Opakování funkce
1. Vymyslete a zakreslete alespoň dvě libovolné polynomické funkce.
2. Vymyslete a zakreslete alespoň dvě libovolné lomenné funkcei.
3. Vymyslete a zakreslete alespoň dvě libovolné exponenciální funkce.
4. Vymyslete a zakreslete alespoň dvě libovolné logaritmické funkce.
5. Vymyslete a zakreslete alespoň dvě libovolné goniometrické funkce.
6. Zakreslete funkce a okomentujte definiční obor a obor hodnot: x2, x2 — 1, (x - l)2
7. Zakreslete funkce a okomentujte definiční obor a obor hodnot: y/x + 1, -Vx + 1
8. Zakreslete funkce a okomentujte definiční obor a obor hodnot: sin a;, sin x + 7r/4, —2 sin a;, cos 2a;
Limita a spojitost funkce Limita funkce
Pokud bereme funkci / jako předpis, který hodnotě x přiřazuje funkční hodnotu f(x), pak / má v bodě p limitu L, jestliže pro x v okolí bodu p jsou hodnoty f(x) blízko L. Matematická definice, navržená na začátku 19. století, vyžaduje, aby se pro libovolně malou odchylku od L dalo najít okolí bodu p, že pro každé x v tomto okolí se f(x) liší od L o méně než povolenou odchylku.
Matematicky zapisujeme, že pro x blížící se k p se hodnota f(x) blíží k L výrazem lim f(x) = L.
Důležité vzorce:
1 / 1\"
lim — = 0,        lim    1H--= e,
x—>oo xa n—>oo \ JI J
kde a je kladné reálné číslo a e Eulerovo číslo (e = 2.718). Spojitost funkce
Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, což si lze intuitivně představit tak, že graf funkce lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá. Funkce má v každém bodě definičního oboru vlastní limitu (reálné
1
-ri      -3 -l /(x)=sEn(.)
í        í i
Obrázek 1: Ukázka okolí bodu (vlevo nahoře), ukázka nespojitosti (vpravo nahoře) a nespojitosti ve vlastním bodě (dole).
číslo, ne nekonečno).
Funkce, kde není definiční obor celé R: 1 1
y=-,     y ■
x        '     x + 2 y = \fx,      y = \J x'1 — 4 y = log x,       y = log (x — 5)
Příklady
Určete body nespojitosti a zadané limity těchto funkcí:
1. lim 3x
x^3
2. lim 3x
x—>oo
3. lim —
x->l X
4. lim —
x->0 x
5. lim
xz - 4
x^oo x2 + 3x — 3
2
6. lim
x—>cx
7. lim
x->oo x2 + 3x — 3 2a;
x^oo a;2 + Sx — 3
Derivace funkce a její geometrický význam
Matematická definice derivace:
f(x + h)-f(x)
tana = f'(x) = lim
h
(1)
kde a je úhel svírající tečna osou x a ' udává derivaci podle proměnné (x). Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě". Příkladem je rychlost (vozidla) v. Taje derivací funkce polohy s (při pohybu vozidla), v = s'(ť) =
Derivací funkce získáme směrnici tečny viz Obr. 2 a 3.
\M = i- +1		t
\ ; \ fta+h)		c
\ j \ 7 \ F(a		b
		i a+h
3              2            -1 i	q        i h       2          'i 4	
Obrázek 2: Geometrická interpretace derivace, zamyslete se co se děje při zmenšování h viz další obrázek.
Obrázek 3: Geometrická interpretace derivace, kde křivka je původní funkce a přímka ukazuje postup hledání tečny.
3
Věta: Funkce má v bodě derivaci, pokud je funkce definována i v epsilon okolí tohoto bodu.
Pokud by toto okolí neexistovalo, nedopočítáme se limit, přes které je derivace definována.
Věta: Jednoznačnost existence (nebo neexistence) limit nám implikují, že pokud v bodě existuje derivace, je jediná.
Žádná funkce nemá v jednom bodě více derivací. Buď jednu, nebo žádnou. Věta: Druhá (vyšší) derivace - funkci zderivujeme jednou a poté výsledek zde-rivujeme ještě podruhé (vícekrát). Značíme dvěma (více) čárkami: f"{x) =
Věta: Má-li funkce v bodě derivaci, pak je funkce v tomto bodě spojitá. Pozor, neplatí to obráceně!
Příklady
1. Pomocí definice derivace najděte derivaci funkce f(x) = x2 — 1.
2. Pomocí definice derivace zjistěte směrnici tečny (úhel mezi tečnou a osou x) v bodě xq = 2 funkce y = x2 — 3x+5. Funkce prvně odhadem zakreslete.
Domácí úkol
Zakreslete funkce a určete jejich definiční obor a obor hodnot.
(my-
1. lim.
2. lim.
-x->0
x2+4 x — 2
3. lim.
sm x
-x->0
VI —cos x '
4