Slezská univerzita v Opavě – Filosoficko-přírodovědecká fakulta Fyzikální praktikum I – Mechanika a molekulová fyzika Jméno: Ročník, obor: První, Vyučující: Datum měření: Akademický rok: Název úlohy: Pohyb po nakloněné rovině Datum odevzdání: Číslo úlohy: 2 Hodnocení: 1 Pracovní úkoly: Vyšetřete dynamiku a kinematiku pohybu po nakloněné rovině užitím vzduchové dráhy a měřícího systému ISES. Z naměřených hodnot rozhodněte, zda tření na vzduchové dráze můžeme zanedbat. Pokud ne, určete koeficient tření . 2 Teoretický úvod: V kinematice popisujeme dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu vztahem (2.1), (2.1) Derivací rovnice (2.1) získáváme vztah (2.2), který popisuje rychlost tělesa při rovnoměrně zrychleném pohybu. (2.2) Pokud analyzujeme dynamiku pohybu po nakloněné rovině (obr.1) vidíme, že při zanedbání třecí síly, urychluje těleso pouze složka gravitační síly ve směru jeho pohybu , tedy celkovou sílu F můžeme vypočítat jako (2.3) (2.3) Pokud považujeme koeficient smykového tření za nezanedbatelný, musíme výslednou sílu opravit o člen zohledňující tření, dostáváme tak (2.4) (2.4) Vyjádříme-li zrychlení z rovnic (2.1), (2.3) a (2.4) získáme vztahy (2.5) (2.5) Obr. 1 – Rozbor sil působících na těleso na nakloněné rovině V této úloze máme za úkol analyzovat takovýto pohyb a stanovit, zda je koeficient smykového tření na vzduchové dráze skutečně zanedbatelný, tedy a[1] a[2] nebo a[1] a[2] a v tom případě musíme se smykovým třením počítat a stanovit ho z rovnice pro a[3]. Pro měření jednotlivých veličin použijeme vzduchovou dráhu se dvěmi optickými závorami a dále vozíček se čtyřmi rovnoměrně rozmístěnými značkami (Obr. 2) Obr. 2 – Schéma experimentu Princip stanovení vlastností pohybu je zřejmý už z obrázku. Na vozíčku jsou umístěny 4 značky, široké 1 cm, ve vzdálenostech po 10ti cm. Při průchodu značky optickou závorou oz, bude přerušen světelný paprsek, což bude detekováno počítačem. Při použití dvou opt. závor vozíček celkem urazí dráhu 0,7 m a každých 10 cm budou detekovány hodnoty času t a Dt . Ze znalosti Dt můžeme snadno vypočítat aktuální rychlost vozíčku v čase t, dle vztahu (2.2), kde Ds je šířka značky, tedy 1 cm. Naměřené závislosti budou graficky zpracovány. 3 Použité měřící přístroje a pomůcky - Vzduchová dráha - Pravítko - PC stanice se softwarem ISES a dvěma opt. závorami 4 Postup měření 1) Nejprve skloníme vzduchovou dráhu o úhel a. Stanovíme jej z hodnot l a h. 2) Poté nastavíme optické závory do stanovených vzdáleností podle obr.2 3) Provedeme měření pomocí programu ISES, kde odečítáme hodnoty t a Dt. 4) Sestrojíme grafy závislosti dráhy na čase a rychlosti na čase. 5) Vypočteme zrychlení, určíme chybu a provedeme srovnání s teorií. /Úvod /. 5 Naměřené a vypočtené hodnoty 5.1 Určení jednotlivých úhlů náklonu Délka vzduchové dráhy je 1,5 m. Počáteční výška vzduchové dráhy nad stolem v koncových bodech je H[0] = 5,05 cm a h[0] = 4,65 cm. Považujme vzduchovou dráhu za vyváženou tak, že je kolmá k tížnici. Jednotlivé úhly a nastavíme nakloněním vzduchové dráhy dle Obr. 3 , kde rozdíly DH a Dh určíme jako H[1] – H[0] a h[1]-h[0]. Obr. 3 – Stanovení úhlu a Tedy pro jednotlivá měření máme: Dh[1]= 0,69 cm , DH[1] = 4,7 cm => a[1] = 2°03´33´´ Dh[2]= 1,05 cm , DH[2] = 7,59 cm => a[2] = 3°18´07´´ Dh[3]= 2,05 cm , DH[3] = 14,85 cm => a[3] = 6°58´02´´ 5.2 Naměřené a vypočtené hodnoty pro úhel a[1] Hodnoty v v následujících tabulkách byly vypočteny jako v = Ds/Dt , kde Ds = 1 cm. Tab. 1 Naměřené a vypočtené hodnoty a[1] s (m) t (s) Dt (s) v (m.s^-2) 0,3 1,235 0,022 0,454545 0,4 1,441 0,019 0,526316 0,5 1,623 0,016 0,625 0,6 1,785 0,014 0,714286 0,7 1,937 0,013 0,769231 0,8 2,078 0,011 0,909091 Hodnoty zrychlení a[1] získané výpočtem z rovnice (2.5) jsou uvedeny v následující tabulce Tab. 2 Vypočtené hodnoty zrychlení a[1] i a[i] (ms^-2) a[i] – a (ms^-2) (a[i] - a)^2 (m^2s^-4) 1 0,39338458 0,013621706 0,000185551 2 0,38526719 0,005504314 3,02975E-05 3 0,37963213 -0,000130748 1,70949E-08 4 0,37662124 -0,00314164 9,8699E-06 5 0,37313741 -0,006625465 4,38968E-05 6 0,37053471 -0,009228167 8,51591E-05 S 2,27857726 0 0,000354791 Průměr a 0,37976288 Hodnota zrychlení a[1] získaná kinematickým rozborem pohybu po nakloněné rovině vyšla jako: a[1] = 0,3798 0,0034 ms^-2 Hodnotu zrychlení a[2 ]vypočteme dosazením do rovnice (2.5) dostaneme: 5.3 Naměřené a vypočtené hodnoty pro úhel a[2] Tab. 3 Naměřené a vypočtené hodnoty a[2] s (m) t (s) Dt (s) v (m.s^-2) 0,3 1,03 0,016 0,625 0,4 1,189 0,015 0,666667 0,5 1,33 0,012 0,833333 0,6 1,452 0,011 0,909091 0,7 1,569 0,011 0,909091 0,8 1,679 0,009 1,111111 Tab. 4 Vypočtené hodnoty zrychlení a[1] i a[i] (ms^-2) a[i] – a (ms^-2) (a[i] - a)^2 (m^2s^-4) 1 0,56555755 -0,001477207 2,18214E-06 2 0,56588252 -0,001152233 1,32764E-06 3 0,56532308 -0,00171167 2,92981E-06 4 0,56917788 0,002143127 4,593E-06 5 0,56869859 0,001663834 2,76834E-06 6 0,5675689 0,000534148 2,85314E-07 S 3,40220851 0 1,40862E-05 Průměr a 0,56703475 Hodnota zrychlení a[1] pro úhel náklonu a[2] vychází jako a[1] = 0,5670 0,0007 ms^-2 5.4 Naměřené a vypočtené hodnoty pro úhel a[3] Tab. 5 Naměřené a vypočtené hodnoty a[3] s (m) t (s) Dt (s) v (m.s^-2) 0,3 0,729 0,012 0,833333 0,4 0,844 0,011 0,909091 0,5 0,946 0,009 1,111111 0,6 1,031 0,008 1,25 0,7 1,116 0,007 1,428571 0,8 1,195 0,007 1,428571 Tab. 6 Vypočtené hodnoty zrychlení a[1] i a[i] (ms^-2) a[i] – a (ms^-2) (a[i] - a)^2 (m^2s^-4) 1 1,12900585 0,005183942 2,68733E-05 2 1,12306552 -0,000756392 5,7213E-07 3 1,11742331 -0,006398601 4,09421E-05 4 1,12892195 0,005100033 2,60103E-05 5 1,12408628 0,000264366 6,98896E-08 6 1,12042856 -0,003393348 1,15148E-05 S 6,74293147 0 0,000105983 Průměr a 1,12382191 Hodnota zrychlení a[1] pro úhel náklonu a[3] vychází jako a[1] = 1,1238 0,0019 ms^-2 6 Grafické zpracování Na Obr. 4 je vynesena závislost uražené dráhy na čase. Po proložení naměřených hodnot metodou nejmenších čtverců vidíme, že se závislost s(t) je parabolická přesně jak ukazuje teorie (vztah (2.1)). Obr. 4 – Závislost uražené dráhy na čase Na Obr. 5 je vynesena závislost okamžité rychlosti na čase. Tato závislost byla vzhledem k očekávání teorie proložena přímkou. Přímková závislost by měla procházet počátkem, pokud by tomu tak bylo, hledané zrychlení a by bylo směrnicí této přímky. Jak je však vidět regresní přímka výrazně minula počátek souřadnic, což může být způsobeno rozdílnými okamžiky puštění vozíčku a záznamu v počítači, ze stejného důvodu jsou zřejmě i trochu posunuty regresní křivky v závislosti s(t) na Obr. 4. Další příčinou nepřesnosti může být to, že značky na vozíčku neměly všechny šířku přesně 1 cm. Obr. 5 – Závislost rychlosti na čase 7 Závěr: V této úloze jsem měl za úkol provést kinematický a dynamický rozbor pohybu tělesa po nakloněné rovině. Při zpracování jsem zjistil, že hodnoty zrychlení získané z kinematických vztahů, se od těch dynamických příliš neliší i při zanedbání vlivu tření. Dokonce pro úhly a[1] a a[2] jsou hodnoty a[2] se zanedbaným třením nižší, než kinematické hodnoty a[1], tedy při započtení vlivu tření bychom dostali ještě větší rozdíl. Z grafického zpracování je vidět, že závislost s(t) je parabolická jak předpovídá teorie a závislost v(t) je přímková. Příčiny odchylky závislosti v(t) od závislosti teoretické je rozebrány výše.