Sbírka příkladů z astronomie
Kamila Truparová
19. září 2014
2
Obsah
1 Sférická astronomie 7
1.1 Typy souřadných systémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Astronomické souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Obzorníkové (horizontální) souřadnice . . . . . . . . . 9
1.2.2 Rovníkové (ekvatoreální) souřadnice . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Transformace mezi horizontálními a rovníkovými souřadnicemi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Ekliptikální souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Galaktické souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Horní a dolní kulminace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Paralaxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Denní paralaxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Rovníková paralaxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Roční paralaxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Refrakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Aberace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.1 Denní aberace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.2 Roční aberace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.3 Planetární aberace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.4 Sekulární aberace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.5 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7 Precese, nutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.1 Lunisolární precese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.2 Planetární precese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
4 OBSAH
1.7.3 Generální precese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7.4 Nutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7.5 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Sluneční soustava 43
2.1 Mechanika Sluneční soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1 Planety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.2 Trpasličí planetky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.3 Malá tělesa Sluneční soustavy . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Keplerovy zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 I. Keplerův zákon - zákon drah . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 II. Keplerův zákon - zákon ploch . . . . . . . . . . . . 45
2.2.3 III. Keplerův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Aspekty planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1 Konjunkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.2 Opozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.3 Elongace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.4 Kvadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.5 Zdánlivé pohyby planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.6 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Siderická a synodická oběžná doba . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Elementy dráhy planety a anomálie . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.1 Elementy dráhy planety . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.2 Anomálie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.3 Keplerova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Gravitace 67
3.1 Newtonovy zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 I. Newtonův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.2 II. Newtonův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.3 III. Newtonův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Centrální síla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Newtonův gravitační zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4 Intenzita gravitačního pole E . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 Potenciální energie Wp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
OBSAH 5
3.6 Gravitační potenciál V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7 Tíhové zrychlení g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7.1 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Zatmění 81
4.1 Zatmění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.1 Zatmění Slunce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.2 Zatmění Měsíce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.3 Perioda Saros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Dalekohledy 87
5.1 Dalekohledy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.1 Refraktory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.2 Reflektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.3 Katadioptrické dalekohledy . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Vady optických soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Základní optické vlastnosti dalekohledů . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.1 Zvětšení dalekohledu Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.2 Rozlišovací schopnost dalekohledu ψ . . . . . . . . . . 92
5.3.3 Světelnost dalekohledu A . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6 Astrofyzika 1 97
6.1 Zdánlivá hvězdná velikost, Pogsonova rovnice . . . . . . . . . . 97
6.1.1 Absolutní hvědná velikost M . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.2 Modul vzdálenosti m − M . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.3 Absorpce světla A(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 Záření absolutně černého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.1 Povrchové teploty hvězd . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.2 Solární konstanta K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.3 Zářivost Slunce L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.4 Zářivost hvězd L
L
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.5 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 OBSAH
7 Astrofyzika 2 113
7.1 Spektrální třídy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.1 Harvardská klasifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.2 Třídy svítivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.3 Hertzsprungův-Russellův diagram . . . . . . . . . . . . 117
7.1.4 Systém UBV a UBVRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.1.5 Barevný index B − V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.6 Barevný exces EB−V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.1.7 Bolometrická korekce BC . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.1.8 Poloměry hvězd R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.9 Úhlové průměry hvězd d . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.10 Hmotnosti hvězd M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1.11 Hustoty hvězd ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1.12 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8 Kinematické znaky hvězd 131
8.1 Kinematické znaky hvězd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1.1 Vlastní pohyb hvězd µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1.2 Tangenciální rychlost vt . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.1.3 Radiální rychlost vr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.1.4 Prostorová rychlost v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.1.5 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Kapitola 1
Sférická astronomie
1.1 Typy souřadných systémů
Jednou ze základních úloh při pozorování nějakého děje, např. pohybu těles,
je určení polohy tělesa v daném okamžiku. K popisu používáme vhodný
souřadný systém. Obvykle se ve fyzice používají souřadnice pravoúhlé nebo
polární. V astronomii se používají sférické souřadnice. Každá souřadná soustava
je definována základní rovinou, která prochází počátkem souřadnic a
základním směrem. Podle toho, kam položíme počátek souřadného systému,
rozlišujeme v astronomii souřadnice topocentrické (počátek souřadnic leží v
místě pozorovatele), geocentrické (počátek souřadnic leží ve středu Země),
nebo heliocentrické (počátek souřadnic leží ve středu Slunce).
Pravoúhlé souřadnice jsou dány počátkem O a rovinou ρ, ve které leží
osy x a y, na sebe kolmé, a osou z, která je kolmá na rovinu ρ. Poloha bodu
H je pak jednoznačně určena souřadnicemi x, y, z, nebo pomocí dvou úhlů
λ, ϕ a průvodičem r, jak je vidět na obr. 1.1.
Pokud u sférických souřadnic rovina ρ a osa z procházejí středem sféry,
pak počátek souřadné soustavy je střed sféry. Poloha libovolného bodu na
sféře je dána pouze úhly λ a ϕ, viz obr.1.2. Průvodič r je pro všechny body
na povrchu sféry stejný. Pokud středem koule proložíme libovolnou rovinu,
vznikne na povrchu koule tzv. hlavní kružnice. Jednou z hlavních kružnic je
i rovník, který vznikne průsečíkem základní roviny s povrchem koule. Osa z
protne kouli ve dvou protilehlých bodech, pólech. Oběma póly lze vést libovolné
množství hlavních kružnic, které kolmo protínají rovník a nazývají se
poledníky. V případě zeměpisných souřadnic je základní rovinou rovina rov-
7
8 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Obrázek 1.1: U pravoúhlých souřadnic je poloha bodu H jednoznačně zadána
třemi souřadnicemi x, y z nebo pomocí dvou úhlů λ a ϕ a průvodičem r.
Obrázek 1.2: U sférických souřadnic je poloha libovolného bodu H na sféře
dána úhly λ a ϕ. Průvodičem r je zbytečný. Pokud pro poloměr koule můžeme
uvažovat r → ∞, pak se pozorovotel nachází vždy ve středu sféry. Z tohoto
vycházejí i astronomické souřadnice.
1.2. ASTRONOMICKÉ SOUŘADNICE 9
níku a základní směr je určen průsečíkem základního poledníku s rovníkem.
Avšak při určování poloh nebeských objektů můžeme použít několik různých
souřadných systémů na kouli (které se budou lišit právě námi zvolenou základní
rovinou a základním směrem). Vybíráme vždy takové, které se nejlépe
hodí k řešení naší úlohy.
1.2 Astronomické souřadnice
1.2.1 Obzorníkové (horizontální) souřadnice
Obrázek 1.3: U obzorníkových souřadnic je základní rovinou rovina obzoru.
Poloha libovolného bodu na sféře je dána úhlovou výškou h nad obzorem
a azimutem A, který se počítá od jižního bodu J směrem na západ. Zdroj:
Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
Pro pozorovatele na Zemi se (v ideálním případě) okolní krajina jeví jak
rovina, která zdánlivě protíná oblohu na horizontu. Tato horizontální rovina
tvoří základní rovinu. Přímka vedená k ní kolmo protne oblohu ve dvou
10 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
bodech, v zenitu Z (nadhlavníku) a nadiru Nd (podnožníku). Zenitem a
nadirem můžeme vést nekonečné množství hlavních kružnic, tzv. výškových
kružnic. Jedna z nich protíná obzor v severním N a jižním bodě S a nazývá
se místní poledník - meridián. Meridián tedy určuje směr severo-jižní a
právě směr k jižnímu bodu S je zvolen za základní směr a jižní bod se stává
výchozím bodem horizontálních souřadnic.
K určení horizontálních souřadnic libovolné hvězdy H potřebujeme znát
její úhlovou výšku h nad obzorem a azimut A, viz obr.1.3. Úhlová výška h
je úhel, který svírá spojnice pozorovatel – hvězda s rovinou obzoru. Výšky
nad obzorem mají znaménko ” + ”, pod obzorem znaménko ” − ”. Hvězda
nacházející se na obzoru bude mít úhlovou výšku h = 0◦
, hvězda v zenitu
h = +90◦
a hvězda v nadiru h = −90◦
. Někdy se namísto úhlové výšky
používá tzv. zenitová vzdálenost, což je doplněk výšky do 90◦
,
z = 90◦
− h. (1.1)
Azimut A je úhel, který svírá svislá rovina procházející zenitem a hvězdou
s rovinou místního poledníku. Počítá se od jižního bodu S (A = 0◦
) záporným
směrem; tedy přes západ W (A = 90◦
), sever N (A = 180◦
) na východ
E (A = 270◦
). Průchod nebeského tělesa meridiánem se nazývá kulminace.
Podle toho, na které straně se těleso nachází, rozlišujeme kulminaci horní
(těleso se nachází nad jižním bodem, má azimut A = 0◦
a nejmenší zenitovou
vzdálenost) a kulminaci spodní (těleso se nachází nad severním bodem,
má azimut A = 180◦
a největší zenitovou vzdálenost). Příkladem horní kulminace
může být Slunce v pravé poledne. Oproti tomu příkladem spodní
kulminace bude Slunce o půlnoci. Nevýhodou těchto souřadnic je to, že se
mění jak s časem tak i s místem pozorování.
1.2.2 Rovníkové (ekvatoreální) souřadnice
Zemská rotační osa protíná nebeskou sféru v severním a jižním pólu (PS, PJ).
Oba póly leží na nebeském poledníku - meridiánu. Protože nebeská sféra má
nekonečně velký poloměr, můžeme každým pozorovacím místem vést rovnoběžku
se zemskou osou - světovou osu. Tato osa určuje polohu základní
roviny - roviny rovníku, která je ke světové ose kolmá. Průsečík roviny rovníku
s nebeskou sférou se nazývá nebeský rovník (ekvátor). Severním a jižním
pólem lze vést libovolné množství hlavních kružnic, tzv. deklinační kružnice,
např. meridián. Podle toho, jaký zvolíme základní směr, rozlišujeme dva typy
rovníkových souřadnic:
1.2. ASTRONOMICKÉ SOUŘADNICE 11
Rovníkové souřadnice I. druhu
Základní rovinou je rovina rovníku a základní směr je průsečík rovníku s meridiánem,
označený jako M. Od tohoto bodu M počítáme hodinový úhel t. Ten
je definovaný jeko úhel, který svírá deklinační kružnice proložená hvězdou s
meridiánem. Hodinový úhel je obdobou azimutu a roste ve směru denního
pohybu oblohy. Hvězdy procházející meridiánem mají t = 0◦
. Hodinový úhel
není pro daný objekt na obloze stále stejný, ale mění s tím, jak se obloha
otáčí, tedy s časem (rovnoměrně), tak i se zeměpisnou délkou pozorovacího
místa. Vyjadřuje se buď v časové míře nebo ve stupních, přičemž platí:
1h
= 15◦
1min
= 15
1s
= 15 .
a naopak:
1◦
= 4min
1 = 4s
1 = 0.06s
.
Druhou souřadnicí je deklinace δ. Ta je definována jako úhel, který svírá
spojnice pozorovatel – hvězda s rovinou rovníku, viz obr.1.4. Od nebeského
rovníku k severnímu pólu se deklinace značí kladně, sev. pól má δ = +90◦
,
směrem k jižnímu pólu záporně, jižní pól má δ = −90◦
. Někdy se namísto
deklinace používá pólová vzdálenost, což je doplněk deklinace do 90◦
.
p = 90◦
− δ. (1.2)
Deklinace je pro danou hvězdu stále stejná, nemění se ani s časem (pokud
neuvažujeme precesi zemské osy) ani s místem pozorování.
Rovníkové souřadnice II. druhu
Základní rovinou je opět rovina světového rovníku. Za základní směr se u
těchto souřadnic zvolil směr k bodu, jež leží na rovníku a sám se účastní
rovnoměrného pohybu oblohy. Je to tzv. jarní bod - bod, kde se Slunce
nachází v okamžiku jarní rovnodennosti. Slunce se během roku zdánlivě pohybuje
po obloze. Dráha, kterou urazí během roku na pozadí vzdálených
12 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Obrázek 1.4: U rovníkových souřadnic je základní rovinou rovina rovníku.
Podle zvoleného základního směru rozdělujeme rovníkové souřadnice I. a II.
druhu. U rovníkových souřadnic I. druhu je základním směrem průsečík meridiánu
M (na obrázku označen jako "poledník") s rovníkem. Od tohoto bodu
počítáme hodinový úhel t. Druhou souřadnicí je deklinace δ, která je společná
pro oba typy souřadnic. U souřadnic II. druhu je základním směrem
směr k jarnímu bodu . Od tohoto bodu se počítá rekatscenze α, která se
měří opačným směrem než hodinový úhel t. Zdroj: Široký, Široká: Základy
astronomie v příkladech.
hvězd se nazývá ekliptika a protíná nebeský rovník ve dvou bodech, v jarním
a podzimním bodě . Rovina rovníku svírá s rovinou ekliptiky úhel = 23.5◦
který se nazývá sklon ekliptiky.
Vůči jarnímu bodu se určuje rektascenze α, která je definována jako úhel,
který svírá deklinační kružnice proložená hvězdou s deklinační kružnicí procházející
jarním bodem, tzv. kolurem rovnodennosti, viz obr.1.4. Rektascenze
roste opačným směrem než azimut či hodinový úhel, měří se totiž proti směru
denního pohybu oblohy (ze západu na východ) a vyjadřuje se buď v časové
míře (od 0h
do 24h
) nebo ve stupních (od 0◦
do 360◦
).
1.2. ASTRONOMICKÉ SOUŘADNICE 13
Výhodou rovníkových souřadnic II. druhu je skutečnost, že se nemění s
místem pozorování. S časem se mění jen velmi pomalu a rovnoměrně, díky
posouvání jarního bodu po ekliptice (podrobněji v kapitole o precesi.)
1.2.3 Transformace mezi horizontálními a rovníkovými
souřadnicemi
V astronomii se tedy používá několik odlišných druhů souřadnic, k popisu
různých úloh může být výhodnější používat i různé souřadnice. Občas ale
potřebujeme přejít z jedné souřadné soustavy do druhé. K tomuto účelu se
používají převodní vztahy mezi jednotlivými souřadnými systémy. Nejčastěji
je potřeba pro daný okamžik pozorování převést rovníkové souřadnice
některé hvězdy do obzorníkových nebo naopak. Vždy k tomu potřebujeme
znát zeměpisnou šířku ϕ daného místa a místní hvězdný čas Θ (pro danou
zeměpisnou délku λ).
Výpočet rovníkových souřadnic z obzorníkových:
sin t cos δ = sin A cos h (1.3)
cos t cos δ = sin h cos ϕ + cos A cos h sin ϕ (1.4)
sin δ = sin h sin ϕ − cos ϕ cos h cos A. (1.5)
Výpočet obzorníkových souřadnic z rovníkových:
sin A cos h = sin t cos δ (1.6)
cos A cos h = cos t cos δ sin ϕ − sin δ cos ϕ (1.7)
sin h = cos t cos δ cos ϕ + sin δ sin ϕ (1.8)
t = Θ − α. (1.9)
Hvězdný čas Θ
je hodinový úhel jarního bodu. V okamžiku svrchního průchodu jarního bodu
meridiánem je 0h
0min
0s
hvězdného času. Vztah mezi hvězdným časem Θ,
rektascenzí α hvězdy a jejím hodinovým úhlem t je
Θ = α + t. (1.10)
14 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Obrázek 1.5: U ekliptikálních souřadnic je základní rovinou rovina ekkliptiky.
Poloha bodu se určuje pomocí ekliptikální šířky β a ekliptikální délky λ.
Zdroj: Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
Úhlová vzdálenost ∆ dvou hvězd na sféře
Úhlovou vzdálenost ∆ dvou hvězd na sféře, jež mají souřadnice δ1, α1 a δ2, α2,
určíme ze vztahu
∆ = sin δ1 sin δ2 + cos δ1 cos δ2 cos(α2 − α1). (1.11)
1.2.4 Ekliptikální souřadnice
Tyto souřadnice je vhodné použít při výpočtu drah těles v naší Sluneční
soustavě. Základní rovinou je rovina ekliptiky. Přímka vedená k ní kolmo
protíná nebeskou sféru ve dvou protilehlých bodech, pólech ekliptiky. Jimi
můžeme vést šířkové kružnice, podobně jako jsme nebeskými póly vedly deklinační
kružnice. Po těchto kružnicích se měří ekliptikální šířka β, kladně
k severnímu pólu ekliptiky, záporně k jižnímu (obdoba deklinace). Druhou
souřadnicí je ekliptikální délka λ, která se měří od jarního bodu ve směru
ročního zdánlivého pohybu Slunce, viz obr.1.5.
1.3. HORNÍ A DOLNÍ KULMINACE 15
Transformace mezi ekliptikálními a rovníkovými souřadnicemi
Výpočet ekliptikálních souřadnic z rovníkových:
sin λ cos β = sin δ sin + cos δ cos sin α (1.12)
cos λ cos β = cos δ cos α (1.13)
sin β = sin δ cos − cos δ sin sin α. (1.14)
Výpočet rovníkových souřadnic z ekliptikálních:
sin α cos δ = sin β sin + cos β cos sin λ (1.15)
cos α cos δ = cos β cos λ (1.16)
sin δ = sin β cos + cos β sin sin λ, (1.17)
kde je sklon ekliptiky ke světovému rovníku.
1.2.5 Galaktické souřadnice
Tyto souřadnice jsou vhodné k popisu pohybu hvězd a struktury naší Mléčné
dráhy. Základní rovinou je rovina Galaxie. Protože pás Mléčné dráhy má jisté
nepravidelnosti a není přesně ohraničený, byla rovina Galaxie stanovena mezinárodní
úmluvou, ve které byly přesně určeny souřadnice galaktických pólů.
Základním směrem je směr k předpokládanému středu Galaxie. Galaktické
souřadnice jsou galaktická délka l a galaktická šířka b.
1.3 Horní a dolní kulminace
Jak jsme se již zmínili v kapitole o obzorníkových souřadnicích, hvězda kulminuje,
pokud prochází meridiánem. Podle toho, zda je její zenitová vzdálenost
největší nebo nejmenší rozlišujeme kulminaci dolní a horní. Při horní kulminaci
se může hvězda nacházet na dvou protilehlých stranách zenitu. Pokud
má hvězda deklinaci δ větší než je zeměpisná šířka ϕ pozorovacího místa, vrcholí
mezi zenitem a světovým pólem, viz obr. 1.6.a. Její zenitová vzdálenost
je pak
z0 = δ − ϕ, (1.18)
a pokud pro hvězdu platí δ < ϕ, pak vrcholí mezi zenitem a světovým rovníkem,
viz obr. 1.6.b. a pro její zenitovou vzdálenost platí:
z0 = ϕ − δ. (1.19)
16 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Při dolní kulminaci, viz obr. 1.6.c. je zenitová vzdálenost
z1 = 180◦
− ϕ − δ. (1.20)
Pomocí zenitových vzdáleností při horní a dolní kulminaci můžeme určit
zeměpisnou šířku ϕ pozorovacího místa, viz. obr. 1.6.d.
ϕ = 90◦
−
1
2
(z0 + z1). (1.21)
(a) (b)
(c) (d)
Obrázek 1.6: Na obrázcích je znázorněna horní a dolní kulminace hvězdy: a)
v případě že se hvězda při horní kulminaci nachází mezi zenitem a pólem, b)
nebo mezi zenitem a nebeským rovníkem. Na obr. c) je znázorněna situace při
dolní kulminaci hvězdy a na obr. d) je situace kdy známe zenitové vzdálenosti
jedné hvězdy při horní i spodní kulminaci a jak pomocí nich můžeme určit
zeměpisnou šířku ϕ pozorovacího místa.
1.3. HORNÍ A DOLNÍ KULMINACE 17
1.3.1 Příklady
1. Rektascenze hvězdy je α = 14h
30min
. Určete její hodinový úhel t v
21h
14min
hvězdného času.
[Po dosazení do Θ = α + t dostaneme: t = 6h
44min
].
2. Hodinový úhel hvězdy je t = 14h
22min
. Rektascenze α = 13h
2min
.
Určete hvězdný čas v okamžiku pozorování.
[Θ = 3h
24min
]
3. Určete hvězdný čas, je-li hodinový úhel hvězdy t = 98◦
11 15 , měřeno
směrem východním! Rektascenze hvězdy je α = 21h
9min
23s
.
[Θ = 14h
36min
37, 7s
]
4. V kolik hodin hvězdného času byla hvězda s rektascenzí α = 158◦
27 00
v dolní kulminaci?
[Hvězda v dolní kulminaci má hodinový úhel t = 12h
. Proto Θ =
22h
33min
48s
].
5. Rektascenze Vegy (α Lyr) je α = 18h
34min
. Určete její hodinový úhel
v okamžiku horní kulminace jarního bodu.
[Horní kulminace jarního bodu - jarní bod se nachází na meridiánu, to
zn. že hvězdný čas je Θ = 0h
0min
0s
. Pak t = 5h
26min
. ]
6. Rektascenze hvězdy Arcturus (α Boo) je α = 14h
15min
. Určete její
hodinový úhel v okamžiku dolní kulminace jarního bodu.
[t = 21h
45min
]
7. Hvězda Capella (α Aur) má rektascenzi α = 5h
15min
41s
. Určete její
hodinový úhel t v 4h
8min
hvězdného času. Na které světové straně od
meridiánu se hvězda nachází?
[t = −1h
7min
41s
, hodinový úhel vyšel záporný, proto se hvězda nachází
na východ od meridiánu.]
8. Hvězda Sírius (α CMa) má rektascenzi α = 6h
45min
. Určete její hodinový
úhel t v okamžiku, kdy hodiny ukazují 18h
45min
a 6h
45min
hvězdného
času. Popište kde a proč se v těchto časech hvězda nachází.
[a) t = 12h
, b) t = 0h
]
18 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
9. Rektascenze Capelly (α Aur) je αC = 5h
10min
, Vegy (α Lyr) je αV =
18h
34min
. Určete hodinový úhel Capelly v okamžiku: a) horní kulminace
Vegy, b) dolní kulminace Vegy.
[a) Při horní kulminaci Vegy je její hod. úhel tV = 0h
0min
0s
, pak
Θ = αV = 18h
34min
a hod. úhel Capelly tC = 13h
24min
. b) Při dolní
kulminaci Vegy je tV = 12h
0min
0s
, pak Θ = 6h
34min
a hod. úhel Capelly
vychází tC = 1h
24min
.]
10. Rektascenze hvězdy Arcturus (α Boo) je αA = 14h
15min
, hvězdy Deneb
(α Cyg) je αD = 20h
41min
. Určete hodinový úhel Arctura v okamžiku:
a) horní kulminace Denebu, b) dolní kulminace Denebu.
[a) tA = 6h
26min
, b) tA = 18h
26min
.]
11. Určete zenitovou vzdálenost a azimut Arctura (α Boo) pro zeměpisnou
šířku ϕ = 51◦
32 00 ve 13h
34min
54s
hvězdného času. Rektascenze
Arctura je αA = 14h
11min
58s
, deklinace δA = +19◦
36 06 .
[Z rovnice pro výpočet hvězdného času (1.10) vypočteme hodinový
úhel, t = 23h
22min
56s
, převedeme na stupně t = 350◦
30 14 . Z převodních
vztahů mezi rovníkovými a obzorníkovými souřadnicemi použijeme
sin h = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos t, (1.22)
pak h = 57◦
12 24.6 a z = 32◦
47 35.4 .
Z dalšího převodního vztahu určíme
sin A =
cos δ sin t
cos h
= −0.2869. (1.23)
Tedy A = 16◦
40 33 . Protože azimut A může nabývat hodnot od 0◦
do
360◦
, není touto rovnící jeho hodnota určena jednoznačně; potřebujeme
určit ještě vztah pro cos A
cos A =
sin ϕ cos δ cos t − cos ϕ sin δ
cos h
= 0.9531. (1.24)
Jelikož sin A vyšel záporný a cos A kladný, bude azimut ležet ve čtvrtém
kvadrantu a tedy A = 343◦
19 26 . ]
12. Určete zenitovou vzdálenost a azimut Vegy (α Lyr) pro Opavu se zeměpisnou
šířkou ϕ = 49◦
57 00 ve 13h
34min
54s
hvězdného času. Rektascenze
Vegy je α = 18h
36min
56.19s
, deklinace δ = +38◦
46 58.8 .
[t = 284◦
29 25.5 , z = 52◦
46 42.07 , A = 251◦
25 10 ]
1.3. HORNÍ A DOLNÍ KULMINACE 19
13. Určete rektascenzi a deklinaci hvězdy, která má v místě se zeměpisnou
šířkou ϕ = 55◦
46 v 11h
11min
36s
hvězdného času obzorníkové souřadnice
h = 40◦
44 50 , A = 298◦
28 50 .
[Z rovnice (1.5) určíme deklinaci: δ = 19◦
39 27 .
Hodinový úhel t vypočítáme z rovnice (1.6): t = −45◦
0 4 .
Rektascenze se pak rovná α = Θ − t = 14h
11min
.]
14. V kolik hodin bude 21. června v Olomouci zenitová vzdálenost Slunce
z = 53◦
08 ? Zeměpisná šířka Olomouce ϕ = 49◦
36 , deklinace Slunce
21. června je δ = +23.5◦
.
[Dosazením do rovnice (1.8)
sin(90◦
− z) = cos t cos δ cos ϕ + sin δ sin ϕ (1.25)
určíme cos t = 0.49845 a t = 60◦
6 .
Po převodu na časovou míru t = 240min
24s
= 4h
0min
24s
.
Slunce se bude nacházet v dané zenitové vzdálenosti pokud jeho hodinový
úhel bude t = 4h
, to zn. když vzdálenost Slunce od meridiánu
bude rovna ±4h
. Protože Slunce se nachází na meridiánu ve 12 hod,
nastane tato situace v 8 a 16 hodin.]
15. V místě se zeměpisnou šířkou ϕ = 46◦
29 byla změřena zenitová vzdálenost
hvězdy Sirius při horní kulminaci z = 63◦
05 . Určete deklinaci
Síria.
[Při horní kulminaci je zenitová vzdálenost z0 = ϕ − δ. Po dosazení
obdržíme δ = −16◦
36 .]
16. Určete zeměpisnou šířku místa, v němž hvězda Capella je při dolní
kulminaci právě na obzoru. Deklinace hvězdy je δ = +45◦
54 .
[Zenitová vzdálenost hvězdy při dolní kulminaci se určí ze vztahu z1 =
180◦
− ϕ − δ. Nachazí-li se hvězda při dolní kulminaci na horizontu, je
z1 = 90◦
, pak ϕ = 44◦
06 .]
17. Určete zeměpisnou šířku místa, v němž hvězda Vega je při dolní kulminaci
právě na obzoru. Deklinace hvězdy je δ = +38◦
46 58 .
[ϕ = 51◦
13 02 .]
20 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
18. Pro kterou zeměpisnou šířku bude Vega ze souhvězdí Lyry cirkumpolární?
Její deklinace je δ = 38◦
44 .
[ϕ ≥ 90◦
− δ; ϕ ≥ 51◦
16 .]
19. Pro jakou zeměpisnou šířku bude hvězda Sheliak (β Lyr) už cirkumpolární?
Její deklinace je δ = +33◦
21 45 . Určete její zenitovou vzdálenost
při horní i dolní kulminaci pro místo se zeměpisnou šířkou ϕ = 70◦
.
Rozhodněte, zda se při horní kulminaci nachází mezi nebeským rovníkem
a zenitem nebo mezi severním nebeským pólem a zenitem.
[Hvězda bude cirkumpolární pro místa s ϕ > 56◦
38 15 . Protože ϕ > δ
kulminuje hvězda mezi zenitem a rovníkem a její zenitová vzdálenost
při horní kulminaci bude z0 = ϕ−δ = 36◦
38 15 a při dolní kulminaci
z1 = 180◦
− ϕ − δ = 76◦
38 15 .]
20. Cirkumpolární hvězda má v horní kulminaci zenitovou vzdálenost z0 =
29◦
47 , v dolní kulminaci z1 = 41◦
49 , obě měřeny k severnímu bodu.
Určete zeměpisnou šířku pozorovacího místa.
[ϕ = 90◦
− 1
2
(z0 + z1), ϕ = 54◦
12 .]
21. Hvězda Dubhe (α UMa) má v horní kulminaci zenitovou vzdálenost
z0 = 11◦
48 4 , v dolní kulminaci z1 = 68◦
17 56 , obě měřeny k severnímu
bodu! Určete zeměpisnou šířku pozorovacího místa.
[ϕ = 49◦
57 (Opava).]
22. Určete zeměpisnou šířku Prahy, jestliže výška kulminujícího Arktura
ze souhvězdí Pastýře činí v Praze h = 59◦
21 . Arktur má deklinaci
δ = +19◦
26 .
[z0 = (90◦
− h) = ϕ − δ. Odtud ϕ = 90◦
− (h − δ) = 50◦
5 .]
23. V Pardubicích byla změřena výška Capelly ze souhvězdí Vozky při horní
kulminaci h1 = 85◦
55 na jihu a při dolní kulminaci h2 = 5◦
59 na
severu. Odvoďte obecný vztah pro určení zeměpisné šířky pozorovacího
místa pomocí úhlových výšek při dolní a horní kulminaci. Vypočtěte
zeměpisnou šířku Pardubic.
[Pro horní a dolní kulminaci platí:
h1 = 90◦
− (ϕ − δ), (1.26)
h2 = ϕ + δ − 90◦
(1.27)
1.3. HORNÍ A DOLNÍ KULMINACE 21
Po odečtení h2 od h1 obdržíme pro ϕ vztah:
ϕ =
180◦
− (h1 − h2)
2
= 50◦
2 .] (1.28)
24. Pozorovatel v Norském Bergenu změřil výšku hvězdy Algol (β Per) ze
souhvězdí Persea při horní kulminaci h1 = 70◦
34 na jihu a při dolní
kulminaci h2 = 11◦
21 na severu. Vypočtěte zeměpisnou šířku Bergenu.
[ϕ = 180◦−(h1−h2)
2
= 60◦
23.5 .]
25. Jak vysoko se nachází Slunce v poledne v den letního slunovratu pro pozorovatele
na rovníku, na obratníku Raka, na severním polárním kruhu
a na severním pólu? Situaci pro každý případ načrtněte.
[Deklinace Slunce je v den letního slunovratu rovna δ = +23◦
27 .
Pro pozorovatele na rovníku: zeměpisná šířka rovníku je ϕ = 0◦
. Nebeský
rovník se tedy nachází v zenitu, viz obr.1.14.a. Slunce je od nebeského
rovníku vzdáleno +23◦
27 směrem k severnímu bodu S, proto
je jeho úhlová výška h = 90◦
−23◦
27 = 66◦
33 , ale měřeno od severního
bodu!
Pro pozorovatele na obratníku Raka je jeho zeměpisná šířka ϕ = +23◦
27 .
Rovník se nachází 66◦
33 vysoko nad jižním bodem J a Slunce se tedy v
poledne musí nacházet přímo v nadhlavníku (v zenitu), viz obr.1.14.b.
Pro pozorovatele na severním polárním kruhu je jeho zeměpisná šířka
ϕ = +66◦
33 a Slunce je v poledne 46◦
54 nad jižním bodem a o půlnoci
se dotkne horizontu v severním bodě, aniž by zapadlo, viz obr.1.14.c.
Na severním pólu se Slunce nachází po celý den ve výšce 23◦
27 nad
horizontem, viz obr.1.14.d. ]
26. Vypočtěte hvězdný čas v okamžiku východu a západu hvězdy α CMi,
jejíž souřadnice jsou α = 7h
37min
, δ = 5◦
19 , ϕ = 50◦
. Refrakci zane-
dbejte.
[Při východu a západu hvězdy je výška hvězdy h = 0◦
. Pak ze vztahu
(1.8) určíme
cos t = − tan δ tan ϕ, (1.29)
a hodinový úhel hvězdy při jejím západu je tz = 96◦
21 41 = 6h
25min
3s
a θz = 14h
2min
3s
. Východ hvězdy se bude nacházet na opačné straně
22 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
(a) (b)
(c) (d)
Obrázek 1.7: Na obrázcích jsou načrtnuty situace, kde se nachází Slunce
v poledne (popřípadě i o půlnoci) v okamžiku letního slunovratu pro různá
místa na Zemi: a) na rovníku, b) na obratníku Raka, c) na severním polárním
kruhu a d) na severním pólu.
od meridiánu, tedy tv = 360◦
− 96◦
21 41 = 17h 34min
33s
a θz =
1h
11min
33s
.]
27. V místě se zeměpisnou šířkou ϕ = 50◦
je určitá hvězda nad obzorem 16
hodin. Určete deklinaci hvězdy a azimut místa západu.
[Od jihu k západu to hvězdě trvá polovinu doby strávené nad obzorem,
tedy 8 hodin a proto hodinový úhel místa západu je t = 120◦
.
Při západu hvězdy je její úhlová výška h = 0◦
(neuvažujeme zatím
refrakci). Z rovnice (1.8) určíme deklinaci hvězdy: tan δ = −cos t cos ϕ
sin ϕ
=
0.419, δ = 22◦
44 11 .
Protože azimut A může nabývat hodnot od 0◦
do 360◦
, musíme pro jeho
1.3. HORNÍ A DOLNÍ KULMINACE 23
jednoznačné určení znát sin A i cos A, které určíme z rovnice (1.6):
sin A = sin t sin δ = 0.798, (1.30)
A = 53◦
4 19 a z rovnice (1.7):
cos A = cos t cos δ sin ϕ − cos ϕ sin δ = −0.6008. (1.31)
Protože sin A je kladný a cos A je záporný, bude azimut ležet ve druhém
kvadrantu, tedy A = 126◦
55 41 .]
28. Pozorovatel v Českých Budějovicích určil zenitovou vzdálenost světového
pólu z = 41◦
01 . Vypočtěte a) zeměpisnou šířku ϕ Českých Budějovic,
b) výšku Slunce v horní a dolní kulminaci pro dny: 21. března,
21. června a 21. prosince. Sklon ekliptiky k rovníku je = 23.5◦
.
[a) ϕ = 90◦
− z = 48◦
59 .
b) Dne 21. března se Slunce nachází na rovníku, deklinace Slunce je
δ = 0◦
. Úhlová výška Slunce při horní kulminaci je tedy h1 = 90◦
−ϕ =
41◦
01 a úhlová výška Slunce při dolní kulminaci h2 = −h1 = −41◦
01 .
Dne 21. června se Slunce nachází na obratníku Raka, deklinace Slunce
je tedy δ = . Pro úhlovou výšku Slunce při horní kulminaci pak platí:
h1 = 90◦
−ϕ+δ = 64◦
31 . Pro dolní kulminaci: ϕ+δ−h2 = 90◦
, odtud
h2 = −17◦
31 .
Dne 21. prosince se Slunce nachází na obratníku Kozoroha, deklinace
Slunce je tedy δ = − ”! Pro úhlovou výšku Slunce při horní kulminaci
platí: h1 = 90◦
− ϕ + δ = 17◦
31 . Pro dolní kulminaci ϕ + δ − h2 = 90◦
,
odtud h2 = −64◦
31 .]
29. Pozorovatel ve Finských Helsinkách určil zenitovou vzdálenost světového
pólu z = 29◦
49 . Vypočtěte a) zeměpisnou šířku ϕ Helsinek, b)
úhlovou výšku Slunce v horní a dolní kulminaci pro dny: 21. června a
21. prosince. Sklon ekliptiky k rovníku je = 23.5◦
.
[a) ϕ = 90◦
− z = 60◦
11 .
b) Dne 21. června: Úhlová výška Slunce při horní kulminaci: h1 =
53◦
19 . Při dolní kulminaci: h2 = −6◦
19 .
Dne 21. prosince: Úhlová výška Slunce při horní kulminaci: h1 = 6◦
19 !
Při dolní kulminaci: h2 = −53◦
19 !]
24 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Obrázek 1.8: Vzdálenost nedostupného bodu H můžeme určit pomocí měření
dvou úhlů α a β ze dvou míst P1 a P2. Spojnice těchto dvou bodů tvoří
základnu trojuhelníku P1, P2, H, pomocí něhož můžeme určit paralaxu π
bodu H. Paralaxa je tedy největší úhel, pod kterým je vidět základnu o délce
d.
1.4 Paralaxa
Určování vzdáleností ve vesmíru (ať už blízkém či vzdáleném) je jedním z
nejdůležitějších úkolů v astrofyzice, protože znalost vzdáleností nám umožnila
udělat si správnou představu o velikosti nejen Slunce a celé naší Sluneční
soustavy, ale ze známých vzdáleností hvězd jsme byli schopni určit strukturu
a velikost naší Galaxie a odhalit další struktury ve vzdáleném Vesmíru.
V této kapitole se budeme zabývat metodou meření vzdáleností převzatou
z pozemské triangulace. Budeme měřit úhel, nazývaný v stronomii paralaxa, o
který se nebeské těleso H na obloze posune, budeme–li jej pozorovat ze dvou
rozdílných míst P1 a P2 vzdálených od sebe o vzdálenost d, které tvoří základnu
trojúhelníku P1, P2, H. Změna zdánlivé polohy tělesa na nebeské sféře
souvisí se změnou polohy pozorovatele. Ta může být způsobena buď rotací
Země, pak se této paralaxe říká denní, nebo oběhem Země kolem Slunce, tzv.
roční paralaxa nebo pohybem celé Sluneční soustavy, tzv.sekulární paralaxa.
1.4. PARALAXA 25
Obrázek 1.9: Denní paralaxa
1.4.1 Denní paralaxa
Zavádí se jen u těles ve Sluneční soustavě. U hvězd je nulová. Je definována
jako úhel pod kterým bychom z nebeského tělesa viděli vzdálenost od středu
Země k pozorovacímu místu na povrchu Země. Pokud se pozorované těleso
nachází v zenitu, je jeho denní paralaxa nulová, pokud se nachází na obzoru,
je jeho denní paralaxa maximální a nazývá se horizontální paralaxa, viz obr.
1.9.
1.4.2 Rovníková paralaxa
Průměr Země se pro různé geografické šířky liší, největší je na rovníku. Denní
paralaxa měřená z rovníku se nazývá rovníková paralaxa a je definována jako
úhel pod kterým by z pozorovaného tělesa byl vidět rovníkový poloměr Země.
Rovníková horizontální paralaxa Slunce p je úhel, pod kterým bychom viděli
rovníkový poloměr Země ve střední vzdálenosti Země od Slunce, kolmo k
zornému paprsku, a činí p = 8.79 . Obdobně pro Měsíc existuje rovníková
horizontální paralaxa Měsíce. Její hodnota činí pM = 57 2.5 . V souvislosti s
tímto se v astronomii zavádí Astronomická jednotka (1 AU = 149.6 · 106
km)
jako střední vzdálenost Země od Slunce. Sluneční paprsek urazí tuto vzdálenost
za 499 s
.
= 8.3 min.
Obecně je rovníková paralaxa p dána vztahem
p =
RZ
r
, [rad] (1.32)
26 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
nebo v obloukových vteřinách
p = 206 264.8
RZ
r
, [ ] (1.33)
kde r je vzdálenost tělesa od Země [km] a RZ je rovníkový poloměr Země
[km].
1.4.3 Roční paralaxa
Rovníková paralaxa je měřitelná jen u těles v naší Sluneční soustavě. Už u
nám nejbližší hvěždy (kromě našeho Slunce) je rovníková paralaxa neměřitelná.
Proto při určování paralax hvězd musíme použít základnu větší než
jen rovníkový poloměr Země. K tomuto účelu se využívá oběhu Země kolem
Slunce a za základnu se bere hlavní poloosa dráhy Země kolem Slunce, (1
AU). Díky oběhu Země kolem Slunce každá hvězda na obloze zdánlivě opisuje
malou paralakční elipsu, jejíž velká poloosa je rovna právě roční paralaxe. U
hvězd ležících v rovině ekliptiky má elipsa tvar úsečky, u hvězd ležících blízko
pólu ekliptiky má tvar kružnice. Roční paralaxa π je úhel pod nímž bychom z
dané hvězdy viděli velkou poloosu oběžné dráhy Země kolem Slunce (1 AU),
jak je vidět na obr.1.10. S jejím zavedením souvisí i definice parseku. Parsek
(1 pc = 3.0857·1013
km) je definovaný jako vzdálenost, ze které bychom viděli
poloměr zemské dráhy (1 AU) pod úhlem 1 obloukové vteřiny. Nachází–li se
hvězda ve vzdálenosti 10 pc, bude její paralaxa 0.1 a poloměr zemské dráhy
uvidíme právě pod tímto úhlem.
Mezi vzdáleností r udávanou v parsecích a paralaxou π udávanou v obloukových
vteřinách platí následující vztah:
π =
1
r
. (1.34)
S rostoucí vzdáleností hvězd jejich paralaxa klesá a protože i ta našemu
Slunci nejbližší hvězda, Proxima Centauri, se nachází ve vzdálenosti větší než
1 pc, je paralaxa u všech hvězd menší než 1 .
V současné době se hodnoty paralax a vzdáleností blízkých hvězd uvádí v
katalogu HIPPARCOS (High Precision Parallax Collecting Satellite), který
byl sestaven s pomocí dat naměřených družicí Hipparcos mezi lety 1989 -
19931
.
1
Tato družice byla pojmenována po slavném starořeckém astronomovi Hipparchovi,
který žil ve 2.st. př.n.l. a sestavil první astronomický katalog hvězd, který po něm používal
i Ptolemaios a Edmond Halley.
1.4. PARALAXA 27
Obrázek 1.10: Roční paralaxa
V první tabulce jsou uvedeny paralaxy a odpovídající vzdálenosti hvězd
nejbližších našemu Slunci.
Hvězda ozn. v HIPPARCOS π [”] r [pc]
α Centauri C (Proxima) HIP 70 890 0.7723 1.295
α Centauri B HIP 71 681 0.7421 1.348
α Centauri A (Toliman) HIP 71 683 0.7421 1.348
Barnardova Šipka HIP 87 937 0.5490 1.821
Wolf 359 0.4183 2.391
HD 95735 HIP 54 035 0.3924 2.548
Sirius B (α CMa B) 0.3792 2.637
Sirius A (α CMa A) 0.3792 2.637
V 1216 Sgr HIP 92 403 0.3365 2.972
Ve druhé tabulce jsou tyto hodnoty uvedeny pro 6 nejjasnějších hvězd na
noční obloze.
28 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Hvězda ozn. v HIPPARCOS π [”] r [pc]
Sírius (α CMa) HIP 32 349 0.3792 2.63
Canopus (α Car) HIP 30 438 0.0104 95.87
Arcturus (α Boo) HIP 69 673 0.0889 11.25
α Centauri C (Proxima) HIP 70 890 0.7723 1.29
Vega (α Lyr) HIP 91 262 0.1289 7.76
Capella (α Aur) HIP 24 608 0.0773 12.87
1.4.4 Příklady
1. Určete rovníkovou paralaxu Slunce.
[ p = 206 264.8 RZ
r
= 8.8 .]
2. Určete rovníkovou paralaxu Měsíce. Vzdálenost Měsíce od Země je r =
384 400 km.
[ p = 206 264.8 RZ
r
= 57 2 .]
3. Určete rovníkovou paralaxu Slunce pro pozorovatele na Měsíci. Průměr
Měsíce je 0.27 RZ. Vzdálenost Země - Měsíc zanedbejte.
[Po dosazení: p = 2.38 .]
4. Určete rovníkovou paralaxu Marsu, nachází–li se tato planeta nejblíže
Zemi ve vzdálenosti r = 0.378 AU.
[p = 23.3 ]
5. V opozici je vzdálenost Jupitera od Země r = 6.28·108
km a jeho úhlový
průměr je 47.2 . Určtete rovníkovou paralaxu Jupitera a jeho skutečný
průměr.
[p = 2.2 , D = 1.44 · 105
km]
6. Rovníková paralaxa Neptuna je 0.29 . Určete jeho vzdálenost od Země.
[r
.
= 30 AU].
7. Rovníková paralaxa Měsíce je 57 2.7 a jeho úhlový poloměr je 15 32.6 .
Vypočtěte vzdálenost r Měsíce od Země a poloměr RM Měsíce v jednotkách
Země.
[r = 60.3 RZ, RM = 0.272 RZ]
1.4. PARALAXA 29
8. Pod jakým úhlem bychom viděli poloměr: a) zemské dráhy; b) dráhy
Pluta z hvězdy Proxima Centauri, jejíž roční paralaxa π = 0.76 ?
Poloměr dráhy Pluta je 39 AU.
[Po dosazení: a) 0.76 , b) 29.6 ]
9. Jaká je roční paralaxa Síria, který je ve vzdálenosti 8.67 l.y. od Slunce?
[π = 0.376 ]
10. Roční paralaxa Barnardovy šipky je π = 0.545 . Určete její vzdálenost
od Slunce v parsecích a ve světelných rocích.
[r = 1.83 pc = 5.97 l.y.]
11. Pod jakým úhlem bychom viděli poloměr Jupiterovy dráhy R = 5.2 AU
z hvězdy, která je ve vzdálenosti 10 pc.
[0.52 ]
12. Dvojhvězda Sirius má roční paralaxu 0.376 . Její složky jsou na obloze
vzdáleny 7.6 . Vypočítejte jejich skutečnou vzdálenost v AU za
předpokladu, že jejich spojnice jsou kolmé k zornému paprsku.
[d = 20 AU]
30 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
1.5 Refrakce
Polohu tělesa na obloze rozlišujeme na pozorovanou (tu kterou opravdu naměříme)
a skutečnou (pozorovanou polohu opravenou o jevy, které mohou
skutečnou polohu tělesa na obloze pozměnit). V následujících kapitolách si
přiblížíme jevy, které ovlivňují pozorováné polohy těles na obloze. Jedním z
nich je paralaxa, které jsme se věnovali v minulé kapitole, dalšími jevy jsou
atmosférická refrakce, aberace, precese a nutace.
Atmosférická refrakce je odchylka světelného paprsku procházejícího zemskou
atmosférou způsobená lomem světla. Paprsek přicházející z hvězdy prochází
mnoha vrstvami atmosféry než dopadne na zemský povrch. Na každém
rozhraní prochází paprsek z prostředí opticky řidšího do opticky hustšího a
dochází k lomu ke kolmici. Výsledně paprsek na Zemi dopadá pod jiným
úhlem než do atmosféry vstupuje a pozorovateli se zdá, že je hvězda výše
nad obzorem než ve skutečnosti, viz obr.1.11.b.
Rozdíl mezi skutečnou zenitovou vzdáleností z0 a pozorovanou zenitovou
vzdáleností z je úhel refrakce R, pro nějž platí:
z0 − z = R. (1.35)
Pro lom světla na rozhraní dvou prostředí platí:
n1 sin α1 = n2 sin α2. (1.36)
Pro jednotlivá rozhraní můžeme psát:
n0 sin α0 = n1 sin α1
n1 sin α1 = n2 sin α2
n2 sin α2 = n3 sin α3
...
nk sin αk = nk+1 sin αk+1 ≡ n sin α. (1.37)
Po dosazení za n0 = 1 a dále z rovnice (1.35) obdržíme:
sin(R + z) = n sin z (1.38)
Po rozepsání:
sin R cos z + sin z cos R = n sin z. (1.39)
1.5. REFRAKCE 31
(a) (b)
Obrázek 1.11: a) Lom světla. b) Vznik refrakce: Paprsek dopadající na rozhraní
dvou různých prostředí pod určitým úhlem se na rozhraní těchto dvou
prostředí láme. V případě atmosférické refrakce si můžeme atmosféru rozdělit
na pomyslné vrstvy se stále větší hustotou směrem k Zemi. Paprsek
tedy přichází z opticky řidšího do opticky hustšího prostředí a láme se ke
kolmici. Pozorovateli se pak zdá, že se hvězda nachází na obloze výše než ve
skutečnosti je.
Protože úhel R je obecně velmi malý a tudíž: cos R ≈ 1, sin R ≈ R a
R = (n − 1) tan z. (1.40)
Tento vztah platí přibližně pro zenitové vzdálenosti z < 70◦
.
Pro z < 70◦
platí přesný vztah:
R =
p
273 + t
· 0.00452◦
tan z, (1.41)
kde p je tlak v hPa, t je teplota ve ◦ C a R vychází v obloukových vteřinách.
U obzoru je refrakce kolem 35 .
Refrakce také ovlivňuje východy a západy těles. Pokud refrakci neuvažujeme,
mají nebeská tělesa při svém východu nebo západu úhlovou výšku
h = 0◦
a z převodních vztahů platí pro souřadnice v okamžiku východu či
západu tělesa tyto vztahy:
32 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
pro hodinový úhel t položením h = 0◦
v rovnici (1.8)
cos t = − tan ϕ tan δ (1.42)
a pro azimut A z rovnice (1.5)
cos A = −
sin δ
cos ϕ
. (1.43)
Refrakce zdánlivě zvyšuje výšku tělesa nad obzorem, proto v okamžiku
východu nebo západu tělesa je ve skutečnosti těleso ještě pod obzorem a
jeho skutečná výška je h = −0◦
35 . Dosazením do rovnice (1.8) obdržíme
pro hodinový úhel t:
cos t = −
sin(−0◦
35 )
cos ϕ cos δ
− tan ϕ tan δ (1.44)
a pro azimut A:
cos A = tan(−0◦
35 ) tan ϕ −
sin δ
cos ϕ
. (1.45)
Pro Slunce a Měsíc se jako okamžik východu a západu bere okamžik, kdy
se jejich horní okraj dotkne obzoru. Protože úhlový poloměr obou těles je
přibližně 16 , je skutečná výška středu těchto těles −35 − 16 = −51 .
Hodinový úhel t východu nebo západu Slunce či Měsíce určíme ze vztahu:
cos t = −
sin(−0◦
51 )
cos ϕ cos δ
− tan ϕ tan δ. (1.46)
Azimut A ze vztahu:
cos A = tan(−0◦
51 ) tan ϕ −
sin δ
cos ϕ
. (1.47)
1.5.1 Příklady
1. Výška hvězdy nad obzorem byla změřena při tlaku p = 986.6 hPa a
teplotě t = −10◦
C. Naměřená výška nad obzorem je h = 25◦
15 00 .
Jaká je skutečná výška hvězdy?
[Zenitová vzdálenost hvězdy je z = 64◦
45 . Skutečná zenitová vzdálenost
z0 = R + z = 64◦
47 10 . Úhlová výška hvězdy je h = 25◦
12 50 .]
1.5. REFRAKCE 33
2. Změřená zenitová vzdálenost hvězdy β UMi byla při horní kulminaci
z1 = 24◦
2 8 , při dolní kulminaci z2 = 53◦
51 51 . Obě měřeny k severu!
Barometrický tlak v okamžiku pozorování byl 1 000 hPa, teplota
vzduchu t = +20◦
C. Určete zeměpisnou šířku místa a deklinaci hvězdy
s ohledem na refrakci.
[Pro horní kulminaci nejdříve určíme R1 = 24.7 . Skutečná zenitová
vzdálenost hvězdy při horní kulminaci je pak z01 = R1+z1 = 24◦
2 32.7 .
Analogicky vypočítáme refrakci pro hvězdu při dolní kulminaci: R2 =
1 16 . Skutečná zenitová vzdálenost hvězdy při dolní kulminaci je pak
z02 = R2 + z2 = 53◦
53 7 .
Pro horní a dolní kulminaci platí pro zenitové vzdálenosti hvězd vztahy:
z01 = δ − ϕ
z02 = 180◦
− δ − ϕ
Sečtením obou rovnic získáme vysledný vztah pro ϕ
ϕ = 90◦
−
z01 + z02
2
= 51◦
2 10 .
Deklinace bude δ = z01 + ϕ = 74◦
59 1 . ]
3. Zenitová vzdálenost horního okraje Slunce byla změřena z = 64◦
55 33
při tlaku 1 013, 3 hPa a teplotě t = 0◦
C. Zdánlivý poloměr Slunce je
15 15 . Určete skutečnou zenitovou vzdálenost středu Slunce.
[Skutečná zenitová vzdálenost horního okraje slunečního disku:
zokr = R + z = 2 9 + 64◦
55 33 = 64◦
57 42 . Zenitová vzdálenost
středu slunečního disku: zstr = zokr + 15 15 = 65◦
12 57 . ]
4. Rovníkové souřadnice hvězdy π Scorpii jsou α = 15h
57min
, deklinace
δ = −26◦
00 . Vypočtěte hv. čas v okamžiku východu a západu této
hvězdy na zeměpisné šířce ϕ = 48◦
a) bez opravy na refrakci, b) s opravou
na refrakci. O kolik se vlivem refrakce prodlouží doba, po kterou
je hvězda nad obzorem?
[a) Pokud refrakci zanedbáváme, nachází se hvězda při svém východu
nebo západu přímo na horizontu a její úhlová výška je tedy h = 0◦
.
Ze vztahu (1.42) vypočítáme hodinový úhel západu tz = 57◦
12 8 =
3h
48min
48.5s
. Pro východ hvězdy tv = 20h
11min
11.5s
.
34 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Hvězdný čas v okamžiku západu hvězdy bude Θz = tz + α = 19h
46min
,
v okamžiku východu hvězdy Θv = tv + α = 12h
8min
.
b) Pokud uvažujeme refrakci, nachází se hvězda při svém východu nebo
západu ještě pod horizontem. Její skutečná úhlová výška je h = −0◦
35 .
Dosazením do rovnice (1.44) obdržíme hodinový úhel západu hvězdy:
tz = 58◦
21 12 = 3h
53min
25s
, východu tv = 20h
6min
35s
.
Hvězdný čas v okamžiku západu hvězdy: Θz = tz + α = 19h
50min
, v
okamžiku východu hvězdy Θv = tv + α = 12h
4min
.
S přihlédnutím na refrakci hvězda vychází o 4 minuty dřív zapadá o
4 minuty později. Doba po kterou je hvězda nad obzorem se vlivem
refrakce prodlouží o 8 minut.]
5. Vypočtěte délku dne pro datum 1. ledna na zeměpisné šířce ϕ = 50◦
a) bez opravy na refrakci, b) s opravou na refrakci. Deklinace Slunce v
tento den je δ = −23◦
6 . O kolik se prodlouží délka dne započítaním
refrakce?
[a) Bez opravy na refrakci:
Po dosazení do (1.42) obdržíme tz = 59◦
26 52 = 3h
57min
47s
a tv =
300◦
33 8 = 20h
2min
13s
. Doba strávená nad obzorem: 2t = 7h
55min
34s
.
b) S opravou na refrakci:
Hodinový úhel tedy určíme z rovnice (1.46). Po číselném dosazení: t =
61◦
5 57 = 4h
4min
23s
.
Doba strávená nad obzorem: 2t = 8h
9min
. Den se prodlouží o 14 minut.]
6. Vypočtěte délku dne a azimut východu a západu Slunce s opravou na
refrakci pro dny 1. ledna (δ = −23◦
6 ) a 21. června (δ = −23◦
30 )
pro místo se zeměpisnou šířkou ϕ = 50◦
.
[Pro den 1. ledna:
a) Délka dne opravená o refrakci vyšla v minulém příkladě 2t = 8h
9min
.
b) Azimut východu a západu opravený o refrakci určíme z rovnice
(1.47). Po číselném dosazení vyjde azimut západu Az = 53◦
35 43 a
azimut východu Av = 306◦
22 17 .
Pro den 21. června:
a) Délka dne opravená o refrakci: 2t = 16h
23min
.
1.6. ABERACE 35
b) Azimut východu a západu opravený o refrakci: Az = 129◦
38 30 a
Av = 230◦
21 30 .]
1.6 Aberace
Aberace je odchýlení světelného paprsku od původního směru podmíněné konečnou
rychlostí světla a pohybem pozorovatele. Díky aberaci jsou všechny
hvězdy na obloze posunuty ve směru pohybu Země. Okamžitý směr kam se
Země pohybuje se nazývá APEX. Společně se Zemí se pohybují i dalekohledy
na jejím povrchu, proto abychom viděli hvězdu ve středu zorného pole dalekohledu,
musíme dalekohled sklonit ve směru pohybu Země o úhel α, viz.
obr.1.12 a. Rozlišujeme čtyři druhy aberace:
1.6.1 Denní aberace
Denní aberace vzniká rotací Země kolem své osy. Země se otáčí od západu
na východ a díky tomu se vlivem denní aberace zdají být všechny hvězdy při
kulminaci posunuty od meridiánu na východ, takže hvězda kulminuje později
než ve skutečnosti. Denní aberaci určíme ze vztahu
tan α =
vR
c
cos ϕ, (1.48)
kde vR = 465 m s−1
je rychlost rotace Země na rovníku a ϕ je zeměpisná šířka
pozorovacího místa. Denní aberace je maximální na rovníku, kde dosahuje
hodnoty α = 0.32 .
1.6.2 Roční aberace
Roční aberace vzniká pohybem Země kolem Slunce. Rychlost Země na dráze
kolem Slunce je v = 30 km s−1
.
Roční aberaci určíme z obr.1.12.a.
tan α =
d
x
=
vt t
c t
. (1.49)
Využitím vt = v · sin Θ obdržíme:
tan α =
v
c
sin Θ, (1.50)
36 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
(a) (b)
Obrázek 1.12: a) Aberace: S pohybem Země je unášen i každý přístroj na
povrchu Země (např. dalekohled). Abychom měli hvězdu v zorném poli, musíme
odklonit dalekohled ve směru apexu o úhel α. b) Roční aberace: Vzniká
pohybem Země kolem Slunce. Díky ní opisují hvězdy na nebeské sféře elipsu
kolem středního místa.
kde v = 30 km s−1
a úhel Θ je vzálenost hvězdy od apexu. Maximální roční
aberaci α = 20.47 budou jevit hvězdy vzdálené od apexu 90◦
. Tato hodnota
se nazývá aberační konstanta.
Hvězdy na obloze vlivem roční aberace opisují obecně malé elipsy, viz obr.
1.12.b, s velkou poloosou rovnou vždy v
c
a malou rovnou v
c
sin Θ. Pro hvězdy
na pólu ekliptiky (Θ = 90◦
) se elipsy změní na kružnice, naopak pro hvězdy
ležící na ekliptice se elipsa změní v úsečku dlouhou 2v
c
.
1.6. ABERACE 37
1.6.3 Planetární aberace
Planetární aberace je úhel, o který se posune planeta, než od ní dorazí světlo
k nám.
1.6.4 Sekulární aberace
Sekulární aberace je způsobena pohybem Sluneční soustavy v Galaxii. Tato
aberace se nezapočítává.
1.6.5 Příklady
1. Jak velká je denní aberace pro pozorovatele na zemském rovníku? Kolikrát
je roční aberace větší než denní?
[Rychlost Země na dráze kolem Slunce je 30 km s−1
. Ze vztahu tan α = v
c
určíme roční aberaci αr = 21 . K určení denní aberace potřebujeme
znát rychlost rotace Země na rovníku, ta je vR = 465 m s−1
. Denní
aberace poté vychází αd = 0.32 . Roční aberace je 65 krát větší než
denní.]
2. Vypočtěte rychlost světla, víte-li, že roční aberace je α = 20.47 a
rychlost Země na dráze kolem Slunce v = 29.77 km s−1
.
[c = v
tan α
= 299 975 736 m s−1
.]
3. Jak velká by byla roční aberace pro pozorovatele na Venuši? Vzdálenost
Venuše od Slunce r = 0.723 AU, oběžná doba P = 0.615 roku.
[Uvažujme dráhu Venuše jako kruhovou, pak rychlost oběhu Venuše je
v = 35.134 km s−1
. Roční aberace pak vychází α = 24 .]
4. Jak velká by byla denní a roční aberace pro pozorovatele na rovníku
Jupitera? Poloměr Jupitera R = 71 400 km, doba rotace kolem osy
T = 9h
50min
; vzdálenost Jupitera od Slunce r = 778 · 106
km, oběžná
doba P = 4 333 dní.
a) denní aberace:
rychlost rotace Jupitera je v = 2πR
T
= 12.672 km s−1
a denní aberace je
α = 8.7 .]
b) roční aberace:
38 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
rychlost planety při oběhu kolem Slunce je v = 2πr
P
= 13.057 km s−1
.
Roční aberace je α = 9 .
1.7 Precese, nutace
1.7.1 Lunisolární precese
Precese je z fyzikálního pohledu krouživý pohyb osy rotujícího tělesa po plášti
dvojkužele způsobený působením dvojice vnějších sil. Astronomickou precesi
objevil již kolem roku 125 př.n.l. Hipparchos, když porovnával polohy nejjasnějších
hvězd ve zvířetníku s polohami zaznamenanými astronomy před stoletím.
Zjistil, že ekliptikální délky hvězd vesměs vyrostly a poznal, že tento
nárůst je způsoben pohybem jarního bodu. Fyzikálně se tento jev podařilo
vysvětlit až Newtonovi na základě jeho gravitačního zákona. Země není dokonalá
koule, ale rotační elipsoid, který má v oblasti rovníku přebytky hmoty
na které působí rušivé síly; gravitační síly Měsíce a Slunce, které se snaží dostat
rovník do oběžné roviny Měsíce a do ekliptiky, viz obr.1.13.a. V důsledku
toho vykonává Země precesní pohyb, tzv. lunisolární precesi, při níž zemská
osa opíše kužel jednou za 25 800 let, tzv. Platónský rok. Poloviční vrcholový
úhel je roven sklonu rovníku vůči ekliptice ( = 23.5◦
).
Vlivem precese se mění poloha světového pólu. Dnes je asi 1◦
od Polárky,
za 12 000 let se světový pól posune do blízkosti hvězdy Vegy (α Lyrae). S
pohybem zemské osy souvisí i změna polohy světového rovníku a tedy i
jeho průsečíků s ekliptikou, jarního a podzimního bodu. Ty se posouvají po
ekliptice západním směrem, tedy proti zdánlivému pohybu Slunce, rychlostí
50.377 /rok.
1.7.2 Planetární precese
Planetární precese je způsobená gravitačním působením planet a mění polohu
zemské dráhy. Tím vzniká periodická změna polohy ekliptiky na obloze! Za
předpokladu pevného rovníku by planetární precese vedla k posuvu jarního
bodu o 0.125 /rok v opačném směru než lunisolární precese.
1.7. PRECESE, NUTACE 39
(a) (b)
Obrázek 1.13: a) Precese zemské osy. Přitažlivé síly Měsíce a Slunce působí
dvojicí sil na rovníkovou výduť Země a snaží se dostat rovník do oběžné
roviny Měsíce a do ekliptiky. Osa Země vykonává precesní pohyb, při kterém
opíše kužel jednou za 25 800 let (tzv. Platónský rok). b) Nutace zemské osy
je periodické kolísání zemské osy překládající se přes precesní pohyb. Díky
nutaci neopisuje zemská osa hladký povrch kuželu, ale nutace společně s
precesí způsobuje „vlnivý“ pohyb zemské osy kolem pólu ekliptiky. Zdroj:
http://planety.astro.cz/zeme/1939-pohyby-zeme.
1.7.3 Generální precese
Souhrné působení lunisolární a planetární precese se nazývá generální precese
a posouvá jarní bod o 50.246 /rok oproti zdánlivému pohybu Slunce. Za rok
tedy Slunce neopíše plných 360◦
, ale 359◦
59 754 . Proto je tropický rok (doba
mezi po sobě následujícími průchody Slunce jarním bodem) o něco kratší než
siderický rok (plných 360◦
).
1.7.4 Nutace
Z astronomického hlediska je nutace malé, téměř periodické kolísání rotační
osy Země překládající se přes precesní pohyb. Je vyvoláno gravitačním působením
Měsíce. Jeho rovina dráhy není totožná s rovinou ekliptiky, ale skloněná
k ní o úhel 5.1◦
, a proto se neustále mění velikost a směr jeho gravitační
40 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
síly. Průsečnice těchto dvou rovin, tzv. uzlová přímka, se otáčí s periodou 18.6
roku. Ve výsledku světový pól opisuje kolem střední polohy dané precesí navíc
nutační elipsu s velkou poloosou a = 9.2 a malou b = 6.9 , viz obr.1.13.b.
1.7.5 Příklady
1. Za jak dlouho opíše v důsledku precese svět. pól úhel 5◦
? Jak dlouhý
je Platónský rok?
[Každý rok se jarní bod posune o 50.246 . Úhel 5◦
opíše za 5◦
50.246
= 358
roků. Platónský rok je dlouhý 360◦
50.246
= 25 800 roků.]
2. V nynější době je bod letního slunovratu v souhvězdí Blíženců. Kdy
byl v tomto souhvězdí jarní bod?
[Vzdálenost jarního bodu od bodu letního slunovratu je přibližně 90◦
.
Jarní bod tuto vzdálenost urazí za 90◦
50.246
= 6 448 roků, to zn. přibližně
kolem roku 4 500 př. n. l.]
3. Délka siderického roku je přibližně 365.256 dní. Určete délku tropického
roku, víte-li, že se jarní bod posouvá po ekliptice v důsledku precese o
50.246 za rok vstříc Slunci.
[Tropický rok je doba za kterou se Slunce bude opět nacházet v jarním
bodě. Slunce se za 1 den posune o úhel 360◦
365.256
= 3 548 . Jarní bod se za
rok posune o 50.246 v opačném směru než se pohybuje Slunce, takže
tropický rok bude kratší než siderický o dobu
∆t =
50.246
3 548
= 0.014 dne. (1.51)
Délka tropického roku bude 365.256 − 0.014 = 365.242 dne. ]
4. Regulus, nejjasnější hvězda v souhvězdí Lva, byla kdysi jednou ze 4
královských hvězd, které rozdělovaly rok na 4 roční období. Regulus
označoval bod letního slunovratu. Před jakou dobou to bylo, když v současnosti
bod letního slunovratu leží v souhvězdí Blíženců a má ekliptikální
souřadnice: λ = 90◦
, β = 0◦
. Souřadnice Regula jsou α = 10h
8min
,
δ = +11◦
58 .
[Pomocí převodních vztahů mezi ekliptikálními a rovníkovými souřadnicemi
určíme rovníkové souřadnice bodu, ve kterém se Slunce nachází
1.7. PRECESE, NUTACE 41
v okamžiku letního slunovratu: α = 90◦
= 6h
, δ = +23◦
30 . Nyní
můžeme určit úhlovou vzdálenost Regula a bodu letního slunovratu ze
vztahu (1.11). Po číselném vyjádření je ∆ = 59.74◦
. Jarní bod se za 1
rok posune o 50.246 . Regulus označoval bod letního slunovratu před
přibližně 4 300 lety.]
5. Souhvězdí Raka bylo kdysi nejsevernějším souhvězdím zvířetníku. Nacházelo
se v něm Slunce v okamžiku letního slunovratu. Proto se také
nejsevernější rovnoběžka na Zemi, kde je Slunce jednou do roka v nadhlavníku
(zenitu) nazývá obratník Raka. Kdy tomu tak bylo? Souřadnice
bodu v souhvězdí Raka, v němž se Slunce nacházelo v okamžiku
letního slunovratu, jsou α = 8h
7min
, δ = +20◦
14 . V současnosti má
bod letního slunovratu souřadnice: α = 90◦
= 6h
, δ = +23◦
30 .
[Úhlová vzdálenost obou bodů je: ∆
.
= 30◦
. Jarní bod se zde nacházel
před přibližně 2 100 lety.]
6. V souhvězdí Panny dnes leží bod podzimní rovnodennosti. Odhadněte,
bez použití kalkulátoru, kdy se v tomto souhvězdí nacházel bod letního
slunovratu, který se dnes nachází v souhvězdí Blíženců.
[Bod podzimní rovnodennosti je od bodu letního slunovratu vzdálen o
90◦
, tedy o čtvrtinu doby, kterou potřebuje jarní bod k vykonání celého
oběhu (o čtvrtinu Platónského roku), což je 6 450 let.]
42 KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
(a) (b)
(c) (d)
Obrázek 1.14: Na obrázcích jsou načrtnuty situace, kde se nachází Slunce
v poledne (popřípadě i o půlnoci) v okamžiku letního slunovratu pro různá
místa na Zemi: a) na rovníku, b) na obratníku Raka, c) naseverním polárním
kruhu a d) na severním pólu.
Kapitola 2
Sluneční soustava
2.1 Mechanika Sluneční soustavy
Sluneční soustava je jednou z částí naší Galaxie. Slunce obíhá kolem centra
Galaxie ve vzdálenosti 25 000−28 000 l.y. a jeden oběh vykoná za 226 miliónů
let. Samotné Slunce tvoří více než 99.866% hmotnosti celé sluneční soustavy.
Svou hmotností tedy značně převyšuje ostatní objekty Sluneční soustavy a
jeho gravitace ovlivňuje celou Sluneční soustavu.1
Zbylých 0.133% připadá
na planety a jiná tělesa. Naše Sluneční soustava je tvořena 8 planetami, několika
trpasličími planetkami, desítkami měsíců a satelitů, milióny asteroidů
a Trans-Neptunických těles a miliardami komet a meteoroidů. Hranice mezi
jednotlivými typy těles nejsou zcela zřetelné. Neustálé objevování stále nových
objektů Sluneční soustavy vedlo k tomu, že v roce 2006 Mezinárodní
Astronomická Unie (IAU) definovala tři kategorie těles: planety, trpasličí planetky
a malá tělesa Sluneční soustavy.
2.1.1 Planety
K zařazení tělesa do kategorie planet musí splňovat tři podmínky: a) musí
obíhat okolo Slunce, b) musí mít dostatečnou hmotnost na to aby dosáhlo
přibližně kulového tvaru (tvar odpovídající hydrostatické rovnováze), c) musí
vyčistit okolí své dráhy. Od roku 2006 má naše Sluneční soustava jen 8 planet.
1
Ačkoliv je správné podle pravidel českého jazyka psát "sluneční soustava", popř.
"slunce", dovolte mi zde tyto pravidla porušit a psát velké "S", myslím že si to naše
Sluneční soustava i Slunce zaslouží.
43
44 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
První čtyři: Merkur, Venuše, Země, Mars se nazývají terestrické planety, mají
pevný povrch a velmi podobné rozměry, od 5 000 do 12 000 km a hustotu
od 4 000 do 5 000 kg m−3
. Další planety: Jupiter, Saturn, Uran a Neptun se
nazývají plynnými obry. Jejich hustota je od 1 000 do 2 000 kg m−3
a rozměry
jsou o řád větší než u terestrických planet.
2.1.2 Trpasličí planetky
Pluto se od roku 2006 řadí mezi nový druh vesmírných těles, tzv. trpasličí planetky.
Pro zařazení tělesa do skupiny trpasličích planetek musí těleso splňovat
4 podmínky: 1) musí obíhat kolem Slunce, 2) musí mít dostatečnou hmotnost
na to aby dosáhlo přibližně kulového tvaru (tvar odpovídající hydrostatické
rovnováze), 3) nevyčistilo okolí své dráhy a 4) není měsícem (satelitem). Tuto
novou skupinu společně s Plutem tvoří i Ceres, Eris, Haumea a Makemake.
2.1.3 Malá tělesa Sluneční soustavy
Další skupinou objektů tvoří malá tělesa Sluneční soustavy, které zahrnují
malá zrnka mezihvězdného prachu (s typickými rozměry ∼ 0.1 µm), meteorická
tělesa, pocházející z komet a planetek a mající nepravidelný tvar a rozměry
od µm až po km, planetky, malé satelity (měsíce) a kometární jádra s
typickými rozměry kolem 10 km. K 22.červnu 2014 je počet katalogizovaných
planetek 399 306 (Zdroj: http://astronomia.zcu.cz/planety/planetky/1815seznam-planetek).
Největší počet se jich nachází v pásu mezi Marsem a Jupiterem,
v tzv. hlavním pásu planetek. Ten sahá do vzdálenosti od 2 AU do
4 AU Patří k nim například: Palas, Juno, Vesta, Ida, Mathylde. Jen několik
procent z nich se nachází za drahou Neptunu, ve vzdálenostech 30 − 50 AU,
tvořící tzv. Kuiperův pás. Označují se jako transneptunická tělesa (TNO).
Odhaduje se, že takovýchto těles o průměru větším než 100 km se zde nachází
více než 70 000.
Satelit je těleso obíhající primární těleso tak, že centrum hmotnosti (barycentrum)
leží pod povrchem primárního tělesa. Pokud barycentrum leží
vně primárního tělesa, mluvíme o binárním systému. Např. v systému ZeměMěsíc
leží barycentrum pod povrchem Země, proto Měsíc tvoří satelit Země.
V systému Pluto-Charon leží barycentrum nad povrchem Pluta, proto o této
dvojici mluvíme jako o binárním systému.
2.2. KEPLEROVY ZÁKONY 45
2.2 Keplerovy zákony
Na základě přesných pozorování planety Mars, která provedl Tycho Brahe v
16. století, se podařilo německému astronomovi Johannu Keplerovi vyslovit
3 zákony, kterými se řídí pohyb planet okolo Slunce.
2.2.1 I. Keplerův zákon - zákon drah
Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách (málo odlišných od kružnic),
v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.
První zákon popisuje tvar drah planet, viz obr.2.1. Jedná se o elipsy s
malou výstředností (excentricitou) e, která je definována jako poměr vzdálenosti
ε ohniska od středu elipsy a hlavní poloosy a. Tato excentricita se
nazývá numerická:
e =
ε
a
(2.1)
Vzdálenost ε se ozančuje jako lineární excentricita a dá se vyjádřit vztahem
ε =
√
a2 − b2, (2.2)
kde a, b jsou velká a malá poloosa elipsy. Velikost e určuje tvar dráhy takto:
e = 0 pro kružnici
0 < e < 1 pro elipsu
e = 1 pro parabolu
e > 1 pro hyperbolu
2.2.2 II. Keplerův zákon - zákon ploch
Plochy opsané průvodičem planety za jednotku času jsou stejné.
Průvodič r je úsečka spojující planetu se Sluncem. Protože plocha opsaná
průvodičem za 1 s je plošná rychlost, může mít II. Keplerův zákon i toto
znění: Plošná rychlost planety je konstantní. II. Keplerův zákon je znázorněn
na obr. 2.2 vybarvenými plochami, které jsou vždy stejné pro tentýž časový
úsek. Postupná rychlost planety je největší v perihéliu P a nejmenší v aféliu
A. Spojnice perihelu a afelu se nazývá přímka apsid. Vzdálenost planety v
přísluní je
rp = a − ε = a(1 − e) (2.3)
46 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
Obrázek 2.1: Elipsa je charakterizována velkou poloosou a a malou poloosou
b. Vzdálenost libovolného ohniska F1, F2 od středu elipsy O se nazývá lineární
excentricita ε. Pokud se v ohnisku F1 nachází Slunce, pak bod P se nazývá
perihéliem (přísluním) a bod A aféliem (odsluním) dráhy.
a v odsluní
ra = a + ε = a(1 + e). (2.4)
2.2.3 III. Keplerův zákon
Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je úměrný poměru třetích
mocnin hlavních poloos jejich trajektorií.
Označme si oběžnou dobu Země T1 a velkou poloosu její dráhy a1, pro libovolnou
planetu označíme odpovídající veličiny T2, a2. Pak podle III. Keplerova
zákona platí:
T2
1
T2
2
=
a3
1
a3
2
. (2.5)
Přesné znění III. Keplerova zákona bylo nalezeno až po objevení Newtonova
gravitačního zákona a je ve tvaru:
a3
1
a3
2
=
T2
1
T2
2
M + m1
M + m2
, (2.6)
2.2. KEPLEROVY ZÁKONY 47
Obrázek 2.2: II. Keplerův zákon: Plocha opsaná průvodičem planety mezi
body 1 a 2 je stejná jako mezi body 3 a 4 nebo 5 a 6 za stejný čas.
kde M je hmotnost Slunce a m1, m2 jsou hmotnosti planet. Protože i největší
planeta naší Sluneční soustavy, Jupiter, má pouhou tisícinu hmotnosti
Slunce, můžeme v tomto vztahu hmotnosti planet zanedbat.
Zcela obecně platí rovnice:
a3
1
a3
2
=
T2
1
T2
2
M1 + m1
M2 + m2
, (2.7)
kde a1, T1, M1, m1 se vztahují na jednu dvojici těles a a2, T2, M2, m2 na
druhou.
2.2.4 Příklady
1. Určete v jakém poměru je největší rychlost planety Merkur (v perihéliu)
k nejmenší rychlosti (v aféliu). Excentricita dráhy Merkura e = 0.2.
[Vzdálenost Merkura v aféliu je ra = a + ε = a(1 + e), v perihéliu
rp = a − ε = a(1 − e). Protože v perihéliu i aféliu je rychlost planety
kolmá na průvodič, můžeme použít zákon zachování momentu hybnosti
ve tvaru:
ram va = rpm vp (2.8)
48 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
odtud
vp
va
=
1 + e
1 − e
= 1.5] (2.9)
2. Najděte poměr postupných rychlostí planet Země a Venuše za předpokladu,
že obě planety obíhají kolem Slunce po kruhových drahách s
poloměry r1 = 150 · 106
km a r2 = 108 · 106
km.
[Z III. Keplerova zákona po dosazení za T = 2 π r
v
obdržíme
v1
v2
=
r2
r1
= 0.85] (2.10)
3. Brooksova kometa se pohybuje po eliptické dráze s excentricitou e =
0.5. Srovnejte její lineární a úhlovou rychlost v perihéliu a aféliu.
[V perihéliu je rp = a(1−e) = 0.5 a, v aféliu je ra = a(1+e) = 1.5 a. Ze
zákona zachování momentu hybnosti obdržíme vp
va
= ra
rp
= 3. Pro poměr
úhlových rychlostí: ωp
ωa
= ra
rp
2
= 9.]
4. Halleyova kometa se pohybuje po eliptické dráze, jejíž excentricita je
e = 0.967. Srovnejte její lineární a úhlovou rychlost v perihéliu a aféliu.
[Poměr lineární rychlosti v perihéliu a aféliu: vp
va
= 1+e
1−e
= 59.6, poměr
úhlových rychlostí: ωp
ωa
= ra
rp
2
= 3 553]
5. Postupná rychlost komety Honda-Mrkos-Pajdušáková je v eféliu 10 krát
menší než v perihéliu. Jaká je excentricita její dráhy?
[e = 0.82]
6. Planetka Hermes se pohybuje kolem Slunce po dráze s velkou poloosou
a = 1.29 AU a excentricitou e = 0.475. Určete: a) její oběžnou dobu,
b) nejmenší vzdálenost od Slunce, c) největší vzdálenost od Slunce, d)
délku malé poloosy.
[a) T = 1.46 roku, b) rp = 0.68 AU, c) ra = 1.90 AU, d) malou poloosu
určíme ze vztahu a2
= b2
+ ε2
, kde ε = e a je tzv. lineární excentricita.
Po číselném dosazení obdržíme b = 1.14 AU.]
2.2. KEPLEROVY ZÁKONY 49
7. Trpasličí planeta Eris se pohybuje kolem Slunce po dráze s velkou poloosou
a = 67.6 AU a excentricitou e = 0.44. Určete: a) její oběžnou dobu,
b)nejmenší vzdálenost od Slunce, c) největší vzdálenost od Slunce.
[a) T = 555.8 roku, b) rp = 37.8 AU, c) ra = 97.3 AU]
8. Dokažte, že rychlost tělesa pohybujícího se po elipse, je v bodě, jenž je
průsečíkem vedlejší poloosy elipsy a trajektorie tělesa, rovna geometrickému
průměru nejmenší a největší rychlosti na dráze.
[Označme va a ra rychlost tělesa v aféliu a jeho vzdálenost od ohniska,
vp a rp rychlost tělesa v perihéliu a vzdálenost perihélia od ohniska, v
rychlost tělesa v průsečíku vedlejší poloosy s elipsou, jak je vidět na
obr. 2.3.
Ze zákona zachování momentu hybnosti dostaneme
rp × mvp = (r × mv) (2.11)
ra × mva = (r × mv). (2.12)
Pro absolutní hodnoty:
|rp × mvp| = m|rp||vp| sin 90◦
= m rp vp (2.13)
|ra × mva| = m|ra||va| sin 90◦
= m ra va (2.14)
|r × mv| = m|r||v| sin α = m v b, (2.15)
kde r sin α = b.
Připomeňme, že vektor rychlosti v průsečíku vedlejší poloosy s elipsou
není kolmý na průvodič tělesa! Rovnice navzájem vynásobíme a
podělíme druhou mocninou hmotnosti:
rp vp ra va = v2
b2
. (2.16)
Po dosazení za rp, ra a využitím rovnosti b2
= a2
(1 − e2
) obdržíme
v =
√
vp va.] (2.17)
50 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
Obrázek 2.3: Znázornění vektoru postupné rychlosti v závislosti na poloze
tělesa na dráze.
9. Velká poloosa Marsovy dráhy je a = 227.8 · 106
km, excentricita e =
0.0934. Vypočtěte vzdálenost Marsu od Země při opozici, je-li Mars: a)
v perihéliu, b) v eféliu. Dráhu Země považujte za kruhovou, s poloměrem
r = 149.6 · 106
km. Sklon Marsovy dráhy zanedbejte.
[ Z obr. 2.4 lze snadno vyčíst že pro Mars v opozici platí v případě za
a) d = a − ε − r = 57.0 · 106
km a za b) d = a + ε − r = 99.6 · 106
km.]
10. Jak dlouho by padal Měsíc na Zemi, kdyby se jeho pohyb náhle zastavil?
Oběžná doba Měsíce je 27.3 dne.
[Uvažujme, že by se dráha Měsíce po jeho zastavení proměnila ve velmi
protáhlou elipsu, s velkou poloosou rovnou polovině vzdálenosti ZeměMěsíc,
a = r
2
. Apogeum dráhy Měsíce by se nacházelo v bodě, v němž
se pohyb Měsíce zastavil, perigeum by bylo totožné se Zemí. Oběžnou
dobu T jeho nové dráhy pak vypočítáme z III. Keplerova zákona,
T2
0
r3
=
T2
a3
(2.18)
kde T0 je původní oběžná doba Měsíce, r je vzdálenost Země-Měsíc.
Odtud
T =
T2
0
8
= T0
1
8
. (2.19)
2.2. KEPLEROVY ZÁKONY 51
(a) (b)
Obrázek 2.4: Schematické znázornění pro případ, kdy je Mars M v opozici
(pro pozorovatele na Zemi se nachází na opačné straně než Slunce) a nachází
se zároveň: a) v perihéliu své dráhy, b) v aféliu své dráhy. Dráha Země Z je
považována za kruhovou.
Měsíc při svém pádu na Zemi vykoná jen polovinu oběhu, proto doba,
ze kterou dopadne na Zemi je rovna polovině oběžné doby, tedy t = T
2
.
Po číselném dosazení: t = 4.8 dne.]
11. Jak dlouho by padala Země na Slunce, kdyby se náhle zastavila na své
dráze?
[64.5 dne]
12. Pomocí přesného znění III. Keplerova zákona vypočtěte hmotnost planety
Jupiter v jednotkách hmotnosti Slunce. Hmotnost Země zanedbejte.
Oběžná doba Jupitera je T1 = 4 332.6 dne, oběžná doba Země
T2 = 365, 26 dne, velká poloosa Jupiterovy dráhy a1 = 5, 2028 AU.
[Z přesného znění III. Keplerova zákona rce.(2.6) vyjádříme m1 ( přičemž
hmotnost Země m2 zanedbáváme)
m1 =
a3
1T2
2 − a3
2T2
1
a3
2T2
1
M . (2.20)
Po číselném dosazení vyjde m1 = 0.00096 M = 1
1 042
M .]
52 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
13. Měsíc Charon obíhá kolem Pluta ve vzdálenosti aCh = 19 640 km s
oběžnou dobou TCh = 6.39 dne. Poloměr Pluta je RP = 1 150 km, poloměr
Charonu RCh = 600 km. Za zjednodušujícího předpokladu, že obě
tělesa mají stejnou hustotu, určete jejich hmotnosti.
[Z III. Keplerova zákona
T2
Ch
a3
Ch
=
4π2
κ(MP + MCh)
, (2.21)
určíme celkovou hmotnost soustavy Pluto - Charon
MP + MCh = 1.47 · 1022
kg. (2.22)
Za předpokladu, že jejich hustoty jsou stejné, dostaneme pro poměr
jejich hmotností vztah MP
MCh
= ( RP
RCh
)3
= 7.04. Když známe jejich celkovou
hmotnost, snadno dopočítáme MP = 1.287 · 1022
kg a MCh =
1.828 · 1021
kg.]
14. O kolik by se prodloužila oběžná doba Jupitera, kdyby byla jeho hmotnost
zanedbatelně malá? Hmotnost Jupitera je 1
1047
M , oběžná doba je
4 332.6 dní.
[Vyjdeme z přesného znění III. Keplerova zákona. Označíme-li skutečnou
oběžnou dobu Jupitera T1, novou oběžnou dobu při zanedbatelné
hmotnosti Jupitera jako T2, pak za předpokladu, že se velká poloosa
jeho dráhy nezmění, dostaneme:
1 =
T2
1
T2
2
M + m
M
. (2.23)
Po dosazení za m = 1
1047
M dostaneme pro oběžnou dobu T2
T2 = T1 1 +
1
1047
= 1.000477 T1. (2.24)
Prodloužení oběžné doby T2 − T1 = 0.000477 T1 = 2.07 dne.]
15. Vypočtěte hmotnost Marsu v jednotkách hmotnosti Země z pohybu
Marsova měsíce Deimose, který obíhá kolem Marsu ve vzdálenosti r1 =
23.5·103
km a má oběžnou dobu T1 = 1.262 dne. Odpovídající hodnoty
2.3. ASPEKTY PLANET 53
Obrázek 2.5: Aspekty planet.
pro Měsíc jsou r2 = 384.4 · 103
km, T2 = 27.32 dne. Hmotnost obou
měsíců zanedbejte.
[Z obecného tvaru III. Keplerova zákona (2.7):
a3
1
a3
2
=
T2
1
T2
2
M1 + m1
M2 + m2
(2.25)
kde index ”1” se vztahuje na dvojici Mars - Deimos, index ”2” na dvojici
Země - Měsíc. Po číselním dosazení: M1 = 0.107 M2. ]
16. Šestý Jupiterův měsíc má oběžnou dobu 251 dní, jeho vzdálenost od
středu Jupitera je 11.5 · 106
km. Vypočtěte hmotnost Jupitera v jednotkách
hmotnosti Země, je-li vzdálenost Země - Měsíc 384 400 km a
oběžná doba Měsíce 27.3 dne. Hmotnosti obou měsíců zanedbejte.
[MJ = 317 MZ.]
2.3 Aspekty planet
Existují některé významné polohy planet vůči Slunci a Zemi, tzv. aspekty
planet. Patří mezi ně konjunkce, opozice, elongace a kvadratura.
54 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
2.3.1 Konjunkce
Konjunkce nastává, mají-li dvě tělesa stejnou rektascenzi nebo délku. U vnitřních
planet rozlišujeme dolní konjunkci a horní konjunkci. Dolní konjunkce
nastává, nachází-li se planeta mezi Sluncem a Zemí, což je možné jen u planet
vnitřních! Horní konjunkce nastává, je-li Slunce mezi Zemí a planetou. U
vnějších planet nastává pouze konjunkce horní. Je-li planeta v konjunkci se
Sluncem, vychází a zapadá zároveň se Sluncem a je tudíž na obloze nepozorovatelná!
Existuje však jeden případ, kdy může být planeta při dolní konjunkci
pozorovatelná a tím je přechod vnitřní planety přes Sluneční kotouč, pak je
planeta pozorovatelná jako černý bod na Slunečním disku.
2.3.2 Opozice
Opozice je opakem konjunkce a nastává, mají-li dvě tělesa rektascenzi nebo
délku odlišnou o 180◦
. Opozice nastává jen u vnějších planet, planeta se
nachází na opačné straně než Slunce, vychází když Slunce zapadá a je tedy
pozorovatelná celou noc. V době blízko opozice bývají nebeská tělesa nejlépe
pozorovatelná.
2.3.3 Elongace
Elongace je úhlová vzdálenost vnitřních planet od Slunce. Při východní elongaci
se planeta nachází na východ od Slunce, zapadá po západu Slunce a
svítí večer nad západním obzorem jako Večernice. Při západní elongaci se
planeta nachází na západ od Slunce, je vidět již před východem Slunce nad
východním obzorem jako Jitřenka. Velikost elongace závisí jak na vzdálenosti
Země od Slunce, tak i na vzdálenostech Slunce - planeta a Země - planeta.
U planety Merkur dosahuje maximální elongace až 28◦
. Největší elongace
nastává u Venuše a dosahuje až 47◦
.
2.3.4 Kvadratura
Kvadratura nastává jen u vnějších planet, pokud je úhel planeta - Země Slunce
roven 90◦
.
2.3. ASPEKTY PLANET 55
Obrázek 2.6: a) Zdánlivý pohyb Marsu na pozadí hvězdné oblohy během jeho
opozice v roce 1995. b) Vzájemné polohy Země a Marsu při opozici. Mars se
při pohledu z pohybující Zěme promítá do různých částí oblohy. Zdroj: H.
Karttunen, P. Kröger, H. Oja, M. Poutanen, K. J. Donner: Fundamental
Astronomy.
2.3.5 Zdánlivé pohyby planet
Zdánlivé pohyby planet jsou docela komplikované, díky tomu že v sobě odráží
i pohyb Země okolo Slunce. Planety se "normálně" pohybují okolo Slunce v
přímém směru (na pozadí vzdálených hvězd směrem na východ), proti chodu
hodinových ručiček při pohledu ze severní polokoule. V blízkosti opozice planety
se její pohyb pomalu zmírňuje, v určité době před opozicí se pohyb
"zastaví" a změní se ve zpětný (retrográdní) pohyb, na obr. 2.6 jemu odpovídá
úsek mezi body A a C. Po opozici se zpětný pohyb opět zmírňuje a po
opětovné zastávce se změní na pohyb přímý. Planeta na obloze, na pozadí
vzdálených hvězd, opíše smyčku, jak je vidět na obr. 2.6.a.
2.3.6 Příklady
1. Vzdálenost Merkura od Slunce je 0.387 AU. Vypočtěte jaká je jeho maximální
elongace. Dráhu Merkura pokládejte za kruhovou.
56 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
[sin α = 0.387
1
; α = 22◦
46 .]
2. Největší elongace Venuše je 46, 5◦
. Určete poloměr dráhy Venuše.
[r = 0.725 AU.]
3. Určete jaká je největší úhlová vzdálenost Měsíce od Země pro pozorovatele
na Marsu v okamžiku, kdy je Mars ve střední opozici. Vzdálenost
Marsu od Slunce je 1.52 AU, vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.
[α = 17 .]
4. Vypočtěte vzdálenost d Jupitera od Marsu v okamžiku, kdy je Jupiter
v opozici a Mars v kvadratuře. Vzdálenost Marsu od Slunce je 1.5 AU,
vzdálenost Jupitera od Slunce je 5.2 AU.
[d = 4.35 AU]
2.4 Siderická a synodická oběžná doba
Siderická oběžná doba T je doba, kterou planeta potřebuje k tomu, aby se
po jednom oběhu dostala do výchozího bodu na své dráze (vůči vzdáleným
hvězdám), t.j. doba za kterou planeta opíše 360◦
. Naproti tomu synodická
oběžná doba S je doba nutná k tomu, aby se planeta dostala opět do konjunkce
se Sluncem, je to tedy oběžná doba, jak se nám jeví ze Země. Protože
Země obíhá kolem Slunce, je zřejmé že doba synodického oběhu nebude totožná
s dobou siderického oběhu.
Označíme-li siderickou oběžnou dobu Země TZ = 365 dní, pak za 1 den
opíše Země úhel 360◦
TZ
. Vnitřní planeta se siderickou oběžnou dobou Tp opíše
za 1 den úhel 360◦
Tp
. Za 1 den vzroste rozdíl průvodičů obou planet o
360◦
Tp
−
360◦
TZ
. (2.26)
Doba za kterou tento rozdíl vzroste na 360◦
se nazývá synodická oběžná
doba. Platí pro ni:
360◦ 1
Tp
−
1
TZ
S = 360◦
. (2.27)
2.4. SIDERICKÁ A SYNODICKÁ OBĚŽNÁ DOBA 57
Pro vnitřní planety platí:
1
S
=
1
Tp
−
1
TZ
. (2.28)
Pro vnější planety platí:
1
S
=
1
TZ
−
1
Tp
. (2.29)
2.4.1 Příklady
1. O kolik stupňů za den Země předbíhá Mars na dráze kolem Slunce?
Oběžná doba Země je TZ = 365 dní, Marsu TM = 687 dní.
[Země se za jeden den posune o 360◦
365
= 0.986◦
, Mars o 360◦
687
= 0.524◦
.
Země tedy předbíhá Mars o 0.986◦
− 0.524◦
= 0.462◦
. ]
2. O kolik stupňů za den Mars předbíhá planetu Jupiter na dráze kolem
Slunce? Oběžná doba Marsu je TM = 687 dní, Jupiteru TJ = 4 332, 6
dne.
[Mars předbíhá Jupiter o 0◦
26 28 .]
3. Vypočtěte synodickou oběžnou dobu Marsu, je-li jeho siderická oběžná
doba T = 687 dní.
[S = 779 dní.]
4. Vypočtěte synodickou oběžnou dobu planety Jupiter, je-li její siderická
oběžná doba T = 11.86 dní.
[S = 398 dní.]
5. Vypočtěte střední denní pohyb Merkura po jeho dráze kolem Slunce,
je-li jeho jeho synodická oběžná doba S = 116 dní.
[Siderická oběžná doba Merkura je T = 88 dní. Za jeden den opíše
Merkur úhel n = 360◦
T
= 4.1◦
.]
6. Jaká musí být oběžná doba planetky, aby se její siderická oběžná doba
právě rovnala oběžné době synodické?
[S = T = 2 roky]
58 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
7. Určete siderickou oběžnou dobu vnější hypotetické planety a hlavní poloosu
její trajektorie v AU, víte-li, že její siderická oběžná doba je 30−ti
násobkem její synodické oběžné doby. Poblíž které dráhy skutečné planety
by obíhala okolo Slunce?
[Synodická oběžná doba bude S = 31
30
TZ = 377 dní, siderická T = 11 315
dní. Hlavní poloosa její trajektorie vyjde z III. Keplerova zákona a =
9.8 AU. Hypotetická planeta by se dělila o oběžnou dráhu s planetou
Saturn (aS = 9.58 AU).]
8. Jaká by byla synodická oběžná doba Saturna pro pozorovatele na Jupiteru?
Siderická oběžná doba Jupitera TJ = 11.86 roku, siderická oběžná
doba Saturna TS = 29, 46 roku.
[S=19.85 roku.]
9. Víte-li, že délka siderického roku, za který Země opíše úhel 360◦
kolem
Slunce, je 365, 25636 středních slunečních dní, a že se perihélium
zemské dráhy posune každý rok o 0.0033◦
ve směru pohybu Země, vypočtěte
délku anomalistického roku (t.j. délku mezi dvěma průchody
Země perihéliem). Určete za jak dlouho opíše přímka apsid úhel 360◦
.
[Přímka apsid opíše úhel 360◦
za 109 091 roků. Anomalistický rok trvá
365, 25971 dne.]
10. Jaká by byla synodická oběžná doba planetky, jež má siderickou oběžnou
dobu T = 370 dní. Jaká by byla vzdálenost planetky od Země při
opozici? Dráhy pokládejte za kruhové, oběžná doba Země je 365 dní.
[S = 74 roků. Poloměr dráhy planetky činí a = 1.01 AU. Vzdálenost
planetky od Země při opozici je 1.363 · 106
km. ]
11. Pozorovatel zjistil, že určitá planetka je v opozici každých 665 dní. Jaká
je její vzdálenost od Slunce?
[Synodická oběžná doba planetky je tedy S = 665 dní, siderická oběžná
doba nám vyjde T = 809, 08 dne. Z III. Keplerova zákona vyjde vzdálenost
od Slunce a = 1.7 AU.]
2.5. ELEMENTY DRÁHY PLANETY A ANOMÁLIE 59
Obrázek 2.7: Elementy dráhy planety. Zdroj: Široký, Široká: Základy astronomie
v příkladech.
2.5 Elementy dráhy planety a anomálie
Nebeská mechanika má dva velmi praktické úkoly: z pozorování určit dráhové
elementy a ze známých elementů předpovídat polohy nebeských těles.
Pro výpočet dráhových elementů potřebujeme přinejmenším tři pozorování.
V praxi se však používá více. Určení dráhových elementů je tím přesnější,
čím více pozorování máme k dispozici a čím větší úsek orbity tato měření
pokrývají.
2.5.1 Elementy dráhy planety
Dráha planety v prostoru je popsána množinou šesti veličin, které se nazývají
elementy dráhy planety.
Hlavní poloosa dráhy a je vzdálenost perihélia (popř. afélia) od středu
elipsy. Udává se v astronomických jednotkách [AU].
Numerická excentricita e je poměr lineární excentricity ε k hlavní poloose.
Velká poloosa a excentricita určují velikost a tvar dráhy planety.
60 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
Sklon dráhy i je úhel, který svírá oběžná rovina planety s rovinou ekliptiky.
Měří se ve směru od roviny ekliptiky k rovině dráhy planety. Udává se
ve stupních [◦
] a může nabývat hodnot od 0◦
do 180◦
. Je-li i > 90◦
, pak se
těleso pohybuje zpětným (retrográdním) směrem, t. j. ve směru zdánlivého
denního pohybu oblohy. Tento případ je možný je u komet.
Délka výstupného uzlu Ω je úhlová vzdálenost jarního bodu od výstupného
uzlu, v němž vystupuje dráha tělesa nad rovinu ekliptiky. Udává se také
ve stupních [◦
] a měří se přímým směrem. Spojnice výstupného a sestupného
uzlu se nazývá uzlová přímka.
Sklon dráhy a délka výstupného uzlu určují polohu roviny dráhy v pro-
storu.
Argument šířky periélia ω je úhel, který svírá uzlová přímka (spojnice
výstupného a sestupného uzlu) s přímkou apsid (spojnicí perihélia a afélia).
Argument šířky perihélia určuje orientaci dráhy v její rovině a udává se
ve stupních [◦
].
Okamžik průchodu periéliem τ je čas uplynulý od okamžiku průchodu
planety perihéliem. Určuje polohu tělesa na dráze.
2.5.2 Anomálie
Pravá anomálie
K nalezení polohy planety na její dráze v daném čase potřebujeme znát závislost
polohového vektoru r na čase. Jako proměnná v rovnici popisující
orbitu se používá úhel, tzv. pravá anomálie v, který svírá průvodič planety
r s přímkou apsid (velkou poloosou), v = PSB.
Pomocí pravé anomálie můžeme vyjádřit vzdálenost planety od Slunce
takto:
r =
a(1 − e2
)
1 + e cos v
. (2.30)
Z II. Keplerova zákona vyplývá, že pravá anomálie nemůže růst konstantní
rychlostí.
Excentrická anomálie
Pro zjednodušení rovnic, popisujících pohyb po elipse, se často namísto pravé
anomálie používá tzv. excentrická anomálie E. Uvažujme kružnici, jejíž střed
O je totožný se středem elipsy a její poloměr je rovný velké poloose, jak je
2.5. ELEMENTY DRÁHY PLANETY A ANOMÁLIE 61
Obrázek 2.8: Grafické znázornění pojmů pravá anomálie v, excentrická anomálie
E a střední anomálie M.
vidět na obr. 2.8. Kolmice spuštěná z bodu B na velkou poloosu protne
kružnici v bodě B . Úhel, který svírá spojnice bodu B a středu O elipsy s
přímkou apsid se nazývá excentrická anomálie E.
Mezi pravou a excentrickou anomálií platí vztah:
tan
v
2
=
1 + e
1 − e
tan
E
2
. (2.31)
Vzdálenost planety od Slunce se dá pak vyjádřit takto:
r = a(1 − e cos E). (2.32)
Střední anomálie
Dalším problémem je jak pro daný okamžik určit E? Uvažujme hypotetickou
planetu, která by se kolem Slunce pohybovala po kružnici o poloměru rovném
velké poloose a perihéliem P by procházela současně se skutečnou planetou.
Označíme-li okamžik průchodu hypotetické planety perihéliem jako τ, pak v
62 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
Obrázek 2.9: Nomogram pro řešení Keplerovy rovnice. Zdroj: Široký, Široká:
Základy astronomie v příkladech.
čase (t − τ), což je počet dní uplynulých od průchodu perihéliem, se bude
nacházet v bodě B . Spojnice středu O a bodu B svírá s přímkou apsid úhel
M = POB , který se nazývá střední anomálie M a lze ji vyjádřit vztahem:
M =
360◦
T
(t − τ). (2.33)
Pokud vyjádříme oběžnou dobu T planety ve dnech, pak 360◦
T
= n je střední
denní pohyb planety.
Střední anomálie roste konstantí rychlostí s časem. Říká nám, kde by se
planeta nacházela, kdyby se pohybovala po kružnici o poloměru rovném a.
2.5.3 Keplerova rovnice
Pomocí II. Keplerova zákona lze najít mezi střední anomálií M, excentrickou
anomálií E a numerickou excentricitou e vztah, který se nazývá Keplerova
2.5. ELEMENTY DRÁHY PLANETY A ANOMÁLIE 63
rovnice
M = E − e sin E. (2.34)
Je-li excentricita dráhy malá, můžeme excentrickou anomálii E vypočítat
metodou postupných aproximací. Jako první hodnotu vezmeme E0 = M a
další ze vztahu
E1 = M + e sin E0,
E2 = M + e sin E1,
E3 = M + e sin E2,
...
(2.35)
kde výraz e sin E musíme převést z radiánů na stupně. Tento postup opakujeme
tak dlouho, až se hodnoty En a En−1 od sebe neliší více než je požadovaná
presnost.
Pro větší excentricitu hledáme předběžnou hodnotu pomocí nomogramu,
viz. obr.2.9. Na stupnici pro e vyhledáme excentricitu dráhy planety a spojíme
s přímkou s 0◦
na stupnici pro střední anomálii M. Na stupnici pro M
si vyznačíme příslušnou střední anomálii a tou vedeme rovnoběžku s první
přímkou. Průsečík rovnoběžky s křivkou pro E nám určí výslednou hodnotu
excentrické anomálie E.
2.5.4 Příklady
1. Vypočtěte metodou postupných aproximací excentrickou anomálii planetky
po uplynutí 22.5 dne od průchodu perihéliem. Excentricita dráhy
planetky e = 0.02947, střední denní pohyb n = 14, 678 .
[Vypočteme nejdřív střední anomálii:
M = n · t = 14.678 · 22.5 = 330.255 = 5.5042◦
. (2.36)
První hodnotu dostaneme jako
E0 = M = 5.5042◦
. (2.37)
Další hodnotu E1 excentrické anomálie dostaneme dosazením E0 do
rovnice
E1 = M + e sin E0, (2.38)
64 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
kde výraz e sin E0 musíme převést z radiánů na stupně, t.j. vynásobíme
jej hodnotou 360◦
2π
= 57.296.
Po číselném dosazení:
E1 = M + e sin E0 = 5.6662◦
= 5◦
40 . (2.39)
Následující hodnoty E2, E3, ...
E2 = M + e sin E1 = 5.5042◦
+ 0.166711◦
= 5.670911◦
= 5◦
40 15.28 .
E3 = M + e sin E2 = 5.5042◦
+ 0.166849◦
= 5.671049◦
= 5◦
40 15.78 .
E4 = M + e sin E3 = 5.5042◦
+ 0.166853◦
= 5.671053◦
= 5◦
40 15.79 .
E5 = M + e sin E4 = 5.5042◦
+ 0.166853◦
= 5.671053◦
= 5◦
40 15.79 .
Poslední dvě hodnoty se již od sebe neliší, excentrická anomálie je tedy
E = 5◦
40 15.79 . ]
2. Jaká je střední a excentrická anomálie Merkura za 22 dní po průchodu
perihéliem? Excentricita Merkurovy dráhy je e = 0.21, oběžná doba
T = 88 dní.
[M = 360◦ t
T
= 90◦
, E = 101.7◦
.]
3. Určete střední a excentrickou anomálii Pluta za 100 let po průchodu
perihéliem. Oběžná doba Pluta je T = 90 700 dní, excentricita jeho
dráhy e = 0.25.
[M = 145◦
, E = 151.8◦
.]
4. Kometa se pohybuje po eliptické dráze s excentricitou e = 0.66. Oběžná
doba komety je T = 3 roky. Určete excentrickou a pravou anomálii za
rok po průchodu perihéliem.
[Střední anomálie: M = 360◦ t
T
= 120◦.
.
Protože excentricita komety je celkem velká, použijeme k určení excentrické
anomálie E nomogram. Z něj odečteme E = 143◦
. Pro pravou
anomálii platí:
tan
v
2
=
1 + e
1 − e
tan
E
2
. (2.40)
Po číselném dosazení obdržíme v
2
= 81.4◦
a tedy v
.
= 163◦
.]
2.5. ELEMENTY DRÁHY PLANETY A ANOMÁLIE 65
5. Kometa se pohybuje po eliptické dráze, jejíž velká poloosa a = 4 AU,
excentricita e = 0.66. Určete excentrickou a pravou anomálii rok po
průchodu perihéliem a její vzdálenost od Slunce.
[Z III. Keplerova zákona určíme oběžnou dobu komety na T = 8 roků.
Střední anomálie M = 45◦
. Excentrickou anomálii opět určíme z nomogramu
E = 83◦
a s pomocí jí a excentricity e vypočítáme pravou
anomálii:
tan
v
2
=
1 + e
1 − e
tan
E
2
=> v = 126◦
. (2.41)
Vzdálenost komety od Slunce:
r = a(1 − e cos E) = 3.7 AU]. (2.42)
66 KAPITOLA 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
Kapitola 3
Gravitace
3.1 Newtonovy zákony
Keplerovy zákony byly prvním krokem k fyzikálnímu popisu pohybu planet.
Ale až gravitačním zákonem Newton dospěl k obecnému popisu vzájemného
působení hmotných těles. Celá klasická mechanika, včetně nebeské mechaniky,
je založena na principech Newtonovy mechaniky. Zde jen pro úplnost
stručně shrneme nejdůležitější poznatky.
3.1.1 I. Newtonův zákon
I. Newtonův zákon - zákon setrvačnosti: Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném
přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento svůj
stav změnit.
Označme hybnost tělesa p = mv, pak platí
dp
dt
= 0. (3.1)
3.1.2 II. Newtonův zákon
II. Newtonův zákon - zákon síly: Změna hybnosti tělesa je úměrná síle působící
na těleso.
F =
dp
dt
(3.2)
67
68 KAPITOLA 3. GRAVITACE
3.1.3 III. Newtonův zákon
III. Newtonův zákon - zákon akce a reakce: V uzavřeném systému těles každá
akce vyvolá stejně velkou reakci opačného směru.
3.2 Centrální síla
Oběh planety kolem Slunce a všechny podobné křivočaré pohyby vyžadují,
aby podle zákona setrvačnosti na těleso působila nějaká síla. Pokud můžeme
v přiblížení popsat takový pohyb jako vzájemné působení dvou těles, pak si
můžeme představit, že na hm. bod působí síla, která trvale působí ve směru k
jistému bodu. Při pohybu po kružnici je tímto bodem střed kružnice a takto
definovaná síla se nazývá centrální (dostředivá). Dostředivá síla působící na
těleso o hmotnosti m pohybující se okamžitou rychlostí v na dráze o poloměru
r vyvolá dostředivé zrychlení ac, které je rovno:
ac =
v2
r
. (3.3)
Centrální síla Fc je pak dána:
Fc = mac = m
v2
r
. (3.4)
3.3 Newtonův gravitační zákon
Hmotné body o hmotnostech m1, m2 vzdálené od sebe r působí na sebe silou
F, která je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé
mocnině jejich vzdálenosti.
F = κ
m1m2
r2
, (3.5)
kde gravitační konstanta κ = 6.672·10−11
m3
s−2
kg−1
. Tento vztah platí i pro
sféricky symerická tělesa, jejichž rozměry nejsou zanedbatelně malé vzhledem
ke vzdálenostem. Taková tělesa, např. koule, se chovají tak, jakoby veškerá
jejich hmota byla soustředěna v jejich středech. Vektor F leží na spojnici
středů obou těles.
3.4. INTENZITA GRAVITAČNÍHO POLE E 69
3.4 Intenzita gravitačního pole E
Intenzita gravitačního pole je určena podílem gravitační síly, která působí na
těleso o hmotnosti m v místě pozorování a hmotnosti tohoto tělesa.
E =
F
m
. (3.6)
Je-li gravitační pole tvořeno tělesem o hmotnosti M, pak
E = κ
M
r2
. (3.7)
Intenzita gravitačního pole je totožná s gravitačním zrychlením, které pole v
daném místě uděluje všem tělesům bez ohledu na jejich hmotnost.
3.5 Potenciální energie Wp
Potenciální energie tělesa o hmotnosti m, umístěného v gravitačním poli
vygenerovaném tělesem o hmotnosti M, je
Wp = −κ
mM
r
. (3.8)
3.6 Gravitační potenciál V
Gravitační potenciál V je roven podílu potenciální energie tělesa o hmotnosti
m a hmotnosti tohoto tělesa.
V =
Wp
m
= −κ
M
r
. (3.9)
3.7 Tíhové zrychlení g
Tíhové zrychlení je zrychlení volně padajícího tělesa ve vakuu, určené k zvolenému
místu na povrchu planety. Průměrná hodnota tíhového zrychlení na
Zemi je
gz = 9.806 65 ms−2
. (3.10)
70 KAPITOLA 3. GRAVITACE
3.7.1 Příklady
1. Vypočtěte gravitační konstantu κ v soustavě jednotek SI, je-li hustota
Země ρz = 5 500 kg m−3
, poloměr Země Rz = 6 378 km a gravitační
zrychlení na povrchu Země g = 9.81 m s−2
.
[Ze vztahu pro gravitační zrychlení g = κ MZ
R2
Z
obdržíme po dosazení:
κ = 6.674 · 10−11
m3
s−2
kg−1
.]
2. Vypočtěte gravitační zrychlení na povrchu Marsu, je-li jeho poloměr
R = 3 400 km a hmotnost M = 6.46 · 1023
kg.
[g = 3.73 m s−2
.]
3. Vypočtěte rychlost, s jakou se musí pohybovat umělá družice Země, aby
obíhala po kruhové dráze těsně nad povrchem Země, tz. 1. kosmická
rychlost, někdy též ”kruhová”. Určete oběžnou dobu této družice, je-li
RZ = 6.38 · 106
m a g = 9.81 m s−2
.
[Při pohybu umělé družice kolem Země po kruhové dráze o poloměru
R je její dostředivé zrychlení ad = v2
R
. Toto zrychlení musí být rovno
gravitačnímu zrychlení na povrchu Země a proto platí:
ad =
v2
R
= g =
κ MZ
R2
. (3.11)
Pro první kosmickou rychlost pak platí:
vI = gR =
κMZ
R
. (3.12)
Číselně je v = 7.91 km s−1
.
Oběžnou dobu určíme ze vztahu: 2πR = vT.
Tedy
T =
2πR
v
= 1 h 24.5 min.] (3.13)
4. Kolikrát je I. kosmická rychlost na Zemi větší než na Měsíci? Hmotnost
Země je 81 krát větší než hmotnost Měsíce, poloměr Země je 3.75 krát
větší než poloměr Měsíce.
[ vIZ
vIM
= 4.65.]
3.7. TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ G 71
5. Vypočtěte jakou počáteční rychlost musíme udělit raketě, aby se vzdálila
z povrchu Země do nekonečna? (2. kosmická rychlost.)
[Nachází-li se raketa o hmotnosti m na povrchu Země, pak je její potenciální
energie
Wp = −
κMZm
R
. (3.14)
Její kinetická energie je
Wk =
1
2
mv2
. (3.15)
V nekonečnu bude její potenciální i kinetická energie rovna nule. Proto
ze zákona zachování energie musí být i na počátku jejího pohybu součet
obou energií roven nule. Odtud
vII =
2κMZ
R
= 2gR. (3.16)
Druhá kosmická rychlost je tedy
√
2 krát větší než první kosmická rychlost.
Po číselném dosazení vII = 11.2 km s−1
. Protože raketa odlétá
(teoreticky) po parabolické trajektorii, nazývá se tato rychlost někdy
”parabolická”.]
6. V jaké výšce musí obíhat umělá družice Země aby byla stále nad stejným
místem rovníku?
[Vyjdeme z III. Keplerova zákona:
T2
(RZ + h)3
=
4π2
κMZ
. (3.17)
Odtud obdržíme:
h =
3 κMZ
4π2
T2 − RZ. (3.18)
Po číselném dosazení h = 36 000 km.]
7. V jaké vzdálenosti od povrchu Marsu musí být jeho družice, aby obíhala
kolem něho se stejnou oběžnou dobou, s jakou se Mars otáčí kolem
své osy? Hmotnost Marsu je M = 6.46 · 1023
kg, doba jedné otočky
T = 24 hod 37 min a poloměr Marsu R = 3 400 km.
[h = 17, 06 · 106
m]
72 KAPITOLA 3. GRAVITACE
8. Odvoďte vztah pro III. kosmickou rychlost a vyjádřete její hodnotu
číselně.
[III. kosmická rychlost, vIII, je rychlost, kterou musíme udělit družici
na povrchu Země, aby opustila trvale Sluneční soustavu (vliv planet
neuvažujeme). Pro její zavedení je třeba nejprve vypočítat kruhovou a
parabolickou rychlost při pohybu kolem Slunce ve vzdálenosti Země od
Slunce.
Kruhová rychlost je průměrná rychlost Země (její hmotnost vůči hmotnosti
Slunce zanedbáme) při oběhu kolem Slunce, t.j. ve vzdálenosti
d = 149.6 · 106
km. (Hmotnost Slunce je M = 1.9891 · 1030
kg).
vk =
κM
d
= 29 784 m s−1
. (3.19)
Parabolická rychlost
vp =
√
2 vk = 42 121 m s−1
. (3.20)
Při vypouštění rakety je výhodné využít samotnou rychlost Země, proto
budeme raketu vypouštět ve směru rychlosti Země. Tím pádem jí není
nutno udílet rychlost 42 121 m s−1
, ale pouze (42 121 − 29 784) m s−1
=
12 337 m s−1
.
To ale není ještě správná hodnota, neboť jsme neuvažovali vliv gravitačního
pole Země. Družici musíme dodat navíc ještě energii na překonání
přitažlivosti Země. Poněvadž kinetická energie tělesa je přímo úměrná
druhé mocnině jeho rychlosti, musíme sčítat druhé (nikoliv prvé!) mocniny
hodnot rychlostí a výsledkem je druhá mocnina třetí kosmické
rychlosti. Dostáváme:
vIII =
√
11.22 + 12.32 km s−1
=
√
276.73 km s−1
= 16.6 km s−1
.] (3.21)
9. Určete hmotnost Slunce víte-li že úhlová rychlost Země na dráze kolem
Slunce je 1◦
za den, gravitační konstanta κ = 6.68 · 10−11
m3
kg−1
s−2
,
vzdálenost Země od Slunce je r = 149.6 · 106
km.
[Z III. Keplerova zákona po dasazení za T = 2π
ω
obdržíme:
M =
4π2
r3
T2κ
=
ω2
r3
κ
. (3.22)
3.7. TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ G 73
Úhlovou rychlost převedeme na radiány, ω = 2.02 · 10−7
s−1
, a po číselném
dosazení obdržíme:
M = 2.04 · 1030
kg.] (3.23)
10. Jak velká je délka l matematického kyvadla, které by mělo na Měsíci
dobu kyvu t = 1s? Jak velkou dobu kyvu t by mělo na Měsíci
sekundové kyvadlo pozemské? Poloměr Měsíce RM = 0.27 RZ, hmotnost
MM = 1
81
MZ.
[Je-li doba kyvu t = 1s, pak perioda vlastních kmitů matematického
kyvadla je dvojnásobek, tedy T = 2 s. Ze vztahu
T = 2π
l
gM
= 2π
lR2
M
κMM
= 2π
l
κ
(0.27)2R2
Z
1
81
MZ
= 0.27 · 2π
81 · l
g
(3.24)
obdržíme délku kyvadla l = 0.168 m.
Na Zemi by matematické kyvadlo s dobou kyvu 1s mělo délku l = 0.99 m.
Na Měsíci by takto dlouhé kyvadlo mělo periodu kmitů T = 4.85 s a
dobu kyvu tedy t = 2.43 s. ]
11. Určete postupnou rychlost Země na její dráze kolem Slunce, je-li hmotnost
Slunce M = 2 · 1030
kg a vzdálenost od Slunce r = 1.5 · 108
km.
[v = κM
r
= 29.8 km s−1
.]
12. Jupiter se otočí kolem své osy za dobu T = 9 hod 50 min, jeho poloměr
R = 70 000 km, hmotnost M = 1.9 · 1027
kg. Vypočtěte tíhové zrychlení
gp na pólu a gr na rovníku Jupitera. Zploštění planety zanedbejte.
[Na pólu je tíhové zrychlení rovno gravitačnímu; gp = κM
R2 = 25.9 m s−2
.
Na rovníku působí kromě gravitačního zrychlení ješte odstředivé zrychlení,
které má směr kolmý k ose otáčení. Výsledné tíhové zrychlení bude
tedy: gr = gp − v2
R
= 23.7 m s−2
.]
13. Vypočtěte únikovou rychlost na povrchu Měsíce a na povrchu Slunce,
víte-li: poloměr Měsíce je R = 0.27 RZ, hmotnost Měsíce M = 1
81
MZ,
poloměr Slunce R = 7 · 108
m, hmotnost Slunce M = 2 · 1030
kg.
[Pro Měsíc: v = 2.4 km s−1
, pro Slunce: v = 618 km s−1
.]
74 KAPITOLA 3. GRAVITACE
14. Určete gravitační zrychlení na povrchu planetky se střední hustotou
rovnou střední hustotě Země a s poloměrem R = 0.01 RZ. Jaká je úniková
rychlost na této planetce?
[g = 0.01 gz = 0.098 m s−2
, v = 0.01 vz = 112 m s−1
.]
15. Do jaké výšky by vystoupilo těleso vystřelené z povrchu Země svisle
vzhůru rychlostí v = 5 km s−1
? Hmotnost Země je Mz = 5.98 kg, poloměr
Země Rz = 6.38 · 106
m.
[Těleso vystřelené z povrchu Země rychlostí v má na počátku kinetickou
energii
Wk1 =
1
2
mv2
(3.25)
a potenciální energii
Wp1 = −
κMzm
Rz
. (3.26)
Těleso vystoupá do výšky h, ve které je jeho kinetická energie rovna
nule, Wk2 = 0, a potenciální energie
Wp2 = −
κMzm
Rz + h
. (3.27)
Ze zákona zachování mechanické energie:
1
2
mv2
−
κMzm
Rz
= −
κMzm
Rz + h
. (3.28)
Po vyjádření h obdržíme:
h =
v2
R2
z
2κMz − v2Rz
. (3.29)
Dosadíme-li za κMz = gR2
z, můžeme výšku výstupu vyjádřit vztahem
h =
v2
Rz
2gRz − v2
. (3.30)
Po číselném dosazení nám vyjde h = 1 592 km.]
3.7. TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ G 75
16. Na Zemi padá z nekonečně velké vzdálenosti s nulovou počáteční rychlostí
meteor o hmotnosti m = 0.1 kg. Vypočtěte jeho kinetickou energii,
kterou by měl ve vzdálenosti h = 2 000 km nad povrchem Země.
[V nekonečnu bude mít meteor kinetickou i potenciální energii nulovou,
tedy: Wk1 = 0 a Wp1 = 0. Ve výšce h = 2 000 km nad povrchem Země
bude jeho kinetická energie Wk2 a potenciální Wp2 = −κMzm
Rz+h
.
Ze zákona zachování mechanické energie:
0 + 0 = Wk2 −
κMzm
Rz + h
. (3.31)
Odtud:
Wk2 =
gmRz
1 + h
Rz
. (3.32)
Po číselném dosazení: Wk2 = 4.765 · 106
J.]
17. Jak by se musela změnit hmotnost Země, aby Měsíc navždy opustil
Zemi?
[Uvažujme, že se Měsíc nyní pohybuje po kruhové dráze o poloměru r
rychlostí v1. Označíme-li hmotnost Země Mz, pak pro kruhovou rychlost
Měsíce v1 platí:
v1 =
κMz
RZ + r
. (3.33)
Označíme-li změněnou hmotnost Země M a únikovou rychlost v2, pak
platí:
v2 =
2κM
RZ + r
. (3.34)
Hledáme takovou hmotnost, pro kterou je kruhová rychlost v1 rovna
únikové rychlosti v2:
κMz
RZ + r
=
2κM
RZ + r
. (3.35)
Odtud:
M =
Mz
2
. (3.36)
Hmotnost Země by se musela náhle zmenšit na polovinu.]
76 KAPITOLA 3. GRAVITACE
18. Jak by se změnila dráha Země, kdyby se hmotnost Slunce náhle zdvoj-
násobila?
[Uvažujme, že se Země na počátku pohybuje po kruhové dráze s poloměrem
r, rychlostí v1. Při kruhovém pohybu se musí účinky gravitační
o odstředivé síly působící na obíhající těleso vyrušit, proto:
κM m
r2
=
mv2
1
r
. (3.37)
Pro rychlost planety v1 obdržíme:
v2
1 =
κM
r
. (3.38)
V okamžiku, kdy se zdvojnásobí hmotnost Slunce, se bude Země nacházet
v bodě A. Od této chvíle se Země začne pohybovat po elipse,
přičemž bod A bude aféliem nové dráhy Země. Poloměr křivosti elipsy
v eféliu je
R =
b2
a
, (3.39)
vzdálenost Země od Slunce je stále r, hmotnost Slunce je nyní 2 M .
V aféliu platí rovnice:
κ2M
r2
=
v2
1a
b2
. (3.40)
Po dosazení rovnice (3.38) dostaneme:
2
r
=
a
b2
. (3.41)
Po dosazení vzdálenosti Země v eféliu je r = a+ = a(1+e) a využitím
rovnosti b2
+ 2
= a2
obdržíme:
2
a(1 + e)
=
a
a2(1 − e2)
. (3.42)
Odtud xcentricita dráhy vyjde e = 0.5 a velká poloosa a = r
1+e
= 108
km.
Vzdálenost Země v aféliu zůstane nezměněna, r1 = 1.5 · 108
km, vzdálenost
v perihéliu r2 = a(1 − e) = 0.5 · 108
km.
Pro rychlosti v perihéliu a aféliu platí vztah
v1
v2
=
1 − e
1 + e
, (3.43)
3.7. TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ G 77
přičemž rychlost Země v aféliu je rovna původní rychlosti po kruhové
dráze, v1 = 30 km s−1
, rychlost v perihéliu pak vychází v2 = 90 km s−1
.]
19. Určete excentricitu, velkou poloosu dráhy, vzdálenost v perihéliu a
oběžnou dobu komety, jejíž rychlost ve vzdálenosti 1 astronomické jednotky
je kolmá na průvodič komety a 10 krát menší než rychlost Země.
[Rychlost tělesa obíhajícího po eliptické dráze je kolmá na průvodič v
perihéliu a aféliu dráhy. Ze zadání víme, že rychlost komety ve vzdálenosti
1 AU je menší než kruhová rychlost Země ve stejné vzdálenosti
od Slunce, proto se kometa musí nacházet v aféliu své dráhy. Poloměr
křivosti dráhy v aféliu je R = b2
a
.
V aféliu označíme rychlost komety v1 a vzdálenost od Slunce r1, pak
platí:
v2
1
R
=
κM
r2
1
. (3.44)
Země se pohybuje po kruhové dráze s poloměrem r1 rychlostí v0, proto
pro ni platí:
v2
0
r1
=
κM
r2
1
. (3.45)
Dosazením za poloměr křivosti dráhy a porovnáním obou rovnic obdr-
žíme:
v2
1a
b2
=
v2
0
r1
. (3.46)
S využitím rovností platných pro elipsu: b2
= a2
(1 − e2
), r1 = a(1 + e)
dostaneme po dosazení:
v2
1
(1 − e)
= v2
0, (3.47)
odtud:
e = 1 −
v2
1
v2
0
. (3.48)
Dosazením za v0 = 10 v1 vyjde pro excentricitu dráhy komety hodnota
e = 0.99.
Velká poloosa dráhy: a = r1
1+e
= 0.502 AU.
Vzdálenost perihélia: r2 = a(1 − e) = 0, 00502 AU.
Oběžná doba komety: T = a3
r3
1
Tz = 0.356 roku.]
78 KAPITOLA 3. GRAVITACE
20. Určete mechanickou energii planety, jejíž hmotnost je m a velká poloosa
a.
[Mechanická energie W je dána součtem kinetické a potenciální energie
a tento součet je pro danou planetu konstantní. Protože nezáleží na
tom, pro který bod na dráze ji určíme, určíme mechanickou energii
pro planetu v perihéliu. Označíme-li rychlost planety v perihéliu v a
vzdálenost perihélia od Slunce r, bude kinetická energie planety Wk =
1
2
mv2
a potenciální energie Wp = −κmM
r
.
Mechanická energie
W =
1
2
mv2
−
κmM
r
. (3.49)
V perihéliu je poloměr křivosti dráhy R = b2
a
, proto zde platí:
mv2
a
b2
=
κM m
r2
. (3.50)
Z této rovnice lze vyjádřit kinetickou energii planety jako
1
2
mv2
=
κM mb2
2r2a
(3.51)
a celková mechanická energie planety je pak
W =
κM mb2
2r2a
−
κM m
r
. (3.52)
Po dosazení za b2
= a2
(1 − e2
), r = a(1 − e) vyjde výsledný vztah
W = −
κM m
2a
.] (3.53)
21. Na základě výsledku z předešlého příkladu dokažte, že pro okamžitou
rychlost planety platí vztah:
v2
= κM
2
r
−
1
a
, (3.54)
kde a je velká poloosa a r je vzdálenost od Slunce.
3.7. TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ G 79
[Vztah z minulého příkladu se musí rovnat součtu kinetické a potenciální
energie, tedy:
W = −
κM m
2a
=
1
2
mv2
−
κmM
r
. (3.55)
Po jednoduché úpravě obdržíme:
v2
= κM
2
r
−
1
a
.] (3.56)
22. Astrologové tvrdí, že kosmická tělěsa svými astrologickými silami v
okamžiku narození lidí ovlivňují jejich charaktery. Vypočtěte poměr
gravitačních sil Jupitera a Země na nově narozené dítě v okamžiku,
kdy se Jupiter nachází v opozici ve vzdálenosti d = 4.2 AU od Země.
Hmotnost Jupitera je 318 MZ.
[Poměr gravitačních sil je
FJ
FZ
=
κMJmd
d2
κMZmd
R2
Z
= 1.37 · 10−7
. (3.57)
Gravitační vliv Jupitera je teda zcela zanedbatelný.]
80 KAPITOLA 3. GRAVITACE
Kapitola 4
Zatmění
4.1 Zatmění
Zatmění může být částečné nebo úplné. Zastínění slunečního disku Měsícem
se nazývá zatmění Slunce. Zastínění Měsíce v úplňku zemským stínem
se nazývá zatmění Měsíce. Zastínění hvězdy Měsícem, planetou nebo jejím
Měsícem se nazývá zákryt.
4.1.1 Zatmění Slunce
Zatmění Slunce nastává, dostane-li se Měsíc mezi Slunce a Zemi. Při tomto
zatmění musí být Měsíc v novu. Shodou okolností je disk Měsíce na obloze
přibližně stejně velký jako disk Slunce. Skutečný průměr Měsíce je 400 krát
menší než průměr Slunce a zároveň je Měsíc 400 blíže k Zemi než Slunce.
Kdyby Měsíc obíhal kolem Země v rovině ekliptiky, nastávalo by zatmění
Slunce při každém novu. Dráha Měsíce je však skloněna k rovině ekliptiky
o úhel 5◦
. Měsíc v novu se někdy nachází pod a někdy nad ekliptikou a k
zatmění nedojde. Jen ocitne-li se ve fázi novu blízko tzv. uzlu (což je průsečík
měsíční dráhy a eklitiky), dojde k zatmění Slunce.
Délka stínu Měsíce závisí na poloměru Slunce, Země, Měsíce (tyto hodnoty
jsou neměnné) a na vzájemných vzdálenostech všech tří těles (které se mění).
Tečné paprsky vedené ze Slunce ohraničují kužel plného stínu i polostínu.
Vrcholy obou kuželů leží na ose stínu. Úplné zatmění Slunce nastane, máli
plný stín přinejmenším takovou délku, aby alespoň jeho vrchol dosáhl na
Zemi.
81
82 KAPITOLA 4. ZATMĚNÍ
Obrázek 4.1: Schématické znázornění zatmění Slunce pro výpočet délky Měsíčního
stínu dM.
Je-li poloměr Slunce R , poloměr Měsíce (Země) RM, RZ a jejich vzájemná
vzdálenost r, pak se dá z obr.4.1 vyjádřit
dM =
RM r
R − RM
(4.1)
dZ =
RZ r
R − RZ
. (4.2)
Dosadíme-li za poloměr Slunce R = 696 · 103
km, poloměr Měsíce RM =
1 738 km, poloměr Země RZ = 6 378 km a za vzdálenost r = 149.6 · 106
km,
dostaneme pro délku plného stínu Země a Měsíce:
dM = 374 500 km (4.3)
dZ = 1 383 600 km. (4.4)
Jelikož vzdálenost Měsíce od Země je přibližně 380 000 km, dosáhne na
povrch Měsíce konec plného stínu Měsíce. Protože Měsíc se pohybuje kolem
Země po eliptické dráze, mění se jeho vzdálenost od Země a proto mohou
nastat tři různé případy zatmění:
1) úplné - na pozorovací místo dopadá alespoň vrchol úplného stínu
2) částečné - na pozorovací místo dopadá jen polostín
3) kruhové (prstencové) - na pozorovací místo nedopadne měsíční stín,
protože je kratší než okamžitá vzdálenost Země - Měsíc.
4.1. ZATMĚNÍ 83
Obrázek 4.2: Schéma zatmění Měsíce. Na myšlenou rovinu kolmou
na osu stínu a proloženou okamžitou drahou Měsíce je promítnuta
oblast plného stínu a polostínu, kterou prochází Měsíc.
Zdroj: http://www.astrovm.cz/cz/na-obloze/ukazy/castecne-zatmeni-mesice-
25-4-2013.html
Úplné zatmění Slunce můžeme pozorovat jen z místa na povrchu Země,
kam dopadá plný stín Měsíce, tzv. pásu totality. Tento pás nebývá širší více
něž 270 km. Stín se pohybuje rychlostí přinejmenším 34 km/min, proto maximální
délka trvání zatmění je 7.5 minuty.
4.1.2 Zatmění Měsíce
Zatmění Měsíce nastává, je-li Země mezi Měsícem a Sluncem. Měsíc se musí
nacházet poblíž uzlu své dráhy a musí být v úplňku. Za Zemí se táhne kuželový
stín až do vzdálenosti 1 383 600 km. Kolem plného stínu se nachází
polostín. Vstoupí-li celý Měsíc do plného stínu, nastane úplné zatmění Měsíce.
Při něm Měsíc nezmizí z oblohy, zůstává viditelný, jen je tmavohnědý.
Vstoupí-li jen částečně do plného stínu, nastane částečné (stínové) zatmění.
Prochází-li Měsíc jen polostínem, nastává polostínové zatmění, při něm je
Měsíc viditelný, jeho svit je jen zeslabený.
Zatmění Měsíce je pozorovatelné z celé polokoule, kde je v dané chvíli
Měsíc nad obzorem. Počet slunečních zatmění je větší než měsíčních. Souvisí
to se skutečností, že stínový kužel se za Zemí zužuje, před Zemí směrem ke
Slunci rozšiřuje.
84 KAPITOLA 4. ZATMĚNÍ
4.1.3 Perioda Saros
Zatmění se periodicky opakují v období 18 let a 11 dní. Tato perioda se
nazývá Saros a souvisí s periodou stáčení uzlů měsíční dráhy. Po uplynutí
této doby se zatmění opakují ve stejném pořadí. Během periody Saros nastává
70 zatmění, z toho 41 slunečních a 29 měsíčních.
4.2 Příklady
1. Určete poměr slapových sil působících na Zemi, vyvolaných Sluncem a
Měsícem. Jak by se situace změnila, kdyby se vzdálenost Měsíce zvětšila
2 krát? Hmotnost Země je MZ = 5.97·1024
kg, hmotnost Měsíce MM =
7.35 · 1022
kg a hmotnost Slunce M = 1.99 · 1030
kg.
[Využijeme vztah pro slapovou sílu:
F =
2GMZMRZ
r3
, (4.5)
kde Země je těleso, na které svou gravitační silou působí jiné kosmické
těleso o hmotnosti M, např. Slunce nebo Měsíc, a r je vzdálenost středů
obou těles. Za povšimnutí stojí skutečnost, že velikost působící síly
klesá s třetí mocninou vzdálenosti. Po dosazení získáme pro velikost
působících slapových sil Měsíce na Zemi MMZ = 6.6 · 1018
N a Slunce
na Zemi M Z = 3.0 · 1018
N. Slapové síly vyvolané Měsícem jsou tedy
2.2 krát větší než slapové síly vyvolané Sluncem. ]
2. Jsou dány tyto údaje: vzdálenost středu Slunce od povrchu Země a =
150·106
km, vzdálenost středu Měsíce od povrchu Země b = 360 000 km,
poloměr Slunce R = 7 · 105
km, poloměr Měsíce r = 17.5 · 102
km.
Na základě těchto údajů vypočtěte, jakou plochu má stín Měsíce na
povrchu Země při úplném zatmění Slunce. Povrch Země považujte za
rovinný. Při jaké vzdálenosti Měsíce od Země se měsíční stín dotkne
Země v jediném bodě?
[Z podobnosti trojúhelníků na obrázku 4.3 vyplývá:
R
a + x
=
r
b + x
(4.6)
a
4.2. PŘÍKLADY 85
Obrázek 4.3: Schematické znázornění uspořádání těles k výpočtu plochy měsíčního
stínu na povrchu Země při úplném zatmění Slunce.
r
b + x
=
ρ
x
(4.7)
Z druhé rovnice vyjádříme ρ = rx
b+x
a dosadíme z rce (4.6) za x = ra−Rb
R−r
.
Pak
ρ =
ra − Rb
a − b
= 70.2 km (4.8)
Plocha Měsíčního stínu je S = πρ2
= 15 500 km2
.
Má-li se Měsíční stín dotknout Země v jediném bodě, pak musí platit
x = 0, tedy ra = Rb. Pro vzdálenost Měsíce od povrchu Země po
číselném dosazení vyjde hodnota b = 375 000 km. Pokud by vzdálenost
Měsíce od Země byla ještě větší, nenastane již úplné zatmění ale
prstencové. ]
3. Označme r poloměr Země, pak poloměr Slunce činí R = 109 r, vzdálenost
středů Slunce a Země a = 23 680 r, vzdálenost středu Měsíce od
středu Země b = 60 r. Vypočtěte poloměr ρ kolmého řezu plného stínu
Země ve vzdálenosti Měsíce od Země za předpokladu, že Země není
obklopena atmosférou.
[ρ = 0.726 r]
86 KAPITOLA 4. ZATMĚNÍ
Kapitola 5
Dalekohledy
5.1 Dalekohledy
Dalekohledy mají tři základní úkoly:
1) Nasbírat co nejvíce světla (což nám umožňuje pozorovat i velice slabé
objekty)
2) Zvětšit zdánlivý úhlový rozměr pozorovaného objektu (díky tomu dosahujeme
daleko lepších rozlišení)
3) Používají se k měření poloh objektů.
Dalekohledy dělíme na čočkové refraktory a zrcadlové reflektory a kombinované
(zrcadlo-čočkové), tzv. katadioptrické.
5.1.1 Refraktory
U čočkových dalekohledů se jako objektiv používá spojná čočoka. Podle typu
okulárové čočky rozlišujeme:
1. Galileův refraktor: Jako okulár je použitá rozptylka. Takto vzniklý obraz
je vzpřímený a neskutečný. Ke krajům zorného pole klesá jasnost,
proto tyto dalekohledy musely být vybaveny mnohem větším objektivem.
Obrazová rovina leží mimo dalekohled, proto do ní nelze vložit
ani clonu ani záměrný kříž. V astronomii se proto tyto dalekohledy
nevyužívají.
2. Keplerův refraktor. Objektiv i okulár jsou tvořeny spojnou čočkou.
Tento dalekohled má širší zorné pole, poskytuje jasnější obraz, který
87
88 KAPITOLA 5. DALEKOHLEDY
(a) (b)
Obrázek 5.1: a) Schematický nákres Keplerova dalekohledu. Převzato z:
http://dalekohledy.wz.cz/odalekohledech.html. b) U Keplerova dalekohledu je
objektivem spojka o velké ohniskové vzdálenosti F, která vytvoří obraz vzdáleného
objektu v ohniskové rovině obrazového prostoru čočky. Obraz je převrácený,
zmenšený a skutečný. Okulár tvoří další spojná čočka, s menší ohniskovou
vzdáleností f. Okulár se umísťuje tak, aby obraz vytvořený objektivem
se nacházel v ohniskové rovině předmětového prostoru okuláru. Okulárem
tedy pozorujeme obraz předmětu jako lupou.
je skutečný a převrácený. Délka dalekohledu je dána součtem ohniskových
vzdáleností objektivu a okuláru1
.
Výhodou refraktorů je velké zorné pole, snažší výroba (kvalitní a přesná
čočka se vyrobí snáz než kvalitní zrcadlo), optické plochy nepodléhají korozi,
tubus dalekohledu je uzavřený - brání prachu a vlhkosti dostat se dovnitř.
Čočkové dalekohledy jsou snadno přenosné. Nevýhodou je barevná vada čoček
(viz dále), ztráty světla způsobené průchodem světelných paprsků čočkou
a objektiv, který je náchylný k orosení.
5.1.2 Reflektory
Zrcadlové dalekohledy používají jako objektiv parabolické zrcadlo. Podle
toho, jakým způsobem jsou odchýleny paprsky odražené od primárního zrcadla,
rozlišujeme několik typů reflektorů.
1. Newtonův reflektor: Paprsky odražené od primárního zrcadla dopadají
na sekundární rovinné zrcátko, které je skloněno pod úhlem 45◦
k op-
1
Jeden z největších Keplerových dalekohledů byl postaven Johannem Heveliem v 70.
letech 17. st a měl délku 42 m.
5.1. DALEKOHLEDY 89
(a) (b)
(c) (c)
Obrázek 5.2: Schématické nákresy základních typů zrcadlových dalekohledů.
a) Newtonův reflektor, b) Cassegrainův, c) Gregoryho reflektor. Převzato z:
http://dalekohledy.wz.cz/odalekohledech.html, d) Coudé dalekohled, převzato
z: http://telescopes.stardate.org.
tické ose hlavního zrcadla. Takto odražené paprsky jsou vyvedeny bokem
tubusu ven z dalekohledu. Obraz je stranově i výškově převrácený.
2. Cassegrainův reflektor: Sekundární zrcátko již není rovinné ale konvexní
a odráží světelné paprsky zpět přez otvor ve středu primárního zrcadla
do sekundárního ohniska vně dalekohledu. Obraz je také převrácený.
3. Gregoryův reflektor: Sekundární zrcátko je narozdíl od Cassegrainova
reflektoru duté.
4. Coudé reflektor: Uspořádání Coudé reflektoru je mnohem složitější. Tubus
dalekohledu je zalomen, okulárová část slouží jako polární osa, část
s objektivem jako deklinační osa. Pomocí dvou rovinných zrcátek je
světlo vedeno deklinační osou do pevného Coudé ohniska. Výhodou tohoto
složitého uspořádání je fakt, že se okulár nachází stále na témže
místě, nezávisle na tom, na které místo na obloze je dalekohled namířen.
Výhodou reflektorů je úplná absence barevné vady. Zrcadla velkých průměrů
se vyrábí snadněji než stejně velké čočky a navíc jsou zrcadla ukryta
90 KAPITOLA 5. DALEKOHLEDY
v tubusu, proto jsou méně náchylná k orosení. Nevýhodou je velká citlivost
na neklid ovzduší a nutnost čas od času znovu pokovit zrcadlo, popřípadě
seřídit obě zrcadla. Navíc sekundární zrcátko, které zakrývá část primárního
zrcadla způsobuje ohybové jevy a snižuje kontrast obrazu.
5.1.3 Katadioptrické dalekohledy
Nevýhodou reflektorů bylo jejich malé zorné pole, které při fotografování
velkých oblastí oblohy nepostačovalo. Řešení našel v roce 1930 Bernhard
Schmidt, který zkombinoval čočkový a zrcadlový dalekohled dohromady. O
11 let později přišel s dalším novým řešením Dmitrij Dmitrijevič Maksutov.
(a) (b)
(c) (d)
Obrázek 5.3: Kombinované (katadioptrické) dalekohledy: a) Schmidtova
komora, b) Maksutova komora, c) dalekohled SchmidtCassegrain
a d) dalekohled Maksutov-Cassegrain. Převzato z:
http://dalekohledy.wz.cz/odalekohledech.html
1. Schmidtův dalekohled (komora) používá jako objektiv sférické zrcadlo
a chyby jeho zobrazení koriguje tenká skleněná korekční deska.
2. Maksutův dalekohled (Maksutova komora) používá k odstranění sférické
aberace meniskus. Výhodou tohoto dalekohledu je velká světelnost a
velké zorné pole při malé délce tubusu.
3. Schmidt-Cassegrain: vznikl kombinací Schmidtovy komory s klasickým
Cassegrainovým dalekohledem. Je to snad nejúspěšnější systém, velmi
oblíbený mezi astronomy amatéry.
5.2. VADY OPTICKÝCH SOUSTAV 91
4. Maksutov-Cassegrain: vznikl kombinací Maksutovy komory s Cassegrainovým
dalekohledem.
5.2 Vady optických soustav
1. Barevná vada - chromatická aberace: Způsobuje ji odlišný lom paprsků
různých vlnových délek. Červené paprsky se v čočce lomí méně než
modré. Vada se odstraňuje pomocí soustavy 2 čoček - tzv. ACHROMAT,
nebo trojčočkovým objektivem - tzv. APOCHROMAT.
2. Kulová vada - sférická aberace: Vzniká tím, že se paprsky na okraji
čočky lomí více než paprsky jdoucí středem čočky. U čoček se odstraňuje
soustavou čoček - APLANÁT, u zrcadel použitím zrcadla ve tvaru
paraboloidu.
3. Astigmatismus - nebodovost: Vzniká při zobrazování okolí v širším úhlu.
Objekty na okrajích zorného pole se zobrazí jako úsečky nebo plošky.
Odstraňuje se spolu s kulovou a barevnou vadou ve vícečočkových objektivech
- tzv. ANASTIGMATECH.
5.3 Základní optické vlastnosti dalekohledů
5.3.1 Zvětšení dalekohledu Z
je dáno poměrem ohniskových vzdáleností objektivu k okuláru
Z =
fobj
fok
, (5.1)
nebo pomocí průměru vstupní D a výstupní pupily D .
Z =
D
D
. (5.2)
Výstupní pupila dalekohledu by měla být vždy menší než vstupní pupila
oka (8 mm), jinak by část světla prošlého dalekohledem zůstala nevyužita.
Odtud nejmenší rozumné zvětšení dalekohledu, tzv. normální zvětšení ZN je
ZN =
D[mm]
8
. (5.3)
92 KAPITOLA 5. DALEKOHLEDY
O málo větší zvětšení se používá v triedrech.
Zvětšení, které se pohybuje v rozmezí (D
2
; 2D) se nazývá užitečné zvětšení.
Při něm využijeme plně rozlišovací schopnost ψ dalekohledu, ψ = 110
D[mm]
. To
zn. že ψ musíme zvětšit alespoň na rozlišovací schopnost oka (120”).
ZU =
120
ψ
=
120
110
D[mm] ≈ D [mm]. (5.4)
Při zvětšení větším než 2D je už výstupní pupila příliš malá, obraz ztrácí
kontrast i jas a je temný. Takové zvětšení se nazývá mrtvé zvětšení.
5.3.2 Rozlišovací schopnost dalekohledu ψ
Žádný dalekohled neumí zobrazit vzdálené body opět jako body, ale zobrazí
je jako kotoučky. Průměr nejmenšího kotoučku je právě rozlišovací schopnost
dalekohledu. Je to tedy nejmenší úhlová vzdálenost mezi dvěma body, kterou
dalekohled dokáže ještě rozlišit. Pro žlutozelenou barvu, na kterou je naše oko
nejcitlivější, je rozlišovací schopnost dána vztahem:
ψ =
110
D[mm]
. (5.5)
Rozlišovací schopnost závisí na kvalitě objektivu. Zkoušíme ji pomocí různých
testů nebo pozorováním těsných dvojhvězd. Jsou-li středy kotoučků
obou hvězd ve dvojhvězdě od sebe vzdáleny přesně ψ, uvidíme dvojhvězdu
jako čárku. Jsou-li vzdáleny více než ψ, obě složky dvojhvězdy od sebe odli-
šíme.
5.3.3 Světelnost dalekohledu A
Světelnost dalekohledu je poměr průměru vstupní pupily objektivu D[mm]
a ohniskové vzdálenosti fobj.
A =
D[mm]
fobj
. (5.6)
Někdy se uvádí v podobě 1 :
fobj
D[mm]
.
5.4. PŘÍKLADY 93
5.4 Příklady
1. Jaký by musel být průměr objektivu astronomického dalekohledu, aby
v něm bylo možné vidět skutečný průměr obří hvězdy Betelgeuze, jejíž
úhlový průměr činí 0.04 ?
[Rozlišovací schopnost dalekohledu musí být alespoň ψ = 0.04 . Pak
D = 2 750 mm.]
2. Jaká je nejmenší úhlová vzdálenost středů dvou hvězd, které lze rozlišit
v dalekohledu o průměru objektivu 60 cm.
[0.18 ]
3. Dokažte, že teoretická rozlišovací schopnost zdravého lidského oka je
přibližně 1 .
[Vezměme vlnovou délku λ = 550 nm, na kterou je lidské oko nejcitlivější,
a průměr oční pupily D = 2 mm. Po dosazení do vztahu pro
rozlišovací schopnost
ψ = 1.22
λ[m]
D[m]
(5.7)
Po číselném vyjádření obdržíme ψ = 3.350 · 10−4
rad = 1 9 . Reálná
hodnota je kolem 2 . ]
4. Hubbleův kosmický dalekohled obíhající nad Zemí ve výšce 600 km nad
Zemí používá primární zrcadlo o průměru D = 2.4 m. Určete jeho rozlišovací
schopnost na vlnové délce čáry vodíku Lα s λ = 121.6 nm. Z
jaké vzdálenosti d bychom pod stejným úhlem viděli dvacetikorunu o
průměru x = 25 mm?
[Rozlišovací schopnost dalekohledu:
ψ = 1.22
λ[m]
D[m]
= 6.18 · 10−8
rad = 0.0127 . (5.8)
Pro vzdálenost d platí: d = x
ψ
= 0.025 m
6.157·10−8 rad
= 406 km.]
5. Úhel mezi dvěma hvězdami je ϕ = 10−6
rad. Lze tyto hvězdy rozlišit
pomocí dalekohledu s průměrem primárního zrcadla 2.54 m? Předpokládejme
že pozorování proběhlo na vlnové délce λ = 510 nm.
94 KAPITOLA 5. DALEKOHLEDY
[Rozlišovací schopnost dalekohledu je:
ψ = 1.22
510 · 10−9
[m]
2.54 [m]
= 2.45 · 10−7
rad = 0.05 . (5.9)
Poměr ϕ
ψ
= 4.2. Dvojhvězdy tímto dalekohledem rozlišíme bez problémů,
neboť jejich úhlová vzdálenost je 4 krát větší než rozlišovací
schopnost dalekohledu.]
6. Předpokládejme, že hvězdy z minulého příkladu vyzařují rádiové vlny
na frekvenci ν = 400 MHz. Můžeme obě hvězdy rozlišit při detekci
rádiového záření pomocí rádiového teleskopu v Arecibu, jehož průměr
je 305 m?
[Vlnová délka rádiových vln je λ = c
ν
= 0.75 m. Rozlišovací schopnost
teleskopu v Arecibu
ψ = 1.22
0.75 [m]
305 [m]
= 3 · 10−3
rad. (5.10)
K rozlišení obou hvězd na této vlnové délce bychom potřebovali 3 000
krát větší rozlišení.]
7. Jaké musí být zvětšení dalekohledu, aby při pozorování Jupitera (úhlový
průměr 40 ) byl průměr Jupitera stejný jako průměr Měsíce v
úplňku při pozorování pouhým okem (31 )?
[Z = 1 860
40
= 46.5]
8. Astronomický dalekohled má ohniskovou vzdálenost objektivu f =
150 cm, okuláru f = 5 cm. Pod jakým úhlem α v něm uvidíme Měsíc,
je-li úhlový průměr Měsíce 31 .
[Zvětšení dalekohledu Z =
fobj
fok
= 30. Měsíc v něm uvidíme pod úhlem
α = 31 · Z = 15◦
30 .]
9. Jaký průměr x bude mít obraz Slunce v ohnisku objektivu, jehož ohnisková
vzdálenost f = 40 cm? Zdánlivý úhlový průměr Slunce d = 32 .
[Ze vztahu: tan d
2
= x
2
· 1
f
vyjádříme x: x = 2f tan d
2
= 0.37 cm.]
10. Hvězda prošla zorným polem nehybného dalekohledu (podél průměru)
za t sekund. Vypočtěte v úhlové míře průměr d zorného pole dalekohledu,
je-li δ deklinace hvězdy.
5.4. PŘÍKLADY 95
[Hvězda nacházející se na rovníku opíše za 24 hodin kružnici o poloměru,
který označíme r, tedy 2πr = 360◦
= 24 hod = 86 400 s. Hvězda
nacházející se mimo rovník opíše za 24 hodin kružnici o menším poloměru,
který označíme x. Pro tento poloměr platí: x = r cos δ, kde δ je
deklinace hvězdy. Za 1 s urazí hvězda dráhu
360◦
cos δ
86 400
= 15 cos δ (5.11)
Zorným polem hvězda projde za t sekund, tedy: d = t · 15 cos δ.]
11. Určete úhlovou vzdálenost dvou svislých vláken v ohnisku okuláru meridiánového
kruhu, jestliže doba průchodu hvězdy δ UMi mezi těmito
vlákny byla t = 184 s. Deklinace hvězdy δ = 86◦
36.6 .
[Po dasazení do výsledného vztahu z minulého příkladu obdržíme:
d = t · 15 cos δ = 163 = 2 43 .]
12. Jakou nejmenší délku x musí mít úsečka na Měsíci, aby její obraz v
zrcadlovém dalekohledu s průměrem zrcadla 6 m bylo možno odlišit od
bodu? Vzdálenost Měsíce od Země je d = 384 400 km.
[Rozlišovací schopnost dalekohledu je: ψ = 110
D [m]
= 0.018 . Ze vztahu
tan ψ
2
=
x
2
d
vyjde po číselném dosazení: x = 33.5 m.]
13. Jak velký by musel být průměr zrcadla dalekohledu, abychom v něm
dokázali rozlišit od bodu tzv. ”Tvář na Marsu”, nacházející se v oblasti
Cydonia na povrchu Marsu. Uvažujme větší z rozměrů ”tváře” 2.5 km
a vzdálenost Marsu od Země při opozici 55 · 106
km.
[Analogicky předešlému příkladu: tan ψ
2
= x
2d
= 2.272 · 10−8
, odtud
ψ = 2.604 · 10−6
rad = 0.01 . Dalekohled s touto rozlišovací schopností
by musel mít průměr zrcadla: D = 110
ψ
= 11 m.]
14. Určete rozlišovací schopnost dalekohledu o průměru D = 1.3 m na vlnové
délce λ = 550 nm. Jaký by musel mít poloměr rádiový teleskop
pracující na vlnové délce λ = 4 m se stejnou rozlišovací schopností?
[Rozlišovací schopnost dalekohledu je:
ψ = 1.22
550 · 10−9
[m]
1.3 [m]
= 4.7 · 10−7
rad = 0.1 . (5.12)
96 KAPITOLA 5. DALEKOHLEDY
Průměr rádiového teleskopu se stejnou rozlišovací schopností by musel
být 9.5 · 106
m, což je technicky nemožné. Proto jsou používány interferometrické
soustavy rádiových teleskopů.]
Kapitola 6
Astrofyzika 1
6.1 Zdánlivá hvězdná velikost, Pogsonova rov-
nice
Už starořečtí astronomové rozdělili hvězdy do 6 skupin, magnitud1
, podle jejich
jasnosti. Nejjasnější hvězdy byly hvězdy 1.mag, nejslabší, okem viditelné,
hvězdy byly hvězdy 6. magnitudy.
Později se zjistilo, že díky vlastnostem lidského oka tvoří tyto magnitudy
přibližně geometrickou řadu. Tento poznatek dnes popisuje Weber - Fechnerův
psychofyzikální zákon, který říká: Mění-li se fyzikální podněty působící na
naše smysly řadou geometrickou, vnímáme jejich změnu v řadě aritmetické.
Fotometrická veličina udávající jasnost hvězdy nebo jiného kosmického
tělesa se nazývá zdánlivá hvězdná velikost (magnituda), m. Je měřítkem
osvětlení jednotkové plochy, postavené kolmo ke směru dopadajích paprsků.
Hvězdná velikost nesouvisí s rozměrem hvězdy.
Jsou-li I1, I2 intenzity osvětlení způsobené zářením dvou hvězd, pak rozdíl
jejich zdánlivých hv. velikostí je dán Pogsonovou rovnicí:
m1 − m2 = 2.5 log
I2
I1
. (6.1)
Je-li rozdíl hv. velikostí roven 1m
, je jasnější hvězda 2.512 krát jasnější
než slabší hvězda. Při rozdílu hv. velikostí m1 − m2 = 5m
je poměr intenzit
jasnější hvězdy ke slabší (I2
I1
) = 100.
1
Název magnituda pochází z latinského magnitudo - velikost.
97
98 KAPITOLA 6. ASTROFYZIKA 1
V současné době se hvězdná velikost určuje pomocí detektorů záření a
filtrů v různých oborech elektromagnetického spektra a je už tedy nezávislá
na zraku pozorovatele.
Podle spektrálního oboru, v němž je tok záření měřen, rozlišujeme:
• vizuální hv. velikosti mv, které odpovídají celkové intenzitě v rozmezí
vlnových délek, na něž je lidské oko citlivé (maximum u λ = 530 nm).
• fotografické hv. velikosti mph, určené ze zčernání obrazu na obyčejné
fotografické emulzi citlivé na modré světlo (maximum na λ = 430 nm).
• fotovizuální hv. velikosti mpv, což jsou fotografické hv. velikosti určené
pomocí filtru citlivého na žlutozelené světlo, (maximum na λ = 543 nm,
která je blízká největší citlivosti lidského oka.)
• fotoelektrické hv. velikosti mpe, jsou určeny měřením intenzity světla pomocí
fotoelektrického fotometru, jehož čidlo (fotonásobič nebo CCD)
převádí energii dopadajících fotonů na el. proud, který lze přesně změřit.
Fotoelektrická hv. velikost je určena s přesností na setiny, což je
mnohem víc, než u fotografické či vizuální hv. velikosti. Vhodnou kombinací
fotonásobiče a filtru lze zvolit interval vln. délek (v růz. oborech
elmag. záření, nejen viditelného).
• radiometrická hv. velikosti mrad, jsou určené pomocí radiometru.
• bolometrická hv. velikosti mbol, jsou vypočtené hv. velikosti, které by
odpovídaly celkovému záření hvězdy na všech vlnových délkách vně
zemské atmosféry. Vizuální hv. velikost odpovídá pouze světlu!
Rozdíl mezi bolometrickou a vizuální hv. velikostí se nazývá bolometrická
korekce BC.
6.1.1 Absolutní hvědná velikost M
Celková energie vyzářená z celého povrchu hvězdy za jednotku času je dána
rovnicí: 2
L = 4πr2
I, (6.2)
2
Tato rovnice platí přesně jen v případě, kdy světlo na své dráze mezi zdrojem a pozorovatelem
není oslabeno absorpcí.
6.1. ZDÁNLIVÁ HVĚZDNÁ VELIKOST, POGSONOVA ROVNICE 99
kde L je celková svítivost (luminosita) hvězdy, I je intenzita osvětlení. Aby
bylo možno vzájemně srovnávat svítivosti jednotlivých hvězd, převádí se
zdánlivá hv. magnituda na hodnotu, jakou by měla pokud bychom danou
hvězdu pozorovali ze vzdálenosti 10 pc, což odpovídá paralaxe π = 0.1 . Pak
mluvíme o absolutní hvězdné velikosti M. Intenzita světla ubývá se čtvercem
vzdálenosti. Označíme-li Ir intenzitu hvězdy ve vzdálenosti r parseků,
m její zdánlivou hv. velikost, I10 intenzitu hvězdy ve vzdálenosti 10 pc a její
absolutní hv. velikost M, pak pro jejich poměr platí:
Ir
I10
=
102
r2
. (6.3)
Po dosazení do Pogsonovy rovnice:
M − m = 2.5(log Ir − log I10) = 5 log 10 − 5 log r. (6.4)
Odtud pro absolutní hv. velikost obdržíme výsledný vztah:
M = m + 5 − 5 log r, (6.5)
kde r dosazujeme v parsecích, nebo pomocí paralaxy π, kterou dosazujeme
v obloukových vteřinách,
M = m + 5 + 5 log π. (6.6)
V tabulce jsou uvedeny zdánlivé a absolutní magnitudy nejjasnějších objektů
na obloze:
6.1.2 Modul vzdálenosti m − M
Modul vzdálenosti (m−M) je rozdíl zdánlivé a absolutní hv. velikosti, neuvažujemeli
absorpci. Můžeme je j vyjádřit pomocí vzdálenosti r hvězdy
m − M = 5 log r − 5, (6.7)
nebo pomocí paralaxy π
m − M = −5 log π − 5. (6.8)
Na následujícím obr. 6.1 jsou uvedeny moduly vzdáleností hvězd pro různé
vzdálenosti od pozorovatele.
100 KAPITOLA 6. ASTROFYZIKA 1
zdánlivá absolutní vzdálenost
Objekt hv. velikost hv. velikost
m [mag] M [mag] [l.y.]
Slunce -26.6 4.8 1.5 · 108
km
Měsíc v úplňku -12.6 - 3.844 · 105
km
záblesky satelitů IRIDIUM -8.0 - stovky km
Venuše -4.4 - ISS
-3.5 - 400 km
Jupiter -2.8 - Sirius
A (α CMa A) -1.46 1.45 9
Canopus (α Car) -0.72 -2.5 310
Arcturus (α Boo) -0.04 -0.1 36
α Centauri A (Toliman) -0.01 4.37 4
Vega (α Lyr) 0.03 0.5 26
Capella (α Aur) 0.08 -0.4 41
Polárka (α UMi) 1.97 -3.6 323
61 Cygni (HIP 104 217) 6.05 8.3 11
Barnardova šipka (HIP 87 937) 9.54 13.2 6
Tabulka 6.1: Zdánlivé a absolutní magnitudy nejjasnějších objektů na obloze.
6.1. ZDÁNLIVÁ HVĚZDNÁ VELIKOST, POGSONOVA ROVNICE 101
Obrázek 6.1: Modul vzdálenosti. Zdroj: Z. Pokorný: Vademecum [online],
Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně.
6.1.3 Absorpce světla A(r)
Protože světlo na cestě k pozorovateli prochází absorpčním prostředím (např.
oblaky mezihvězdného prachu), dochází ke zmenšení intenzity světla hvězd
(a tím ke zvětšení jejich zdánlivé hv. velikosti). Zdánlivá hv.velikost vzroste
o veličinu A(r);
m = M + 5 log r − 5 + A(r). (6.9)
Přesný vztah pro absolutní hv. velikost má pak tvar:
M = m + 5 − 5 log r − A(r), (6.10)
kde A(r) je funkce charakterizující absorpci světla. V prvém přiblížení roste
absorpce světla úměrně se vzdáleností hvězdy
A(r) = ar, (6.11)
kde a je koeficient absorpce, t.j. absorpce na délkovu jednotku (např. na kpc),
kterou projde světlo. Střední hodnota je ¯a = 0.3m
na kiloparsek.
Absolutní hv. velikost pak můžeme vyjádřit vztahem:
M = m + 5 − 5 log r − ar, (6.12)
nebo
M = m + 5 + 5 log π −
a
π
. (6.13)
102 KAPITOLA 6. ASTROFYZIKA 1
6.1.4 Příklady
1. Jaký je poměr intenzit světla dvou hvězd, jejichž zdánlivé hv. velikosti
se liší o 7m
?
[Po dosazení do Pogsonovy rovnice
m1 − m2 = 2.5 log
I2
I1
(6.14)
obdržíme I2
I1
= 631.]
2. Jestliže se intenzita hvězdy zvýší 25 000 krát, o kolik se změní její hv.
velikost?
[Z Pogsonovy rovnice: m2 = m1 − 11m
; nová hv. velikost se zmenší o
11m
a hvězda bude tedy o 11m
jasnější.]
3. Kdyby se vzdálenost hvězdy 4m
zmenšila na polovinu, jaká by byla její
zdánlivá hvězdná velikost?
[Označme původní vzdálenost hvězdy r1, novou jako r2 = r1
2
. Připoměňme,
že luminosita L hvězdy je celková energie vyzářená z celého
povrchu hvězdy do okolního prostoru, L = 4πr2
I.
Pro poměr intenzit světla dvou hvězd tedy platí:
I1
I2
=
L1
4πr2
1
L2
4πr2
2
. (6.15)
Za předpokladu, že se jedná o jednu a tutéž hvězdu pozorovanou ve
dvou různých vzdálenostech, L1 = L2, obdržíme:
I1
I2
=
r2
r1
2
(6.16)
Po dasazení do Pogsonovy rovnice:
m2 − m1 = 2.5 log
I1
I2
= 5 log
r2
r1
(6.17)
Po číselném vyjádření: m2 = 2.5m
.]
6.1. ZDÁNLIVÁ HVĚZDNÁ VELIKOST, POGSONOVA ROVNICE 103
4. Jak by se jevilo jasné Slunce pro pozorovatele poblíž Vegy. Zdánlivá hv.
velikost Slunce pro pozorovatele na Zemi je m = −26.6m
. Vzdálenost
Vegy je 7.8 pc.
[m = 4.43m
]
5. Hvězda Deneb je od nás 75 krát dále než Sirius. Zdánlivá hvězdná
velikost Denebu je mD = 1.26m
, Síria mS = −1.43m
. Kolikrát by byla
intenzita hvězdy Deneb větší, než intenzita Síria, kdyby byly obě dvě
ve stejné vzdálenosti?
[Označme vzdálenost Denebu rD = 75 rS. Posuneme-li Sírius do stejné
vzdálenosti v jaké se nachází Deneb, bude nová zdánlivá hvězdná velikost
Síria mSnova:
mSnova − mS = 2.5 log
IS
ISnova
= 5 log
rD
rS
. (6.18)
Zde jsme využili vztah (6.15). Po číselném dosazení: mSnova = 7.945m
.
Pro poměr intenzit posunutého Síria a Denebu dosadíme do Pogsonovy
rovnice:
mSnova − mD = 2.5 log
ID
ISnova
(6.19)
Odtud ID = 472 ISnova. ]
6. Dvojhvězda Castor má složky o hvězdných velikostech m1 = 1.99m
,
m2 = 2.85m
. Jaká je hvězdná velikost Castora při pozorování pouhým
okem, kdy se nám jeví jako jednoduchá hvězda.
[Vypočteme poměr intenzit obou složek z Pogsonovy rovnice:
I1 = 2.208I2. (6.20)
Při pozorování pouhým okem sledujeme jedinou hvězdu s intenzitou
I = I1 + I2 = 3.208 I2. Její zdánlivou hv. velikost určíme z:
m2 − m = 2.5 log
I
I2
. (6.21)
Odtud m = 1.58m
. ]
104 KAPITOLA 6. ASTROFYZIKA 1
7. Zdánlivá hvězdná velikost Síria je m = −1.43m
, paralaxa π = 0.376 .
Určete jeho absolutní velikost.
[M = 1.45m
]
8. Kolikrát je jasnost Slunce větší než jasnost hvězdy Proxima Centauri?
Zdánlivá hv. velikost Proximy je mP = +10.5m
, paralaxa π = 0.76 .
Absolutní hv. velikost Slunce je M = 4.85m
.
[Absolutní hv. velikost Proximy: MP = 14.904m
.
Poměr intenzit obou hvězd vyjádříme z rce:
MP − M = 2.5 log
I
IP
(6.22)
Odtud: I
IP
= 10 500. ]
9. Hvězda α Cas je ve vzdálenosti 163 l.y. od Slunce. Její zdánlivá hv.
velikost je m = 2.37m
. Vypočtěte její absolutní hv. velikost.
[Převedeme vzdálenost na parseky, 163 l.y. = 50 pc. Po dosazení do
rovnice (6.5) obdržíme M = −1.12m
.]
10. Seřaďte 7 nejjasnějších hvězd oblohy podle jejich absolutní hv. velikosti,
znáte-li jejich zdánlivé hv. velikosti a vzdálenosti.
Hvězda m [mag] r [l.y.]
Slunce -26.6 1 AU
Sírius -1.47 8.6
Canopus -0.72 310
Arcturus -0.04 36.7
Alfa Centauri -0.01 4.365
Vega 0.04 25.3
Capella 0.08 42.2
[Canopus, Capella, Arcturus, Vega, Sirius, Alfa Centauri, Slunce.]
11. Kolikrát je jasnost hvězdy Canopus větší než jasnost Slunce?
[ICan = 17 000 I ]
6.2. ZÁŘENÍ ABSOLUTNĚ ČERNÉHO TĚLESA 105
12. Určete modul vzdálenosti m−M hvězdy, která je ve vzdálenosti 100 pc
od Slunce.
[m − M = 5m
]
13. Paralaxa hvězdy je π = 0.0074 , zdánlivá hv. velikost je 6.5m
. Určete
absolutní hv. velikost této hvězdy, je-li koeficient absorbce a = 0.0005
hvězdné velikosti na parsek.
[M = 0.78m
]
6.2 Záření absolutně černého tělesa
Pro popis dějů spojených s vyzařováním energie se používá abstrakce - absolutně
černé těleso. Jeho důležitou vlastností je, že dokonale pohlcuje veškeré
záření, které na něj dopadá. Žádné záření neodráží. Černé těleso je dokonalým
zářičem, neboť ze všech možných těles stejné teploty vysílá největší
množství záření. Nejvíce se vlastnostem absolutně černého tělesa blíží dutina,
jejíž vnitřní povrch tvoří matná černá plocha. Když otvorem pronikne
do dutiny elektromagnetické záření, při opakovaných odrazech od vnitřních
stěn dutiny se veškerá energie záření pohltí. Otvor dutiny se pak jeví jako
černé těleso.
Dokonalé černé těleso je jen teoretický pojem, ke kterému se skutečná
tělesa mohou do jisté míry přiblížit. Nejvíce se mu přibližuje žhavé plazma
ve středu Slunce.
Záření černého tělesa popisuje Planckův zákon vyjadřující zářivý výkon
jednotkové plochy černého tělesa (hvězdy) o teplotě T zářením vlnové délky
λ.
E(λ, T) =
2πhc2
λ5
1
e
hc
kλT − 1
, (6.23)
kde: h je Planckova konstanta h = 6.626 · 10−34
J s, k je Boltzmanova konstanta
k = 1.380·10−23
J K−1
a c je rychlost světla ve vakuu c = 299 792 458 m s−1
.
Z Planckova zákona plyne Wienův posunovací zákon, týkající se rozdělění
energie ve spektru. Podle něj se s rostoucí teplotou černého tělesa posouvá
maximum záření ke kratším vlnovým délkám. Označíme-li λmax vlnovou
délku, na kterou připadá maximum energie při teplotě T, pak platí
λmax T = b, (6.24)
106 KAPITOLA 6. ASTROFYZIKA 1
Obrázek 6.2: Planckův zákon. Těleso s vyšší teplotou září více
na všech vlnových délkách než těleso s nižší teplotou. Zdroj:
http://hvezdy.astro.cz/charakteristika/4-spektralni-typy-hvezd
kde konstanta b = 2.90 · 10−3
m K.
Pomocí Planckova zákona lze odvodit Stefanův-Boltzmanův zákon. Podle
něhož je celkový zářivý tok E, který vysílá černé těleso z jednotkové plochy
svého povrchu na všech vlnových délkách, přímo úměrný 4. mocnině absolutní
teploty.
E = σ T4
, (6.25)
kde σ = 5.669 · 10−8
W m−2
K−4
je Stefanova-Boltzmanova konstanta.
6.2.1 Povrchové teploty hvězd
Protože žádné těleso ve vesmíru není v termodynamické rovnováze (tedy není
černým tělesem), musíme vždy uvést, jakým způsobem jsme teplotu určili
nebo pomocí kterého zákona záření černého tělesa byla ze spektra odvozena.
• Barevná teplota Tc je teplota černého tělesa, u něhož by rozložení intenzity
ve spektru (dané Planckovým zákonem) bylo stejné jako u pozorované
hvězdy. Barevná teplota Slunce je Tc = 6 500 K.
6.2. ZÁŘENÍ ABSOLUTNĚ ČERNÉHO TĚLESA 107
• Efektivní teplota Tef je dána Stefanovým-Boltzmanovým zákonem. Je to
teplota takového černého tělesa, které vyzařuje z 1 m2
stejné množství
energie jako hvězda. Jinými slovy ji lze definovat jako teplotu černého
tělesa, které má stejný povrch jako hvězda (4πR2
) a stejnou zářivost
L jako hvězda. Efektivní teplota je nejlepší mírou skutečné teploty povrchu
hvězdy, např. sluneční fotosféry. Pomocí solární konstanty (viz
dále) lze určit efektivní teplotu Slunce Tef = 5 800 K. Kdyby Slunce
bylo v termodynamické rovnováze, musela by efektivní a barevná teplota
být stejné.
• Zářivá teplota Tr je teplota, kterou by muselo mít černé těleso, aby
vysílalo z 1 m2
v daném oboru spektra stejné množství energie jako
pozorovaná hvězda. Podle oboru spektra pak hovoříme o vizuální, fotografické
nebo infračervené barevné teplotě. Celkovému záření hvězdy
odpovídá bolometrická zářivá teplota.
6.2.2 Solární konstanta K
Solární konstanta K udává množství zářivé energie všech vlnových délek,
dopadající za 1 s na plochu 1 m2
postavenou kolmo k paprskům ve střední
vzdálenosti Země od Slunce (1 AU) mimo zemskou atmosféru. Její hodnota
je
K = 1.40 · 103
Jm−2
s−1
. (6.26)
Protože Země obíhá kolem Slunce po elipse, mění se vzdálenost Z - S
a tím i hodnota solární konstanty během roku. Navíc se její hodnota snižuje
průchodem zemskou atmosférou a dopadem na šikmý povrch ve vyšších
geografických šířkách. Proto se měří na družicích.
6.2.3 Zářivost Slunce L
Zářivost Slunce L je celkové množství energie, kterou Slunce vyzáří celým
svým povrchem do okolního prostoru za jednotku času. Zářivost Slunce bereme
za jednotku zářivosti hvězd, základem pro výpočet zářivosti slunce je
solární konstanta. Její hodnota je
L = 3.846 · 1026
W (6.27)
108 KAPITOLA 6. ASTROFYZIKA 1
6.2.4 Zářivost hvězd L
L
Zářivost hvězd L
L
je poměr celkového množství energie vyzářené celým povrchem
hvězdy k zářivosti Slunce.
Celkový zářivý tok E vyzářený jednotkou plochy povrchu hvězdy je
E = σ T4
ef. (6.28)
Celý povrch hvězdy má plochu 4πR2
, kde R je poloměr hvězdy. Celkové
množství energie, kterou hvězda svým povrchem vyzáří
L = 4πR2
σT4
ef. (6.29)
Zářivost hvězdy souvisí s absolutní bolometrickou hv. velikostí Mbol podle
vztahu:
L
L
= 2.512(Mbol −Mbol∗)
, (6.30)
kde Mbol∗ je absolutní bolometrická hv. velikost hvězdy a Mbol = 4.74M
je
absolutní bolometrická hv. velikost Slunce.
6.2.5 Příklady
1. Maximum energie ve slunečním spektru je u vlnové délky λ = 480 nm.
Vypočtěte povrchovou teplotu Slunce pomocí Wienova zákona posuvu.
[Z Wienova zákona posuvu T = 6 040 K.]
2. Vypočtěte pomocí Stefanova zákona a solární konstanty teplotu Slunce.
Poloměr Slunce je R = 6.96 · 105
km, vzdálenost Země od Slunce
r = 150 · 106
km.
[Celková energie vyzářená Sluncem je
W1 = 4πr2
K, (6.31)
kde r je poloměr zemské dráhy.
Jeden m2
slunečního povrchu vyzáří za 1 s energii
E = σT4
, (6.32)
6.2. ZÁŘENÍ ABSOLUTNĚ ČERNÉHO TĚLESA 109
kde σ = 5.67 · 10−8
Wm−2
K−4
je Stefanova konstanta, T je absolutní
teplota povrchu Slunce. Celý povrch Slunce tedy vyzáří energii
W2 = 4πR2
E. (6.33)
Za předpokladu, že v prostoru mezi Sluncem a Zemí nedochází k tepelným
ztrátám, můžeme položit W1 = W2. Odtud
r2
K = R2
σT4
, (6.34)
a pro teplotu povrchu Slunce dostaneme vztah:
T = 4
r2K
R2
σ
. (6.35)
Po číselném dosazení T = 5 820 K. ]
3. Maximum energie ve slunečním spektru je u vlnové délky λ = 480 nm.
Vypočtěte povrchovou teplotu Slunce pomocí Wienova zákona posuvu.
[T = 6 040 K.]
4. O kolik stupňů by se musela zmenšit teplota Slunce, aby se solární
konstanta zmenšila o 1%?
[Teplotu Slunce lze vyjádřit vztahem:
T = 4
r2K
R2
σ
= 5 820 K, (6.36)
kde r je vzdálenost Země od Slunce, R je poloměr Slunce, σ je StefanovaBoltzmanova
konstanta. V našem případě jsou všechny veličiny konstatní,
můžeme je pro lepší přehlednost nahradit konstantou
k = 4
r2
R2
σ
= konst (6.37)
a pak
T = k
4
√
K (6.38)
Pro malé změny lze použít vztah:
dT =
1
4
k K−3/4
dK (6.39)
110 KAPITOLA 6. ASTROFYZIKA 1
Jeho úpravou dojdeme ke tvaru:
dT
T
=
1
4
dK
K
. (6.40)
Má-li se solární konstanta zmenšit o 1%, pak
dT
T
=
1
4
· 1% = 0.25%. (6.41)
Uvažujme pro povrchovou teplotu zaokrouhlenou hodnotu T = 6 000K.
Pak změna dT = T ·0.25% = 15 K. Teplota Slunce by se musela zmenšit
o 15 K.]
5. Vypočtěte hodnotu solární konstanty pro Merkur a Jupiter, jsou-li jejich
vzdálenosti rM = 0.38 AU, rJ = 5.2 AU . Porovnejte jejich hodnotu
se solární konstatnou K pro Zemi. Hodnota solární konstanty pro Zemi
je KZ = 1.4 · 103
J m−2
s−1
.
[KM = 9.7 · 103
J m−2
s−1
= 6.9 K, KJ = 51.7 J m−2
s−1
= 0.037 K]
6. Absolutní bolometrická hv. velikost hvězdy je Mbol = 2.54M
. Vypočtěte
poměr zářivosti této hvězdy k zářivosti Slunce, víte-li že Mbol = 4.74M
.
[Dosadíme do vztahu pro zářivost hvězd:
L
L
= 2.512(Mbol −Mbol)
. (6.42)
Po číselném vyjádření vyjde zářivost L
L
= 7.6.]
7. Jaká je absolutní bolometrická hvězdná velikost hvězdy, jejíž zářivost
je 2 · 104
krát větší než zářivost Slunce.
[Vztah pro zářivost (6.30) upravíme a vyjádříme Mbol:
Mbol = Mbol −
log 20 000
0.4
. (6.43)
Po číselném dosazení vyjde: Mbol = −6.01M
.]
8. Kolikrát vyšší zářivý výkon má hvězda o teplotě T1 = 20 000 K, než
stejně rozměrná hvězda o efektivní povrchové teplotě T2 = 5 000 K?
6.2. ZÁŘENÍ ABSOLUTNĚ ČERNÉHO TĚLESA 111
Za předopkladu, že září jako absolutně černá tělesa, kde leží maximum
vyzařované energie v jejich spektrech?
[Porovnáním výkonů vyzařovaných plošnou jednotkou obou hvězd do-
staneme:
E1
E2
=
T1
T2
4
= 256. (6.44)
Maxima vyzařované energie leží na λ = 145 nm (UV) a λ = 580 nm
(oranžová).]
112 KAPITOLA 6. ASTROFYZIKA 1
Kapitola 7
Astrofyzika 2
7.1 Spektrální třídy
Příslušnost hvězdy k určité spektrální třídě se určuje podle rozložení energie
ve spektru do vlnových délek a podle přítomnosti spektrálních čar. Záření
hvězdy je vysíláno z hvězdné atmosféry (fotosféry), jejíž teplota určuje charakter
spektra.
7.1.1 Harvardská klasifikace
V 60. letech 19. st ital Angelo Secchi poprvé roztřídil hvězdy podle vizuálního
pozorování jejich spekter. Jeho klasifikace měla pouze 4 třídy. Následné
použití fotografie v astronomii vedlo k mnohem přesnější klasifikaci hvězd.
Dnes se používá tzv. Harvardská klasifikace zavedená v 90. letech 19. st a
zdokonalená na poč. 20. st ředitelem Harvardské observatoře Edwardem C.
Pickeringem (1846-1919) a jeho spolupracovníky (Williaminou Flemingovou,
Annie Cannonovou a mnoha dalšími). Na základě jejich práce byl sestaven
mnohasvazkový katalog hvězdných spekter Henryho Drapera1
– tzv. HD ka-
talog.
Harvardská klasifikace se skládá ze 7 základních sp. tříd, označených písmeny
O, B, A, F, G, K, M.2
Ze všech hvězd jasnějších než 8. mag jich do
1
Henry Draper (1837-1882) byl americký astrofyzik a průkopník hvězdné spektroskopie.
2
Pro snadné zapamatování této posloupnosti vznikla celá řada mnemotechnických pomůcek,
např. Oh Be A Fine Girl (Guy), Kiss Me, nebo Only Bad Astronomers Forget
Generally Known Mnemonics.
113
114 KAPITOLA 7. ASTROFYZIKA 2
Obrázek 7.1: Hardvardská spektrální klasifikace. Původní klasifikace spekter
používala písmena spekter v abecedním pořádku. Postupem času se
ukázalo, že některé ze skupin vůbec neexistují a u jiných bylo třeba
změnit pořadí. Takto vznikla dnešní posloupnost spektrálních tříd. Zdroj:
http://hvezdy.astro.cz/charakteristika/4-spektralni-typy-hvezd.
Spektrální Barva hvězdy Povrchová teplota Hvězdy
třída
O modrá 50 000 - 30 000 K Alnitak, Mintaka
B modrobílá 30 000 - 11 000 K Rigel, Spica, Regulus
A bílomodrá 11 000 - 7 500 K Sírius, Vega, Altair
F žlutobílá 7 500 - 6 000 K Canopus, Procyon
G žlutá 6 000 - 5 000 K Slunce, Capella
K oranžová 5 000 - 3 500 K Arkturus, Aldebaran
M červená 3 500 - 3 000 K Betelgeuze, Antares
Tabulka 7.1: Charakteristické rysy základních spektrálních tříd O, B, A, F,
G, K, M a jejich nejznámnější zástupci.
těchto 7 tříd náleží plných 99.8%. Tato posloupnost je zároveň posloupností
barev od horkých (O) po chladné (M) hvězdy, tedy posloupností teplotní.3
K těmto základním sedmi třídám se připojují další, ve vesmíru méně časté
třídy. Před třídu O se řadí třídy Q, P, W, protože mají vyšší teplotu. Třída Q
jsou novy, P označují plynné mlohoviny, W jsou Wolfovy-Rayetovy hvězdy.
Za třídu M se řadí vzácné typy spekter: S - zirkonové hvězdy, R a N označují
uhlíkové hvězdy. Pro hnědé trpaslíky je zavedena třída L.
Podrobnější popis charakterických znaků daných tříd je v následující ta-
bulce.
3
Hvězdám typu O, B, A se někdy říká hvězdy ranného spektrálního typu, hvězdám
chladnějším K, M hvězdy pozdního spektrálního typu. Toto označení se používá už jen z
historických důvodů, z dob, kdy se všeobecně soudilo, že teplotní posloupnost je zároveň
posloupností vývojovou (hvězda se rodí jako žhavé těleso a postupně chladne a vyhasíná).
7.1. SPEKTRÁLNÍ TŘÍDY 115
Spektrální Charakteristické čáry
třída
O ionizované a neutrální helium, slabý vodík
B neutrální hélium, silnější vodík
A velmi silné čáry vodíku
F slábnou čáry vodíku, objevují se čáry
vápníku a kovů
G silné čáry vápníku, intenzivní čáry kovů,
ještě patrné slabé čáry vodíku
K nejsilnější jsou čáry kovů, objevují se absorpční
pásy molekul
M nejvýraznější jsou pásy molekul, mnoho absorpčních
čar železa
Tabulka 7.2: Charakteristické čáry ve spektrech jednotlivých spektrálních
tříd.
Charakteristické čáry objevující se ve spektrech hvězd jednotlivých spektrálních
tříd jsou uvedeny v následující tabulce a ukázány na následujícím
obr.7.2.
Spektrální třídy, s vyjímkou sp. tříd Q a P, jsou dále děleny na deset podtříd
označených číslicemi 0 - 9. Tyto číslice označují přechod mezi sousedními
třídami a kladou se za velké písmeno označující sp. třídu, např. třída A5 je
uprostřed mezi A0 a F0, třída A9 se jen velmi málo liší od třídy F0.
7.1.2 Třídy svítivosti
Od zavedení Harvardské klasifikace bylo zřejmé, že hvězdy jedné spektrální
třídy mohou mít různou svítivost (absolutní hv. velikost). Proto se zavedla
svítivost jako druhý parametr při klasifikace hvězd. Zatímco údaje o spektrálním
typu vypovídají více o povrchové teplotě hvězd, třídy svítivosti nám
poskytují informace o tlaku v atmosféře hvězdy (určují se hlavně z profilu
spektrálních čar ionizovaných prvků).
Běžně se používá Morganova-Keenanova klasifikace, která za označení
Harvardské sp. třídy (např. A5) připojuje římskou číslici označující třídu
svítivosti.
116 KAPITOLA 7. ASTROFYZIKA 2
Spektrální Abs. viz. hv. Barevný Ef. povrchové Bar. povrchové
třída velikost index teploty teploty
Mv B − V Tef Tc
Hlavní posloupnost V
O5 -6 -0.45 35 000 70 000
B0 -3.7 -0.31 21 000 38 000
B5 -0.9 -0.17 13 500 23 000
A0 +0.7 0.00 9 700 15 400
A5 +2.0 +0.16 8 100 11 100
F0 +2.8 +0.30 7 200 9 000
F5 +3.8 +0.45 6 500 7 600
G0 +4.6 +0.57 6 000 6 700
G5 +5.2 +0.70 5 400 6 000
K0 +6.0 +0.84 4 700 5 400
K5 +7.4 +1.11 4 000 4 500
M0 +8.9 +1.39 3 300 3 800
M5 +12.0 +1.61 2 600 3 000
Obři III
G0 +1.8 +0.65 5 400 6 000
G5 +1.5 +0.84 4 700 5 000
K0 +0.8 +1.06 4 100 4 400
K5 0.0 +1.40 3 500 3 700
M0 -0.3 +1.65 2 900 3 400
M5 -0.5 +1.85 3 000
Veleobři I
B0 -6.4 -0.21
A0 -6.0 0.00
F0 -5.6 +0.30 6 400
G0 -4.4 +0.76 5 400 6 200
G5 -4.4 +1.06 4 700 5 300
K0 -4.4 +1.42 4 000 4 600
K5 -4.4 +1.71 3 400
M0 -4.4 +1.94 2 800
M5 +2.15
Tabulka 7.3: Charakteristiky hvězd na různých větvích HertzsprungovaRusselova
diagramu. Data převzata z Široký, Široká: Základy astronomie v
příkladech.
7.1. SPEKTRÁLNÍ TŘÍDY 117
Obrázek 7.2: Harvardská spektrální klasifikace. Schematický vzhled spekter
základních spektrálních tříd. Zdroj: Zejda, M. Základy astronomie, Brno
2013, upraveno.
7.1.3 Hertzsprungův-Russellův diagram
Mezi povrchovou teplotou hvězdy (spektrální třídou) a její zářivostí (absolutní
hv. veliskotí) platí velmi důležitá závislost, kterou můžeme znázornit v
118 KAPITOLA 7. ASTROFYZIKA 2
Třída svítivosti Typ hvězdy Zástupci
Ia jasní veleobři Deneb, Rigel
Ib veleobři Antares, Betelgeuze
II nadobři (jasní obři) Mintaka, Adhara
III obři Arcturus, Capella
IV podobři Procyon, Achernar
V hvězdy hl. posloupnosti Slunce, Sirius A
VI podtrpaslíci Kapteynova hvězda
VII bílí trpaslíci Sirius B
Tabulka 7.4: Morganova-Keenanova spektrální klasifikace.
Hertzsprungově-Rusellově diagramu (HR diagramu).4
Hvězdy nezaplňují plochu HR diagramu rovnoměrně, ale soustřeďují se
v několika oblastech. Většina hvězd se nachází v úzkém pásu, který vede z
horního levého rohu (kde jsou hvězdy žhavé s obrovskou zářivostí) do pravého
dolního rohu (hvězdy chladné, červené a velmi slabé). Tento pás se nazývá
hlavní posloupnost. Obsahuje přes 90% všech hvězd včetně našeho Slunce.
Další skupina hvězd je soustředěna v oblasti nízkých povrchových teplot
ale vysokých výkonů. Jde o skupiny červených obrů a veleobrů5
. Pod
hlavní posloupností, v oblasti malých zářivých výkonů a vysokých povrchových
teplot, se nachází skupina bílých trpaslíků. Hvězdy spektrálních tříd K
a M s malým zářivým výkonem označujeme jako červené trpaslíky.
Pomocí HR diagramu můžeme odhadnout vzdálenost hvězdy, známe-li
její spektrální třídu a to ke které skupině (obrů, veleobrů, hl.posloupnosti ...)
patří6
. Z diagramu můžeme pak vyčíst její absolutní hv. velikost a ze známé
napozorované zdánlivé hv. velikosti určit její vzdálenost pomocí Pogsonovy
rovnice.
4
Tato závislost byla objevena v roce 1909 dánským astronomem Ejnarem Hertzsprungem
(1873-1967) a americkým astronomem Henry Russellem (1877-1957).
5
Podíváme-li se na HR diagram, ve kterém jsou vyznačeny i rozměry hvězd, uvidíme,
že pojmenování "obři", "veleobři"má své dobré opodstatnění.
6
Rozdíly ve spektrech obřích a trpasličích hvězd jsou velice nápadné, proto lze ze spektra
hvězdy vyčíst, k jaké skupině hvězda patří.
7.1. SPEKTRÁLNÍ TŘÍDY 119
Obrázek 7.3: Luminozitní třídy. Zdroj: Z. Pokorný: Vademecum [online],
Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně.
7.1.4 Systém UBV a UBVRI
Jedním z hlavních úkolů astrofyziky je studovat průběh vyzářené energie v
závislosti na frekvenci záření vesmírných objektů. Zemská atmosféra ale určité
části spektra pohlcuje, takže na zemském povrchu můžeme měřit jen v
oblastech propustnosti atmosféry, které se ale mění podle aktuálních podmínek.
Výhodné by tedy bylo vymezit okna propustnosti jiným ("umělým")
způsobem, aby nepodléhaly místním ani časovým změnám. K tomuto účelu
se využívají sady fotometrických filtrů, které propouštějí záření jen v přesně
definovaných intervalech vlnových délek.7
Každý filtr je definován nejen oblastí spektrální propustnosti, ale i tvarem
funkce propustnosti. V praxi se používají sady vhodně zvolených filtrů, dnes
je těchto sad přes 200. První systém filtrů navrhli Johnson & Morgan (1953).
Původní systém filtrů UBV je vymezen barevnými filtry pro ultrafialovou
barvu U (ultraviolet) s maximem propustnosti pro vlnovou délku λ = 365 nm,
7
V oblasti světla jde s trochou nadsázky o úseky odpovídající určitým barvám, proto
se někdy mluví o fotometrických pozorováních v určitých barvách.
120 KAPITOLA 7. ASTROFYZIKA 2
Obrázek 7.4: Schématický Hertzsprungův-Russellův diagram. Na vodorovné
ose jsou spektrální třídy (související s povrchovou teplotou hvězd), na svislé
ose absolutní hv. velikost M (související se zářivostí hvězd). Zdroj: Z. Pokorný:
Vademecum [online], Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně.
modrou barvu B (blue) s maximem propustnosti pro vlnovou délku λ =
440 nm a visuální V (visual) s maximem propustnosti pro vlnovou délku
λ = 550 nm. Na tento tříbarevný systém navazují další barvy v dlouhovlnném
oboru spektra: červený R (red) s maximem propustnosti pro vlnovou délku
λ = 700 nm a infračervený I (infrared) s maximem λ = 800 nm. Tento systém
UBVRI je vidět na obr. 7.5.
7.1.5 Barevný index B − V
Rozdíly zdánlivých (nebo absolutních) hvězdných velikostí téhož objektu
změřených ve dvou různých filtrech označujeme jako barevný index.
B − V = mB − mV = MB − MV.8
(7.1)
Hodnota barevného indexu B −V nám poskytuje informace o tom, v jaké
barvě hvězda nejvíc září a jaká je její povrchová teplota. Hvězda s menším
B − V indexem je modřejší než hvězda s vyšším indexem. Horké namodralé
8
Vždy se odečítá hv. velikost pro kratší vlnovou délku mínus hv. velikost pro delší
vlnovou délku.
7.1. SPEKTRÁLNÍ TŘÍDY 121
Obrázek 7.5: Křivky propustnosti filtrů pro nejběžnější širokopásmový Johnsonův
systém UBVRI. Zdroj://www.asahi-spectra.com
hvězdy budou mít index B − V záporný! To souvisí s tím, že hv. velikost
klesá s rostoucí jasností hvězd!
Barevný index souvisí s barevnou povrchovou teplotou Tc vztahem
B − V =
7 300
Tc
− 0.52. (7.2)
7.1.6 Barevný exces EB−V
Barevný index nezávisí na vzdálenosti hvězdy, může být ale ovlivněn mezihvězdnou
extinkcí. Při ní je část záření pohlcena mezihvězdným materiálem,
nacházejícím se mezi zdrojem a pozorovatelem. Díky mezihvězdné extinkci
se nám pak pozorované objekty jeví více červené než ve skutečnosti
jsou. Množství zčervenání je charakterizováno barevným excesem, což je rozdíl
mezi pozorovaným barevným indexem a normálním (t.j. bez vlivu extinkce).
Například ve fotometrickém systému UBV je barevný exces:
EB−V = (B − V )poz − (B − V )norm. (7.3)
7.1.7 Bolometrická korekce BC
Pokud budeme chtít znát jasnost (nebo hv. velikost) objektu nejen v určité
části spektra, ale v celém spektrálním oboru, musíme danou fyzikální veličinu
přepočítat na tzv. bolometrickou.
122 KAPITOLA 7. ASTROFYZIKA 2
Sp. třída Hlavní posloupnost Obři Veleobři
BC Mbol BC Mbol BC Mbol
O5 4.6 -10.6
B0 3.0 -6.7 3 -9.4
B5 1.6 -2.5
A0 0.68 0.0 0.7 -6.7
A5 0.30 +1.7
F0 0.10 +2.7 0.2 -5.8
F5 0.00 +3.8
G0 0.03 +4.6 0.1 +0.7 0.3 -4.7
G5 0.10 +5.1 0.3 +1.2 0.6 -5.0
K0 0.20 +5.8 0.6 0.2 1.0 -5.4
K5 0.58 +6.8 1.0 -1.0 1.6 -6.0
M0 1.20 +7.6 1.7 -2.0 2.5 -6.9
M5 2.1 +9.8 3.0 -3.4 4.0
Tabulka 7.5: Bolometrické korekce BC a absolutní hvězdné velikosti pro
hvězdy na některých větvích Hertzsprungova-Russelova diagramu. Data převzata
z Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
7.1. SPEKTRÁLNÍ TŘÍDY 123
Rozdíl mezi vizuální a bolometrickou hv. velikostí se nazývá bolometrická
korekce BC.
BC = mv − mbol = Mv − Mbol
9
(7.4)
Bolometrická korekce je přibližně nulová pro hvězdy spektrální třídy F
(Tef = 6 800 K.) Pro všechny ostatní hvězdy je pak kladná. U některých
hvězd činí bolometrická korekce až několik magnitud, takže určitě není zanedbatelná!
Stejná bolometrická korekce platí jak pro zdánlivé tak i absolutní
hv. velikosti. Pokud se tedy dopracujeme až k absolutním bolometrickým hv.
velikostem, můžeme pak přímo proměřovat jejich zářivý výkon.
7.1.8 Poloměry hvězd R
Udávají se obvykle v jednotkách poloměru Slunce R nebo v km. Poloměr
Slunce je 6.96·105
km. Poloměr hvězdy (v jednotkách R ) lze vyjádřit pomocí
absolutní teploty T a absolutní vizuální hvězdné velikosti Mv:
log R =
5 900
T
− 0.20 Mv, (7.5)
nebo pomocí absolutní bolometrické hv. velikosti
log R = 8.53 − 0.2 Mbol − 2 log T. (7.6)
7.1.9 Úhlové průměry hvězd d
Úhlové průměry hvězd d souvisí se skutečnými poloměry R hvězd vztahem:
d =
1
107
πR, (7.7)
kde π je roční paralaxa hvězdy v obloukových vteřinách a 1
107
je průměr
Slunce v astronomických jednotkách AU. Pokud bychom tento vztah převedli
do logaritmického tvaru získáme
log d = log π + log R − 2.03, (7.8)
nebo s využitím vztahu (7.5)
log d = log π +
5 900
T
− 0.20 Mv − 2.03. (7.9)
9
Pozor! V některých zdrojích je bolometrická korekce definována opačným způsobem,
tedy: BC = mbol − mv.
124 KAPITOLA 7. ASTROFYZIKA 2
Převedeme-li absolutní hv. velikost na zdánlivou hv. velikost, obdržíme
vztah
log d =
5 900
T
− 0.20 mv − 3.03. (7.10)
7.1.10 Hmotnosti hvězd M
Hmotnosti hvězd M se obvykle vyjadřují v jednotkách hmotnosti Slunce
M = 1.989 · 1030
kg. Obecně souvisí hmotnost hvězdy s její zářivostí, tedy s
její absolutní bolometrickou hvězdnou velikostí Mbol. Tuto závislost můžeme
matematicky popsat rovnicí:
log M = 0.56 − 0.12 Mbol. (7.11)
7.1.11 Hustoty hvězd ρ
Hustoty hvězd se udávají buď v jednotkách hustoty Slunce ρ nebo v jednotkách
kg · m−3
. Střední hustota Slunce je ρ = 1.408 · 103
kg · m−3
.
Hustotu hvězdy v jednotkách hustoty Slunce vypočítáme ze vztahu
ρ =
M
V
, (7.12)
kde M je hmotnost hvězdy dosazená v jednotkách hmotnosti Slunce (M =
1.989 · 1030
kg) a V je objem hvězdy udaný také v jednotkách objemu Slunce
(V = 1.412 · 1027
m3
).
7.1.12 Příklady
1. Hvězda spektrální třídy A0 má zdánlivou vizuální hv. velikost m =
+6.5m
. Jaká je její pravděpodobná paralaxa a vzdálenost v pc, patří-li
hvězda ke hvězdám na hlavní posloupnosti?
[V tabulce vyhledáme střední absolutní hv. velikost pro hvězdy sp. třídy
A0 ležící na hlavní posloupnosti, Mv = +0.7m
. Pravděpodobnou paralaxu
určíme z upravené Pogsonovy rovnice
log π =
M − m − 5
5
= −2.16. (7.13)
Odtud paralaxa π = 0.0069 a vzdálenost v pc: r = 1
π
= 145 pc.]
7.1. SPEKTRÁLNÍ TŘÍDY 125
2. Hvězda spektrální třídy G0 má zdánlivou hvězdnou velikost m = +4.9m
.
Jaká je její pravděpodobná paralaxa, patří–li hvězda ke a) hlavní, b)
posloupnosti obrů, c) k posloupnosti veleobrů?
[V tabulce vyhledáme hodnoty abs. hv. velikostí pro hvězdy spektrální
třídy G0 pro jednotlivé posloupnosti.
a) G0, hlavní posloupnost M = 4.6m
, π = 0.087
b) G0, posloupnost obrů M = 1.8m
, π = 0.024
c) G0, posloupnost veleobrů M = −4.4m
, π = 0.0014 . ]
3. Hvězda spektrální třídy M0 má zdánlivou hv. velikost m = +0.45m
.
Jaká je její pravděpodobná paralaxa, patří–li hvězda ke a) hlavní, b)
posloupnosti obrů, c) k posloupnosti veleobrů? Jaká je její pravděpodobná
vzdálenost v l.y. pro jednotlivé případy?
[Analogicky jako v minulém příkladu:
a) M0, hlavní posloupnost M = +8.9m
, π = 4.89 , r = 0.67 l.y.
b) M0, posloupnost obrů M = −0.3m
, π = 0.07 , r = 0.47 l.y.
c) M0, posloupnost veleobrů M = −4.4m
, π = 0.01 , r = 326 l.y.]
4. Hvězda spektrální třídy F0 je ve vzdálenosti 400 pc od Slunce. Její zdánlivá
vizuální hv. velikost je m = +10, 5m
. Určete ke které posloupnosti
hvězda patří? Jaká je absolutní bolometrická hv. velikost této hvězdy?
[M = 2.5m
. Z tabulky ... zjistíme, že hvězda patří k hlavní posloupnosti.
V tabulce ... najdete hodnotu bolometrické korekce pro tyto hvězdy:
B.C. = 0.10. Pak absolutní bolometrická hv. velikost Mbol = +2.6m
.]
5. Určete zdánlivou a absolutní bolometrickou hv. velikost hvězdy spektrální
třídy K5, náležící do posloupnosti veleobrů, znáte-li její vizuální
hv. velikost mv = +6.45m
. Bolometrickou korekci si vyhledejte v ta-
bulce.
[V tabulce zjistíme: BC = 1.6, mbol = mv − BC = 4.85m
. Z tabulky
zjistíme i Mbol = −6.0 a obdobně jako pro zdánlivé hv. velikosti platí i
pro abs. hv. velikosti Mv = BC + Mbol = −4.4m
.]
6. Určete zdánlivou i absolutní bolometrickou hvězdnou velikost pro hvězdu
sp. třídy B5, ležící na hlavní posloupnosti, je-li její zdánlivá hv. velikost
mv = +14.0m
. Určete také její zářivost v jednotkách luminosity Slunce
L
L
.
126 KAPITOLA 7. ASTROFYZIKA 2
[mbol = 12.4m
, Mv = −0.9m
, ze vztahu (6.30) vypočteme L
L
= 787.]
7. Určete zdánlivou i absolutní bolometrickou hvězdnou velikost pro hvězdu
sp. třídy A0, náležící k větvi veleobrů, je-li její zdánlivá hv. velikost
mv = +1.25m
. Určete její zářivost v jednotkách luminosity Slunce L
L
.
[mbol = 0.55m
, Mv = −6.0m
, L
L
= 37 700.]
8. Hvězda spektrální třídy G0 patřící k posloupnosti obrů má paralaxu
π = 0.002 . Jaká je její zdánlivá vizuální velikost, uvažujeme-li koeficient
absorpce 0.6m
na kiloparsek.
[V tabulce si vyhledáme absolutní hv. velikost, Mv = 1.8m
, pak z rce.
(6.13):
m = M − 5 − 5 log π +
a
π
(7.14)
vypočteme mv = 10.6m
.]
9. Vypočtěte index B − V pro hvězdu o barevné povrchové teplotě Tc =
3 400 K.
[B − V = +1.63m
.]
10. Vypočtěte index B − V pro hvězdu o barevné povrchové teplotě Tc =
35 000 K.
[B − V = −0.31m
.]
11. Vypočtěte barevnou povrchovou teplotu a pomocí tabulky určete spektrální
typ hvězdy, náležící do posloupnosti obrů, je-li její index B−V =
+0.69m
.
[Tc = 6 000 K, spektrální třída G.]
12. Vypočtěte barevnou povrchovou teplotu a určete spektrální třídy hvězd
hlavní posloupnosti, jejichž indexy B − V jsou: a) −0.30m
, b) −0.0m
,
c) +0.70m
.
[Barevná povrchová teplota:
a) Tc = 33 000 K, spektrální třída B
b) Tc = 14 000 K, spektrální třída A
c) Tc = 6 000 K, spektrální třída G.]
7.1. SPEKTRÁLNÍ TŘÍDY 127
13. U které vlnové délky je maximum energie pro hvězdu, jejíž index B −
V = +0.78m
?
[Tc = 5 615 K]. Po dosazení do Wienova zákona: λ = 520 nm.]
14. Vypočtěte poloměr hvězdy Betelgeuze (α Ori) v jednotkách slunečního
poloměru, víte-li že paralaxa hvězdy π = 0.0067 , úhlový průměr d =
0.04 .
[Úhlový průměr hvězdy d souvisí se skutečným poloměrem hvězdy R (v
jednotkách R ) a roční paralaxou hvězdy π (v obloukových vteřinách)
vztahem:
d =
1
107
π R (7.15)
Odtud R = 638 R .]
15. Vypočtěte poloměr hvězdy Antares (α Sco) v jednotkách slunečního
poloměru, je-li její zdánlivá hvězdná velikost mv = +0.98m
, paralaxa
π = 0.0087 a povrchová teplota T = 3 100 K.
[Z Pogsonovy rovnice určíme absolutní vizuální hvězdnou velikost: Mv =
m + 5 + 5 log π = −4.32m
. Dosazením do vztahu (7.5) obdržíme: R =
585 R .]
16. Určete poloměr hvězdy Aldebaran (α Tau) a vypočtěte jeho úhlový
průměr. Paralaxa Aldebarana je π = 0.057 , povrchová teplota T =
3 300 K, absolutní vizuální hv. velikost Mv = −0.1m
.
[R = 63 R , d = 0.034 .]
17. Kolikrát je poloměr hvězdy o absolutní hv. velikosti M1 = −4.0m
větší
než poloměr hvězdy s M2 = +13.4m
, jsou-li teploty obou hvězd stejné.
[Odečtením výrazů pro poloměry jednotlivých hvězd dostaneme:
log
R1
R2
= −0.2(M1 − M2) (7.16)
Po číselném vyjádření:
R1
R2
= 3 020.] (7.17)
128 KAPITOLA 7. ASTROFYZIKA 2
18. Určete pomocí závislosti hmotnost - absolutní hvězdná velikost hmotnost
Polárky (α UMi) v jednotkách hmotnosti Slunce. Její absolutní
vizuální hvězdná velikost je −3.7m
. Absolutní bolometrickou hvězdnou
velikost klademe v tomto příkladě rovnu absolutní vizuální hvězdné
velikosti.
[Dosazením do vztahu: log M = 0.56 − 0.12 Mbol vyjde M = 10 M .]
19. Pomocí závislosti hmotnost - absolutní hvězdná velikost vypočtěte hmotnost
hvězdy, jejíž paralaxa je π = 0.19 , zdánlivá hvězdná velikost
m = 4.3m
. Absolutní bolometrickou hv. velikost klademe v tomto příkladě
rovnu absolutní vizuální hvězdné velikosti.
[M = 102 M .]
ZKONTROLOVAT!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
20. Vypočtěte hustotu hvězdy 40 Eri B jejíž hmotnost je 0.31 M , teplota
T = 12 500 K, absolutní vizuální hvězdná velikost Mv = +11.3m
. Hustotu
vyjádřete v jednotkách hustoty Slunce, v jednotkách kg · m−3
. Jaká
je to hvězda?
[R = 0.0163 R , ρ = 72 000 ρ = 1·108
kg · m−3
, hvězda je bílý trpaslík.]
21. Vypočtěte hmotnost, poloměr a střední hustotu hvězdy, jejíž zdánlivá
hv. velikost je +0.21m
, paralaxa π = 0.073 , povrchová teplota T =
6 000 K. Absolutní bolometrickou hv. velikost klademe v tomto příkladě
rovnu absolutní vizuální hvězdné velikosti.
[M = 4.1 M , R = 12 R , ρ = 0.0024 ρ = 3.3 kg · m−3
.]
22. Úhlový průměr Vegy je d = 0.0037 , paralaxa π = 0.124 , zdánlivá hv.
velikost m = +0.04m
. Vypočtěte poloměr Vegy, její hmotnost, střední
hustotu a povrchovou teplotu.
[R = 3.2 R , M = 0.5M
, M = 3.2 M , ρ = 0.1 ρ = 140 kg · m−3
,
T = 9 700 K.]
23. Při velké (perihéliové) opozici Marsu byla jeho zdánlivá hv. velikost
m1 = −2.8m
, vzdálenost Marsu od Slunce byla r1 = 207 · 106
km,
vzdálenost od Země byla d1 = 56 · 106
km. Jaká je zdánlivá hv.velikost
Marsu při aféliové opozici, kdy je jeho vzdálenost od Slunce r2 = 249 ·
106
km, vzdálenost od Země d2 = 100 · 106
km.
7.1. SPEKTRÁLNÍ TŘÍDY 129
[Intenzita světla u těles, které svítí pouze odraženým slunečním světlem,
klesá s druhou mocninou vzdálenosti od Slunce a s druhou mocninou
vzdálenosti od Země. Označíme-li intenzitu Marsu při perihéliové
opozici I1 a intenzitu při aféliové opozici I2, platí pro jejich poměr:
I1
I2
=
r2
2d2
2
r2
1d2
1
. (7.18)
Dosadíme-li poměr do Pogsonovy rovnice, obdržíme pro rozdíl hvězdných
velikostí:
m2 − m1 = 2.5 log
I1
I2
= 5 log
r2d2
r1d1
(7.19)
Pro hledanou zdánlivou hvězdnou velikost m2 dostaneme:
m2 = m1 + 5 log r2d2 − 5 log r1d1 (7.20)
Číselně: m2 = −1.14m
.]
24. Vypočtěte zdánlivou hv.velikost m1 planetky při její vzdálenosti od
Slunce r1 = 4.0 AU, od Země d1 = 6.0 AU, je-li velká poloosa její
dráhy a = 3.0 AU a hvězdná velikost při střední opozici m2 = 12.0 m
.
Při střední opozici je vzdálenost planetky od Slunce r2 = a, od Země
d2 = a − 1.
[
m1 − m2 = 2.5 log
I2
I1
= 5 log
r1d1
r2d2
(7.21)
Po číselném dosazení m1 = 15m
.]
25. Při opozici je zdánlivá hvězdná velikost Jupitera −2.50m
. Vzdálenost
Jupitera od Slunce je r1 = 5.20 AU. Jaká by byla jeho zdánlivá hvězdná
velikost při opozici, kdyby byl ve dvojnásobné vzdálenosti od Slunce,
než je ve skutečnosti?
[Označíme vzdálenost Jupiteru od Země d1 = 4.2 AU, novou vzdálenost
Jupiteru od Slunce r2 = 10.40 AU a Jupiteru od Země d2 = 9.4 AU. Po
dosazení obdržíme: m2 = +0.75m
.]
130 KAPITOLA 7. ASTROFYZIKA 2
26. Při opozici je zdánlivá hvězdná velikost Jupitera −2.50m
. Jaká by byla
jeho zdánlivá hvězdná velikost pro pozorovatele na Marsu v době, kdy
je Jupiter v nejmenší vzdálenosti od Marsu? Poloměr dráhy Marsu
je 1.52 AU, poloměr dráhy Jupitera je 5.2 AU. Dráhy pokládejte za
kruhové.
[m2 = −2.79m
]
27. Je-li Saturn v nejmenší vzdálenosti od Země , je jeho zdánlivá hv. velikost
−0.10m
. Jaká by byla jeho maximální zdánlivá hvězdná velikost
pro pozorovatele na Jupiteru? Poloměr Jupiterovy dráhy je 5.20 AU.
Poloměr Saturnovy dráhy 9.55 AU. Dráhy obou planet pokládejte za
kruhové.
[m2 = −1.57m
]
28. O kolik se změní zdánlivá hv.velikost komety, zmenší-li se její vzdálenost
od Země i od Slunce na polovinu.
[Protože komety nesvítí pouze odraženým slunečním světlem, klesá intenzita
jejich světla v mnoha případech se čtvrtou mocninou vzdálenosti
od Slunce. Pro poměr intenzit platí tedy v tomto případě
I1
I2
=
r4
2d2
2
r4
1d2
1
, (7.22)
kde r1, r2 jsou vzdálenosti komety od SLunce a d1, d2 vzdálenosti od
Země. V našem případě
r2 =
r1
2
, d2 =
d1
2
. (7.23)
Poměr intenzit bude:
I1
I2
=
1
24 · 22
=
1
64
. (7.24)
Po dosazení do Pogsonovy rovnice obdržíme m2 = m1 − 4.5m
. Zdánlivá
hvězdná velikost komety se zmenší o 4.5m
.]
29. Kometa měla ve vzdálenosti d1 = 0.5 AU od Země a r1 = 1.5 AU od
Slunce zdánlivou hv.velikost m1 = 8.0m
. Vypočtěte jekou má hv. velikost
ve vzdálenosti r2 = 1 AU od Slunce a d2 = 1 AU od Země. Intenzita
klesá se čtvrtou mocninou vzdálenosti od Slunce.
[m2 = 7.74m
]
Kapitola 8
Kinematické znaky hvězd
8.1 Kinematické znaky hvězd
Až do poč. 18. století byly hvězdy považovány za stálice, jejichž vzájemné polohy
se vůbec nemění. V roce 1717 Edmond Halley1
porovnál svá pozorování
získaná během pobytu na ostrově Sv. Heleny s údaji uvedenými v katalozích
Flamsteeda, Tycha Brahe a Ptolemaia a zjistil, že některé hvězdy jeví zřetelný
pohyb na pozadí ostatních hvězd. Usoudil, že tento pohyb je odrazem
relativního pohybu hvězdy vůči pozorovateli.
8.1.1 Vlastní pohyb hvězd µ
Ze Země jsme schopni pozorovat pouze tu složku prostorové rychlosti, která je
kolmá na směr zorného paprsku. Tato složka rychlosti se nazývá tangenciální
a na obr. 8.1 ji odpovídá úsečka HA. Druhou složkou je rychlost ve směru
zorného paprsku, tzv. radiální. Úhel µ, pod kterým se ze Země jeví úsek HA,
se nazývá vlastní pohyb hvězdy µ.
Vlastní pohyby hvězd jsou obecně velmi malé, jen pár hvězd vykazuje větší
hodnoty. Prvenství drží hvězda Barnardova šipka (HIP 87937) v souvězdí
Hadonoše, jejíž vlastní pohyb činí 10.3 za rok. Za průměrný lidský život se
posune přibližně o čtvrtinu úhlového průměru Měsíce!
V katalozích bývají uvedeny vlastní pohyby v rektascenzi µα a vlastní
pohyby v deklinaci µδ. 2
1
Edmond Halley (1656-1742)
2
Ve starší literatuře se vlastní pohyb v rektascenzi uváděl v jednotkách [časové
131
132 KAPITOLA 8. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD
Obrázek 8.1: Rozložení prostorové rychlosti hvězdy na složku radiální vr a
na složku tangenciální (tečnou) vt. Úhel µ, pod kterým je vidět usek HA je
vlastní pohyb hvězdy.
Označíme-li ψ úhel, který svírá vlastní pohyb µ se směrem k severnímu
pólu (poziční úhel směru vlastního pohybu), pak pro něj platí:
µδ = µ cos ψ
15 µα cos δ = µ sin ψ.
(8.2)
sekundy/rok] a bylo nutno jej ve vztahu pro celkový vlastní pohyb převést úhlové vteřiny.
Výsledný vztah měl pak podobu:
µ = [15 µα cos δ]2 + (µδ)2. (8.1)
V současných katalozích (Hipparcos, Simbad) se pod pojmem µα rozumí vlastní pohyb
v rektascenzi převedený na obloukové vteřiny za rok a vynásobený výrazem cos δ. Tedy:
µ = [µ2
α + µ2
δ].
8.1. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD 133
8.1.2 Tangenciální rychlost vt
Tangenciální rychlost vt je složka lineární rychlosti hvězdy v rovině kolmé k
zornému paprsku. Vypočteme ji pomocí vlastního pohybu µ hvězdy a vzdálenosti
r (nebo roční paralaxy π):
vt = k µr = k
µ
π
, (8.3)
kde k je koeficent úměrnosti, který závisí na zvolených jednotkách. Jestliže µ a
π jsou vyjádřeny v úhlových vteřinách, pak k = 1 a poměr µ
π
je tangenciální
rychlost v astronomických jednotkách. Uvádíme-li tangenciální rychlost v
km · s−1
, pak
k =
149.6 · 106
31 557 000
= 4.74. 3
(8.4)
Výsledně:
vt = 4.74
µ
π
= 4.74 µr km · s−1
, (8.5)
kde r je vzdálenost vyjádřená v parsecích a µ, π jsou vyjádřeny v obloukových
vteřinách.
8.1.3 Radiální rychlost vr
Radiální rychlost vr je složka lineární rychlosti hvězdy ve směru od pozorovatele
ke hvězdě. Určuje se na základě Dopplerova principu z posuvu ∆λ
spektrální čáry o vlnové délce λ. Radiální rychlost můžeme určit ze vztahu:
vr = c
∆λ
λ
, 4
(8.6)
kde c je rychlost světla, ∆λ = λ −λ. Při posuvu čar k červenému konci spektra
má vr má kladné znaménko (hvězda se vzdaluje), při posuvu k modrému
konci spektra záporné znaménko (hvězda se přibližuje).
3
V čitateli je astronomická jednotka v km a ve jemenovateli je počet sekund v tropickém
roce.
4
Tento vytah lze použít jen pro objekty, jejichž rychlost vr je malá ve srovnání s rychlostí
světla. Při rychlostech blízkých rychlosti světla (např. u velmi vzdálených galaxií) musíme
použít vztah plynoucí ze speciální teorie relativity.
134 KAPITOLA 8. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD
Obrázek 8.2: Prostorová rychlost hvězdy.
8.1.4 Prostorová rychlost v
Prostorová rychlost v je dána vektorovým součtem tangenciální a radiální
složky rychlosti. Tedy
v = v2
t + v2
r = 4.74
µ
π
2
+ c2
∆λ
λ
2
. (8.7)
Prostorová rychlost v svírá se směrem zorného paprsku úhel Θ. Pak platí:
vt = v sin Θ
vr = v cos Θ.
Pokud se hvězda vzdaluje, je vr > 0 a úhel Θ nabývá hodnot od 0◦
do 90◦
.
Pokud se přibližuje, je vr < 0 a úhel Θ nabývá hodnot od 90◦
do 180◦
.
8.1.5 Příklady
1. Nejžhavější a nejhmotnější hvězdy mají v průměru hmotnosti 2·1031
kg
a rychlosti kolem 15 · 103
mzcdots−1
. Hvězdy třídy našeho Slunce mají
hmotnosti kolem 2 · 1030
kg a rychlosti 64 · 103
m · s−1
. Ještě menší a
8.1. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD 135
chladnější hvězdy mají v průměru hmotnosti kolem 1.2 · 1030
kg a rychlosti
78 · 103
m · s−1
. Porovnejte kinetické energie těchto hvězd.
[Odpovídající kinetické energie pro dané typy hvězd jsou: 2.2 · 1039
J,
4.1 · 1039
J, 3.65 · 1039
J. Navzájem se tedy od sebe příliš neliší.]
2. Za jakou dobu t se zvýší intenzita hvězdy n-krát, je–li ve vzdálenosti r
od Slunce a přibližuje se k nám rychlostí v. Udávejme vzdálenost r v
km a rychlost v v km · s−1
.
[Hvězda se přibližuje ke Slunci rychlostí v, je–li její vzdálenost v současné
době r a intenzita světla I1, pak za čas t se její vzdálenost zmenší
na r − vt a její intenzita vzroste na hodnotu I2. Protože intenzita klesá
s druhou mocninou vzdálenosti, bude poměr intenzit
I2
I1
=
r2
(r − vt)2
. (8.8)
Protože se intenzita zvýší n-krát, bude platit I2 = n I1 a ze vztahu pro
poměr intenzit dostaneme:
r2
(r − vt)2
= n. (8.9)
Pro hledanou hodnotu t obdržíme:
t =
r
v
1 −
1
√
n
. (8.10)
V této rovnici nám hledaný čas vychází v sekundách. Mnohem názornější
je převést tuto dobu na roky, pak:
t =
1
3.156 · 107
r
v
1 −
1
√
n
]. (8.11)
3. Za jakou dobu se zdvojnásobí intenzita hvězdy ζ Herculis, která má
paralaxu π = 0.108” a přibližuje se ke Slunci rychlostí 70 km · s−1
?
[Ze známé paralaxy určíme vzdálenost pomocí vztahu π = 1/r, odtud
r = 9.259 pc = 2.857 · 1014
km. Po dosazení do (8.11) obdržíme t =
37 880 roků. ]
136 KAPITOLA 8. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD
4. Altair (α) Aql se přibližuje ke Slunci rychlostí 26 km s−1
. Za jak dlouho
se jeho zdánlivá hv. velikost změní o 0.1m
? Vzdálenost Altaira od Slunce
je 15.7 l.y.
[Z Pogsonovy rovnice zjistíme poměr intenzit
I2
I1
= 1.096 = n. (8.12)
Pak t = 8 146 roků.]
5. Aldebaran (α) Tau se vzdaluje od Slunce rychlostí 54 km s−1
, jeho paralaxa
π = 0.050”, vizuální hv. velikost Aldabaranu je +0.85m
. Za jak
dlouho bude jeho zdánlivá hv. velikost +0.87m
?
[t = 3 350 roků.]
6. Ve spektru hvězdy je čára vápníku o vlnové délce λ = 422.7 nm posunuta
o ∆λ = 0.07 nm k fialovému konci spektra. Určete radiální rychlost
hvězdy.
[vr = −49 km s−1
. Hvězda se k nám přibližuje.]
7. Jak se posune čára sodíku s vlnovou délkou λ = 589.6 nm ve spektru
hvězdy, která má radiální rychlost vr = +161 km s−1
.
[∆λ = 0.316 nm. Čára se posune k červenému konci spektra.]
8. Ve spektru novy v souhvězdí Herkula byla v roce 1934 tmavá čára vodíku
Hλ (λ = 434.1 nm) posunuta o 1.01 nm k fialovému konci spektra.
Jaká byla rychlost plynu vyvrženého hvězdou?
[v = 700 km s−1
.]
9. Barnardova hvězda (někdy též nazývána šipka) má ze všech hvězd největší
vlastní pohyb po obloze. Jednotlivé složky jejího vlastního pohybu
jsou: µα cos δ = −0.797 /rok, µδ = 10.326 /rok. Spočtěte, za jak
dlouho se posune na obloze o úhlový průměr Měsíce? Určete úhel ψ,
který svírá její vlastní pohyb se směrem k severnímu pólu.
[Vypočítáme výsledný vlastní pohyb Barnardovy šipky:
µ = (µα cos δ)2 + (µδ)2 = 10.356 /rok. (8.13)
8.1. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD 137
Úhlový průměr Měsíce je přibližně 0.5◦
. Barnardova šipka urazí tuto
vzdálenost za
t =
1800
10.356
= 174 let. (8.14)
Úhel ψ určíme ze vztahů:
µδ = µ cos ψ (8.15)
µα cos δ = µ sin ψ (8.16)
Protože úhel ψ může ležet v rozmezí (0◦
− 360◦
), musíme znát sin ψ i
cos ψ. Určíme velikost úhlu ψ = 4.36◦
, protože sin ψ je záporný a cos ψ
kladný, bude výsledný úhel ležet ve 4. kvadrantu, tedy ψ = 355◦
34 .]
10. Určete radiální rychlost Barnardovy šipky, znáte-li z = ∆λ/λ = −0.000369.
[vr = c · z = −110.6 km s−1
.]
11. Určete skutečnou prostorovou rychlost Barnardovy hvězdy vůči Slunci,
znáte-li její vzdálenost 5.98 l.y.
[Nejdříve převedeme vzdálenost na parseky: r = 1.834 pc, pak určíme
tangenciální rychlost:
vt = kµr = 4.74 · 10.356 · 1.834 km s−1
= 90 km s−1
. (8.17)
Prostorová rychlost
v = (vr)2 + (vt)2 = 142.2 km s−1
. (8.18)
]