E 10 Rezonance v sériovém a paralelním obvodu. Rezonanční křivka.
Složený obvod střídavého proudu vznikne spojením několika obvodových prvků s R, L, C. Řešení těchto obvodů spočívá v určení celkové impedance obvodu a fázového rozdílu mezi napětím a proudem.
Obvod s RLC v sérii
UJ
RLC
Obr. 1. Obr. 2
Jestliže obvod připojíme ke zdroji střídavého napětí, prochází všemi prvky stejný proud /.
Celkové napětí na obvodu je dáno vektorovým součtem UR, UL, Uc.
Velikost
U = ^JUI+(UL+Ucf*^ ■ ■ flj ■
Velikost impedance pak je
U
cd L-
1
\2
V
co C J
(2)
Fázový diagram obvodu je na obr. 2.
Ze vztahu pro impedanci je zřejmé, že se hodnota této veličiny mění s frekvencí. Minimální je při rezonanci, která nastane, když UL - Uc (rezonance napětí). Pak platí
^"ífe"4 (3)
a rezonanční úhlová frekvence co0 odpovídá úhlové frekvenci vlastního kmitání obvodu (Thomsonův vztah) 1
Pro fázový rozdíl cp napětí a proudu platí
1
oj L —
(4)
coC
*Š<P=-1- (5)
k n
cp leží v intervalu — — < (p < —.
Mezní případy nastávají při R = O . Při rezonanci cp = O obvod má vlastnosti rezistoru. Podle rovnice 2 můžeme sledovat v blízkém okolí rezonance buď průběh napětí U jako funkci co za předpokladu, že / udržujeme konstantní nebo naopak, / jako funkci co za předpokladu, že
, ÚJ
udržujeme (/konstantní. Zavedeme-li pro x = —, pak průběh závislosti U na. í (/na U) jsou na obrázcích 3, 4.
( U = k. )
x
Při U= konst dostáváme křivku, která představuje / jako funkci oj a která má maximum při rezonanci, tj. v bodě x = 1 resp. co = a>Q. Říká sejí rezonanční křivka.
Obvod s RLC paralelně
5
U ^
R
5! Ir V II li
L
C
Obr. 5
Obr. 6
Při paralelním spojení je na všech prvcích stejné napětí U a pro celkový proud / (sčítá se vektorově) v nerozvětvené části obvodu platí
I = ^l+{lc-h)2 (6) Odtud vyplývá
takže
J__ U_ Z~~ I
Z =
R'
+
R
x, J
(7)
m Q
co L J
Při rezonanci Ic — IL (rezonance proudu) a impedance obvodu má maximální hodnotu. Fázový diagram je na obr. 6.
Pro fázový rozdíl napětí a proudu platí
tg<p = R
cdC-
1
újLj
Při rezonanci je (p - 0 . V případě, že R —> co, jde o ideální oscilační obvod, jehož impedance Z —» co a rezonanční napětí na obvodu U -> co . Rezonanční kmitočet je dán stejným vztahem (4). Podobně jako u sériové rezonance můžeme sestrojit rezonanční křivku pro paralelní rezonanci.
(U = k)
x
Obr. 7
Obr. 8
Necháme-li 1 konstantní a měníme-li frekvenci / = —, dostaneme pro napětí U křivku s maximem při rezonanci.
Z tvaru rezonanční křivky můžeme stanovit kvalitu cívky, která určuje kvalitu celého obvodu, neboť ztráty v kondenzátoru bývají malé. ců L
q =
R
kde R je odpor vinutí cívky.
Upravíme-li vztah (2) a označíme rezonanční kmitočet /„ = 27tú)0 , Aa> = co -cdq, pak můžeme q vyjádřit:
q =
2Aco]
Zvláštní případ nastane pro pokles proudu o 3 dB, tj. na hodnotu / = —j=. Pak
V2
q =
COn
2Aú) 2Af
Je to vztah mezi kvalitou obvodu a šířkou rezonanční křivky (obr. 10).
Obr. 10
f,  t f,
Pro vysokou kvalitu obvodu je šířka rezonanční křivky malá a proud při rezonanci při stálé hodnotě vstupního napětí dosahuje vyšší hodnoty, než u obvodu s nízkou kvalitou. Jeho rezonanční křivka je široká..
Ve skutečnosti neexistuje cívka bez R , proto se v praxi užívá obvodu znázorněného na obr. 9.
Obr. 9
+
L
R
C
v němž je kondenzátor o kapacitě C připojen paralelně k cívce, mající indukčnost L a ohmický
odpor R.
Platí
U c = ULR = U
U
z =
1
\R + co L 1
+ coC
1
(9)
(10)
+ ú)C
R + coL
Rezonance nastane, když <p = 0, což vede k podmínce
1 R'
°~\LC L2 Zanedbáme-li R, dostaneme stejný vztah jako (4).
(11)
Úkoly:
1) Sestavte sériový RLC obvod. (R je tvořen odporem vinutí cívky). Určete rezonanční kmitočet a sestrojte rezonanční křivku. Sestrojte rovněž průběh napětí UL a Uc
v okolí a>0. Určete Q.
2) Sestavte paralelní RLC obvod (obr. 9). Určete f0, sestrojte rezonanční křivku. Porovnejte s rezonanční křivkou pro sériový RLC obvod.
Postup pro měření se soupravou ISES.
Nastavení pro úkol 1 a 2 je v konfiguračním souboru REZON.CFG.
Úkol 1. Zapojení podle obr. 1 (R = RL). Celkové napětí měříme voltmetrem (kanál A, rozsah 1 V s nulou uprostřed), proud ampérmetrem (kanál B, rozsah 10 mA s nulou uprostřed). Mr ; Generátor střídavého signálu tvoří kanál E: rozmítač /, = 0Hz, f2 = 1500Hz , hladina OF,
amplituda 0,5 V. Celkový čas měření Is, vzorkování 10 kHz, zobrazení: kanál A, B. Volte kombinace: L cívka 2400z bez jádra a s jádrem,
C = ljuF, 2,2ju F
Pro průběh UL a Uc přepněte voltmetr na nulu dole.
Ukol 2. Zapojení podle obr. 9 (R = R} ). Nastavení stejné jako v úkolu 1.