Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
1
7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X → Y, kde X, Y ⊆ R.
Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce 2.
Poznámka:
V dalším výkladu budeme termínem funkce, případně funkce jedné proměnné rozumět vždy jen reálnou funkci
jedné reálné proměnné.
Funkce f je tedy předpis, který každému reálnému číslu x ∈ X přiřazuje jediné reálné číslo
y = f (x) ∈ Y. Předpis f lze zadat různými způsoby, například tabulkou, grafem, výrazem
(vzorcem), případně více výrazy (vzorci), jak uvádí následující příklad. Nejčastěji je funkce
zadána výrazem*
y = f (x), kde se x chápe jako proměnná, za kterou se dosazují čísla z X,
a y jako proměnná nabývající hodnot z Y; x se pak nazývá nezávisle proměnná (argument
funkce), y závisle proměnná. Namísto f se k označení funkce užívá často přímo výraz f (x). Pro
pevně zadanou hodnotu a proměnné x se příslušná hodnota f (a) nazývá hodnota funkce f
v bodě a, či funkční hodnota v bodě a. Množina X všech hodnot proměnné x se nazývá
definiční obor funkce f a značí se D( f ). Množina všech hodnot funkce f se nazývá obor
hodnot funkce f a značí se H( f ). Není-li pro funkci f zadán definiční obor D( f ) = X, přijímá se
úmluva, že se za něj považuje množina právě všech čísel, pro něž má předpis y = f (x) smysl.
V technických aplikacích je definičním oborem funkce nejčastěji interval.
Příklad:
(a) X = {{{{1, 2, 3, 4, 5}}}}, Y = {{{{0, 1, 2}}}}, f je funkce zadaná dále uvedenou tabulkou. Platí H( f ) = {{{{0, 1}}}}.
x 1 2 3 4 5
y = f (x) 0 1 1 0 1
(b) Funkce f je zadána grafem na obr. 7.1.
(c) Funkce f je zadána výrazem (vzorcem) y = f (x) = √√√√x. D( f ) není udán, v tomto případě podle úmluvy je
D( f ) = 〈〈〈〈0, ∞∞∞∞).
*
Říkáme, že funkce je zadána analyticky.
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
2
Obrázek 7.1. Zadání funkce grafem
GRAF FUNKCE
Graf funkce f je množina bodů [x, y] roviny s vlastností x ∈ D( f ), y = f (x).
Příklad:
(a) Grafem funkce y = f (x) = x2
, D( f ) = 〈〈〈〈0, ∞∞∞∞), je množina {{{{[x, x2
]; x ∈∈∈∈ 〈〈〈〈0, ∞∞∞∞)}}}} bodů roviny. Jde o
„pravou“ polovinu paraboly na obr. 7.2.
Obrázek 7.2. Graf funkce y = f (x) = x2
, D(f ) = 〈0, ∞)
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
3
(b) Na obrázku 7.3 je graf funkce
( )



≥−
<−−
==
.0lije
0lije1
2
xx
x
xfy
Obrázek 7.3. Graf funkce ( )



≥−
<−−
==
0lije
0lije1
2
xx
x
xfy
Z definice funkce plyne, že množina bodů M roviny je grafem nějaké funkce, jestliže
každá rovnoběžka s osou y má s množinou M nejvýše jeden společný bod. Na obr. 7.4 je
množina M grafem funkce y = f (x), kdežto množina M ′ nemůže být grafem žádné funkce
y = f (x); některé rovnoběžky s osou y mají s M ′ více než jeden společný bod.
Obrázek 7.4.
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
4
Při kreslení grafu funkce se postupuje tradiční metodou „bod po bodu“. Nejprve se
určí dostatečný počet dvojic [x, f (x)], zakreslí se jako body roviny a tyto se pak spojí vhodnou
„čarou”. Graf bude tím přesnější, čím bude k dispozici více bodů [x, f (x)]. Osobní počítače
s grafickým výstupem jsou vesměs vybaveny procedurami, které najdou dostatečný počet
takových bodů, pomocí nichž vykreslí metodou „bod po bodu” graf funkce s uspokojivou
věrností. Sestrojování grafů funkcí s využitím analytických prostředků bude též tématem
přednášky o průběhu funkce.
NULOVÝ BOD FUNKCE
Číslo a se nazývá nulový bod (též kořen) funkce f, jestliže platí f (a) = 0.
Příklad:
(a) Funkce ( )
x
x
xf
2−
= má jediný nulový bod 2.
(b) Funkce f (x) = x2
−−−− 1 má nulové body 1, −−−−1.
Hledání nulových bodů funkcí patří k velmi důležitým, avšak často k obtížným
úlohám. Někdy nelze určit nulové body ve tvaru přesného čísla. Pak zbývá nalezení nulových
bodů přibližně užitím numerických metod. Cenný je v tomto případě přibližný odhad
nulového bodu, který získáme nakreslením grafu (nejlépe počítačem). Je zřejmé, že nulové
body jsou pak průsečíky grafu funkce s osou x (pozor na nulové body, které mohou ležet
mimo rozsah grafického výstupu).
Příklad:
Z grafu funkce f (x) = x2
−−−− 2 na obr. 7.5 lze soudit, že nulové body jsou dva; první z nich, x1, patří do
〈〈〈〈−−−−1; −−−−1,5〉〉〉〉 (je asi −−−−1,4), druhý, x2, patří do 〈〈〈〈1; 1,5〉〉〉〉 (je asi 1,4). V tomto případě umíme nulové body určit
přesně řešením kvadratické rovnice x2
−−−− 2 = 0, tj. x1 = −−−− √√√√2, x2 = √√√√2.
ROVNOST FUNKCÍ
Funkce f, g jsou si rovny, jestliže D( f ) = D(g) a pro každé x ∈ D( f ) (případně D(g))
platí f (x) = g(x); zapisuje se f = g, v opačném případě f ≠ g.
Příklad:
(a) Funkce f (x) = ||||x||||, g (x) = 2
x jsou si rovny, f = g.
(b) Funkce f (x) = 1, g (x) = x/x si nejsou rovny, f ≠≠≠≠ g, neboť D( f ) = R, D(g) = R −−−− {{{{0}}}}, D( f ) ≠≠≠≠ D(g).
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
5
Obrázek 7.5. Graf funkce y = f (x) = x2
− 2
OPERACE S FUNKCEMI
Součet, rozdíl, součin a podíl funkcí f, g se definuje a značí takto:
( )( ) ( ) ( );xgxfxgf +=+ („funkce součtu se rovná součtu funkcí”)
( )( ) ( ) ( );xgxfxgf −=− („funkce rozdílu se rovná rozdílu funkcí”)
( )( ) ( ) ( );xgxfxfg = („funkce součinu se rovná součinu funkcí”)
( ) ( )
( )
( )( ).0≠=





xg
xg
xf
x
g
f
(„funkce podílu se rovná podílu funkcí”)
Z uvedených vztahů vyplývá grafická interpretace  graf výsledné funkce se dostane
metodou „bod po bodu” provedením požadované operace s funkčními hodnotami
v příslušném bodě.
Příklad:
Pro funkce f (x) = (x + 1)2
, g(x) = x je ( f + g) (x) = (x + 1)2
+ x , ( f −−−− g) (x) = (x + 1)2
−−−− x ,
( f g) (x) = (x + 1)2
x , ( ) ( )
x
x
x
g
f
2
1+
=





.
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
6
VÝZNAČNÉ TYPY FUNKCÍ
Funkce f je sudá, jestliže pro každé x ∈ D( f ) platí − x ∈ D( f ) a f (− x) = f (x); její graf
je souměrný podle osy y.
Funkce f je lichá, jestliže pro každé x ∈ D( f ) platí − x ∈ D( f ) a f (− x) = − f (x);
její graf je souměrný podle počátku.
Funkce f je periodická (s periodou p), jestliže existuje p ≠ 0 takové, že pro všechna
x ∈ D( f ) platí x + p ∈ D( f ) a f (x) = f (x + p).
Funkce f je rostoucí, případně klesající na M ⊆ D( f ), jestliže pro každé x1, x2 ∈ M
platí x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2), případně x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
Funkce f je neklesající, případně nerostoucí na M ⊆ D( f ), jestliže pro každé x1, x2 ∈ M
platí x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2), případně x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).
Funkce f je ryze monotónní na M ⊆ D( f ), jestliže je f na M rostoucí nebo klesající.
Funkce f je monotónní na M ⊆ D( f ), jestliže je f na M neklesající nebo nerostoucí.
Funkce f je shora omezená, případně zdola omezená na M ⊆ D( f ), je-li množina
f (M) = {f (x); x ∈ M} shora, případně zdola omezená.
Funkce f je omezená na M ⊆ D( f ), je-li f na M shora i zdola omezená.
Poznámka:
Pokud se v uvedených definicích uvažuje M = D( f ), vynechává se dovětek „na M”.
K ověření, zda daná funkce je některého z uvedených typů lze v jednoduchých
případech vystačit s běžnými prostředky středoškolské matematiky. Lze ale také využít
prostředků diferenciálního počtu (viz přednáška 12).
SLOŽENÁ FUNKCE
Uvažujme funkce f, g a předpokládejme, že některé hodnoty funkce g(x) patří do D( f ).
Každé takové hodnotě u = g(x) ∈ D( f ) lze přiřadit hodnotu y = f (u) = f (g(x)). Tím je
definována nová funkce h(x) = f (g(x)), která se nazývá funkce složená z funkcí f, g a značíme
ji h = f g. Platí D(h) = {x; x ∈ D(g), g(x) ∈ D( f )}. f je vnější a g vnitřní složka.
Uzávorkování ve výrazu f (g(x)) pro funkci složenou z funkcí f, g určuje jednoznačně pořadí,
v němž se skládání provádí, tj. funkce g se aplikuje jako první, funkce f jako druhá.
Poznámka:
Složenou funkci f (g(x)) lze slovně vyjádřit termínem „f po g“.
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
7
Příklad:
(a) Nechť f (x) = x , g(x) = 2x. Složená funkce „f po g“, f (g(x)) = x2 , je funkce, která vznikla složením
funkce g, která zdvojnásobuje, s funkcí f, která odmocňuje. Složená funkce „g po f“ vznikne složením
funkce f, která odmocňuje, a funkce g, která zdvojnásobuje, tj. g( f (x)) = x2 .
(b) Funkce h(x) = 2
x je funkce složená z funkce g, která umocňuje, a funkce f, která odmocňuje,
tj. „f po g“, f (g(x)) = 2
x .
Termín složená funkce se vztahuje ke způsobu, jakým lze vyjádřit funkční hodnoty,
nikoliv přímo k funkci samotné. Zda funkce je složená či ne závisí na tom, jak na ni
pohlížíme. Funkce v předchozím příkladu (b) je složená  přitom však na ni lze pohlížet jako
na „nesloženou“ funkci f (x) = |x|. Rozklad složené funkce na její složky bude důležitý v řadě
konstrukcí. Skládání funkcí lze přirozeně rozšířit i pro více funkcí.
Příklad:
Funkce v(x) = xcosln je funkce složená „√√√√ po ln po cos“, tj. v(x) = f (g(h(x))), kde h počítá kosinus,
g počítá přirozený logaritmus, f odmocňuje.
PROSTÁ A INVERZNÍ FUNKCE
Funkce f se nazývá prostá na M ⊆ D( f ), jestliže pro každé x1, x2 ∈ M bude
x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2); v případě M = D( f ) se vynechává „na M“.
Z definice je zřejmé, že prostá funkce nabývá každé své hodnoty právě jednou, neboli, každá
rovnoběžka s osou x protne její graf nejvýše v jednom bodě.
Příklad:
(a) Funkce f (x) = 1/x je prostá, neboť pro x1, x2 ∈∈∈∈ D( f ), x1 ≠≠≠≠ x2 platí f(x1) = 1/x1 ≠≠≠≠ f (x2) = 1/x2
(obr. 7.6.).
(b) Nechť f(x) = x2
. Pro x1, −−−− x1, kde x1 ≠≠≠≠ 0 platí x1 ≠≠≠≠ −−−− x1, avšak f (x1) = 2
1x = (−−−− x1)2
= f ( −−−− x1),
tj. f (x) = x2
nabývá každé své nenulové hodnoty dvakrát (její graf  parabolu  může rovnoběžka
s osou x protnout dvakrát), není tedy prostá. Je však prostá, například, na intervalu 〈〈〈〈0, ∞∞∞∞), nebo
na intervalu (−−−− ∞∞∞∞, 0〉〉〉〉 (pravá nebo levá polovina paraboly) (viz obr. 7.7.)
Platí tato důležitá vlastnost, kterou často upotřebíme v praktických úlohách:
Je-li funkce f na M rostoucí nebo klesající, pak je na M prostá.
Poznámka:
Pozor! Opačné tvrzení neplatí!!!
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
8
Obrázek 7.6. Graf funkce y = f (x) = 1/x
Obrázek 7.7. Graf funkce y = f (x) = x2
Pro prosté funkce se definují funkce inverzní (v jiných případech však inverzní funkci
zavést nelze!). Je-li funkce f prostá, přísluší každému y ∈ H( f ) právě jedno takové x ∈ D( f ),
že platí y = f (x). Tím je na množině H( f ) definována funkce, která se nazývá inverzní funkcí
k funkci f a značí se f -1
(pozor, jde o jinou funkci než 1/f ). Funkce a k ní funkce inverzní si
vymění vzájemně definiční obory a obory hodnot, tj. D( f −1
) = H( f ), H( f -1
) = D( f ).
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
9
Z uvedeného vyplývá, že rovnice y = f (x) je splněna, právě když platí x = f −1
(y).
V praktických úlohách spočívá nalezení inverzní funkce ve vyjádření x jako funkce y. Pokud
takové vyjádření je jednoznačné, dostáváme přímo x = f −1
(y).
K interpretaci smyslu pojmu inverze je důležité si uvědomit, že je-li funkcí f prováděn
jistý početní úkon, je k ní inverzní funkcí prováděn úkon inverzní, například k funkci, která
zdvojnásobuje, bude inverzní funkce dělit dvěma.
Příklad:
a) Funkce y = f (x) = 2x je rostoucí (tedy i prostá) a podle shora uvedené vlastnosti k ní existuje inverzní
funkce. Ze vztahu y = 2x lze jednoznačně vyjádřit x = y/2 = f −−−−1
(y), což je hledaná inverzní funkce.
b) K funkci y = f (x) = x2
, D( f ) = R neexistuje funkce inverzní, neboť f není prostá. Jak je zřejmé
v tomhle případě nelze vyjádřit jednoznačně x jako funkci y. Pokud ale zvolíme vhodnou množinu
M ⊆⊆⊆⊆ D( f ), na které je f prostá, pak inverzní funkce bude existovat!
Jak již bylo zmíněno, přejdeme-li od funkce k příslušné funkci inverzní, vymění si
navzájem úlohy závisle a nezávisle proměnná. Při grafické interpretaci to znamená, že nyní
hodnoty proměnné y vynášíme na horizontální osu (x) a hodnoty proměnné x = f −1
(y)
na vertikální osu (y). V důsledku toho jsou grafy funkcí f a f −1
souměrné podle osy 1. a 3.
kvadrantu (tj. podle přímky y = x podle níž jsou souměrné osy x, y). Této vlastnosti
využíváme při kreslení grafů inverzních funkcí.
Poznámka:
Abychom respektovali úmluvu, že nezávisle proměnnou označíme x a závisle proměnnou y (tj. aby označení
proměnných bylo shodné s označením os, na které se nanášejí), zaměníme po formálním nalezení inverzní
funkce ve tvaru x = f −1
(y) její označení na y = f −1
(x).
Příklad:
Nechť y = f (x) = x2
, D( f ) = 〈〈〈〈0, ∞∞∞∞). f je rostoucí na 〈〈〈〈0, ∞∞∞∞), tedy k ní existuje funkce inverzní. Platí
x = f −−−− 1
(y) = √√√√y, po záměně y = √√√√x. Na obr. 7.8. jsou nakresleny grafy funkcí f (x) = x2
, f −−−− 1
(x) = √√√√x
s využitím souměrnosti podle přímky y = x.
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
10
Obrázek 7.8. Graf funkce x2
a √x
Cílové znalosti
1. Nulový bod funkce, geometrická interpretace.
2. Význačné typy funkcí.
3. Složená funkce
4. Inverzní funkce, podmínky existence.
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
11
VII. Funkce jedné reálné proměnné_CVIČENÍ
POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
1. Pro funkci ( )
1
1
−
+
=
x
x
xf najděte: a) ( )xf 2 . b) ( )2
xf .
2. Pro funkci ( )
1
1
−
+
=
x
x
xf najděte: a) ( )xf2 . b) ( )[ ]
2
xf .
3. Pro funkci ( ) 13
−= xxf najděte pro pevně zadané a, b, h:
a)
( ) ( )
ab
afbf
−
−
( )ab ≠ . b) 




 +
2
ha
f .
4. Pro funkci ( ) 14
+−= xxxf najděte ( )1−f , ( )[ ]
2
1−f , ( ) 31 −−f .
5. Pro funkci
( )





≤≤−
<≤
<<−
=
31;13
10;4
01;3
xx
x
x
xf
x
najděte ( )2f , ( )0f , ( )5,0−f .
6. Pro funkci
( )








≤≤
−
<≤
<≤−−
=
−
6;
2
0;
2
tg
01;13
2
x
x
x
x
x
x
xf
x
π
π
najděte ( )1−f , 





2
π
f , 





3
2π
f , ( )4f , ( )6f .
7. Určete D(f ) pro funkce:
a) ( ) xxxf −+−= 61 . b) ( ) 2
2
23
1
2
xx
xxxf
−+
+−−= . c) ( ) 1sin −= xxf .
d) ( )
xx
xf
−
=
1
.
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
12
GRAF FUNKCE
8. Načrtněte graf funkce:
a) ( )






<−
=
>−
=
0;
0;
2
1
0;2
3
xx
x
x
xf . b) ( ) 2
xxxf += . c) ( )







≤<
−
≤<
≤≤−
=
41;
1
1
10;2
0;sin
x
x
x
xx
xf
π
. d) ( ) xxxf 2+= .
NULOVÝ BOD FUNKCE
9. Najděte nulové body funkce:
a) ( ) 3
xxf = . b) ( ) 122
+−= xxxf . c) ( )
1
1
−
=
x
xf .
10. Najděte nulové body funkce:
a) ( ) ( )( )21 +−= xxxf . b) ( ) ( )
( )1
2
−
+
=
x
x
xf . c) ( ) 23
xxxf += .
VÝZNAČNÉ TYPY FUNKCÍ
11. Rozhodněte o tom zda je funkce lichá, příp. sudá:
a) ( ) 12 3
+−= xxxf . b) ( )
x
x
xf
+
−
=
1
1
log . c) ( ) xxxf cossin += . d) ( ) xxxf 24
sin24 +−= .
12. Určete periodu funkce:
a) ( ) ( )xxf 2tg= . b) ( ) xxf cos= .
FUNKCE SLOŽENÁ
13. Určete, ze kterých funkcí a v jakém pořadí je utvořena složená funkce:
a) ( ) ( )xxf += 2sin . b) ( ) 2
tg xxf = . c) ( ) ( )
3
1−= xxf . d) ( ) xxf sin= . e) ( ) 12
3 −
= x
xf .
PROSTÁ A INVERZNÍ FUNKCE
14. U funkcí zadaných na obrázku (viz seminář) rozhodněte, zda jsou prosté na M:
a] f, M = R. b) g, M = 〈a, b〉. c) h, M = R.
Management rekreace a sportu 7. Funkce jedné reálné proměnné
13
15. U funkcí na obrázku (viz seminář) rozhodněte, zda jsou prosté na M:
a] f, M = R. b) g, M = R. c) h, M = R.
16. Rozhodněte o existenci inverzní funkce. V kladném případě ji najděte (příp. graficky).
a) ( ) 2
3
1
+= xxf . b) f je na obrázku (viz seminář).
17. Najděte inverzní funkci k funkci f:
a) ( )
x
x
xf
+
−
=
1
1
. b) ( ) 3
xxf = . c) ( ) 2
1 xxf += , ( ) )∞= ,0fD .