DÁLKOVÝ PRŮZKUM VESMÍRU
2. ZÁKLADY MECHANIKY KOSMICKÉHO LETU
8.1.6   Univerzální gravitační zákon
Jakmile se Newton ujistil, že silové působení Slunce na planety, silové působení Země na Měsíc a zemská tíže jsou všechny popsány stejným zákonem, formuloval roku 1684 univerzální gravitační zákon:
Libovolná dvě tělesa se přitahují silou, která je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná čtverci jejich vzdálenosti.
Newtonův gravitační zákon platí v celém vesmíru a určuje pohyby planet, komet, umělých satelitů, stejně jako hvězd a galaxií. Gravitace způsobuje sférický tvar velkých nebeských těles. Gravitace umožňuje hvězdám dosáhnout dostatečného tlaku a teploty k zapálení termojaderné reakce. Gravitace přidržuje vodu a vzduch k povrchu Země. Proměnná gravitace způsobená pohybem Měsíce a Slunce způsobuje pravidelná dmutí hladiny všech moří, tzv. přílivy a odlivy.
F
G
Ilustrace ke gravitačnímu zákonu
Univerzální gravitační zákon vyjádřen vzorcem zní
Univerzální gravitační zákon vyjádřen vzorcem zní
m1m2 FG = x-
kde konstanta úměrnosti k se nazývá gravitační konstanta a má hodnotu
k as 6. 673 2 x 10~n N m2 / kg2 .
Velikost gravitační konstanty Newton neznal, poprvé ji naměřil až HEXRY CA-VENDISH roku 1798 pomocí přesných torzních vah. Podařilo se mu poprvé změřit malé přitažlivé síly, kterými na sebe působí dvě velké a dvě malé olověné koule. Konstanta h je dodnes jednou z nejméně přesných fyzikálních konstant.
Schéma uspořádání Cavendishova experimentu Z reakce torzního vlákna na silový moment M je možno určit gravitační sílu a odtud gravitační konstantu.
O nepatrné velikosti gravitačních sil svědčí například tato skutečnost. Kdybychom měli ve volném prostoru dvě stejné olověné koule, každou o průměru jeden metr, ve vzdálenosti jeden kilometr od sebe a na počátku v klidu, pak by se obě koule vzájemným gravitačním přitahováním uvedly do pohybu a srazily by se až za 460 dní!
Směr přitažlivé síly je určen spojnicí obou těles, jak to vyžaduje zákon akce a reakce. Proto je možno zapsat gravitační zákon také v obecném vektorovém tvaru
m1m2 g = —— r.
(8.5)
kde r je polohový vektor tělesa vn<i vzhledem k m\ a F q je síla, jakou je hmotný bod m2 přitahován k m\.
Až do objevu gravitačního zákona působily všechny známé síly kontaktem těles, tedy na blízko. Gravitace byla první silou, která působí na dálku, ad distantio, a to podle Newtona okamžitě. Všechna astronomická pozorování to skutečně potvrzují. Nicméně ani sám Newton silovému působení na dálku nerozuměl a pokud byl dotázán na podstatu své gravitační síly, odpovídal výrokem: Hypotheses non fingo (Hypotézy nevymýšlím). Moderní výklad silového působení na dálku spočívá v zavedení hmotného silového pole v prostoru, kde se tělesa nacházejí. Ukazuje se také, že silové působení není okamžité, ale má konečnou rychlost, kterou je rychlost světla. Tato většinou malá zpřesnění popisuje teorie gravitace ALBERTA ElxSTEINA z roku 1916, která je známá spíše pod názvem obecná teorie relativity.
8.2.2   Řešení Keplerovy úlohy
Budeme tedy zkoumat, podobně jako Newton, pohyb planety nebo komety o hmotnosti m v gravitačním poli nehybného Slunce o hmotnosti Ms> Pohyb planety je popsán pohybovou rovnicí
Ms r = —k——r.
r 6
Trajektorii planety můžeme pohodlně najít například pomocí Binetova vzorce, jako jsme to dělali již dříve v dynamice. Nás však zajímá i časový průběh pohybu. Ukážeme si proto jiné řešení, které využívá integrálů pohybu, tj. zákona zachování energie
1 2      m AI s E = —mv — h-
2 r
a zákona zachování momentu hybnosti planety
L = mr2o. (8.6) který je jen jiným vyjádřením druhého Keplerova zákona.
E>0
E<0
pohyb po hyperbole
pohyb po elipse
Průběh efektivního potenciálu ř7ef (r) a celková energie i? určují, zda bude pohyb planety omezen na interval r\ < r < r2 (pohyb po elipse) nebo omezen jen zdola ro < r (pohyb po hyperbole).
V polárních souřadnicích je možno psát mechanickou energii planety ve tvaru
E = -m r 2 v
9 9
1 +rÁó
s
r
Vyloučením é pomocí (8.6) dostaneme
E = -mr +--g
2 2 mrz
TJlMs        1      .9      j j    f v
-= -mr + (7ef (rj,
7* _
kde ř7ef (r) představuje efektivní potenciální energii. Tato rovnice představuje diferenciální rovnici pro funkci r (t), kterou můžeme upravit do tvaru
o    2E    2hMs L2
T   —--1---
7X1
rri2r2
a vyřešit. Hledejme ale nejprve rovnici trajektorie r (<f>). Čas z rovnice vyloučíme opět pomocí druhého Keplerova zákona (8.6). Platí
d ľ     dr dô
dt     dá dt
r (p = r — mr
2'
kde čárkou označujeme derivace podle azimutu <p. Substituce
-u
m
a odtud
u
d u
d0 ~ ~
2mE    2 mMsm2
H--tt.-u — uz
L2
Tuto diferenciální rovnici umíme vyřešit například separací proměnných. Označíme-li kořeny kvadratické funkce pod odmocninou jako U\ a U2, pak bude řešení u (0) reálné, jen pokud platí Ui > u > u^. Pomocí kořenů U\ a u<i lze diferenciální rovnici zapsat ve tvaru
u
' = i\/(U'L — U) {u — U2).
Které znaménko u odmocniny skutečně platí, to rozhodnou počáteční podmínky. Pro kořeny u\ a ti 2 platí známé Viétovy věty
2xMsm1 2mE
Ui + U2 = -JT2- a     U1U2 =--ji}-.
Oba kořeny jsou tudíž kladné, jen když je E < 0. Planeta je pak vázána v gravitačním poli Slunce T\ < r < r 2 a nemůže jej opustit. V případě E = 0 vychází ti 2 — 0-takže planeta se může vzdálit až do nekonečna r2 —> 00. Konečně v případě, že E > 0, bude ti 2 i t52 záporné a pohyb planety je rovněž omezen jedinou podmínkou Ti < r.
Keplerova úloha. Planeta obíhá po elipse v prstenci vymezeném dvěma extrémními hodnotami vzdálenosti n a. r2 od Slunce.
Separací proměnných dostaneme nejprve rovnici
1/(^1 - u) (u - u2) a odtud její integrací dostaneme
u_u1±uA
I 0O) = arccos     ,, „
2.
2
Obvykle volíme počátek měření azimutu <p v perihéliu, tj. tam, kde je u — U\ — umax, resp. r = r\ = rmin, proto je = 0. Zároveň azimut měříme obvykle na tu stranu, na kterou azimut přirozeným pohybem planety skutečně roste. Proto platí jen znaménko plus. Řešení rovnice má tedy tvar
u =---+---cos 0, (8.7)
což je obecná rovnice kuželosečky
- = - (l + ecos<£). (8.8) r p
Z geometrie kuželoseček je známo, že pro e = 0 dostaneme r = p = a, tj. kružnici, pro e < 1 dostaneme elipsu, pro e = 1 dostaneme parabolu a konečně pro e > 1 dostaneme jednu větev hyperboly. Porovnáním řešení (8.7) s rovnicí elipsy (8.8) dostaneme pro parametr p rovnici
1     uL + u2 xMsm2
p = -^r~ = ~^r~ (8-9)
a pro excentricitu e rovnici
e —
U\ — U<2 Ul + U2
Ali1 U'2
(u-i + u2y
TT = 4/I +
2EL
2
(8.10)
Tím jsme dokázali první Keplerův zákon pro pohyb planet. Zároveň jsme jej rozšířili o poznatek, že dráha tělesa nemusí být eliptická, pokud má těleso dostatečnou energii. V případě, že je celková energie E tělesa kladná, je jeho dráha hyperbolická, protože pak je e > 1. V případě, že energie tělesa je přesně rovna nule, pohybuje se těleso po parabole, neboť je e — 1. Speciálně pro elipsu je velká poloosa rovna
ri + r2     u± + u2       Km M s
a
2
2E
> 0.
Obráceně platí také
E
KVflMs
2a
(8.11)
takže celková energie planety závisí jen na velké poloose její oběžné dráhy. Podobně z rovnice (8.9) vyjádříme orbitální moment L pomocí dráhových elementů
I? = xMsm2p. (8.12)
Orbitální moment můžeme vyjádřit také přes plošnou rychlost w = Tvab/T vztahem L = 2mw = 27ľmab/T. Dosazením do (8.12) odtud dostaneme po malé úpravě třetí Keplerův zákon ve tvaru
a
3
T2      Air'2 '
Pomocí univerzálního gravitačního zákona jsme tak pohodlně dokázali všechny tři Keplerovy z ákony.
8.2.4   Keplerova rovnice
Trajektorii planety r (ô) už známe, musíme ještě najít závislost polohy planety čase, hledáme tedy dále funkce (p(t) a r (ŕ) . Z (8.6) a (8.12) máme
L
mr-
—2-        = —^2-        (1 + CCOS0) ,
takže separací proměnných a integrací odtud dostaneme
■•o
do
o   (1 + e cos (f>)
át
'o
p1-
■t.
Integrál vlevo upravíme pomocí vhodné substituce
y
1-e o
TT^tg2
a spočteme. Tak dostaneme
M = 2 j arctg y — e
1 H- r
kde výraz na levé straně rovnice
M
t — nt
0:
(8.14)
se nazývá střední anomálie a n = y k M s / ci3 střední pohyb planety. Pro praktické výpočty v astronomii je tento vzorec nevhodný, protože se jedná o relativně složitou transcendentní rovnici vzhledem k y. Proto se zavádí dále excentrická anomálie E vztahem
E
y
íí - tg"7<    Pak je
2 1 + žr
1
- sin E.
2
Tak dostaneme mnohem vhodnější vzorec k výpočtu excentrické anomálie známý jako Keplerova rovnice
M - E-e sin E.
(8.15)
Při výpočtu polohy planety se tedy v praxi postupuje takto: Pro dané parametry elipsy a, e spočteme v daný okamžik t nejprve střední anomálii M planety podle (8.14). Odtud pak pomocí Keplerovy rovnice (8.15) najdeme excentrickou anomálii E a z ní pak spočteme pravou anomálii (azimut) <p pomocí vzorce
ô      /l • ( E tg2=VT^tg2-
Vzdálenost planety pak spočteme buď již ze známé pravé anomálie 0 a z rovnice elipsy (8.8) anebo s pomocí excentrické anomálie E ze vztahu
r = a (1 — e cos E) ,
který dostaneme úpravou vzorce (8.8), kam dosadíme za výraz
8.3.1   První kosmická rychlost
Již Newton zkoumal, jak by se měnil pád koule vystřelené horizontálně z děla na věži o výšce H nad zemským povrchem, kdybychom zvyšovali počáteční rychlost
koule. Galileo ukázal, že pro malé rychlosti Vq by se koule pohybovala po parabole
a na zem by dopadla za čas to = \J2H/g, přitom by doletěla do vzdálenosti D =  
Kdybychom rychlost koule dále zvyšovali, dopadala by koule dál a dál od věže. až by se počalo výrazněji projevovat zakulacení povrchu Země. Při určité rychlosti v0 = vl by koule padala k Zemi právě tak rychle, jak rychle by pod ní povrch Země ubíhal. To by nastalo právě v tom okamžiku, kdy by se křivost dráhy koule rovnala křivosti povrchu Země. A protože poloměr křivosti dráhy koule při vodorovném vrhu je r — Vq/q a poloměr Země je i?^, dostaneme z podmínky r — r z rychlost
V,
Trajektorie dělové koule při zvyšování počáteční rychlosti vq.
Tato rychlost se nazývá první kosmická rychlost a je to nej menší rychlost, kterou musíme satelitu udělit, aby nespadl zpět na povrch Země. Pochopitelně, zde neuvažujeme odpor atmosféry.
První kosmickou rychlost můžeme pohodlně získat také úvahou, že koule bude obíhat kolem Země po kruhové dráze o poloměru Rz, pokud bude mít takovou rychlost uj, že jeho dostředivé zrychlení a = v j jR z bude právě rovno tíhovému zrychlení g. Odtud opět dostaneme vzorec (8.20).
Oběžná doba satelitu, případně kosmické lodi, obíhajícího kolem Země je tedy rovna
Jestliže sem dosadíme za hmotnost Země výraz AI z = %^Pz^z- dostaneme pro oběžnou dobu vzorec
podle kterého nezávisí perioda oběhu satelitu překvapivě na velikosti planety, ale jen na její střední hustotě pz. Z oběžné doby T nízkoletících satelitů můžeme naopak spočítat hustotu planety podle vzorce
P =
Reálné satelity musí obíhat Zemi nad atmosférou, tedy ve výškách nad 200 km. Má-li satelit obíhat ve výšce H. bude poloměr jeho kruhové dráhy r q = Rz + H. Dostředivá síla na kruhové oběžné dráze se musí rovnat přitažlivé síle gravitační, odtud je potřebná kruhová rychlost satelitu rovna
" = '   '-       = ^ Rz + H ~ Vj
Kruhová rychlost je tedy vždy menší než první kosmická rychlost.
8.3.2   Obecná dráha satelitu
Vraťme se zpátky k Newtonovu dělu. Jestliže vystřelíme dělovou kouli rychlostí Vq horizontálně ve vzdálenosti Tq = Rz + H od středu Země, pak moment hybnosti koule je roven L = mr$VQ a energie koule je rovna
1
2
_ n
E = — mv0
-m (v2 - 2v2K)
Pro excentricitu její dráhy platí vzorec (8.10), jestliže tam dosadíme za L a E podle posledních dvou vzorců, dostaneme po úpravě výsledek
1
o
K
kde vk
Mz w-
(8.21)
je kruhová rychlost příslušná dané vzdálenosti r o od středu Země.
Závislost excentricitv e a velké poloosv a dráhv koule na její počáteční rychlosti vq. Všimněte si dvou významných bodů vo — vk, kde je trajektorií kružnice a vq = vkVŽ, kde je trajektorií parabola.
Velká poloosa dráhy se najde ze vzorce (8.11)
'o
2 - vH v
2 /„,2 k
(8.22)
Pro Vq > Vk\/2 vychází poloosa a záporná, elipsa tedy přechází v hyperbolu. Parametr p však zůstává kladný a stále monotónně roste s počáteční rychlostí koule. Parametry se spočte pohodlně ze vzorce (8.9), odtud po dosazení za orbitální moment L najdeme
p = r0-
v
k
Parametr p je na obrázku zobrazen pro každou trajektorii kvadraturou, tj. úsečkou SP, která je kolmá na vertikálu AS. Vzorec je možno přepsat také do tvaru
v
p
v2
k
r2 ' o
9-
z něhož je zřejmé, že parametr p má význam poloměru křivosti trajektorie koule ve vrcholu A dráhy.
*■ přímka
Trajektorie koule v závislosti na počáteční rvchlosti vq.
*■ přímka
Trajektorie koule v závislosti na počáteční rychlosti vq.
Nyní provedeme stručnou diskuzi těchto výsledků. Pro malé rychlosti bude e —>■ lac-> í"o/2. Dráhou koule bude velmi výstředná elipsa, téměř parabola AS, jak věděl již Galileo. Pro Vq < v x bude e < 1 a a < r*Q. Dráhou koule bude elipsa se středem uprostřed Země. Pro ?,'o = bude e = 0 a a = Vq. Dráhou koule tedy bude kružnice a koule se stane umělou družicí Země, pohybující se první kosmickou rychlostí. Pro Vq — vxy/2 bude e — 1 a velká poloosa trajektorie diverguje a —> oo. Dráhou koule bude parabola a jde o pohyb druhou kosmickou rychlostí. Konečně pro Vq > Vk\/2 bude excentricita větší než jedna e > 1 a velká poloosa bude záporná a < 0. Dráhou koule tedy bude hyperbola a koule unikne navždy z oblasti zemské přitažlivosti.
8.3.4   Druhá kosmická rychlost, úniková rychlost
Pokud budeme chtít vyslat kosmickou sondu mimo dosah gravitačního působení Země, musíme jí dodat rychlost, kterou nazýváme druhou kosmickou rychlostí. Je to nej menší možná rychlost, která umožní tělesu odletět nekonečně daleko od Země. Příslušnou dráhou je zřejmě parabola. Minimální rychlost sondy najdeme z podmínky, že její celková energie je rovna nule
m AI z
0.
— k
Rz
Odtud máme druhou kosmickou rychlost
li
v
11.2km/s.
Tato rychlost se běžně nazývá také únikovou rychlostí.
8.3.6   Třetí kosmická rychlost
Země obíhá kolem Slunce přibližně po kruhové dráze. Její rychlost najdeme jako příslušnou kruhovou rychlost podle vzorce
/ M s
vIS = \\x-~ 29.8km/ s .
V rs
Tuto rychlost najdeme také tak, že využijeme znalosti o délce oběžné dráhy a délce oběžné doby Země kolem Slunce. Zřejmě je vjs = litrs/T ~ 29.8 km / s, kde r s prf 1 AU 149.6 miliónů kilometrů je vzdálenost Země od Slunce a T 365.25 dne je siderická oběžná doba. Pokud bychom chtěli, aby Země opustila sluneční soustavu, museli bychom ji udělit rychlost Vjjs takovou, aby se mohla vzdálit do nekonečna po parabolické dráze, tedy jakousi druhou kosmickou sluneční rychlost. Zřejmě platí
vns = VjsVŠ    42.1 km / s .
Pokud budeme Zemi urychlovat ve směru její nynější obvodové rychlosti Vjs, stačí jí udělit jen dodatečnou rychlost
vjjs — Vjs & 12.3 km / s.
Totéž platí pro kosmické sondy, které chceme vyslat pryč ze sluneční soustavy. Nej menší rychlost Vjjj, která kosmické sondě dovolí opustit sluneční soustavu, se nazývá třetí kosmická rychlost. Předpokládejme, že sonda je po startu urychlena na rychlost Vjjj ve směru orbitální rychlosti Země kolem Slunce. Část této rychlosti však sonda ztratí na překonání gravitačního pole Země, v dostatečné vzdálenosti od povrchu Země musí mít sonda rychlost Vqq = Vjjs — Vjs P- 12 km / s, kterou najdeme ze zákona zachování energie sondy
^4 _ vhi_ _ xMz = vjn _ Vji 2  ~   2        Rz        2        2 "
Symbol jsme zde použili vzhledem ke skutečnosti, že změnu gravitační energie Země a sondy vzhledem ke Slunci v této aproximaci zanedbáváme. Odtud již dostaneme pro třetí kosmickou rychlost známý vztah
vin ~ y vie + vjj = J (vIIS - vIsf + v]j ^ 16.6 km / s .
8.3.7   Čtvrtá kosmická rychlost
Někdy se používá ještě pojem čtvrté kosmické rychlosti jako nej menší počáteční rychlosti nezbytné k tomu, aby kosmická sonda dopadla na povrch Slunce. K tomu dojde, když sondu tentokrát urychlíme ve směru opačném ke směru orbitální rychlosti Země a ta po překonání gravitačního pole Země získá rychlost — —Vjs vzhledem k Zemi nebo p= 0 vzhledem ke Slunci, takže pak sonda dopadne volným pádem na povrch Slunce. Pomocí zákona zachování energie opět najdeme přibližný vztah mezi Vjy a v^. platí
v
,2
"h
"h
2       2 Rz odtud je potřebná rychlost sondy rovna
ŮL 2
v iv
vls + Vn ^ ^1-8 km / s
Pokud bychom tedy chtěli poslat umělou kosmickou sondu ke Slunci, museli bychom ji dodat rychlost 31.8km/ s, tj. rychlost dvakrát vyšší než je rychlost postačující k opuštění sluneční soustavy. Dostat se ke Slunci je tedy energeticky mnohem obtížnější než uniknout z jeho přitažlivosti pryč.
8.3.8    Orbitální manévry
Základním problémem kosmonautiky je přesunout kosmickou sondu z orbity jedné planety na orbitu jiné planety kolem Slunce. Pro jednoznačnost v dalším předpokládejme, že druhá planeta se nachází dále od Slunce než planeta první, v opačném případě by byl postup analogický, jen místo urychlování by se sonda musela zpomalovat. V základní formulaci problému se dále předpokládá, že orbity planet jsou kruhové a že mají poloměry T\ a r"2 a rychlosti v\ a v2. Nejjednodušší variantou orbitálního manévru je udělit sondě pomocí raketových motorů krátký impulz, čímž vzroste rychlost sondy o Avp a sonda přejde na eliptickú dráhu, která se v aféliu dotýká dráhy druhé planety. Protože vzdálenost perihélia je rovna vzdálenosti r\ první planety od Slunce a vzdálenost afélia vzdálenosti 7"2 druhé planety od Slunce, rovná se velká poloosa eliptické dráhy sondy hodnotě
1 /
a = g (ri + rv ■
V aféliu dostane sonda druhý rychlostní impulz Av^-. čímž získá rychlost v2 a přejde na kruhovou dráhu shodnou s orbitou druhé planety. Toto je současně nej ekonomičtější mechanismus orbitálního manévru pro přesun mezi planetami a popsal jej již roku 1920 WALTER HOHMA.w
Orbitální manévr, sonda odstartovala ze Země Z, kde dostala impuls Avp a letí k dráze Jupitera J, na kterou přejde po obdržení impulzu Avp. Konečná rychlost sondy je v2.
Najdeme ještě příslušné rychlostní impulzy. Orbitální rychlosti první a druhé planety jsou
v1
ri
a v2
r2
Rychlosti sondy v perihéliu, kdy je r = r± a aťéliu eliptické dráhy, kdy je r = r 2 jsou podle vzorce (8.13) rovny
2r-
2r
v p = V\
r1 + r<2
a     v a = v2
r-i + r2
Pro rychlostní impulzy Avp = Vp —V\ a Ava = ^2 — va tak máme výsledné vzorce
/ /  2r2 \ Avp = Vi I \ I--1 )      a Av
,4
v2 1
2ri
?'i + r 2
Jako příklad si vezměme sondu vyslanou ze Země na Jupiter. V tom případě je r-i p- 1 AU a r 2     5.2 AU, v\ ^ 29.8 km /s a V2     13.1 km / s, rychlost sondy v
přitom trvá At & 2. 7 roku.
S popsaným manévrem bezprostředně souvisí také randezvous problém, tj.
problém, jak zajistit, aby se na konci manévru nacházela vedle sondy i druhá planeta. Toho se dosáhne jednoduše tak, že celý orbitální manévr správně načasujeme, tj. zahájíme ve správný okamžik. Celková doba letu sondy je zřejmě rovna polovině periody T příslušné eliptické orbity, platí tedy
At
1t _k (ri ±J^f Ti í n + r 2 2   ~ 2 V   2kMs        2 ^ 2n
3/2
Označíme-li délky planet l± a /2 na počátku t\ a na konci 12 = ti + Ač manévru, pak za předpokladu kruhových drah platí l\ = h\ + n\i\ a h = L2 + n2č21 kde
ni
>Ci\'ls
a
n2
jsou střední pohyby planet a a L2 délky planet v okamžiku ř = 0. Aby sonda na konci manévru, tj. v čase r2 potkala druhou planetu a mohla přejít na parkovací dráhu, musí zřejmě vyjít £2 = li +7T, odtud již dostaneme pro okamžik počátku a konce orbitálního manévru jednoduché vzorce
L2 — Li — 7T + n2Aí L2 — Li — 7T + ni Ař
n-i - n2 n-i - n2
Startovní okno t\ souvisí s okamžikem Íq opozice druhé planety vzhledem ke Slunci jednoduchým vztahem
n2Aí
tl =tQ +
77
ni - n2
Následující startovní okno se dostane jednoduše přičtením synodické periody Tf 2tt/ (n-i — na).
ÄV Změna AO sklonu orbity se dosáhne příčným
impulzem Ar,
Dalším významným manévrem je změna sklonu orbity. Toho se dosáhne nejsnáze příčným impulzem Av v okamžiku, kdy je sonda v uzlu své dráhy. Tím se sklon dráhy 0 změní o hodnotu AO, pro kterou ze vzorce pro skládání rychlostí platí
AO Av
kde v je aktuální rychlost sondy v uzlu.
8.3.9   Gravitační manévr
Kosmonautika je velmi drahá, k urychlení každého jednoho užitečného kilogramu sondy až na třetí kosmickou rychlost spotřebujeme zhruba tunu toho nej kvalitnějšího raketového paliva. Pokud by existovala možnost, jak sondu urychlit levněji, mohlo by to kosmautiku výrazně zlevnit. Jedna taková možnost skutečně existuje a nazývá se gravitační manévr, také gravitační asistence nebo metoda gravitačního praku. Spočívá v tom, že sondu urychlí gravitační pole pomocné planety.
Sonda odstartovala ze Země zT, po urychlení získala rychlost v p 38. 6 km/s a pokud se potká v místě S s Jupiterem, dojde k jejímu urychlení o 2Aí;a ps 11. 4km/s z rychlosti v a ~ 7.4 km / s na konečnou rychlost v rs 18.8km/s.
Uvažujme sondu, která se blíží ke druhé planetě po první fázi Hohmaimova orbitálním manévru. Vzhledem k planetě se sonda pohybuje zhruba po hyperbolické dráze a má relativní rychlost Ava = Ví — v a- Obletem planety může směr svého letu změnit až o 180°, takže změna rychlosti sondy může dosáhnout až 2Ava-Vzhledem ke Slunci pak bude mít sonda konečnou rychlost
v = v a + 2AvA = 2v2 - v a = v<2   2 - 4 /-
"V    V n + r2
Gravitační asistence se využívá napríklad k urychlení sond směřujících do vzdálených oblastí sluneční soustavy. Sonda, která ztrácí rychlost tím. jak se vzdaluje od Slunce, získá přesným navedením své dráhy ke vhodné planetě až dvojnásobek rozdílu Ava její orbitální rychlosti a rychlosti sondy. Například Jupiter může urychlit pozemskou sondu až o 2 Ava ^ 11-4 km / s . Urychlená sonda pak může pokračovat dál rychlostí v 18. 8 km / s. Tato rychlost je větší než úniková rychlost t'2\/2 18.5 km/s ze sluneční soustavy z oběžné dráhy Jupitera, takže popsaný mechanismus skutečně umožňuje vystřelovat sondy do mezihvězdného prostoru.
8.3.10   Vliv atmosféry na pohyb satelitu
Umělé družice Země obíhají typicky ve výšce 200 km a výše rychlostí kolem 8 km / s, takže jeden oběh se uskuteční zhruba za 90 minut. I když je v těchto výškách střední hustota atmosféry malá, je asi 1010 krát menší než u hladiny moře, přesto má odpor vzduchu na pohyb a životnost satelitu velmi významný vliv. Trvalé tření o řídký vzduch způsobuje postupnou ztrátu energie satelitu a jeho nezadržitelný pokles na nižší orbitu. Současně dochází ke zrychlování satelitu a zkracování jeho oběžné doby.
1
(a) Odporová síla F a gravitační síla G působící na satelit S. (b) Pokles výstřednosti orbity způsobený odporem vzduchu.
Pohybové rovnice satelitu můžeme vyjádřit v přirozených složkách síly a zrychlení
9
mv
mv — —F-\-G sin 0    a -= G cos 6.
P
kde G = ?cmMz/r je tíha satelitu, F odpor vzduchu, p poloměr křivosti dráhy a 9 sklon dráhy. Z geometrie dále platí sin 9 = —ř/v. Pro přibližně kruhovou orbitu je sklon 9 malý, pak platí aproximace 9 ~ —ř/v, p ~ r a pohybové rovnice mají tvar
mv ^ —F + xmMzO/r2,     mv2 ^ xrnMz/r.
Derivací normálové složky pohybové rovnice dostaneme 2v/v p« — ŕ/r, odtud je 9 píí —ř/v f=y 2vr/v2. Po dosazení do tečné složky pohybové rovnice dostaneme mŕ prf _F, neboť C7# psí 27711;. Rychlost tedy skutečně roste úměrně velikosti odporové síly F. To však znamená, že platí také vzorec 9 ^ 2F/G. S rostoucím odporem F se úhel poklesu 9 zvětšuje a pád satelitu se zrychluje. Při stálém 9 platí pro výšku satelitu
h ^ ho + H f« ho — vOt,
odtud je doba pádu zhruba
řo ho/vO.
(8.23)
V první aproximaci můžeme počítat hustotu atmosféry podle barometrické toni ule
h/H
kde H p- 8 km je charakteristická výška atmosféry. Skutečná hustota atmosféry závisí ovšem výrazně na teplotě, která je dána především denní dobou. Například ve výšce 300 km je ve dne hustota vzduchu asi dvakrát a ve výšce 1000 km až třicetkrát vyšší než v noci. Také proto mohou být naše další výpočty jen hrubé a orientační. Pro satelit o rozměru a a hmotnosti m je podle Newtonova vzorce odporová síla F p- ipv2a2. Uhel klesání je tedy přibližně dán vzorcem
0
2F
G
e
hl H
Numericky pro satelit o rozměru a ~ 1 m a hmotnosti m ~ 100 kg vychází pro - 100 km sklon 0\ ~ 0.2, pro I12 ^ 200 km je sklon 62 ~ 9 x 10-7 a pro
/i-,
_ -1 .■>
I13 300 km je sklon O3 ~ 3 x 10 . Příslušná doba života satelitu na oběžné dráze je dána vzorcem (8.23), odtud dostaneme t\ ~ 50 sekund, to ~ 320 dní a Í3 ~ 350 000 let. Z těchto hrubých odhadu je zřejmé, proč musí být výška satelitu alespoň dvě stě kilometrů nad povrchem Země. Podobný problém však odpadá například u Měsíce, který žádnou atmosféru nemá.
Je-li oběžná dráha eliptická, projeví se odpor vzduchu především v oblasti perigea. Pokles rychlosti má za následek pokles excentricity, takže dráha satelitu se postupně stává kruhovou.
Přesný popis vlivu odporu atmosféry je obtížný pro neznalost přesné hustoty vzduchu. Odhad zbývající doby života satelitu se proto provádí z měření oběžné doby satelitu. Pokud se oběžná doba satelitu zkrátí o AT, pak tomu odpovídá podle třetího Keplerova zákona pokles výšky o Ah = 2rAT/3T. Satelit proto spadne na zem za čas
*0
h0T 3/i0T2
A h
2r
Pokud například naměříme u satelitu ve výšce hq 200 km nepatrné zkrácení oběžné doby o AT ^ 1 s, pak to znamená, že satelit klesne při každém oběhu o výšku Ah 800111. Zbývající doba života satelitu činí už jen to ~ 15 dní, tj. asi 250 obletů.
Příklad 8.2 Popište parametry letu sondy ze Země na Venuši. Poloměr dráhy Venuše je rv = 0.723 AU a Země rz = 1.000 AU.
Řešení: Energeticky nejvýhodnější je dráha, která se v perihéliu dotýká oběžné dráhy Venuše a v aféliu oběžné dráhy Země. Odtud je velká poloosa
a
- {rz + rv) rs (0.723 + 1) /2 = 0. 862 AU
a excentricita dráhy
r z — ry
0.161.
r z -t- ry
Pokud jde o impulzy při orbitálním manévru, pak platí
'z
2rv
r z + rv
-2.5 km / s
AvA
2r;
-2.7 km
V r z + rv
Znaménka mínus zde znamenají, že je třeba sondu zpomalit a že je třeba také zaměnit význam označení P a A. tj. P značí ve skutečnosti afélium a A perihélium. Aby se tedy sonda dostala k Venuši, musí nejprve zpomalit z vz ~ 29.8km/s, což je orbitální rychlost Země kolem Slunce, na vp    27. 3km/s, a po době letu odpovídající polovině oběžné periody T
r Z + Ty
2rz
3/2
0.400 roku ~ 146 dní
musí znova zpomalit svoji rychlost z va Rí 27.3km/s na w ps 24.6km/s, což je orbitální rychlost Venuše kolem Slunce.
Příklad 8.3 Za předpokladu, že planeta obíhá po eliptické dráze s velkou poloosou a a excentricitou e, spočtěte jen za pomoci zákonů zachování energii E a moment hybnosti L planety, rychlost planety v perihéliu v\ a v aféliu V2 a rychlost planety v ve vzdálenosti r od Slunce. Řešení: Protože se planeta pohybuje po elipse, je vzdálenost planety od Slunce v perihéliu rovna t\ = a (1 — e) a v aféliu r2 = o, (1 + e). Ze zákona zachování momentu hybnosti
L = mrtvi = mr 2V2
vyjádříme rychlost v aféliu
1-6
v2 = Vl
Nyní dosadíme do zákona zachování energie
1 2 xmMs ti — —mvi--
2 " r±
1 + e
1 2 -mv2
XI)) M *
Ti
za ri,r2 a V2, po úpravě odtud dostaneme vzorec pro rychlost planety v perihéliu a aféliu
Vi
hMs 1 + e
V2
xMs 1 - e
a    1 — e y    al + e
Jestliže nyní dosadíme do vzorce pro mechanickou energii napríklad r
neme po úpravě výsledek
1     2    xmMs        Km M s
n a t; = vi, dosta-
£ľ = —mv' 2
z1
2a
Pro orbitální moment podobně dostaneme výsledek
L = mr\v\ = my k M s a (1    e2) = my xMsp.
Příklad 8.Ů Jestliže světelné paprsky dopadají na povrch tělesa, působí na něj jistým malým tlakem. Světelný tlak slunečních paprsků je možno v principu využít k pohonu kosmické sondy Uvažujte sondu, která obíhá kolem Slunce po kruhové dráze o poloměru ro- V jistém okamžiku sonda rozprostře velkou plachtu o ploše S a automatika zajistí, aby byla plachta po celou dobu orientována kolmo ke slunečním paprskům Popište pohyb sondy Úloha je známá jako sluneční plachetnice, F. A. CANDER 1924.
Řešení: Sonda se až do okamžiku rozevření plachty pohybuje rychlostí ro = \jzíM/tq. Po rozevření plachty působí na sondu vedle přitažlivé gravitační síly G — xmM/r2 také odpudivý světelný tlak p, který klesá se vzdáleností stejně jako gravitace. Tlaková síla je tedy rovna
T = pS = poSrl/r2,
kde po je tlak slunečního záření ve vzdálenosti r$ od Slunce a S plocha plachty. Celková síla působící na sondu je tedy rovna
F = G — T = xmM/r2 — poSr^/r2 = xrnM1fr2.
Síla má nadále charakter coulombovské síly, takže trajektorií sondy bude kuželosečka. Vliv světelného tlaku můžeme chápat jako oslabení gravitační síly Slunce, jako zmenšení hmotnosti Slunce z M na
M' = M — paSrl/xm < M.
Když dosadíme za v k — y'x M' /Vo do vzorců (S.21) a (8.22), dostaneme pro excentricitu a velkou poloosu dráhy kosmické sondy
M'      3    °"~ 2- M/M1'
Odtud je zřejmé, že pro M/2 < M' < M bude trajektorií sondy elipsa, pro M' = M/2 bude trajektorií parabola a pro 0 < M' < M/2 bude trajektorií hyperbola. Pro M' = 0 nebude na sondu působit žádná síla a její trajektorií bude proto přímka Konečně pro M' < 0 bude převažovat tlak záření nad gravitací a sonda se bude pohybovat po obrácené hyperbole. Ve všech případech bude perihélium ležet ve vzdálenosti r0 od Slunce a bude odpovídat místu, kde byla rozevřena plachta.
Tlak světla je sice slabý, ale zvětšením plachty je možno dosáhnout libovolné tlakové síly. Například pro úplné vyrovnání gravitace Slunce je nutno použít plachtu o rozměru asi 36~m x36"m na každý kilogram váhy sondy, což je technicky dosažitelné.
Družice Magion a Mgr. Antonín Vítek, CSc.
... KONEC
V prezentaci byla použita část kapitoly 8 z učebnice MECHANIKA 2,
autor: Jiří Bajer , 2008 ISBN 978-80-903958-1-7