Vektory Definice: Nechť jsou a=aX i+aY j+aZ k, b= bX i+bY j+bZ k vektory a r je reálné číslo, pak platí, že a+b= (aX +bX )i + (aY +bY )j + (aZ +bZ )k, (součet) ra = (r aX )i+(r aY )j+(r aZ)k, (násobení reálným číslem) |a|= [(aX )2 + (aY )2 + (aZ )2 ]1/2 , (velikost vektoru) a⋅ b = aX bX + aY bY + aZ bZ = |a| |b| cos() , (skalární součin) a× b=(aY bZ - aZ bY )i + ( aZ bX - aX bZ )j + ( aX bY - aY bX )k ,(vektorový součin) . Příklad č.1: Určete komponenty vektoru v, který je dán počátečním bodem A=(1,3,-1) a koncovým bodem B=(-1,-2,1). Určete komponenty vektoru w=3v . Dále určete jeho velikost w. Řešení: v=(-2, -5,2), w=(-6, -15, 6), w= 17.23. Příklad č.2: Jsou dány jednotkové vektory i=(1,0,0), j=(0,1,0) a k=(0,0,1). Určete průměty wx,wy, wz, vektoru w z předchozího příkladu do těchto jednotkových vektorů a vyjádřete jej jak součet vektorů i, j, k. Řešení: wx=-6, wy=-15, wz=6. w=-6i -15j +6k. Příklad č.3: Jsou dány vektory a=-2i + 3j -k a b=3i - j + 3k . Určete: a) c=a+b, b) d = a-b, c) e = 3a, d) e = |e|, e) g=d× e . Řešení: a) c= i + 2j + 2k, b) d= -5i + 4j - 4k, c) e = -6i + 9j – 3k, d) e = 3(14)1/2 , e) g= 24i + 9j – 21k . Příklad č.4: Dokažte, že vektory u= -i + 2j - 4k a v= 2i - 3j - 2k jsou na sebe kolmé. Řešení: Příklad č.5 : Určete plochu S čtyřúhelníku zadaného body A=(1 m ,1.5 m ,0), B=(2 m,0.5 m,0), C=(- 1m,1m,0), D=(-0.5m,-1m,0). Řešení: S = 4.125 m2 . Příklad č.6: Dokažte, že plocha rovnoběžníku daného vektory u a v je S=|u| |v| sin( ), kde úhel je úhel sevřený vektory u a v. Řešení:- Příklad č.7: Dokažte přímým výpočtem, že plocha rovnoběžníku daného vektory u a v je S=|u v|. Řešení: Ukažte, že |u× v|=|u| |v| sin( ) . Příklad č.8: Letadlo letí vůči vzduchu rychlostí 900 km/h. Vítr fouká od východu rychlostí 20 m/s. Kterým směrem musí letadlo mířit, aby si udrželo směr na Sever? Řešení: Letadlo musí letět sverovýchodním směrem pod úhlem 4.6°vůči spojnici Sever-Jih. Příklad č.9: Jsou dány vektory a=3i-2j+4k a b=2i-3j+pk určete hodnotu parametru p tak aby byly oba vektory na sebe kolmé. Řešení: p=-3 Příklad č.10: Jsou dány vektory a=-2i+j+5k a b=2i-3j+8k . Určete průmět ba vektoru b do směru vektoru a a jednotkový vektor n ve směru vektoru a. Řešení: ba=11 3 10 , n=− 2 15 i 1 30 j 5 6 k . Příklad č.11: Pavel se chystá překonat řeku. Chce se dostat do místa B přesně naproti místu A odkud vyráží. Může to provést dvěmi způsoby: a) Plavat pod takovým úhlem vůči břehu aby Pavlova výsledná rychlost mířila přímo do bodu B. b) Může plavat kolmo vůči břehu a nechat se unášet proudem do bodu X a odtud dojít do bodu B. Pavel plave vůči řece rychlostí v=2.5 km/h a chodí rychlostí u=4 km/h. Rychlost proudu řeky je w=2 km/h. Kterým z těchto způsobů překoná řeku rychleji? Řešení: ta tb = v u uw v 2 −w 2 =1.11 . Příklad č.12: Určete objem V nádoby (rovnoběžnostěnu), která je určena vektory a=4i-j+3k , b=3i-2j- 6k a c=-2i+3j+2k , kde složky vektoru jsou v jednotkách cm. Řešení: V=65cm3 . Příklad č. 13: Stojíte na lodi která míří na východ rychlostí 15 uzlů. Všimnete si druhé lodi na jihu od vás, vzdálené 6mil a pohybující se stálou rychlostí 26 uzlů. Za určitou dobu vás míjí přesně na zádi v minimální vzdálenosti 3mil. Určete tento časový okamžik a směr jejího pohybu. (1uzel=1.852 mil/h, 1mile=1852 m) Řešení: druhá loď míří téměř na sever, tminmin . Příklad č. 14:“Částice“ o hmotnosti m1=2kg pohybující se rychlostí v1=3i+2j-k km/s se dokonale nepružně srazí s jinou částicí o hmotnosti m2=3 kg a rychlosti v2=-2i+2j +4k km/s. Najděte rychlost v takto vzniklé složené částice. Řešení: v= 2 j +2 k .