2 ZÁKLADNÍ POJMY A ZÁKONY MECHANIKY KOSMICKÉHO LETU 2.1 Gravitační zákon. Newtonovy pohybové zákony S projevy gravitace se lidé setkávají v běžném životě od nepaměti. Všechny věci nám padají z ruky na zem, nikoliv nahoru. Ne každý si kladl otázku proč tomu tak je. Spokojili se s aristotelovským vysvětlením, platným po mnoho staletí. Díky němu byli lidé přesvědčeni, že těžší tělesa padají k zemi rychleji než tělesa lehká. Až zásluhou G. Galilea (1564-1642) byla objevena skutečnost, že všechna volně padající tělesa v daném centrálním gravitačním poli se pohybují s konstantním zrychlením. O pravdivosti Galileova tvrzení jsme se mohli názorně přesvědčit díky kosmonautovi D. R. Scottovi, veliteli mise Apolla 15 na Měsíc. Ten před zraky mnoha diváků v přímém televizním přenosu z Měsíce dne 2.8.1971 předvedl experiment, při němž současně upustil geologické kladívko a peříčko. Oba předměty dopadly na povrch Měsíce současně. Tímto experimentem na Měsíci se potvrdila pravdivost tvrzení G. Galilea a vyloučily se nepřesnosti Galileových pokusů na Zemi, které byly ovlivňovány odporem vzduchu. O tom, že se tělesa vzájemně přitahují, se již dříve vyslovili Mikuláš Kusánský (1401-1464) i Leonardo da Vinci (1452-1519). Rovněž i Mikuláš Koperník (1473-1543) a Jan Kepler (1571-1630) ve svých úvahách správně předpokládali, že nebeská tělesa se vyznačují vzájemnou přitažlivostí. O přitažlivosti (gravitaci) mezi nebeskými tělesy se v roce 1666 zmiňuje také italský učenec G. A. Borelli (1608-1679). Předpokládal, že planety jsou přitahovány ke Slunci a na svých oběžných drahách se udržují díky síle vznikající při kruhovém pohybu kolem Slunce. Podstatně dále pokročil významný anglický vědec Robert Hook (1635-1703), který v roce 1674 publikoval své představy o pohybu planet. Předpokládá, že nebeská tělesa se vzájemně přitahují ke svým středům. Tvar oběžné dráhy je dán skládáním dvou různých pohybů. Předpokládá, že těleso se pohybuje přímočaře po tečně k dráze a zároveň volně padá na centrální těleso. Oba posledně zmínění badatelé byli svými tvrzeními velmi blízko skutečnosti. Nicméně, jednalo se o nepodložené domněnky. Bylo nezbytné je teprve exaktně prokázat. Ve stejné době se problémy gravitace a pohybem nebeských těles začal zabývat Isaac Newton (1643-1727) i řada dalších vrstevníků, kteří do nebeské mechaniky významně přispěli. Z nich je třeba se zmínit v prvé řadě o Ch. Huygensovi (1629-1695), který objevil vztah pro zrychlení tělesa pohybujícího se rovnoměrně po kružnici. Zákon říká, že zrychlení je přímo úměrné kvadrátu rychlosti pohybu V a nepřímo úměrné poloměru kružnice r a = V2Ir. Na základě tohoto poznatku již bylo možno snadno potvrdit zákon o nepřímé úměře zrychlení na kvadrátu vzdálenosti. Uplatněním vztahu pro rychlost (obvod dělený periodou) V = 2irr/T je zrychlení dáno vztahem 22 2. Základní pojmy a zákony mechaniky kosmického letu a = -=s-'r. Pak spolu se znalostí třetího Keplerova zákona (viz kap. 3), v němž pro kruhový pohyb dosadíme poloměrr T2 _ 4tt2 lze dospět k důležitému poznatku o nepřímé úměře zrychlení pohybu (potažmo síly) na kvadrátu vzdálenosti těles (konstanta k2 nebyla v té době ještě známa) kz a = (2.1) Další pokrok v nalezení zákona o všeobecné přitažlivosti těles byl možný až na základě tří fundamentálních Newtonových zákonů o pohybu těles: zákonu setrvačnosti, zákonu o síle a zákonu o akci a reakci. Byť jsou tyto základní zákony klasické mechaniky všeobecně známy, nebude na Škodu si je připomenout. První zákon, zákon o setrvačnosti říká, že každé těleso zůstává v klidu nebo přímočarém rovnoměrném pohybu pokud není nějakou vnější silou přinuceno tento stav změnit. Druhý zákon vyjadřuje závislost mezi zrychlením a vnější silou působící na těleso. Jinými slovy tento zákon říká, že zrychlení tělesa je přímo úměrné vnější působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa F a = — nebo F - ma. (2.2) m Třetí zákon (zákon akce a reakce) říká, jestliže jedno těleso působí na druhé těleso libovolnou silou v jednom směru, pak druhé těleso působí na první těleso stejně velkou silou v opačném směru. Na základě těchto nových poznatků a díky svým matematickým znalostem byl Newton schopen nejen zpřesnit třetí Keplerův zákon, ale také zformulovat vztah pro gravitační sílu, který říká, že přitažlivá síla dvou těles je přímo úměrná součinu hmotností obou těles a nepřímo úměrná kvadrátu jejich vzdálenosti 3 r2 Na rozdíl od definitivního vztahu tak jak jej známe a používáme nyní, Newton nebyl sto stanovit přímo velikost gravitační síly. Neznal hodnotu konstanty k2 ve vztahu (2.1). Silové účinky gravitačního působení mohl stanovovat pouze vzájemným porovnáváním. Definitivní podobu výrazu pro gravitační sílu dal až v roce 1894 další anglický vědec G. V. Boys tím, že zavedl univerzální gravitační konstantu, která se v odborné literatuře označuje nejrůznějšími symboly, nejčastěji G nebo k. Jelikož zde je symbol G vyhrazen pro tíhovou sítu, budeme výraz pro gravitační sílu zapisovat ve tvaru Hodnota univerzální gravitační konstanty byla stanovena na základě experimentů anglického fyzika H, Cavendtshe (1731-1810). Poté byla v dalších letech opakovanými pokusy postupně zpřesňována. Posledními pokusy, které provedli J. Gundlach a S. 23 2. Základní pojmy a zákony mechaniky kosmického letu Merkowitz na Washingtonské univerzitě v roce 2000 se dospělo k následující hodnotě univerzální gravitační konstanty k = (6,674215 ± 0,000092). 10"11 [Nm2kg-2]. Dle vztahu (2,3) získáváme sice správné vzájemné gravitační účinky, avšak do dnešní doby nejsme sto vysvětlit fyzikální podstatu gravitace a její působení na dálku, Naději na pochopení a objasnění podstaty gravitace nám může dát až Einsteinova obecná teorie relativity. Zde se však nadále budeme zaobírat Newtonovou klasickou mechanikou a používat ji pro řešení základních úloh mechaniky kosmického letu bez uvažování relativistických efektů. Uvažujeme dvě tělesa, která v souladu s třetím Newtonovým zákonem o akci a reakci na sebe působí stejné velkými, opačně působícími silami (obr. 2-1). Tyto gravitační síly se obvykle vyjadřují ve vektorovém tvaru. působeni m. Obr. 2-1 Gravitační sily působící na dvě těleso, která se vzájemně přitahují. Dle obr. 2-1 těleso o hmotnosti m1 působí na druhé těleso o hmotnosti m2 přitažlivou síiou označenou F2\. Naopak druhé těleso o hmotnosti mz působí na první těleso o hmotnosti m1 přitažlivou silou F12. První index vždy označuje těleso, na nějž přitažlivá síla působí a druhý index označuje působící těleso. Vzdálenost obou těles je dána vektorem ř. Zvolme jednotkový vektor er = ŕ/r, jehož kladný smysl směruje od tělesa o hmotnosti m1 k druhému tělesu o hmotnosti m2. Pak přitažlivá síla F12 je dána vektorovým výrazem m1T7i2 m1mz Fi2=K—^-er = x—^-r a přitažlivá síla F21 = -F12 je dána vektorovým vítaném F21 = -k m1m2 771,771;, (2.4) (2.5) Pokud za vztažné těleso zvolíme těleso o hmotnosti m1 budeme tuto gravitační sílu směřující vždy k přitahujícímu tělesu označovat obecným symbolem pro gravitační sílu Fg a výraz (2.5) přepíšeme do následující vektorové formy (2.6) 24 2. Základní pojmy a zákony mechaniky kosmického ietu 2.2 Gravitační pole a jeho popis 2.2.1 Intenzita gravitačního pole Každé těleso o hmotnosti M je zdrojem gravitačního pole. Uvažujeme sférické těleso, které generuje homogenní centrální gravitační pole. Vložíme-li do gravitačního pole těleso o hmotnosti m působí na něj v souladu s vyše uvedeným Newtonovým zákonem o všeobecné přitažlivosti gravitační síla Fg. Jednou z možností jak popisovat vlastností a účinky gravitačního pole v okolí centrálního tělesa je přímé měření gravitační síly vhodnou sondou, tj. nějakým jiným tělesem. Ovšem potíž je v tom, že zjištěná gravitační síla závisí na hmotnosti používané sondy. Nehledě na to, že vložené těleso sondy deformuje gravitační pole, které je předmětem měření. Vliv malé sondy na gravitační pole je však možno prakticky zanedbat. Teoreticky vliv hmotnosti sondy vyloučíme tím, že zjištěnou gravitační sílu dělíme hmotností sondy. Tím se dostáváme k pojmu intenzita gravitačního pole K = A. (2.7) m Intenzita gravitačního pole je síla, kterou gravitační pole v daném místě působí na těleso o jednotkové hmotnosti. Použití intenzity gravitačního pole nám lépe poslouží pro popis gravitačního pole než gravitační síla protože již nezávisí na hmotnosti sondy. Intenzita gravitačního pole je vektorová veličina, která je funkcí tří souřadnic, resp. polohového vektoru ve zvolené souřadnicové soustavě K = iKx+]Ky + kKz. (2.8) Dosadíme-li do definičního výrazu pro intenzitu gravitačního pole (2.7) vztah (2.6) pro gravitační silu centrálního tělesa M obdržíme _ kM kM = ěr = -—ř. (2.9) Aplikací druhého Newtonova zákona pro gravitační zrychlení libovolného tělesa o hmotnosti m v centrálním poli tělesa o hmotnosti M můžeme nalézt fyzikální význam intenzity gravitačního pole ze vztahu a3 = = K(ř). (2.10) Jak vyplývá z uvedeného vztahu, gravitační zrychlení tělesa m v místě ř centrálního gravitačního pole se rovná intenzitě gravitačního pole v temže místě a nezávisí na jeho hmotnosti. 2.2.2 Gravitační potenciál Jak vyplynulo z předchozí části, gravitační poie popsané vektorem intenzity K(f) je vektorové pole. Ve zvolené souřadnicové soustavě intenzita gravitačního pole závisí na třech veličinách (složkách polohového vektoru}. Využijme nyní skutečnosti, že homogenní gravitační pole je potenciální pole. V potenciálním gravitačním poli platí, že práci gravitační síly lze popsat změnou potenciální energie. Potenciální energie je skalární veličina a v každém bodě gravitačního pole je určena pouze jednou veličinou na 25 2. Základní pojmy a zákony mechaniky kosmického letu rozdíl od tří složek intenzity gravitačního pole. A tudíž na gravitační pole můžeme nyní pohlížet jako na skalární pole. Vycházíme ze známé fyzikální skutečnosti, že práce A v potenciálním poli se rovná změně potenciální energie AEp. V tomto případě práci gravitační síly Fg směrující do středu gravitačního pole vyjádříme jako úbytek potenciální energie A - —AEp. Práci gravitační síly na dráze mezi dvěma vzdálenostmi rľ a r2 od středu přitažlivosti můžeme s přihlédnutím k výrazu pro gravitační sílu (2.6) zapsat následovně ľ2- fr*dr A = I Egdr = -jcAím I —. Po integraci a dosazení mezí obdržíme pro práci gravitační síly výraz A = KAfmf---V (2.11) \r2 V Úbytek potenciální energie mezi dvěma různými body v centrálním gravitačním poli můžeme zapsat formálně takto -AEp = ~[Ep(r2) - £p(fi)] - Epfa) - Ep(r2). Po dosazení uvedených výrazů do fundamentálního vztahu mechaniky A — -AEp obdržíme A = KMm(---) = -[Ep(T2-)- EpCrJ]. (2.12) Při popisu gravitačního pole se běžně za nulovou hladinu potenciální energie bere hladina ve vzdálenosti, kde se již prakticky neprojevuje gravitační síla, tj. v nekonečnu. Zvolme tedy za nulovou hladinu vzdálenost rx — 00 a nechť r2 — r je libovolná vzdálenost od středu přitažlivosti. Na základě této volby můžeme dle rov. (2.12) zapsat jak výraz pro práci gravitační síly při přemístění tělesa z nekonečna do vzdálenosti r od středu přitažlivosti KMrň A = —^—, (2.13) tak výraz pro potenciální energii na hladině ve vzdálenosti r od středu přitažlivosti , „ kMw, Ev^ =--—■ (2-14) Povšimněme si, že při této volbě je práce gravitační síly kladná a potenciální energie je záporná. Se vzdáleností klesá záporná hodnota potenciální energie. Naopak, zvyšovat potenciální energii v centrálním gravitačním poli je možno jen působením vnější síly působící v opačném smyslu než síla přitažlivá. Vnější síla pak koná zápornou práci. Protože potenciální energie Ep(r) závisí podobně jako gravitační síia na hmotnosti, není tato veličina vhodná v tomto tvaru pro popis vlastností a účinků gravitačního pole. Proto podobně jako u intenzity gravitačního pole vliv hmotnosti vyloučíme. S využitím rov. (2.14} zavedeme novou veličinu, tzv. gravitační potenciál *ř(r), který je definován následovně (r) =--=--. (2.16) m r Fyzikální význam gravitačního potenciálu můžeme vyjádřit tak, že je to potenciální energie, kterou by oplývalo těleso o jednotkové hmotnosti vložené do centrálního gravitačního pole ve vzdálenosti rod středu přitažlivosti. Nebo také lze gravitační potenciál definovat jako záporně vzatou práci gravitační síly při přemístění tělesa o jednotkové hmotnosti z nekonečna do bodu ve vzdálenosti r od středu přitažlivosti. r -m Obr. 2-2 Změna gravitačního potenciálu se vzdáleností o středu přitažlivosti. Intenzita gravitačního pole K(r) a gravitační potenciál 4>(r) popisující stejné gravitačního pole mezi sebou úzce souvisí. Relace mezi skalárním popisem gravitačního pole a vektorovým popisem je dána vztahem známým z vektorové analýzy _ / d<$> 8 -d jehož vektor směřuje do středu Země. Z výrazu je zřejmé, že v důsledku závislosti na zeměpisné šířce cp a výšce h je maximální hodnota tíhového zrychlen! na pólech Země v nulové výšce a nejmenší pak bude na rovníku. V praktických aplikacích mechaniky letu atmosférických a kosmických letadel se vliv odstředivé síly obvykle zanedbává. Takže tíhové zrychlení je dáno pouze prvním členem v rov. (2.23), který závisí jen na výšce kM Tíhové zrychlení na povrchu sférické Země (v nulové výšce h=0m) je pak dáno vztahem kAÍ 9o = -T- (2.25) 'z Vyjádříme-li si z této rovnice výraz pro součin univerzální gravitační konstanty a hmotnosti Země kM = g0r£ (2.26) a dosadíme jej do rov. (2.24), můžeme vyjádřit výraz pro tíhové zrychlení v libovolné vzdálenosti od středu gravitačního pole Země r = rz + h ve tvaru SQÚ = 9o 9o = So(l-2^). (2.27) 1,05 c OJ 1,00 -1= u 0,95 >- -0! 0,90 > O -■ 0,85 -01 00 0,80 ■_ > verifikovat, že tomu tak je, pokud neuvažujeme žádné rušivé vlivy. Proto následujíc odvození rovnice dráhy provedeme pro pohyb kosmického tělesa po eliptické dráze Navíc pak provedeme zobecnění platnosti rovnice dráhy i pro jiné typy drah (kuželoseček). Uvažujme oběh kosmického tělesa (planety, družice) m kolem tělesa M vjehc centrálním gravitačním poli. Těleso M spojíme s počátkem nerotující (íl = 0) vztažn< souřadnicové soustavy (x,y,z). Centrální těleso považujeme za dokonalou homogenr kouli. V tomto případě lze centrální těleso nahradit hmotným bodem v jeho středL Sledujme nyní pohyb kosmického tělesa m pod účinkem pouze centrální gravitační sí! Fg = Fm, směřující neustále do středu tělesa M. Okamžitá poloha tělesa m nechť j dána průvodičem r a polohovým úhlem 0 dle obr, 3-5. Pro řešení dané úlohy se jako nejvhodnější nabízí použití polárních souřadní) Pohybové rovnice v polárních souřadnicích (r, 8) pro konstantní hmotnost obíhajícíh tělesa (m = konst.) jsou dostatečně známy z obecné mechaniky, např. [38]. Pro nc případ je zapíšeme ve tvaru m(ř-r02) = Fg, (3.2E 36 3. Pasivní pohyb kosmických těies v CGP d(mr2Q) dt (3.26) Obr. 3-5 Pohyb tělesa v centrálním gravitačním poli popsaný polárními souřadnicemi (r,6). Dle druhého Newtonova zákona je síla dána součinem hmotnosti a zrychlení. V našem případě je touto silou gravitační síla, která je dána vztahem = m(-£)' (3.27) kde radiální relativní zrychlení jsme stanovili z rov. (3.10). Moment centrální gravitační síly k počátku je nulový (M0 = 0). Dosadíme-!i na pravé strany pohybových rovnic uvedené skutečnosti a zkrátíme-li obě rovnice hmotností obíhajícího tělesa m obdržíme dvě pohybové rovnice (f_r02) = __ ^-(r2ě) = 0. dty J (3.28) (3.29) Posledně uvedenou rovnici (3.29) můžeme po provedení derivace ještě přepsat na jednodušší tvar r2Q = h = konst, (3.30) kde h je časově nezávislá konstanta, jejíž geometrický i fyzikální význam si objasníme později. Pro řešení uvedených pohybových rovnic použijeme substituční metodu. Zavedeme následující substituci 1 u (3.31) 37 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP u — A cos(0 - 0O) + (3.35) Nejprve stanovíme první derivaci průvodiče i, kterou s přihlédnutím k rovnici (3,30} po substituci ®/u2 = h upravíme následovně . _ d /1\ _ 1 du dS _ Q du _ du r~dt\u)~ u2dtd®~ u2d®~ h d®' (3.32) Druhá derivace průvodiče ŕ je dána derivací rov. (3.32) a opět upravena s přihlédnutím k substituovanému výrazu (3.30). Po naznačené úpravě obdržíme dŕ d / du\ d2u . h 0 d2u „ „ d2u r = ^ = ^[-ri^) = -h~Q-= -h2-—= -h2u2—. (3.33) dt dt\ dQ) d®2 h hd®2 d®2 k J Po dosazení do rovnice (3.28) a využitím vztahu (3.30) obdržíme po malé úpravě diferenciální rovnici v proměnné u ve tvaru d2u u jv+u = iš- <334> Řešení takové klasické diferenciální rovnice předpokládáme ve standardním tvaru, který sestává z řešení homogenní diferenciální rovnice a partikulárního integrálu, V našem případě je řešení v proměnné u dáno ve tvaru h Po zpětné substituci obdržíme řešení pro dráhu definovanou průvodicem r ve tvaru r =-f 1 „■ (3.36) 4cos(0-0o)+^ Řešení pohybové rovnice obsahuje jisté konstanty, které mají svůj geometrický význam. PřepiŠme si uvedenou rovnici dráhy na alternativní vztah, který získáme přenásobením čitatele i jmenovatele na pravé straně poměrem (ti2 fu) h2 1 r = 7-v--■ (3-37) ^ l + 4ycos(0-0o) Jelikož Kepler ve svém prvním zákonu stanovil, že se planety pohybují po elipsách objasníme si geometrické souvislosti na této nejduležitější kuželosečce. Protože konstanty vdané rovnici musí platit v libovolném bodě oběžné dráhy, zvolme si prc objasnění konstanty (/i2/m) okamžik, ve kterém je úhel (0 = 90° + 0O) . To odpovídí situaci, kdy průvodič r je kolmý na osu apsid (obr. 3-6). Z geometrie elipsy je známo, že tento průvodič je totožný s tzv. parametrem elipsy p h2 p = —. (3.38 Dosazením zjištěné skutečnosti do rovnice (3.37), nabývá řešení pohybové rovnio následující tvar p r =___ f3 39 1 + Ap cos(Q - Q0Y 38 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP V dalším kroku nalezneme výraz pro geometrickou konstantu Ap. Tuto konstantu lze nalézt ze dvou poloh průvodiče r, a to pro polohu v pericentru (0 = 0O) a pro polohu vapocentru (0 = 180° + 0O). y Obr. 3-6 Obecná poloha elipsy v rovině oběžné dráhy a základní charakteristiky elipsy. V prvním případě obdržíme Ve druhém případě platí *-rísř (341) Vyjádřením parametru p z obou rovnic lze psát následující rovnost rpQ+Äp)=rA(l-Äp5. Po dosazení vzdáleností pericentra rp = a — c a apocentra rA = a + c od ohniska dle obr. 3-6 obdržíme rovnici (a - c)(l + Ap) = (a + c)(l - Ap), z níž nalezneme konstantu, která vyjadřuje excentricitu (obr. 3-6), což je bezrozměrová veličina Ap = - = e. (3.42) a Zavedeme-li tyto relace do řešení pohybové rovnice (3.39), můžeme rovnici pro dráhu zapsat např. ve tvaru 39 3, Pasivní pohyb kosmických těles v CGP h2 1 r = —z-ttz—ít~\' C3.43) H 1 + ecos(0 -0O) A jelikož úhlová konstanta 0O je libovolnou počáteční integrační konstantou, můžeme její hodnotu zvolit rovnu nule (0O = 0). V tomto případě bude osa x totožná s přímkou apsid. Výsledné řešení pohybové rovnice zapíšeme ve tvaru h2 1 r = —---. (3.44) jil+e cos 0 Respektive, uplatněním rovnice (3.38) pro parametr můžeme rovnici pro dráhu uvádět v nejjednodušším a nejčastěji používaném tvaru r = :---zr. (3.45) l + ecos0 v J Přestože jsme ceié odvození rovnice dráhy provedli pro eliptickou dráhu, výše uvedené vztahy (3.44) a (3.45) představují rovnice platné pro obecnou kuželosečku v polárních souřadnicích s ohniskem v počátku naší souřadnicové soustavy. O tom, o jaký typ kuželosečky se jedná, rozhoduje excentricita (výstřednost) kuželosečky e, což jej bezrozměrová vzdálenost fokusu F od středu kuželosečky S. Eliptická dráha (0 < e < 1) Eliptické dráhy jsou nej rozšířenějším i tvary drah, po nichž se pohybují nebeská tělesa i umělá kosmická tělesa (kosmická letadla). Eliptická dráha patří mezi uzavřené oběžné dráhy, které můžeme jednoznačně definovat excentricitou a parametrem. Polohu, kosmického tělesa na dráze pak určujeme polární souřadnicí (argumentem) 0, která se nazývá skutečná (pravá) anomálie. Je to úhel mezi průvodičem r a přímkou apsid. Měř se od bodu, který se nazývá pericentrum, což je bod dráhy, který je nejblíže k ohnisku Protilehlý, nejvzdálenější bod od ohniska se nazývá apocentrum. Výše uvedené názv\ jsou obecné názvy těchto charakteristických bodů na uzavřené oběžné dráze - elipse Pokud se jedná o oběžnou dráhu kolem nějakého konkrétního centrálního tělesa používají se pro tyto body přiléhavější speciální názvy. Pro oběžnou dráhu kotem Zemí je to perigeum a apogeum. Pro oběžné dráhy kolem Slunce se tyto odpovídající bod nazývají periheí a afet. Výše jsme podrobně probrali tvary rovnice dráhy pro eliptické oběžné dráhy. Nicméně pro eliptické oběžné dráhy můžeme ještě uvést další alternativní tvar. Za tímto účeler odvodíme jiný výraz pro parametr elipsy p, tentokrát v závislosti na hlavní poloose a excentricite elipsy e. Pro hlavní poloosu elipsy platí 2a = rP + rA. (3.46 Nejprve stanovíme dle rov. (3.45) vztah pro polohu pericentra rP(& = 0°) a dle též rovnice stanovíme výraz pro vzdálenost apocentra rA (0 = 180°). Takto získané vztah dosadíme do rovnice (3.46) a po jednoduché úpravě máme k dispozici další výraz pr parametr elipsy p = a(l-e2). (3.4^ Dosadíme-li uvedený výraz pro parametr do rov. (3.45) obdržíme alternativní rovni dráhy v závislosti na excentricite a hlavní poloose elipsy ve tvaru 40 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP a(l-e2) l + ecos0 y J Elipsa je definována jako množina geometrických bodů, pro něž platí, že součet jejich vzdáleností od dvou pevných bodů, tzv. ohnisek, je konstantní. Tato vzdálenost se rovná dvojnásobku délky hlavní poloosy elipsy (2a). Hlavní geometrické charakteristiky elipsy jsou již uvedeny na obr. 3-6. Doplňme bez odvození některé další potřebné vztahy, známé z geometrie elipsy. Mezi nejdůležítější geometrické parametry elipsy patří excentricita (e), hlavní poloosa (a), vzdálenosti pericentru {rP) a apocentra (rA) od hlavního ohniska (fokusu). Pro excentricitu a hlavní poloosu elipsy platí vztahy: e = r-^, (3.49) a=^A (3.50) e = --l, (3.51) , (3.55) rP = 2a ~ rA, (3.56) rA = a(l + e), (3.57) rP = a(l - e), (3.58) 1 +e . , * 1 ~e , rA = rP —, (3.59) rP = rA —. (3.60) Vazby mezi dalšími základními rozměry elipsy jsou dány vztahy: a2 = b2 + c2, (3.61) b _ ajl-e2. (3.62) Příklad 3.1 Zadání: Stanovte následující parametry eliptické dráhy kosmického tělesa obíhajícího kolem Země: vzdálenosti perigea rP a apogea rA od centra gravitačního pole, specifický moment hybností ŕí, délku hlavni a vedlejší poloosy a, b. Potřebná data: Výška kosmického tělesa v perigeu Excentricita Poloměr Země Gravitační parametr Země Řešení: a) Výpočet vzdálenosti perigea rP = rz + HF = 6378 + 450 = 6828 [km]. HP = 450 [km], e = 0,5 [1], rz = 6378 [km], U = 398600 [km2s~2]. 41 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP b) Vypočet specifického momentu hybnosti provedeme dle rov. (3.44), kterou upravíme s uvážením podmínky v perigeu 0 - 0° na tvar h = vVp(1 + e) = 7(398600) 6828 (1 +0,5) = 63894,14 [km2*-1]. c) Výpočet vzdálenosti apogea provedeme rovněž pomocí rov. (3.44), kde nyní uvážíme podmínku pro apogeum 0 = 180° hz 1 63894,142 1 r' = J—e = 398600 (1 -0,5) = 20484 d) Výpočet hlavní poloosy elipsy provedeme dle vztahu (3.50) rA + rP 20484 + 6828 a = =---- 13656 [km]. e) Konečně výpočet vedlejší poloosy elipsy stanovíme z rov. (3.62) b = ajl - e2 = 13656 Jí - 0,52 = 11826,44 [km]. Kruhová dráha (e = 0) Kruhovou oběžnou dráhu můžeme považovat za speciální dráhu eliptickou. Kružnice je geometrickým místem bodů, které mají konstantní vzdálenost od pevného bodu. V tomto případě je ohnisko totožné se středem kružnice a průvodič r = konst. Dosadíme-li do rov. (3.44) a (3.45) za excentricitu e = 0 zjistíme, že pro kruhovou dráhu jednoduše platí h2 r - v = — = konst. (3.63) P- Parabolická dráha (e = 1) Parabola (obr. 3-7) je obecně definována jako množina geometrických bodů, které maj stejnou vzdálenost od ohniska a od zvolené řídící přímky. Řídicí přímka leží vpravo oc fokusu ve vzdálenosti d = 2rP a je rovnoběžná s osou y. Parabolická dráha je určena rovnicí obecné kuželosečky (3.45), v níž dosadíme z; excentricitu e = 1. Takže parabolická dráha je v polárních souřadnicích určena rovnicí r = „ P n- (3.64 1 + COS0 Parabola představuje již otevřenou dráhu. Polohový vektor pro pravou anomál 0 = 180°, tj. při cos0 = —1, nabývá nekonečné hodnoty. Hlavní poloosa a -» oc Pericentrum parabolické dráhy (vrchol paraboly) leží na průsečíku paraboly s její osoi kdy pro pravou anomálii platí cos 0 = 1. Parametr paraboly je v souladu s rovnicí (3.6^ dán dvojnásobkem vzdálenosti vrcholu paraboly od ohniska p = 2rP. (3.65 Parabolický tvar dráhy svými parametry představuje hraniční dráhu, která je předěler mezi eliptickými a hyperbolickými dráhami. 42 3, Pasivní pohyb kosmických těles v CGP y F x P Obr. 3-7 Geometrické charakteristiky paraboly. Hyperbolická dráha (e > 1) Hyperbola je definována jako množina geometrických bodů, které mají od dvou pevných bodů (ohnisek) stálý rozdíl vzdáleností. Rozdíl těchto vzdáleností se rovná dvojnásobku délky hlavní poloosy (2a). Hyperbolická dráha je určena rovnicí obecné kuželosečky s tím, že excentricita je větší jak jedna (e > 1). V obecné teorii kuželoseček je délka hlavní poloosy hyperboly záporná. Nicméně, zde upravíme obecný výraz pro hyperbolu za předpokladu, že hlavní poloosu hyperboly budeme uvažovat jako kladnou veličinu (a > 0). Podobně jako u elipsy i zde použijeme pro nalezení výrazu pro parametr stejný postup. Nejprve určíme dle rov. (3.45) výraz pro vzdálenost pericentra hyperboly rP (6 = 0) a z téže rovnice určíme vztah pro vzdálenost apocentra hyperboly rA {0 = 180). Avšak vzhledem k tomu, že nyní je excentricita větší jak jedna {e > 1) je dle rov. (3.45) číselná hodnota vzdálenosti apocentra hyperboly záporná. Tudíž v souladu s obr. 3-8 je nutno kladně uvažovanou vzdálenost (2a) mezi pericentrem a apocentrem zapsat následovně Nyní do uvedeného vztahu dosadíme výrazy pro polohu apocentra a pericentra, které získáme dle rov. (3.45) odkud obdržíme výraz pro parametr hyperboly, který budeme používat ve tvaru 2a = \rA\ -rP = -rA-rp. 43 3. Pasívni pohyb kosmických těles v CGP p = a(e2-l). (3.66) Po dosazení parametru p dle rov. (3.66) do obecného výrazu pro kuželosečku (3.45 získáváme řešení pohybové rovnice pro pohyb kosmického tělesa po hyperbole ve tvaru a(e2 - 1) 1 + ecos0 1 + ecos0' ' Na rozdíl od jiných typů kuželoseček, hyperbola má dvě osově symetrické větve. Prd pohyb tělesa v centrálním poli vykazujícím přitažlivé gravitační síly je platná pouze jedna z nich, označena (1}. Druhá větev (2) nemá reálný fyzikální význam, odpovídala by odpuzující gravitační síle, označujeme ji jako tzv. prázdnou větev. Pericentrum P leží v průsečíku hyperboly (vrchol reálné hyperboly) s osou apsid (0 — 0), zatímcc apocentrum A je totožné s vrcholem prázdné větve. 7 ŕ* P /A x£/ P\ Ai přímka apsid F,2Q 0 r , \ \ V \ \ \ \ \ \ " / Pílí \ " J c ='ae \ Obr. 3-8 Geometrické charakteristiky hyperboly. Významnou roli hrají obě asymptoty. Asymptoty jsou tečny v nekonečnu k obem větvím hyperboly a svírají spolu úhel 2f3 (obr. 3-8). Hledejme nyní pravou anomálii pr případ, kdy polohový vektor r -» co. Jinými slovy, v limitním případě bude rovnobězr s asymptotou. Z rov. (3.67) vyplývá, že této situaci odpovídá pravá anomálie 0 = 0O pro niž platí podmínka cos 0OT = — 1/e. (3.6Í Jak je možno vidět z obr. 3-8, mezi úhlem asymptoty /? a limitní pravou anomálii 0 platí následující vazba p = 180°- 0C Odtud pro cos /? platí vztah 44 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP cos/í = cos(180°- 0„) = cos 180° cos 0«, + sin 180° sin 0«, = -cos0OT. Srovnáním s rov. (3.68) je zřejmé, že pro úhel asymptot platí cos/í = 1/e. (3.69) Přilétající kosmické těleso k centrálnímu tělesu umístěnému v ohnisku F se při oběhu asymptoticky pootočí o úhel S a poté opět tímto směrem odlétá do nekonečna. Úhel asymptotického pootočení stanovíme dle obr, 3-8 z podmínky S/2 = 90° - Takže z funkce pro sinus tohoto úhlu obdržíme vztah S sin - = sin(90° - /?) = sin 90° cos £ - cos 90° sin /? - cos (Š. Srovnáním s rov. (3.69) vidíme, že poloviční úhel asymptotického pootočení je roven převratné hodnotě excentricity sin- = -. (3.70) z e Doplňme ještě bez odvození některé další užitečné vztahy, známé z teorie hyperboly. Vztahy platí za předpokladu, že hlavní poloosa hyperboly je uvažována kladně (a > 0). b - a-Je2 — 1, (3,71) b = WCe + D/Ce - 1), (3.72) e - 1 + (rp/a), (3.73) e = Jl + (b/ay, (3.74) r a = = -a(e + 1), (3.75) rP = a{e - 1), (3.76) r p = ■ c — a, (3.77) d = (ľ> + a) sin 0, (3.78) d - a^je2 — 1, (3.79) d = ae sin/í. (3.80) 3.2.2 Druhý Kepleruv zákon - zákon ploch Druhý Kepleruv zákon se vztahuje k poznatku, že plocha opsaná průvodicem pri pohybu kosmického tělesa po oběžné dráze je konstantní. Pro prokázání tohoto zákona použijeme odvozenou pohybovou rov. (3.10), do níž ještě dosadíme za jednotkový vektor er — ř/r a zapíšeme takto $ = (3.81) Obě strany uvedené rovnice přenásobíme vektorově zleva polohovým vektorem ř f x r - -~{f x ŕ). rs Díky tomu, že vektorový součin polohových vektorů na pravé straně rovnice je roven nule (ř x ř - 0), je vektorový součin r x r = 0. Dále uvážíme skutečnost, že pro derivaci vektorového součinu polohového vektoru a vektoru rychlosti s přihlédnutím k výše uvedeným skutečnostem platí d . *, . — rxř =řxř + rxf = 0. dt- } 45 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Z nulovosti uvedené derivace vyplývá, že součin polohového vektoru a vektoru rychlosti (ŕ = K) musí být konstantní r xr = řxV = h. (3.82) Vektor h je konstantní vektor co do velikosti i směru a s časem se nemění. Jeho geometrický význam vyplyne z následujícího odvození II. Keplerova zákona. Obr. 3-9 Definiční obrázek k odvození sektoriální rychlosti. Sledujme plochu opisovanou průvodičem r při pohybu kosmického tělesa po oběžné dráze (obr, 3-9). Za elementární čas dt průvodič změní svou úhlovou polohu o d@ a opíše elementární plochu dS 1 dS = -r(rde). Časová změna plochy pak bude dána vztahem dS 1 -dQ 1 ,. i-=~r2 — = -r20, dt 2 dt 2 Po dosazení dle rov. (3.30) dostáváme velmi důležitý vztah pro tzv. sektoriální rychlost (3.83) dS h — = — = konst. dt 2 Uvedený vztah představuje //. Keplerův zákon, který říká, že plocha opsaná průvodičem za jednotku Času při pohybu kosmického tělesa po oběžné dráze, tzv. sektoriální rychlost, je konstantní. Tímto konstanta h dle rov. (3.83) dostává svůj geometrický význam. Konstanta h je rovna dvojnásobku sektoriální rychlosti a nazývá se konstanta zákona ploch. Konstanta h má vedle geometrického významu také fyzikální význam. Připomeňme si známý obecný výraz pro moment hybnosti b = ŕ x mV, který přepíšeme pro těleso o jednotkové hmotnosti (m = 1) na tvar 46 3. Pasivní pohyb kosmických tětes v CGP b _ — = řxV. m Toto je moment hybnosti vztažený na jednotku hmotnosti, a nazývá se specifický moment hybnosti. Srovnáním tohoto výrazu s rov. (3.82) je zřejmý fyzikální význam vektorové konstanty Ži. Představuje specifický moment hybnosti kosmického tělesa o jednotkové hmotnosti. Doplňme ještě vzájemnou polohu vektoru ř a h. Pro tento účel sestavíme skalární součin f • h. Uplatněním pravidla pro smíšený součin vektorů obdržíme ř ■ h — r • (ŕ x V) — f ■ (ŕ x ŕ) = ŕ ■ (ŕ x ŕ) = 0. Odtud vyplývá, že |ŕ| \h\ cos a = 0. Pro nenulové moduly vektoru |ř| a \h\ musí být cos cl = 0, což platí pro úhel a = 90°. Z toho vyplývá, že oba vektory jsou navzájem kolmé. A protože h je časově konstantní vektor (co do velikosti i směru) znamená to také, že průvodič ř leží neustále v jedné rovině. Toto je potvrzení toho, že oběžné dráhy jsou rovinné křivky. 3.2.3 Třetí Keplerův zákon - oběžná doba Zajímejme se nyní o periodu pohybu T, tj. dobu, za kterou projde kosmické těleso stejnými polohami na své oběžné dráze. Za tuto dobu průvodič opíše právě celou plochu elipsy Se. Předpokládáme, že známe sektoriální rychlost pohybu kosmického tělesa. Pak lze psát S„ - nab '0 Nyní do uvedeného vztahu dosadíme za sektoriální rychlost dle rov. (3.83) a výraz pro vedlejší poloosu dle vztahu (3.62). Po integraci obdržíme pro periodu následující mezivýsledek «Z i-T T = 2n — VI - e2, a Dále dosadíme za konstantu h dle vztahu, který získáme kombinací výrazů pro parametr p dle rov. (3.38) a rov. (3.47) ve tvaru h = vWl-e2. (3.85) Po dosazení do rov. (3.84) za specifický moment hybnosti h dle rov. (3.85) a úpravě obdržíme výsledný vztah pro periodu (3.86) Uvedenou rovnici můžeme ještě přepsat na následující tvar T2 4tt2 — =-= konst. (3.87) aá fi 47 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Toto je zpřesněné vyjádření III. Keplerova zákona, který stanovuje skutečnost, že poměr druhých mocnin period a třetích mocnin hlavních poloos eliptických drah zůstává konstantní. V tomto znění jej vyslovil Kepler, avšak bez znalosti výrazu pro onu konstantu. Definitivní podobu III. Keplerův zákon doznal až mnohem později na základě Newtonových studií. Vzhledem k tomu, že konstanta obsahuje gravitační parametr u je tato konstanta pro každou planetu, Či jiné centrálnítěleso různá. 3.3 Energie kosmického tělesa při pohybu v centrálním gravitačním poli 3.3.1 Specifická mechanická energie Vraťme se opět k pohybové rovnici (3.10), kterou s využitím výrazu pro jednotkový vektor er - ř/r zapíšeme ve tvaru y+^r = 0. (3.88) Rovnici přenásobíme skalárně zleva vektorem rychlosti r r-r + ^r-ř = 0. (3.89) Snadno lze prokázat, že skalární součin ŕ ■ ř se dá vyjádřit následovně Id,-.* Id ldV2 r • r =i^-a.f\ = -—(h =-■ O V ' J O rit- V J O 2dtK J 2dtK J 2 dt O správnosti tvrzení se lze přesvědčit zpětnou derivací našeho výsledku 1 d ,-.2 1, ^ * * - — (ŕ) — - (2 r ■ r) = r •r. 2dtw 2V J Dále z druhého členu v rov. (3.89) vypíšeme výraz ŕ ■ r/r a provedeme jeho derivaci. D; se prokázat, že tento výraz se dá vyjádřit takto r -r d „. i d , i d . i dr — = ďt(r ■r)5 = Tt{rr cos 0)" = TtCľ )2 = Tť Důkazem je opět zpětná derivace získaného výrazu d * 1,„ „ _ 1 1 ,-í ,v hř ^(r-r)2=-(r-r) 2 (ŕ ■ r + r ■ ŕ) = - ^^(ŕ ■ r) = —. Nyní můžeme odvozené výrazy dosadit do původní rovnice (3.89), čímž získáme rovni ve tvaru ldV2 u dr ---h —--= 0. 2 dt r2dt Rovnici upravíme separací proměnných pro přímou integraci takto 1 _ dr 2dV = 48 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Integrací uvedené rovnice obdržíme výsledek ve tvaru V2 u — = - + £. 2 r Rovnici přepíšeme do konečného tvaru, kde levá strana představuje součet specifické kinetické energie a specifické potenciální energie y-£ = £ \Jkg~1]. (3.90) Konstanta na pravé straně rovnice pak představuje celkovou specifickou mechanickou energii kosmického tělesa při pohybu po oběžné dráze. Pokud výsledek uplatníme pro kosmické těleso o zadané hmotnosti m, můžeme naši rovnici přepsat na tvar ±mV2 + (-;?») = m£ \J]. (3.91) což představuje nám dobře známý zákon zachování mechanické energie ve tvaru Ec = Ek + Ev. (3.92) 3.3.2 Specifická energetická konstanta Vraťme se zpět k výrazu pro celkovou specifickou mechanickou energii kosmického tělesa pohybujícího se po eliptické dráze. Jelikož celková energie v souvislosti se zákonem zachování energie zůstává konstantní, můžeme výraz pro celkovou energii zapsat pro libovolnou polohu kosmického tělesa na oběžné dráze. S výhodou zvolíme polohu v pericentru r = rP, kde pravá anomálie je rovna nule (6 = 0). V pericentru jsou průvodič a vektor rychlosti na sebe vzájemně kolmé. Z výrazu pro specifický moment hybnosti řP X VP = h vyplývá, že součin jejich modulů se rovná modulu specifického momentu hybnosti rPVP sin 90° = h. Odtud pro rychlost kosmického tělesa v pericentru platí h VP = —. (3.93) Z rovnice (3.44) zapsanou pro podmínky v pericentru dostáváme vztah pro kvadrát specifického momentu hybnosti ve tvaru h2 = rpfiil + e). Po dosazení kvadrátu rychlosti VP dle rov. (3.93) do rov. (3.90) a následně po dosazení výše uvedeného vztahu pro kvadrát specifického momentu hybnosti, obdržíme následující mezivýsledek c = vp M=lft2 H =Kí + e) já _ n 2 TP 2 Tp Tp 2.Tp Tp lvp Nakonec, po dosazení za vzdálenost pericentra r> = a(l - e) dle vztahu (3.58) získáme po úpravě výsledný vztah pro specifickou energetickou konstantu £ = ~Ta- ^ 49 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Specifickou energetickou konstantu jsme odvozovali pro elipsu, avšak obecně platí pro každou kuželosečku a představuje celkovou specifickou mechanickou energii kosmického tělesa. Jak je vidět ze vztahu (3.94), závisí přímo úměrně na gravitačním parametru centrálního tělesa a nepřímo úměrně na hlavní poloose kuželosečky. To; znamená, že v daném centrálním gravitačním poli celková specifická energie závisí jen na velikosti dráhy, která je dána hlavní poloosou příslušné kuželosečky. Podle velikosti hlavní poloosy lze pro jednotlivé kuželosečky psát následující konkrétní výrazy pro specifické energetické konstanty, které jsou uvedeny v tab. 3-2. Tab. 3-2 Specifická energetická konstanta U^S'1] Eliptická dráha (a > 0) P-2a Kruhová dráha (a = r) £ = -f 2r Parabolická dráha (a -» co) £ = 0 Hyperbolická dráha (zdejea > 0} S-+f 2a 3.3.3 Kosmické rychlosti a dráhy letu Rychlost patří k nejduležitějším charakteristikám popisujícím pohyb kosmického tělesa Pro stanovení rychlosti pohybu kosmického tělesa použijeme výše odvozený vztah pří celkovou specifickou mechanickou energii (3.90), do něhož dosadíme výraz prt energetickou konstantu (3.94). Po dosazení a úpravě obdržíme obecný výraz prí rychlost pohybu kosmického tělesa ve tvaru Uvedený výraz je v tomto tvaru platný nejen pro eliptickou oběžnou dráhu, ale m obecnou platnost pro jakoukoliv kuželosečku. V daném centrálním gravitačním poli (^ závisí rychlost pohybu jen na velikosti oběžné dráhy (a) a poloze na dráze, určen vzdáleností pohybujícího se tělesa od středu centrálního gravitačního pole (r). I. kosmická rychlost - kruhová rychlost Dosazením do obecného vztahu pro rychlost (3.95) za hlavní poloosu poloměr kruhom oběžné dráhy (a — r = konst.) obdržíme výraz pro rychlost, kterou nazýváme kosmickou rychlostí, respektive kruhovou rychlostí V, = J. (3.9( Např. pro planetu Zemi je hodnota kruhové rychlosti v nulové výšce K, = 7,9 [kms~l] 50 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP II. kosmická rychlost - úniková rychlost Pro otevřenou parabolickou dráhu, pro niž platí (a -» oo) obdržíme výraz pro II. kosmickou rychlost ve tvaru (3.97) Tato rychlost odpovídá rychlosti, při níž je možno překonat přitažlivost centrálního tělesa a proto se nazývá úniková rychlost. Pro únik z planety Země je hodnota II. kosmické rychlosti Vti = 11,2 [kms~1]. Hyperbolická rychlost Vraťme se zpět kvýrazu pro celkovou specifickou mechanickou energii, rov. (3.90), kam dosadíme za specifickou energetickou konstantu pro hyperbolu, uvedenou v tab. 3-2 V2 u _ a ~2~ř~2a Dosadíme-li za průvodič (r -> co) obdržíme vztah pro rychlost v nekonečnu ve tvaru (3.98) Tato rychlost se nazývá hyperbolický přebytek rychlosti. Zaveďme tuto rychlost zpět do výrazu pro celkovou specifickou mechanickou energii 2 r 2' odkud pro kvadrát hyperbolické rychlosti získáváme vztah ve tvaru V2=y + V2. (3.99) A s přihlédnutím k rovnici (3.97) pro II. kosmickou rychlost můžeme zapsat relaci mezi kvadráty rychlostí V2 = Vfi + V2. (3.100) Z uvedeného vztahu je zřejmé proč je rychlost Vm nazývána hyperbolickým přebytkem rychlosti. Je to rychlost, o kterou je třeba zvýšit parabolickou únikovou rychlost, abychom přešli na hyperbolickou dráhu, nutnou pro odlet z příslušného CGP. Kvadrát hyperbolického přebytku rychlosti se v mechanice kosmického letu označuje C3 = V2 [km2s-2], (3.101) a je měřítkem energie potřebné k uskutečnění meziplanetárního letu, [23]. Často se nazývá jako „charakteristická energie". Více se o meziplanetárních letech uvádí v kap. 6. Srovnání tvarů drah a rychlostí je uvedeno na obr. 3-10. Z uvedeného je vidět, že parabolická úniková dráha je předělem mezi uzavřenými dráhami (kruhovými a eliptickými) a otevřenými dráhami (parabolickými a hyperbolickými). Čárkovaně je na obrázku znázorněna dráha balistické rakety, jejíž eliptická dráha protíná povrch Země. Povšimněte si, že pro balistickou dráhu leží perigeum uvnitř Země. 51 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Obr. 3-10 Srovnání uzavřených a otevřených drah. Příklad 3.2 Zadání: Stanovte následující parametry eliptické dráhy kosmického tělesa obíhajícího kolem Zem rychlosti v perigeu a apogeu VP, VA, periodu T, specifickou energetickou konstantu £ rychlost Vx v zadaném bodě dráhy (1), který je definován hodnotou pravé anomálie 0]. Potřebná data: Pravá anomálie 0j = 115 [°], Excentricita e = 0,2 [1], Vzdálenost perigea rP = 7150 [km], Gravitační parametr Země (i = 398600 [km^s'2]. Řešení: a) Výpočet specifického momentu hybnosti provedeme dle rov. (3.44), kterou upravín s uvážením podmínky v perigeu 0 — 0° na tvar h = vV>(l +e) = V(398600)7150(l + 0,2) = 58481 [fcm2s-1]. b) Výpočet vzdálenosti apogea provedeme rovněž pomocí vztahu (3.44), kde nyní uvážír podmínku pro apogeum 0 = 180° h1 1 584812 1 r* = J—e = 3986ÔÔ (1302) = "725 [km]. c) Výpočet hlavní poloosy elipsy provedeme dle vztahu (3.50) 52 3. Pasívni pohyb kosmických těles v CGP rA+rF 10725 + 7150 , , a = 2 =---= 8937,5 [km]. d) Výpočet obežné doby (periody) z rov. (3.86) ř 8937,53 T - 2n — — 2tt -= 8408,825 [s] = 2,33578 [h] = 2°20'09", ! (i ,J 398600 e) Výpočet rychlosti v perigeu a apogeu provedeme jednoduše dle vztahu (3.93) h 58481 , h 58481 V> =TP = 7150 = 8'179 [kmS 1 ^ = ^ = TÔ72Š = 5'453 lkmS 1 f) Specifická energetická konstanta je dána výrazem A* 398600 ri _ _n r , 1i £ = — TTTľTTTTTT = -22,299 fem2s"2] = -22,299 [MJkg'1 ]. 2a 2(8937,5) L J ' M g) Výpočet modulu polohového vektoru rx h2 1 584812 1 k =--=--= 9372,2 íkml, 1 ŕil + ecosGi 398600 1 + 0,2 cos 115° h) Konečně rychlost v bodě (1), který je definován souřadnicemi (r^B^ stanovíme z rovnice (3.95) ve tvaru \~ňi \ I /398600 \ Vj = h[^ + Sj = 2 [y^JJ + (-22,299)1 = 6,361 [kms^]. 3,4 Časový průběh pohybu kosmického tělesa na oběžné dráze Na základě dosavadních rozborů umíme nalézt polohu kosmického tělesa r v závislosti na pravé anomálii 0 pro jakoukoliv známou eliptickou oběžnou dráhu, např. pomocí rovnice dráhy (3.45). Nyní nás bude zajímat, v jakém čase se do této polohy kosmické těleso dostane. Hledáme funkční závislost í — /(©)■ Jak vyplývá ze zákona ploch, pohyb kosmického tělesa po eliptické oběžné dráze je nerovnoměrný. Pro řešení časové závislosti slouží Keplerova rovnice, kterou nyní odvodíme. 3.4.1 Keplerova rovnice - vztah mezi střední a excentrickou anomálií Keplerova časová rovnice vyjadřuje vztah mezi tzv. excentrickou anomálii E a střední anomálií M. Excentrická anomálie E je úhel mezi přímkou apsid a spojnicí středu elipsy S s bodem Q (obr. 3-11). Bod Q je definován jako průmět kosmického tělesa D na kružnici „k" opsanou dané eliptické dráze, vedený rovnoběžně s osou y. Průmět kosmického tělesa (družice) na pomocnou kružnici se pohybuje rovněž nerovnoměrně. Proto se zavádí další pomocná úhlová proměnná, tzv. střední anomálie M, což je úhel mezi přímkou apsid a spojnicí středu kružnice s bodem Q na téže pomocné kružnici „k", znázorněné na obr. 3-12. Na rozdíl od nerovnoměrného pohybu bodu Q, svázaného s pohybem bodu D, bod Q se po pomocné kružnici „k" pohybuje rovnoměrně s konstantní úhlovou rychlostí n = 2n/T. Tato úhlová rychlost se v mechanice kosmického letu nazývá střední pohyb. Ten představuje vlastně úhlovou 53 B, Pasivní pohyb kosmických těles v CGP rychlost myšleného kosmického tělesa, v obr. 3-12 označeného bodem Q*, které by se pohybovalo rovnoměrně po kruhové dráze „k" o poloměru r — o. Obr. 3-12 Relace mezi E a M, resp. mezi nerovnoměrným pohybem bodu Q a rovnoměrným pohybem bodu Q* na pomocné kružnici k. 54 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Hledejme nejprve velikost průvodiče definujícího polohu kosmického tělesa na eliptické dráze v závislosti na excentrické anomálii r = f (E). Zavedeme souřadnicovou soustavu (x,y) s počátkem v ohnisku 0 = F (obr. 3-11). Složky polohového vektoru r v závislosti na excentrické anomálii vyjádříme následovně x{E~) = o cos E — ae = a(cos E — e), (3.102) y(E) = b sinf = aVl - e2 sin E, (3.103) kde jsme ve druhém vztahu uplatnili výraz pro vedlejší poloosu b dle vztahu (3.62). Derivací výše uvedených rovnic obdržíme x(E) = -aĚsinE, (3.104) ý(E) = bĚcosE. (3.105) Složky téhož průvodiče r vyjádříme také v závislosti na pravé anomálii x(@) = rcosQ, (3.106) y(0) = rsin0. (3.107) Derivace těchto rovnic jsou následující x(Q) = —r0 sin 0 + ŕ cos 0, (3.108) ý(0) = r0 cos 0 + ŕ sin 0. (3.109) Nyní sestavíme s cíleným záměrem dvě rovnice následující kombinací všech předchozích vztahů (3.102) až (3.109), [52] x(0)ý(0) = x(E)ý(E), y(0)i(0) = y(E)x(E). Po dosazení příslušných výrazů do obou uvedených rovnic a roznásobení obou stran rovnic získáme mezivýsledek v následujícím tvaru r20 cos2 Q + rŕsin 0 cos 0 = aůE(cos2 E — e cos E), —r20sin2 0 + rŕsin 0 cos0 - —abĚ sin2 E. Odečtením druhé rovnice od první získáme docela jednoduchý výraz r2Q = abĚ(l-ecosE). (3.110) Levá strana rovnice představuje v souladu s rov. (3.30) specifický moment hybnosti h. Kombinací rov. (3.83) a (3.84} a s uvážením vztahu pro střední pohyb (úhlovou rychlost) n — 2n/T lze specifický moment hybnosti vyjádřit vztahem 2tt h = —ob = nab. (3.111) Uvedený výraz dosadíme na levou stranu rovnice (3.110) a separací proměnných upravíme rovnici pro přímou integraci ndt = (1 - e cos E)dE. 55 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP levou stranu integrujeme v mezích od okamžiku průchodu kosmického těles pericentrem tP po libovolný čas í. Pravou stranu integrujeme v mezích 0 až E. P integraci obdržíme výsledek ve tvaru nit - tP) = E - e sin E. (3.112 Levá strana uvedené rovnice představuje okamžitou hodnotu střední anomálie M, t úhel měřený od pericentra M = n(ŕ 2tt tp) = ^r(t~tP). (3.113 Nyní můžeme s využitím rovnice (3.113) zapsat konečnou podobu Keplerovy rovnic (3.112) ve standardním tvaru M = E-esmE. (3.114 Zvýše uvedených rovnic (3.113) a (3.114) je zřejmé, že Keplerova rovnice vyjadřuj vztah mezi střední anomálií, resp. časem í a polohou kosmického tělesa, vyjádřeno excentrickou anomálií E. Z jejího tvaru vyplývá, že se jedná o transcendentní rovnic Pro řešení excentrické anomálie E pro zadaný čas t musíme použít nějakou vhodno numerickou metodu. Grafické vyjádření vzájemné relace mezi střední a excentricko anomálií je uvedeno na obr. 3-13. 360 330 300 270 c 240 aj 210 t 180 o z tu 150 "E TS 120 V >~-4J e = 0,4 * e = 0,2 S, s. e = 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 Excentrická anomálie E [°] Obr, 3-13 Závislost střední anomálie na excentrické anomálii. Pro řešení uvedené transcendentní rov. (3,114) se nejčastěji používa Newtc Raphsonova metoda, [56], Řešení libovolné rovnice fix) — 0 spočíva v pou rekurentního vzorce - Xi - fXxtT (3.11 56 3. Pasivní pohyb kosmických těies v CGP Podaří-li se zvolit počáteční hodnotu xQ relativně blízkou k řešení, pak tato metoda velmi rychle konverguje ke správnému řešení s předepsanou přesností. V našem případě řešíme kořen rovnice f(E) = 0, kde funkce f(E) pro i-tou aproximaci má tvar f(E[) = Ei - esin£ŕ - M (3.116) a její derivace je dána výrazem /'(£«) = 1-ťř cos Ee. (3.117) Nyní podle rov. (3.115} zapíšeme rekurentní vztah pro hledání hodnoty excentrické anomálie Ei+1 Ei+1 = El-j^ = Et — AEj. (3.118) Uvedený rekurentní vztah řešíme v postupných krocích od vhodně zvolené počáteční hodnoty E0 tak dlouho, dokud rozdíl posledních dvou hodnot je menší než zvolená tolerance. Za počáteční hodnotu excentrické anomálie lze zvolit například EQ = M. Pro urychlení numerického řešení Keplerovy rovnice se dle lit. [20] doporučuje volit počáteční hodnotu E0 bud'takto: a) pro případ, že M < ít, E0 = M + e/2, (3,119) b) pro prípad, že M > n, E0 = M — e/2, (3.120) nebo na základě vztahu e sin M E0 = M +-n-r-. (3.121) cos e - (- e\ sin e + M sin e Praktická ukázka numerického řešení transcendentní Keplerovy rovnice je představena v níže uvedeném příkladu 3.4. 3.4.2 Vztah mezi modulem polohového vektoru a excentrickou anomálií Dosadíme-li do modulu polohového vektoru za souřadnice x a y dle vztahů (3.102} a (3.103) obdržíme výraz r = V*2 + y2 = ^a2(cosE — e)2 + a2(l - e2)sin2E, který po jistých goniometrických úpravách vyjadřuje výsledný vztah mezi modulem polohového vektoru a excentrickou anomálii r = a(l - ecosE). (3.122) 3.4.3 Vztah mezi pravou a excentrickou anomálií Protože poloha kosmického tělesa na oběžné dráze je definována nejen průvodičem, ale také pravou anomálií, zbývá nám ještě doplnit funkční vztah 0 — /(F). K tomu nám 57 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP poslouží rovnice eliptické dráhy (3.48) a x-ové souřadnice polohy kosmického tělesa na oběžné dráze dle rov. (3.106) a (3.102). Z rovnosti x-ových souřadnic plyne r cos 6 - a(cos E — e). cos£ Obr. 3-14 Při použití funkce kosinus úhlu E se objevuje nejednoznačnost řešení. Pro jednu hodnotu cos E existují dvě hodnoty úhlu E. Po dosazení za r dle rovnice eliptické dráhy (3.48) a úpravě dostáváme již relaci mezi pravou a excentrickou anomálií e + cos0 cos£ = ---. (3.123; l + ecos0 v Bližším rozborem však snadno zjistíme, že tato vazba je nejednoznačná, neboť funkce cosf nabývá stejné hodnoty pro dva různé argumenty E (obr. 3-14). Proto použijeme vazbu platnou pro tangenty polovičních úhlů, čímž se nejednoznačnosti vyhneme (obr 3-15). Obr. 3-15 Použitím funkce tangens polovičního úhlu E je nejednoznačnost vyloučena 58 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Zgoniometrie známe obecný vztah pro tangentu polovičního úhlu. V našem případě pro (E/2) můžeme psát tg2 = 1 — cos E 1 + cos E (3.124) Do uvedeného vztahu dosadíme výraz pro cosf dle rov. (3.123). Úpravami, které spočívají nejprve v převedení čitatele i jmenovatele pod odmocninou na tvar tg2 = 1 + e cos 0 - (e + cos 0) 1 + e cos 0 + (e + cos 0) ' získáme po dalších úpravách následující vztah tg2 = 1 -e 1 + e 1 - COS0 1 + cos 0 Jelikož v pořadí druhá odmocnina v tomto vztahu je dle stejného pravidla opět výraz pro tangentu polovičního úhlu, tentokrát tg(0/2), bude výsledná vazba mezi polovičními hodnotami pravé anomálie a excentrické anomálie dána vztahem tg2 = Respektive opačné řešení je dáno výrazem 0 tg2 = . 1 -e 0 íT^tg2' 1 + e E l-etgř (3.125) (3.126) Nyní máme k dispozici veškeré potřebné vztahy k nalezení vazby mezi střední anomálií, resp. Časem a pravou anomálií. Vrátíme-li se ke Keplerově rovnici (3.114), můžeme nalézt vztah pro přímý výpočet střední anomálie v závislosti na pravé anomálii. K tomu použijeme relaci sin2 E + cos2 E - 1, do níž dosadíme výraz (3.123) pro cos E. Odtud nalezneme výraz pro sin E ve tvaru sin E = Vl - e2sin0 (3.127) 1 + e cos 0 Dosazením do Keplerovy rovnice (3.114) za úhel E, který určíme z rov. (3.125) a za sin E dle rov. (3.127) obdržíme modifikovanou Keplerovu rovnici vyjadřující přímý funkční vztah mezi M a 0 ve tvaru M — 2 arctg 1-e 0\ Vl -e2sin0 tg _e. II + e 1 + e cos 0 (3.128) Grafické znázornění této funkční závislosti střední anomálie M na pravé anomálii 0 je uvedeno na obr. 3-16. 59 3. Pasívni pohyb kosmických tětes v CGP £ o c ŕg "E 360 330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0 e = D,8 e = 0,6 e< = 0,4 = 0,2 e = 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 Pravá anomálie 0 [°] Obr. 3-16 Graf funkční závislosti strední anomálie na pravé anomálii. Poznámka: Nutno podotknou, že Keplerovu rovnici je možno odvodit i jiným postupem než byl zde uveden. Je možno vycházet z rov. (3.30). Její přímou integrací svyužitír rovníce dráhy (3.44) a vazeb mezi pravou anomálií a excentrickou anomálií (3.125 můžeme dospět ke Keplerově rovnici v základním tvaru (3.114), resp. (3.128). Příklad 3.3 Zadáni: Stanovte dobu letu t kosmického tělesa po eliptické oběžné dráze kolem Země, kter uplynula od okamžiku průletu perigeem tP do aktuální polohy kosmického těles definované pravou anomálií 0 Potřebná data: Vzdálenost perigea Délka hlavní poloosy Pravá anomálie Gravitační parametr Země Čas průletu perigeem Řešení: a) Výpočet excentricity elipsy dle rov. (3.53) fp = 6800 [km], a = 10625 [km], 0 = 140 [°], ŕ* = 398600 [km3s-2], tp = 1°36' = 5760 [s]. 60 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP rP 6800 e = 1-í = 1-í^=0'36 b) Výpočet momentu hybnosti dle rov. (3.85) h = -ez) = v/398600(10625)(l-0,362) = 60714,52 [km2^1], c) Výpočet periody dle rov. (3.86) ľ = 2ti u ^398600 d) Výpočet excentrické anomálie dle rov. (3.125) i 106253 — ^ 2tt ———= 10899,45 [s] = 3,0276 [Aod]. t 1 — e Q 1-0,36 /140\ tg I ^ JľT^ I= JľT^ts(—)= 1'884754' E = 2 arctg(l,884754) = 2,165981 [rad] = 124,102 ["]. e) Výpočet střední anomálie z Keplerovy rovnice (3.114) M = E-esinE = 2,165981 - 0,36 sin(124,102), M - 1,867886 [rad] = 107,022 [°]. f) Výpočet středního pohybu n = — = " „ = 5,76468.10"4 [s"1] = 2,0753 [hoď1]. T 10899,45 g) Konečně dobu letu mezi perigeem a okamžitou polohou stanovíme pomocí rov. (3.113), kterou si upravíme na tvar M 1,867886 r , r , ř = ň+tp = 5,76468.10-* + 5760 = 900°'2 [*] = 2'5 E« Kosmické těleso na dané eliptické oběžné dráze doletí do polohy definované pomocí pravé anomálie za čas t = 2,5 [ŕtod]. Příklad 3.4 Zadání: Stanovte polohu kosmického tělesa pohybujícího se po eliptické oběžné dráze kolem Země pomocí pravé anomálie 0 v době, která uplynula od průletu perigeem. Čas průletu perigeem zvolte tP - 0. Požadovaná přesnost íteračního numerického řešení jAčJ < 10"8. Potřebná data: Vzdálenost apogea Excentricita Gravitační parametr Země Doba letu od perigea rA = 14450 [km], e = 0,25 [1], p = 398600 [km3s-2], t = 72 [min] = 1,2 [ŕiod]. 61 3. Pasivní pohyb kosmických těies v CGP Řešení: a) Výpočet délky hlavní poloosy elipsy dle rov. (3.52) rÁ 14450 , , a =--—r - 11560 [km]. 1 + e 1 + 0,25 L J b) Výpočet momentu hybností dle rov. (3.85) h = V/ía(l -ez) = V398600(11560)(l - 0.252) - 65725,39 pfcnŕV1]. c) Výpočet periody dle rov, (3.86) íů* f115603 7- = 2n — = 2tt - 12369,38 [s] = 3,4359 [hod]. J fi J 398600 d) Výpočet středního pohybu 2ir 2ir . , .., n = — =-= 5,07963.10"4 [s-1] = 1,828667 [hoď1]. T 12369,38 1 1 e) Výpočet střední anomálie dle rov. (3.113). M = n(t - tP) = 1,828667(1,2) = 2,194399 [rad]. f) Výpočet excentrické anomálie dle rov. (3.114) M = E — e sin E je nutno provést numericky. Výpočet pokračuje v následujících krocích. g) Stanovení počáteční hodnoty excentrické anomálie E0. Vzhledem k tomu, že hodnota střední anomálie M < n začínáme aproximaci í počáteční hodnoty definované rov. (3.119). Ve výpočtech jsou úhly brány v radiánech! e 0,25 r , E0 = M + - = 2,194399 + -y- = 2,319399 [rad]. h) Numerické řešení transcendentní Keplerovy rovnice provedeno Newton-Raphsonov metodou dle rov. (3.118) f (Eť) _ Ei+1~EL~fXĚd~Ei~AEi- 1. krok řešení: Funkční hodnota /(E0) dle rov. (3.116) /(Eo) = Eo ~ esin£0 - M = 2,319399 - 0,25 sin 2,319399 - 2,194399, f(Ea) = -5,81601.10~2, Hodnota derivace dle rov. (3.117) f'(E0) = 1 - e cos E0 = 1 - 0,25 cos 2,319399 = 1,170154. Odchylka áE0 f(E0) -5,81601.10"2 A EV, = -~^r =--= -4,970300.10"2. 0 /'(£„) 1,170154 Absolutní hodnota odchylky |A£0| po prvním kroku je samozřejmě větší jak požadov přesnost [A£0| > 10"B, proto pokračujeme druhým krokem. 62 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP 2. krok řešení Ei=E0~ AE0 = 2,319399 - (-4,970300.10"2} = 2,369102 [rad], f(Ej = E1 - e sin Et - M = 2,369102 - 0,25 sin 2,369102 - 2,194399, f(_Et) = 2,227101.10_\ fXEi) = X - ěčmEi ~ 1 - 0,25 cos 2,369102 = 1,179044, f (Ej 2,227101.10"4 AE, = =-^--" = 1,888905.10"*. 1 /(£,) 1,179044 Absolutní hodnota odchylky \AE1\ po druhém kroku je stále větší než požadovaná přesnost \AEt\ > 10~B, proto pokračujeme třetím krokem. 3. krok řešení E2 = E1 - AE1 = 2,369102 - 1,888905.10~4 = 2,368913 [rad], f(E2) = E2 -esin£2 -M = 2,368913 - 0,25 sin 2,368913 - 2,194399, f{E2) = 3,11288. ÍO-9, f'{E2) = l-ecosE2 = 1 -0,25 cos 2,368913 = 1,179011, f(E2) 3,11288.10"9 = 21 =--- 2,64025.10-9. f'(E2) 1,179011 Jak vidíme absolutní hodnota odchylky lAí^lpo třetím kroku je již menší než požadovaná přesnost |1 < 10~3, proto můžeme v tomto kroku stanovenou hodnotu excentrické anomálie považovat za dostatečně přesné řešení Keplerovy rovníce E = E2 = 2,368913 [rad] = 135,7287 ["]. i) Výpočet skutečné anomálie 0 Pomocí výše stanovené hodnoty excentrické anomálie E můžeme konečně vypočítat skutečnou anomálii 0 dle rov. (3.126) í + e E ;—iteô 1 + 0,25 /135,7287\ 173670, 0 = 2arctg3,173670 = 145,02 ["]. Kosmické těleso se během 72 minut přemístilo i perigea eliptické dráhy do polohy, definované pravou anomálií 0 — 145 [°]. 3.5 Poloha a rychlost kosmického tělesa v rovině oběžné dráhy 3.5.1 Perifokální souřadnicová soustava Polohový vektor a vektor rychlosti pohybu kosmického tělesa na oběžné dráze odvodíme v tzv. perifokální souřadnicové soustavě (x,y,z) s počátkem v ohnisku. Osa x leží na přímce apsid a její kladný smysl směřuje od ohniska kpericentru. Osa y je totožná s parametrem p. Jak je nám již známo, poloha kosmického tělesa na oběžné 63 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP dráze je dána polohovým vektorem ř, který má v perifokální souřadnicové soustavě d\ složky, (z = 0) r = ix + jy. (3.12« Vektor rychlosti V pohybujícího se kosmického tělesa po eliptické dráze je v každéi okamžiku tečný k dráze. V perifokální souřadnicové soustavě (x,y) má rovněž dv složky V = ŕ = ľx + jý. (3.13C Obr. 3-17 Definice složek výsledného vektoru rychlosti V a sklonu dráhy letu y. Jak znázorněno na obr. 3-17, vektor rychlosti V rozkládáme na vektor radiální rychlo —> —i Vr ve směru polohového vektoru a na vektor transverzální rychlosti Ve, který je kolr na polohový vektor. Definujme jednotkové vektory radiálních a transverzálních složek pomocí jednotkový vektorů ve směru os perifokální souřadnicové soustavy dle obr. 3-18 er = t cos0 + /sin0, (3.13 ee = — Ísin0 + /cos0. (3.13 Pomocí jednotkových vektorů vyjádříme jak polohový vektor, tak vektory radiáln transverzální rychlosti ř = rer = r(ícos0 +/sin0), Vr - VreT = Kr(ľcos0 +;sin0), Ve = V&eQ = r0(-Tsin0 +/cos0). (3.1 (3.i:- C3.1Í 64 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Obr. 3-18 Definice jednotkových vektorů. V rovnici (3.135) je transverzální rychlost vyjádřena jako součin modulu polohového vektoru a úhlové rychlosti Ve = r0. S využitím rov. (3.134) a (3,135) sestavíme výsledný vektor rychlosti jako vektorový součet radiální a transverzální rychlosti V = Vr + VB = rCľcos0 + /sin 0) + r0(-fsin0 + /cos0). (3.136) V dalším kroku nalezneme výrazy pro oba moduly v rovnici (3.136) v závislosti na geometrii eliptické dráhy a gravitačním parametru. Vztah pro specifický moment hybnosti (3,30) přepíšeme do tvaru r0 — h/r. Za konstantu ploch h dosadíme dle dříve odvozeného výrazu (3.38) h = yfpp a za r dosadíme rovnici dráhy dle vztahu (3.45). Po dosazení a úpravě obdržíme pro hledaný modul výraz VQ = r@ = yfpjp (1 + e cos 0). (3.137) Druhý modul ŕ nalezneme přímou derivací rovnice dráhy (3.45} a s použitím vztahu (3.137) 0 = VB/r obdržíme —pe{— sin 0)0 pe sin 0 Ve T ~ (1 + e cos 0)z ~ (1 + e cos 0)ľ r ' Po dosazení za VQ dle rov. (3.137) a za r dle rovnice dráhy (3.45) obdržíme po malé úpravě výsledný vztah pro modul radiální rychlosti Vr = ř = 7/Vpesin0. (3.138) Odvozené výrazy pro modul radiální i transverzální rychlosti dosadíme do rov. (3.136) pro výsledný vektor rychlosti 65 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP V = vV/P [esin 0 (t cos0 + /sin 0) + (1 + e cos 0)(-isin0 + y cos0)]. Po roznásobení a setřídění Členů vzhledem k jednotkovým vektorům obdržíme konečr výraz pro vektor výsledné rychlosti V = vWp i-Tsm 0 + /(e + cos0)]. (3.13* 3.5.2 Stavový vektor v perifokální souřadnicové soustavě. Sklon dráhy letu Výsledky pro polohový vektor i pro vektor rychlosti můžeme zapsat ve formě stavovýc vektorů. Úplný stavový vektor představuje šest prvků vytvořených ze souřadn polohového vektoru a vektoru rychlosti. Polohový vektor s využitím vztahů (3.10E (3.107) a (3.45) lze zapsat v maticové formě takto rX\ (rcasQ} 8 y\= rsin0 =--- sin0 . (3.141 J ( 0 ) 1+ecos® A vektor rychlosti v souladu s rov. (4.139) můžeme zapsat rovněž v maticovém tvaru ( -sínO \ - yfJJJp je -f- COS0Í. (3.14 S využitím obr. 3-17 můžeme definovat další důležitý pojem a to sklon dráhy letu y, c je úhel mezi výsledným vektorem rychlosti a transverzální rychlostí, která leží v mís? horizontální rovině. Sklon dráhy letu lze vyjádřit pomocí poměru radiální a transverzá rychlosti Vr V sin y tgy = T7L = í7—^ (3.14-Vq V cos y odkud po dosazení dle rov. (3.138) a (3.137) vyjádříme výraz pro sklon dráhy letu tvaru / e sin 0 \ ^arctg(iTl^} (xu Výše uvedené vztahy platí samozřejmě pro jakoukoliv kuželosečku. Podívejme se vs zvlášť na speciální případ, na parabolickou dráhu. Pro parabolu platí e — 1. Uvážením této skutečnosti a použitím rov. (3.143) získáme nejprve výraz pro tangei sklonu dráhy letu ve tvaru sin 0 tgX ~ 1 +COS0' Z goniometrických vazeb lze nalézt výrazy pro poloviční úhly pravé anomálie 0 0 sin0 — 2 sin — cos—, 2 2 ,0 ,0 ,0 / ,0\ ,0 cos 0 = cos4 — - sin4 — = cos4 — - ^1 - cos4 —J - 2 cos4 — - 1. 66 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Po dosazení do výrazu pro tangentu sklonu dráhy letu obdržíme 2 sinjCOSň sin -j 0 *y= . 2Q = ~0 = tgř Zcos^-j cos 2 Odkud vyplývá jednoduché relace mezi sklonem dráhy letu a pravou anomálií pro parabolickou dráhu 0 y = (3.144) Obr. 3-19 Složky výsledného vektoru rychlosti a sklon dráhy letu pro parabolu. A stavové vektory pro parabolickou dráhu v perifokální souřadnicové soustavě nabudou dle rov. (3.140) a (3.141) tvar ^z> 1 4- cos 0 ľCOS0 sin 0 k 0 Vx] ( - sin© } j;J = VÍ7pjl+cos0J. (3.145) (3.146) 3.5.3 Výpočet polohy a rychlosti z počátečních podmínek Známe-li počáteční polohu r(0t) = rx a rychlost kosmického tělesa VC®i!) = v souladu s rov. (3.129) a (3.130) na libovolné oběžné dráze r, - x,i + y-j, Vi = n = xj+yj. (3.147) (3.148) 67 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP můžeme z těchto počátečních hodnot stanovit polohu r2 a rychlost kosmického těl V2 vjiném okamžiku, který je dán polohou 02 - 0: + A0 (obr. 3-20). trajektorie Obr. 3-20 Počáteční a nová poloha a rychlost kosmického tělesa. Vyjdeme ze skutečnosti, že specifický moment hybnosti h je na dané oběžné drá každém okamžiku konstantní. Hodnotu specifického momentu hybnosti stanovíme počáteční podmínky takto h = řlxV1 = (3.1 / k yi o xi ýi o Jak vyplývá z rov. (3.149), vektor specifického momentu hybnosti má jen jednu sic ve směru jednotkového vektoru k, takže tato složka je přímo modulem vek specifického momentu hybnosti ^ = (x1ýí-ytxí). (3.1 V dalším kroku následuje vyjádření jednotkových vektorů v libovolně zvo souřadnicové soustavy pomocí počátečních hodnot polohového vektoru ř1( vek rychlosti V1 a modulu specifického momentu hybnosti h Nejprve si z rov. (3.147) vyjádříme jednotkový vektor t 1 = (3 Uvedený výraz (3.151) dosadíme do vztahu (3.148) pro počáteční vektor rychlostí V -yi*i 68 3. Pasivní pohyb kosmických těíes v CGP i - Čitatel v posledním členu této rovnice představuje dle rov. (3.150) modul specifického momentu hybnosti h. Z takto upravené rovnice nalezneme výsledný výraz pro jednotkový vektor / ve tvaru J=j%-jri- (3.152) Dosazením tohoto jednotkového vektoru do rovnice (3.151) upravíme výraz pro jednotkový vektor t na tvar Xi Xi\h h i h \Xx h h hx1 Po dosazení za modul h v čitateli posledního členu dle rov. (3.150) upravíme výraz pro jednotkový vektor na konečný tvar ?=-f Vi+f řf (3-153) Oba odvozené konečné výrazy pro jednotkové vektory (3.153) a (3.152) dosadíme do vztahů pro hledaný polohový vektor r2 dle rov. (3.129) a vektor rychlosti V2 dle rov. (3.130) ř2 = x2í+y2j, V2 = x2i + ý2J. Po dosazení a úpravě uvedených vztahů vzhledem k počátečním vektorům polohy a rychlosti 1^ obdržíme Obě uvedené rovnice přepíšeme do jednodušších výrazů ř2=fř1+gVu (3.154) % = M+5?i, (3.155) kde koeficienty f, g a jejich derivace /, g představují tzv. Lagrangeovy koeficienty ve tvaru f - *2 ' (3.156) —x2y-, + y2x, 9= \ , (3.157) i2ýi - ýi*! f= h , (3.158) —x2y, + y2Xi 9= u (3.159) 69 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Z uvedených vztahů (3.154) a (3.155) je patrné, že polohový vektor i vektor rychlosti dán lineární kombinací počátečních vektorů polohy a rychlosti. Pro další řešení je třeba vyjádřit Lagrangeovy koeficienty v závislosti na pravé anomál respektive na rozdílu pravé anomálie mezi hledanou a počáteční polohou kosmickér tělesa. K tomu využijeme vztahy odvozené v předchozí podkapitole. Složky počáteční! polohového vektoru ve zvolené souřadnicové soustavě zapíšeme dle rov. (3.140) xx = *i cos 01( (3.161 y1 = t\ sin 0:. (3.16 A složky počátečního vektoru rychlosti ve směrech příslušných jednotkových vekto vdané souřadnicové soustavě převezmeme z rovnice (3.141) pro výsledný vekt rychlosti, odkud složky počáteční rychlosti jsou dány vztahy xt = -^Jp./p sin 91( (3.16 ýi = vV/p (e + cos 0i). (3.16 Pro složky hledaného polohového vektoru (x2,y2) a složky hledaného vektoru rychlo (*2iý2) budeme používat stejné vztahy (3.160) až (3.163) s tím, že budeme vtom případě používat index „2". Připomeňme, že parametr p je svázán s modulem specifického momentu hybnosti h c rov. (3.38), odkud plyne vztah h = yfpp.. Nyní již můžeme přikročit k sestavování výra pro jednotlivé Lagrangeovy koeficienty. Koeficient / nalezneme dle vztahu (3.156), kde použijeme odpovídající, výše zrnině složky polohového vektoru a složky vektoru rychlosti / = -== f(r2 cos 62)Ju~/p~ (e + cos 0J - (r2 sin 0Z) (-V/Vp sin r2 / = — [e cos 02 + (cos 02 cos 0! + sin 02 sin 0X)]. (3.1ť Z goniometrických funkcí vyplývá, že (cos 02 cos 0X + sin 02 sin 0X) = cos(02 - 6 Z obr. (3-20) je zřejmé, že 02 — ©i = A0 definuje vzájemnou hledanou polohu \ počáteční poloze. Takže výraz pro Lagrangeův koeficient f můžeme přepsat do tvaru / = ^(ecos02 + cosA0). (3.1 Z rov. (3.45) pro dráhu stanovíme výraz pro í'2 = 1 + ecos02 e cos 02 = — — 1. (3.1 Po dosazení do vztahu (3.165) a úpravě obdržíme výraz pro součinitel / ve tvaru 70 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP f = 1 - —(1 -cosAQ). P (3.167) Pro výpočet Lagrangeova součinitele / ještě zbývá určit vztah pro modul polohového vektoru r2, který vystupuje v rovnici (3.167). Modul hledaného polohového vektoru sestavíme opět pomocí rovnice dráhy (3.45) s využitím relace mezi pravými anomáliemi 02 = 0i + A8 P _P_ Tz l + ecos02 1 + e cos(0! + A0)' Do uvedeného vztahu dosadíme dle známých goniometrických vazeb vztah cos(0! + A0) = cos 0! cos A0 - sin 0: sin A0 a po nepatrné úpravě přepíšeme výraz pro modul hledaného polohového vektoru do tvaru r - 2 1 + e cos 0j cos A0 — e sin 0! sin A0' V následujícím kroku vyloučíme pravou anomálii určující počáteční polohový vektor QY. K tomu použijeme rov. (3.166), kterou zapíšeme pro počáteční podmínky (index 1) e cos0! =--1. (3.168) Z rovníce (3.138) pro radiální rychlost kosmického tělesa Vr, kterou zapíšeme pro počáteční podmínky (index 1) VTl = VmTp e sin 0lf (3.169) nalezneme výraz pro esin0x = VT1Jp/p. (3.170) Po dosazení obou výrazů (3.168) a (3.170) obdržíme konečný vztah pro modul hledaného polohového vektoru P rz = 1 + l)cosA0 - I7rll/p7íísinůe- (3.171) Stanovení koeficientu g provedeme dle rovnice (3.157), kam dosadíme za souřadnice (.xi>yi) přímo dle rov. (3.160) a (3.161). Pro stanovení souřadnic {x2,y2) použijeme stejných vztahů, avšak s indexem „2" 1 : [(—r2 cos &2)f1 sin 0! + (r2 sin 02)ti cos Oj], 9 9 9 4w r\r2 rlr2 —== (sin 02 cos 0! - cos 02 sin 0j) = -^=sin(02 - 0j), —ásin A0. (3.172) 71 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Koeficient g odvodíme podobným postupem. Vztahy pro souřadnice xXl yl opět použijeme dle rovnic (3.160), (3.161) a vztahy pro složky rychlosti x2, y2 stanovíme dle rovnic (3.162) a (3.163) pro index „2". Dosadíme do výrazu (3.159) pro derivaci koeficientu g -ř2ya + ý2X\ 1 r , ,- v i- g =-:-= -=\ -{-yjii/vsin ®2Fi sin 0j + vVpO + cos02)r1 cosOj, g — — [ecosQx + (sin02 sin0! + cos02 cosSj)]. První člen v hranaté závorce ecosOj nahradíme dle rov. (3.168) a kulatou závorku upravíme následovně: (sin 02 sin 0X + cos 02 cos 0:) = cos(02 - 0a) = cos A0. Po dosazení obdržíme o = -(--l + cosAeY P \ri / A po poslední nepatrné úpravě získáváme výsledný vztah pro Lagrangeův koeficient g ve tvaru g = 1 - -(1 -cosA0). (3.173) P Poslední koeficient / odvodíme jiným způsobem. Využijeme vzájemnou vazbu mezi Lagrangeovými koeficienty, kterou lze odvodit z výrazu pro specifický moment hybnosti fg-fg = \. (3.174) Uvedená rovnice je vlastně jiná forma vyjádření zákona zachování specifickéhc momentu hybnosti kosmického tělesa pomocí Lagrangeových koeficientů. Odvození je uvedeno v Příloze A. Z rov. (3.174) vyjádříme výraz pro koeficient / ve tvaru f = l■ -10000 30000 -150GO Obr. 3-21 Vypočtený tvar a poloha eliptické oběžné dráhy. 3.6 Poloha a rychlost kosmického tělesa na dráze v prostoru Při stanovování polohy a rychlosti pohybu kosmického tělesa na oběžné dráze, která může mít obecnou polohu v prostoru, budeme vycházet ze znalosti polohového vektoru a rychlosti v rovině oběžné dráhy. Pak nám již bude stačit nalézt transformační rovnicí mezi perifokální souřadnicovou soustavou v rovině dráhy a vhodnou prostorovou souřadnicovou soustavou. Než přistoupíme k nalezení vhodné transformační rovnice, seznámíme se s klasickým popisem oběžné dráhy v prostoru, který se používá v nebeské mechanice a astronomii. V této nejstarší vědní disciplíně je poloha oběžné dráhy v prostoru definována pomocí tzv. elementů dráhy. 77 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP 3.6.1 Elementy dráhy Mezi základní elementy dráhy se nejčastěji řadí následující šestice prvků a,e, i.íl.t Jejich geometrický význam je zřejmý z obr. 3-22. Elementy dráhy jsou na sobě nezá a je jimi jednoznačně dána: a) Poloha roviny dráhy v prostoru, která je definována sklonem dráhy (i) a dé vzestupného uzlu (fí). Sklon dráhy je úhel mezi rovinou dráhy a rovinou rov Délka vzestupného uzlu je úhel definující polohu uzlové přímky v rovině rovníku směru jarní rovnodennosti. b) Orientace oběžné dráhy v její rovině pomocí argumentu pericentra (o>). Argui pericentra je úhel mezi uzlovou přímkou a přímkou apsid (spojnice pericen apocentra). Pro kruhovou dráhu úhel u) není definován. c) Velikost elipsy, daná délkou hlavní poloosy (a) a tvar elipsy, daný bezrozměr excentricitou (e). d) Poloha kosmického tělesa na oběžné dráze pomocí pravé anomálie (0). Podle charakteru řešených úloh v nebeské mechanice i mechanice kosmického li možno volit i jiné kombinace šestice elementů dráhy. Někdy se místo hlavní poloj která souvisí nejen s velikostí kuželosečky, ale také s energetickou konstantou, pc specifický moment hybnosti h. A místo pravé anomálie 0 se používá střední anc M nebo klasicky doba průchodu kosmického tělesa pericentrem tp. Zde upřednostnili výše uvedenou šestici elementů dráhy, protože lépe vy; geometrické souvislosti (obr. 3-22). Obr. 3-22 Poloha oběžné dráhy v prostoru je definována šesti elementy d 78 3, Pasivní pohyb kosmických těles v CGP 3.6.2 Geocentrická rovníková souřadnicová soustava Geocentrická rovníková souřadnicová soustava (X,Y,Z) je inerciální souřadnicová soustava, jejíž počátek je spojen se středem centrálního gravitačního pole „C" a zůstává nehybná v prostoru vzhledem ke stálicím (obr. 3-23). Primární osa X leží v rovině rovníku a směřuje k bodu jarní rovnodennosti na nebeské sféře. Osa Z směřuje k severnímu pólu centrálního tělesa (Země). Třetí osa leží v rovině rovníku a doplňuje souřadnicovou soustavu na pravoúhlý pravotočivý systém os. Obr. 3-23 Geocentrická rovníková (inerciální) souřadnicová soustava. Poloha kosmického letadla je dána souřadnicemi (X, Y, Z). Transformace mezi geocentrickou rovníkovou a perifokální souřadnicovou soustavou Pro nalezení prvků polohového vektoru {r} a prvků vektoru rychlosti {V} v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě je třeba nalézt transformační rovnici, která umožňuje přepočet mezi stavovými vektory v perifokální a geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě. Prvky polohového vektoru a vektoru rychlosti v perifokální souřadnicové soustavě máme k dispozici a jsou dány rov. (3.140) a (3.141). Nejprve si ukážeme obecnou transformaci mezi dvěma obecnými souřadnicovými soustavami. Předpokládejme, že máme dvě souřadnicové soustavy, které jsou na počátku ztotožněny a nachází se vzákladní poloze znázorněné osami {X,Y,Zj dle obr. 3-24. Nyní je třeba nalézt obecnou výslednou polohu obou souřadnicových soustav vůči sobě. Tu nalezneme pomocí tří postupných pootočení sledované souřadnicové soustavy vůči pevné vztažné souřadnicové soustavě. Touto vztažnou souřadnicovou soustavou nechť je geocentrická rovníková souřadnicová soustava (X,Y,Z). Pořadí pootéčení sledované pohyblivé souřadnicové soustavy je patrné z obr. 3-24. 79 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Z = Z Z2 = Z3 = Z Obr. 3-24 Vzájemná poloha geocentrické rovníkové (X, Y, Z) a perifokáiní souřadnicové soustavy (x,y,z). Pořadí pootočení. První pootočení provedeme v kladném smyslu kolem osy Z o úhel íí ( vzestupného uzlu) dle obr. 3-25. Zapíšeme vztahy vyjadřující vzájemnou relaci složkami libovolného vektoru ve výchozí geocentrické soustavě (X, Y,Z) a pootočené poloze Y^,ZX). Vztahy zapíšeme ve složkové formě i v maticové fc jak uvedeno níže. Y. \ O V ■ \ Z = Z. X1 = X cos Cl + Vsinfi, Yx =-Jr'sinfl + V'cosíl, Zj = Z. V maticové formě V. cos n sinfi 0 ľ1 r — sin íl cosfi 0 y U J . 0 0 1. i \Z) (3 \ Obr. 3-25 První pootočení os. Druhé pootočení okamžité mezipolohy os (X^Y^Z^ provedeme vkladném okolo osy Xx o úhel / (sklon oběžné dráhy), čímž dle obr. 3-26 obdržím transformační rovnice. 80 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP X2 — X1, Y2 = ľj cos i + Zt sin i, Z2 = — ¥j siní + Zi cos i. V maticové formě 1 0 0 lfJfil 0 cosi siní 0 — sin i cos i (3.184) Obr. 3-26 Druhé pootočeni os. Třetí pootočení okamžité mezipolohy os {X2, Y2,Z2) provedeme v kladném smyslu okolo os 2*2 o úhel oj (argument pericentra). Toto poslední pootočení konečně stanoví výslednou polohu transformované souřadnicové soustavy, označenou (X3, Y3, Z3). Tuto souřadnicovou soustavu můžeme v našem případě považovat za hledanou polohu perifokální souřadnicové soustavy (x,y,z) vůči soustavě (X,Y,Z). X3 = x = X2 cos to + Y2 sin to, Y3 = y = —X2 sin tx> + Y2 cos w, Z3 = z = Z2. V maticové formě (X COS Ol - sin o 0 sin úí cos (O 0 (3.185) Obr. 3-27 Třetí pootočení os. Nyní již můžeme postupným dosazováním dílčích transformačních matic stanovit souřadnice polohového vektoru, resp. stavový vektor {x-\ ľ cos a) sin oj 01 j"l 0 0 1 ľ cos íí sin fi 01 (X} y\= — sincú cos co 0 0 cosi siní -sinfi cosíí 0 \y\. (3.186) z) i 0 0 lJLo -sini cosiJ L 0 0 lJ (zJ Po roznásobení dílčích transformačních matic obdržíme úplnou transformační matici ve tvaru 81 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP [tp/aA cos co cos fl — sin co cos ŕ sin fl cos oj sin fl + sin oj cos i cos fl siná — sin oj cos fl — cos oj cos t sin fl — sin oj sin n + cos oj cos ŕ cos fl cos ú sin i sin fl - sin ŕ cos íí cc Výslednou transformační rovnici zapíšeme ve zkrácené podobě takto {r}p = [Tp/gr]{r}9r. kde jsme vektory označili následovně Mp = fy p Výsledná transformační rovnice slouží k přepočtu stavových vektorů z geo rovníkové souřadnicové soustavy (x, y,z) do perifokální souřadnicové (x,y,z). Pro ortogonální souřadnicové soustavy platí [T9r/p] = [Tp/gr] = [Tp/gr] • A proto můžeme zpětnou transformaci z perifokální souřadnicové soustavy ( geocentrické rovníkové souřadnicové soustavy (X, Y,Z) provést dle i transformační rovnice Wgr = [Tgr/p]{r}p, kde inverzní transformační matice má tvar [V/p] cos oj cos fl — sin oj cos i siníl — sin cocosft — cos co cosi siníl sii cos lú sin fl + sin co cos i cos fl — sin co sin fl + cos co cos i cos fl -s sin oj sin i cos oj sin i Pro označování transformačních matic používáme dvojici indexů. První lomítkem) vždy označuje, kam se transformuje a druhý index, odkud se tran Výše uvedený postup platí také pro vzájemné transformace prvků stavov rychlostí mezi oběma výše uvedenými souřadnicovými soustavami, transformaci prvků stavového vektoru rychlosti z perifokální do geocentric souřadnicové soustavy lze psát {v}gr = [T9rIP]mP. kde pro vektory rychlosti platí následující označení gr 82 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Příklad 3.7 Zadáni: Pro prostorovou oběžnou dráhu zadanou pomocí jejich elementů nalezněte stavový vektor {r} a [V] v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (X, Y, Z) pro polohu kosmického tělesa zadanou pomocí pravé anomálie. a = 10800 [km], e = 0,4 [1], i = 35 n u> = 40 n n = 80 [°], 0 = 30 [°], p. = 398600 [kmh-2]. Potřebná data: Délka hlavní poloosy eliptické dráhy Excentricita eliptické dráhy Sklon oběžné dráhy Argument perigea Délka vzestupného uzlu Pravá anomálie (poloha kosmického tělesa) Gravitační parametr Země Řešení: a) Výpočet parametru eliptické oběžné dráhy dle rov. (3.47) p = a(l - e2) = 10800(1 - 0,42) = 9072 [km]. b) Výpočet hodnot potřebných goniometrických funkcí sin 0 = sin 30° = 0,5, cos 0 = cos 30° = 0,866025, sin i = sin 35° = 0,573576, cos i = cos 35° = 0,819152, sin H = sin80° = 0,984808, cosíl = cos 80° = 0,173648, sinw = sin 40° = 0,642788, cos co = cos 40° - 0,766044. Výpočet potřebných parametrů vystupujících ve stavových vektorech p 9072 1 + e cos 0 1 + 0,4(0,866025) 6737,917 [fcm], 398600 9072 = 6,628528 [kms^]. d) Výpočet polohového vektoru v perifokální souřadnicové soustavě (jí, y, z) dle rov. (3.140). Po dosazení obdržíme stavový vektor polohy (cos 01 (5835,207) 1 + e cos 0 i ;in0 = 3368,959 [km]. 0 0 e) Výpočet vektoru rychlosti v perifokální souřadnicové soustavě (x, y, z) dle rov. (3.141). Po dosazení obdržíme stavový vektor rychlosti ve tvaru 83 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP V* -sin 0 -3,31426] e + cosQJ = j 8,39188 j [ŕms"1]. f) Výpočet transformační matice dle rov. (3.191) [V/p] "cos to cos íl — sin a> cos i sin A — sin co cos fl — cos a) cos t sin fl sin i r = cos a) sin íl + sin co cos t cos fl — sin ío sin fl + cos w cos i cos fl — sin i sin oj siní cos oj sin i co; Po dosazení výše uvedených goniometrických funkcí obdržíme transformačn tvaru (Pozn.: Výpočty provedeny s vyšší přesností, výsledky zaokrouhleny na 6 -0,385519 -0,729593 0,564863 0,845839 -0,524057 -0,099601 0,368688 0,439385 0,819152 g) Výpočet stavového vektoru polohy v geocentrické rovníkové souřadnicové získáme dle transformační rovnice (3.190) [Tgr/p] - (r}gr = [TSr/p}{r}p, -0,385519 -0,729593 0,564863 \Y\ = 0,845839 -0,524057 -0,099601 . 0,368688 0,439385 0,819152 [5835,207] (-470 3368,959} = ] 317C 0 3631 h) Výpočet stavového vektoru rychlosti v geocentrické rovníkové souřadnicoví získáme dle transformační rovnice (3.192) 0V = [Tgr/p]mp, -0,385519 -0,729593 0,564863 0,845839 -0,524057 -0,099601 L 0,368688 0,439385 0,819152 ľ-3,31426) (-4, 8,391885} = -7 * r, 2/. Stanovení elementů dráhy ze stavového vektoru Na základě znalosti prvků stavového vektoru v geocentrické rovníkové soi soustavě (X, Y,Z, VX,VY, Vz) můžeme naopak stanovit všechny eleme následujícím postupem: 1) Nejprve stanovíme moduly polohového vektoru a vektoru rychlosti dle vz r = v*2 + y2 + Z2, v = yjx2 + ý2 + ž2 = ^jv2 + v2 + v2. 2) Následuje výpočet specifického momentu hybnosti, včetně jeho modulu h = rxV = X Y Z Vx VY Vz kde složky specifického momentu hybnosti jsou dány výrazy = M + hYJ + hzK, 84 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP hx = YVz-ZVY, (3.197) h¥ = ZVx-XVZl (3.198) hz = XVr - YVX, (3.199) a modul stanovíme ze vztahu + hY + hz. (3.200) 3) Výpočet sklonu oběžné dráhy provedeme pomocí specifického momentu hybnosti následovně i = arccos (3.201) Sklon oběžné dráhy je definován v rozsahu 0° < t < 180°. Při výpočtu sklonu dráhy z uvedeného vztahu se neobjevuje žádná nejednoznačnost. Na tomto místě je však třeba říci, že podle jeho hodnoty definujeme typ dráhy s ohledem na smysl oběhu. V případě, kdy sklon dráhy leží v rozsahu 0° < i < 90° nazýváme oběžnou dráhu jako přímou (prográdní) a naopak při sklonu dráhy 90° < i < 180° se jedná o tzv. zpětnou (retrográdní) oběžnou dráhu. 4) Výpočet hlavní poloosy eliptické oběžné dráhy provedeme pomocí specifické energetické konstanty £ a gravitačního parametru ji. Nejprve ze vztahu (3.90) stanovíme energetickou konstantu V2 u £ —--— 2 r a nakonec hlavní poloosu dle vztahu (3.94) a = -^. (3.202) 5) Vektor uzlové přímky určíme dle vztahu t I $ u = K xh = 0 0 1 hx hY hz = -hyl + hxJ = uxl + uYj, (3.203) odkud je modul vektoru uzlové přímky dán výrazem u = Ju£ + uY = í(-hY)2 + hx. (3.204) 6) Délka vzestupného uzlu je pak dána výrazem ©• (3.205) íl = arccos Délka vzestupného uzlu je definována v rozsahu úhlů 0° < íl < 360°. Výpočet délky vzestupného uzlu z uvedeného vztahu vede na nejednoznačnost přiřazení správné úhlové hodnoty fl. Běžně obdržíme dvě řešení, z nichž je nutno nalézt správnou hodnotu íí dle níže uvedené nabídky ííx = arccos ^—^ pro uY > 0, íl2 - 360 - arccos (— J pro uY < 0. 85 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP 7} Argument pericentra můžeme stanovit ze vztahu 0. A v rozsahu úhlů 180° < u < 360c je složka e2 < 0. Takže dle znaménka složí-možno identifikovat správnou hodnotu argumentu pericentra co podle níže u nabídky u • e\ ue j clIj - arccos (-) pro ez > 0, (u ■ é\ cl>2 = 360 — arccos - pro ez < 0. \ue j 8) A konečně poslední element orbitální dráhy, pravou anomálii, určíme dle vzt; 0 = arccos V tomto případě můžeme nejednoznačnost výpočtu pravé anomálie jec vyřešit pomocí stanovení znaménka radiální rychlosti letu Vr dle dříve uve vztahu (3.179) Vr = r r Dle základní rov. (3.138) pro radiální rychlost se můžeme jednoduše přesví pokud je radiální rychlost Vr > 0, pak se kosmické těleso pohybuje ve sr pericentra a pravá anomálie 0" < 0 < 180° a pokud je radiální rychlost Vr se kosmické těleso pohybuje ve směru k pericentru a pravá anomálie 18 360°. Alternativně lze výpočet pravé anomálie nalézt také přímo z rovnice dráhy | h2 1 y —--- ý. 1 + e cos 0' odkud je pravá anomálie dána výrazem 0 - arccos 86 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Příklad 3.8 Zadání: Pro zadané stavové vektory ř a V určete všechny elementy orbitální dráhy a, e, i, (si, íl, Q. Potřebná data: Gravitační parametr Země pi - 398600 [km3s~2] a stavové vektory ř = -2228,2/ +7196,1/ +4010ÄT [km], V - -7,796/- 2.312/+ 1,871$ [Icms'1]. Řešení: a) Výpočet modulu polohového vektoru dle rov. (3,194} r = y/X2 + Y2 + Z2 = VC-2228,2)2 + 7196.12 + 4010z = 8533,981 [km]. b) Výpočet modulu vektoru rychlosti letu dle rov. (3.195) V = Jv2 + V2 + V? = V(-7,796)z + (-2,312)2 + l,871z = 8,344076 [krns'1]. c) Výpočet složek specifického momentu hybnosti dle rov. (3.197) až (3.199) hx = YVZ - ZVY = 7196,1(1,871) - 4010(-2,312) = 22735,023 [Ws-1], hY = ZVX - XVZ = 4010(-7,796) - (-2228,2)1,871 = -27093, hz = XVy - YVX = -2228,2(-2,312) - 7196,l(-7,796) = 61252,394. d) Výpočet modulu specifického momentu hybnosti H- J/ijf + h\ + h\ = 722735,0232 + (-27093)^ + 61252,394^ - 70730,245. e) Specifickou energetickou konstantu stanovíme dle rov. (3.90) V2 n 8.3440762 398600 £ = T-r = 8533,981 = -11,895592 [km2s~2]. f) Výpočet hlavní poloosy provedeme dle rov. (3.94), z níž pro velkou poloosu platí H 398600 a~~2£~ ~2(-ll,895592) = 16754,105 [km]. g) Výpočet sklonu oběžné dráhy dle rov. (3,201) fh7\ /61252,394\ 1 — are cos {-=■) - arccos ———) = 30,0 M. \h V70730,245/ LJ Vypočtený sklon oběžné dráhy leží v definovaném oboru 0° -í-180°. A díky tomu, že je menší jak 90°, jedná se o přímou (prográdní) oběžnou dráhu, h) Výpočet složek vektoru uzlové přímky. Z rov. (3.203) vyplývá ux = -hY = 27093, 87 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP uY = hx = 22735,023, uz = 0. Výpočet modulu vektoru uzlové přímky u = yju\ + uj + u\ = V270932 + 22735,0232 = 35368,232 j) Výpočet délky vzestupného uzlu dle rov. (3.205) / 27093 /UX\ I 27093 \ fi, - arccos — = arccos „„„ - 40,0 ["], 1 \uJ 135368,232/ ' iux\ n { 27093 \ a2 = 360 - arccos (—) = 360 - arccos (35368 232J = 320,0 ["] 5 ohledem na skutečnost, že složka vektoru uzlové přímky je kladná (uY > 0) spra hodnotou délky vzestupného úhlu je fl = 01 =40,0 [°]. k) Výpočet skalárního součinu ŕ ■ V ř ■ V = -2228,2(-7,796) + 7196,1(-2,312) + 4010(1,871) = 8236,374 I) Výpočet vektoru excentricity dle vztahu (3.207) e=l[r(Kz-£)-K(r-K)]. Ir, - - ~ / 398600 \ e = (-2228,2/ + 7196,1/ + 4010 ff) 8,344z - „,■„„„„,, 398600 r J J\ 8533,981/ - (-7,796/- 2,312/4- 1,871 A?) 82 3 6,3 74 e = 0,0329876/+ 0,461490/ + 0,191881/f. m) Výpočet modulu vektoru excentricity e = Je| + e£+e| = v/0,03298762 + 0,461490z + 0,191881z = 0,501 Dle vypočtené hodnoty excentricity můžeme konstatovat, že oběžnou dráhou je eli n) Výpočet argumentu perigea dle rov. (3.206) /27093(0,0329876) + 22735,023(0,4614' (u-ě\ (2 a), = arccos - = arccos - V ue J V 35368,232(0,501) ejj = 50 [°], tu, = 360° — arccos {ue)' /27093(0,0329876) + 22735,023(0,461490)\ ú)2 = 360° - arccos -,___- - 3 2 \ 35368,232(0,501) / V tomto případě je správným řešením 0. o) Výpočet pravé anomálie dle rov. (3.208) 88 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP ( er )' 0! - arccos| 0,0329876(-2228,2) + 0,461490(7196,1) + 0,191881(4010) 01 = aľCCOS-0,501(8533,981)-' 0i =20 H, Q2 = 360° - arccos (^f] = 360° ~ 20° = 340 i°l Pro přiřazení správné hodnoty je třeba znát znaménko radiální složky vektoru rychlosti letu VT. Tuto složku stanovíme pomocí výrazu _V-ř _ -7,796(-2228,2) + (-2,312)7196,1 + 1,871(4010) Vr ~ ~r~ ~ 8533,981 ' % = 0,965127 [kms~1]. Jelikož hodnota radiální rychlosti je kladná (Vr > 0), správná hodnota pravé anomálie je 0 = 0! = 20 [°]. Geocentrická sférická souřadnicová soustava (a,5,r) je inerciální souřadnicová soustava, jejíž počátek je opět spojen se středem Země. Poloha kosmického tělesa na oběžné dráze je tentokrát určena dvěma úhly a průvodičem. Sférické souřadnice jsou definovány die obr. 3-28 následovně: 89