovolném čase pro
normálové zrychlení an a tečné zrychlení at platí tn aa = . Počáteční rychlost hmotného bodu byla
0v . Jaká je rychlost a velikost zrychlení hmotného bodu v závislosti na dráze s ?
R/sR/s
e
R
v
a,evv 22
2
2
0
0
−−
== .
35. Hmotný bod se pohybuje po kruhovém oblouku o poloměru R. Jeho rychlost v závisí na
uražené dráze l podle vztahu lcv = , v němž c je kladná konstanta. Určete úhel α svíraný
vektorem rychlosti a zrychlení hmotného bodu.
Pro hledaný úhel α platí .Rl2tg =α .
36. Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru R = 0,1m tak, že jeho úhlová souřadnice je
dána vztahem 3
42 t+=ϑ . Jaké jsou velikosti normálového a tečného zrychlení v čase t = 2 s, tedy
( )stan 2= a ( )stat 2= ? Při jaké hodnotě ϑ bude jeho celkové zrychlení svírat s poloměrem
kružnice úhel °= 45α ?
22
ms84ms4230 −−
== ,a,,a tn , rad.62,=ϑ
37. Dokažte, že jestliže se těleso roztočí z klidu s konstantním úhlovým zrychlením ε kolem pevné
osy, pak dostředivé zrychlení na libovolného bodu tělesa je přímo úměrné úhlu ϕ , o který se těleso
otočilo. O jaký úhel ϑ se těleso otočilo, jestliže celkové zrychlení libovolného bodu svírá
s dostředivým zrychlením na úhel °= 60α ?
Pro funkční závislost )(ϕna platí .Ran ϕε2= Pro úhel platí ϑ ., rad28870=
10
38. Rotor o průměru 20 cm zvýšil své otáčky ze 400 otáček/min na 9000 otáček/min za 15 s.
Určete úhlové zrychlení rotoru, počet otáček N vykonaný po dobu zrychlování, konečnou
obvodovou rychlost a obvodové zrychlení určitého bodu na obvodu rotoru.
2
rad/s060,=ε , N =1175 otáček, m/s394,v = , a = 88 800 m/s2
.
39. Kruhová otáčivá plošina průměru d = 20 m se otočila o 180°. Prvních 10° byl pohyb
rovnoměrně zrychlený a konečná obvodová rychlost okrajových bodů byla 1
1 sm2 −
⋅=v . S touto
rychlostí se pak plošina rovnoměrně otočila o 160°. Posledních 10° se plošina otáčela rovnoměrně
zpožděně a zastavila se.
a) Jak dlouho trvaly jednotlivé tři částečné pohyby?
b) Jak velké bylo úhlové zrychlení (zpoždění) na začátku (konci) pohybu?
c) Jak velké bylo normálové zrychlení okrajových bodů při rovnoměrném pohybu?
d) Jak velké bylo tečné zrychlení (zpoždění) okrajových bodů na začátku (konci) pohybu?
a) Časy podle úseků: s,7411 ,t ≅ s,95132 ,t ≅ s.74113 ,tt ≅=
b) Úhlové zrychlení (zpoždění) v prvním (třetím) úseku ., 2
31 s1150 −
≅= εε
c) Normálové zrychlení ve druhém úseku .,an
2
sm40 −
⋅=
d) Tečné zrychlení (zpoždění) v prvním (třetím) úseku .,at
2
sm151 −
⋅≅
40. Jakou rychlostí v se pohybuje střed koule o poloměru R, valí-li se koule rovnoměrně bez
klouzání úhlovou rychlostí ω po dvou rovnoběžných kolejnicích, mezi nimiž je vzdálenost d < 2R,
jestliže pro d platí a) d = R/2, b) d = R.
a) ωR,v 970≅ , b) ωR,v 870≅ .
41. Jakou rychlostí 0v je nutno hodit těleso svisle dolů z výšky h, aby dopadlo o čas τ dříve než při
volném pádu?
τ
τ
τ
ggh
ggh
gv
28
8
0
−
−
= .
42. Po absolutně hladkém svahu klouže těleso bez tření dolů. Úhel sklonu svahu je °= 30α , délka
svahu je m210,l = . Za jaký čas urazí těleso celou dráhu, jestliže jeho počáteční rychlost byla
1
0 ms3 −
=v ?
s.241,t ≅
43. Těleso volně padá ve vakuu z výšky h. Rozdělte tuto výšku na n částí tak, aby čas pádu
v každé části byl stejný. Vypočtěte délku jednotlivých částí pro h = 245 m a n = 5.
.h
n
n
xn ⋅
−
= 2
12
Z rekurentního vztahu pak vypočteme pro h = 245 a n = 5:
m.288m,668m,049m,429m,29 54321 ,x,x,x,x,x =====
11
44. * Hmotný bod vržený počáteční rychlostí 0v pod úhlem α opíše ve vakuu parabolu. Určete
velikost rychlosti, tečné a normálové zrychlení hmotného bodu v obecném bodě dráhy.
( )
.
v
vg
a,
v
gtvg
a,gyvv nt
αα cossin
2 002
0
⋅
=
−
−=−=
Dynamika
Hybnost, síla, impuls síly
45. Pohyb hmotného bodu o hmotnosti m = 0,5 kg je dán rovnicemi x = 2t2
+1, y = t2
+1,
z = t3
– 1 [m,s]. Určete velikost a směr působící síly v čase t = 1 s.
Řešení
.
14
3
cos
14
1
cos
14
2
cos
N14914
N3ms6)1(6)(
)(
)(
N1ms2)1(2)(
)(
)(
N2ms4)1(4)(
)(
)(
2
z
2
y
2
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
===
=++=⇒++=
=⇒=⇒==⇒=⇒=
=⇒=⇒==⇒=⇒=
=⇒=⇒==⇒=⇒=
=
−
−
−
γβα
FFFFF
FmaFtatta
dt
tzd
ta
FmaFtata
dt
tyd
ta
FmaFtata
dt
txd
ta
m
zzzzzz
yyyxyy
xxxxxx
aF
46. Dráha tělesa o hmotnosti m = 2 kg, které se pohybuje po ose x je dána vztahem
x = 10t3
– 5t [m,s]. Jaká je síla působící na těleso v libovolném okamžiku?
tF ⋅= 120 .
47. Těleso o hmotnosti m = 10 kg se pohybuje účinkem proměnlivé síly F = p(q – t), kde
p = 100 N/s a q = 1 s. Za jak dlouho se těleso zastaví a jakou dráhu přitom urazí, jestliže
v čase t = 0 mělo rychlost 0v = 0,2 m/s a síla má směr rychlosti tělesa?
s
10
104
1+=t , m.077,s ≅
48. Na těleso o hmotnosti m = 10 kg, které je v klidu v počátku souřadného systému, začne působit
proměnlivá síla F = 100 – 20t [N,s]. Najděte výraz pro polohu a rychlost tělesa v libovolném čase.
,cvt,ttv 000proprotože10 2
=⇒=⇒=−=
.cst,tts 000proprotože
3
1
5 32
=⇒=⇒=−=
12
49. Na těleso o hmotnosti m ležící na podlaze působí síla F pod úhlem α vzhledem k podlaze.
Jak dlouho musí síla působit, aby těleso nabylo rychlosti v? Tření neuvažujte.
αcosF
mv
t =∆ .
50. Těleso se pohybuje působením tíhy po nakloněné rovině o sklonu α = 30o
z bodu A do bodu B.
Určete rychlost tělesa v bodě B, je-li vzdálenost mezi body 2 m, koeficient smykového tření
Tµ = 0,01 a rychlost tělesa v bodě A je nulová.
≅Bv 4,39 m/s.
51. Dřevěný hranol o hmotnosti 2m = 3 kg leží na vodorovné podložce. Je zasažen střelou o
hmotnosti 1m = 5 g. Střela v něm zůstane a hranol se posune po podložce po dráze délky s = 25 cm.
Koeficient smykového tření mezi hranolem a podložkou je Tµ = 0,2. Vypočítejte rychlost střely v.
-1
sm600=v .
52. Přes pevnou kladku otáčející se kolem vodorovné osy je vedeno vlákno, na jehož koncích jsou
zavěšena závaží o hmotnostech 1m = 1 kg a 2m = 1,1 kg. Hmotnost kladky a vlákna lze zanedbat.
Jak velké je zrychlení a pohybu závaží? Jakou tlakovou silou F působí čep kladky na svá ložiska
při pohybu závaží?
≅a 0,48 ms-2
, ≅F 21 N.
53. Síla F působí na těleso o hmotnosti m = 14,6 kg a vrůstá podle vztahu F = 10 + 2t [N,s]. a)
Jaký impuls I udělí síla tělesu v prvních dvou sekundách svého působení? b) Jak dlouho musí síla
působit, aby její impuls byl roven 119 Ns? c) Jaká bude rychlost tělesa na konci časového intervalu
vypočteného dle předchozího bodu, byla-li jeho počáteční rychlost 0v = 3m/s?
a) Ns24=I , b) s7≅t , c) m/s644,v = .
54. Střela o hmotnosti m = 2 g opustí ústí hlavně rychlostí v = 300 m/s. Síla v hlavni je dána
vztahem [ ]sN,
3
40000
400 tF −= . Jak dlouho trvá pohyb střely v hlavni?
ms.3=t
55. Stálá síla F působí na těleso tíhy G. V okamžiku, kdy začne síla na těleso působit, pohybuje se
těleso rychlostí 0v . Za jakou dobu t se rychlost tělesa zvýší na n násobek počáteční rychlosti 0v ?
( )
Fg
nGv
t
10 −
= .
13
56. * Kvádr o tíze 1G leží fixován v klidu na nakloněné rovině a je spojen lanem přes kladku
umístěnou na vrcholu nakloněné roviny se závažím tíhy 2G , které visí kolmo dolů. Po uvolnění se
kvádr působením tíhové síly dá do pohybu po nakloněné rovině s úhlem sklonu o
30=α . a) Jak
velký je poměr 12 GG , jestliže kvádr vykoná za dobu t = 0,8 s dráhu s = 1 m směrem dolů? b)
Jakou velkou hodnotu musí mít poměr 12 GG , má-li kvádr konat po nakloněné rovině pohyb
rovnoměrný? Tření a otáčivý pohyb kladky zanedbejte.
a) 14012 ,GG ≅ , b) 5012 ,GG = .
57. Míč o hmotnosti m = 125 g je vržen vodorovně proti svislé stěně. Jeho rychlost před nárazem je
0v = 20 m/s a po odrazu v = 15 m/s. Doba, po kterou se míč dotýkal stěny je t = 0,05 s. Vypočtěte
hybnost míče před nárazem a po něm a střední hodnotu síly, kterou stěna na míč působila.
kgm/s,8751kgm/s,52 ,p,p popred −== N587,F = .
58. Granát o hmotnosti 0m = 20 kg letící rychlostí 0v = 100 m/s vybuchne a roztrhne se na dvě
střepiny. První střepina o hmotnosti 1m = 12 kg pokračuje ve směru pohybu, který je shodný se
směrem pohybu granátu, rychlostí 1v = 200 m/s. Určete velikost a směr rychlosti druhé střepiny.
m/s502 −=v .
59. * Těleso o hmotnosti m je vrženo po nakloněné rovině (úhel sklonu α ) směrem vzhůru
s počáteční rychlostí 0v v čase 00 == tt . Vypočítejte délku trajektorie s, po jejímž proběhnutí se
těleso zastaví a příslušnou dobu t, je-li pohyb tělesa ovlivňován pouze tíhou tělesa G a smykovým
třením, jehož koeficient je Tµ .
)(g
v
s
T αµα cossin2
2
0
+
= ,
)(g
v
t
T αµα cossin
0
+
= .
60. Závaží připevněné ke svislé ose otáčení nití délky l = 0,25 m se otáčí ve vodorovné rovině na
odstředivém stroji. Při frekvenci f = 17/11 Hz se nit přetrhne. S jakým zrychlením a je nutno
zvedat totéž závaží zavěšené na niti stejného druhu vzhůru, aby se nit přetrhla?
2
ms6 −
≅a .
61. Cyklista projíždí vodorovnou zatáčkou o poloměru R = 10 m rychlostí 0v = 5 m/s. Hmotnost
cyklisty a kola je 80 kg. Jakou nejmenší hodnotu musí mít koeficient smykového tření Tµ mezi
gumou a povrchem silnice, aby cyklista nedostal smyk? O jaký úhel α se musí cyklista s kolem
naklonit od svislé roviny? Jaký je výsledný tlak F na povrch silnice?
2550,T =µ , Tµα =tg , 224
0 gRv
R
m
F += .
14
62. Hmotný bod o hmotnosti m je přivázaný na niti délky R a je nucen obíhat po kružnici ve svislé
rovině kolem vodorovné osy s frekvencí f . Určete napětí nitě v bodech A, B, C, D na obrázku!
( ),gRfmmgfmRFA ϕπϕπ cos4cos4 2222
+=+=
( ) ( ).gRfmF,RmfF,gRfmF DCB −==+= 222222
444 πππ
63. Hmotný bod o hmotnosti m zavěšený na niti opisuje ve vodorovné rovině kruhovou dráhu.
Délka závěsu je l a hmotnost závěsu můžeme zanedbat. Závěs svírá s těžnicí úhel β. Určete
rychlost a oběžnou dobu tohoto bodu a sílu, která napíná závěs.
ββ tgsin ⋅⋅⋅= lgv ,
v
l
T
βπ sin2 ⋅
= ,
βcos
mg
F = .
64. * Na povrchu absolutně hladké koule je hmotný bod v metastabilní poloze. Když ho vychýlíme,
bude se pohybovat nejprve po povrchu koule. Jak velká je vzdálenost h průmětu místa, v němž bod
opustí povrch koule, do svislého průměru koule a vrcholu koule? V jaké vzdálenosti d od svislého
průměru koule dopadne na vodorovnou podložku? Poloměr koule R = 1,5 m.
m50,h = , m22,d = .
Práce, výkon
65. Jak velkou práci vykoná proměnlivá síla [ ]sN,452
kjiF ⋅+⋅+⋅= t , jejíž působiště se posouvá
po křivce [ ]sm,1523 2
kjir ⋅+⋅−⋅= ttt v době mezi okamžiky 1t = 1 s a 2t = 5 s? Jaký je
průměrný výkon v udaném časovém intervalu a jaký je okamžitý výkon koncem čtvrté sekundy?
Řešení
( ) ( ) dtttdtttdAdA )(kjikjidrF 60203154345 22
+−=⋅+⋅−⋅⋅⋅+⋅+⋅=⇒⋅=
[ ] J.1246010)60203(
5
1
232
2
1
2
1
=+−=⇒+−== ∫∫
t
t
t
t
tttAdtttdAA
Průměrný výkon činí W.31
4
124
==⇒
∆
= P
t
A
P
Výkon vF
r
F ⋅=⋅=
dt
d
P
A
B
C
D
R
ϕ
15
Pro výkon koncem čtvrté sekundy máme
kjiF ⋅+⋅+⋅== 45164)(t
kjivkji
r
v ⋅+⋅−⋅==⇒⋅+⋅−⋅== 151634)(1543 tt
dt
d
( ) W.286080484 =+−=⋅== vFtP
Mohli jsme také využít již vypočtený vztah .60203)( 2
+−= tttP
66. Těleso o hmotnosti m = 20 kg je taženo po vodorovné rovině silou F , která s touto rovinou
svírá úhel α . Během pohybu síla vzrůstá podle vztahu F = 6x, kde F je měřeno v N a x v m. Úhel
α rovněž vzrůstá a to tak, že platí cos α = 0,7 – 0,02x. Jak velkou práci vykoná síla, jestliže přesune
těleso z místa o souřadnici x = 10 m do místa o souřadnici x = 20 m?
J.350≅A
67. Jak velké práce je zapotřebí k odtažení bedny tíhy G do vzdálenosti s po vodorovné podlaze,
je-li bedna tažena za provaz, který svírá s vodorovným směrem úhel α ? Koeficient smykového
tření mezi bednou a podlahou je Tµ .
αµ
µ
tg1 T
T mgs
A
+
= .
68. Síla F = 80 N působí vodorovně na těleso o hmotnosti m = 30 kg, které leželo původně v klidu
na vodorovné dokonale hladké podložce. Najděte (okamžitý) výkon, který vyvíjí síla na konci prvé
a páté sekundy a také průměrný výkon vyvíjený silou během prvé sekundy a prvých pěti sekund.
W
3
3200
5W,
3
640
1 ==== )t(P)t(P
W.
3
1600
5W,
3
320
1 ==== )t(P)t(P
69. Jakou práci musíme vykonat, abychom posunuli těleso o hmotnosti m = 20 kg po dráze s = 6 m
vzhůru po nakloněné rovině, jejíž stoupání je α = 30o
a koeficient smykového tření Tµ = 0,1?
J.600≅A
70. Auto jede do velmi mírného kopce stálou rychlostí 1v = 5 m/s. Tu část skutečného výkonu P
motoru auta, která se využije na udržování vozidla v pohybu, označme 1P . Jede-li auto při stejné
hodnotě 1P z kopce dolů, nabude rychlosti 2v = 20 m/s. Jaké rychlosti 0v nabude při stejném
výkonu 1P , pojede-li po vodorovné rovině?
m/s.80 ≅v
71. Homogenní krychli o hraně a přemístíme do vzdálenosti s jednou tak, že ji táhneme po
podložce a podruhé tak, že ji překlápíme přes hranu. Koeficient smykového tření krychle a
16
podložky je Tµ . Tření při překlápění krychle můžeme zanedbat. Při jakém koeficientu smykového
tření Tµ jsou práce při obou způsobech přemístění stejné?
( )12
2
1
−=Tµ .
Zákony zachování
72. Hmotný bod o hmotnosti m se pohybuje bez tření po nakloněné rovině, která na konci přechází
ve válcovou plochu o poloměru R. Z jaké výšky h se musí bod pohybovat, aby udělal celou
obrátku a nespadl, když jeho počáteční rychlost je 0v ?
Řešení
Podle obrázku musí v bodě B pro hmotný bod, aby nespadl, platit podmínka (v mezním tvaru)
gRv
R
v
mmgFG S =⇒=⇒= 2
2
a bodech A a B zákon zachování mechanické energie, tj. rovnost
22
0
2
1
2
2
1
mvRmgmvmgh +=+ ,
z níž po dosazení za v2
z první rovnice po úpravě obdržíme hledané řešení
.
g
vgR
h
2
5 2
0−
=
73. Jakou nejmenší rychlostí 0v musí vjet cyklista do svislé kruhové smyčky poloměru R = 5 m,
aby smyčkou bez nehody projel? Těžiště kola a cyklisty je ve výšce 1,2 m. Tření zanedbejte.
m/s65130 ,v ≅ .
74. Dvě loďky plují proti sobě rovnoběžným směrem. Když se setkají, vymění si cestující navzájem
pytle o stejných hmotnostech m = 50 kg. Následkem toho se první loďka zastaví a druhá pluje dál
rychlostí v = 8,5 m/s. Určete rychlosti loděk 1v a 2v před výměnou pytlů, jsou-li hmotnosti loděk
s nákladem 1m = 500 kg a 2m = 1000 kg.
1v = 1 m/s, 2v = 9 m/s.
h
2R
A
B
17
75. Nehybný granát se při explozi rozdělil na dvě části o hmotnostech 1m a 2m = 4 1m . Určete
celkovou uvolněnou kinetickou energii E, víte-li, že část 1m odletěla s kinetickou energií 1E = 100 J.
E = 125 J.
76. * Jaká je tažná síla F rakety, která spálí za sekundu 10 kg paliva a produkty hoření tryskají
z rakety rychlostí u = 103
m s-1
? Jaké je počáteční zrychlení 0a rakety a jaké je její zrychlení fa
těsně před shořením veškerého paliva, je-li vlastní hmotnost rakety 0m = 50 kg a v raketě je před
zapálením motorů M = 100 kg paliva? Jakou rychlost vm dosáhne raketa těsně po shoření veškerého
paliva, je-li její počáteční rychlost nulová? Předpokládejte, že na raketu kromě tažné síly motorů
nepůsobí jiná síla.
.,v,a,,aF mf
-1322
0
4
sm1011sm200sm766N,10 ⋅==== −−
Srážky
77. Dokažte, že po dokonale pružném necentrálním rázu částice s nehybnou částicí téže hmotnosti
se částice rozletí v pravém úhlu.
Řešení
Označme hmotnost obou částic m, rychlost nalétávající částice v, rychlost této částice po srážce 1v
a rychlost původně stojící částice po srážce 2v .
Zákon zachování hybnosti má tvar
21 vvv ⋅+⋅=⋅ mmm resp. 21 vvv +=
a zákon zachování energie (pružná srážka) tvar
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
m v m v m v⋅ = ⋅ + ⋅ resp. v v v2
1
2
2
2
= +
kde jsme využili skutečnosti, že pro každý vektor je kvadrát jeho velikosti roven skalárnímu
součinu toho vektoru se sebou samým.
Do výrazu vyplývajícího ze zákona zachování energie dosadíme závislost pro v
( ) 2
2
2
1
2
2
2
1
2
21
2
2 vvvvv +=+⋅+=+= 21 vvvv
Důsledkem této rovnice je vztah 021 =⋅ vv . Buď je tedy některý z vektorů nulový nebo vektory
jsou na sebe kolmé a požadovaný důkaz je proveden.
Zjistíme, co by znamenala nulovost některého z vektorů.
18
Je-li v1 0= , pak se první částice zastavila a druhá je uvedena do pohybu rychlostí rovnou rychlosti
nalétávající částice. To je zřejmě případ centrálního rázu. Podle podmínek úlohy je ráz necentrální,
tento případ je tedy vyloučen.
Jeli v2 0= , znamená to, že druhá částice zůstala v klidu a první se prostě pohybuje dále, takže k
žádnému rázu nedošlo. I tento případ neodpovídá zadání úlohy a tvrzení je tedy dokázáno.
78. Na kouli hmotnosti 2m pohybující se rychlostí 2u narazí jiná stejně velká koule hmotnosti 1m ,
která se pohybuje rychlostí 1u ve stejném směru. Koule jsou homogenní a jejich hmotné středy se
pohybují po téže přímce. Spočítejte rychlosti 1v a 2v koulí po srážce.
2
21
21
1
21
2
22
21
2
1
21
21
1
22
uuvuuv
mm
mm
mm
m
,
mm
m
mm
mm
+
−
−
+
=
+
+
+
−
= .
Jedná se o přímou centrální srážku. Rychlosti před a po srážce budou ležet v jedné přímce.
Při rovnosti hmotností koulí si koule pouze vymění rychlosti: ., 1221 uvuv ==
79. Dva hmotné body o hmotnostech 1m = 2 g, 2m = 5 g mají před srážkou, během které se trvale
spojí, rychlosti )0010(1 ,,=v cm s-1
, )053(2 ,,=v cm s-1
. Jaká je rychlost hmotného středu soustavy
Sv ? Jaká je hybnost spojených hmotných bodů p ? Jaká je hybnost spojených hmotných bodů
v těžišťové souřadné soustavě 0p ? Jaký je poměr
k
k
E
E′
kinetické energie po srážce ke kinetické
energii před srážkou?
7200scmg)02535(scm)0
7
25
5( 0
1-1-
,
E
E
,,,,,,,
k
k
S =
′
=== ppv .
80. * Dvě koule o hmotnostech 1m a 2m se pohybují proti sobě a srazí se. Srážka je dokonale
nepružná. Před srážkou byly kinetické energie koulí v poměru 2021 =E/E . Za jaké podmínky se
budou koule po srážce pohybovat ve směru původního pohybu druhé koule?
2012 >m/m .
81. Dvě koule o hmotnostech 1m = 0,5 kg a 2m = 1 kg pohybující se proti sobě rychlostmi
1v = 5 m/s a 2v = 8 m/s se nepružně srazí. Určete, jaká část kinetické energie této soustavy
přejde na energii jiného druhu, např. tepelnou.
J51,E =∆ .
19
Matematické kyvadlo
82. Jaká je perioda kmitu matematického kyvadla na obrázku pro délku závěsu l = 1,5 m a výšku
velmi tenké překážky d = 0,54 m? Svislá překážka míří přesně do rovnovážné polohy kyvadla.
s212,T ≅ .
83. Délka závěsu matematického kyvadla je l. Je-li hmotnému bodu kyvadla v rovnovážné poloze
udělena rychlost v, jak daleko se kyvadlo vychýlí od rovnovážné polohy než se zastaví? Odpor
prostředí samozřejmě neuvažujte.
2
2
4g
v
g
l
vx −= .
84. * Vyjádřete závislost rychlosti matematického kyvadla na poloze, tj. v = v(ϕ), při jeho pohybu
vlivem tíhové síly za předpokladu, že délka závěsu je l. Určete také sílu napínající vlákno.
,glvv ϕcos22
0 += ( )ϕcos22
0 glv
l
m
Fn += .
Gravitace
85. Kulička o hmotnosti 1m leží ve vzdálenosti a od bližšího konce tenké přímé homogenní tyče
hmotnosti 2m a délky l. Střed kuličky leží na podélné ose tyče. Vypočítejte sílu, kterou se obě tělesa
přitahují.
Řešení
2
21
2
2
1
x
dx
l
mm
x
dx
l
m
m
dF χχ == ,
kde dx
l
m2
je hmotnost elementu tyče délky dx a x je vzdálenost tohoto elementu od středu
kuličky. Integrací podél celé délky tyče dostaneme sílu F
( ) ( )ala
mm
aal
l
l
mm
x
dx
l
mm
dFF
al
a
+⋅
=
⋅+
⋅=== ∫∫
+
2121
2
21
χχχ .
m2 m1
al
dx
ld
20
86. Na 45° zeměpisné šířky dopadá na zemský povrch těleso o hmotnosti m = 10 kg rychlostí
v = 100 m/s. Jaká je hodnota odstředivé a Coriolisovy síly, které na těleso působí při jeho dopadu?
.,F,F corod N1040N,2380 ==
87. Jakou vodorovnou rychlost v je třeba udělit tělesu ve výšce h = 500 km nad zemským
povrchem, aby se pohybovalo jako umělá družice Země po kruhové dráze, když zemský poloměr
má hodnotu R = 6378 km?
.,v 1
skm67 −
⋅≅
88. Těleso hmotnosti m je vrženo svisle vzhůru z povrchu Země rychlostí 13
0 ms10 −
=v . Do jaké
výšky vystoupí, nepřihlížíme-li k odporu prostředí?
Těleso vystoupí do výšky 51,4 km.
89. Vypočtěte hmotnost M Slunce, jestliže střední vzdálenost Země Slunce je m10495,1 11
⋅=r
a doba oběhu Země kolem Slunce je s101557,3 7
⋅=T .
kg.1002 30
⋅≅ ,M
90. Tenká homogenní tyč hmotnosti m a délky l leží v ose x. Najděte výraz pro gravitační potenciál
a intenzitu gravitačního pole v bodě P, který leží v ose x a má x-ovou souřadnici a, přičemž a > l/2.
2
2ln
l
a
l
a
l
m
V
−
+
−= χ , 2
2
4
1






−
=
l
a
mE χ .
91. Určete sílu, kterou na sebe působí homogenní tyč hmotnosti 0m , délky l a hmotný bod
hmotnosti m. Hmotný bod leží na ose symetrie tyče ve vzdálenosti a od tyče.
4
2
2
0
l
aa
mm
F
+
⋅
= χ .
92. * Určete intenzitu gravitačního pole v bodě P na ose tenkého prstence o hmotnosti m a
poloměru R ve vzdálenosti x od středu prstence. Ve které vzdálenosti od středu prstence dosahuje
intenzita pole maxima?
( ) 22
3
22
R
x,
Rx
xm
E max ±=
+
⋅
= χ .
93. Nechť je směrem do středu Země a dále k protinožcům vyvrtán kanál, z něhož je vyčerpán
vzduch a předpokládejme, že do tohoto kanálu pustíme kuličku. Určete, jaký pohyb bude kulička
21
vykonávat, a dále za jakou dobu t se dostane do středu Země a jakou tam bude mít rychlost v.
Zdůvodněte, jak souvisí zkoumaný pohyb kuličky s kruhovým pohybem družice kolem Země
v zanedbatelné výšce nad jejím povrchem. Hustotu Země považujte za konstantní. Poloměr Země
nechť je R = 6400 km a tíhové zrychlení na jejím povrchu je 9,8 m/s2
. Návod. Sestavte a vyřešte
pohybovou rovnici kuličky.
Kulička bude vykonávat harmonický kmitavý pohyb.
g
R
t π
2
1
= , gRv = . Číselně t = 20,8 min a v = 7,9 km/s.
Rychlost, kterou jsme takto obdrželi, je rovna I. kosmické rychlosti. Pohyb kanálem vedoucím
středem Země je totiž průmětem kruhového pohybu kolem Země, což lze snadno prokázat,
zapíšeme-li x-ovou složku pohybové rovnice pro družici.
Rotace
Momenty setrvačnosti
94. Určete moment setrvačnosti tenkého kotouče vzhledem k ose jdoucí jeho středem kolmo na
rovinu kotouče. Hmotnost kotouče je m a jeho poloměr R.
Řešení
m
R
RRrdrrJ
drrdVdmRm
dmrJ
RR
22
1
4
1
22
2a
2
22
0
43
0
2
2
==





==
⋅===
=
∫
∫
ρππρπρ
ρπρρπ
95. Určete moment setrvačnosti obdélníka o rozměrech a, b a hmotnosti m a) vzhledem k ose, která
je rovnoběžná se stranou b, leží v rovině obdélníka a prochází jeho těžištěm, b) vzhledem k ose,
která prochází hranou b.
a) 2
12
1
maJ = , b) 2
3
1
maJ = .
96. Určete moment setrvačnosti tenké tyče o hmotnosti m a délce l kolem osy, jdoucí koncem tyče.
Tyč svírá s osou otáčení úhel ϕ .
.mlJ ϕ22
sin
3
1
=
R
r
dr
22
97. Určete moment setrvačnosti přímého rotačního kužele o výšce h, poloměru základny R
a hmotnosti m kolem jeho geometrické osy.
.mRJ 2
10
3
=
98. Vypočtěte moment setrvačnosti válce o vnějším poloměru 1r a vnitřním poloměru 2r a
o hmotnosti m vzhledem k ose, která prochází středem jeho podstav.
( ).rr
m
J 2
2
2
1
2
+=
99. * Určete moment setrvačnosti koule o hmotnosti m a poloměru R, vzhledem k ose jdoucí
těžištěm koule.
.mRJ 2
5
2
=
Rotační pohyb
100. Setrvačník, jehož moment setrvačnosti je 2
kgm2=J koná n = 1800 otáček/min. Na
setrvačník působí brzdící moment daný vztahem [ ]sNm,180 2
t,M π= . a) Za jak dlouhý
čas t se setrvačník zastaví? b) Kolik otáček N vykoná setrvačník za tento čas?
Řešení
a)
s.612210
2000
030
60
060030
Hz30s30
60
1800
s602
030090
090
2
180
3
333
1
0
1
00
0
32
2
2
,t
t
,
tt,
f,f
t,dtt,dt
dt
d
t,
t,
J
M
JM
≅⋅=
=⇒=⇒=+−=
=====
+−=−=⇒=⇒=
−=
−
=⇒=⇒⋅=
−−
∫ ∫
π
π
ππω
ππω
ωπωεω
ω
ε
π
π
εεε
b)
( )
.N
,
c,ctt
,
dtt,dt
3
3
3334
43
2225
2
2450
2
245026002210
4
030
060
4
030
60030
⋅===
⋅=⋅+⋅⋅⋅−=
=++
−
=+−=⇒= ∫∫
π
π
π
ϕ
πππϕ
ππππϕωϕ
23
101. Setrvačník má moment setrvačnosti 2
mkg2000 ⋅=J a otáčí se s frekvencí f = 5 Hz. Jaký
třecí moment jej rovnoměrně zastaví za 900 s?
Nm.8697,M ≅
102. * Na rotor motoru, jehož počáteční úhlovou rychlost známe, působí brzdný moment úměrný
úhlové rychlosti. Určete koeficient úměrnosti mezi brzdícím momentem a úhlovou rychlostí, je-li
udán celkový počet otáček do zastavení. Návod. Vyjděte z pohybové rovnice.
Je-li celkový úhel otočení ϑ roven 2π násobku počtu otáček do zastavení, pak neznámý
koeficient úměrnosti k je dán vztahem ϑω0=k . Poznamenejme, že prakticky nemusíme čekat
„do nekonečna“. Například za dobu 77 kt = klesne úhlová rychlost na méně než jedno promile
původní rychlosti a úhel otočení se od limitního také liší méně než o jedno promile.
103. Na kolo otáčivé kolem pevné osy působí točivý moment Nm201 =M po dobu s101 =t . Za
tuto dobu vzroste úhlová rychlost kola z nuly na 1
s
3
10 −
= πω . Vnější otáčivý moment pak přestane
působit a kolo se zastaví třením za čas s.1002 =t Určete moment setrvačnosti kola J, moment síly
tření M2 a celkový počet otáček N vykonaných kolem.
2
mkg1,19≅J , Nm22 −=M ,
6
550
=N .
104. Přes kladku o momentu setrvačnosti J a o poloměru R je vedeno lanko se zanedbatelnou
hmotností, na jehož koncích jsou závaží o hmotnostech 1m , 2m , 21 mm > . S jakým zrychlením bude
klesat těžší závaží? Lanko po kladce neklouže!
g
R
J
mm
mm
a
dt
dv
⋅
++
−
==
221
21
. Zrychlení je tedy konstantní.
105. Dvě závaží o hmotnostech 1m a 2m jsou zavěšena na dvou dokonale ohebných, nehmotných
vláknech, která jsou navinuta na dvou vzájemně spojených kotoučích o celkovém momentu
setrvačnosti J vzhledem k ose otáčení a různých poloměrech 1r a 2r . Určete zrychlení každého ze
závaží.
gr
Jrmrm
rmrm
a,gr
Jrmrm
rmrm
a 22
22
2
11
1122
212
22
2
11
1122
1 ⋅
++
−
=⋅
++
−
= .
106. * Po nakloněné rovině se sklonem α klouže bez tření těleso o hmotnosti m a pohání přitom
přes kladku upevněnou na vrcholu nakloněné roviny homogenní válec hmotnosti m1 a poloměru R1
tak, že je s ním spojeno lanem. Určete úhlové zrychlení válce ε a tah lana F′ za pohybu. Hmotnost
kladky a lana neuvažujte. Lano v kladce neprokluzuje.
,
R)mm(
mg
11 2
sin2
+
⋅
=
α
ε
mm
mgm
F
2
sin
1
1
+
⋅
=′
α
.
24
107. * Vypočtěte zrychlení válce, valícího se po nakloněné rovině s úhlem sklonu α = 30°, je-li
jeho moment setrvačnosti 2
2
1
mRJT = .
3
g
a = .
108. * Tyč délky l je zavěšena v koncovém bodě a může se otáčet kolem vodorovné osy, kolmé
na tyč. Jakou rychlost musíme udělit dolnímu konci tyče, aby se pootočila do vodorovné polohy?
Pro moment setrvačnosti tyče vzhledem k její ose symetrie platí 2
12
1
mlJT = .
glv 3= .
109. * Vodorovný kotouč o poloměru R s momentem setrvačnosti J se volně otáčí kolem svislé
osy procházející jeho středem s konstantní úhlovou rychlostí 1ω . Na jeho okraji stojí člověk
hmotnosti m. Určete úhlovou rychlost kotouče 2ω , přejde-li člověk z jeho okraje do středu. Jak se
při tom změní kinetická energie celé soustavy?






+=−





+=
J
mR
mREE,
J
mR
kk
2
2
1
2
121
2
2 1
2
1
1 ωωω .
Kmity a vlnění
110. Vypočítejte amplitudu A a fázovou konstantu α netlumeného harmonického pohybu po
přímce, je-li doba kmitu 15,3=T s a v čase 0=t byla okamžitá výchylka 100 =x cm a rychlost
4,00 =v m/s.
Řešení
Pro okamžitou výchylku platí ( )αω += tAx cos
a pro rychlost ( )αωω +−= tAv sin .
Pro uvedené počáteční podmínky platí
αcos0 Ax = a αω sin0 Av −= .
Dosadíme-li do posledních dvou rovnic T/πω 2= , pak z nich amplitudu a fázovou konstantu
vyjádříme
2
0
2
0
2
x
Tv
A +





=
π
,
0
0
2
tg
x
Tv
π
α −= .
Po dosazení ',,A 3063m2230 °−≅= α .
25
111. * Nezatížená pružina má délku l. Když se na ní zavěsí závaží o hmotnosti m, je po ustálení
její délka l + h. Na závaží, které je v klidu, dopadne z výše h druhé závaží stejné o hmotnosti a
zůstane na něm. Určete dobu kmitu T a amplitudu A tohoto systému. Hmotnost pružiny zanedbejte.
g
h
T,hA
2
22 π== .
112. Zaveďte do obecného výrazu pro tlumený kmit, který má tvar ( )ϕω
δ
+=
−
t
t
eYy sin , tyto
počáteční podmínky – pro t = 0 je 0yy = a 0=v .
( )ϕω
δ
ω
ω
+
−
= t
t
eyy sin0
0
.
113. Ve rtuťovém U manometru je 121 g rtuti. Plocha vnitřního průřezu U trubice je
S = 0,3 cm2
. Je-li rtuť vychýlena z rovnovážného stavu, začnou hladiny kapaliny v obou
ramenech vykonávat harmonický pohyb. Vypočítejte dobu kmitu T tohoto pohybu. Kapilární
síly a tření zanedbejte. Hustota rtuti je ρ = 13,6 g/cm3
.
s770,T ≅ .
114. Hustoměru válcového tvaru o průměru d, plovoucímu v kapalině hustoty ρ, byl udělen
malý svislý impuls. Určete dobu kmitu T hustoměru o hmotnosti m. Pohyb kapaliny a tření
zanedbejte.
g
m
d
T
ρ
π4
= .
115. Dvě částice vykonávají harmonický pohyb po téže přímce se stejnou amplitudou
A = 10 cm. Kruhové frekvence těchto kmitů jsou -1
1 s20=ω , -1
2 s21=ω . V čase t = 0 obě
částice procházejí bodem x = 0 ve směru kladné osy x; jsou ve fázi. Určete, v jaké vzdálenosti
se budou nacházet částice v čase t = 0,35 s.
cm18212 ,xx ≅− .
116. Svislá pružná spirála o tuhosti k = 50 N/m je na jednom konci upevněna. Ke druhému konci
je připevněna nit, na níž visí závaží o hmotnosti m = 0,1 kg. Jakou největší počáteční výchylku Y,
směrem dolů, můžeme udělit závaží, aby při takto vzniklých kmitech byla nit stále napjatá?
cm961,Y = .
26
117. * Jaký pohyb vznikne superpozicí dvou rovnoběžných harmonických kmitů se stejnými
kruhovými frekvencemi ω a amplitudami cm11 =a , cm102 =a a fázovými konstantami
o
301 =α , o
602 =α ?
( ) cm.810cos2a 1221
2
2
2
1 ,a,aaaa ≅−++= αα
Fázová konstanta tohoto kmitu α je dána vztahem
.
aa
aa
°≅≅
+
+
= 571,54,tg,
coscos
sinsin
tg
2211
2211
αα
αα
αα
α
118. * Jaký výsledný pohyb vznikne složením dvou harmonických kmitů stejného směru?
Amplitudy kmitů jsou mm221 == aa a kruhové frekvence jsou 1ω = 99 s-1
, 2ω = 100 s-1
.
cm
2
599cos
22
cos40 





+





−=
αα
t,
t
,x . Jde o případ rázu s kruhovou frekvencí
kmitů 1
s599 −
= ,sω a frekvencí rázů 1
s
2
1 −
=
π
rf . Fázová konstanta α závisí
na fázovém posunu v čase t = 0, který nebyl udán.
119. Dvě rovinné sinusové vlny postupují stejným směrem rychlostmi 1v a 2v . Těmto vlnám
přísluší vlnové délky 1λ a 2λ . Určete vzdálenost d mezi sousedními rovinami, ve kterých kmity
vzbuzené oběma vlnami jsou ve fázi. Vyjádřete vztah pro rychlost u pohybu těchto rovin.
12
2211
21
21
λλ
λλ
λλ
λλ
−
−
=
−
=
vv
u,d .
120. Určete rychlost šíření vln 1v vznikajících na vodní hladině za lodí, pluje-li loď rychlostí 2v
a přímé okraje brázdy za touto lodí svírají úhel ϕ.
2
sin21
ϕ
vv = .
121. * Dokažte, že výraz ( )xkti
Aey ⋅−⋅
= ω
, kde k je vlnové číslo, vyhovuje vlnové rovnici
2
2
22
2
1
t
y
vx
y
∂
∂
=
∂
∂
.