3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP .871) = 8236,374 [1]. 0j = arccos 0j = arccos 0i = 20 [°], 0,0329876(-2228,2) + 0,461490(7196,1) + 0,191881(4010) 0,501(8533,981) ; \^\ = 360° - 20° = 340 [°J. 02 = 360° - arccos | Pro přiřazení správné hodnoty je třeba znát znaménko radiální složky vektoru rychlosti letu Vr, Tuto složku stanovíme pomocí výrazu _ V ■ r _ -7,796(-2228,2) + (-2,312)7196,1 + 1,871(4010) Vr = ~ = 8533,981 ' Vr = 0,965127 [fems-1]. Jelikož hodnota radiální rychlosti je kladná (Vr > 0), správná hodnota pravé anomálie je 0 = 0! = 20 [°]. 3.6.3 Geocentrická sférická souřadnicová soustava Z rovina rovníku D (a, 0,1) polohový vektor \ \ x Ji ^ rovník potvrzuje kladná složka směr jarní rovnodennosti místní poledník kosmického tělesa pD Obr. 3-28 Definice geocentrické sférické souřadnicové soustavy. Poloha kosmického letadla je dána souřadnicemi (a, 8, r). Geocentrická sférická souřadnicová soustava (a,5,r) je inerciální souřadnicová soustava, jejíž počátek je opět spojen se středem Země. Poloha kosmického tělesa na oběžné dráze je tentokrát určena dvěma úhly a průvodičem. Sférické souřadnice jsou definovány dle obr. 3-28 nasledovné: 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP a - rektascenze je úhel, který svírá směr jarní rovnodennosti s rovinou místniw poledníku, kladná je ve směru na východ. Nabývá hodnot (0° < a < 360°), S - deklinace (úhlová výška objektu), úhel mezi průvodičem r a rovinou rovnihij kladná je když průvodič se nachází nad rovinou rovníku a naopak. Nabývá hodna (-90° < 5 < +90°), r - vzdálenost kosmického tělesa D od středu centrálního gravitačního pole C (módí polohového vektoru). Často je třeba přecházet z geocentrické rovníkové souřadnicové soustavy » geocentrické sférické a naopak. K tomu nám poslouží transformační rovnice med dvěma souřadnicovými soustavami pootočenými vůči sobě o sférické souřadnice aafl Stanovení polohového vektoru v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě pomocí geocentrických sférických souřadnic Pro nalezení kartézských souřadnic polohového vektoru v geocentrické rovníkoi souřadnicové soustavě použijeme klasickou transformaci myšlené souřadnice* soustavy, v jejíž ose X leží polohový vektor. Dvěma pootočeními o rektascend deklinaci vůči geocentrické rovníkové soustavě nalezneme transformační mati následujícím postupem. První pootočení provedeme v kladném smyslu kolem osy Z o úhel a (rektascenzi) d obr. 3-29 a zapíšeme vztahy vyjadřující vzájemnou relaci mezi složkami vektoru i výchozí geocentrické soustavě (X,Y,Z) a její pootočenou polohou [X1,Y1,ZÍ). Vztal zapíšeme ve složkové formě i v maticové formě, rov. (3.210). Xl — X cos a + Y sin a, Y-i = ~X sin a 4- Y cos a, Zí = Z. V maticové formě f1} cos a sin a 0 — sin a cos a 0 . 0 0 1 Obr. 3-29 První pootočení os. Druhé pootočení okamžité mezipolohy os (X1,Y1,Z1) provedeme v záporném smysld okolo osy ľj o úhel 8 (deklinaci), Čímž jsme dosáhli situace, kdy osa X2 leží ve smfl vektoru r. 90 3. Pasivní pohyb kosmických téles v CGP li 4 X2 = JTi cos 8 + Z1 sin 5, Z2 = —X1 sin 8 + Z1 cos 8. V maticové formě cos 5 0 sin ó" 0 10 - sin 8 0 cos 5 Obr. 3-30 Druhé pootočení os. Tato dvě pootočení nám již postačují pro nalezení transformační rovnice pro stanovení polohového vektoru pomocí geocentrických rovníkových souřadnic a geocentrických sférických souřadnic. Postupným dosazováním dílčích transformačních matic získáme transformační rovnici ve tvaru cosi 0 - sin 5 0 1 0 sin 8 0 cos 8 cos a — sin a 0 sin a cos a 0 Roznásobením matic v předchozí rovnici nakonec obdržíme r-j [ cos 8 cos a cos 8 sin a sin 8 0> - —sin a cos a 0 OJ L- sin 8 cos a -sin 8 sin a cos 8 Y ■ Z (3.212) Pomocí inverzní matice získáme transformační rovnici pro stanovení geocentrických rovníkových souřadnic polohového vektoru ve tvaru cosí cos a - sina — sin 8 cos a Y = - cos 5 sin a cos a —sin 8 sin a .Z, sin 8 0 cos 8 (3.213) Odtud můžeme zapsat souřadnice polohového vektoru v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě vyjádřené pomocí geocentrických sférických souřadnic X = r cos 8 cos a, Y = r cos 8 sin a, (3.214) Z = r sin 8. V klasickém vektorovém vyjádření můžeme polohový vektor zapsat takto ŕ - r cos 5 cos a! + r cos 5 sina/ + r sin 5 K = re^, (3.215) kde er je jednotkový polohový vektor er = cos 5 cos a T + cos 5 sin a/+ sin Ô /í". (3.216) 91 3. Pasivní pohyb kosmických těies v CGP Stanovení vektoru rychlosti v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě pomoc geocentrických sférických souřadnic, azimutu a sklonu dráhy letu Kromě polohového vektoru r můžeme pomocí sférických souřadnic přímo stanovn —* vektor rychlostí letu V kosmického tělesa na oběžné dráze. Jak je nám známo, vekM rychlosti letu leží v rovině dráhy a je k ní v každém okamžiku tečný. Proto rozšíříme vyid uvedené sférické souřadnice ještě o azimut dráhy letu x a sklon dráhy letu y, respekt™ pomocný úhel /ľ. Takže nyní v geocentrické sférické souřadnicové soustavě pracujeme* novým souborem souřadnic (a,S.x.y,r, V), jejichž význam v souladu s obr. 3-31 f následující: X - azimut je úhel mezi rovinou místního poledníku a vektorem rychlosti letu (jí slovy tečnou k oběžné dráze), Y - sklon dráhy letu je úhel mezi vektorem rychlosti letu a kolmicí v bodě S| polohovému vektoru v rovině oběžné dráhy, resp. lokálním horizontem, /? - pomocný transformační úhel je úhel mezi geocentrickou normálou a vekt rychlosti letu v rovině oběžné dráhy. V některé literatuře se tento úhel naz rovněž jako „sklon dráhy letu", ji — 90° — y. Obr. 3-31 Poloha vektoru rychlosti v geocentrické sférické souřadnicové soustavě. 92 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Pro nalezení kartézských souřadnic vektoru rychlosti v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě použijeme obdobný transformační postup jako v předchozím případě s tím, že je třeba použít čtyř pootočení myšlené souřadnicové soustavy, v jejíž ose X leží nyní vektor rychlosti. První dvě pootočení jsou shodná s předchozím případem. Na tato dvě pootočení o úhly a, ô navazují pootočení o další dvě souřadnice, azimut/ a pomocný úhel /J (obr. 3-31). Třetí pootočení okamžité mezipolohy os [X2,Y2,Z2) provedeme v záporném smyslu okolo os X2 o úhel x (azimut dráhy). Tím jsme dosáhli situace, kdy rovina (X3,Z3) již leží v rovině oběžné dráhy. X, = X2 X3 — x2, Y3 = ľ2cos/-Z2 sinx, Z3 = Y2sinx + Z2 cos pí. V maticové formě (fy 1 0 0 Y3 — 0 cos x -sinx .0 sinx cosx . (X2\ IzJ (3.217) Obr, 3-32 Třetí pootočeni os. Nyní je třeba pootočit osu X3 (vektor V) v rovině dráhy do polohy tečné k oběžné dráze. K tomu je třeba realizovat čtvrté a poslední pootočení v záporném smyslu kolem osy Y3 o pomocný úhel (i (doplňkový úhel sklonu dráhy letu do 90°). Tímto je jednoznačně definována konečná poloha vektoru rychlosti pomocí sférických souřadnic (a, S, x> Y)- X4 = X3 cos B + Z3 sin B, Z4 = -X3 sin 6 + Z3 cos 6. V maticové formě r*4 ' cos ß 0 sin ß' = 0 1 0 K3 .(3.218) - sin ß 0 cos ß U3J Oor. 3-33 Čtvrté pootočeni os. 93 B. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Nyní v rov. (3.218) místo pomocného úhlu /? zavedeme standardní sklon dráhy letu dle dříve uvedeného převodního vztahu /? = 90° - y. Pak platí sin/í = sin(90° -y) = cosy, cos/? = cos(90° -y) = siny. Po dosazení obdržíme pro poslední transformační krok výraz siny 0 cosy 0 1 0 — cosy 0 siny (3.21 Postupným dosazením všech dílčích transformačních rovnic (3.210), (3.211), (3.21Í (3.218), resp. (3.219), odpovídajících výše uvedeným čtyřem pootočením, obdrž transformační rovnici, v níž ovšem všechny složky představují nyní složky rychlosti [V) 0 UJ LOJ siny 0 0 1 .- cosy 0 o 1 0 0 ir cos 8 0 siná 0 cos/ -sin/ 0 10 0 sin/ cos / J L-sin <5 0 cos8 Po roznásobení dílčích transformačních matic, obdržíme konečný tvar transform rovnice ve tvaru cos a sin a 0 — sin a cos a 0 0 0 11 V) Tl2 Fis o T22 7*23 ý (3 0 ^32 733J z kde prvky transformační matice mají tvar T11 - (siny cosi - cos y cos / sin 8) cos a - cos y sin / sin a, T12 = (siny cos S - cosy cos x sin 8) siná + cos y sin x cos a, T13 = sin y sin 8 + cos y cos x cos 8, T2i = sin x sin 5 cos a - cos /sin a, T22 = sin x sin 8 sin a + cosx cos a, (3. T23 = - sin /cos 8, T31 - -(cosy cos 5 + siny cos/sin 5) cos a - siny sin /sin a, T32 = -(cosy cos 8 + siny cos/sin 5) sin a + siny sin /cos a, T33 = — cos y sin 5 + sin y cos / cos Č. Složky vektoru V v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě získáme po inverzní matice. Pak transformační rovnice bude mít tvar [7*1! 7-2! 7-31- ý ■ = 7*22 T32 p ž L7-13 7^23 733. loJ (3.22 94 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Roznásobením dostaneme složky vektoru V v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě vyjádřené pomocí rozšířeného souboru souřadnic (a,8,x,y,T, V) ve tvaru X = V (sin y cos 5 - cos y cos x sin 5) cos a - V cos y sin x sin a, Ý - Vršiny cosi - cos y cos x sin Ô) sina + V cos y sin x cos a, (3.223) Ž = K (sin y sin ô + cos y cos x cos 8). Příklad 3.9 Zadání: Pro zadané geocentrické sférické souřadnice a, 5, moduly r, V, azimut x a sklon dráhy letu ^ —* vůči lokálnímu horizontu y vypočtěte polohový vektor r a vektor rychlosti letu V v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (GRSS). Potřebná data: Modul polohového vektoru r = 6800 [km]. Modul vektoru rychlosti letu V = 8,1 [km/s], Rektascenze kosmického tělesa v GRSS a = 80 [°], Deklinace kosmického tělesa v GRSS S = 40 [°], Azimut dráhy letu x = 30 [°], Sklon dráhy letu (vůči lokálnímu horizontu) y = 15 ["]. Řešeni: a) Výpočet hodnot potřebných goniometrických funkcí sin ct = sin 80° = 0,984808, cos a = cos 80° = 0,173648, sin S = sin 40° = 0,642788, cos S = cos 40° = 0,766044, sinx = sin 30° = 0,5, cos x = cos 30° = 0,866025, siny = sin 15° = 0,258819, cos y = cos 15° = 0,965926. b) Výpočet složek polohového vektoru dle rov. (3.214) X = r cos 5 cos a = 6800(0,766044)(0,173648) = 904,551 [km], Y - r cos 5 sin a = 6800(0,766044)0,984808 = 5129,964 [km], Z = r sin 5 = 6800(0,642788) = 4370,956 [km]. c) Výpočet složek vektoru rychlosti letu dle rov. (3.223) X = Kf(sin y cos ô - cos y cos^ sin 6) cos a - cos y sin x sin a], Ý = K[(siny cos á - cos y cos /sin ff) sin a + cos y sin x cos a], Í — ľ(sin y sin 5 + cos y cos x cos 5). X = 8.l[(0,258819(0,766044) - (0,965926)0,866025(0,642788))0,173648 - 0,965926(0,5)0,984808] = -4,33 [/cms"1], Y = 8,1[(0,258819(0,766044) - 0,965926(0,866025)0,642788)0,984808 + 0,965926(0,5)0,173648] = -2,028345 [/cms-1], as 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P Ž = 8,1(0,258819(0,642788) + 0,965926(0,866025)0,766044) = 6,538112 [/cms-1, d) Výsledky přepíšeme do standardní vektorové formy pro polohový vektor i vektoi rychlosti letu v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě ř = 904,551/ + 5129,964/ + 4370,956/? [km], V = -4,337- 2,028345/+ 6,538112/? [kms'1]. Stanovení geocentrických sférických souřadnic, azimutu a sklonu dráhy letu ze stavového vektoru v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě Vycházíme ze známých prvků stavového vektoru (X, Y,Z, VX,VY, Vz), z nichž je žádoud nalézt geocentrické sférické souřadnice (a,8), azimut a sklon dráhy letu (ym Použijeme následující postup: 1) Výpočet modulů polohového vektoru r a rychlosti letu V dle rov. (3.194) a (3.195) 2) Výpočet rektascenze a 3) Výpočet deklinace 8 r = ,JX2 + Y2+Z2, V = Wl + Vf + Vi a = arctg f-Y 0" < a < 360 . (3.22« 8 = arcsin (^j, -90° < 8 < 90°. (3.2j 4) Výpočet sklonu dráhy letu y r - V — rV cos(90°-y) = rV siny, Y = arcsin (^rj- C3-2 5) Výpočet azimutu Nejprve definujme potřebné jednotkové vektory. Jednotkový vektor specifick momentu hybnosti (kolmý na rovinu oběžné dráhy) je dán vztahem |r x V\ Jednotkový vektor určený dle vztahu Sh x r ět = —=7 (3.2 odpovídá směru tečny k oběžné dráze (leží v rovině oběžné dráhy). Jednotk vektor stanovený dle vztahu (ŕ x /?) x ŕ \(f x /?) x ŕ definuje směr tečny k poledníku (leží v rovině poledníku). Úhel mezi prá uvedenými jednotkovými vektory představuje úhel azimutu. Na základě skalární součinu jednotkových vektorů (et ■ ep) určíme azimutu následovně h = ^ - t3-231 96 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P et-ev = |et||ep|cos/, co$X = et -ev, X — arccos(et • ep). (3.231) Výpočet azimutu vykazuje nejednoznačnost přiřazení správné hodnoty úhlu z hodnoty cos*. Proto je třeba provést navíc výpočet hodnoty sin^ pomocí vektorového součinu těchto jednotkových vektorů (ě*t x ep) etxep = |ef||epjsin^, sinx = etx ep. (3.232) Na základě znaménka je možno identifikovat správnou hodnotu výše vypočteného úhlu azimutu. Detailní postup řešení uvedené úlohy lze nalézt v příkladu 3,10. Příklad 3.10 Zadání: Pro vektory polohy ř a rychlostí letu V v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě, vypočtené v příkladu 3.9, recipročně stanovte geocentrické sférické souřadnice (a,S), azimut x a sklon dráhy letu y. Potřebná data: Polohový vektor kosmického tělesa ŕ = 904,551/+ 5129,964/+ 4370,956/? [km]. Vektor rychlosti letu V = -4,33/ - 2,028345/+ 6,538112/f [fcms-1]. Řešenr: a) Výpočet rektascenze a dle rov. (3.224) /Y\ /5129,964\ r , a = arctg(-J - arctg [ 9Q4<551 J = 1,396263 [rad], a = 80 [°] nebo a = 260 [°], Na základě posouzení znamének složek X, Y polohového vektoru ř je zřejmé, že se jedná o první kvadrant a správná hodnota je a = 80 [°], b) Výpočet modulu polohového vektoru r = V*2 + Y2+Z2 = 7904,5512 + 5129,9642 + 4370.9562 = 6800 [km]. c) Výpočet deklinace 5 dle rov. (3.225) fZ\ /4370,956\ r , <5 = arcsin - = arcsin = 0,698132 [rad] = 40 [°]. \rJ \ 6800 / S ohledem na definovaný rozsah úhlů S a kladnou souřadnici Z je uvedená hodnota deklinace platná. 97 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP d) Vypočet skalárního součinu polohového vektoru a vektoru rychlosti letu ŕ • V = 904,551(-4,33) + 5129,964(-2,028345) + 4370,956(6,53811 ř-V = 14255,753 [fcm2s_1]. e) Výpočet modulu vektoru rychlosti letu V = V*2 + Ý2 + Ž2 = VC-4,33)2 + (-2.028345)2 + 6.5381122 = 8,1 [krns' f) Výpočet sklonu dráhy letu y dle rov. (3.227) ř-V /14255,753\ i I - I — - 0,261799 [rad] = 15 . v = arcsin —— = arcsin rrs__, ^ i 1 rV j \6800(8,1)/ g) Výpočet vektoru specifického momentu hybnosti dle rov. (3.196) h = ř x V = hxí + hY] + hzK, kde složky jsou dány výrazy (3.197) až (3.199) hx - YVZ - ZVy, hy = ZVX ~ XVZ, hz = XVy - YVX, hx = 5129,964(6,538112) - 4370,956(-2,028345) = 42406,089, hY = 4370,956(-4,33) - (904,551)6,538112 = -24840,297, hz = 904,551(-2,028345) - 5129,964(-4,33) = 20378,006, h = ř x V = 42406,089/ - 24840,297/+ 20378,006/?. h) Výpočet modulu specifického momentu hybnosti dle rov. (3.200) h = lh2x + hy + hz = v/42406,0892 + (-24840.297)2 + 20378.0062, h = \řxV\ = 53203,19. i) Výpočet jednotkového vektoru specifického momentu hybnosti h_řxV 42406,089/"- 24840,297/+ 20378,006^ €h = h= \řxV\ ~ 53203,19 ' eh = 0,797059/- 0,4668957 + 0,383022/?. j) Výpočet vektoru určujícího směr tečny k oběžné dráze v prostoru eh xr = kde složky jsou dány výrazy / ] K Chx thy ehz X Y Z = (eh x ř)xf+ (cft x ř)Y] + (eh x r)zK, ifih x Úx - ehyZ - ehzY, (eh x ř)y = ehzX - ehxZ, (éh x ř)z = ehxY - ehyX, 98 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP (eh x ř)x = -0,466895(4370,956) - 0,383022(5129,964) = -4005,667, (e„ x ř)Y = 0,383022(904,551) - 0,797059(4370,956) = -3137,447, (eh x ř)z = 0,797059(5129,964) - (-0,466895)904,551 = 4511,215, ehxr = -4005,667/- 3137,447/+ 4511,215^. k) Výpočet modulu vektoru určujícího směr tečny k oběžné dráze |e„ x ř| = 7(-4005,667)2 + (-3137,447)^ + 4511.2152 = 6800. 1} Výpočet jednotkového vektoru určujícího směr tečny k dráze dle rov. (3.229) ehxř -4005,667/- 3137,447/+4511,215^ 6t = \éhxř\ = 68ÔÔ ' et = -0,589069/- 0,461389/ + 0,663414/?. m) Výpočet vektorového součinu ř x K rxK = I J K X Y Z 0 0 1 = 5129,964/ -904,551/. n) Výpočet vektorového součinu (ŕ x K) x ŕ (ŕ x /?) x f = (f x K) x ŕ - (ŕ x/?) I J Y J K 5129,964 -904,551 0 904,551 5129,964 4370,956 {f x /?) x r = -904,551(4370,956)/-5129,964(4370,956)/ + (5129.9 642 + 904,55i2)/?, (ŕ x /?) x ř = -3953753/- 22422847/ + 27134746/?. o) Výpočet modulu |(ŕ x K) x r| |(f x K) x ŕ| = 4(-m^MW?>y + (-22422847)2 + 271347462 - 35421895. p) Výpočet jednotkového vektoru určujícího směr tečny k poledníku dle rov. (3.230) (ř x /?) x ř -3953753/ - 22422847/ + 27134746í? |(řx/f) xř| 35421895 ep = -0,111619/ - 0,633022/ + 0,766044K. q) Výpočet úhlu azimutu dle rov. (3.231) et • ep = -0,589069(-0,111619) + (-0,461389)(-0,633022) + 0,663414(0,766044) = 0,866025, X = arccos(e( • ep) = arccos(0,866025) = 0,523599 [rad], 99 * = 30 ľ] neoo X = 330 [•]. r) Pro přirazení adekvátního úhlu azimutu je nutno doplnit výpočet hodnoty sinx-Výpočet vektorového součinu (et x ěp) ľ J K ét x ép = etx etr etz = (et x ep)J + (et x ěp)yJ + (ět x ěp)zK, ePX ePY ĚPZ iýt x ěp)x = etyepz - etzePY, (?í x ěp)Y - etzePx - etxePz< (et x ep)z = etxePY - etyepx. (et x ep)x = -0,461389(0,766044) - 0,663414(-0,633022) = 0,066511, (et X ep)Y = 0,663414(-0,111619) - (-0,589069)(0,766044) = 0,377203, (et x ep)z = -0,589069(-0,633022) - (-0,461389)(-0,111619) = 0,321394. \et x ep\ = V0,0665112 + 0,3772032 + 0.3213942 = 0,5. t) Výpočet hodnoty sin^ dle vztahu (3.232) sin^f = et x ep = 0,5. Jelikož hodnota sin x > 0, pak správná hodnota azimutu je^ = 30 ["]. 3.6.4 Rotující geocentrické souřadnicové soustavy Mezi rotující geocentrické souřadnicové soustavy patří: rotující geocentrická sférická souřadnicová soustava (A, S, r) a rotující geocentrická rovníková souřadnicová soustava (jc0,yD,z0). Rotující geocentrická sférická souřadnicová soustava je definována stejně jako geocentrická sférická souřadnicová soustava (a,Ô, r) s tím rozdílem, že místo souřadnice a (rektascenze) se používá zeměpisná délka A. Rotující geocentrická rovníková souřadnicová soustava je klasická pravoúhlá pravotočivá kartézská souřadnicová soustava. Osa x0 stále prochází greenwichským poledníkem. Obě souřadnicové soustavy jsou tudíž pevně spojeny se Zemí a spolu s ní rotují kolem osy Z = z0. Z toho vyplývá, že se jedná o neinerciální souřadnicové soustavy. Vzájemná relace mezi geocentrickými a rotujícími geocentrickými soustavami je patrný z obr. 3-34. Zeměpisná délka je definována jako úhel mezi místním a greenwichským poledníkem, nazývaným také jako nultý poledník. Relace mezi rektascenzí a zeměpisnou délkou je dána výrazem kde ac je rektascenze greenwichského poledníku ve zvoleném čase. Podrobnější definice uvedena dále (obr. 3-37). Na rozdíl od standardní zeměpisné délky, která je definována v rozsahu 0° -h 180° a uvádí se v kladných hodnotách východním směrem a v záporných hodnotách západním s) Výpočet modulu vektoru \et x ep\ A = a -aG, 0° < Ä < 360=, (3.233) 100 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP směrem od greenwichského rovníku, zde budeme zeměpisnou délku A používat v rozsahu 0° + 360° východním (kladným) směrem. Obr, 3-34 Definice rotující geocentrické sférické souřadnicové soustavy. Poloha objektu je dána souřadnicemi (A, 8, r). 3.7 Určování oběžných drah z pozorování Doposud jsme se zaobírali určováním pohybu kosmických těles a popisu jejich drah vzhledem ke středu centrálního gravitačního pole. Avšak neméně důležité je určování pohybu kosmických těles, či přirozených nebeských těles vzhledem k místu pozorovatele, který se nachází na povrchu vztažného tělesa (na povrchu Země). To znamená, že úloha je obvykle postavena tak, že na základě pozorování hledáme tvar a parametry oběžné dráhy. Vzhledem k tomu, že pohyb daného kosmického objektu nesledujeme ze středu Země, ale pozorujeme s povrchu Země, je třeba nejen zvolit vhodné vztažné souřadnicové soustavy, ale také uvážit známé pohyby Země a vzít v úvahu i časomerné údaje, a uvádět v jaké epoše (čase) určitá událost (pozorování kosmického objektu) nastala. Neméně důležité je také určit místo pozorovatele na povrchu Země, která není přesnou sférickou koulí, ale je podél osy rotace zploštělá. Proto se budeme nejprve věnovat časomíře pro určování epochy pozorovaných událostí. Do dalších úvah budou zahrnuty samozřejmě také vlivy zploštění Země. 3.7.1 Časomíra - určování epochy Po tisíciletí lidé odvozovali plynutí času z rotačních pohybů Země. Lépe řečeno ze zdánlivých pohybů nebeských těles (Slunce, Měsíce) vůči nějakému záměrnému bodu na nebeské sféře. Odvozuje-li se čas podle pohybu Slunce, jedná se o sluneční čas. Za časovou jednotku může být zvolena právě doba mezi dvěma stejnými zdánlivými S 101 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP polohami Slunce, např. mezi dvěma kulminacemi Slunce. Tuto dobu nazýváme zdánlivý sluneční den. Bohužel, takto stanovený sluneční den vykazuje určité nepravidelnosti, jejichž hlavni příčiny spočívají v následujících vlivech. Země se nepohybuje kolem Slunce rovnoměrně, ale v souladu s druhým Keplerovým zákonem se pohybuje rychleji, když ji blíže ke Slunci a naopak. Ani samotné Slunce se nepohybuje po ekliptice rovnoměrné. Zdánlivý pohyb je ovlivněn také sklonem rovníku vůči ekliptice. V určité míře se projevuje gravitační působení Měsíce a blízkých planet a další, prozatím neobjasněné vlivy. Proto byl zaveden střední sluneční den, který je rozdělen na 24 středních; slunečních hodin. Tím jsme se vyhnuli nepravidelně plynoucímu času, který napřJ ukazují sluneční hodiny, a za základ měření času se používá střední sluneční čas, podle nějž se řídí běžný občanský život. Posledně uvedený čas ukazují např. naše hodinky. Pro pozorovatele na různých polednících však máme různé časy, tzv. lokální časy. Běžn* život si proto vyžádal sjednocení měření času. Byl zaveden tzv. univerzální (světový) čas UT. Střední sluneční den je definován dobou, za kterou Slunce projde stejným vztažnýid poledníkem. Za tento vztažný nultý poledník byl zvolen greenwichský polední procházející tamější hvězdárnou. To znamená, že v pravé poledne světového času (Lflí prochází Slunce právě tímto nultým poledníkem. Od tohoto poledníku se rovněž definují zeměpisné délky, jimiž se určují geografické polohy míst na zeměkouli. Lokálníj časy jsou pak odvozeny od světového času připočítáváním, respektive odpočítáváním jedné hodiny pro každé časové pásmo, i když existují jisté výjimky. Časová pásma vznikla rozdělením obvodu Země na 24 částí o zeměpisné délce 15°. Obr. 3-35 Rozdíl mezi středním slunečním dnem a středním siderickým dnem. Pokud budeme vztahovat dobu rotace Země vůči vzdáleným stálicím, pak se jedná hvězdný (siderický) čas. Siderický den je doba, za kterou se objeví vztažný bod (hvěz na stejném poledníku. Za vztažný bod byl zvolen bod jarní rovnodennosti. Na obr. 1 102 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP je znázorněn pohyb rotující Země kolem Slunce. Odtud vidíme, že vztažné směry ke stálicím (zde k bodu jarní rovnodennosti) a ke Slunci jsou v různých fázích pohybu Země kolem Slunce odlišné. Zatímco se Země pootočila vůči stálicím o 360°, vůči Slunci se musí pootočit o něco více. Z toho vyplývá, že siderický den je kratší než sluneční den. Sluneční čas i siderický čas plynou sice rovnoměrně, ale mají různé základní Časové jednotky (dny). Siderický den trvá 23 hodin 56 minut a 4 sekundy. Sluneční den trvá 24 hodin. To znamená, že Země se otočí o 360° za jeden siderický den a o 360,98564724° za střední sluneční den. Lokální siderický čas daného místa je doba, která uplynula od průchodu lokálního poledníku přes vztažný směr jarní rovnodennosti, Siderický čas lze převést na úhlovou vzdálenost ve stupních tak, že siderický čas násobíme číslem 15. Toto číslo představuje počet stupňů, o něž se pootočí Země za hodinu. Při určování časových údajů o pozorování poloh kosmických těles vyvstával problém při používání občanského gregoriánskeho kalendáře. Máme-li např. stanovit dobu mezi dvěma událostmi, musíme přitom pracně zohledňovat různé počty dní v měsíci, přestupné roky a jiné anomálie. Proto byl zaveden systém juliánskych dní, což jsou střední sluneční dny, které plynou rovnoměrně a jednoznačně od zvoleného data. JD2451544,5 počátek epochy J2000 JD 2451543 JD 2451544 JD 2451545 31.12.1999 1.1.2000 2.1.2000 t 1.1.2000,12; 1.1.2000,0 hod. UT 00 hoci. UT Obr. 3-36 Vzájemný vztah gregoriánskeho kalendáře a juliánskych dní. Systém juliánskych dní zavedl J. Scaliger již v roce 1582 jako kalendář vhodnější pro astronomická pozorování. Číselně se žádný den neopakuje a není používáno dělení na měsíce a týdny. Počátek tohoto systému byl stanoven na pravé poledne 1. ledna 4713 před Kristem. Období je děleno na epochy a století. Juliánske století má 36525 středních slunečních dní. Současná epocha označena jako epocha J2000 začala v poledne UT 1. ledna 2000. Tomu odpovídá juliánsky den JD 2451545. Jak je uvedeno na obr. 3-36, začátky juliánskych dnů se liší od začátků dní v gregoriánském kalendáři. Mezi oběma systémy byly stanoveny transformační vztahy. Označme si symbolem/D0 juliánsky den vO hod. UT, pak pro každý jiný Čas UT je juliánsky den dán výrazem v desítkové soustavě UT JD=JD0 +—. (3.234) 103 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Hodnoty JD0 jsou tabelovány nebo se dají stanovit např. dle lit. [16] ze vztahu fM + 9> 1 / |K -+- inr | JD0 = 367R - Int< i_l-_^_ká_^i l + Int f ——J + D + 1721013,5, (3.23 kde symbol R je rok, M je měsíc a D je den a mohou nabývat následujících hodnot 1901 + 360,98564724—. (3.238) Připomeňme, že konstanta 360,98564724 v uvedeném vztahu představuje počet stupňů, o které se pootočí zeměkoule za 24 středních slunečních hodin. Připočtením zeměpisné délky A k právě určené hodnotě aG můžeme konečně stanovit lokální siderický čas na požadovaném poledníku vyjádřený ve stupních dle výrazu a = aG + A . (3.239) Pokud vypočtená hodnota a překročí rozsah 0° < a < 360°, postupujeme stejně jako v předchozím případě při stanovování správné hodnoty aG(j. Vzájemné relace mezi právě odvozeným úhly jsou znázorněny na obr. 3-37. Příklad 3.11 Zadání: Stanovte juliánsky den prvního operačního vzletu raketoplánu Columbia 12. dubna 1981 ve 12:00:03 UT a posledního vzletu raketoplánu Atlantis 8. července 2011 v 15:29:04 UT. Stanovte v juliánskych dnech, jaká doba mezi těmito událostmi uplynula. Řešení: a) Nejprve rovnici (3.235) pro zkrácení zápisu přepíšeme JDQ = 367/? -A + B + D + 1721013,5, kde A = m J _!-, B=lnt (—). b) Výpočet juliánskeho dne pro první událost (0 h UT). R = 1981, M = 4, D = 12. Výpočtem stanovíme konstanty (7[l981 + /nt(^)f| /275(4)\ ií = /ntM- v ÍZ yj^ = 3468, B = lntl—^1 = 122. JD0 = 367(1981) - 3468 + 122 + 12 + 1721013,5 = 2444706,5. Pro výpočet juliánskeho dne nutno nejprve stanovit světový čas (UT), který uplynul od poslední půlnoci v hodinách (v desetinném vyjádření) 105 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP m s 0 3 UT = h + 77: + TT77^= 12+ — + r7^r= 12,000833 [hl 60 3600 60 3600 L J Juliánsky den je pak dán hodnotou jD0, ke které připočteme světový čas, který uplyn od poslední půlnoci (0 h UT), vyjádřený ve dnech UT 12,000833 /£>i = ]D0 + — = 2444706,5 +---= 2444707,0. c) Výpočet juliánskeho dne pro druhou událost (OhUT). R = 2011, M = 7, D = Výpočtem stanovíme konstanty , = ,„tí!hil^Pn3l] = 3521, 6 = ,„t(^) = 21, JD0 = 367(2011) - 3521 + 213 + 8 + 1721013,5 = 2455750,5. Pro výpočet juliánskeho dne nutno nejprve stanovit siderický čas ve zlomcích hodin m s 29 4 = h + — + —— = 15 + — + ——= 15,484444 [h]. 60 3600 60 3600 V tomto případě je juliánsky den dán hodnotou JDQ, ke které připočteme čas, uplynul od poslední půlnoci (0 h UT), vyjádřený ve dnech UT 15,484444 JD2 = JD0 + — = 2455750,5 +-—-= 2455751,145. d) Doba, která uplynula mezi oběma událostmi je dána následujícím počtem juliánskych A(/D) = ]D2 -}D1 = 2455751,145 - 2444707,0 = 11044,145. 3.7.2 Vliv zploštění Země. Geodetické souřadnice Doposud jsme předpokládali, že Země má dokonalý sférický tvar. Ve skutečnosti Země zploštělá. V dalším budeme uvažovat, že Země má tvar rotačního elipsoidu, obr. 3-38 je znázorněna rovina místního poledníku (na obrázku je zploštění záměrně zvětšeno). Rovníková (hlavní) poloosa az je větší než polární (vedlejší) pol Země bz. Zploštění Země je definováno následovně a = a'~ b\ a-z Uvážením známého vztahu pro vedlejší poloosu elipsy bz = aZA/l — ej, můžeme z smluvní excentricitu Země. Jednoduchou úpravou nalezneme relaci mezi zplošť Země a smluvní excentricitou a = 1 - y/l-ei. (32 A naopak, smluvní excentricitu v závislosti na zploštění Země můžeme vyjádřit vzta' ez - yjlo — a2. ( 106 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Kvůli zploštění Země musíme nyní uvážit nové skutečnosti, které jsou patrné z obr. 3-38. Normála k místní horizontální rovině v bodě B (geodetická normála) již neleží na jedné nositelce s polohovým vektorem fB ani s polohovým vektorem ŕ kosmického tělesa (družice D) na oběžné dráze. Geocentrická výška h na sférické zeměkouli (ve směru nositelky vektoru ř) je nahrazena geodetickou výškou H ve směru geodetické normály. A jsou zavedeny dvě zeměpisné šířky definující polohu bodu B. Vedle geocentrické zeměpisné šířky

. Poloha kosmického tělesa s uvážením zploštění Země bude nyní dána následujícími geodetickými souřadnicemi; zeměpisnou délkou A, geodetickou šířkou tp a geodetickou výškou H. Obr. 3-38 Vzájemná relace mezi geocentrickou a geodetickou šířkou. Definice geodetické výšky v rovině místního poledníku. Relace mezi geodetickými a geocentrickými souřadnicemi Jak bylo právě uvedeno, geodetické souřadnice jsou dány trojicí souřadnic (A,,//), které na zploštělé rotující zeměkouli definují polohu kosmického tělesa (družice D). Předpokládejme, že známe polohu kosmického tělesa (družice D), definovanou trojicí geodetických souřadnic (A,M2 + B2 Vl-e|sin2* fí cos* cos /? = , - , (3.250) ylA2 + B2 Vl-efsin2* Po dosazení rov. (3.249) a (3.250) do výrazů pro souřadnice bodu B (3.244) a (3.245) obdržíme az cos * e|sin2 * 0,(1 - e|) sin * - e|sin2 * z'B= 7 (3-252) ^1 - efsin2 * Oba výše uvedené výrazy vyjadřují relaci mezi souřadnicemi vztažného bodu „B" na zemském elipsoidu a geodetickou šířkou *. Vyjádříme-li ještě v souladu s obr. 3-38 souřadnici x'B pomocí geodetického poloměru (vzdálenosti mezi bodem C a bodem B) x'B = r0 cos * a položíme rovno výrazu pro souřadnici x'B dle rovnice (3.251), obdržíme vztah pro geodetický poloměr r0 ve tvaru 109 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP (3.253) ^1 - ejsin2 O Zavedením geodetického poloměru dle rov. (3.253) do výrazu (3.252) pro vertikálni souřadnici vztažného bodu na zemském elipsoidu z'B, obr. (3-38), obdržíme výraz z'B = r = r0 sin * - r^ej sin , (3.2541 z něhož vyplývá vztah pro vzdálenost mezi středem Země C a geodetickým středem C d = 7"e| sin . (3.2551 Vzdálenost vztažného bodu B od středu Země představuje polohový vektor vztažného bodu na zemském elipsoidu, který je dán výrazem (3.2 Souřadnice x'B a z'B můžeme vyjádřit jak pomocí geocentrické šířky (p na zemské™ elipsoidu a poloměru rB, tak pomocí geodetické šířky a geodetického poloměru rj dle obr. 3-38 následovně xb = Tg COS (p — 70 cos O, (3.25 zB = re sin

. (3.259) Konečně souřadnice kosmického tělesa (družice D) v geodetické výšce H vroviněl lokálního poledníku (p') mohou být s využitím souřadnic vztažného bodu na povrchu zemského elipsoidu dle rov. (3.251) a (3.252) zapsány například následovně x'D = x'B + H cos <ť = z'd - z'b + # sin = 7l - e|sinz * a2(l - g,2) ^/l - e|sin2 + H cos*, + H sin*. (3.260) (3.261) Výše uvedené relace mezi geometrickými parametry je možno využívat pro přepočty mezi jednotlivými souřadnicovými soustavami. Pak pro převod geodetických souřadnic polohy kosmického tělesa (A, 4>,/í) do rotující geocentrické sférické souřadnicové soustavy (A, S, r) použijeme následující postup. První ze souřadnic, zeměpisná délka A, je stejná v obou systémech. Pro nalezení deklinace je třeba znát souřadnice kosmického tělesa v rovině lokálního poledníku (p1). Tyto souřadnice lze nalézt pomocí rov. (3.260) a (3.261) s přihlédnutím k rov. (3.253) x'q = (r0 + H) cos , (3.262) 110 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Z'D = [r, (3.263) nebo z alternativních rovnic (3.260) a (3.261) s přihlédnutím k rov. (3.257) a (3.258) x'D = rB cos (p + H cos , (3.264) z'D = rB sin

. (3.265) V dalším kroku stanovíme modul geocentrického polohového vektoru kosmického tělesa pomocí souřadnic bodu D v rovině místního poledníku '2 + z'Dz. (3.266) A konečně deklinaci určíme ze vztahu 5 = arcsin^yj. (3.267) Převod geodetických souřadnic polohy kosmického tělesa (A,,H) do (inerciální) geocentrické sférické souřadnicové soustavy (a, <5,r) se od předchozího postupu odlišuje pouze ve stanovení jedné souřadnice, rektascenze a. Rektascenze je pro danou epochu dána výrazem a=A + aG = a + [aCn + 360,98564724—J, 0 ,//) do (inerciální) geocentrické rovníkové souřadnicové soustavy {X,Y,Z) je v podstatě shodná s předchozí transformací. Po stanovení souřadnic {x'D,z'D) dle rovnic (3.262), (3.263) a rektascenze a následuje poslední krok, v němž jsou stanoveny souřadnice {X, Y,Z) z těchto vztahů X = x'D cos a = (rvj, + H) cos í> cos a, (3.269) Y - x'D sin a = (r0 + //) cos 3> sin a, (3.270) Z = [7-4,(1 - e>|)+ sin . (3.271) Na základě výše odvozených souřadnic (X,Y,Z) můžeme polohu kosmického tělesa vyjádřit polohovým vektorem v závislosti na kombinaci geodetických souřadnic í>, H, rektascenzi a excentricite Země ve tvaru f = (nj, + H) cos

K. (3.273) 111 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP 3.7.3 Topocentrická rovníková souřadnicová soustava Topocentrickou rovníkovou souřadnicovou soustavu {X',Z',Y') můžeme defin podobně jako geocentrickou rovníkovou souřadnicovou soustavu. Jak uvedeno na 3-40 má stejnou orientaci v prostoru, její osy (_X',Z', Y') jsou stále rovnoběžné s o geocentrické rovníkové souřadnicové soustavy (X, Y,Z). Avšak její počátek „0" leží povrchu Země a je sní pevně spojen. Je určena pro pozorování kosmických ť z povrchu Země, a proto je její počátek ztotožněn s místem pozorování. Poloha kosmického tělesa v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě je polohovým vektorem g, který můžeme pomocí odpovídající definice rektascenzi deklinace (a',5f) v soustavě (_X',Z', V") vyjádřit vztahem analogickým s rov. (3.215) q = q cos 8' cos a' ľ + q cos 8' sin a']' + g sin 8' k'. Vzhledem k tomu, že osy obou výše zmíněných souřadnicových soustav jsou rovnoběžné, mají jejich jednotkové vektory stále shodné směry. Tudíž musí platit /' I ]' = J a K' = K. Z toho plyne alternativní výraz pro polohový vektor q ve tvaru q = q cos 8' cos a' I + g cos 8' sin a'J + g sin 8' K = Qě"QI (3.2 kde jednotkový vektor je v tomto případe dán vztahem e'g = cos 8' cos a' ľ + cos 8' sin a'/-f- siní' K. (3.2 Obr. 3-40 Definice topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy {X',Y',Z'). 112 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Přestože jsou osy obou zmíněných souřadnicových soustav rovnoběžné, rektascenze a deklinace v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (cť, 5') se neshodují s rektascenzí a deklinací v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (a, 5). To je dáno tím, že se neshodují počátky těchto souřadnicových soustav. Pro případ rektascenzí je odlišnost těchto sférických souřadnic v obou soustavách patrna z obr. 3-41. Obdobně to platí i pro deklinace. Obr. 3-41 Vzájemné relace mezi rektascenzí v geocentrické rovníkové (X, Y, Z) a topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (X',Z', V'). Pro přepočet kartézských souřadnic (X',Z', V') a sférických souřadnic (a',5',Q) z topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy do geocentrické rovníkové souřadnicové soustavy a naopak, je třeba doplnit relaci mezi polohovými vektory r = řQ + Q. (3.276) Pro výpočet polohového vektoru ř0 lze použít rov. (3.273) pro stanovení polohového vektoru libovolného bodu na zemském povrchu v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě. Nyní však musíme uvedený vztah modifikovat pro rektascenzí aQ, definující polohu poledníku p0, na němž leží počátek topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy „0". Po úpravě získáme výraz »0 = r cos<í» (cos a0 ľ + sin a0J) + 7*^(1 - e|) sin $ K. (3.277) Příklad 3.12 Zadání: Poloha kosmického tělesa je dána polohovým vektorem ŕ v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (X,Y,Z) v čase odpovídajícím poloze nultého poledníku ac. 113 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Nalezněte rektascenzí ď a deklinaci 8' kosmického tělesa v topocentrické rovník: ■ souřadnicové soustavě (X',Z',Y')r jejíž počátek je dán zeměpisnou délkou a geodetickou šířkou. Dále stanovte rektascenzi a a deklinaci S v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě téhož kosmického tělesa nalézajícího se ve stejné poloze a čase a porovnej^ získané výsledky. Potřebná data: Zeměpisná dálka Geodetická šířka Rektascenze nultého poledníku Zploštění Země Poloměr Země Polohový vektor X = 60°,

sin a0 = sin 190° = -0,1736482, cos a0 = cos 190° = -0,9848078, sin = sin 20° = 0,3420201, cos * = cos 20° = 0,9396926. c) Výpočet excentricity Země ez provedeme dle rov. (3.242) e2 - V2cr-<72 = v/2(0,003353)- 0,003353z = 0,0818215. d) Výpočet poloměru dle rov. (3.253) 6378 ^1 -e|sinz* y/l - 0,08182152 0,342020i2 - 6380,4989 [km]. e) Výpočet polohového vektoru r0 v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (X, Y,Z) Pro výpočet použijeme vztah (3.277) pro stanovení polohového vektoru, který de počátek topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy „0" f0 = rsini9/£ + p cosi9 sinj = gee, (3.2781 kde ep je jednotkový polohový vektor ee = cos ť? cos / íf + sinů jt + cosů sin x^t. (3.27 Transformace mezi topocentrickou rovníkovou, respektive geocentrickou rovníkovou a topocentrickou horizontální souřadnicovou soustavou Na úvod je nutno opět připomenou, že směry a smysly jednotkových vektonl topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy jsou stejné jako v geocentridéj rovníkové souřadnicové soustavě. To znamená, že relace mezi jednotkovými vektofd topocentrické horizontální souřadnicové soustavy (i[,][,kt) a topocentrické rovníkoni souřadnicové soustavy (/',/', K") budou stejné jako relace mezi jednotkovými vektJ topocentrické horizontální souřadnicové soustavy (tt,/t, fcf) a geocentrické rovníkoJ souřadnicové soustavy Proto budeme v dalším používat pouze označefl jednotkových vektorů (/,/,/e) nejen pro geocentrickou rovníkovou, ale také pra topocentrickou rovníkovou souřadnicovou soustavu. V rovině lokálního poledníku (p0) zavedeme pomocný jednotkový vektor ľ pro osu x9J Tento jednotkový vektor je v souřadnicové soustavě (X, Y,Z) definován výrazem ľ = cosa0 / + sin a0j. (3.2; Vektor fmá stejný směr i smysl také v souřadnicové soustavě (X',Y',Z'). Pom jednotkového vektoru f můžeme dle obr. 3-42 již přímo psát výraz pro jednotk vektor jc v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě, který leží rovněž v ro " lokálního poledníku p0 % = cos d> r + sin * K. (3.2811 Po dosazen! výrazu pro jednotkový vektor V do rovníce (3.281) obdržíme konečný výra pro stanovení polohy jednotkového vektoru jt v topocentrické horizontá souřadnicové soustavě jt = cos * cos a0 ľ + cos sin a0/ + sin <ť K. (3.28 Jednotkové vektory jt a K leží v rovině místního poledníku, pak pro jednotkový ve' kt v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě, který je na tuto rovinu kol musí platit kt=—-4- (3.29 |K xjt\ kde vektorový součin můžeme vyjádřit následovně 118 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP KxJc ! J K O O 1 cos cos aa cos * sin a0 sin <ř = - cos * sin a01 + cos cos a0 J. Modul uvedeného součinu jednotkových vektorů je dán jednoduchým výrazem \K xjt\ = cos a definitivní výraz pro jednotkový vektor v souladu s rov. (3.283) obdržíme ve tvaru kt = - sin a01 + cosa0J. (3.284) Konečně pro poslední jednotkový vektor tt , který je kolmý na rovinu (jt.kt) platí vektorový součin it = Jt xkc = I J K cos * cos aQ cos sin a0 sin 4> — sin aa cos cc0 0 (3.285) Po úpravě jsme získali jednotkový vektor ve směru osy xt ve tvaru ít = — sin 4> cos a01 - sin * sin aQJ + cos K. Nyní již můžeme jednotlivé rov. (3.285), (3.282) a (3.284) přepsat na maticovou rovnici pro transformaci jednotkových vektorů nebo přímo souřadnic polohy kosmického tělesa z topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy do topocentrické horizontální souřadnicové soustavy (xt,yt,zt) takto {Q\h = [Tth/tr]{Q}tr, (3-286) kde jsme vektory označili následovně (Xt) (3.287) a transformační matice byla pomocí zmíněných rovnic (3.285), (3.282) a (3.284) získána ve tvaru — sin cos a0 -sin <í> sin ct0 cos 0 cosi1 cos k0 - sin a0 cos* sin ac cosa0 sin 0 (3.288) Pro zpětnou transformaci použijeme inverzní matici, která je u ortogonálních soustav rovna transponované matici [T(n/Cr] 1 = [7tA/tr]T = [^tr/tuL Pak Pro transformaci souřadnic (xt,yt,zt) z topocentrické horizontální souřadnicové soustavy do topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy {X',Y',Z') použijeme transformační rovnici ve tvaru fcítr = [Ttr/tftHeW kde inverzní transformační matice má tvar (3.289) 119 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP [Ttr/tn] - — sin<řcosoc0 coscosoc0 — sinoc0 -sin<řsina0 cos* sin a0 cosa0 cos* sin4> 0 (3.2 Poznámka: V letecko-kosmických aplikacích je místo topocentrické horizontály souřadnicové soustavy (xt,yt,zt) častěji používána normálová zemská souřadnice soustava [xg,ygizg). Dle mezinárodní normy ISO 1151, [40], je vůči topocentridá horizontální souřadnicové soustavě pootočena kolem osy xt = xg o 90° v kladr smyslu. Takže osa zg leží ve směru normály s kladným smyslem do středu Z" [zg = — yt). Osa yg pak směřuje tečně k místní rovnoběžce východním smě (yg = zf). V normálové zemské souřadnicové soustavě (xg,ygiZg^ se běžně defi polohové úhly atmosférických letadel i kosmických letadel (např. raketoplánů), [26]. Příklad 3.13 Zadáni: Vypočtěte azimut x a elevační úhel i9 kosmického tělesa v topocentrické horizont souřadnicové soustavě, je-li dán jeho polohový vektor f v geocentrické rovník souřadnicové soustavě. Poloha počátku topocentrické horizontální souřadnicové sour (poloha pozorovatele) je dána rektascenzí a0 a geodetickou šířkou . Potřebná data: Rektascenze počátku soustavy (xtlyt,zt) Geodetická šířka Excentricita Země Poloměr Země Polohový vektor «o = 65°, * = 25°, ez = 0,081821, rz = 6378 [km], ř = 2900/ + 5800/ + 2300/f [km]. Řešení: a) Výpočet hodnot goniometrických funkcí pro úhly a0 a

cos * (cos ao l + sin a o j) + r^fl - e|) sin K, 120 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP ř0 = 6381,817(0,906308)(0,422618/ + 0,906308/) + 6381,817(1 - 0,0818212)0,422618/?, r„ = 2444,378/+ 5241,985/ + 2679,016/?. d} Výpočet modulu polohového vektoru v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě r = V29002 + 58002 + 23002 = 6880,407 [km]. Výpočet polohového vektoru kosmického tělesa p v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě Polohový vektor q stanovíme vektorovým rozdílem q = f ~ ŕ0, q = (2900/ + 5800/ + 2300/?) - (2444,378/+ 5241,985/ + 2679,016/?), q = 455,622/+ 558,015/- 379,016/?. Zapsáno v maticovém tvaru X') 455,622 ÍQ}tr = \Y'\ = \ 558,015 Z'J 1-379,016 f) Výpočet transformační matice dle rov. (3.288) Ptfc/tr] -0,178606 -0,38302 0,906308 0,383022 0,821394 0,422618 -0,906308 0,422618 0 g) Transformace vektoru {g}tr z topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy do topocentrické horizontální souřadnicové soustavy Pro transformaci použijeme rov. (3.286) -0,178606 -0,38302 0,906308 k = 0,383022 0,821394 0,422618 th -0,906308 0,422618 0 455,622 \ 558,015 , -379.016J r-638,614) {q}th = 472,685 . (-177,107) h) Výpočet modulu polohového vektoru g v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě (jeho velikost je stejná jako v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě) g = Ví-638-614)2 + 472,6852 + (-177,107)2 = 814,018 [km]. i) Výpočet jednotkového polohového vektoru eg v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě -638,614if + 472,685/f - 177,107fc, 814,018 ee = -0,784521 tt + 0,58068l/r - 0,21757/ít 121 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P Porovnáním právě vypočteného jednotkového vektoru eä s obecným výrazem pro t jednotkový vektor dle rov. (3.279) ée = cosi9 cos^ľt + sin ů jt + cosi9 sin x kt stanovíme elevační úhel ů a azimut * kosmického tělesa v topocentrické horizon souřadnicové soustavě (xt,yt,zt). j) Výpočet elevačního úhlu ů sinů = 0,580681, ů = arcsin 0,580681 = 35,4985 [°], k) Výpočet azimutu x cos i9 cos* = -0,784521, -0,784521 -0,784521 cos y =-=-- -0,96363, Á cosd cos 35,4985° X = arccos(-0,96363), X = 164,5 [°] nebo x = 195,5 [°]. Průzkumem znamének souřadnic složek jednotkového vektoru ee ve směru os zt můžeme stanovit, která z uvedených hodnot azimutu je správná. Obě zrní souřadnice jsou záporné. Tudíž kosmické těleso se nachází ve třetím kvadrantu a azimut jeho polohy je X = 195,5 [°]. Druhý způsob, jímž lze potvrdit tuto skutečnost je výpočet hodnoty sin* z podmínky cosi? sin* = -0,21757, odkud stejným postupem stanovíme hodnotu sin* = -0,26724. Protože sin* má zápornou hodnotu, potvrzuje to skutečnost, že * = 195,5 ["]. 3.7.5 Stanovení oběžné dráhy z měření úhlů a vzdáleností Při stanovování parametrů oběžné dráhy z pozorování je třeba uvážit skutečnost, pozorovatel sleduje kosmický objekt z pozorovací stanice, která se nachází na povrchJ zeměkoule a nikoliv ve středu Země. Místo pozorování je dáno polohovým vektore^H v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě {x, y,z). Parametry pozorování jsad obvykle dány v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě (xt,yt,zt), kteří rotuje spolu se Zemí úhlovou rychlostí cúz. Poloha kosmického objektu vtéfl souřadnicové soustavě je dána lokálním polohovým vektorem q. Avšak poloha! kosmického tělesa na oběžné dráze, jejíž rovina prochází středem Země je definována! v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě polohovým vektorem ř. Jak víme z předchozích rozborů, relace mezi lokálním polohovým vektoreml sledovaného tělesa q, polohovým vektorem místa pozorovatele f0 a geocentrický™ polohovým vektorem sledovaného kosmického objektu r je dána rovnicí (3.276). JelikaB 122 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP modul lokálního polohového vektor o je stejný jak v soustavě (^t,yt-zt)' tak v soustavě (X',Y',Z'} vyjádříme polohový vektor kosmického objektu ř v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě pomocí jednotkového vektoru v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě e'e následovně r = r0 + q = řQ + gě' (3.291) kde polohový vektor ř0 s uvážením zploštění Země je dán rovnicí (3.277), g je vzdálenost mezi pozorovatelem a kosmickým objektem a jednotkový vektor e'e je dán výrazem (3.275). Odpovídající rychlost v inerciální souřadnicové soustavě, kterou zde představuje geocentrická rovníková souřadnicová soustava {X, Y,Z), je dána derivací rov. (3.291). Pro vektor rychlosti platí vztah V = ŕ = r0 + Qě"e + Qě'e . (3.292) Jelikož vektor ř0 je spojen se Zemí, která rotuje vůči inerciální soustavě konstantní úhlovou rychlostí íí = cozK, bude vektor rychlosti pohybu pozorovatele dán vztahem Ť0 = H x r0. (3.293) Po dosazení do rov. (3.292), výsledný vektor rychlosti pohybu kosmického objektu v (inerciální) geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě bude dán výrazem V = ľl x ř0 + ge'Q + Qěg. (3.294) Ve vztahu (3.294) představuje g časovou změnu vzdálenosti mezi pozorovatelem a kosmickým objektem a derivaci jednotkového vektoru ě'e získáme derivací rov. (3.275) ěg = (—5' sin 8' cos a' — á' cos 8' sin a')l +{-6' sin 8' sin a' + á' cos 8' cos a')j + 8' cos 5' K, (3.295) respektive v maticovém zápisu -5' sin 8' cos a' - ď cos 8' sin a' í^él = 1 —5' sin 8' sin a' + á' cosi' cos a' 8' cos 8' Přepíšeme nyní jednotkový vektor e'e dle rovnice (3.275) ěg = cos 5' cos a' / + cos 8' sin a'J + sin 5' K a jednotkový vektor eQ dle rov. (3.279) (3.296) do maticové formy ěe = cos ů cos x h + sm $ J t + cos & s^n X &t Icos5' cos a'\ cos 6' sin a' |, sin 5' ) (3.297) 123 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Icosť? co$x\ smi) costf sin x) C Jednotkový vektor dle rov. (3.297) je zapsán v topocentrické rovníkové souřadn soustavě, zatímco jednotkový vektor dle rovice (3.298) je zapsán vtopocen horizontální souřadnicové soustavě. Použitím transformační rovnice dle (3.289) oběma souřadnicovými soustavami {e'o\tr = [Ttr/th]{ee}th nalezneme relaci mezi deklinací a rektascenzí v topocentrické rovníkové souřadn" soustavě a azimutem a elevačním úhlem v topocentrické horizontální souřadn soustavě. Po dosazení za transformační matici dle rov. (3.290) a za jednotkové vedle rov. (3.297) a (3.298) obdržíme konečnou transformační rovnici ve tvaru ícos 5' cosoc') cosí' sina'1 = l sin 8' ) sin 4> cos ar —sin <řsina0 cos <ť cos $> cosa0 cos sin a0 sin - sin a0 cosa0 0 (3J Icqsů cos X sintf . cosi9 sin x Roznásobením pravé strany transformační rovnice obdržíme následující mezivýsle — sin cos a0 cos i9 cos x + cos «t> cos oc0 sin ů — sin a0 cos i9 sů| —sin cJ? sin a0 cos ů cos x + cos sin a0 sin ů + cos a0 cos i9 siar cos tť cos ů cos x + sin <ř sin ů Dle uvedené rovnice zapíšeme výrazy pro rektascenzi a' a deklinaci 8' vtopocen rovníkové souřadnicové soustavě IcosS' cosa'1 cosí' sin a' sin 8' J cos a' =-— (- sin * cos a0 cos ů cos y + cos cos a0 sin ů - sin a0 cos ů sin, cos o 1 (3- — (-sin4> sin a0 cos i9 cos x + cos sin a0 sini9 4- cos a0 cos i9 sin (3. cos ô sin 8' — cos í> cos ů cos x + sin* sin i9 (3- Nyní zavedeme tzv. hodinový úhel x, pomocí něhož vyloučíme z výše uvedených geocentrickou rektascenzi a0. Jak je vidět na obr. 3-41, hodinový úhel je úhel rovinou poledníku pozorovatele a průmětem lokálního polohového vektoru (_g roviny (x',Y'). Pokud kosmický objekt leží na západ od poledníku, na němž se pozorovatel, jedná se o kladný hodinový úhel. Pak hodinový úhel je v našem p" definován vztahem t = an - a (3: Pomocí goniometrických relací můžeme nyní pro hodinový úhel zapsat násl vztahy cost = cos(a0 - a') = cos a0 cos a' + sina0 sin a', (3. sin t = sin(a0 — a') = sin a0 cos a' — cos a0 sin a'. (3. 124 3, Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Dosadíme-li do těchto goniometrických vztahů za sin a' a cos a' dle rovnic (3.301) a (3.300) obdržíme pro hodinový úhel dva výrazy cos 4> siní? — sin * cos# cos / cos t =-—-, (3.306) cos ô' cos d sin r sinr =---A (3.307) cos 8' Pro výpočet hodinového úhlu zbývá ještě určit cos5'. Deklinaci vtopocentrické rovníkové souřadnicové soustavě určíme z rov. (3.302) 8' - arcsin(cos cosi? cos x + sin <ř sinů). (3.308) Teprve se znalostí deklinace 8' jsme sto určit hodinový úhel t. Pro výpočet t zvolíme první z odvozených vztahů (3.306) /cos*sin# - sin<řcosi9cosy\ r = arccos---- . (3.309) V cos 5 / Druhý vztah pro výpočet hodinového úhlu (3.307) použijeme pro identifikaci znaménka hodinového úhlu. Jelikož elevační úhel i9 a deklinace 8' mohou nabývat hodnot maximálně ±90°, pak cosinus obou úhlů je vždy kladný. Díky tomu z rov. (3.307) vyplývá, že znaménko sinr závisí pouze na hodnotě sin/. Takže hodnota sin t bude kladná pro sin/ < 0, tj. pro azimuty v rozsahu 180° < / < 360, pak hodinový úhel stanovíme přímo ze vztahu (3.309). Avšak pro azimuty v rozsahu 0° < x < 180° je nutno pro výpočet hodinového úhlu použít výraz /cos <$> sin i9 — sin cos ť? cos /\ t = 2jt - arccos--- . (3.310) V cosů / Po ověření správné hodnoty hodinového úhlu můžeme konečně stanovit rektascenzi a' v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě dle vztahu (3.303), který přepíšeme na tvar a' = a0- t. (3.311) Protože pozorovaný kosmický objekt mění svou polohu s časem a mění se i poloha pozorovatele díky rotaci Země cúz, je třeba obdobně nalézt 8' a á' v závislosti na časové změně azimutu X 3 elevačního úhlu i3. Časovou změnu deklinace v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě 8' získáme derivací rovnice (3.302), z níž obdržíme 1 r i 8 =-— ť? (sin* cosií? - cos * siní cos y) - ý cos * cosi sin x ■ (3.312) cos 8'L 1 v J Časovou změnu rektascenze v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě ct' nalezneme následujícím postupem. Nejprve derivujeme rovnici (3.307), z níž stanovíme časovou změnu hodinového úhlu (/cos/ cos Ů ~ i9 siní? sin/) cos 8' + 8' cosů sin/sin 8' cos rcosz8' 125 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP V dalším kroku dosadíme za cost dle rov. (3.306) a po úpravě získáme konečný pro časovou změnu hodinového úhlu X cos x cosí + {5' cos i9 tg 8' — í siní) sin x cos<řsint? - sincosŮcosx Derivací rov. (3.311) dle času máme k dispozici vztah pro časovou změnu rektascenzi v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě á' - á0 — t. Uvážíme-li, že áQ = oíz, pak po dosazení do předchozího vztahu, včetně rov. (33 máme pro výpočet á' k dispozici konečný výraz ve tvaru X cos x cos ů + (6' cosů tg 8' — Ů siní) sin x a =u)Z +-. .--—---- cos<ť sini9 - sin cosi? cosx Příklad 3,14 Zadání: Na pozorovací stanici na Zemi, jejíž poloha je dána geodetickou šířkou * a epod vyjádřenou geocentrickou rektascenzí a0 je pozorován kosmický objekt. Jsou i následující parametry v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě: vzdálť azimut a elevační úhel kosmického objektu, včetně jejich časových změn. Nalezněte < kosmického objektu (elementy dráhy). Potřebná data: Geodetická šířka Geocentrická rektascenze Poloměr Země Excentricita Země Úhlová rychlost rotace Země Vzdálenost kosmického objektu Časová změna vzdálenosti Azimut Časová změna azimutu Elevační úhel Časová změna elevačního úhlu = 50 [°], aa = 60 [°], rz = az = 6378 [km], ez = 0,0818215 [1], (úz = 7,292.10"5 [s_1], e = 3200 [km], é sa Q [kms'1], X = 30 n X= 1,973.10-3 [s-1], i? = 40 [°], ě = 0,9864.10"3 [s-1]. Rešení: a) Výpočet deklinace v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě dle rov. (3.308) 8' — arcsin(cosO cosů cos / + sin d? sin i), S' = arcsin(cos 50° cos 40° cos 30° + sin 50° sin 40°), S' = 1,165126 [rad] = 66,757 ["]. 126 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P b) Výpočet hodinového úhlu a rektascenze v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě. Vzhledem k tomu, že úhel azimutu leží v rozsahu 0° < x < 180°, použijeme pro výpočet hodinového úhlu rov. (3.310) /cos sin i9 - sin cos d cos ;n r — 2.11 — arccos T = 2jt — arccos V cos 6' /cos 50° sin 40° - sin 50° cos 40° cos 30°\ cos 66,757° r = 4,469197 [rad] = 256,066 [°]. Rektascenze v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě bude a' = a0 - t = 60° - 256,066 = -196,066 [°] c) Výpočet délky geodetické normály (poloměru) r K, ř0 = 6390,565(cos50°)(cos60°/ + sin60°/) + 6390,565(1 - 0,0818215z) sin 50° K, ř0 = 2053,888/+ 3557,439/+ 4862,683/f [km]. e) Výpočet jednotkového vektoru e'e lokálního polohového vektoru v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě dle rov. (3.275) e'e — cos ó" cos a' í + cos ó" sin a' J + sin 8' K, e'e = cos 66,757° cos(-196,066°) / + cos 66,757° sin(-196,066°)/ + sin 66,757° K, ég = -0,3792217 + 0,109214/+ 0,91838/r. f) Výpočet lokálního polohového vektoru (ge^) v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě dle rov. (3.274) Qě"e = 3200(-0,379221/+ 0,109214/+ 0,91838/f), Qe'Q = -1213,508/ + 349,484/ + 2940,282rf. g) Výpočet polohového vektoru kosmického objektu v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě r dle rov. (3.291) ř = ř0 + Qě"e, ř = (2053,888/+ 3557,439/ + 4862,683/?) + (-1213,508/+ 349,484/ + 2940,282/?), ŕ = 840,380/+ 3906,923/ + 7802,965^ [km]. 127 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP h) Časová 2měna polohy pozorovací stanice v inerciální geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě ř0. Složky (A",,, Y0, Z0) vektoru ř0 jsou již stanoveny v bodě d) ř0 = íl x r0 = / / k 0 0 (úz = -a>zY0t + o)zX0j = o>z(-Y0í + Xj). ?0 - 7,292.10-s(-3557,439/ + 2053,888/), ř0 = -0,259408/+ 0,149770/ [fcms-1]. i) Výpočet časové změny deklinace v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavé' dle rov, (3.312) 8' = [j9(sinct>cosi9 - cos O sin ů cos x) -/cos Orosí? sin/]/cos 5'. 8' = [0,9864.10_3(sin 50° cos 40° - cos 50° sin 40° cos 30 °) - 1,973.10-3 cos 50° cos 40° sin 30°]/ cos 66,757°, Š' = -0,6585.10"3 [s-1]. j) Výpočet časové změny rektascenze á' v topocentrické rovníkové souřadnicové soul dle rov. (3,314) X cos/cos t9 + (ó" cosi tg8' — ů siní) sinx A á = <úz H--—-—--;—----= mz + -S^Ě cosí>sini9 — sin

0 (srovnej s obr. 3-14) odpovídají dvě hodnoty argumentu A0. Jedna se nachází v prvním kvadrantu a druhá ve čtvrtém. A obdobně pro cosA0 < 0 obdržíme dva argumenty, ve druhém a třetím kvadrantu. Ovšem máme ještě další problém, znalost obou vektorů s úhlu mezi nimi ještě nic neříká o tom, zda hledaná dráha je prográdní (0° < i < 90°) nebo retrogrédní (90° < i < 180°). Tuto otázku můžeme zodpovědět pomocí polohy jednotkového 129 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP vektoru k perifokálnř souřadnicové soustavy. Pokud tento vektor leží nad rovinou rovníku, jedná se o prográdní dráhu, jak je právě naznačeno na obr. 3-43, a naopak, pokud směřuje pod rovinu rovníku, jedná se o retrográdní dráhu. /\ vzestupný uzel Obr. 3-43 Dráha je dána dvěma body a rozdílem jejich pravých anomálií. Lambertův problém. Matematicky to můžeme posuzovat dle znaménka složky vektoru (fi x r2)z ve směru vertikální osy Z (.A x r2)z = K • [r:r2 sin(A0) k] = rxr2 sin(A0) (K ■ k), kde skalární součin vektorů (/C • k] = cosi. Tím máme vertikální složku vektoru (?\ x vyjádřenu v závislosti jak na úhlu A0, tak na sklonu dráhy i ve tvaru (rx x ř2)z = rtr2 sin(A6) cos i. (3.316) Zvýše uvedeného je známo, že pro přímé (prográdní) dráhy platí cos/>0 a pro nepřímé (retrográdní) dráhy platí cos i < 0. Rozeberme nejprve případ prográdních drah. Z rovnice (3.316) pro tento případ (cos i > 0) vyplývá, že: a) Pro (ř\ x ř2)z > 0 je sin(A0) > 0, což je splněno když (0° < A0 < 180°), pak je dle rov. (3.315) platný výsledek pro první kvadrant ;|— (3.317) i' f2\ hr2 )' b) Pro X ř2)z < 0 je sin(A0) < 0, což je splněno když (180° < A0 < 360°), pak je dle v souladu s rov. (3.315) platný výsledek pro čtvrtý kvadrant, který stanovíme dle vztahu 130 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP A0 = 360° - arccos (^T~\■ (3.318) Případ retrográdních drah. Postup je zcela analogický, dle rov. (3.316) pro tento případ (cos t < 0) vyplývá, že: a) Pro (řj x ř2)z > 0 je sin(A0) < 0, což je splněno když (180° < A0 < 360°), pak je dle rov. (3.315) platný výsledek pro čtvrtý kvadrant A0 = 360° -arccos p—H (3.319) b) Pro (?! x r2)z < 0 je sin(A0) > 0, což je splněno když (0° < A0 < 180°), pak je dle v souladu s rov. (3.315) platný výsledek pro třetí kvadrant, který stanovíme dle vztahu A0 = arccos I-5—11. (3.320) Vraťme se k rovnicím (3.154) a (3.155) odvozeným v podkapitole 3.5.3 řz = f h + gVi. V2=frl+gV1. Z uvedených rovnic vyplývá, že pro řešení Lambertova problému stačí nalézt vektor rychlosti v bodě Ten nalezneme z první rovnice % =-(ř2-/r1), (3.321) 9 který dosadíme do druhé rovnice, odkud získáváme výraz V2 =fn+- (r2 - ffi) =-r2----ř,. Čitatel v posledním zlomku uvedené rovnice je v souladu s rovnicí (3.174) roven jedné — fg — l). Pak vektor rychlosti v bodě B2 je dán vztahem V2=-{gr2-rJ. (3.322) 9 Pro další řešení Lambertova problému budeme používat univerzální proměnné. Zde se přidržíme metody řešení uváděné v literatuře [11], [15], kde jsou zavedeny následující univerzální proměnné x {km1/2} a a — l/a [/cm-1]. Pro další řešení si upravíme dříve odvozené výrazy pro Lagrangeovy koeficienty, rov. (3.167), (3.172), (3.176) a (3.173). Z uvedených rovnic vyloučíme parametr pomocí vztahu p = h2/p. a zavedeme místo něj specifický moment hybnosti. Lagrangeovy koeficienty pak budeme používat ve tvaru / = l--^r2(l-cosA0), (3.323) 0 = ^sinA0, (3.324) n 131 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP ■ _ n 1 - cos A0 ' ~h sinA0 £(1_cosA0)_I_i,, g = l-p^Ci-cosAe). Využitím univerzálních proměnných lze Lagrangeovy koeficienty zapsat ve tvaru f = \-K-C{z), (3.3 (3.3 g = At - — x2S(z), yfji f = ^rxizsiz) -i], rxr2 g = \-í-C{z). V těchto rovnicích byla pro zkrácení zápisu zavedena bezrozměrová proměnná z = axz. (3.331 V uvedených výrazech pro Lagrangeovy koeficienty jsou veličiny A0, At, rt a r2 zadá^J neznámými veličinami jsou j, /i a z. Funkce c(z) a 5(z) jsou tzv. Stumpffovy fun které jsou definovány pomocí následujících nekonečných řad 00 c(z) = Ý(-d* z =1—L + iL__!^ + Zj (2fc + 2)! 2 24 720 40320 00 5(Z) = ^(-iy z z' + ■ (2fc + 3)! 6 120 5040 362880 Relaci mezi A0 a Aí nalezneme z rovnosti výrazů pro koeficienty g r2rx 1 -^sinA0 = At-— x3S(z). h y/fl (3. (3.33? (3.3: Specifický moment hybnosti h určíme buď z rovnosti součinitelů f nebo /. Z rov-rovnic (3.323) a (3,327) obdržíme h = X2C(z) Dosazením uvedeného vztahu pro h do rov. (3.334) a úpravě obdržíme Mrir2(l _ cos A0) (3.3 V^At = x3S(z) + XyfäT) (sin A0 ^.^Ao)' (3"3 Pro zkrácení zápisu označíme výraz v kulaté závorce rov. (3.336) symbolem A A = sin A0 1'2 l-cosA0 (3.331 132 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Pak rov. (3.336) zapíšeme v jednodušší formě takto (3.338) Protože z = ax2 = X2/a Je vlastně funkcí dvou proměnných, z nichž a představuje hlavní poloosu neznámé dráhy, která je předmětem hledání, je třeba nalézt přímou vazbu mezi bezrozměrovou proměnnou z a univerzální proměnnou x> která nezahrnuje hlavní poloosu a. Za tímto účelem použijeme rovnost výrazů pro součinitele / dle rov. (3.325) a (3.329) - cosA0) h sin A0 u 11 f^(l -cosAQ)---- h2 r, r2 *1'2 (3.339) Opět za specifický moment hybnosti dosadíme dle rov. (3.335) a celou rovnici přenásobíme výrazem (rxr2). Postupnou úpravou obdržíme mezivýsledek Vl - cosA© y/r^z sin A0 JČ(ž)\x2C{z) -r,- r2] = zS(z) - 1, yfČ(ž) \x2C{z)-r1-r2]=zS{z)-l, X2C{z) = í-j + r2 + A zS(z) - 1 (3.340) Nyní jsme na pravé straně rovnice obdrželi funkci, která je již závislá pouze na jedné proměnné z. Označíme4i ji jako samostatnou funkci zS(z) - 1 y(z) = rx + r2 + A- - , pak rovnici (3.340) můžeme zapsat ve velmi jednoduchém tvaru X = C(z)- (3.341) (3.342) Nyní můžeme získanou relaci (3.342) mezi bezrozměrovou proměnnou z a univerzální proměnnou x dosadit do rov. (3.338). Po dosazení obdržíme C(z) 5(z) + AjČ{ž). (3.343) Řešení uvedené rovnice pro neznámou z je možné pouze iteračním postupem. Použijeme Newton-Raphsonovou metodu, [56], pro niž si rovnici přeformulujeme na funkci 3 F(z) = y(z) C(z) S(z) + AyJC{z) - y^At. (3.344) Derivaci uvedené funkce obdržíme ve tvaru 1 _=[[2C(Z)S'G0 - 3C'(z)5(z)]y(z)2 2Vy(z)C(z)5 t ^AC(z)l + 3C(z)S(z)y(z)]y'(z)), + (3.345) 133 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP kde funkce C"(z) a 5'(z) jsou derivace Stumffových funkcí, které jsou dány rovnice-(3.332), (3.333) a funkce y'(z) je získána derivací rov. (3.341) ve tvaru A 2C(z)3/2 což lze upravit na jednoduchý tvar {[1 - zS(z)]C'(z) + 2[S(z) + zS'(z)]C(z)}, y'(z) = -yč(i). (3.346) Dosazením do rov. (3.345) a dalšími postupy uvedenými ve výše zmíněné literatuře autoři dospěli k následujícímu vyjádření výrazu pro derivaci F'(z) pro případ z * 0 3 F\z) = [yOO] ~2ͱ [c(z)J [2z rf, 3 5(z) C(z) - - 2C(z) 3s(m 4 C(z) j A + 8 5(z) ,- 3m^ + Á. a pro případ z = 0 je třeba použít výraz VŽ s A F'(z) = -y(0). + - yOO Vyčol + ^i 2y(0) (3.347) (3.348) Takto získané funkce jsou pak použity pro iteraci Newton-Raphsonovou metodou [56] dle rekurentního vztahu (3.349) ÍM ' F'(zr)' Nyní je třeba vhodně zvolit počáteční hodnotu z0. Jelikož dopředu neznáme typ oběžn dráhy, můžeme jednoduše začít od nulové hodnoty z0 = 0 nebo si vypomoci vykreslením funkce F(z) a na základě grafu zvolit počáteční hodnotu v místě kde funkce ¥[z) mění znaménko. Dosazením rovnic (3.342) a (3.343) do výrazů (3.327) až (3.330) získáme výsledn vztahy pro Lagrangeovy koeficienty 2 / = 1- yOO C(z) = 1--, 9 = 1ř. 1 y (z) C(z) y 00 C(z) 5(z) + Ayfyíz) [zS(z) - 1], y(z) (3.350) (3.351) (3.352) 134 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP y(z) g - 1 -—C(_z) = 1 (3.353) Jakmile na základě iteracního procesu získáme hodnotu proměnné z s vyhovující přesností můžeme ji dosadit do rov. (3.341) a stanovit hodnotu y. V dalším kroku vypočteme hodnoty Lagrangeových koeficientů dle rov. (3.350) až (3.353). Nyní můžeme na základě známých hodnot Lagrangeových koeficientů přistoupit k výpočtu vektorů rychlosti V-s a V2 dle dříve uvedených rov. (3.321) a (3.322). Konečně můžeme použitím vektorů rx a V1 nebo fz a V2 určit elementy dráhy nám již známým postupem uvedeným v kap. 3.6 (příklad 3.8). 3.8 Vliv nesféričnosti Země na oběžnou dráhu Doposud jsme probírali pohyb kosmických těles v homogenním centrálním gravitačním poli bez uvažování jakýchkoliv vnějších rušivých vlivů. Skutečnost je však poněkud jiná a výsledky uvedených ideálních řešení je třeba víceméně korigovat dle aktuálních podmínek. Problematika pohybu kosmického tělesa na oběžné dráze s uvážením všech doposud známých rušivých vlivů je však úloha značně obtížná. Výklad těchto vlivů by si vyžadoval samostatnou monografii. Proto čtenáře odkazujeme na speciální literaturu, např. [17], [20], Zde si uvedeme jen vliv nesféričnosti Země na pohyb kosmického objektu na oběžné dráze Země. Jak již bylo uvedeno v kap. 3.7.2, Země má tvar rotačního elipsoidu. Gravitační síla v tomto případě nepůsobí na obíhající objekt ve směru geocentrické normály, nýbrž působí ve směru lokální geodetické normály, která nesměřuje do středu centrálního tělesa. Z toho vyplývá, že tato síla nezávisí jen na vzdálenosti od středu přitažlivosti, ale závisí ještě na zeměpisné šířce. Tento vliv je standardně vyjadřován pomocí bezrozměrových parametrů, které nazýváme zonálními harmonickými koeficienty. Speciálně vliv zploštění Země je vyjádřen tzv. druhým zonálním harmonickým koeficientem označeným symbolem J2- Pro každé centrální těleso (planetu) má jinou, avšak konstantní hodnotu. Pro Zemi byla stanovena hodnota druhého harmonického zonálního koeficientu/2 = 1,08263.10"3 [1]. Výsledné zrychlení, které platí pro keplerovské dráhy je nyní nutno doplnit o další člen p, který vyjadřuje poruchové zrychlení. V tomto duchu upravíme rov. (3.88) na tvar ř = --^ř + p. (3.354) r j Složky poruchového zrychlení vyvolané nesféričnosti Země závisí na parametrech dráhy a zmíněném druhém harmonickém zonálním koeficientu J2. Složky vektoru poruchového zrychlení byly odvozeny např. v lit. [55]. Moduly těchto složek ve směrech radiálním, transverzálním a ve směru normály k oběžné dráhy jsou dány výrazy pr = -\^ih (j) [1 " 3sin2 i sin2(w + 9)], (3.355) 135 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CCP 3 u /rz\2 P& = ~2řž}*\7) S'n Í8tal2(« + IBM» 3 p. ,rz\2 pn = - j-žh {—) sin2isin(ťd + e). (3.3f Vliv nesféričnosti Země se sice projeví změnami všech parametrů oběžné dráhy, mezi hlavní důsledky patří stáčení uzlové přímky a změna argumentu perigea oběi dráhy. 3.8.1 Stáčení (regrese) uzlových bodů oběžné dráhy Kromě vlivů na různé parametry oběžných drah, je v uvedeném zdroji [55] odvozen výše uvedeného normálového zrychlení pn na časovou změnu délky vzestupného ve tvaru . h íí = — sin(tc) + 0) :Pn- (3. p (1 + e cos 0)sini Další složky poruchového zrychlení se na tomto parametru oběžné dráhy nepr Pokud budeme uvažovat průměrnou časovou změnu délky vzestupného uzlu za j celou periodu lze po úpravách dospět ke konečnému výrazu pro průměrné poot uzlové přímky ve tvaru Í3 Vftfefz Q = - 2(1 -e2)2 a7/2 cosi. ( Z uvedeného vztahu vyplývá, že pro přímé (prográdní) oběžné dráhy (0 < i < obdržíme zápornou hodnotu íl < 0. To znamená, že v tomto případě se uzlová stále pootáčí západním směrem. U nepřímých (retrográdních) oběžných drah je naopak. A v případě polární oběžné dráhy se sklonem ť = 90° se poloha uzlové nemění. 3.8.2 Změna argumentu perigea oběžné dráhy Na rozdíl od vlivu poruchového zrychlení v důsledku nesféričnosti Země na st uzlových bodů je časová změna argumentu perigea oběžné dráhy závislá na složkách poruchového zrychlení dle vztahu r cos0 - = " —P- (2 + e cos0) sin 0 +-7h-Pe r sin(o) + 0) htgi Obdobně jako v předchozím případě může být rov. (3.360) upravena na konečný vyjadřující časovou změnu argumentu perigea oběžné dráhy na tvar oj = — 2(l-e2)2a7/2 (331 Můžeme si povšimnou jedné zajímavé situace, která vyplývá z rov. (3.361). Existují' kritické hodnoty sklonu oběžné dráhy, pro něž je časová změna argumentu nulová. Tyto hodnoty lze nalézt z podmínky, kdy hodnota výrazu v kulatých záv nabývá nulové hodnoty. To nastává pro í = 63,43° a i = 116,57°. Při hodnotách sklonu oběžné dráhy nedochází ke změně argumentu perigea. Dochází ke změně smyslu pohybu perigea. V rozsahu sklonů 0° < i < 63,43° a 116,57° <| 136 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP 180° je á) > 0. Perigeum se pohybuje ve smyslu oběhu kosmického tělesa. Naopak v rozsahu sklonů mezi těmito kritickými hodnotami 63,43° < i < 116,57° je 6i < 0. Perigeum se pohybuje proti smyslu pohybu kosmického objektu. 3.9 Speciální typy oběžných drah Významné místo mezi různými typy oběžných drah zaujímají synchronní a stacionární dráhy umělých družic. Synchronní oběžné dráhy jsou ty, u nichž je siderická doba oběhu stejná, jako je doba rotace nebeského tělesa, kolem něhož obíhá nebo je v poměru celých čísel. V tomto případě kosmický objekt v pravidelných intervalech přelétá nad stejnými místy na povrchu nebeského tělesa. Zatímco stacionární oběžné dráhy jsou ty, které leží v rovině rovníku nebeského tělesa, a jejich siderická oběžná doba se rovná době rotace nebeského tělesa, kolem něhož obíhá. V tomto případě se pak kosmický objekt stále nachází nad jedním místem na rovníku. Ze synchronních drah uvedeme heliosynchronní a geosynchronní oběžnou dráhu. Jako zástupce stacionárních drah probereme geostacionární oběžnou dráhu Země. Přehled ještě doplníme o speciální oběžnou dráhu typu Molnija, [17]. 3.9.1 Heliosynchronní oběžná dráha Země Přehled speciálních oběžných drah začneme heliosynchronní oběžnou dráhou Země, neboť její princip bezprostředně navazuje na skutečnosti uvedené v předchozí části pojednávající o poruchách v důsledku zploštění Země. Jestliže na tyto poruchy oběžných drah běžně nahlížíme jako na nežádoucí a komplikující, u heliosynchronních oběžných drah jich naopak smysluplně využíváme. Heliosynchronní oběžná dráha kosmického objektu kolem Země je typická tím, že časová změna (rychlost regrese) polohy uzlové přímky fi se rovná střední úhlové rychlosti pohybu Země (obecně planety) kolem Slunce. Země obíhá téměř po kruhové dráze s periodou 365,25 (středních) slunečních dní. Úhlová rychlost rotace Země kolem Slunce je dána poměrem 360° ————, = 0,9856 [°/den]. 365,25 dní Touto úhlovou rychlostí se musí zároveň pootáčet uzlová přímka ve směru rotace Země kolem Slunce. Pak pomocí rov. (3.359) zapíšeme tuto podmínku ve tvaru fi = -2,06464.1014- cosi (^e^^/z-0'9856 ^]. (3.362) Konstanta má rozměr [° km7/2/den]. Proto je třeba délku velké poloosy a dosazovat v [km]. Vhodnou volbou sklonu oběžné dráhy i, excentricity e a délky hlavní poloosy a můžeme uvedenou podmínku splnit. Z rov. (3.362) jasně vyplývá, že hodnota cos i musí být záporná, což je splněno pro sklony oběžných drah i > 90°. Z tohoto poznatku vyplývá, že heliosynchronní oběžné dráhy Země jsou dráhy nepřímé (retrográdní). Popsaný mechanismus synchronní rotace uzlové přímky oběžné dráhy během jednoho siderického dne (23 h 56 m 4 s) při pohybu Země kolem Slunce je znázorněn na obr. 3-44. Z obrázku vyplývá, že kosmický objekt v tomto případě přelétavá danou oblast 137 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP planety za stejných podmínek osvětlení povrchu planety Sluncem. Úhel a mezi spojnc středů Slunce-Země a uzlovou přímkou vzestupného a sestupného uzlu oběžné drá zůstává konstantní. V době psaní této učebnice byla vypuštěna umělá družice Země VZLUSAT-1. Je to první česká nanodružice typu CubeSat. Byla vypuštěna na heliosynchronní oběžnou dráhu Země pomocí indické nosné rakety PSLV-C38. Realizační tým poskytl autorovi základní informace pro edukační účely, které jsou použity v následujícím příkladu 3.15. Příklad 3.15 Zadání: Stanovte periodu a sklon oběžné dráhy české nanodružice Země VZLU5AT-1 vypuštěné na heliosynchronní kruhovou oběžnou dráhu v zadané výšce. Potřebná data: Výška oběžné dráhy h - 510 [km], Gravitační parametr Země /i - 398600 [km3s~2], Excentricita e = 0, Úhlová rychlost pootáčení uzlové přímky fi = 0,9856 [°/den]. 138 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Řešení: a) Výpočet oběžné doby dle rov. (3.86), kam místo délky hlavní poloosy dosadíme poloměr kruhové oběžné dráhy (a = rz + h) T - 2n 1— - 2ir (6378+ 510)3 = 5689,2 [s] = 1,580 [h] = lh34m 49 s. 398600 b) Výpočet sklonu oběžné dráhy z podmínky definované rov. (3.362) cos í = -2,06464.1014- (1 -e2ya7'2' odkud získáme výraz pro fi(1 - e2)2a7/2 0,9856(6378 + 510)35 C0S1 = -2,06464.10» = -2,06464.10- = ~0'12947 UL £ = arccos(-0,12947) = 97,4 [°]. Na tomto jednoduchém příkladu je potvrzeno, že heliosynchronní družíce Země se pohybují po retrográdních oběžných dráhách se sklonem i > 90°. 3.9.2 Geosynchronní oběžná dráha Geosynchronní oběžnou dráhu, např. Země, můžeme definovat obdobně, jak již bylo uvedeno výše v obecné definici synchronní dráhy. V tomto případě je nebeské těleso nahrazeno planetou Země. Takže geosynchronní oběžná dráha je dráha kosmického objektu obíhajícího Zemi, u kterého je siderická doba oběhu stejná, jako je doba rotace Země, neboje v poměru celých čísel. geosynchronní družice Obr. 3-45 Porovnání geosynchronní a geostacionární umělé družice Země. Kosmický objekt v pravidelných intervalech přelétá nad stejnými místy na povrchu Země (neuvažujeme rušivé vlivy). Sklon oběžné dráhy je nenulový, avšak relativně malý. Pokud je sklon oběžné dráhy nulový, pak se již jedná o geostacionární oběžnou dráhu. Takže geostacionární oběžná dráha je vlastně speciálním případem geosynchronní 139 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P oběžné dráhy s nulovým sklonem. Popis geostacionární oběžné dráhy následuj Porovnání obou zmíněných oběžných drah je znázorněno na obr. 3-45. 3.9.3 Geostacionární oběžná dráha Mezi často využívané speciální typy oběžných drah patří geostacionární oběžná dráha. Jak již bylo řečeno, ve své podstatě se vlastně jedná o speciální případ geosynchrona] oběžné dráhy Země. Na těchto drahách se nejčastěji pohybují telekomunikační ne meteorologické umělé družice Země. Geostacionární dráha je kruhová oběžná dráha s nulovým sklonem ve specifické vyšal nad povrchem Země (obr. 3-46). Výška je odvozena z podmínky, aby úhlová rychloa pohybu umělé družice byla stejná, jako je úhlová rychlost rotace Země kolem své osa Umělá družice umístěná na geostacionární oběžnou dráhu se pak nachází stále ra stejném místě nad rovníkem (neuvažujeme-li žádné vnější rušivé vlivy). Vzdálenost geostacionární oběžné dráhy od středu Země určíme z III. Keplerova zákony (3.86), který s využitím rovnosti a = rCE0 přepíšeme na tvar Perioda geostacionární umělé družice musí být rovna jednomu siderickému dni (vůl stálicím) TCE0 = 23 h 56 m 4 s = 86164 s. Z toho dle rov. (3.363) vyplývá vzdálenost geostacionární dráha Obr. 3-46 Geostacionární umělá družice Země. Výška geostacionární oběžné dráhy je dána relací h-geo = rgeo ~~ rz- ( 86164V398600 2/3 rceo — 2n = 42164 [km]. 140 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Výška geostacionární oběžné dráhy hgeo = i~geo ~ rz = 42164 - 6378 = 35786 [km], 3.9.4 Oběžná dráha typu Molnija V podkapitole 3.8.2 jsme dospěli k poznatku, že existují dvě kritické hodnoty sklonu oběžné dráhy i — 63,43° a i = 116,57°, při nichž nedochází ke stáčení perigea oběžné dráhy v důsledku nesféričnosti Země. Této skutečnosti využívají oběžné dráhy typu Molnija, jejichž typové označení pochází od ruských telekomunikačních družic stejného jména. Ruské telekomunikační družice Molnija jsou vypouštěny na velmi protáhlou prográdní eliptickou oběžnou dráhu se sklonem i = 63,43° s periodou 12 hodin nad severní polosféru Země z kosmodromu Plesetsk (