Slezská univerzita v Opavě – Filosoficko-přírodovědecká fakulta

                       Fyzikální praktikum I – Mechanika a molekulová fyzika

Jméno:


               Ročník, obor:

               První,

                            Vyučující:


                                      Datum měření:


Akademický rok:


Název úlohy:

                                     Modul pružnosti ve smyku

Datum odevzdání:


Číslo úlohy:

                        7

Hodnocení:


1       Pracovní úkoly:


Určete modul pružnosti ve smyku ocelové struny.

2       Teoretický úvod:


Při namáhání materiálu smykem se jeho jednotlivé vrstvy navzájem posouvají (smýkají po sobě).
Vzdálenost vrstev však zůstává zachována. Na obrázku 1. je znázorněna taková deformace. Tečná síla
F[t], působící v rovině horní stěny malého hranolu o hranách a,b,c, posunula tuto stěnu o
vzdálenost u.












                            Obr. 2.1 Deformace tuhého tělesa při smyku.


Zaveďme veličiny nezávislé na rozměrech zvoleného hranolku: poměrné (relativní)

 posunutí  a tečné (smykové) napětí :

                                                          ,


                                                          ,


Hookeův zákon pro smyk má potom tvar:


                                          ,  nebo ,

kde konstantu úměrnosti G nazveme modulem pružnosti ve smyku. Můžeme tedy modul pružnosti ve smyku
definovat vztahem:

                                                        .         [G] = Nm^-2  =
Pa                                    (1)


K namáhání materiálu smykem dochází např. při zkrucování tyče kruhového průřezu, která je na jednom
konci upevněna a na jejíž druhý konec působí dvojice sil kroutícím momentem M. Mezi tímto momentem
a úhlem zkroucení tyče  platí vztah



,                                                       (2)


kde r je poloměr a l délka tyče.


Použijeme-li tenkou a dlouhou tyč, je poměrné posunutí  dostatečně malé i při velkém úhlu zkroucení
. Usnadní nám to udržet namáhání materiálu v oblasti malých deformací a tedy i v mezích platnosti
Hookeova zákona. Tento požadavek snadno splníme, když místo tyče užijeme tenký dlouhý drát o
průměru d. Po dosazení r = d/2 dostává vztah tvar:



.                                                     (3)


Zavěsme na dolní konec drátu těleso o momentu setrvačnosti J a působením momentu M drát zkruťme.
Protože se pohybujeme v intervalu platnosti Hookeova zákona a tedy pod mezí pružnosti materiálu,
bude se drát po skončení působení deformujících sil vracet do původního stavu. Na těleso přitom
bude působit moment –M. Pohybová rovnice tělesa:



.


Přejde po dosazení za M z (3) na


                                                          .


To je ovšem diferenciální rovnice harmonického pohybu, pro jehož úhlovou frekvenci  platí:


.                                                               (4)


Zavěšené těleso tedy vykonává torzní kmity. Při výpočtu jsme nebrali v úvahu odpor prostředí a
ztráty v drátu, které způsobují tlumení. Jejich vliv však lze obvykle zanedbat.

Dosadíme-li  do (4), získáme po úpravě:



.                                                                (5)


Kde T je doba torzních kmitů tělesa a J jeho moment setrvačnosti.


Těleso (obr.1) vykonávající kmitavý pohyb je složeno z tyče o hmotnosti M a momentu setrvačnosti
J[T] a dvou stejných symetricky vzhledem k ose rotace umístěných přídavných těles o hmotnostech
m[V]  a momentech setrvačnosti k vlastní ose rotace procházející těžištěm  J[V]. Jelikož přídavná
závaží mají tvar dutých válců nasunutých na tyč, lze pro moment setrvačnosti J celé kmitající
sestavy napsat vztah:


                                                                               (6)


Kde                                                                                       (7)



                                                           (8)


Po dosazení :


                                                  (10)


                                               Obr.1


Vypočteme–li tedy moment setrvačnosti J tělesa podle rovnice (10), můžeme poté vypočítat i hodnotu
modulu pružnosti ve smyku ocelové struny podle rovnice (5).


Abychom se vyhnuli použití teoretického vztahu pro  a , vyloučíme je z měření následovně. Válce
umístíme postupně do vzdálenosti a1 , a2 .Odpovídající časy ,

Platí


                                              (11)


                                           (12)


Rovnice odečteme

                                           (13)


Z rovnice (5) vyjádříme J a pro dvě různé vzdálenosti a a příslušné časy T platí


                                          (14)


Porovnáním pravých stran rovnic (13) a (14) dostaneme



                                              (15)


3       Použité měřící přístroje a pomůcky


- Mikrometrické měřítko

- Pravítko

- Stolní váhy

- Posuvné měřítko

- Stopky

- Svinovací metr

4       Postup měření  - metoda A


1)      Nejprve jsem proměřil průřez drátu d mikrometrickým měřítkem a jeho délku l svinovacím
metrem.

2)      Potom jsem změřil délku tyče L pravítkem, její hmotnost M na stolních vahách a její průřez
 posuvným měřítkem.

3)      Dále jsem změřil průměr závaží , jejich výšku  a jejich hmotnost  a tím jsem měl připraveny
všechny hodnoty pro výpočet jednotlivých momentů setrvačnosti.

4)      Provedl jsem měření 10ti kmitů torzního kyvadla bez závaží, pouze s upevněnou tyčí.

5)      Provedl jsem měření 10ti kmitů torzního kyvadla se závažími vzdálenými o délku a od středu
tyče. Celkem pro tři různé délky a.

6)      Podle vztahu (10) vypočetl  J a dosadil do vztahu (5).

5       Postup měření  - metoda B


1)  Nejprve jsem proměřil průřez drátu d mikrometrickým měřítkem a jeho délku l svinovacím metrem.

      2)   Dále jsem změřil hmotnost závaží  .

3)       Provedl jsem měření 10ti kmitů torzního kyvadla se závažími vzdálenými o délku a od středu
tyče. Celkem pro tři různé délky a.

4)      Podle vztahu (15) vypočetl  G


6       Naměřené a vypočtené hodnoty