Parametrické a obecná rovnice přímky a roviny
Přímka je dokonalé rovná, neomezená (nekonečná) křivka. Vektor v = B — A se nazývá smerový vektor přímky AB
Parametrické vyjádření přímky: X = A + tv, kde A je (libovolný) bod na přímce p, v je směrový vektor přímky p a t € 5R je parametr. Parametrické vyjádření roviny: X = A + tv + su, kde A je (libovolný) bod na rovině r, v a m jsou směrové vektory roviny raíeJřaseJř jsou parametry.
1 Příklady
1. Zjistěte zda směrový vektor íT. je směrovým vektorem přímky AB a zakreslete
A. A[l,3], B[-l,5], vi = (1,2), v2 = (-2,2)
B. A[2, -3], B[l, -6], ví = (-3,9), v2 = (-2,2)
2. Zvolte parametr s tak, aby vektor v byl směrovým vektorem přímky AB
A. A[l,3], B[l,-2], v = (3,s)
B. A[-l,l], B[2,3], «= (l + s,2-s)
3. Zjistěte zda bod C leží na přímce AB
A. A[l,2], B[l,-3], C[5,0]
B. A[3,1], B[l,5], C[-l,2]
4. Zjistěte zda bod X[-l, -1,3] leží v rovině dané body A[l, 2,-1] B[3,1,1] C[-l, 1,0]
5. Napište parametrické vyjádření roviny A[l, 0,1] B[l, 2, 3] C[2, 3, —1].
Normálový vektor je vektor kolmý ke směrovému vektoru přímky. Obecná rovnice přímky: ax + by + c = 0. Kde a, b, c jsou nenulová čísla a x, y jsou souřadnice bodů na dané přímce.
Obecná rovnice roviny: ax + by + cz + d = 0. Kde a, b, c, d jsou nenulová čísla a x, y, z jsou souřadnice bodů v dané rovině.
2 Příklady
1. Napište obecné vyjádření přímky A[l, 1,4] B[—l, 2,1] C[0, —1, 0].
2. Napište rovnici přímky danou bodem R[2, 3] a rovnoběžnou s přímkou x - 3y + 2 = 0.
3. Napište obecné vyjádření roviny A[l, 1, 4] B[—l, 2,1] C[0, —1, 0].
1
Vzdálenost bodu od přímky a roviny, vzájemná poloha přímek a rovin, úhel dvou přímek a rovin
Vzdálenost d bodu X od přímky p v rovině, kde B[x\,X2\ ap: ax + by + c = 0
vypočteme tímto vozorcem:
\axi + bx2 + cl
d = - —
Vet2 + b2
Vzdálenost d bodu X od přímky p v prostoru: určím kolmou spojnici přímky s bodem, jeho patu P na přímce p a pak délku úsečky \XP\ Vzájemná poloha přímek:
1. Rovnoběžné (speciální případ totožné): shodný (rovnoběžný) směrový vektor
2. Kolmé: vzájemně kolmé směrové vektory
3. Různoběžné: směrové vektory svírají libovolný úhel, které není z*90°, kde z € Z
Vzájemnou polohu dvou přímé určíme z úhlu a svírající směrové vektory obou přímek (cos a = yfj^j)
3 Příklady
1. Určete průsečík přímek:
p:      x = 3-2t (1)
y=-l + t q :      Ax — y + 5 = 0
2. Určete vzdálenost d bodu A[—3,1] a přímky p : 2x + y — 2 = 0
Opakování
1. Proč existují různé soustavy souřadnic?
2. Je-li transformace mezi kartézskou a sférickou soustavou souřadnic dána vztahy
x   =   r cos <f> (2) y   =   r sin <f>
, určete koordináty těchto bodů v kartézské soustavě souřadnic:
2
A. A = [2,0]
B. B = [3,7r/3]
3. Vypočtěte vzádlenost bodů A a B (délku úsečky AB)
A. ,4[2,0], £[0,3]
B. A[-l,3], B = [1,3]
4. Vytvořte vektor u lineární kombinaci u = 2a — 3b
A. a = (2,0), b= (0,3)
B. a= (11,10), b= (2,-2)
Domácí úkol
1. Napište obecnou rovnici přímky p:
x   =   1 - t y   =   2 + 3í
2. Určete průsečík přímek p,q:
p : 3z + 5y-ll=0 q   :   -2a; + 3 + 1 = 0
3. Vypočtěte odchylku přímek p,q:
p   :   x = í + t   y = 2 + 3t q   :   2x + y - 1 = 0
3