4 AKTIVNÍ POHYB KOSMICKÝCH TĚLES. DYNAMIKA POHYBU RAKETY 4.1 Pohyb tělesa s proměnlivou hmotností. Vznik reaktivní síly 4.1.1 Meščerského rovnice Měščerského pohybová rovnice modifikuje druhý Newtonův zákon pro pohyb tě s proměnlivou hmotností. I. V. Meščerskij byl profesorem na Polytechnickém institut Petrohradě. Rovnici poprvé publikoval v roce 1897. Naznačme si nyní její odvození. Uvažujme dva časové okamžiky při pohybu tělesa, které v průběhu pohybu mění si hmotnost. Tímto tělesem nechť je raketa (obr. 4-1) o hmotnosti m, z níž proudí spai hoření konstantní relativní rychlostí W. m (m - dmj 1 N . 1 1___ (a) f (b)f + dř Obr. 4-1 Pohyb rakety s proměnlivou hmotností. V čase t má raketa hybnost H{t) = mV. V časovém okamžiku (t + dt), po oddělení hmotnosti spálených pohonných látek lze hybnost zapsat následovně Hit + dt) = (m- dmP)(V + dV) + (V - W)dmP. Pak rozdíl hybností za časový přírůstek dt bude dán výrazem dH = (mV - Vdmp + mdV - dmPdV + VdmP - WdmP) - mV. Jednoduchou úpravou a zanedbáním členu druhého řádu idmPdV) můžeme z hybnosti zapsat takto dH = mdV - WdmP. Vztáhneme-li uvedený přírůstek hybnosti na uvažovaný časový přírůstek dt, můř rovnici přepsat do tvaru dH dV dmP — = m—-W-dt dt d t Dle zobecněného druhého Newtonova zákona víme, že časová změna hybnost » rovná součtu všech vnějších sil působících na dané těleso ve směru vektoru rychtaB dH/dt = Y,Fi- Zavedeme-li dále skutečnost, že časová změna hmotnosti spalin hc^ 142 4. Aktivní pohyb kosmických těles se rovná úbytku hmotností rakety za stejný čas dmP/dt = —dm/dt, můžeme psát konečný tvar Meščerského rovnice ve tvaru dV dm ■ý-M-^-ff (4'5) Rovnici jsme přepsali do tvaru, který koresponduje s druhým Newtonovým zákonem. Z uvedené pohybové rovnice vidíme velmi důležitý poznatek. Nebudou-li na raketu působit žádné vnější síly £Fŕ - 0 (uvažujme bezsilové vzduchoprázdne pole), bude raketa přesto urychlována reaktivní silou, kterou představuje druhý člen na pravé straně rovnice. 4.1.2 Ciolkovského rovnice. Ideální charakteristická rychlost rakety K. E. Ciolkovskij se rovněž zabýval pohybem rakety. Uvažoval pohyb v bezsilovém poli za předpokladu konstantní výtokové rychlosti spalin hoření W = konst, která je rovnoběžná s vektorem rychlosti letu. V bezsilovém poli Ciolkovskij dospěl k pohybové rovnici, která je vlastně zjednodušená Meščerského rovnice. V tomto případě nabývá pohybová rovnice tvar dV dm m— = -W—. (4.6) dt dt Ideální charakteristická rychlost jednostupňové rakety Na základě výše uvedené pohybové rovnice Ciolkovskij jako první řešil úlohu konečné rychlosti dosažitelné raketou s daným množstvím pohonných látek. Tato ideální charakteristická rychlost rakety odpovídá okamžiku, kdy jsou spotřebovány veškeré pohonné látky nesené raketou. Dále budeme tuto rychlost nazývat finální rychlost. Separací proměnných upravíme rov. (4.6) pro přímou integraci ve zvolených mezích \ dV = -W \ —. Po integraci obdržíme výraz pro finální rychlost ve tvaru Vf = V0 + W\n—. (4.7) mf Respektive, pro nulovou počáteční rychlost (V0 = 0) obdržíme nejčastěji používaný tvar Ciolkovského rovnice pro finální rychlost ma Vf = W\n —. (4.8) mf Tato finální rychlost Vf se v literatuře často nazývá také jako charakteristická rychlost a označuje se symbolem Vchar. V tomto případě se však jedná o ideální charakteristickou rychlost. Zde budeme důsledně rozlišovat mezi touto ideální charakteristickou rychlostí dle Ciolkovského rovnice (4.8) a jinou charakteristickou rychlostí Vchar dle rov. (4.138), respektive dle rov. (4.139), což je rychlost potřebná pro vypuštění kosmického tělesa na kruhovou oběžnou dráhu. Zvýše uvedené Ciolkovského rovnice (4.8) můžeme udělat následující závěry. Dosahovaná finální rychlost závisí přímo úměrně na rychlosti výtokových spalin W a dále na poměru počáteční a finální hmotnosti. Tento poměr se v některé literatuře 143 4. Aktivní pohyb kosmických těles nazývá Ciolkovského číslo. Dosažitelná finální rychlost Vf nezávisí na sp pohonných látek, ale toliko na množství pohonných látek mP = m0 — mf. Dále možno z uvedené rovnice vidět, že pro dosažení vyšší finální rychlosti je mn účinnější zvyšovat výtokovou rychlost W, než poměr hmotností m0/m^. Finální rychlost vícestupňové rakety Ciolkovskému také přináleží předpověď výhodnosti vícestupňových raket (Ciolko' nazýval raketovými vlaky). Položme si otázku, jak by bylo možno zvýšit finální rycM rakety při dané celkové vzletové hmotnosti a daném množství pohonných látek. Ti můžeme dosáhnout rozdělením původní nosné rakety na několik „jednostupň raket", tzv. stupňů. Pro každý z nich platí Ciolkovského rovnice. Pro i-tý stupeň zapíšeme dle Ciolkovského rovnice výraz pro finální rychlost Pokud nosná raketa sestává z n stupňů, pak finální (konečná) rychlost po do' veškerých pohonných látek je dána součtem dílčích finálních rychlostí vf = vfl + vf2 + vn + ••• + Vm = Yvn. i=l S využitím rov. (4.9), konečnou rychlost vícestupňové nosné rakety zapíšeme i=l v ;/i Respektive pro případ, kdy u všech stupňů nosné rakety bude stejná výtoková ryt spalin {Wef = konst.), zapíšeme rovnici takto nebo alternativně takto ,wef _ mf mo i=i m, m, mf ■n í=j m. WLf 4.2 Síly působící na nosnou raketu Doposud jsme sledovali pohyb rakety (kosmického tělesa s proměnlivou hmotne zcela bezsilovém poli. Ve skutečnosti však takové pole neexistuje a musíme účinky vnějších polí. V obecném případě na kosmické letadlo (nosnou raketu) vzlétající z nějaké plat* s centrálním gravitačním polem a s atmosférou (prozatím Země) působí násl hlavní síly: a) Propulzní síla pohonné jednotky - tah F, b) Výsledná aerodynamická síla RA, c) Tíhová síla G (viz 2. kapitola). 144 4. Aktivní pohyb kosmických těles 4.2.1 Propulzní síla - tah V podkapitole 4.1.1 jsme si objasnili vznik reaktivní sily (tahu) v důsledku časové změny hmotnosti nosné rakety díky vytékajícím spalinám z nějakého propulzního zařízení neseného na palubě. Z Meščerského rovnice vyplývá, že člen (—W dm/dt) představuje jen reaktivní složku tahu FR. Podívejme se nyní na celkový tah generovaný za přítomnosti atmosféry. Vraťme se opět k Meščerského rovnici, kterou přepíšeme s uvážením zkráceného zápisu spotřeby pohonných látek dmP/dt = rhP na tvar dV dt (4.14) Na pravé straně této pohybové rovnice figurují v podstatě pouze dvě síly. První člen na pravé straně je nám již známý reaktivní tah (dynamická složka tahu) FR = WrhP (4.15) a £Fj = FP, kde FP je tlaková složka tahu (statická složka tahu). Takže pravou stranu rovnice (4.14) tvoří výsledný tah sestávající ze dvou složek F = FR + FP. (4.16) Nyní zbývá objasnit tlakovou složku Fľ výsledné tahové síly. Jedná se o projev tlakových účinků atmosféry v rovině ústí výstupní trysky raketového motoru, znázorněných na obr. 4-2. P, tlil P,- P, I II 1 ^ P, c^h*- p.-p, 11 n TTTT Obr. 4-2. Objasnění vzniku tlakové složky výsledného tahu raketového motoru. Tlakovou složku výsledného tahu můžeme vyjádřit jako součin rozdílu tlaků výstupních spalin pe a atmosférického tlaku pa v řezu výstupní trysky a její plochy Se Fp = (Pe-Pa)Se. (4.17) Pak výsledný výraz pro tahovou sílu s vlivem atmosféry je dán následovně F = Wrhp + (pe - pa)Se. (4.18) Vytkneme-li z uvedené rovnice časovou spotřebu pohonných látek rhP nabude rovnice následující tvar (Pe ~ Pa)Se F = rhp W + m. (4.19) V této rovnici pak výraz v hranaté závorce představuje tzv. efektivní výtokovou rychlost spalin hoření (Pe - Pa)Se wef = w + mP (4.20) 145 4. Aktivní pohyb kosmických těles Zavedením efektivní výtokové rychlosti můžeme výraz pro výsledný tah zapisovat pouae jako součin efektivní výtokové rychlosti a spotřeby pohonných látek F = WefrhP. (4.21 Jak je patrné z rov. (4.18), výsledný tah se díky atmosférickému tlaku pa mění s výškoa Proto se často uvádí tah v nulové výšce na startovací rampě (rampový tah) a zavádí ■ funkční závislost změny tahu s výškou. Zavedeme-li do vztahu pro tah dle rovnice (4.1B statický tiak v nulové výšce p0, lze tah zapsat ve tvaru F = Wrhp + (pe - p0)Se + (p0 - pJSe. (4.21 Pak můžeme výsledný tah vyjádřit jako součet dvou členů F = FQ + AF, (4 J kde první člen odpovídá tahu v nulové výšce F0 = WmP + (pe - p0)Se, (4Ji a druhý člen je tzv. barometrický přírůstek tahu, který roste s výškou letu 4.2.2 Aerodynamické síly Aerodynamické síly působící na kosmické letadlo (např. nosnou raketu) vznfl vzájemnou interakcí nosné rakety a vzduchu (obecně plynného prostředí) při jej* relativním pohybu. Obr. 4-3 Aerodynamické síly působící na nosnou raketu při letu v atmosféře. Pokud uvažujeme symetrický let kosmického letadla (bez vybočení - vektor rychl leží v rovině souměrnosti), pak na něj působí aerodynamický vztlak L, aerodynam odpor D a klopivý moment M, který vztahujeme k těžišti kosmického letadla. JaH patrné z obr. 4-3, vztlak a odpor jsou složkami výsledné aerodynamické síly ■ Výsledná aerodynamická síla působí v bodě, který se nazývá působiště tlaku. PotaB tohoto bodu se mění s režimem letu. Proto v podzvukové oblasti rychlostí uvažujOM že výslednice aerodynamických sil působí v tzv. aerodynamickém středu nosné ratfl (obr. 4-3). Poloha aerodynamického středu závisí jen na vnější geometrii kosmid^H letadla. Pro konkrétní konfiguraci kosmického letadla je to pevně daný vztažný doh k němuž je součinitel klopivého momentu konstantní, nezávislý na úhlu nábifl V oblasti nadzvukových a hypersonických rychlostí se tento bod nazývá neutráhÄ bodem. Jeho poloha již není konstantní, ale závisí na míře vlivu stlačitelnosti vzdudfl 146 4. Aktivní pohyb kosmických těles tedy na Machově čísle. Polohy aerodynamického středu, respektive neutrálního bodu a těžiště se liší, v důsledku čehož vzniká klopivý moment M, který vztahujeme k těžišti kosmického letadla. MQ na obr. 4-3 je klopivý moment k AS při nulovém vztlaku. Aerodynamické síly a klopivý moment vyjadřujeme standardně v následující formě RA = C^pV2S, (4.26) L = CL^pV2S, (4.27) D = CD^pV2S, (4.28) M = Cm^pV2SL (4.29) Jak je vidět z uvedených vztahů, aerodynamické síly a klopivý moment jsou přímo závislé na hustotě vzduchu p, kvadrátu rychlosti letu V. Velikost tělesa je vyjádřena vztažnou plochou S. U nosných raket se za vztažnou plochu obvykle bere plocha maximálního příčného průřezu trupu. U raketoplánů je to půdorysná plocha křídel. Ve vztahu pro klopivý moment M se navíc používá smluvně zvolená vztažná délka /, kterou u nosných raket může být buď délka rakety, nebo průměr trupu rakety. U kosmických letadel s nosnými plochami (raketoplány) se za vztažnou délku volí tzv. střední aerodynamická tětiva křídla. Důležitou roli hraje tvar kosmického letadla a jeho poloha vůči směru proudu vzduchu, která je definována úhlem náběhu a. Úhel náběhu je úhel mezi podélnou osou kosmického letadla a vektorem rychlosti letu (obr. 4-3). Oba zmíněné vlivy jsou ve výše uvedených vztazích vyjádřeny pomocí tzv. bezrozměrových součinitelů příslušných sil Cr, CLi Cd a součinitele klopivého momentu Cm. Kromě závislosti na úhlu náběhu jsou tyto součinitele dále ovlivňovány stlačitelností vzduchu a vazkostí vzduchu. Vliv stlačitelnosti vzduchu je parametricky vyjádřen pomocí Machova čísla, což je poměr skutečné rychlosti letu vůči vzduchu V a lokální rychlosti zvuku a V M = -. (4.30) a Vliv vazkosti vzduchu je vyjádřen dalším bezrozměrovým číslem, Reynoldsovým číslem VI Re = —, (4.31) kde v je kinematická vazkost vzduchu. Takže aerodynamické součinitele kosmického letadla jsou obecně funkcí tvaru tělesa, úhlu náběhu a uvedených bezrozměrových podobnostních čísel (Cr , Ci.,Co,Cm) = f (tvar, a, M, Re). Nutno však říci, že v různých oblastech rychlostí a výšek se na aerodynamických silách a momentech uvedené vlivy podílí v různé míře. Např. vliv vazkosti je zanedbatelný při vyšších rychlostech a vliv stlačitelnosti vzduchu je zanedbatelný naopak při nízkých podzvukových rychlostech. Nicméně, kosmické letadlo prolétává při svém vzletu i při návratu nejen vrstvami atmosféry o různé hustotě, ale také různými rychlostmi. Zejména druhá zmíněná skutečnost se projevuje na generování aerodynamických sil dle různých zákonů aerodynamiky. Jiné platí pro podzvukovou aerodynamiku a jiné pro supersonickou a 147 4. Aktívni pohyb kosmických těles hypersonickou aerodynamiku. Dle rychlosti obtékání těles vyjádřené Machovým čí můžeme aerodynamiku rozdělit na aerodynamiku: a) subsonických (podzvukových) rychlostí - bez vlivu stlačitelnosti 0 < M < 0,5, - s vlivem stlačitelnosti 0,5 < M < 0,8 b) transsonických rychlostí 0,8 < M < 1,2 c) supersonických (nadzvukových) rychlostí 1,2 < M < 5, d) hypersonických rychlostí M > 5. Běžně předpokládáme, že proudové pole je spojité prostředí. Avšak ve vyšších vrs" atmosféry, kde je již natolik zředěný vzduch nelze uvedený předpoklad akceptovat, je třeba na proudové pole pohlížet jako na nespojité prostředí. Jedná se \i molekulární proudění, kde se uplatňuje Newtonova teorie obtékání. Tyto prob! patří do aerodynamiky zředěných plynů, tzv. superaerodynamiky. Pro tuto o' proudění je charakteristická skutečnost, že střední délka volné dráhy molekul vzdud] Xjn je větší než charakteristická délka obtékaného tělesa /. Charakter obtékání je Knudsenovým číslem, které je definováno právě jako poměr střední délky volné molekul a charakteristické délky tělesa Na základě poznatků kinetické teorie plynů, střední délku volné dráhy molekul lze [50] vyjádřit vztahem Využitím uvedeného vztahu pro A^, výrazu (4.30) pro Machovo číslo a rov. (4.31 Reynoldsovo číslo, lze Knudsenovo Číslo zapsat následovně Protože analýza proudění a přenosu tepla v mezní vrstvě je zvláště důležitá při rešad návratových problémů a s nimi spojeného aerodynamického ohřevu, volí se obvyfl v definici Knudsenova čísla za vztažnou délku právě tloušťka mezní vrstvy ô (pozotJ Reynoldsova čísla se používá jiná vztažná délka). Z tohoto důvodu je třeba modifikuj definici Knudsenova čísla (4.33) na následující tvar Pomocí takto definovaného Knudsenova čísla můžeme proudění vzduchu rozdělit n>fl charakteristické oblasti.: a) Pokud je Knudsenovo číslo Kns < 0,01, tj. volná dráha molekul vzduchu ■ zanedbatelně malá vůči tloušťce mezní vrstvy, pak se jedná o obtékání ve spojitál prostředí, tak jak jej běžně uvažujeme v aerodynamice. Průběh rychlostí (rychloslB profil) v mezní vrstvě u[y~) je znázorněn na obr. 4-4, křivka (a). Rychlost na stěrcěi rovna nule a roste se vzdáleností od stěny. Na horní hranici mezní vrstvy rychloai rovna rychlosti vnějšího proudu . b) V případě, že Knudsenovo číslo nabývá hodnot 0,01 < Kns < 1, pak se jedná o taJ proudění se skluzem částic na povrchu obtékaného tělesa. Rychlost částic vzdudfl Kn — —. (4M 148 4. Aktivní pohyb kosmických těles se na povrchu tělesa neubrzdí na nulovou rychlost, ale mají určitou konečnou rychlost. Rychlostní profil v mezní vrstvě pro tento typ proudění je na obr. 4-4 znázorněn křivkou (b). c) Je-li Knudsenovo číslo Kng > 1 a více, pak to znamená, že volná dráha molekul vzduchu je větší jak tloušťka mezní vrstvy. Jedná se již o molekulární proudění. A při Kns > 10 nabývá proudové pole charakter proudění již ve značně zředěném nespojitém prostředí. Rychlostní profil nevykazuje žádnou změnu, jak je znázorněno čarou (c) na obr. 4-4. Mezní vrstva v podstatě neexistuje. Obr. 4-4 Rychlostní profily v různých mezních vrstvách. Aerodynamická polára Aerodynamické charakteristiky reálného kosmického letadla vyjadřujeme pomocí aerodynamické poláry, což je závislost mezi součinitelem vztlaku a odporu. Zde budeme používat analytickou náhradní aerodynamickou poláru ve tvaru Cd = Cdo + Ojí = CD0 + kCl. (4.35) Celkový součinitel odporu sestává ze dvou částí. První člen je součinitel odporu při nulovém součiniteli vztlaku (nulovém absolutním úhlu náběhu). Druhý člen je součinitel indukovaného odporu, který je funkcí součinitele vztlaku CDi = kC\. Koeficient k je faktor indukovaného odporu (u nosných raket vírového odporu), který závisí na tvaru kosmického letadla. Z rov. (4.35) je patrné, že pro daný součinitel vztlaku je analytická aerodynamická polára dána dvěma parametry CD0 a k. Pro další řešení vyloučíme faktor indukovaného odporu k a zavedeme aerodynamickou jemnost kosmického letadla, což je poměr součinitele vztlaku a součinitele odporu (4.36) Aerodynamická jemnost kosmického letadla hraje důležitou roli při řešení pohybu kosmických letadel během letu atmosférou. Aerodynamická jemnost se nazývá také jako klouzavost. Hledejme nyní režim letu, definovaný součinitelem vztlaku C[, při 149 4. Aktivní pohyb kosmických těles němž nabývá aerodynamická jemnost maximální hodnotu. S využitím rov. (4 sestavíme výraz pro klouzavost ve tvaru Cd Cdo + kCf Derivujeme rov. (4.37) a derivaci položíme rovnu nule d (C,\ Cnn + kCl - 2kCl dCL \CD) (CD0 + kCfr odkud součinitel při maximální klouzavosti je dán výrazem -0, C[ = C dq k ' (4 respektive faktor indukovaného odporu vyjádřený pomocí C[ zapíšeme ve tvaru Cdo k - (cLy Nyní pomocí rov. (4.39) vyloučíme faktor indukovaného odporu ze vztahu (4.35), obdržíme analytickou poláru v následujícím modifikovaném tvaru í /V Cd — Cdo 1 + l ^7 Pro analytickou poláru je charakteristická skutečnost, že součinitel indukova odporu C0, je právě roven součiniteli odporu při nulovém součiniteli vztlaku t výsledný součinitel odporu CD v režimu maximální klouzavosti (při CL = C[) je r dvojnásobku CD0, (obr. 4-5). O tom se můžeme přesvědčit dosazením C'L dle rov. (4 do vztahu (4.35) Ch = Cdo + ^ 1— = C 'do "I" Cdo — 2Cj do- (4-:. 150 4. Aktivní pohyb kosmických těles Aerodynamická jemnost kosmického letadla je dána vztahem Ci Cl Cd ' 'do 1 + (4.42) Analytický výraz pro maximální aerodynamickou jemnost kosmického letadla získáme buď podílem odpovídajících součinitelů vztlaku a odporu nebo přímým dosazením za součinitele CL = C*L do rov. (4.42) (St) m $L=JL (4.43) do Nyní máme modifikované aerodynamické charakteristiky vyjádřené pomocí dvou parametrů (CD0,C£). Pro představu je na obr. 4-6 uveden typický tvar aerodynamické poláry hypotetického supersonického letadla. Typický průběh závislosti aerodynamické jemnosti na režimu letu, definovaném součinitelem vztlaku, je uveden pro stejné letadlo na obr. 4-7. Na rozdíl od klasických atmosférických letadel je aerodynamická jemnost kosmických letadel při stejných úhlech náběhu mnohem menší. Nosnou raketu můžeme v podstatě považovat za aerodynamicky nenosné těleso, tím máme na mysli, že ve většině režimů letu převažuje odpor. U raket přistupuje ještě další složka odporu, tzv. dnový odpor. Dnový odpor vzniká tím, že částečky vzduchu nejsou sto plynule obtékat zadní část (dno) rakety a dochází k jejich odtrhávání. Vzniká podtlak, který vede k dalšímu nárůstu celkového odporu. Při vysokých rychlostech se v důsledku stlačitelnosti vzduchu objevují v proudovém poli rázové vlny. Jejich přítomnost vede rovněž k růstu odporu. Tuto složku odporu nazýváme vlnový odpor. 0,50 0,45 0,40 „ 0,35 x-i _j 0,30 u 3 0-25 JE « 0,20 I 0,15 I 0,10 o 0,05 0,00 M = i U, 10 / 3 ,0 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 M = 1 2,0 y \ \ 3,( ) \ 0 \ \ 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 Součinitel odporu CD [1] Obr. 4-6 Typická aerodynamická polára v supersonické oblosti. 012345678 Aerodynamická jemnost K [ť Obr. 4-7 Závislost aerodynamické jemnosti na součiniteli vztlaku. 151 4. Aktivní pohyb kosmických těles Výše uvedené vztahy pro aerodynamické součinitele jsou platné pro subsonicke supersonické rychlosti. Pro hypersonické rychlosti se používá mírně modifikovaný vz pro aerodynamickou poláru. Na základě empirických zkušeností [57] se druhý člen indukovaný součinitel odporu v rov. (4.35) vyjadřuje ve tvaru CDi = fcC", kde exp" n je dán vztahem n = 2,235 - 0,09567(CL/CD)mQ^. (4. V dalším však budeme pracovat s původně uvedenou polárou dle rov. (4.35). výpočet aerodynamických součinitelů, které závisí na úhlu náběhu, se v hypersc oblasti používají vztahy přímo vyjadřované v závislosti na úhlu náběhu ve tvaru, [4] CL = A sin2 a cos2 a, (4.* Cd = Cpe + B sin3 a, (4.41 kde konstanty A a B jsou obvykle stanoveny empiricky. Při hypersonických rychlostaÉ převyšujících M > 7 některé z aerodynamických charakteristik již poněkud méněz^ na Machově čísle. Například součinitel odporu je prakticky konstantní. Vliv Reynolc čísla se projevuje především na aerodynamický odpor, vztlak je ovlivněn zanedbáte V hypersonické oblasti rychlostí máme co do činění s dalšími jevy spoje s konvektivním přenosem tepla v mezní vrstvě a radiačním vlivem rázové vln\ podstatně vyšších rychlostech dochází k ionizaci vzduchu a problém komplikují rf chemické procesy. Podrobnější analýza aerodynamických charakteristik překračuje rámec této knihuj proto odkazuji čtenáře na běžně dostupné učebnice aerodynamiky, [2], [3]. 4.3 Obecné pohybové rovnice nosné rakety Zapišme pohybové silové rovnice v polárních souřadnicích (r, B) ve směru radia transverzály x0 dle obr. 4-8 m(r — rQ2) = F sin(aF + y) - D siny + L cos y -G, ( m(r0 + 2ŕ6) = F cos(aF + y) - D cos y - L sin y. (4 Dále potřebujeme znát kinematické vazby, které můžeme v souladu s obr. 4-8 z; následovně V cos y - rQ, (4 Vsiny = ř, (4 V2 = ř2 + (r0)2. (4 Derivujme nyní rovnici rychlosti (4.51). Po derivaci a drobné úpravě obdržíme výraz VV = řf + rřÓ2 + r209. (4 Nyní si z rov. (4.47) vyjádříme výraz pro r F DL r = rQ1 H—sin(aF + y)--siny H—cosy-o {4 m mm a z rov. (4.48) nalezneme vztah pro r0 ... F DL rQ - -2ř0 + — cosOp + y)---cosy--siny. m mm 152 4. Aktivní pohyb kosmických těles Oba uvedené výrazy dosadíme do rov. (4.52) a po úpravě získáme mezivýsledek ve tvaru r ., F D L I-, VV = ŕ\r&2 + — sin(aF + y)--siny H—cosy - g\ + rŕ&* L m m m J + r0 F DL -2ŕQ H—cos(aF + y)--cosy--siny m mm. Obr. 4-8 Síly působící na nosnou raketu za letu. Dosadíme-li ještě za ŕ a r0 dle rov. (4.49) a (4.50) obdržíme po úpravě výraz pro lineární zrychlení ve směru osy xa aerodynamické souřadnicové soustavy ve tvaru . F D V = — [sin y sin(aF + y) + cos y cos(aF + y)]---g sin y. m m Nakonec přenásobením celé rovnice hmotností a uplatněním goniometrických pravidel pro funkci kosinu rozdílů dvou úhlů [sinysin(ffF + y) + cosycos(aF + y) = cosccF] jsme dospěli k první pohybové rovnici ve tvaru, který bychom v tomto případě mohli 153 4. Aktivní pohyb kosmických těles získat uplatněním druhého Newtonova zákona a přímým zápisem složek vnějších si v aerodynamické souřadnicové soustavě {xa,ya, za) mV = F cos aF — D — mg siny. (4.55) Pro odvození druhé pohybové rovnice nejprve derivujeme rov. (4.49) V cos y - V sin y ý = ř0 + r0. Nyní za lineární zrychlení V na levé straně uvedené rovnice dosadíme dle pohybov* rovnice (4.55) a za druhý člen r0 na pravé straně dosadíme dle rov. (4.54), čími obdržíme (F D \ — cos aF---g sin y cos y - V sin y ý \m m / F DL = ŕ& - 2ŕ0 H— cos(aF + y)--cos y--sin y. m m m Podobně jako v předchozím případě použijeme kinematických vazeb (4.49} a (4.5m pomocí nichž vyjádříme ŕ a 0 a po úpravě přítomných goniometrických členů obdržím! mezivýsledek ve tvaru /Kcosyx F L -V sin y y - -(V sin y)---sin aF sin y--siny + o sin y cos y. \ r I m m Nakonec celou rovnici přenásobíme poměrem (m/siny) a za vzdálenost r od ce přitažlivosti dosadíme r = rz + h. Po poslední úpravě obdržíme druhou pohybo rovnici rakety v aerodynamické souřadnicové soustavě ve tvaru mV2 cos y —mVy — —F sin aF — L + mg cos y - (4 1 - (rz + h) ' Uvedenou pohybovou rovnici můžeme zapsat v alternativním tvaru rovněž takto V*_ g(rz + h) ' V mechanice letu se velmi často používají pohybové rovnice v bezrozměrovém tvad Bezrozměrový tvar pohybových rovnic (4.55) a (4.57) získáme dělením obou rovni tíhovou silou, čímž obdržíme -mVy = -F sin aF — L + mg cos y (4.51 V - = nxa - siny, --ý = nza + cos y 9 1 -■ 9(.rz + h)\- kde nxa je odporový násobek zatížení (kladný v kladném smyslu osy xa) F cos aF — D a nza je vztlakový násobek zatížení (kladný v kladném smyslu osy za) F smaF + L n„„ = - • (4.? -(4.51 (4.61 C Zde je třeba připomenout, že v běžné praxi se násobek zatížení ve směru vztlakové (za) definuje zjednodušeně pouze jako poměr vztlaku a tíhové síly n = L/G. Přitom sé znaménko řídí znaménkem vztlaku L. Pro malé úhly aF tedy platí, že n =— nza. 154 4. Aktivní pohyb kosmických těles 4.4 Letové výkony nosné rakety 4.4.1 Základní pojmy a potřebné vztahy pro řešení letových výkonů nosné rakety Z Ciolkovského rovnice je zřejmé, že dosažitelná (finální) rychlost letu nosné rakety závisí, kromě poměru {m0/m.f), také na výtokové rychlosti spalin W, která může být považována za hlavní parametr pro posuzování efektivnosti reaktivní propulze. V raketové technice se však spíše používají pojmy jako je celkový impuls nebo častěji specifický impuls. Celkový a specifický impuls Celkový impuls je definován vztahem / - í Fdt. (4.62) Respektive, pro konstantní tah je celkový impuls dán následujícím výrazem I = F í dt = Ft. (4.63) Celkový (totální) impuls / je úměrný celkové energii uvolněné spálením pohonných látek v propulzní soustavě nosné rakety. Specifický impuls lsp je obecně definován jako totální impuls v [Ns] dělený množstvím pohonných látek v [kg] I C Fdt lsp = — = f—r. (4.64) mp jQ mPdt kde jsme označili spotřebu pohonných látek za jednotku času rhp = dmP/dt. Pro konstantní tah i spotřebu pohonných látek bude specifický impuls dán vztahem F C dt Ft F /™ = °. = -— = —. (4.65) P mpf^dt »M "V Takže v tomto případě je specifický impuls definován jako poměr tahu a spotřeby pohonných látek za jednotku času (sekundové spotřeby). Z uvedeného vztahu vyplývá, že v soustavě SI má specifický impuls rozměr [Nskg'1] = [ms_1], což znamená, že specifický impuls má rozměr rychlosti. Na tomto místě je nutno říci, že v anglosaské literatuře je specifický impuls definován vztahem lsp = F/(g0rhP) a uvádí se v \s]. Dosaďme nyní výraz pro tah (4.18) do vztahu pro specifický impuls (4.65) a upravme následovně WmP + (pe - pa)Se (pe - pa)Se L ----:-= W H--;-. (4.66) p mP mP Poslední výraz v rov. (4.66) představuje efektivní výtokovou rychlost spalin, kterou jsme stanovili výše a je dána rovnicí (4.20). Takže ze vztahu (4.66) vyplývá, že specifický impuls se rovná efektivní výtokové rychlosti lsp = Wef [ms-1]. (4.67) 155 4. Aktívni pohyb kosmických těles Zároveň je z rov. (4.66) patrné, že specifický impuls Isp je roven skutečné výt rychlosti W pouze v případě rovností tlaků v rovině ústí výstupní trysky (pe — pa). Doba hoření Uvědomíme-li si, že spotřebováním pohonných látek klesá hmotnost nosné rakety, platí, že časová změna množství pohonných látek se rovná záporně vzaté časové z hmotnosti nosné rakety dmP dm , . „ . -—--, respektive zkrácené mP - — m. dt dť P Pak výraz pro tah (4.21) můžeme s přihlédnutím k rov. (4.67) zapsat dm Separací proměnných upravíme rovnici (4.68) k přímé integraci v násled integračních mezích za předpokladu konstantního tahu i specifického impulsu (tf Isv fmf dt = —^ dm. Po integraci a dosazení mezí můžeme stanovit dobu, během níž jsou spotřebě všechny pohonné látky ^ = tf-t0 = If(m0-mf) = !fm0{l-^-J. ( Rychlost letu nosné rakety. Gravitační a aerodynamické ztráty Vraťme se k pohybové rovnici nosné rakety (4.55), v níž uvážíme, že úhel aF je tudíž cosaF = l. V rovnici dosadíme za tah F dle rov. (4.68) a celou ji di hmotností, tím obdržíme dV lsp dm D — =--------o siny. dt m dt m a Separací proměnných upravíme rovnici pro přímou integraci v příslušných integraí mezích rV ŕ fmdm ŕD ŕ \ dV = -lsp\---dt- gsinydt. Po integraci uvedené rovnice s uvážením V0 — 0 na levé straně rovnice obdržír rychlost v čase t výraz V(t) = Isp ln^- AKD(t) - Al/C (t), kde jsme zavedli označení pro ztráty způsobené aerodynamickým odporem ŕ D ■dt a gravitační ztráty představuje výraz - f 5(0 Jt0 CO sin y(t) dt. 156 4. Aktivní pohyb kosmických těles V řadě případů nejsou zanedbatelné ani ztráty způsobené řízením nosných raket během letu. Tudíž výše uvedené ztráty je třeba zvýšit ještě o položku ztrát řízením AVc(t). 4.4.2 Koncepční uspořádání a hmotnostní charakteristiky nosných raket V průběhu vývoje kosmické dopravní techniky se koncepce nosných raket ustálila na několika typických uspořádáních. Mimo jednostupňového provedení se častěji používají vícestupňové nosné rakety, jejichž koncepční uspořádání se posuzuje podle řazení stupňů. Běžně se používá následující řazení uvedené na obr. 4-9: sériové řazení, paralelní řazení a jejich kombinace, včetně kombinace nosné rakety a raketoplánu. Další podrobnosti o kosmické raketové technice však zde nebudeme rozebírat, neboť tyto problémy jdou mimo vytčený rámec této knihy. Zmíníme se jen o určitých hmotnostních parametrech nosných raket, které úzce souvisí s řešením jejich pohybu a letovými výkony. Podívejme se nejprve na hmotnostní charakteristiky jednostupňové nosné rakety. Obr. 4-9 Nejužívanější koncepční uspořádání nosných raket. Hmotnostní struktura a charakteristická čísla jednostupňových nosných raket Skutečná hmotnostní struktura nosné rakety je velmi komplexní, sestává z mnoha hmotnostních položek. Detaily ponecháme stranou a pro účely dalších rozborů letových výkonů si celkovou vzletovou hmotnost nosné rakety m0 zjednodušeně rozdělíme pouze na následující tři položky (obr. 4-10) m0 = mE + mP + mPL, (4.73) kde uvedené hmotnosti představují: • mE je prázdná hmotnost nosné rakety, zahrnuje vše kromě pohonných látek a užitečného zatížení, 157 4. Aktívni pohyb kosmických těles ■ mP je hmotnost pohonných látek (palivo a okysličovadlo), • mPL je užitečné, často nazývané jako „platící" zatížení. Pozn.: Indexy jsou odvozeny od anglických názvů tak, aby byly kompatibilní s běžn označovaním v praxí a v odborné literatuře, Bezrozměrovou variantu rovnice (4.73) získáme jejím dělením vzletovou hmotností, získame tzv. rovnici existence nosné rakety mE + rhp + ŕhPL — 1, (4.7í Rovnice existence nosné rakety obsahuje tytéž položky, jako je tomu v rov. (4.73) s že tyto položky jsou bezrozměrové a jejich součet je roven jedné. Jednotlivé po jsou dány následujícími podíly mE m0 mP = mPL = mPL (4; m0 mQ Dále zavedeme následující charakteristická čísla nosné rakety, což jsou vhodně zvo poměry mezi výše uvedenými hmotnostními položkami: a) Hmotnostní (rychlostní) číslo Hmotnostní Číslo je poměr počáteční hmotnosti rakety m0 k finální hmotnosti m f _ m0 _ ^ ntf mQ — mP (4^ kde mf = m0 - mp je hmotnost nosné rakety po dohoření veškerých pohonných l Alternativně lze ^ vyjádřit pomocí bezrozměrové hmotnosti pohonných látek mP 1 1 - mP (4J é i 1 e' Obr. 4-10 Schematické znáz. hmotnostních položek jednostuf. nosné rakety. Hmotnostní číslo patří k velmi důležitým charakteristikám. V podobě dle rov. -C^ jsme se s ním již setkali u Ciolkovského rovnice (4.8). Často je toto číslo nazývána* Ciolkovského číslo. V současné době se charakteristická hmotnostní čšK jednostupňových nosných raket pohybují zhruba do ^ - 20 a u vícestupň v závislosti na počtu stupňů až do p. = 200. 158 4. Aktivní pohyb kosmických těles b) Dopravní číslo (koeficient užitečného zatížení) je definováno jako poměr X = 22. (4.78) Zavedeme-li pomocný součet dvou hmotnostních položek (obr. 4-10) m1 = mE + rrtp, (4.79) můžeme dopravní číslo s přihlédnutím ke vztahu (4.73) vyjádřit alternativními vztahy ľtipi rn.pi X =-— =-(4.80) mF + m p m0 — mPL respektive pomocí bezrozměrové hmotnostní položky mPL dle rov. (4.75) A = —g_. (4.81) c) Konstrukční (strukturální) číslo je definováno jako poměr mF mE mE e = — =-=— =---, (4.82) m1 mE + mP m0— mPL respektive pomocí bezrozměrových hmotnostních položek dle rov. (4.75) £ = z-1-. (4.83) l-mPL Výše uvedené definice platí pro jednostupňové nosné rakety. Zcela analogicky se charakteristická čísla definují také u vícestupňových nosných raket. Relace mezi charakteristickými čísly Nyní budeme hledat vzájemnou relaci mezi charakteristickými čísly. Vyjdeme ze vztahu pro konstrukční číslo (4.82) mE £ -—;—■ mE + mP ze kterého nalezneme vztah mezi hmotností pohonných látek a prázdnou hmotností nosné rakety e mE = YzrEmp- (4-84) Ze vztahu pro dopravní číslo (4.80) vyjádříme výraz pro hmotnost užitečného zatížení mPL = X(mE + mp), do něhož dosadíme dle rov. (4.84) a upravíme takto mpL = x[[—£ + l)mP\ Odtud již přímo určíme, jak souvisí hmotnost pohonných látek s hmotností užitečného zatížení X mPL = Y^~£mP- (4-85) Nakonec použijeme vztah pro hmotnostní číslo (4.76), který s přihlédnutím k rov. (4.73) zapíšeme následovně m0 mE + mP + mPL mP fi = — =-= 1 H--. mf mE + mPL mE + mPL 159 4. Aktivní pohyb kosmických těles Po dosazení odvozených relací pro mE dle rov. (4.84) a mPL dle rov. (4.85) a úpra obdržíme konečnou závislost mezi používanými charakteristickými čísly nosné rakety tvaru 1 + A (4.a Vraťme se ještě k Ciolkovského rovnici (4.8) pro finální rychlost po dohoření palivp jednostupňové rakety. Nahradíme-li v ní hmotnostní číslo y. výrazem (4.86) a uvážíš W - Isp obdržíme důležitou vazbu mezi finální rychlostí, dopravním a konstrukční číslem 1 + A Vf = Isp ln p = Igj,ln j^j. (4^ Obecná závislost finální rychlosti připadající na jednotku specifického impulsu znázorněna na obr. 4-11. Z uvedeného diagramu můžeme pro dané dopravní konstrukční číslo nosné rakety a známý specifický impuls odhadnout dosažiteln konečnou rychlost. Pokud uvážíme, že současná úroveň kosmické techniky nat nejmenší možné konstrukční číslo nosné rakety cca £ = 0,1 a specifický impuls koér Isp = 3000 [Nskg~l], pak lze při dopravním čísle A = 0,05 dosáhnout finální rychta zhruba V* — 5,8 [kms-1]. Na obr. 4-11 této situaci odpovídá bod vyznačený křížka Z toho vyplývá, že jednostupňovou nosnou raketou nelze jednoduše dosáhne kruhové rychlosti V, — 7,9 [fcrns"1]. Proto se pro vynášení užitečného zatížení na oběžnou dráhu používají vícestupňové nosné rakety, nejčastěji třístupňové. 0 i 0,001 0,01 e — 0,1 me r -■ 5— [1] 1 — m Obr. 4-11 Finální rychlost připadající na jednotku specifického impulsu v závislosti dopravním a konstrukčním čísle nosné rakety. 160 4. Aktivní pohyb kosmických těles Hmotnostní struktura a charakteristická čísla vícestupňových nosných raket Na obr. 4-12 je uvedeno členění nosné rakety na stupně a alternativní členění na tzv. subrakety. Na rozdíl od definice stupňů, subrakety zahrnuji také i vynášené užitečné zatížení („platící zatížení"). Charakteristická čísla vícestupňové rakety jsou v zásadě definována podobně jako v předchozím případě. Nicméně je třeba uvážit, že vynášené užitečné zatížení mPL následuje až za posledním stupněm nosné rakety. Z toho vyplývá, že pro i-tý stupeň je „užitečným" zatížením nejen mPL, ale také sumární hmotnost všech následujících stupňů nosné rakety. Jinými slovy hmotnost (i+1) subrakety. Pak „užitečné" zatížení t-tého stupně n-stupňové nosné rakety je dáno vztahem m PLi = mPL + fc=n I k=i+l (4.88) Uvedený vztah platí pouze pro stupně i = 1,2,3,... (n - 1). Poslední, n-tý stupeň nosné rakety již nese skutečné užitečné zatížení, takže pro poslední stupeň platí mPLn = mPL. Obr. 4-12 Schéma hmotnostní struktury vícestupňové nosné rakety. Charakteristická čísla vícestupňové nosné rakety jsou definována pro jednotlivé stupně následovně: a) Hmotnostní číslo i-tého stupně moi mi + mPLi Ví = i = 1,2,3,... (n - 1). (4.89) 161 4. Aktivní pohyb kosmických těles Pro poslední, n-tý stupeň platí On ítl, + m b) Dopravní Číslo (koeficient užitečného zatížení) í-tého stupně (4.91 mEi + mPi Pro poslední, n-tý stupeň platí K = m ľ L mEn + mPn c) Konstrukční (strukturální) číslo í-tého stupně t = 1,2,3, ...(ií-1). Í71 e i El mEi + mPÍ ntj Pro poslední, n-tý stupeň platí i = 1,2,3,... (n - 1). '"tví + m ni (4.' (4- A podobně jako u jednostupňových nosných raket platí i pro vícestupňové nosné ra mezi uvedenými charakteristickými čísly jednotlivých stupňů relace 1 + Ä, Pí = (4- 4.4.3 Řešení letových výkonů jednostupňových raket při vertikálním vzletu Rychlost v závislosti na čase Zaobírejme se nejprve otázkou stanovení průběhu okamžité rychlosti v závislo čase a výpočtem ideální charakteristické rychlosti, tzv. finální rychlosti, která odpoi okamžiku dohoření veškerých pohonných látek nesených raketou. Předpokládejme se bude jednat o vertikálně startující sondážní raketu s tím, že budeme zjednoduš uvažovat i gravitační ztráty. Zjednodušení bude spočívat vtom, že tíhové zrych považujeme za konstantní g(h) = g0. Aerodynamické ztráty zatím neuvažujeme, vertikálním vzletu je sklon dráhy letu y = 90°. Uvážením uvedených zjednodušení v rovnici (4.70} pro výpočet rychlosti a dosaze za gravitační ztráty dle rovnice (4.72), v níž uvážíme počáteční čas t0 = 0, obdrž modifikovanou rovnici pro okamžitou rychlost ve tvaru nt) = vn Í71n m(t) ■3a í dt = m0 ~9ot- (4. Uvažujme dále, že časová spotřeba pohonných látek mP je konstantní. Pak závis hmotnosti nosné rakety na čase bude dána výrazem m(t) - mQ — rhPt. (4J Po dohoření pohonných látek v čase t = ty se hmotnost nosné rakety m(t/) rr finální hmotnosti mf. Zapíšeme-li tuto skutečnost dle rov. (4.97) 162 4. Aktivní pohyb kosmických těles (4.98) (4.99) odkud můžeme stanovit čas hoření pohonných látek m0 — rrif mP rhp rhP' Po dosazení do rov. (4.96) obdržíme mezivýsledek pro finální rychlost Po úpravě a zavedení hmotnostního čísla lze konečný výraz pro výpočet finální rychlosti při dohoření veškerých pohonných látek zapsat takto mf l^/spln/^-So —O-l). (4.100) Ttlp Výška v závislosti na čase Hledejme nyní závislost okamžité dosažené výšky v závislosti na čase při vertikálním vzletu rakety (aktivní část letu). Vyjdeme z jednoduché relace dh = V{t)dt. Dosadíme za rychlost V(ť) dle rov. (4.96) m0 m(ř) dh = Integrujeme v následujících mezích f dh = Isp í ln^rdc-50 í tdt. h0 Jo mW Jo (4.101) Nyní zavedeme do prvního integrálu na pravé straně rovnice (4.101) časovou spotřebu pohonných látek pomocí vztahu dm dt = Po dosazení za dt do zmíněného integrandu převedeme první integrál na pravé straně na novou integrační proměnnou m(t). Zvolme ještě hQ = 0. Pak lze rov. (4.101) zapsat isv rm(t) i , h(t)=-^ \n^dm--g0t2. Před vlastní integrací zjednodušíme integrál drobnou úpravou na tvar h{t) = rhp fm(t) J 1 ln m(t) dm rm(t) - \nm0 I dm Jma Po integraci dostáváme výraz pro výpočet okamžité dosažené výšky h v čase t h{t) = -f mP m(t) m(í) ln--h m0 - m(t) m0 (4.102) nebo dosadíme-li ještě za okamžitou hmotnost m(ř) dle rovnice (4.97), obdržíme konečný výraz pro výpočet výšky v závislosti na čase 163 4. Aktívni pohyb kosmických těles ft(t) = ^ mP (m0 - ľnPí) ln-—--h mPt (4.1 A výšku dosaženou v okamžiku dohoření pohonných látek nalezneme dosazením d hoření íy = mP/rhP dle rov. (4.99) a zavedením označení pro hmotnostní číslo tvaru h{tf) = hf = /sp J (M - 1 - ln n) -\gQ &) (m - l)2. (4.1 f TI p L \7Tl p / Absolutní dostup při vertikálním vzletu jednostupňové rakety V předchozí části jsme se zabývali časovými průběhy rychlosti a výšky během akť vertikálního vzletu rakety. Nyní uvážíme tu skutečnost, že po dohoření pohonných i bude nosná raketa setrvačností pokračovat v bezmotorovém vertikálním přímoč letu (pasivní část letu). V tomto případě se jedná o zpomalený pohyb se zápo zrychlením (bez odporu atmosféry) dV Tt = ~9°- Separací proměnných a integrací následujícího vztahu v uvedených mezích t dt í dV = -g0íc Jvf Jtf obdržíme obecný výraz pro rychlost v pokračujícím vertikálním letu pro t > V(t) = Vf-g0{t-tf). (4.1 Obdobně stanovíme obecný výraz pro okamžitou výšku v pokračujícím vertik' pohybu vycházejíce ze vztahu dh = V{t)dt, do něhož dosadíme za K(t) dle rov. (4.105). Po níže naznačené integraci rovnice zvolených mezích ľ dh= í [Vf - g0(t - tf)]dt obdržíme obecný výraz pro výšku v pokračujícím vertikálním letu pro t > tf ve tvaru (4.1J 1 2 h{t) = hf + Vf(t - tf) --g0(t - tf) . Jelikož výrazy pro hf, Vf i tf již máme k dispozici, dosadíme odpovídající rov. (4. (4.100) a (4.99) do výrazu (4.106) a upravíme na výsledný vztah platný pro t > tf Kt) = lsP(^0(v- 1 -M'n + (/Spln^)t- ^g0t2. (4.1 Maximální dosaženou výšku hmax určíme z podmínky, kdy rychlost rakety klesla nulovou hodnotu. Položíme tuto podmínku do rov. (4.105), odkud získáme cas tmax 164 4. Aktivní pohyb kosmických těles Vf - doitmax ~ tf) = O => tmax = —+tf. 9o Po dosazení za Vf , např. dle rov. (4.96) pro t — tf, získáme výsledný výraz pro čas tmax W =-rQsp In P - g0tf) +t/ = TElníí. (4.108) Nyní dosadíme výraz pro tmax do rovnice (4.107) a po malé úpravě obdržíme konečný výraz pro přímý výpočet maximální dosažené výšky (absolutního dostupu) při vertikálním vzletu rakety se zjednodušeným uvážením gravitačních ztrát ve tvaru Kmx = Isp C¥) (#í-l-#íln#i> + — (Isp In a)2. (4.109) Doplňme ještě energetickou metodu stanovení dostupu. Ze známé výšky hf a rychlosti letu Vf v okamžiku dohoření pohonných látek můžeme s uvážením podmínky pro rychlost na dostupu (V - 0) stanovit maximální dosažitelnou výšku rakety z rovnosti celkových energií na počátku a na konci letu. Na dostupu je kinetická energie nulová a to znamená, že potenciální energie na dostupu se rovná součtu kinetické a potenciální energie na počátku letu (pravá strana rovnice) 1 , mgohmax = ■zmVf + mg0hf. 2 Z uvedené energetické bilance vyplývá vztah pro dostup (maximální výšku) vztah ve tvaru hmax=~-+hf. (4.110) Příklad 4.1 Zadání: Vypočtěte časový průběh rychlosti a výšky aktivní i pasivní části vertikálního letu jednostupňové sondážní rakety a stanovte absolutní dostup. Aerodynamické ztráty neuvažujte. Gravitační ztráty uvažujte zjednodušeně za předpokladu konstantního tíhového zrychlení. Potřebná data: Vzletová hmotnost m0 = 4 000 [kg], Užitečné zatížení mPL - 100 [kg], Konstrukční číslo e = 0,2 [1], Specifický impuls /sp = 1200 [ms"1], Spotřeba pohonných látek mP = 40 [kgs'1], Tíhové zrychlení g(h) = g0 = 9,80665 [ms~2]. Řešení: a) Výpočet množství pohonných látek stanovíme kombinací rov. (4.82) a (4.73) dle vztahu mP = (1 - £)(m0 - mPL) = (1— 0,2)(4000 - 100) = 3120 [kg). 165 4. Aktivní pohyb kosmických těles b) Výpočet doby hoření pohonných látek provedeme dle vztahu (4.99) mP 3120 U = mP 40 78 [.v]. c) Aktivní část letu je ukončena při finální rychlosti V(tf) = Vf= lsp ln - rhptf - 9,80665í/, 4000 - 9,80665(78) = 1052,035 [ms*1]. Vf = 1200 'n 4000 -40(78) d) Výpočet finální hmotnosti rakety mf - m„ - mP = 4000 - 3120 - 880 [j^gr]. e) Výpočet hmotnostního čísla rakety m0 4000 m r 880 = 4,54546 [1]. f) Výpočet finální výšky na konci aktivní části letu provedeme dle výše odvozeného (4.104) VZti 880 1 /880\z hf = 1200 — (4,54546 - 1 - ln 4,54546) - - 9,80665 ^—J (4,54546 - 1) hf = 23795,2 [m]. g) Výpočet rychlosti v závislosti na čase v aktivní části letu provedeme dle vztahu (4 s uvážením lineárního průběhu změny hmotnosti sondážní rakety m(t) vdůs spotřebovávání pohonných látek dle rov. (4.97) m o mr, — mPt ■Bot. 4000 K(t) - 1200 In--9,80665ř. 4000 - 40t h) Pro výpočet výšky v závislosti na čase v aktivní části letu použijeme vztah (4.103) h(t) = ™ \(m0 ~ mPt) ln m0 - rhPt h(t) = m p 1200 I ~],3ot2> 40 4000 - 40r (4000 - 40t) ln-—-+ 40t 4000 80665t2. i) Výpočet rychlosti v závislosti na čase v pasivní části letu rakety (zpomalený vertfl pohyb) provedeme dle vztahu (4.105) V{ť) =Vf~ g0(t - tf) = 1052,035 - 9,80665(ř - 78). j) Výpočet výšky v závislosti na čase v pasivní části letu rakety (zpomalený vertil pohyb) provedeme dle vztahu (4.106) h(ť) = hf + Vf(t - tf) --g0(t - tf)2, 166 4. Aktivní pohyb kosmických těles h(t) = 23795,2 + 1052,035(t - 78) - -9,80665(f - 78)2. Výpočet dle vztahů uvedených v bodech g) až j) je proveden v tabulkovém procesoru Excel. Výsledky jsou uvedeny v grafické podobě na obr. 4-13. k) Výpočet absolutního dostupu sondážní rakety můžeme provést podle rov. (4.109) /ÍTIA 1 , .2 hnuu = lsp\^)^-^-^ii)+ — {Isplnii) , \mP/ z.gQ /880\ hmax = 1200 í——] (4,54546 - 1 - 4,54546 ln 4,54546) (1200 ln 4,54546)2 = 80225 [m]. 2(9,80665) Pro kontrolu provedeme ještě výpočet dostupu energetickou metodou dle rov. (4.110) 1052,0352 V/ 2gQ f~ 2(9,80665) + 23795,2 = 80255 [m]. 1,2 120 Čas t[s] Obr. 4-13 Závislost rychlosti a výšky v průběhu stoupání. Dostup sondážní rakety bez uváženi vlivu odporu atmosféry. AAA Řešení letových výkonů vícestupňových raket při vertikálním vzletu Většinu potřebných základních vztahů pro řešení pohybu a letových výkonů nosných raket jsme již odvodili v předchozí části, proto si v další části představíme postup řešení letových výkonů vícestupňových raket přímo na praktických příkladech. 167 4. Aktivní pohyb kosmických těles Příklad 4.2 Zadáni: Pro vertikálně vzlétající dvoustupňovou sondážní raketu vypočtěte a nakreslete závi rychlosti a výšky na čase. Aerodynamické ztráty neuvažujte. Gravitační ztráty uvan zjednodušeně pro konstantní tíhové zrychlení. Tah a spotřebu pohonných látek uvaá konstantní. Zanedbejte časovou prodlevu mezi dohořením prvního stupně a zapála druhého stupně. Potřebná data: Vzletová hmotnost rakety Užitečné zatížení Hmotnost 1.stupně Hmotnost 2.stupně Hmotnost pohonných látek Tah prvního stupně Tah druhého stupně Spotřeba pohonných látek m0 = 10 000 [kg], mPL = 200 [kg], mi ~ mEi + mPi ~ 7840 [kg], m2 = mE2 + mP2 — 1960 [kg\, mP1 = 6272 [kg] pro první stupeň, mP2 = 1568 [kg] pro druhý stupeň, Pj = 600 [kN], F2 = 138 [kN], rhP1 = 200 [kgs'1] pro první stupeň, mP2 = 60 [kgs~x] pro druhý stupeň, gW = g0 = 9,80665 [ms'2]. Tíhové zrychlení Řešeni: a) Výpočet specifického impulsu pro jednotlivé stupně lspi dle vztahu (4.65) 'spi ~ ~ P, 600 000 Hl r Isp2 — 200 138 000 = 3000 [ms-1], = 2300 [ms'1]. mP2 60 b) Výpočet doby hoření pohonných látek jednotlivých stupňů tfi dle rov. (4.99) a tf mP1 6272 . , mP2 1568 . , ——= 31,3600 [s], tf2 = —= = 26,1333 s], 200 ; mP2 mP1 tví) ' mP2 60 t/ = tfl + tfi = 31,3600 + 26,1333 = 57,4933 [s]. c) Výpočet užitečných zatížení jednotlivých stupňů dle vztahu (4.88) "Vu = mPL + "ta = 200 + 1960 = 2160 [fc#], W«2 = "ipt = 200 [kg]. d) Stanovení počátečních hmotností jednotlivých stupňů rakety dle obr. 4-12 m01 =m0 = 10000 [fc^], mo2 = mPL + m2 = 200 + 1960 - 2160 [fe^]. e) Výpočet závislosti rychlosti na čase během aktivní fáze letu prvního stupně Pro výpočet použijeme výše odvozený vztah (4.96) s uvážením lineární změny hmot sondážní rakety v důsledku spotřebovávání pohonných látek dle rov. (4.97) 168 4. Aktivní pohyb kosmických těles "lni Vlit) = V ln--5Í_ -g0t. m01-mP1í f) Finální rychlost rakety v okamžiku dohoření pohonných látek v prvním stupni Vf% = /jpi ln 10000 m01 - mP1tfl - 9,80665(31,36) = 2653 [ms-1]. ^ = 3000,nÍÔ000-200(31.36) g) Výpočet závislosti rychlosti na čase během aktivní fáze letu druhého stupně pro t > tfl Pro výpočet použijeme modifikovaný vztah (4.96) s uvážením lineárního průběhu změny hmotnost sondážní rakety v důsledku spotřebovávání pohonných látek dle rov. (4.97) V2(t) = K/1+/sp2ln st rakety v okamžik Vf2 = Vfi + lsp2 In '02 -do(t-tfl). m02 - mP2{t - tfl) h) Finální rychlost rakety v okamžiku dohoření pohonných látek ve 2. stupni pro í = tf m02 m02 ~ mP2(tf - tfl) 2160 -5o(t/-t/i)- Vf2 = 2653 + 2300 ^^p^-9,80665(26,1333), Vf2 = 5374 [ms-1]. i) Výpočet funkční závislosti V^t) a V2(t) dle vztahů uvedených v bodech e) a g) je proveden v tabulkovém procesoru Excel. Výsledky jsou uvedeny v grafické podobě na obr. 4-14. j) Výpočet závislosti výšky na čase během aktivní činnosti prvního stupně Pro výpočet použijeme vztah (4.103) s uvážením lineárního průběhu změny hmotnost sondážní rakety v důsledku spotřebovávání pohonných látek dle rov. (4.97) (m01 — mP1t) In-—--F TnPít mP1 k) Výška dosažená v okamžiku dohoření pohonných látek v prvním stupni L. _ - "■n - -r m (m01 -mP1tn)\n říj,. mP1tn m 0 i + mP1tn 1 _ 3000 (104 - 200(31,36)) ln 104 - 200(31,36) 104 + 200(31,36) -9,80665(31,36)2 = 34081 [mj. I) Výpočet závislosti výšky na čase během aktivní činnosti druhého stupně pro t > t^ Pro výpočet použijeme modifikovaný vztah (4.103) s uvážením lineárního průběhu změny hmotností rakety v důsledku spotřebovávání pohonných látek dle rov. (4.97) h2(t) = hn+m^ mP2 (m02 - mP2(t - tn))\n — (71 + mP2(t-tn) 1 169 4. Aktívni pohyb kosmických těles m) Výška dosažená v okamžiku dohořeni pohonných látek ve 2. stupni pro t = tf (m02 -mP2tf2)\n---— + mP2tf2l--g0tf2, hf2 = /iA + (f! P2 m 02 fc/2 = 34081 + 2300 60 , , 2160 - 60(26,1333) (2160 - 60(26,1333)) ln-—~-- + 60(26,1333 2160 --9,80665(26,1333)2 = 61465 [m]. n) Výpočet funkční závislosti /ix(t) a /í2(t) dle vztahů uvedených v bodech j) a proveden v tabulkovém procesoru Excel. Výsledky jsou uvedeny v grafické rovněž na obr. 4-14. E > 4-* U -c >» 1 g(t) = :g0 = kon it. v(t) Oddě lení l.stu pně k h(t) * 120 100. 80 J 60 J 40 20 10 20 30 40 50 Doba hoření paliva t [s] 60 70 Obr. 4-14 Průběh rychlosti a výšky letu dvoustupňové nosné rakety v závislosti čase. Porovnání finálních rychlostí jednostupňové a vícestupňové rakety při vertikálním vzletu Abychom prokázali výhodnost používání vícestupňových raket, ukážeme si následujícím jednoduchém příkladu porovnání finálních rychlostí jednostupňové dvoustupňové rakety. Příklad 4.3 Zadáni: Stanovte finální rychlost jednostupňové a dvoustupňové nosné rakety při vertikálním dosaženou v okamžiku dohoření pohonných látek. Neuvažujte gravitační ani aerodyna ztráty. Pro obě nosné rakety uvažujte stejnou celkovou vzletovou hmotnost, uži zatížení, množství paliva i konstrukční číslo. Porovnejte letové výkony obou nosných dle dosažené finální rychlosti. 170 4. Aktivní pohyb kosmických těíes Potřebná data: Užitečné zatížení mPL — 200 [kg], Bezrozměrové užitečné zatížení mPL = 0,02 [1], Konstrukční číslo e — 0,2 [l], Specifický impuls lsp = 3000 [ms-1]. Řešen/: 1. Jednostupňová nosná raketa Pro výpočet finální rychlosti jednostupňové rakety použijeme základní vztah, který byl odvozen ve tvaru, viz rov. (4.87) Vf = 'spin — = hv lnM- a) Úprava vvýrazu pro hmotnostní číslo li Vzhledem k zadání použijeme pro hmotnostní číslo vztah (4.86) 1 + X (1 = 7+x' Pro výpočet je třeba ještě znát dopravní číslo A. To určíme dle vztahu (4.81) Ä = r-ĺ l-mPL Dosaďme nejprve výraz pro X do vztahu pro hmotnostní číslo \i. Následující úpravou obdržíme pro hmotnostní číslo výraz 1 + mPL + fopL f(l - mPi) + mPL e + (1 - e)mFL' l-mPL b) Konečná úprava vztahu pro finální rychlost Vf Stanovený výraz pro \i dosadíme do základního vztahu (4.87) pro finální rychlost a provedeme drobnou úpravu 1 Vf = lsp In .£ + (1 - £)mPL] Změnou znaménka u logaritmu můžeme výraz pro výpočet finální rychlosti přepsat na konečný tvar Vf = -/spln[f + Cl-£)mPL]. c) Výpočet finální rychlosti V} Dosazením zadaných parametrů stanovíme finální rychlost jednostupňové nosné rakety po dohoření veškerých pohonných látek Vf = -3000 ln[0,2 + (1 - 0,2)0,02] = 4597 [ms-1]. d) Výpočet vzletové hmotnosti nosné rakety ma Z definičního vztahu pro užitečné zatížení (4.75) fnPL = mPL/m0 určíme vzletovou hmotnost nosné rakety mPL 200 r , m° = *r = Kivi = 10000 [kg]- 171 4. Aktivní pohyb kosmických těles e) Výpočet prázdné hmotnosti a bezrozměrové prázdné hmotnosti nosné rakety Nejprve z definičního vztahu (4.82J určíme prázdnou hmotnost mE = £(m0 - mPL) = 0,2(10 000 - 200) = 1960 [kg]. A bezrozměrovou prázdnou hmotnost nosné rakety určíme z definičního vztahu (4.75p ihE — — -m0 1960 = 0,196 [lj. 10 000 f) Výpočet potřebného množství pohonných látek mP a bezrozměrové hmotnosti pohonných látek mP Z rovnice (4.73) pro množství pohonných látek vyplývá mP = tti0 - mE - mPL = 10 000 - 1960 - 200 = 7840 [kg]. A bezrozměrové množství pohonných látek je dáno definičním vztahem (4.75) 78-10 mP — = 0,784. 10 000 g) Rovnice existence (4,74) nám posloužíjako kontrola správnosti hmotnostních polo1 mE + mP + fňPL = 1, 0,196 + 0,784 + 0,02 = 1. Rovnice existence nosné rakety je splněna. 2. Dvoustupňová nosná raketa Abychom mohli porovnat letové výkony mezi jednostupňovou a dvoustupňovou raketou, rozdělíme původní jednostupňovou nosnou raketu na dva stupně při za celkové vzletové hmotnosti, množství pohonných látek a užitečného zatížení. a) Rozdělenícelkové vzletové hmotnosti na dva stupně. Hmotnost obou stupňů při vzletu (hmotnost bez užitečného zatížení) činí (m„ - mPL) - 10 000 - 200 = 9800 [kg]. Tuto rozdělíme na dva stupně o hmotnostech a m2, tj. m, +m2 = 9800 [kg]. Rovnice obsahuje dvě neznámé, proto je třeba jednu hmotnost zvolit. Volíme h druhého stupně m2 - 3300 [kg]. Pak hmotnost prvního stupně bude in j = (mj + m2) - m2 = 9800 - 3300 = 6500 [kg], b) Stanovení počátečních hmotností jednotlivých stupňů nosné rakety mai = m0 = 10 000 [kg], moz = m01 -m1 = 10 000 - 6500 = 3500 [kg]. c) Stanovení užitečných zatížení připadajících na jednotlivé stupně mPL1 = mPL + m2 = 200 + 3300 - 3500 [kg] = m02, mPL2 = mPL = 200 [kg]. d) Stanovení prázdných hmotností jednotlivých stupňů. Dle zadání jsou konstrukční čísla u obou stupňů stejná řj = e2 — 0,2 172