Vektory
Definice: Nechť jsou a=aX i+aY j+aZ k, b= bX i+bY j+bZ k vektory a r je reálné číslo, pak platí, že
a+b= (aX +bX )i + (aY +bY )j + (aZ +bZ )k, (součet)
ra = (r aX )i+(r aY )j+(r aZ)k, (násobení reálným číslem)
|a|= [(aX )2
+ (aY )2
+ (aZ )2
]1/2
, (velikost vektoru)
a⋅ b = aX bX + aY bY + aZ bZ = |a| |b| cos() , (skalární součin)
a× b=(aY bZ - aZ bY )i + ( aZ bX - aX bZ )j + ( aX bY - aY bX )k ,(vektorový součin) .
Příklad č.1: Určete komponenty vektoru v, který je dán počátečním bodem A=(1,3,-1) a koncovým
bodem B=(-1,-2,1). Určete komponenty vektoru w=3v . Dále určete jeho velikost w.
Řešení: v=(-2, -5,2), w=(-6, -15, 6), w= 17.23.
Příklad č.2: Jsou dány jednotkové vektory i=(1,0,0), j=(0,1,0) a k=(0,0,1). Určete průměty wx,wy, wz,
vektoru w z předchozího příkladu do těchto jednotkových vektorů a vyjádřete jej jak součet vektorů i, j,
k.
Řešení: wx=-6, wy=-15, wz=6. w=-6i -15j +6k.
Příklad č.3: Jsou dány vektory a=-2i + 3j -k a b=3i - j + 3k .
Určete:
a) c=a+b, b) d = a-b, c) e = 3a, d) e = |e|, e) g=d× e .
Řešení:
a) c= i + 2j + 2k, b) d= -5i + 4j - 4k, c) e = -6i + 9j – 3k, d) e = 3(14)1/2
, e) g= 24i + 9j – 21k .
Příklad č.4: Dokažte, že vektory u= -i + 2j - 4k a v= 2i - 3j - 2k jsou na sebe kolmé.
Řešení: Příklad
č.5 : Určete plochu S čtyřúhelníku zadaného body A=(1 m ,1.5 m ,0), B=(2 m,0.5 m,0), C=(-
1m,1m,0), D=(-0.5m,-1m,0).
Řešení: S = 4.125 m2
.
Příklad č.6: Dokažte, že plocha rovnoběžníku daného vektory u a v je S=|u| |v| sin( ), kde úhel  je
úhel sevřený vektory u a v.
Řešení:-
Příklad č.7: Dokažte přímým výpočtem, že plocha rovnoběžníku daného vektory u a v je S=|u v|.
Řešení: Ukažte, že |u× v|=|u| |v| sin( ) .
Příklad č.8: Letadlo letí vůči vzduchu rychlostí 900 km/h. Vítr fouká od východu rychlostí 20 m/s.
Kterým směrem musí letadlo mířit, aby si udrželo směr na Sever?
Řešení: Letadlo musí letět sverovýchodním směrem pod úhlem 4.6°vůči spojnici Sever-Jih.
Příklad č.9: Jsou dány vektory a=3i-2j+4k a b=2i-3j+pk určete hodnotu parametru p tak aby byly oba
vektory na sebe kolmé.
Řešení: p=-3
Příklad č.10: Jsou dány vektory a=-2i+j+5k a b=2i-3j+8k . Určete průmět ba vektoru b do směru
vektoru a a jednotkový vektor n ve směru vektoru a.
Řešení: ba=11
 3
10
, n=−
 2
15
i
1
 30
j
5
6
k .
Příklad č.11: Pavel se chystá překonat řeku. Chce se dostat do místa B přesně naproti místu A odkud
vyráží. Může to provést dvěmi způsoby:
a) Plavat pod takovým úhlem vůči břehu aby Pavlova výsledná rychlost mířila přímo do bodu B.
b) Může plavat kolmo vůči břehu a nechat se unášet proudem do bodu X a odtud dojít do bodu B.
Pavel plave vůči řece rychlostí v=2.5 km/h a chodí rychlostí u=4 km/h. Rychlost proudu řeky je w=2
km/h. Kterým z těchto způsobů překoná řeku rychleji?
Řešení:
ta
tb
=
v u
uw  v
2
−w
2
=1.11 .
Příklad č.12: Určete objem V nádoby (rovnoběžnostěnu), která je určena vektory a=4i-j+3k , b=3i-2j-
6k a c=-2i+3j+2k , kde složky vektoru jsou v jednotkách cm.
Řešení: V=65cm3
.
Příklad č. 13: Stojíte na lodi která míří na východ rychlostí 15 uzlů. Všimnete si druhé lodi na jihu od
vás, vzdálené 6mil a pohybující se stálou rychlostí 26 uzlů. Za určitou dobu vás míjí přesně na zádi v
minimální vzdálenosti 3mil. Určete tento časový okamžik a směr jejího pohybu. (1uzel=1.852 mil/h,
1mile=1852 m)
Řešení:  druhá loď míří téměř na sever, tminmin .
Příklad č. 14:“Částice“ o hmotnosti m1=2kg pohybující se rychlostí v1=3i+2j-k km/s se dokonale
nepružně srazí s jinou částicí o hmotnosti m2=3 kg a rychlosti v2=-2i+2j +4k km/s. Najděte rychlost v
takto vzniklé složené částice.
Řešení: v= 2 j +2 k .