Kinematika
Definice: Známe-li časový průběh polohového vektoru r(t), potom určíme vektor okamžité
rychlosti hmotného bodu časovou derivací vektoru r(t),
v=
d r
dt
.
Naopak, známe-li časový průběh vektoru rychlosti v(t), pak průběh trajektorie určíme integrací
rychlosti v(t) podle času,
r=∫vt dt .
Tabulka 1: Derivace a integrály elementárních funkcí.
Funkce Derivace Integrál
konst 0 konst x
xn
n x
n−1
x
n1
n1
1
x
−
1
x2
ln∣x∣
sin x cos x -cos x
cos c -sin x sin x
e
x
e
x
e
x
ln x 1
x
-x(1-ln|x|)
Pravidla:
Derivace součtu: (u+v)' = u' + v'
Derivace součinu: (uv)' = u' v + u v'
Derivace podílu: (u/v)' = (u' v – u v')/v2
Derivace složené funkce: (f(u(x)))' = u' df/du
Kratičký úvod do derivací a integrálů funkcí jedné proměnné
Derivace
Mějme spojitou funkci f(x). Derivací této funkce v bodě x0 nazveme funkci f'(x0) která je rovna
směrnici tg() tečny k funkci f(x) v bodě x0 (Podívejte se na obrázek 1).
Obrázek č.1
Nyní vezměme konkrétní funkci f(x)=x2
. Hledejme její derivaci v bodě x0=2. Udělejme to nejprve
numericky. Z obrázku č.1 je ihned vidět, že platí
tg=
f x1−f x0 
x1−x0
,
v našem konkrétním příkladu tedy dostaneme výraz
tg=
x1
2
−x0
2
x1−x0
=
x1
2
−22
x1−2
.
Teď budeme hodnotu x1 postupně snižovat až k hodnotě x0=2. Aby byl příklad dostatečně
ilustrativní začneme s hodnotou x1 =3 a dostaneme tabulku
x1 tg()
3 5
2.5 4.5
2.1 4.1
2.01 4.01
2.0001 4.0001
Analytická derivace funkce f(x)=x2
je f'(x)=2x a tedy v bodě x0=2 bude f'(x0)=4, jak předpovídá
naše tabulka.
Obecně takovýmto limitním procesem je definována derivace, tj.
f 'x0=lim
x x0
f x−f x0
x−x0
.
My budeme v řešení našich příkladů využívat už nalezené derivace elementárních funkcí uvedených
v tabulce 1.
Určitý integrál
Ukažme si na následujícím příkladu co myslím pod pojmem integrál. Najděme délku dráhy, kterou
urazí auto pohybující se rychlostí v(t)=3t m/s v časovém intervalu od t1=2s do okamčiku t2=3s.
Uvažujme, že počáteční dráha s0=0. Postupujme, opět, nejprve numericky. Rozdělíme si celkovou
dráhu na 6 úseků s i tak, že v každém úseku se bude auto pohybovat vždy po stejnou dobu
t= (t1-t2)/6=1/6 s rychlostí vi(t1+it), kde i je index číslující jednotlivé úseky počínaje 0.
Dostaneme následující tabulku délek jednotlivých úseků
i s i= vi(t1+it)t
0 1m
1 13/12 m
2 14/12 m
3 15/12 m
4 16/12 m
5 17/12 m
Celková dráha je pak dána součtem délek jednotlivých úseků, tj
s=s0s1s2s3s4s5=
1
12
121314151617=
29
4
m .
Pokud budeme počet úseků tímto způsobem dosteneme přecházíme, v limitním případě N ∞ ,
od součtu k integrálu
s=∫
2
3
3t dt=[3
2
t2
]2
3
=
3
2
32
−
3
2
22
=
15
2
=
30
4
m .
Náš numerický odhad je dost blízko přesné hodnotě dráhy. Matematicky má integrál význam
plochy pod křivkou, která je daná funkcí f(x) (podívejte se na obrázek č.2).
Obrázek č.2
Příklad č.1: Pohyb hmotného bodu na přímce je popsán rovnicí
st=124t−7t2 ,
kde je-li čas zadán v sekundách pak je dráha s v metrech. Určete:
a) rovnici pro jeho rychlost v(t), b) rovnici pro jeho zrychlení a(t), c) rychlost v čase t=2s, d)
zrychlení v čase t=2s.
Řešení: a) v(t)=4-14t, b) a(t)=-14, c) v(t=2s)=-24 m/s, d) a(t=2s)=-14m/s2
.
Příklad č.2: Hmotný bod se pohybuje po přímce se zrychlením
at=23t−t2
.
Zadáme-li čas v sekundách, zrychlení bude v m/s2
. Určete rovnici dráhy s(t) a rychlosti v(t), je-li na
začátku pohybu s0=1m a v0=2m/s. Dále určete, ve kterém časovém okamžiku bude zrychlení
maximální a jaká je v tomto okamžiku jeho hodnota..
Řešení:
vt=22t
3
t2 −
t3
3
,
st=12tt2

t3
2
−
t4
12
,
amax
tmax
=3/2s=17/4m/s2
.
Příklad č.3: Částice se pohybuje podél trajektorie, která je určena polohovým vektorem
r(t)=at+bt3
, kde je a=2i-j+k a b=4i+2j. Určete vektor okamžité rychlosti a zrychlení tého částice na
počátku a v čase t=1s.
Řešení: v(t)=a+3bt2
, a(t)=6bt, v(0)=2i-j+k , a(0)=0, v(1)=14i+5j+k, a(1)=24i+12j.
Příklad č. 4: Hmotný bod se pohybuje se zrychlením a(t)=2 i – 3t3
j – t2
k. Nechť je v čase t=0 jeho
poloha r0=2k a jeho počáteční rychlost rovna v0=4j. Určete vektor okamžité rychlosti a polohy v
libovolném čase t.
Řešení: rt=t2
i80−3t4
20 t j
24−t3
12
k , vt=2ti
16−3t4
4
j−
t3
3
k .
Příklad č.5: Letec upustil láhev šampaňského z koše svého balónu, který stoupá rovnoměrně
rychlostí 3m/s. Láhvi šampaňského trvá 8s než dorazí na zem. Určete výšku h1 ve které se balón
nacházel v okamžiku, kdy letec upustil láhev, výšku h2 ve které se balón nacházel v okamžiku kdy
láhev narazila na zem a její rychlost w v okmžiku její srážky se zemí.
Řešení: h1=296m, h1=320m, w=77m/s .
Příklad č. 6: Parašutista padající s konstantní rychlostí 2m/s upustí kouřící kanistrve výšce 300 m.
Určete dobu T za kterou kanystr dospěje k zemi a jeho rychlost w když do ní narazí. Určete výsku h
parašutisty v okamžiku kdy kanystr narazí do země. Určete závislost vzdálenosti ∆h mezi
kanystrem a parašutistou na čase t.
Řešení: T=7.55s, w=77.5 m/s, h=284.5m, ∆h = 5 t2
. Bereme g=10m/s2
.
Příklad č.7: Josef jede v obci rovnoměnou rychlostí 50 km/h. Ve vzdálenosti 50m od něj vstoupí
do vozovky důchodkyně Marie. Josef má ve svém autě účinné brzdy, které ve svém maximu dokáží
vyvolat zpomalení a=3 m/s2
. Jeho reakční doba od okamžiku spatření Marie je 1.2 s. Stačí Josef
zastavit před strnulou stařenkou? Jakou dráhu od spatření stařenky do úplného zastavení urazí?
Řešení: stačí, s=48.9 m < 50m.
Příklad č.8: Vlak jede rychlostí 60 km/h. Ve vzdálenosti 300m uvidí strojvůdce na přejezu
porouchaný automobil. Jak velké musí být zpomalení aby stačilo zabránit srážce a jakou dobu bude
vlak zpomalovat? Reakční doba strojvůdce je 1s.
Řešení: a=0.49m/s2
, t=33.9s.
Příklad č.9: Určete o jaký druh trajektorie se jedná, je-li její radiální průvodič dán rovnicí
rt=2sinti3cost j .
kde  je konstanta. Dále určete rychlost a zrychlení hmotného bodu pohybujícího se podél této
trajektorie v libovolném čase t.
Řešení: Trajektorií je elipsa
x2
4

y2
9
=1 , vt=2cos ti−3cost j ,
at=−2
rt .
Příklad č.10: Určete druh trajektorie, která je zadaná rovnicemi
xt=sint
yt=
1
2
3−4sin t−cos 2t
kde  je konstanta. Dále určete zrychlení tělesa pohybujícího se podél této trajektorie v libovolném
časovém okamžiku.
Řešení: Trajektorie je parabola y=(x-1)2
, zrychlení je
at=2
sin t−i21cos ttant−sint .
Příklad č. 11: Určete rovnici trajektorie, která je posána rovnicemi
x=2t , y=4t
2
, z=0 . Dále určete velikost rychlosti v tělesa pohybujícího se podél této
trajektorie v libovolném čase t.
Řešení: y=x
2
, vt=2116t2
.
Příklad č. 12: Na obrázku je znázorněn graf v-s závislosti rychlosti tělesa na ujeté dráze.
Nakreslete příslušný graf a-s závislosti zrychlení tělesa na ujeté dráze.
V části A je rychlost pohybu , vs=50−10s v části B je rychlost pohybu daná výrazem
v=10 a v části C je rychlost v=1010s−8 .
Řešení:
První část: as=−100s , druhá část: as=0 , třetí část: as=100s−7 .
Příklad č.13:Určete, jakou dráhu urazí hmotný bod pohybující se rychlostí:
a) vt=34t m/s
b) vt=4lnt m/s
c) vt=21/t m/s
d) vt=14 e2t
m/s
e) vt=22 km/h
v časovém intervalu od 2s do 4s Předpokládejte, že počáteční dráha je 0m..
Řešení: a) s=30m, b) s=4(Ln(64)-2)8.64m, c) s=4+Ln(2)4.7m, d) s=7e4
(e2
-1) = 20484.5 m, e)
s=44m.
Příklad č.14:Určete, jaká bude rychlost a zrychlení hmotného bodu pohybující se po dráze, která je
zadaná funkcí:
a) st=3t4 t2
m
b) st=4lnt1 m
c) st=23t2 m
d) st=14 e2t
m
e) st=2t km
v čase t=2s .
Řešení:a) v(t=2s)=19m/s, a(t=2s)=8m/s2
, b) v(t=2s)=2/3 m/s, a(t=2s)=-2/9m/s2
, c)
v(t=2s)=0.53m/s, a(t=2s)=-0.1 m/s2
, d) v(t=2s)=1528.75 m/s, a(t=2s)=3057.5m/s2
, e)v(t=2s)=2
m/s, a(t=2s)=0 m/s2
.
Příklad č.15: Určete jaký bude výkon motoru P , který vykonává práci W zadanou rovnicí
a) W t=4t2
33
J,
b) W t=4t2ln∣1/t∣ J,
c) W t=2t−54t1/4
J,
v čase t=2s. Jaká je jednotka výkonu? (pozn. P = dW / dt)
Řešení: a) Pt=24tt2
32
W, P(t=2s)=2.352 kW, b) Pt=22−1/t ,P(t=2s)=3W,
c) Pt=2−
5
4t43/4 W, P(t=2s)=1.67W.
Úhlové veličiny
Definice:
úhlová vzdálenost: =
l
R
úhlová rychlost: =
d
dt
úhlové zrychlení: =
d
dt
tečné zrychlení: at=R
normálové zrychlení: an=
v2
R
celkvé zrychlení: a=at an n
Příklad č.1: Automobil se pohybuje rychlostí 100 km/h po kruhové dráze o poloměru 250m. V
okamžiku t=0 začne brzdit. Po ujetí jednoho kola má rychlost 10m/s. Určete celkovou dobu, kterou
potřebuje na dosažení rychlosti 10m/s. Dále určete celkové zrychlení na začátku brždění a v
okamžiku kdy dosáhne rychlosti 10m/s.
Řešení: ac=5.6 m/s2
, t=2.4min.
Příklad č.2: Vyšetřete pohyb hmotného bodu, jehož polohový vektor r závisí na čase podle rovnice
rt=A cosbtiA sinbt j
kde je A=4m a b=/3 s-1
.
Určete
1.vektor rychlosti v, jeho velikost a směr pomocí jednotkového vektoru,
2.vektor zrychlení a, jeho velikost a dále tečné a normálové zrychlení,
3.tvar trajektorie pohybu a poloměr křivosti trajektorie R,
4.dokažte, že vektor rychlosti v a polohový vektor r jsou na sebe kolmé,
5.vektor úhlové rychlosti  a dokažte, že  je kolmé na rovinu, ve které se pohyb děje, tj. v
r.
Řešení:
1. v=
4
3
[−sin

3
t icos

3
t j] , ∣v∣=
4
3
 m/s, t=−sin

3
t icos

3
t j ,
2. a=
−4
9
2
[cos

3
t isin

3
t j] , ∣a∣=
4
9
2
m/s2
, an=
4
9
2
m/s2
, at=0 ,
3.Trajektorií je kružnice. Poloměr křivosti je tedy R=4m.
4. v⋅r=0 ,
5. v⋅=0 , r⋅=0 .
Příklad č.3: Otáčky rotoru jsou 4000 s-1
. Rotor začne zpomalovat rovnoměrně s úhlovým
zpomalením =20 s-2
. Kolik celých otáček rotor udělá než se úplně zastaví?
Řešení: N=63661 ot.
Příklad č. 4: Kulička zanedbatelných rozměrů se pohybuje po kruhové dráze o poloměru R.
Velikost její rychlosti závisí na dráze s podle vztahu v=kl2
, kde k je kladná konstanta. Určete vztah
pro úhel svíraný vektory rychlosti a zrychlení kuličky.
Řešení: tan  = l/(2R).
Příklad č.5: Hmotný bod se pohybuje po kruhové dráze o poloměru R=0.2m tak, že úhlová
souřadnice se mění s časem podle výrazu =12t4
. Jaké je tečné a normálové zrychlení
hmotného bodu v čase t=3 s.? Pro které  bude vektor celkového zrychlení svírat s radiálním
vektorem úhel =30?
Řešení: at=43.2 m/s2
, an=345.6 m/s2
, t=0.9s, =2.31rad.
Příklad č. 6: Otáčky motoru se zvýšily ze 650 s-1
na 4500 s-1
za 20 s. Jak velké je úhlové zrychlení
 , pokud se otáčky motoru zvyšovaly rovnoměrně?
Řešení: =192.5 s-2
.
Příklad č.7: Hmotný bod se pohybuje po kruhové dráze o poloměru R=0.1m tak, že se jeho úhlová
rychlost mění s časem podle výrazu =23t2
. Jaké je tečné a normálové zrychlení hmotného
bodu v čase t =1 s.? Jaký úhel  bude vektor celkového zrychlení svírat s vektorem rychlosti v čase
t=2 s? Jakou úhlovou dráhu hmotný bod urazí za tuto dobu, pokud v čase t=0 byla 0.5 rad?
Řešení: a=(0.6  + 2.5 n) m/s2
,  = 86.5, =12.5 rad.