základy astronomie a astrofyziky pohyb Měsíce, zatmění Slunce a Měsíce, slapové síly, albedo 3.1 Pohyby planet a Měsíce po hvězdné obloze Již starověcí astronomové si všimli odlišného chování v pohybech planet, jejichž historické dělení bylo na planety dolní, dnes vnitřní (Merkur a Venuše), a horní -vnější (Mars, Jupiter, Saturn). Toto dělení vzniklo na základě rozdílných pohybů vzhledem ke Slunci. Obrázek 26: Východní a západní elongace, horní a dolní konjunkce pro vnitrní planety. Vnitřní planety se nacházejí vždy v temže nebo v sousedním souhvězdí jako Slunce, od kterého se mohou odchýlit o určitý maximální úhel, kterému se říká elongace. Pro planetu Merkur je elongace v rozmezí 18°-^28°, u Venuše pak 45°-j-48° v závislosti na vzájemné poloze planety, Slunce a Země. Merkur datum střed přechodu minimální vzdálenost (UT) od středu O v " 07.05.2003 07:52 708,3 08.11.2006 21:41 422,9 09.05.2016 14:57 318,5 11.11.2019 15:20 75,9 13.11.2032 08:54 572,1 07.11.2039 08:46 822,3 Venuše datum střed přechodu minimální vzdálenost (UT) od středu O v " 09.12.1874 04:07 829,9 06.12.1882 17:06 637,3 08.06.2004 08:20 626,9 06.06.2012 01:29 554,4 11.12.2117 02:48 723,6 08.12.2125 16:01 736,4 Tabulka 3: Data přechodů vnitrních, planet před slunečním kotoučem mezi lety 2000-2040 pro Merkur a 1800-2200 pro Venuši [Eli]. Elongace jsou dvojího druhu, východní, která nastává večer po západu Slunce (planeta je vzhledem ke Slunci více na východ), a západní nastávající ráno před východem Slunce (planeta je více na západ od Slunce). Pohyb planety vůči Slunci si popíšeme dle obrázku 26. Vyjdeme z bodu, kdy je planeta v největší západní elongaci. V tomto okamžiku má i největší úhlovou vzdálenost od Slunce a je pozorovatelná na západě ráno před východem Slunce. Od tohoto okamžiku se začíná přibližovat ke Slunci, vychází stále později a pohybuje se proti směru otáčení hvězdné oblohy. Tak se dostává do místa zvaného dolní konjunkce, kdy vychází ve stejný čas jako Slunce a není pozorovatelná. Po průchodu dolní konjunkcí se dostává východněji od Slunce a začíná být pomalu pozorovatelná navečer hned po západu Slunce nad západním obzorem. Období, kdy lze planetu na večerní obloze pozorovat se stále prodlužuje, až se planeta dostane do bodu své největší východní elongace, její pohyb vůči Slunci se zastaví a od tohoto okamžiku se začne opět úhlově přibližovat ke Slunci a pohybuje se ve směru otáčení hvězdné oblohy až se dostane do místa horní konjunkce, kdy je sice nejblíže Zemi, ale není viditelná. Existují ovšem výjimky, kdy můžeme vnitřní planety pozorovat i během horní konjunkce (viz tabulka 3), např. v případě přechodů před slunečním kotoučem nebo z družic zkoumající Slunce (jak horní tak dolní konjunkce). Vnější planety vykazují zcela odlišné pohyby. Většinu času se pohybují proti směru otáčení hvězdné oblohy, ale pomaleji než Slunce. Proto se úhlová vzdálenost planety od Slunce zmenšuje, až je planeta nepozorovatelná v paprscích zapadajícího Slunce. Slunce se poté dostane před planetu, tj. je východněji než planeta Obrázek 27: Znázornění vzniku retrográdního pohybu (vlevo) a skutečná pozorování planety Mars Tezelem (vpravo) fE12]. a planeta tak začne být pozorovatelná těsně před východem Slunce na ranní obloze. Uhlová vzdálenost planety a Slunce se stále zvětšuje, planeta je pozorovatelná postupně nad ránem, později po většinu noci, její pohyb po hvězdné obloze se zpomaluje, až se dostane do tzv. zastávky a začne vykonávat retrográdnípohyb (pohyb ve směru otáčení hvězdné oblohy) až do další zastávky, kdy se pohyb změní opětovně proti směru otáčení hvězdné oblohy a planetu ze západu dožene Slunce a je opět nepozorovatelná. Pohyb Měsíce po hvězdné obloze je pohybem nejkomplikovanějším. Na rozdíl od planet se Měsíc pohybuje jen v přímém směru proti otáčení oblohy a stejně jako planety se nachází pouze poblíž roviny ekliptiky. Trajektorie Měsíce kolem Země je elipsa s velkou poloosou a = 384000 km a excentricitou e = 0, 055. Rozdíl mezi vzdáleností perigea a apogea tak dní 42200 km, což se výrazně projevuje na změně úhlové velikosti Měsíce. Vzhledem k tomu, že měsíční dráha a rovina ekliptiky mají sklon cca. 5° 9', můžeme v pásu o šířce přibližně 10° 18' nalézt Měsíc. Měsíční dráha mezi hvězdami není tatáž vzhledem k tomu, že se uzly měsíční dráhy stáčí (posouvají se proti jeho oběhu, na každou otočku Měsíce je stočení uzlů o cca. 1,5 stupně) a tím pádem se Měsíc dostává do různých míst v tomto pásu (obr. 28). Skutečný pohyb Měsíce je však mnohem komplikovanější a jeho popis je svízelný. Je to dáno hlavně značnými poruchami měsíční trajektorie, kdy jsou i ty nejmenší odchylky díky malé vzdálenosti Měsíce od Zemi nápadné a rozdílností geocentrické a topocentrické polohy. Parametry měsíční dráhy se neustále mění v širokém rozmezí (např. sklon měsíční trajektorie se mění v rozmezí od 4° 58' do 5° 20'), pro jejich přesný popis je zapotřebí i několika set periodických členů. Sekulární pohyby postihují i délku výstupného uzlu a délku perigea. Uzlová přímka se pohybuje proti pohybu Měsíce, perioda stáčení (základní) je 18 let a 7 měsíců (6793 dní), přímka apsid (perigeum) se naproti tomu stáčí k východu s periodou 9 let (3232 dní). Pohyb uzlů určuje podmínky viditelnosti Měsíce, je-li výstupný uzel v blízkosti jarního bodu, pak je dráha Měsíce mezi hvězdami vně prostoru mezi rovníkem 4 * *' 1 ** ť* ť *• * :uyX-/-'.-A 2 ' \*'-*"*.'-V* \ + *V J " * i 1 '**'**. **.*"*.* ,* ekliptika Iní dclka ■*/ ' 1' f' Í* j . ' 1 1 1 .*. ■ 1 1 . 60. ' 80 100 120 11D 16D .IB* ,.V8(ŕ '2*0* * £T0 ^ * TÄO 23D 3C0 320 31 □ 2C11 360 -2 4 ••.'r':'':'*-.'- v*':"i '"Vv:.-- 2C12 >TI: ► 2C1d • 2C1E Obrázek 28: Graf polohy Měsíce vůči rovine ekliptiky v letech 2011-15, na kterém je zřetelně viditelný posun uzlů měsíční drahý proti jeho pohybu. a ekliptikou, sklon měsíční dráhy k zemskému rovníku může být až 28° 36' (23° 27' + 5° 9'), naopak, je-li poblíž jarního bodu uzel sestupný, sklon měsíční dráhy vůči rovníku je jen 18° 18' (23° 27' - 5° 9'). Z toho plynou změny deklinace Měsíce během roku v rozmezích -28° 36' až 28° 36' pro první případ a -18° 18' až 18° 18' pro případ druhý. Jak je vidět na obrázku 28, druhý případ nastane v druhé půli roku 2015. Doba, která uplyne mezi průchody Měsíce týmž uzlem, se nazývá drakonický měsíc, který je kratší než měsíc siderický (je to způsobeno pohybem uzlové přímky proti směru jeho oběhu) a to 27,212 dne (27 dní 5 hodin a 6 minut) oproti 27,321 dne měsíce siderického. Tento rozdíl činí 0,109 dne a až po 18,6 letech se uzlová přímka dostane do původní polohy. Měsíční fáze se střídají s periodou synodického měsíce 29,530 dní (29 dní 12 hodin a 44 minut). Anomalistický měsíc má periodu 27,55 dní a měsíc tropický je jen o 7 sekund kratší než měsíc siderický. 3.2 Rotace a librace Měsíce Rotace Měsíce kolem osy je vázaná s jeho oběhem kolem Země a je totožná se siderickým měsícem (27,321 dne). Rotační osa Měsíce svírá s kolmicí k rovině měsíční trajektorie uhel 6° 39' (±10'), s rovinou ekliptiky pak úhel 1° 32'. V roce 1693 formuloval Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) tři zákony o pohybu Měsíce, ze kterých vyplývá, že roviny ekliptiky, dráhy Měsíce a měsíčního rovníku se stále protínají v téže uzlové přímce (obr. 29). V daný okamžik je ze Země viditelných 50 % měsíčního povrchu, dlouhodobějšími pozorováními můžeme zmapovat až 60 % díky tzv. libracím Měsíce. Optické librace (geometrické) pak rozdělujeme na v délce, v šířce a paralaktickou. zip ihc Obrázek 29: Cassiniho zákon o pohybu Měsíce. Librace v selenografické délce souvisí s pohybem Měsíce po eliptické trajektorii. Rotace Měsíce je víceméně rovnoměrná, vlivem eliptické dráhy se však Měsíc pohybuje nerovnoměrně. Uhlová rychlost se mění jako důsledek 2. Keplerova zákona a za 1/4 měsíce průvodič po průchodu perigeem opíše větší úhel než 90°, tím se poodhalí východní část odvrácené strany, naopak po průchodu apogeem se odhalí více část západní. Perioda librací v délce souvisí s anomalistickým měsícem, amplituda librací je 7° 54!. Librace v selenografické šířce je dána sklonem rotační osy Měsíce k jeho dráze, perioda librací je úměrná délce drakonického měsíce, jejich amplituda je 6° 41'. Paralaktická (půldenní) librace souvisí v blízkosti Měsíce od Země. Pozorovateli se během jednoho dne, díky otáčení jeho vlastní polohy kolem osy rotace naší planety, naskýtají na Měsíc pohledy z různých úhlů. Maximální apmlituda paralaktické librace je cca. 1 stupeň. Skutečné „pohupování" Měsíce je dáno fyzickou librací, která souvisí s jeho elip-soidálním tvarem. Velká poloosa Měsíce se periodicky odklání od směru na Zemi, amplituda těchto změn je však nepatrná a činí kolem 2'. 3.3 Sluneční a měsíční zatmění Průběh slunečního zatmění, kdy je na zemský povrch vrhán měsíční stín (polostín), závisí na konkrétním místě na Zemi. Na obrázku 30 je znázorněno geometrické uspořádání při zatmění Slunce. Délka kužele plného stínu q je dána poměrem velikostí Měsíce r2 = 1738 km a Slunce n = 696000 km a dále vzdáleností Slunce od Země d = 149,7 x 103 km. Z podobnosti trojúhelníků pak pro délku kužele plného stínu vychází q = dr2/ri = 374000 km. Střední vzdálenost Měsíce a Země je sice 384400 km , ale vzhledem k tomu, že se vzdálenost mění v rozmezí od 363300 do 405500 km a i zemský poloměr 6378 km je nezanedbatelný, pak jsou možná i úplná zatmění Slunce. Je-li vzdálenost místa větší než q, pak nastává zatmění prstencové. plný stín polostln Obrázek 30: Geometrie zatmění Slunce (upraveno dle fE41]). I za nejlepších podmínek není velikost oblasti úplného zatmění (totality) větší než 270 km, úplná zatmění Slunce jsou na jednom místě Země vzácná. Sluneční zatmění mají shodný průběh. Měsíc ukusuje ze západního okraje Slunce (1. kontakt) a končí na východním okraji (4. kontakt). Druhý a třetí kontakt pak mají smysl u zatmění prstencového. Nejdelší úplné zatmění může trvat okolo 7 minut, délka celého úkazu (včetně částečné fáze) může trvat i kolem 2 hodin. 3.3.1 Podmínky pro sluneční a měsíční zatmění Kdyby roviny měsíční dráhy a ekliptiky byly tytéž, pak by nastávala sluneční a měsíční zatmění každý synodický měsíc. Ve skutečnosti tyto roviny spolu svírají úhel 5° 9', proto se během konjunkce (opozice) Slunce a Měsíc nacházejí nad (pod) sebou. Aby nastalo zatmění, musí být splněny následující podmínky. Měsíc musí být buď v novu (sluneční zatmění) nebo v úplňku (měsíční zatmění) a zároveň se musí nacházet v blízkosti uzlu (výstupného či sestupného) své dráhy, tj. nedaleko roviny ekliptiky. Pro okamžik začátku slunečního zatmění (1. kontakt) si můžeme dle obrázku 31 definovat měsíční ttm a sluneční 7rG paralaxu, střední úhlové poloměry Měsíce Pm a Slunce p& a geocentrickou ekliptikami šířku Měsíce 0m, pro kterou někde na Zemi proběhne aspoň částečné zatmění Slunce. Uvážíme-li, že střední hodnoty pro paralaxy Měsíce a Slunce jsou ttm = 57', 7r0 = 8,8" a velikosti jejich středních úhlových poloměrů Pm = 15,5', pG = 16, 3', pak pro geocentrickou ekliptikální šířku Měsíce dostaneme 0M = ) ) ) J J J S* C i i 4 4 4 4« www.MrE c lipse.com ■S2000 F. Espenak zatmenia zákryty • zatmění pozorovatelná z ČR • stránky věnované zatměním AT TaMX^ /iŕo^Luv/ AjZ;í>C^t, /Ata*LU4*4_ A**ttJbull— ^ ^ ...... 4» A/A&UHA. dUSf^fceSL 4Í0b#^>t^ ^u^^fiu^c ~* r jVUsfisUAjud^ %MJb*Aj+*L< %^JU^1Kfi^ - fyÓ*«,g^ these points, the surface of the seas is highest (high tide, flood). About 6 h after flood, the surface is lowest (low tide, ebb). The tide generated by the Sun is less than half of the lunar tide. When the Sun and the Moon are in the same direction with respect to the Earth (new moon) or opposite each other (full moon), the tidal effect reaches its maximum; this is called spring tide. The sea level typically varies 1 m, but in some narrow straits, the difference can be as great as 15 m. Due to the irregular shape of the oceans, the true pattern of the oceanic tide is very complicated. The solid surface of the Earth also suffers tidal effects, but the amplitude is much smaller, about 30 cm. Tides generate friction, which dissipates the rotational and orbital kinetic energy of the Earth-Moon system. This energy loss induces some changes in the system. First, the rotation of the Earth slows down until the Earth also rotates synchronously, i.e. the same side of Earth will always face the Moon. Secondly, the semi-major axis of the orbit of the Moon increases, and the Moon drifts away about 3 cm per year. * Tides Let the tide generating body, the mass of which is M to be at point Q at a distance d from the centre of the Earth. The potential V at the point A caused by the body Q is GM V(A) =-, (7.3) where 5 is the distance of the point A from the body Q. Applying the cosine law in the triangle OAQ, the distance 5 can be expressed in terms of the other sides and the angle z = A O Q s2 = d2 + r2 — 2dr cos z , where r is the distance of the point A from the centre of the Earth. We can now rewrite (7.3) GM V{A) = ^ ^ = . (7.4) When the denominator is expanded into a Taylor series i 13, (1+X)~2 1 - -X + -X1---- v 2 8 where 0 r r x = — — 2- cos z dl d and ignoring all terms higher than or equal to 1 jd6" one obtains V{A) GM GM d ' d2 GMr2 1 + - d3 2 -r cos? (3 cos2 2-1) (7.5) The gradient of the potential V( A) gives a force vector per mass unit. The first term of (7.5) vanishes, and the second term is a constant and independent of r. It represents the central motion. The third term of the force vector, however, depends on r. It is the main term of the tidal force. As one can see, it depends inversely on the third power of the distance d. The tidal forces are diminished very rapidly when the distance of a body increases. Therefore the tidal force caused by the Sun is less than half of that of the Moon in spite of much greater mass of the Sun. We may rewrite the third term of (7.5) as V2 = 2D[ cos2 z (7.6) where D 3 rl -GM— 4 d3 -2drcos z is called Doodson's tidal constant. It's value for the Moon is 2.628 m2 s"2 and for the Sun 1.208 m2 s"2. We can approximate that z is the zenith angle of the body. The zenith angle z can be expressed in terms of the hour angle h and declination 8 of the body and the latitude ). The term T expresses the diurnal tides (cos ft). It has its maximum at the latitude ±45° and is zero at the equator and at the poles (sin 2 s «=0^=0 A22tt J 0(a) sina da The normalisation constant C is AitA2 2 fs0(a)dS f£ ®(a) sin a da The quantity 5 = 2 Si j 0(a) sina da (7.27) (7.28) is the phase integral. In terms of the phase integral the normalisation constant is c = 4- 1 (7.29) — 1, and in the most extreme case, the specular reflection, p = oo. The geometric albedo of solar system bodies vary between 0.03-1. The geometric albedo of the Moon is p = 0.12 and the greatest value, p = 1.0, has been measured for the Saturnian moon Enceladus. It turns out that p can be derived from the observations, but the Bond albedo A can be determined only if the phase integral q is also known. That will be discussed in the next section. 7.8 Photometry, Polarimetry and Spectroscopy Having defined the phase function and albedos we are ready to derive a formula for planetary magnitudes. The flux density of the reflected light is CA 1 F = —0(a)—Lm. 4tt A2 We now substitute the incident flux L^R2 m 4r2 and the constant factor expressed in terms of the geometric albedo CA p 4?t 7t Thus we get it A1 4r2 The observed solar flux density at a distance of a = 1 AU from the Sun is F° = ^- (7J9) The ratio of these is F p4>(a)R2a2 "0 A2ri (7.40) If the apparent solar magnitude at a distance of 1 AU is mQ and the apparent magnitude of the planet m we have F m — m© = — 2.51g ■ -2.51g pt>(a)R2a2 A2?2 pR2 aA -2.51g *(«) a2 A2r2 R2 -2.51gi>— -2.51g <ř A2r2 (7.41) ■ 2.5 lg 0(a) R Ar -2.5lg + 5 lg — -2.5 lg 0(a) the end ... https://phvs.libretexts.or