4. Aktivní pohyb kosmických těles m0 = mt + m2 + mPL, (4.111) kde v souladu s rovnicí (4.79) platí tt^ = mE1 + mP1 a m2 = mE2 + mP2. Tyto vztahy představují pro každý stupeň součet jeho prázdné hmotnosti a hmotnosti pohonných látek v daném stupni. Pro každý stupeň rakety sestavíme hmotnostní číslo dle vztahu (4.89) s přihlédnutím k rov. (4.90) a (4.93) m0l ml + mPL1 _ m1 + (m2 + mPL) (4112) ^ ~~ mfl mE1+mPU £lm1 + (m2 + mPL)' _ m02 _ m2 + mPL m2 + mPL (4113) ^2 ~ "1/2 mE2 + mPL ^2^2 + ™PÍ- Z uvedených vztahů si vyjádříme hmotnosti jednotlivých stupňů. Nejdříve z rov. (4.113) nalezneme hmotnost druhého stupně v závislosti na hmotnosti užitečného zatížení mz = „ \ (4.114) Poté z rov. (4.112) stanovíme hmotnost prvního stupně v závislosti na hmotnosti druhého stupně a hmotnosti užitečného zatížení mx - 1_fi£ {m2 + mFL). (4.115) Nyní sestavíme výraz pro poměr vzletové hmotnosti dle rov. (4.111) ku hmotnosti platícího zatížení a rozšíříme jej pomocí výrazu (m2 + mPL) na součin dvou zlomků níže uvedeným způsobem m0 mj + m2 + mPL m2 + mPL -=---. (4.116) mPL m2 + mPL mPL V dalším kroku upravíme první zlomek uvedeného součinu v rov. (4.116) následujícím způsobem tak, aby byla zachována identita m1+m2+ mPL m1+m2 + mPL 1 — e3 m2 + mPL m2 + mPL + - E1m1 1 - ť, ' Roznásobením jmenovatele obdržíme mezivýsledek m1 + m2 + mPL (1 - s^Cm^ +m2 + mPL) m2 + mPL (^í^ii + m2+ mPL) — ř^rri! + m2 + mPL)' V posledním kroku dělíme čitatele i jmenovatele výrazem (e1ml +m2+ mPL) fl . (mt + m2 + mPL) m1+m2 + mPL _ ^ lJ (g^ + m2 + mPL) m2 + mPL t_£ (mi + m2 + mpú 1 (e^í + m2 + mPL) S přihlédnutím k rov. (4.112) můžeme uvedený vztah přepsat na jednoduší zápis takto m1 + m2+mPL (1 - £,)//, —---- = \-—. (4.117) m2 + mPL 1 - Vraťme se opět k rov. (4.116) a upravme její druhý člen součinu obdobným způsobem jako v předchozím případě 174 4. Aktivní pohyb Kosmických těles m0 = m1 + m2 + mPL> (4.111) kde v souladu s rovnicí (4.79) platí mx = mE1 + mP1 a m2 = mE2 + mP2. Tyto vztahy představují pro každý stupeň součet jeho prázdné hmotnosti a hmotnosti pohonných látek v daném stupni. Pro každý stupeň rakety sestavíme hmotnostní číslo dle vztahu (4.89) s přihlédnutím k rov. (4.90) a (4.93) m01 mí + mPU m1 + (m2 + mPL) Mi =-=- =----, (4.112) mfl m£1 + mPL1 + (m2 + mPl) m02 m2 + mPL m2 + mPL u2 =-=-=-. (4.113) m/2 mE2 + mPL E2m2 + mPL Z uvedených vztahů si vyjádříme hmotnosti jednotlivých stupňů. Nejdříve z rov. (4.113) nalezneme hmotnost druhého stupně v závislosti na hmotnosti užitečného zatížení to _ 1 m2=--—mPL. (4.114) 1 - n2e2 Poté z rov. (4.112) stanovíme hmotnost prvního stupně v závislosti na hmotnosti druhého stupně a hmotnosti užitečného zatížení Mi - 1 ma=--(m2+mPJ. (4.115) 1 -Mi^i Nyní sestavíme výraz pro poměr vzletové hmotnosti dle rov. (4.111) ku hmotnosti platícího zatížení a rozšíříme jej pomocí výrazu (m2 +mPL) na součin dvou zlomků níže uvedeným způsobem m0 ml + m2 + mPL m2 + mPL -—--. (4.116) mPL m2 + mPL mPL V dalším kroku upravíme první zlomek uvedeného součinu v rov. (4.116) následujícím způsobem tak, aby byla zachována identita rříj + m2 + mPL m1 + m2+ mPL 1 — et m2 + mPL m2 + mPL + ^m, - £1m1 1 - ei" Roznásobením jmenovatele obdržíme mezivýsledek m1+m2 + mPi (1 - ^Xt^ + m2 + mPL) m2 + mPL Í£itn1 + m2 + mPL) — £i(mj +m2 + rnPL) ' V posledním kroku dělíme čitatele i jmenovatele výrazem {e^m^ + m2 + mPL) , (m1 + m2 + mPL) »'i + m2 + mPL _ lJ (gimi + m2 + mPL) mz + mPL j _ ř (mt + m2 + mP,,) 1 (^Tříj + m2 + mPL) S přihlédnutím k rov. (4.112) můžeme uvedený vztah přepsat na jednoduší zápis takto m1 + m2 +mPL = (1 -eQ^i (4117Í m2 + mPL 1 - fijUi Vraťme se opět k rov. (4.116) a upravme její druhý člen součinu obdobným způsobem jako v předchozím případě 174 4. Aktivní pohyb kosmických těles m2 + mpL _ m2 + mPL 1 - e2 _ (1 - £2)(m2 + "V J mPL ~ mPL + £2m2 - £2m2 1 - e2 02m2 + mPL) - e2{m2 + mPL)' Čitatele i jmenovatele dělíme výrazem (e2m2 + mPL) f4 , (m2 + mPL) m2 + mPL _ 2) (£2m2 + mPL) mPL j _ (m2 + mP J ' Využitím rov. (4.113) obdržíme konečný výraz ve tvaru m2+mPL^(l-£2)^ (4-118) "lP/, 1 - £2^2 Získané výrazy (4.117) a (4.118) dosadíme do vztahu pro poměr vzletové hmotnosti a užitečného zatížení (4.116) m0 _ (1 - cT)^i (1 - £2)//2 mPi 1 - EiAlj 1 - E2l*2 ' Logaritmováním tohoto vztahu obdržíme . m0 (1 - eúth , , (1 ~ g2)Mz In-= In--1- ln—--. mPL 1 - etiit 1 - £2n2 Následnou úpravou pravé strany rovnice získáváme ln — = [ln(l - Ej) + ln tij, - ln(l - e^,)] + - + ln^2 - ln(l - E2ti2)]. (4.120) Z uvedené rovnice je zřejmé, že pro zadané užitečné zatížení mPL se hodnota \n(m0/mPL) trvale zvětšuje s rostoucí vzletovou hmotností. Derivace \n(m0/mPL) podle vzletové hmotnosti je kladná d i m0\ d 1 -— ln- - -— (ln m0 — ln mPL) = — > 0. dm0 \ mPJ dm0 m0 Vraťme se opět k rovnici (4.11) pro finální rychlost vícestupňové nosné rakety. Pro náš případ platí Vf = Vn + Vf2 = Wefx lttft + Wef2 ln fl2. (4.121) Pro danou finální rychlost Vf přepíšeme rov. (4.121) na rovnici, která nyní představuje vazební podmínku Vf - Wen ln/ii - Wef2 lnn2 = 0. (4.122) Zavedením Lagrangeova multiplikátoru Á dle metody neurčitých koeficientů dle [58] sestavíme Lagrangeovu funkci kombinací rov. (4.120) a vazební podmínky (4.122) F(p, X) = [ln(l - £t) + ln/íi - ln(l - £ilh)] + [ln(l - e2) + ln n2 - ln(l - Ezft2)] +X(Vf - Wefl lnfe - Wef2 In^). (4.123) Extrémní hodnota ln(m0/mPL) a tím pádem také m0 při zadané finální rychlosti bude odpovídat takovým hodnotám hmotnostních čísel ^i a V-ii Pro něž platí, že parciální derivace Lagrangeovy funkce jsou nulové 175 4. Aktivní pohyb kosmických těles Mi dF 1 6, tW. _—__|___£__^ ' 3|i2 /i2 1 - £2Mz M2 e/2 = O, - o, (4.124) -rr-Vjf- Wen ln - Wt,/2 ln p2 = 0. CM Z uvedených rovnic získáme výrazy pro hmotnostní čísla jednotlivých stupňů rakety Xwefl -1 A£lWefl Wef2 - 1 (4.125) (4.126) Dosazením získaných výrazů pro hmotnostní čísla ^ a \i2 do výrazu pro finální rychlost dostáváme rovnici pro nalezení Lagrangeova multiplikátoru X Wefl ln xwefl - 1 + Wef2 ln Wf2 ~ Xe2Wef2 (4.127) X&yWefX Iterační metodou nalezneme z uvedené rovnice Lagrangeův multiplikátor X, který zpětně dosadíme do rovnic (4.125) a (4.126) odkud obdržíme hodnoty obou hmotnostních čísel \l% a \i2. Pomocí nich, spolu s uvažovanými konstrukčními čísly £ a specifickými impulsy (/sp - Wef) pro požadované užitečné zatížení mPL jsme schopni z rovnic (4.114) a (4.115) konečně určit hmotnosti jednotlivých stupňů nosné rakety m1 am2. Zobecnění metody pro vícestupňové nosné rakety Pro n-stupňovou nosnou raketu přepíšeme Lagrangeovu funkci (4.123) na obecný tvar - í r \ F(n,X) = £[ln(l - £l) + ln/i, - ln(l - £,/*,)] - X ivf - £ Wefi ln/i, . (4.128* i=l V i=l / Následuje stejná optimalizační procedura jako v předchozím případě pro nalezeni výrazů pro hmotnostní čísla všech n stupňů, které dosadíme do rovnice pro finální rychlost a obdržíme H , - - / AW-s; - 1\ (4.129) Z(XWefi - 1\ Wefi n - = Vf respektive po rozepsání logaritmu můžeme rovnici (4.129) přepsat takto n n n ^ Wefi \xx{XWe[i -1) - lnWefi - £ Wefi ln(£iWefi) = Vf. (4.13 Následuje řešení rov. (4.130) pro nalezení Lagrangeova multiplikátoru X běžnou itera metodou. Poté jej dosadíme spolu se známými hodnotami e, a Wéfi do rovnic, kt 176 4. Aktivní pohyb kosmických těles odpovídají výše uvedeným rovnicím (4.125), a (4.126), avšak v tomto případě pro všechny stupně, takže nabývají následující obecný tvar Mi = AWefi - 1 , i = 1,2, ...,n. (4.131) AEiWeft Z uvedených vztahů získáváme hmotnostní čísla každého stupně. Posledním krokem je výpočet hmotností jednotlivých stupňů z níže uvedených vztahů, které odpovídají rovnicím (4.114) a (4.115) uvedeným v předchozím případě m„ = ■rripLi Mn-1 - 1 mn_2 l-£„_1^íl_1 1 - £„-^7,-2 (mn + mPL), (mn.-L + m„ + mPL), (4.132) m1 =--(m2 + m3 + ■■■ + mPL). 1 - etfii Nyní pokud máme výsledné hmotnosti jednotlivých stupňů, můžeme určit hmotnostní strukturu každého stupně nosné rakety. Prázdnou hmotnost každého stupně stanovíme pomocí odpovídajícího konstrukčního čísla dle vztahu mEi = Eitrii. (4.133) Hmotnost pohonných látek připadající na každý stupeň určíme ze vztahu nipi =mi-mEi. (4.134) Příklad 4.4 Zadání: Stanovte optimální rozložení základních hmotnostních položek třístupňové nosné rakety tak, aby dosáhla předepsané finální rychlosti Vf s daným užitečným zatížením mPL. Specifické impulsy a konstrukční čísla jednotlivých stupňů jsou dány. Potřebná data: mPL = 2500 [kg], Vf = 9000 [[mr1]], 'spi = Wefl = 4000 [ms-1], ISP2 = Wef2 = 3500 [ms-1], ISP3 = Wef3 = 3000 [ms"1], £X = 0,10, e2 = 0,15, £3 = 0,15 [1]. Užitečné zatížení Finální rychlost Specifický impuls 1. stupně Specifický impuls 2. stupně Specifický impuls 3. stupně Konstrukční čísla Řešeni: a) Nejprve vypočteme potřebné položky rovnice (4.130). Po dosazení máme rovnici připravenu k řešení ve tvaru 177 4. Aktivní pohyb kosmických těles 4 ln(4J - l) - 3,5 ln(3,5Á - l) - 3 ln(3Á - l) - 10,51n X + 8,3159 = 9. b) Řešením uvedené rovnice pomocí iterační metody je stanovena hodnota Lagrangeova multiplikátoru (přesnost Iterace 10"8) X = 0,416714 [fcm_1s]. c) Dosazením stanovené hodnoty Lagrangeova multiplikátoru do obecné rovnice (4.131) získáme hmotnostní čísla jednotlivých stupňů ^=4,0, fi2 = 2,0958, |i3 = 1,3339 [1], d) Z hmotnostních čísel dopočteme dle rovnic (4.132) hmotnosti jednotlivých stupňů 1% = 46052, m2 = 5663, m3 = 1044 [kg]. e) Konečně můžeme z vypočtených hmotností jednotlivých stupňů a užitečného zatížení stanovit hmotnost celé nosné rakety, tj. vzletovou hmotnost ííIq — m± + tr2 + TTI3 4- mPL = 46052 + 5663 + 1044 + 2500 = 55259 [kg]. f) Výpočet prázdných hmotností jednotlivých stupňů stanovíme pomocí zadaných konstrukčních čísel a vypočtených hmotností dle vztahu (4.133) mE1 = 0,10(46052) = 4605 [kg], mE2 = 0,15(5663) = 850 [kg], mE3 = 0,15(1044) = 157 [kg]. g) Celková prázdná hmotnost nosné rakety pak činí mE = mEl + mE2 + mE3 = 4605 + 850 + 157 = 5612 [kg]. h) Výpočet potřebných pohonných látek v každém stupni stanovíme dle rovnic (4.134) mP1 = mi - mEi = 46052 - 4605 = 41447 [kg], mP2 — m2— mE2 — 5663 — 850 — 4813 [kg], mP3 = m3 - mE3 = 1044 - 157 - 887 [kg]. t) Celkové potřebné množství pohonných látek představuje hmotnost mP = mP1 + mP2 + mP3 = 41447 + 4813 + 887 = 47147 [kg]. Pro úplnost stanovíme poměrné hmotnosti jednotlivých částí nosné rakety • poměrná prázdná hmotnost nosné rakety 5612 55259 = 0,102 • poměrné kilogramové množství pohonných látek mi 47147 55259 - 0,853 • poměrná hmotnost užitečného zatížení 2500 mPL - ■ = 0,045. m0 55259 k) Pro kontrolu ještě sestavíme rovnici existence nosné rakety, abychom ověřili správnost výpočtu jednotlivých hmotnostních položek fhE + ihP + ihPL = 0,102 + 0,853 + 0,045 = 1. Rovníce existence nosné rakety je splněna. 178 4. Aktivní pohyb kosmických těles 4.5 Vypuštění kosmického tělesa na oběžnou dráhu Vyvedení umělé družice Země, resp. jakéhokoliv jiného kosmického tělesa na oběžnou dráhu patří mezi důležité úlohy mechaniky kosmického letu. Při volbě a přípravě způsobu vypuštění umělé družice je třeba zohlednit řadu faktorů, mezi něž patří: - Energetická náročnost, výška oběžné dráhy, spotřeba pohonných látek, doba letu - Hmotnostní charakteristiky nosných raket - Způsoby řízení tahu a sklonu dráhy letu - Možnosti sledování v průběhu vypuštění a dalších přeletech umělé družice - Místo a azimut vypuštění, volnost území ve směru vzletu - Míra zatížení - násobky zatížení s ohledem na posádku, užitečný náklad a pevnost konstrukce kosmického letadla (nosné rakety) apod. Energetickou náročnost vypuštění umělé družice Země budeme vyjadřovat pomocí charakteristické rychlosti, která zahrnuje jak ekvivalent energie potřebné pro vyzvednutí umělé družice do zvolené výšky, tak část energie potřebné pro udělení rychlosti odpovídající kruhové oběžné dráze v dané výšce. 4,5.1 Charakteristická rychlost vypuštění umělé družice Charakteristická rychlost l^/mr je definována pomocí celkové mechanické energie potřebné pro vypuštění umělé družice o jednotkové hmotnosti na kruhovou oběžnou dráhu v dané výšce. Zavedeme specifickou mechanickou energii jako mechanickou energii vztaženou na jednotku hmotnosti E E =—. m Pak celková specifická mechanická energie je dána součtem specifické potenciální a specifické kinetické energie E' = E p + E'k- Specifická potenciální energie je v tomto případě část specifické energie potřebné k vyzvednutí umělé družice z povrchu Země na oběžnou dráhu ve výšce h, tj. do vzdálenosti r = rz + h od středu centrálního gravitačního pole. Specifickou potenciální energii stanovíme z práce vnější síly (F = — Fg = fi/rz>) (4.135) Specifická kinetická energie je část celkové specifické energie, která je potřebná k udělení první (kruhové) kosmické rychlosti V — Vj = £'«=-2Vř=£. (4.136) A celková specifická energie je dána součtem obou výše stanovených specifických energií = + 2 = 2 \ + Ť>)' (4137) Tuto celkovou potřebnou specifickou energii vyjádříme pomocí ekvivalentní specifické kinetické energie odpovídající hledané charakteristické rychlosti 179 4. Aktivní pohyb kosmických těles 'char Po dosazení za celkovou specifickou energii dle rov. (4.137) platí 1 1 , i 2h\ odkud hledané charakteristická rychlost je dána výrazem Vchar = V, 2h 1+—, (4.1 Dosadíme-li ještě za první (kruhovou) kosmickou rychlost V, = yfji/ř, můžeme zapsat takto Ai rz + 2(r-rz) Vyloučením gravitačního parametru dle vztahu \i = g0rz obdržíme alternativní pro charakteristickou rychlost ve tvaru \ g0r* rz + 2{r-rz) rz 2r-rz 8,4 8,2 8 7,8 7,6 > 7,4 >A O 7,2 JZ >-DC 7 6,8 6,6 Vchar uhov; V, - kr i VpC-- ekv.p ote n c iální ---- / > Vi O CC 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Výška oběžné dráhy h [km] Obr. 4-15 Závislost charakteristické a kruhové rychlosti na výšce oběžné dráhy. Rychlost VP0T vyjadřuje část charakteristické rychlosti odpovídající potenciálni ene družice ve výšce h. A po dosazení za r = rz + h obdržíme konečný výraz, který vyjadřuje charakteristi rychlost potřebnou pro vyvedení umělé družice na kruhovou dráhu v závislosti zadané výšce oběžné dráhy, ve tvaru 180 4. Aktivní pohyb kosmických těles (4.139) Pozn.: Charakteristická rychlost se v některé literatuře alternativně nazývá také jako energetická charakteristická rychlost a označuje se symbolem VE, aby se zdůraznilo, že je založena na energetickém principu a odlišila se tak od Ciolkovského ideální charakteristické rychlosti dle rovnice (4.8}. Závislost potřebné charakteristické rychlosti na výšce oběžné dráhy je znázorněna na obr. 4-15 ve srovnání s kruhovou rychlostí v téže výšce. Z obr. 4-15 je patrné, že přestože kruhová rychlost s výškou klesá, charakteristická rychlost úměrně roste. To je dáno růstem rychlostního ekvivalentu specifické potenciální energie, vyjádřeného rychlostí VP0T, který je úměrný výšce, do níž je kosmické těleso vyvedeno. 4.5.2 Trajektorie vyvedení kosmického tělesa na oběžnou dráhu Doposud jsme rozebírali pouze vertikální vzlet i pokračující bezmotorový vertikální let rakety. To může postačit pro řešení letových výkonů toliko v omezených případech, mezi něž patří například vypouštění sondážních raket. Ve skutečnosti se nosné rakety s užitečným zatížením při vypouštění na oběžnou dráhu pohybují po křivočaré trajektorii. Zde se omezíme na trajektorie ležící ve vertikální rovině. Trajektorii pohybu nosné rakety během letu na oběžnou dráhu je možno rozdělit na atmosférickou část a na část trajektorie mimo vliv atmosféry. V každém případě je třeba nějakým vhodným způsobem řídit pohyb nosné rakety po křivočaré dráze. Principiálně můžeme trajektorii pohybu nosné rakety po vzletu řídit dvěma způsoby: a) Aktivním řízením vektoru tahu (tzv. vektorováním tahu) s dodatečným využitím aerodynamických sil. Avšak bohužel, v mimoatmosférické části trajektorie letu již není možno nosnou raketu řídit aerodynamickými orgány řízení. b) Balisticky s využitím gravitačního klopení (pootáčením nosné rakety kolem bočné osy y působením gravitačního zrychlení). Nosné rakety určené k vyvedení kosmického tělesa (umělé družice) na oběžnou dráhu standardně vzlétají kolmo (sklon dráhy letu y = 90°). Výjimečně vzlétají z odpalovací rampy s určitým počátečním odklonem od vertikály (y < 90°). Byť je vertikální vzlet vždy doprovázen velkými gravitačními ztrátami, jako je tomu např. u sondážních raket, snahou je prolétávat relativně tenkou hustou vrstvu atmosféry co nejkratší dobu a při poměrně malém nárůstu rychlosti. Teprve po určité krátké době je nosná rakety účinkem změny směru tahu hlavních motorů nebo speciálních stabilizačních a řídicích raketových motorů, případně využitím aerodynamických orgánů klopení, odkloněna od vertikály na určitý počáteční sklon dráhy letu y0. A to hlavně z důvodů snížení gravitačních ztrát. V další fázi se sklon dráhy letu postupně snižuje tak, aby ve výšce požadované oběžné dráhy dosáhl pokud možno nulové hodnoty (y — 0°). Zde vzniká otázka jakou dráhu zvolit, jak nosnou raketu řídit, aby byla její dráha optimální. V tomto případě stojíme před úlohou nalezení zákona řízení vektoru tahu tak, aby bylo možno na zadanou výšku orbitální dráhy dopravit co největší užitečné zatížení. To vede na variační úlohy, kterými je možno nalézt optimální trajektorie. Tyto matematické úlohy jdou nad rámec této knihy, a proto zájemce o tuto problematiku odkazujeme na speciální literaturu. V průběhu křivočarého letu je třeba se vystříhat velkých úhlů 181 4. Aktivní pohyb kosmických těles náběhu. Tak jak postupně narůstá rychlost a dynamický tlak, vzniká vážné nebezpečí, že při nepřiměřeně velkých úhlech náběhu mohou aerodynamické síly způsobovat velké namáhání konstrukce nosné rakety. Proto je třeba udržovat úhly náběhu na přijatelných hodnotách, a v řadě případů na nulových hodnotách (viz gravitační klopení). Navíc, z důvodů hmotnostní úspornosti je konstrukce nosné rakety dost poddajná. Pod vnějším zatížením vznikají velké příčné síly a ohybové momenty, které mohou vést až k destrukci nosné rakety. Lokálním deformacím nosných raket se čelí i tím, že vnitřní prostor nosné rakety je často přetlakován. Aby se předešlo nepřiměřeně velkým zatížením konstrukce nosné rakety v atmosférické části trajektorie, obvykle se v kritických fázích cíleně snižuje tah tak, aby nebyl překročen dynamický tlak působa na nosnou raketu. Trajektorie s řízením vektoru tahu při konstantní úhlové rychlosti klopení Pro řešení naší úlohy zapíšeme pohybové rovnice nosné rakety v zemské souřadnicoví soustavě (xg,yg,Zg) pevně spojené s nerotující Zemí dle definičního obr. 4-16. Osa yt je kolineární se zemskou normálou. (-)>0 Obr. 4-16 Vyvedení nosné rakety na oběžnou dráhu. Detailnější přehled působících sil na nosnou raketu a kinematických letových veličin během vzletu. Soustavu rovnic pro pohyb nosné rakety ve vertikální rovině (xg,yg) tvoří dvě silové rovnice a jedna rovnice pro klopivý moment vztažený k těžišti mxg = Fcos(i9 + rovnice dráhy (3.44) rP = {h2/n)/(l + e) _Yl_jt__ h2 rP 2rpd 2/i2V J hl 2h2 (4.Ľ Uvedený vztah nám poslouží ke stanovení výrazu pro hledanou excentricitu dráh, *e tvaru e= l + 2£—, ( odkud podle hodnoty excentricity vyplyne také typ dráhy. Velikost příslušné dráhy stanovíme dle hodnoty délky hlavní poloosy a, kterou u dle vztahu (3.94) a = - fi/2E. Pomocí hlavní poloosy a excentricity určíme vzdálenost perigea dle vztahu (3.58) rP = a(l - e). Nakonec dle rovnice dráhy (3.44) zapsanou pro podmínky v bodě Bf h2 1 H 1 + e cos Bf' získáme výraz pro pravou anomálii dle vztahu íl (h2 Qf = arccos (4. ( Nyní máme k dispozici všechny určující parametry pro jednoznačnou identifikaci v její rovině pouze na základě znalosti parametrů v bodě Bf. 4.5.4 Vliv zeměpisné šířky a azimutu na sklon oběžné dráhy Pro vyvedení umělé družice na oběžnou dráhu s požadovaným sklonem i je rozhod místo vzletu a samozřejmě směr vypuštění. Na obr. 4-19b je znázorněno místo vz (bod C), které leží na velké kružnici a je dáno zeměpisnými souřadnicemi (A,(p). 186 4. Aktivní pohyb kosmických těles vzletu je určen úhlem azimutu X- Na ODOU uvedených parametrech bude záviset poloha roviny oběžné dráhy, vyjádřená sklonem dráhy i. Připomeňme, že sklon dráhy může nabývat pouze kladných hodnot v rozsahu (0° < ť < 180°), azimut je definován kladně v celém rozsahu úhlů (0° h- 360°) a je měřen od severu ve smyslu pohybu hodinových ručiček. Jak je patrné z obr. 4-19b vazba mezi zeměpisnou šířkou ■ JE -(O l_ "O •Ol c XI o c o t/1 180 165 150 135 120 105 90 75 60 45 30 15 0 9 = 75° 60° ^45, 5" BajI ;onur \° KSC // s. 15« v 0° 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 3 Azimut / ["] Obr. 4-20 Diagram závislosti sklonu oběžné dráhy na azimutu pro vybrané země šířky místa vzletu. Rov. (4.164) je odvozena bez vlivu rotace Země nebo planety. Pokud uvážíme o" Země, která rotuje východním směrem, je třeba zahrnout rotační složku rychl korigovat úhel azimutu o relativně malý úhel Aj. Změna výsledné rychl odpovídajícího azimutu je znázorněna pomocí rychlostního trojúhelníku uvedené obr. 4-21. N (sever) Obr. 4-21 Oprava rychlosti a azimutu nm vliv rotace Země. Zatímco změna azimutu &x Je malá a lze ji zanedbat, rotační rychlost Země ji užitečným energetickým příspěvkem při vyvedení kosmického tělesa na oběžnai dráhu, zejména při velkých azimutech x v blízkosti rovníku. Rotační složka rychlosti dána vztahem Vrot=rz<úzcos —T Potřebné pootočení /í vektoru V2 vůči vektoru V1 je dáno požadavkem tečnosti vektoru V2 k cílové dráze (2). Využitím kosinové věty můžeme modul žádaného rychlostního impulsu stanovit dle vztahu AVp = J V* + VŽ -IV^cosp. (5.2) Zavedeme-li do našich úvah sklon dráhy letu y, což je úhel mezi vektorem rychlosti letu a lokálním horizontem, lze úhel pootočení definovat také jako rozdíl příslušných sklonů drah letu /? = Ay - y2 — yx. Pak lze rovnici (5.2) přepsat v závislosti na sklonech drah letu takto AVp - ^V? + Vi - 2ViVr2(sintt siny2 + cosy! cosy2). (5.3) Korekce změnou modulu rychlosti letu při zachování směru Pokud je třeba zachovat směr = 0) a požaduje se pouze změna velikosti rychlosti letu, pak modul rychlostního impulsu je dána modifikací výrazu (5.2) na tvar AVp = ^+VÍ-2VÍV2 = y/{V2-V^ = V2- V,. (5.4) Tato změna oběžné dráhy je například uvedena na obr. 5-2, kde v průsečíku drah „a" je provedena změna kruhové oběžné dráhy na eliptickou. Korekce změnou směru letu při zachování modulu rychlosti V případě, kdy je požadována pouze změna směru letu při zachování rychlosti letu {VÍ = V2 = V — konst), lze výraz pro modul rychlostního impulsu dle rov. (5.2) upravit na tvar 191 5. Manévrování na oběžné dráze AVp = y/2V2-2V2cosp = KV2(l-cos/?). Z goniometrických funkcí pro poloviční úhly platí vztah 1 - cos/? = 2 sin2 Po dosazení do předchozího výrazu obdržíme pro tento případ konečný vztah modul rychlostního impulsu Poznámka: Abychom se vyhnuli kolizi významu symbolu h, který používáme jak výšku, tak pro specifický moment hybnosti, jsou v následujících příkladech a kapitole výšky označovány alternativním symbolem H. Příklad 5.1 Zadání: Stanovte potřebný rychlostní impuls beze změny směru výsledného vektoru rychlosti, lze provést koplanárrtí změnu dané kruhové oběžné dráhy (1) na eliptickou oběžnou (2) s požadovanou excentricitou. Potřebná data: Výška perigea oběžné dráhy (2) HP = 222 [km], Excentricita oběžné dráhy (2) e = 0,25 [1], Poloměr Země rz - 6378 [km], Gravitační parametr Země n = 398600 [km3s~2]. Řešení: a) Výpočet poloměru kruhové oběžné dráhy (1), který bude totožný se vzdáleností eliptické oběžné dráhy (2} n =rP =rz + HP - 6378 + 222 = 6600 [km]. b) Výpočet kruhové rychlosti Vx = Vh na oběžné dráze (1) dle vztahu (3.96) \H 398600 ^=J^ = J^600- = 7-7713 [kmS'11 c) Výpočet hlavní poloosy eliptické dráhy (2) provedeme dle vztahu (3.54) r„ 6600 1-e 1-0,25 = 8800 [km]. d) Výpočet rychlosti v perigeu (P) eliptické dráhy (2) dle obecného vztahu pro vý rychlosti (3.95) 2fi(--—) = 2(398600) f—^-—^—) = 8,6886 [kms~1]. ^\rP 2a) x '16600 2(8800)7 ' ^6600 2(8800); e) Výpočet potřebného rychlostního impulsu AI/ = VP - Vx = 8,6886 - 7,7713 = 0,9173 [kms'1]. 192 5. Manévrování na oběžné dráze Uvedeným rychlostním impulsem AV je zajištěna změna kruhové oběžné dráhy na požadovanou eliptickou oběžnou dráhu. Bod, v němž je rychlostní impuls zaveden se 5tává jejím perigeem. Výsledky řešení jsou uvedeny na obr. 5-2. 10000 Obr. 5-2 Změna oběžné dráhy změnou modulu rychlosti při zachováni jejího směru. Příklad 5.2 Zadání: Stanovte potřebný rychlostní impuls AVp, jímž lze provést koplanární změnu dané kruhové oběžné dráhy (1) na eliptickou oběžnou dráhu (2) se zadanými parametry (e,HP) změnou směru i velikosti výsledného vektoru rychlosti. Potřebná data: Výška kruhové oběžné dráhy (1) = 1022 [km], Excentricita cílové oběžné dráhy (2) e — 0,20 [1], Výška perigea cílové oběžné dráhy (2) HP = 422 [km], Poloměr Země rz — 6378 [km], Gravitační parametr Země /j == 398600 [km3s~2]. Řešení: a) Výpočet poloměru výchozí kruhové oběžné dráhy (1) ri = rz + tfj = 6378 + 1022 = 7400 [km]. b) Výpočet kruhové rychlosti ľi = na oběžné dráze (1) dle vztahu (3.96) 193 5. Manévrovaní na oběžné dráze Vx = 398600 7400 = 7,3393 [Arms-1]- c) Výpočet vzdálenosti perigea cílové oběžné dráhy (2) rp=rz + HP = 6378 + 422 = 6800 [km]. d) Výpočet hlavní poloosy eliptické dráhy (2) provedeme dle vztahu (3.54) rp 6800 a = 8500 [km]. 1 - e 1-0,2 e) Výpočet rychlosti V2 na eliptické dráze (2) v průsečíku „a" obou oběžných drah dte obecného vztahu pro výpočet rychlosti (3.95). V průsečíku platí rz = r:a 0Z = ©i V2= 2/1 f— —)= 2(398600) í-j— - 1 = 7'800 [fcms-'j- J ^Vt"! 2a) \7400 2(8500)/ f) Výpočet pravé anomálie určující polohu průsečíků obou drah, kde je třeba udéÄ hledaný rychlostní impuls, stanovíme ze vztahu, který získáme úpravou rovnice dráfoj (3.48) a(l-ez) 11 [8500(1 - 0,22) 1 0 = arccos r,e = arccos 7400(0,2) 0,2 0a = 59,102 [°] pro průsečík „a" a 0„ = 300,898 [°] pro průsečík „b". -±2000- -12D0Q1 800010000 -10O0O Obr. 5-3 Výsledek řešeni změny oběžné dráhy současnou změnou směru i velikosti vektoru rychlosti v průsečíku drah „a". 194 5. Manévrovaní na oběžné dráze g) Výpočet sklonů drah letu vůči místnímu horizontu y V našem případě, na výchozí kruhové oběžné dráze (1) jsou sklony dráhy letu nulové Yi = 0°. Sklony dráhy letu eliptické dráhy (2} v průsečících s dráhou (1) určíme dle vztahu (3.143). Pro průsečík „a" platí (podobně pro průsečík „b") / esinG \ / 0,2sin(59,102) \ ^ = arCt8ll + ecose) = arCtHl + 0,2cos(59,102)J' V průsečíku „a" (0 = 59,102°) obdržíme pro dráhu (2) sklon y2 = 8,846 [°], a v průsečíku „b" (0 = 300,898°) obdržíme pro dráhu (2) sklon y2 = -8,846 ["]. h) Výpočet úhlu /? mezi směry vektorů rychlosti letu na výchozí a cílové oběžné dráze. Úhel je dán rozdílem sklonů dráhy letu /? = y2 - Yi- v našem případě je 0 = y2= ±8,846 [°]. i) Konečně výpočet potřebného rychlostního impulsu provedeme dle vztahu (5.2) = Jk2 + V22 -2V1V2 cos /?, AVp = V7.33932 + 7,82 - 2(7,3393)7,8 cos(8,846°), AVp = 1,255 [fems-1]. Uvedeným rychlostním impulsem lze změnit kruhovou oběžnou dráhu (1) na požadovanou eliptickou oběžnou dráhu (2) se zadanými parametry. Výsledky řešení jsou uvedeny na obr. 5-3. 5.1.2 Změna oběžné dráhy v její rovině s pootočením přímky apsid Výše uvedené jednoimpulsní manévry jsou typické tím, že přímky apsid obou oběžných drah jsou kolineární a v průsečíku drah mají stejné průvodiče i pravé anomálie. Prozkoumejme nyní úlohu, kdy je žádoucí změnit oběžnou dráhu, včetně pootočení přímek apsid v její rovině o úhel A0. V tomto případě má průsečík obou drah stejné pouze průvodiče 7j = r2, ale pravé anomálie jsou různé 0j =r 02; anomálie se liší o požadovaný úhel pootočení přímky apsid A0 (obr. 5-4). Pootočení je kladné v kladném smyslu měření pravé anomálie od pericentra výchozí oběžné dráhy (1) A0 = 0!-02. (5.6) Pro průsečík (a) obou oběžných drah s různými anomáliemi * @2 dle rovnice oběžné dráhy (3.44) platí _h\ 1 ri n 1 + ex cos 0,' h\ l r2 =--. /i l + e2 cos02 Z podmínky rovnosti průvodičů ve společném průsečíku rx = r2 můžeme uvedené vztahy přepsat na rovnici ve tvaru /i2(l + e2 cos02) -/i2(l + e1 cosOi) = 0. Nyní roznásobíme závorky, dosadíme za 02 = 0: - A0 dle rov. (5.6) a uplatníme vztah pro kosinus rozdílu dvou úhlů cos^ — A0) = cos 0X cos A0 + sin Q1 sin A0. Po úpravě obdržíme rovnici ve tvaru 195 5. Manévrovaní na oběžné dráze (hlel - h\e2 cos A0) cos 0X - h\e2 sin A9 sin e1 = hj - h\ (5. Obr. 5-4 Průsečík dvou oběžných drah, jejichž přímky apsid nejsou kolineární. Uvedenou rovnici zapíšeme ve zkrácené formě /Icos©! - BsinO! = C, ( kde jsme označili koeficienty rovnice ve tvaru A = fcf^i - h\e2 cosA0, ( B = hje2smAQ, (5. C = hj- h\. (5. Řešením uvedené rovnice lze dospět k následujícímu výsledku pro pravou anomálii výchozí oběžné dráhy v jejich průsečících „a a „b (C 0! - -i|í ± arccos ^— cos i|jj. (5. kde znaménko plus platí pro první průsečík „a" a znaménko mínus platí pro d průsečík „b". Úhel v|j je dán výrazem i|/ = arctg Řešení rovnice (5.8) pro nalezení pravé anomálie 0j je podrobně uvedeno v Příloze C Pravou anomálii 02 druhého průsečíku oběžných drah určíme dle rov. (5.6) pro žár úhel pootočení přímek apsid 02 = 0: - A0. (5.1 Pro další řešení je nutno rozhodnou, ve kterém průsečíku oběžných drah hodľ zavádět rychlostní impuls. Pro objasnění výpočtu velikosti a směru rychlostního im zvolme první průsečík „a". Hledejme nyní v tomto průsečíku velikosti (moduly) rych 196 5. Manévrovaní na oběžné dráze Vt a V2 odpovídající oběma oběžným dráhám. Pro jejich stanovení použijeme vztahy pro radiální rychlost a transverzální rychlost. Radiální rychlost Vr je dána rovnicí (3.138), kterou upravíme pomocí rov. (3.38) na tvar Vr = —e sin 0. h (5.15) Kombinací rovnic (3.30) a (3.137) obdržíme pro výpočet transverzální rychlosti vztah V@ = -. (5.16) r Moduly výsledných rychlostí V1 a V2 pro jednotlivé oběžné dráhy (1) a (2) v jejich průsečíku určíme dle vztahu V= IVr2+Vl (5.17) Jejich poloha v průsečíku drah je dána sklony dráhy letu Yi a y2 vzhledem k místní horizontální rovině, které určíme dle vztahu (3.142) upraveného na tvar Vr Y = arctg—. "0 (5.18) Na základě znalostí sklonů drah letu a rychlosti obou oběžných drah v jejich průsečíku můžeme dle rov. (5.2), kde (i = Ay = y2 - Yi stanovit velikost rychlostního impulsu. A jeho polohu (sklon)

rj). Přechod lze pr jakoukoliv eliptickou dráhou, která má s oběma oběžnými dráhami společné body. Tc splněno v případě, kdy pro vzdálenost pericentra přechodové eliptické dráhy (rP < rj, a pro vzdálenost apocentra přechodové dráhy naopak platí [rA > r V průsečíku výchozí oběžné dráhy (1) s přechodovou dráhou (3), označeném písmei „a", je zaveden první rychlostní impuls AVa. Tímto impulsem se převede kosrr těleso na přechodovou eliptickou dráhu (3). Rychlost na výchozí kruhové oběžné d (1) v bodě „a" je rovna první kosmické rychlosti Val = Vtl = yJJtJŤ\. Rychlost v té průsečíku na eliptické přechodové dráze (3) je Va3. Je dána tvarem a velikostí zv 208 5. Manévrování na oběžné dráze i manévrem. ni ia kruhovými načovat čísly dráha (2) a oběžnými 1} na cílovou lze provést é body. To je dráhy platí atí (rA > r2). m písmenem ede kosmické oběžné dráze hlost v temže likostí zvolené eliptické přechodové dráhy {rA,rP}. Velikost této rychlosti určíme pomocí vztahu (3.95). Pro náš případ (5.29) Vektor Va3 musí být tečný k eliptické přechodové dráze (obr. 5-12). Úhel pootočení pa v místě „a" je v našem případě totožný se sklonem dráhy letu vůči místnímu horizontu (fia = Ya)-Sklon dráhy letu na přechodové dráze (3) v bodě „a" určíme dle rov. (3.143). V tomto případě e sin 6fi Ya = arctg V). (5.30) d + e cos< Potřebné parametry přechodové eliptické dráhy e, p a 0a nalezneme metodami uvedenými v kapitole 3. Velikost prvního rychlostního impulsu AVa v průsečíku „a" určíme pomocí kosinové věty dle vztahu (5.2), který přepíšeme pro náš případ na tvar (5.31) Obdobným postupem stanovíme i rychlost na přechodové oběžné dráze (3) v bodě „b", kde rychlost na cílové oběžné dráze je rovna první kosmické rychlosti Va2 = = ^(i/r2. Rychlost v průsečíku „b" na přechodové dráze (3) je dána výrazem ^3 = (5.32) Pro stanovení sklonu dráhy letu yb na přechodové dráze (3) v bodě „b" použijeme rov. (5.30), kde nahradíme indexy „a" indexy „b". Odpovídající potřebný rychlostní impuls v průsečíku drah „b" pro přechod na cílovou oběžnou dráhu (2) stanovíme opět použitím kosinové věty ve tvaru + V,2-2Vb3V,2 cosYb. (5.33) Celkový rychlostní impuls bude dán součtem absolutních hodnot obou rychlostních impulsů v bodech „a" a „b" AV = AVa + AVb. (5.34) Tomuto totálnímu rychlostnímu impulsu pak odpovídá celková energetická náročnost daného manévru. Volbou tvaru a velikosti eliptické přechodové dráhy je možno ovlivňovat velikost celkové energetické náročnosti přechodového manévru. Příklad 5.5 Zadání: Jsou dány dvě koplanární kruhové oběžné dráhy kolem Země o zadaných poloměrech. Stanovte velikosti a místa dvou rychlostních impulsů nutných pro přechod z výchozí oběžné dráhy (1) na cílovou oběžnou dráhu (2). Pro přechod použijte obecnou eliptickou přechodovou dráhu (3). Přechodová dráha je zadána polohami perigea a apogea. 209 5. Manévrováni na obéžné dráze Potřebná data: Poloměr výchozí kruhové oběžné dráhy (1) Poloměr cílové kruhové oběžné dráhy (2) Vzdálenost perigea přechodové dráhy (3) Vzdálenost apogea přechodové dráhy (3) Gravitační parametr Země Řešení: a) Výpočet kruhové rychlosti (I. kosmické rychlosti) na výchozí oběžné dráze (1) i-j = 7500[/ím], r2 = 10000 [km], r p = 6700 [km], rA = 13500 [km], H = 398600 [km3s~z]. 7500 7,2902 [kms-1]. b) Výpočet excentricity zvolené přechodové eliptické dráhy (3) 13500 -6700 e — rA+rP 13500 + 6700 c) Výpočet hlavní poloosy přechodové dráhy (3) rA+rP 13500 + 6700 a — = 0,336634 [1]. = 10100 [km]. 2 2 d) Výpočet parametru přechodové eliptické dráhy (3) p = o(l - e2} = 10100(1 - 0,336634z) = 8955,443 [km]. e) Výpočet pravé anomálie prvního průsečíku „a" z rovnice dráhy /8955,443 - 7500\ _ V0,336634(7500) J _ 54,797 [°]' f) Výpočet sklonu dráhy letu v průsečíku „a" esinG„ \ / 0,336634 sin 54,797° 0„ - arccos (—) = arccos / esinoa \ / u,3J Ya = a rete -— = a rete - ,a &\\ + ecosQJ 5\l + 0,: -1 = 12 *,797°y ,336634 cos 54,' g) Výpočet velikosti místní rychlosti na přechodové dráze (3) v průsečíku „a" 973 [°]. * = \2^-Ta) ' j2(3986°0)(^- 20oW) = 8'1748 [kmS' h) Výpočet potřebného impulsu pro přechod na dráhu (3) v průsečíku „a" Wa= ^ + V^3-2VhVa3 cosYai &Va = V7.29022 + 8.17482 - 2(7,2902)8,1748cos 12,973° = 1,9557 [km Výpočet kruhové rychlosti (I. kosmické rychlosti) na cílové oběžné dráze (2) V„2 = V,2 = 10000 = 6,3135 [kms-1]. j) Výpočet pravé anomálie druhého průsečíku „b" z rovnice dráhy ^8955,443 - 10000\ 336634(10000)J 0b — arccos | (v - r2\ /»y ; - = arccos — V er2 J V0, k) Výpočet sklonu dráhy letu v průsečíku „b = 108,077 [°]. 210 5. Manévrování na oběžné dráze i esin0b \ / 0,336634 sin 108,077° \ Yb = arCtgll + gcoseJ = arCtg(l-f 0,336634 cos 108,077°) = ^ [°l I) Výpočet velikosti místní rychlosti na přechodové dráze (3) v průsečíku „b" K"=Jm|-S=J2(39860o) (ä - wmí= 6-3447 [kms"]- m) Výpočet potřebného impulsu pro přechod na dráhu (2) v průsečíku „b" AKb = ^VŠi + V?2-2VaVh cosYb, AKĎ = V6,34472 + 6.31352 - 2(6,3447)6,3135 cos 19,664° = 2,1617 [fcms"1]- n) Konečně celkový potřebný rychlostní impuls pro přechodový manévr z výchozí dráhy (1) na cílovou dráhu (2) je dán součtem dílčích impulsů AV = AVa + AVb = 1,9557 + 2,1617 = 4,1174 [fcms-1]. 5.2.2 Hohmannova přechodová dráha mezi kruhovými oběžnými dráhami Německý stavební inženýr Walter Hohmann v roce 1925 ukázal, že energeticky nejvýhodnější přechodovou dráhou je taková dráha, kdy průsečíky drah degradují na dva dotykové body, jak je znázorněno na obr. 5-13, [37]. V dotykových bodech mají obě dráhy společné tečny. Tečny v pericentru jsou rovnoběžné s tečnami v apocentru. Obr. 5-13 Hohmannova přechodová dráha. 211 5. Manévrováni na oběžné dráze V obou tečných bodech, pro něž platí (t> - r-j) a (rA - r2), jsou sklony dráhy letu y nulové. Z toho v souladu s rov. [5.31} a (5.33} plyne, že v těchto bodech jsou potřebné rychlostní impulsy pro přechody mezi dráhami nejmenší. Energie vynaložená pro přechodový manévr, která je úměrná součtu obou rychlostních impulsů (AVa + AVb) je tím pádem nejmenší. Rozebereme případ Hohmannovy eliptické přechodové dráhy (obr. 5-13) pro přechod z kruhové oběžné dráhy na cílovou kruhovou oběžnou dráhu o větším poloměru (r2 > rj. První rychlostní impuls AVa je udělen v dotykovém bodě „a", totožném s perícentrem přechodové dráhy (3). Kosmické letadlo je urychleno na rychlost K^. Díky nulovosti sklonů dráhy letu jsou rychlosti v tomto bodě kolineární. Pak velikost potřebného rychlostního impulsu je dána prostým rozdílem rychlosti v pericentru dráH (3) a kruhové rychlosti na dráze (1) Kosmické letadlo je tímto rychlostním impulsem převedeno na Hohmannovu eliptick přechodovou dráhu (3). Pokračuje v pohybu po eliptické přechodové dráze až dalšího tečného bodu „b", kde oplývá rychlostí 1^,3. Zde, v apocentru eliptické dráhy ( je zaveden další rychlostní impuls AVb, jímž je kosmické letadlo převedeno na cílo kruhovou oběžnou dráhu (2). Jeho velikost je dána rozdílem kruhové rychlosti na draJB (2) a rychlosti ^3 v apocentru přechodové dráhy (3) (5.36] Bez tohoto impulsu by totiž kosmické letadlo nadále pokračovalo v pohybu po druhé polovině přechodové eliptické dráhy (3). Dodejme, že v případě opačného přechodu z kruhové oběžné dráhy na cílovou oběžní dráhu o menším poloměru je postup obdobný. Absolutní velikosti rychlostních impul zůstávají stejné, avšak rychlostní impulsy jsou orientovány obráceně. Tí manévrovacích raketových motorů je třeba vyvozovat v opačném smyslu. V teč ' bodech „a" a „b" přecházíme v tomto případě na dráhy energeticky nižších úr Celková energetická náročnost tohoto manévru je však stejná jako v předcho ' případě. Energie je v tomto případě vynaložena na brzdění. Podívejme se nyní na vliv relací mezi poloměry výchozí a cílové oběžné dráhy energetickou náročnost přechodového manévru. Pro tyto účely upravíme oba v uvedené výrazy (5.35) a (5.36) následovně. Za hlavní poloosu přechodové dr~ dosadíme známý vztah a — (r^ + r2)/2. Dále zavedeme relaci mezi prvrt' kosmickými rychlostmi na obou kruhových oběžných dráhách využitím vztahů gravitační parametr fi = Vfa = Vfa, odkud platí Vh = Vh/&jrt. (5.3 212 5. Manévrovaní na oběžné dráze •13) pro přechod ětším poloměru § „a", totožném na rychlost Va3. irní. Pak velikost pericentru dráhy Po dosazení do obou výrazů (5.35) a (5.36) a úpravě obdržíme vztahy pro rychlostní impulsy v závislostí na poměru (r2/ri) a kruhové rychlosti výchozí oběžné dráhy AVh - 1 + (rz/n) -1 Vr2/rl 1 _ 2 1 — > (5.38) (5.39) Celkový potřebný rychlostní impuls je dán součtem obou dílčích impulsů, což lze upravit na tvar AV - (r2/r O + lVr, ) r2 — + 1 r, (5.40) běžné dráhy na avíme oba výše ;chodové dráhy mezí prvními ítím vztahů pro 0,6 0,5 > > < 0,4 0,3 3 q. £ "č tt o Z 0,2 o -OJ Ž 0,1 E o a. - AV/ v, - 1 : = o, AV 1 10 100 Poměr poloměrů cílové a výchozí oběžné dráhy {r2/r1) Obr. 5-14 Závislost poměrných rychlostních impulsů na poměru poloměrů cílové a výchozí oběžné dráhy (Vx = VjJ. Na obr. 5-14 jsou znázorněny průběhy jak dílčích poměrných rychlostních impulsů, tak výsledného poměrného rychlostního impulsu. Všechny rychlostní impulsy jsou jednotně vztaženy na I. kosmickou rychlost výchozí kruhové oběžné dráhy. Zatímco první impuls monotónně roste k asymptotické hodnotě AVa/V1 — 0,414, druhý rychlostní impuls vykazuje maximum (AVb/V^)max = 0,190 při poměru ir2/r{) — 5,879 a poté klesá k nule. Celkový poměrný rychlostní impuls dosahuje své maximum {AV/V{)max = 0,536 při poměru poloměrů vnější a vnitřní kruhové oběžné dráhy {r2/rt) = 15,582. 213 5. Manévrování na oběžné dráze Kromě energetické náročnosti může hrát významnou roli také doba letu tH po Hohmannově přechodové dráze. Dobu letu po Hohmannově eliptické přechodové dráze stanovíme pomocí III. Keplerova zákona. Doba letu je dána poloviční hodnotou periody dle rov. (3.86) řtf = T = n 2 >J M Po dosazení za hlavní poloosu Hohmannovy eliptické oběžné dráhy aH = +r2)/2 obdržíme pro dobu letu výraz '" = 2^—20— (5-41) Poznámka: V ruské literatuře lze nalézt zmínku, že ke stejnému poznatku jako W. Hohmann dospěl také ruský vědec V. P. Vetčinkin (1888-1950), žák významného ruského aerodynamika N. J. Žukovského. V.P.Vetčinkin o tomto problému přednášel již vletech 1921-25 na Žukovského letecké akademii v Moskvě v kursech věnovaných1 raketové technice a kosmickým letům. Proto se můžeme také setkávat s termínem Hohmann-Vetčinkinova přechodová dráha. Příklad 5.6 Zadání: Pro stejnou výchozí a cílovou oběžnou dráhu jako v předchozím příkladu 5.5 navrhněte Hohmanovu přechodovou dráhu. Stanovte potřebné rychlostní impulsy a pomocí celkových I rychlostních impulsů porovnejte energetickou náročnost Hohmannovy přechodové dráhy s obecnou přechodovou dráhou. Potřebná data: Poloměr výchozí kruhové oběžné dráhy (1) rt ~ 7500[/cm], Poloměr cílové kruhové oběžné dráhy (2) r2 = 10000 [km], Vzdálenost perigea přechodové dráhy (3) rP = r, = 7500 [km], Vzdálenost apogea přechodové dráhy (3) rA = r% = 10000 [km], Gravitační parametr Země n — 398600 [km3s~2]. Řešení: Postup výpočtu je obdobný jako v příkladu 5.5. Výpočet je dokonce jednoduší vtom, ie| sklon dráhy letu jak v perigeu, tak v apogeu Hohmannovy přechodové dráhy je nulový. Dáka pro pravé anomálie v tečných bodech platí 0a 3 0P;J = 0° a 0^ = 0„3 - 180°. a) Výpočet kruhové rychlosti (I. kosmické rychlosti) na výchozí oběžné dráze (1) 398600 v«sv»= lrjw=7'2902 [kms'l] b) Výpočet hlavní poloosy přechodové dráhy (3) rA + rP 1000 a = ^- =- c) Výpočet rychlosti na přechodové dráze (3) v perigeu, označeném bodem „a" r. + rP 10000 + 7500 r , a = =---- 8750 [km]. 214 5. Manévrovaní na oběžné dráze Va3 = 2" £ - 4) = 2(398600) i^iTo - mm)=7'7935 [kms"]- d) Výpočet potřebného impulsu pro přechod na dráhu (3) v bodě „a" Wa = Kí ~ Vh = 7,7935 - 7,2902 = 0,5033 [fcms"1]. e) Výpočet kruhové rychlosti (I. kosmické rychlosti) na cílové oběžné dráze (2) 398600 = 6,3135 [fcms-1]. 10000 f) Výpočet rychlosti na přechodové dráze (3) v apogeu, označeném bodem „b" v» - fôrh) = J2(398600Kä-278^) - 5-8451 [kms~1]- g) Výpočet potřebného rychlostního impulsu pro přechod na cílovou dráhu (2) v bodě „b" AVb = V,2 - Vb3 = 6,3135 - 5,8451 = 0,4684 [fcms-1]. h) Konečně celkový potřebný rychlostní impuls pro přechodový manévr z výchozí dráhy (1) na cílovou dráhu (2) je dán součtem dílčích impulsů AV = AVa + AVb = 0,5033 + 0,4684 = 0,9717 [fcms"1]. Porovnáním potřebného celkového rychlostního impulsu AV s výsledkem pro obecnou přechodovou eliptickou dráhu v příkladu 5.5 je zřejmé, že použití Hohmannovy eliptické přechodové dráze je energeticky podstatně výhodnější. 5.2.3 Bieliptická přechodová dráha mezi kruhovými oběžnými dráhami Jak název napovídá, bieliptická přechodová dráha sestává ze dvou koaxiálních poloelips (3) a (4) se společným ohniskem. Přechodové eliptické dráhy jsou znázorněny na obr. 5-15. Výchozí oběžnou dráhou je kruhová dráha (1) a cílovou dráhou je kruhová oběžná dráha (2), jejíž poloměr r2 > r%. Jedná se tedy o let z vnitřní dráhy na vnější oběžnou dráhu obchvatem. Použití dvou vložených přechodových drah je vedeno snahou nalézt další možnosti energeticky úspornějších přechodových manévrů. Poprvé tuto možnost předložil A.Sternfeld na zasedání francouzské Akademie věd v Pařiži v roce 1934, [64]. Volbou co největší vzdálenosti apocentra rA první přechodové eliptické dráhy (3), označeného písmenem „b", lze snižovat velikost potřebného rychlostního impulsu nezbytného pro přechod na další dráhu. V tomto případě na druhou přechodovou eliptickou dráhu (4). Prvním rychlostním impulsem AVa v bodě „a" se kosmické letadlo převede na velmi výstřední eliptickou dráhu (3). Velikost prvního impulsu stanovíme pomocí vztahu (5.38), který v tomto případě upravíme tak, že místo poloměru r2 dosadíme vzdálenost apocentra rA eliptické přechodové dráhy (3) -1 (5.42) 215 5. Manévrovaní na oběžné dráze AV Vt2 vychází impuls AVC záporný. Jedná se tedy o brzdicí impuls. Úpravou vztahu (5.45) podobně jako v předchozím případě dospějeme k výslednému vztahu pro stanovení rychlostního impulsu pro zachycení kosmického letadla na cílové kruhové oběžné dráze 1 2(rA/n) m/n) + (rA/n) (5.46) Celkový impuls pro bieliptický přechod z vnitřní kruhové oběžné dráhy na vnější dráhu je dán součtem absolutních (!) hodnot dílčích impulsů AV = AVa + AVb + \AVC\. (5.47) 5 10 15 20 25 30 35 Poměr poloměrů cílové a výchozí oběžné dráhy (r2/r1) Obr. 5-16 Porovnání energetické náročnosti Hohmannovy a bieliptické přechodové dráhy {V^VjJ. Na obr. 5-16 jsou uvedeny závislosti poměrného rychlostního impulsu (Al^/I^) na poměru poloměrů cílové a výchozí oběžné dráhy (r2/r{). Křivka (a) platí pro přechod po Hohmannově eliptické dráze. Svazek křivek mezi limitními křivkami (b) až (c) platí pro bieliptické přechodové dráhy. Horní křivka (b) platí pro specifický poměr (r/i/ri) - 15,58 a dolní křivka (c) pro teoretickou hodnotu (fy/rj -» co. Při rovnosti poměrů (fy/ri) - fe/rj) = 15,58 (bod „B") je energetická náročnost přeletu po 217 5. Manévrování na oběžné dráze v bodě „c" na cílové kruhové dráze (2) Vc2 = V,2 a eliptické rychlosti na dráze (4) v temže bodě (5.45) Jelikož rychlost Vc4 > V,2 vychází impuls AVC záporný. Jedná se tedy o brzdicí impuls. Úpravou vztahu (5.45) podobně jako v předchozím případě dospějeme k výslednému vztahu pro stanovení rychlostního impulsu pro zachycení kosmického letadla na cílové kruhové oběžné dráze Vrz/ri 1 2(rA/n) (r2Ai) + fo/rO (5.46) Celkový impuls pro bieliptický přechod z vnitřní kruhové oběžné dráhy na vnější dráhu je dán součtem absolutních (!) hodnot dílčích impulsů AV = AVa + AVb + |AVC|. (5.47) 5 10 15 20 25 30 35 Poměr poloměrů cílové a výchozí oběžné dráhy (r2/r1) Obr. 5-16 Porovnáni energetické náročnosti Hohmannovy a bieliptické přechodové dráhy fa = V,x). Na obr. 5-16 jsou uvedeny závislosti poměrného rychlostního impulsu {AV/%) na poměru poloměrů cílové a výchozí oběžné dráhy (r2/rx). Křivka (a) platí pro přechod po Hohmannově eliptické dráze. Svazek křivek mezi limitními křivkami (b) až (c) platí pro bieliptické přechodové dráhy. Horní křivka (b) platí pro specifický poměr (r^/ri) = 15,58 a dolní křivka (c) pro teoretickou hodnotu (Ta/^) -» oo. při rovnosti poměrů (rA/rx) = (r2/r1~) = 15,58 (bod „B") je energetická náročnost přeletu po 217 5. Manévrováni no oběžné droze bieliptické dráze stejná jako po Hohmannové dráze (AVC - 0). Dolní limitní křivka pro fo/rO ^ co se protíná s křivkou (a) platnou pro Hohmannovu přechodovou dr? v bodě „A". To odpovídá poměru cílové a výchozí kruhové dráhy {^/r^) - 11,94, je opět energetická náročnost přeletu po Hohmannové přechodové dráze stejná j po bieliptické přechodové dráze, byť je jen teoreticky možná, bez praktického význa Podobně pro každý průsečík mezi body „A" až „B" je energetická náročnost pro přechodové dráhy stejná. Na základě uvedeného můžeme udělat následující závěry: a) V rozsahu poměrů poloměrů 0 < (rz/rO < 11,94 je jednoznačně výhodi.. používat Hohmannovy přechodové dráhy (dráhy odpovídají bodům na křivce (a)). b) V rozsahu poměrů poloměrů 11,94 < fo/rj) < 15,58 jsou bieliptické přechod dráhy výhodnější jen ty, u nichž poměr (r^/rj) > 15,58 a poměr (^/rj) je větší hodnota definována průsečíkem křivky (a), platné pro Hohmannovu přechodo dráhu, s odpovídající křivkou pro bieliptickou dráhu (jedná se o průsečíky kň mezi body „A" a „B"). c} V rozsahu poměrů poloměrů 15,58 < (r2/ri) < °o jsou výhodnější bieiipti přechodové dráhy, jimž odpovídají křivky, které leží pod pravou větví křivky (a). je nutno poznamenat, že přelety po velmi protáhlých bieliptických dráhách j časově velmi náročné a proto musíme rozhodnout co je pro nás prioritou. 5.2.4 Přechodová dráha z kruhové na eliptickou oběžnou dráhu Často je třeba provést přechod z výchozí parkovací kruhové oběžné dráhy na * eliptickou. Zvolme nejprve případ přechodu z kruhové oběžné dráhy, která ležH uvnitř cílové eliptické oběžné dráhy. Tento případ je znázorněn na obr. 5-17.1 oběžné dráhy mají společné ohnisko. Pro přechod mezi výchozí kruhovou dráhou (1) a cílovou eliptickou oběžnou dráhou (2) se nabízí dvě možnosti. Buď přelet z bodu „a" do bodu „b" (je shodný sapocentrem A cílové dráhy) nebo př z bodu „c" do bodu „d" (je shodný s pericentrem cílové dráhy). Je tedy třeba n rozhodnou, zda poletíme do apocentra nebo perícentra cílové oběžné dráhy. Přechod do apocentra Pokud zvolíme přelet do apocentra, což jak poznáme později je z hlediska energeí náročnosti výhodnější, pak přechodová dráha (3) musí být vybrána tak, aby se apocentrum shodovalo s apocentrem cílové oběžné dráhy (2). Ve zvoleném místí: výchozí kruhové oběžné dráhy (1) je zaveden první rychlostní impuls AVa, jímá převede kosmické letadlo na eliptickou přechodovou dráhu (3). V apocentru pakl následovat další rychlostní impuls AVb, kterým se převede kosmické letadlo na eliptickou oběžnou dráhu (2). Pro stanovení potřebných rychlostních Impulsů můžeme použít obdobný postup v předchozím případě pro přechod mezi dvěma kruhovými oběžnými dráhami. I impuls v bodě „a", který se shoduje s pericentrem přechodové dráhy (3), bude rozdílem rychlosti Va3 na přechodové dráze (3) v bodě „a" a kruhové rychlosti V výchozí kruhové dráze (1) 218 5. Manévrovaní na oběžné dráze í<_ r. (5.48) Po příletu do bodu „b", který je společným apocentrem přechodové i cílové dráhy, kosmické letadlo oplývá rychlostí Vb2. Zde je zaveden druhý rychlostní impuls AVb. Jeho velikost je dána rozdílem potřebné rychlosti pro let po dráze (2) Vb2 a rychlosti Vb3 v apocentru přechodové dráhy (3) AVh = Vb2 - V),i = 2^-2^)-J2^-2í)- (5.49) Obr. 5-17 Přechod z kruhové oběžné dráhy na vnější eliptickou oběžnou dráhu. Po dosazení za hlavní poloosy elips a2 — (rP + rA)/2 a a3 = (rx +rA)/2 do rovnic (5.48) a (5.49), obdržíme po úpravě výrazy pro oba rychlostní impulsy ve tvaru AVn = V, 2(rA/n) 1 + (r^/rO - 1 AVh =• 1 + fa/rP) (5.50) (5.51) Celkový rychlostní impuls pro let do apocentra je dán součtem uvedených dvou dílčích impulsů AV = AVa + AV„. 219 5. Manévrování na oběžné dráze Přechod do pericentra Obdobně bychom postupovali při volbě letu z kruhové oběžné dráhy (1) z bodu „c" do pericentra cílové oběžné dráhy (2), označeného jako bod „d". Obdrželi bychom následující výrazy pro oba příslušné rychlostní impulsy 6VC = Vh 2(rP/r1) 1 + (rp/rj) - 1 AVd = 1 + (rP/rA) 1 + (rp/rj (5.52] (5.53] Energetická náročnost letu do pericentra odpovídá celkovému rychlostnímu impulsu AV = AVC + AVd = Vh 2/1 | fo/rP-l IfrpAi) y*+ <*/»*) Vl + foM) -1 (5.54) Připomeňme, že označení vzdálenosti pericentra symbolem rP přísluší pouze cíloví dráze, zatímco symbolem rA je označena vzdálenost apocentra jak pro přechodovoiJ tak pro cílovou dráhu. Uvážením skutečnosti, že rA > rP se dá přímo z výše uvedených vztahů (5.50) až (5.5« prokázat, že (AVa + AVb) < (AVC + AVd). Z toho vyplývá, že let do apocentra je energeticky mnohem výhodnější, než let do pericentra. 5.2.5 Přechodová dráha mezi koaxiálními eliptickými oběžnými dráhami V praktických úlohách manévrování na oběžných dráhách se málokdy setkáváme s přesně kruhovými oběžnými dráhami. Frekventovanější případy jsou přechody moH eliptickými oběžnými dráhami. To je předmětem následujících rozborů přechodů mal dvěma eliptickými dráhami. Uvažujme dvě koaxiální eliptické dráhy, kdy výchozí oběžnjj dráha je uvnitř cílové eliptické oběžné dráhy. Nabízí se dvě možnosti přechodu, můžeme realizovat přechod z pericentra výchozí oběžné dráhy do apocentra cil oběžné dráhy, nebo z apocentra výchozí oběžné dráhy do pericentra cílové obě' dráhy. Ukážeme si postup řešení pro obě možnosti současně. Na obr. 5-18 je znázorněn případ přechodové dráhy (3) z pericentra výchozí elipť dráhy (1) do apocentra cílové dráhy (2). Z obrázku je patrné, že přechodová dráha má s výchozí dráhou společné pericentrum, označené písmenem „a" a s cílovou drá má společné apocentrum v bodě označeném písmenem „b". Druhou moř představuje přechodová dráha (4) z apocentra vnitřní eliptické oběžné dráhy (1) pericentra cílové oběžné dráhy (2). V tomto případě má přechodová dráha (4) s vý dráhou společné apocentrum, označené písmenem „c" a s cílovou dráhou má spol pericentrum v bodě označeném písmenem „d". Ve všech zmíněných bodech mají společnou tečnu kolmou na přímku apsid. To znamená, že rychlosti v tečných b jsou kolineární. Potřebné rychlostní impulsy ve všech odpovídajících bodech jsou pouze rozdílem rychlosti na následující dráze a předchozí dráze. Pro tyto čtyři rychl impulsy platí vztahy 220 5. Manévrování na oběžné dráze &Va = \Va3 -Val\, AVh = \Vb2- Vb3\, (5.55a,b) A^c = |KC4 - Vcl\, Wd = \Vd2 - Vd4\. (5.56a, b) Připomeňme, že podobně jako v předchozích případech rozlišujeme rychlosti pomocí dvou indexů. První index (malé písmeno) označuje místo působiště rychlosti a druhý index (číslo) přiřazuje rychlost k odpovídající dráze. Obr. 5-18 Přechod mezi dvěma koaxiálními eliptickými dráhami. Pro nalezení uvedených rychlostí musíme znát parametry příslušných elips, konkrétně excentricitu e a specifický moment hybnosti h. Excentricity jednotlivých elips stanovíme pomocí známých vzdáleností pericentra a apocentra dle vztahu (3.49). Z rovnice dráhy (3.44) pro podmínky v pericentru (0 - 0°) nalezneme výraz pro specifický moment hybnosti h = JrpJO + e). (5.57) Jelikož specifický moment hybnosti je pro danou eliptickou oběžnou dráhu konstantní, stačí jej určit jen z podmínky v pericentru. Po dosazení výrazu pro excentricitu (3.49) do vztahu (5.57) získáme obecný tvar pro specifický moment hybnosti v závislosti na vzdálenostech pericentra a apocentra h= 2M rArP rA+rP' (5.58) Nyní je třeba do obecného vztahu (5.58) pro specifický moment hybnosti pro jednotlivé eliptické dráhy dosadit odpovídající polohy pericenter a apocenter dle naší notace 221 5. Manévrování na obežné dráze uvedené na obr. 5-18. Po dosazení získáváme specifické momenty hybnosti pro čtyř eliptické dráhy ve tvarech 2H rrrn rc + ra h2 = Vlii rbrd rb + rd' 2l* rbra r i, + ra' h4 = 2fi rc + rd (5.59a. b) (5.60a, b) Díky tomu, že rychlosti v pericentrech i apocentrech jsou kolmé na osu apsid lid potřebné rychlosti v těchto bodech stanovit využitím specifického momentu hybnosB v souladu s rov. (3.93), která je platná jak pro pericentrum, tak pro apocentrunv Výpočet potřebných rychlostí v jednotlivých bodech čtyř elips provedeme pomoci následujících vztahů Val -k ra va3 r a vb2 Vcx • v* -h 1 Vd2 rb rd Vb3 = f. vd4 = f. rd Po dosazení uvedených rychlostí do vztahů pro rychlostní impulsy (5.55a,b) a (5.56a,h| obdržíme po úpravě následující vztahy AVC = \h3-h,\ \h2-h2\ \h2-ht\ rd (5.61a, b) (5.62a. b) Nyní již zbývá jen dosadit za specifické momenty hybností pro jednotlivé eliptictáj dráhy. Po úpravě obdržíme výsledné vztahy pro výpočet potřebných rychlostních impulsů. Potřebný rychlostní impuls pro přechod z pericentra oběžné dráhy (1) na přechodovou dráhu (3) stanovíme ze vztahu AVa = 2rb rb + ra 2rr r c + ra Vztah dále upravíme zavedením vztažné lokální I. kosmické rychlosti V,a = 4^lTm> platné pro bod „a". Podobně ji zavedeme i do výrazů pro další rychlostní impulsy. Dáti zavedeme relativní vzdálenosti pericenter a apocenter (rb/ra), (rc/ra) a (rd/ra). Tald^ výraz pro rychlostní impuls AVa po naznačené úpravě nabude tvar 2(r„/ra) 2{rc/ra) 1 + Ob/rJ Jl + (rc/ra) (5. Podobnou úpravu provedeme i u ostatních rychlostních impulsů. Po úpravách obdrží následující výsledné vztahy 222 5. Manévrování na oběžné dráze V/ 2(rd/ra) Jrb/ra ÁirJrJ + Ob/ra) 1 + fo/rj AVC = 'a 2(rd/ra) JřJVa JOd/ra) + (rc/ra) ! 1 + (rc/rj 2(rb/rQ) 2(rc/ra) (rc/ra) + (rd/ra) (5.64) (5.65) (5.66) Celkový impuls aplikovaný pro přechod z pericentra výchozí oběžné dráhy (1) do apocentra cílové oběžné dráhy (2) je dán součtem impulsů v bodech „a" a „b" AVab = AVa + AVb. A celkový impuls použitý pro přechod z apocentra výchozí oběžné dráhy (1) do pericentra cílové oběžné dráhy (2) je dán součtem impulsů v bodech „c" a „d" AVcd = AVC + AVd. Logicky se naskýtá otázka, kterou z těchto přechodových drah použít. Vedeni snahou, co nejnižší energetické náročnosti je jasné, že zvolíme dráhu, pro niž je celkový rychlostní impuls menší. Vyjádřeno jinou formou, bude-li poměr AV, > 1 ab je energeticky výhodnější přechodová dráha (3). V opačném případě, je-li poměr celkových impulsů AV, < 1, ab pak je vhodnější zvolit přechodovou dráhu (4). Konkrétní řešení pro oba možné druhy přechodových drah je uvedeno v příkladu 5.7. Zvýše uvedených rozborů, speciálně stanovování potřebných rychlostních impulsů vyplývá, že metoda řešení platí rovněž pro případ přechodů z vnější eliptické oběžné dráhy na vnitřní eliptickou oběžnou dráhu. Pro stejný tvar přechodové dráhy je to energeticky jedno. Rychlostní impulsy jsou stejné, mají ovšem opačný smysl. Příklad 5.7 Zadání: Jsou dány dvě koaxiální eliptické oběžné dráhy kolem Země o zadaných parametrech. Stanovte celkový rychlostní impuls nutný pro tečný přechod z výchozí oběžné dráhy (1) na cílovou oběžnou dráhu (2) po přechodové dráze (3). Totéž určete pro přelet po přechodové dráze (4). Stanovte dobu přeletu. Potřebná data: Perigeum výchozí eliptické oběžné dráhy (1) ra - 7500[fcm], Apogeum cílové eliptické oběžné dráhy (2) rb = 21000 [km], Apogeum výchozí eliptické oběžné dráhy (1) rc = 10000 [km], 223 5. Manévrování na oběžné dráze Perigeum cílové eliptické oběžné dráhy (2) Gravitační parametr Země Řešeni: Výpočet pomocných veličin a) Výpočet vztažné lokální I. kosmické rychlosti v bodě „a rd = 9500 [km], \i = 398600 [km3s'2]. V, = 'a 398600 7500 = 7,2902 [kms-1]. b) Výpočet poměrných vzdáleností apogea a perigea vztažených na ra rb 21000 rc 10000 rd 9500 — = --= 2,8, — = ——— = 1,33333 , — = = 1,26667. ra 7500 ra 7500 ra 7500 Výpočet přechodové dráhy (3) c) Výpočet prvního poměrného rychlostního impulsu pro přechod na přechodovou dJ (3) v bodě „a" dle rov. (5.63) 2(rb/ra) 2(rc/ra) l + (r6/ra) Jl + (rc/ra) 2(2,8) 1 + 2,8 2(1,33333) 1 + 1,33333 = 0,14491 [1]. d) Výpočet druhého poměrného rychlostního impulsu pro přechod na cílovou drá v bodě „b" dle rov. (5.64) AI/* V. 1 2(rd/ra) \ (ľa/ra) + (rb/ra) 1 2(1,26667) VX8 \ 1,26667 + 2,8 J] 1 + 2,8 1 + {rb/ra) ' = 0,03813 [1], e) Výpočet celkového rychlostního impulsu pro přelet po přechodové dráze (3) Wab = [-T + -r)via = (0,14491 + 0,03813)7,2902 = 1,3344 [km: f) Výpočet doby přeletu po přechodové dráze (3) dle rov. (5.41) (rQ + rbY n (7500 + 21000)3 = 8464,54 [s] = 2,351 [ 2(i 2J 2(398600) Výpočet přechodové dráhy (4) g) Výpočet prvního poměrného rychlostního impulsu pro přechod na přechodovou (4) v bodě „c" dle rov. (5.65) 1 1 2(rd/ra) \(rd/ra) + (rc/ra) V/a Vl.33333 2(1,26667) 1,26667 + 1,33333 2 i i + (rM 2 3 J 1 + 1,33333 = 0,05307 224 5. Manévrovaní no oběžné dráze h) Výpočet druhého poměrného rychlostního impulsu pro přechod na cílovou dráhu (2) v bodě „d" dle rov. (5.66) 2{rb/ra) (rb/ra) + (rd/ra) (re/ra) + fo/rj 2(rc/ra) V, V1.26667 2(2,8) 2(1,33333) 2,8+ 1,26667 J 1,33333 + 1,26667 0,14282 [1]. Výpočet celkového rychlostního impulsu pro přelet po přechodové dráze (4) AVcd = [ — + -tt*j V, = (0,05307 + 0,14282)7,2902 = 1,4281 [/cms"1]. V; 'a Výpočet doby přeletu po přechodové dráze (4) dle rov. (5.41) 7T £ rAz. Podobně jako v předchozím případě, první rychlostní impuls Al^ je zaveden v pericentru výchozí oběžné dráhy (1). Jeho velikost stanovíme dle rov. (5.61a) s tím, že v tomto případě platí ra = rPi AVa = |fa3-ftil (5.67) Výpočet specifických momentů provedeme dle rov. (5.59a,b) a (5.60a). Pro náš případ budeme potřebovat znát specifické momenty hybnosti pro všechny tři dráhy 2u h2= 2n h3 = 2fi rA3 + rP3 (5.68a, b, c) 225 5. Manévrováni na oběžné dráze Obr. 5-19 Rychlý přechod mezi koaxiálními eliptickými oběžnými dráhami. Pravou anomálii Qb, definující polohu průsečíku drah „b", určíme pomocí rovnice dráhy (3.44), kterou zapíšeme jednak pro oběžnou dráhu (2), jednak pro přechodovou dráhu (3) r>} fi 1 + e2 cosQb p.l + e3cosQb Z uvedené rovnosti nalezneme vztah pro společnou pravou anomálii v průsečíku „b" cos0h - hj - hj hje2-hje3' odkud 0;, = arccos hl-h23 (5.69) (5.70) Ji\e2 - h%e3j Vzdálenost průsečíku od společného ohniska (modul průvodiče) určíme opět z rovnice dráhy, např. cílové oběžné dráhy h\ 1 rb=—--—. (5.71) " p. 1 + ezcos0b K J Excentricity cílové oběžné dráhy (2) a přechodové dráhy (3) stanovíme ze známých vztahů (3.49) e2 = rA2 ~ rP2 (5.72a, b) rAl + rP2 rA3 + rp3 Doplňme ještě výrazy pro hlavní poloosy cílové i přechodové dráhy dle rov. (3.50), kterou modifikujeme pro náš případ, [rP2 — rP_J rAl + rP2 rAí + r>3 a7 = a3 = (5.73a, b) 226 5. Manévrovaní na oběžné dráze Konečně můžeme přistoupit k výpočtu rychlostí letu v průsečíku „b" jak pro cílovou oběžnou dráhu (2), tak pro přechodovou dráhu (3) Vt2 = Vb2 = (5.74) (5.75) Pro výpočet druhého rychlostního impulsu AVb v průsečíku drah „b" je třeba stanovit úhel, který oba vektory rychlosti spolu svírají. K tomu nám poslouží výraz (3.143) pro výpočet sklonu dráhy letu e2sm&b \ ( e3sin0Ď / e2sin0b \ / e3sinfc>Ď \ Yb2 = arct4i neosej' Yb3 = arctgli + e,CoSeJ- (5.76) ■e2costíb/ ~\i + e3cosi Jejich rozdíl definuje úhel, který oba vektory v průsečíku „b" svírají Se znalostí velikostí obou rychlostí Vb2, Vb3 a úhlu Ay lze aplikací kosinové věty stanovit rychlostní impuls v bodě „b" dle vztahu m = ^Vb22 + Vb23-2Vb2Vb3cos(Ay). (5.78) A konečně celkový rychlostní impuls, jímž je realizován rychlý přechod z výchozí oběžné dráhy (1) na cílovou oběžnou dráhu (2) je dán součtem obou AV = AVa + AVh. (5.79) Rychlý přechodový manévr bude sice energeticky náročnější, avšak časově úspornější. Je třeba uvážit, co bude prioritou. Pro posouzení úspory času je třeba ještě doplnit výpočet času tb potřebného pro přelet z pericentra v bodě „a" do bodu „b" po přechodové dráze. K tomu je třeba použít Keplerovu rovnici (3.112), kde čas průchodu pericentrem položíme rovno nule (tP = 0) a střední pohyb (úhlová rychlost) n3 — 2n/T3. Po dosazení máme rovnici 2jt ^rh = (Eb ■3 e3sin£b). (5.80) Pro výpočet excentrické anomálie použijeme rovnici (3.125), kterou přepíšeme na tvar Eb = 2 aretg (5.81) Periodu přechodové dráhy T3 můžeme stanovit dle vztahu (3.111), který upravíme pomocí výrazu pro vedlejší poloosu b = aVl - e2 na tvar T3 = 2n-^ 11-e »3 (5.82) Po dosazení výrazu pro periodu přechodové dráhy (5.82) do rov. (5.80) můžeme zapsat výsledný výraz pro dobu přeletu z pericentra do průsečíku „b" 227 5. Manévrování na obežné dráze 4 f h J 1 - e\{Eb - e3 sin EJ. (5.83) Příklad 5.8 Zadáni: Jsou dány dvě koaxiální eliptické oběžné dráhy Země o zadaných parametrech. Stanovte celkový rychlostní impuls nutný pro rychlý přechod z výchozí oběžné dráhy (1) na cílovou oběžnou dráhu (2). Pro přechod je zvolena eliptická přechodová dráha (3). Přechodová dráha má počátek perigeu výchozí oběžné dráhy. Porovnejte energetickou náročnost a dobu přeletu touto metodou s metodou tečného přeletu do apocentra cílové oběžné dráhy. Potřebná data: Perigeum výchozí eliptické oběžné dráhy (1) = 7500[/cm], Apogeum výchozí eliptické oběžné dráhy (1) % = íoooo M, Perigeum cílové eliptické oběžné dráhy (2) = 9500 [km], Apogeum cílové eliptické oběžné dráhy (2) = 21000 [km], Perigeum přechodové eliptické dráhy (3) — rP1, Apogeum přechodové eliptické dráhy (3) ra3 = 35500 [km], Gravitační parametr Země Řešeni: a) Výpočet specifických momentů hybnosti pro všechny dráhy fi = 398600 [km3s~2]. ht = 2« 10000(7500) , , -J2(398600) 10000 + 7500 - 58451'445 [kmÍS'1]' n2= \2n rA2rP2 + r, 21000(9500) , J 2(398600) 21000 + 9500 = 72211'302 [kmS 1 h, = 2u rA3 + r, p3 >j 35500(7500) r , J 2(398600)——-—-= 70257,748 fcm25-1]. 35500 + 7500 J b) Výpočet prvního rychlostního impulsu AVJ, ve společném perigeu výchozí a přechod dráhy (bod „a") |/i3-/iil |70257,748 -58451,445| -= 1,5742 [kms AVa = 7500 c) Výpočet excentricity cílové oběžné dráhy (2) a přechodové eliptické dráhy (3) Ta, ~ TP e2 = ra2 + rp2 va3 21000 - 9500 21000 + 9500 35500 - 7500 ta, + tp., 35500 + 7500 = 0,377049 [1], = 0,651163 [1]. d) Výpočet hlavní poloosy cílové oběžné dráhy (2) a přechodové dráhy (3) r. +rP, 21000 + 9500 a2 = - =-—-= 15250 [km], 228 5. Manévrovaní na oběžné dráze + rP3 35500 + 7500 , , a3 = M-S =---= 21500 [km]. e) Výpočet pravé anomálie, kterou je definována poloha průsečíku drah v bodě „b" / h\-h\ \ ( 72211.3022 - 70257.7482 0„ = arccos I —=-rs— = arccos Kh\e2 - h\e3) \70257,7482 0,377049 - 72211.3022 0,651163 Qb = 100,451 ["]. f) Výpočet délky průvodiče rb definujícího polohu průsečíku drah „b" provedeme pro cílovou oběžnou dráhu (2) h\ 1 72211.3022 1 , , r _ _£___!__— 14042 42 í/cml b ^l + e2cos0Ď 398600 1 + 0,377049 cos 100,451° ' L g) Výpočet rychlosti v průsečíku drah „b" na cílové oběžné dráze (2) h) Výpočet rychlosti v průsečíku drah „b" na přechodové dráze (3) 2«£-2^) = J2(39M0°Kí4ôki2-2äéš^) = 5'534? tfemS_1]- Vb3 = 2" =J2(398600) (iíô^-žčžéôô)) =6'1831 [kms~t]- i) Výpočet sklonu dráhy letu (2) v průsečíku „b" / e2sin0b \ / 0,377049 sin 100,451° \ y"2 = arCt8(l+e2coseJ = arCtgll + 0,377049 cos 100,451°) = 21703 j) Výpočet sklonu dráhy letu (3) v průsečíku „b" / e3sin96 \ / 0,651163sin 100,451° \ m = 3rCtg (l + e3 cos 0 J = arCtg (l + 0,651163 cos 100,451°) = 35-984 k) Výpočet úhlu, který svírají vektory rychlosti v průsečíku „b" Ar = Ybz ~ Yb3 = 21,703 - 35,984 = -14,281 ["]. I) Výpočet rychlostního impulsu v průsečíku „b" potřebného pro přechod na cílovou oběžnou dráhu (2) - íl/2 AVí - \Vb\ + Vb\ - 2Vb2Vb3 cos(Ay), AVb = v/5,53472 + 6,18312 - 2(5,5347)6,1831 cos(-14,281°) = 1,5923 [/cms-1]. m) Výpočet výsledného rychlostního impulsu AI/ = AVa + AV„ = 1,5742 + 1,5923 = 3,1665 [fcms-1]. n) Výpočet excentrické anomálie v průsečíku drah v bodě „b" l-e3 0b\ / 1 - 0,651163 100,451° E" = 2arCtgl [l^tgTJ = 2arCtgyi + 0,651163tg — Eb = 1,00903 [rad] = 57,813 [*]. o) Výpočet doby přeletu z perigea „a" po přechodové dráze (3) do průsečíku „b" <*3 I- tb=—Jl- e32(Eft - e3 sinEfc), 229 5. Manévrovaní na oběžné dráze *b = -n„--,0>/l ~ 0,6511632(1,00903 - 0,651163 sin 57,813°), 70257,748 t„ = 2286,634 [s] = 0,6352 [h]. 5.2.7 Přechod na geostacionární oběžnou dráhu Mezi speciální přechodové manévry můžeme zařadit vyvedení telekomunikační nebo meteorologické umělé družice na geostacionární dráhu kolem Země. Geostacionární dráha je kruhová oběžná dráha s nulovým sklonem ve specifické výšce nad povrchem Země. Podrobněji bylo o geostacionární dráze pojednáno v podkapitole 3.9.3. Obr. 5-20 Přechodová dráha mezi kruhovou parkovací dráhou a geostacionární oběžnou dráhou Země. Vyvedení umělé družice na geostacionární oběžnou dráhu obvykle sestává ze tří kroků (obr. 5-20). Umělá družice se nejprve vyvede na nízkou parkovací kruhovou oběžnou dráhu kolem Země (1). Poté se převede na Hohmannovu přechodovou dráhu (3). Apogeum Hohmannovy přechodové dráhy se musí nacházet ve výšce geostacionární oběžné dráhy (2). Až potud je řešení shodné s metodou uvedenou v podkapitole 5.2.2. Nicméně pokud se místo vypuštění umělé družice nenachází přímo na rovníku, pak je třeba v místě „b" aplikovat třetí impuls, jímž se změní sklon dráhy na nulový. Postup řešení přechodu umělé družice na geostacionární oběžnou dráhu Země je představen formou následujícího příkladu 5.9. 230 5, Manévrovaní na oběžné dráze Příklad 5.9 Zadání: Telekomunikační družice, která má být vyvedena na geostacionární oběžnou dráhu kolem Země, je nejprve vypuštěna na parkovací kruhovou oběžnou dráhu. Stanovte výsledný rychlostní impuls nezbytný pro vyvedení družice pomocí Hohmannovy přechodové dráhy s následnou změnou sklonu dráhy. Dále stanovte potřebný rychlostní impuls pro kombinovanou změnu parkovací dráhy na geostacionární oběžnou dráhu. Porovnejte energetickou náročnost obou způsobů vyvedení družice na geostacionární oběžnou dráhu. Potřebná data: Výška parkovací kruhové oběžné dráhy (1) H1 = 280 [km], Výška geostacionární oběžné dráhy (2) H2 = HCE0 = 35786 [km], Zeměpisná šířka místa vzletu

sklonem dráhy ŕ a zeměpisnou šířkou

2 = 2n/"i _n-Qc Po dosazení za periodu letu po kruhové dráze (2) 2nr2 2nr2 Ty = 2n '2 > obdržíme konečný výraz pro dobu letu pasivního kosmického letadla n — Qc tCb — ( Pro úspěšné setkání musí být splněna podmínka tab = tcb = t. Po dosazeni uvedené podmínky dle rov. (5.84) a (5.85) a úpravě obdržíme výraz pro potřebný ' úhel 0C = n 1 - 1 + rjr2 80 70 60 50 40 9 30 20 10 0 Hi = 200 km] _ ^ ^ t .___- 3,2 2, 2. 2 1,6 1,2 0,8 0,4 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Výška cílové dráhy H2 [km] Obr. 5-22 Závislost fázového úhlu a doby letu na výšce cílové dráhy pro nízkou výcfaM oběžnou dráhu (LEO) H1 = 200 km. Podívejme se ještě na limitní hodnoty fázového úhlu pro případy r2 — rx a r2 -> oc. 9gf ani jedna z limitních hodnot nemá praktický význam, z rov. (5.86) vyplývá, že fa:: 1 úhel může teoreticky nabývat hodnot v rozsahu 234 5. Manévrování na oběžné dráze O<0c<7r[l--^ = 116,36 [°]. (5.87) Na obr. 5-22 je jako příklad uvedena závislost fázového úhlu na výšce cílové oběžné dráhy H2 pro setkávací manévry z výchozí nízké oběžné dráhy ve výšce = 200 km. Diagram zahrnuje rovněž odpovídající dobu letu v hodinách. 5.3.2 Setkávací manévry na stejné oběžné dráze Jedná se o případy dvou kosmických letadel nacházejících se na stejné oběžné dráze. Úkolem je nalézt vhodný manévr, jímž by bylo možno zajistit setkání těchto kosmických letadel na téže oběžné dráze. Vedle setkávacích manévrů na stejné oběžné dráze je často potřeba změnit polohu kosmického letadla na stejné oběžné dráze. Mezi tyto úlohy patří např. potřebná změna polohy telekomunikační, nebo meteorologické družice na geostacionární dráze apod. Obr. 5-23 Setkávací manévr na stejné oběžné dráze pro případ, kdy cílové kosmické letadlo je před aktivním kosmickým letadlem. Věnujme se setkávacímu manévru dvou kosmických těles na stejné eliptické oběžné dráze. Postup lze jednoduše modifikovat i pro kruhové oběžné dráhy. Na obr. 5-23 je znázorněn případ setkávacího manévru dvou kosmických letadel nacházejících se na stejné eliptické dráze. Přitom pasivní cíl se nachází před aktivním kosmickým letadlem, který je v roli stíhače. To znamená, že aktivní kosmické letadlo musí být převedeno na vnitřní přechodovou dráhu (2), (přerušovaná čára) tak, aby se vrátilo na původní oběžnou dráhu ve stejném okamžiku a místě, kde se bude nacházet cílové kosmické letadlo. V tomto případě je třeba zavést nejdříve brzdicí impuls AVp2 = Vp2 — VPi ve společném perigeu pro obě oběžné dráhy (Px = P2 = P). Tím je aktivní kosmické letadlo 235 5. Manévrování na oběžné dráze převedeno na kratší vnitřní oběžnou dráhu (2). Předpokládáme, že parametry výchoai společné oběžné dráhy jsou známy. Je třeba stanovit parametry přechodové dráhy (2) tak, aby perioda přechodové dráhy T2 byla stejná jako doba letu cíle z aktuální polohy C do společného perigea P T2 = 7\ — tPC, kde tPC je čas potřebný pro přelet z perigea P do aktuální polohy pasivního kosmického letadla C, definované polohovým úhlem 0C. Dobu tPC určíme řešením Keplercww rovnice (3.114). V okamžiku dosažení perigea oběma kosmickými letadly je třeba aktivníma kosmickému letadlu udělit druhý rychlostní impuls AVPi = VPl — VPí, jímž se urychlí a synchronizuje jeho pohyb s cílovým kosmickým letadlem na původní oběžné dráze (Dj- V opačném případě by aktivní kosmické letadlo pokračovalo po přechodové dráze (2J. Rychlosti VPi a V?2 určíme z podmínek v perigeu dle rov. (3.93) VPx = hjrp, Vp2 = h2/rP. Při setkávacím manévru na stejné oběžné dráze jsou velikosti obou potřebnýdi rychlostních impulsů stejné, až na znaménko. Celkový potřebný rychlostní impuls je pak dán součtem absolutních hodnot obou rychlostních impulsů AVP = \AVPl\ + \AVp2\. V případě, že se cílové kosmické letadlo nachází za aktivním kosmickým letadlem, je postup řešení zcela obdobný (obr. 5-24). ' A 1 *i j \ \ \ \ \J i \ \ \ \ A V ^—: " y AV. <0 Obr. 5-24 Setkávací manévr na stejné obežné dráze pro případ, kdy cílové kosmické letadlo je za aktivním kosmickým letadlem. V tomto případě je třeba použít delší přechodové dráhy, nacházející se vně výc společné oběžné dráhy. Proto je nyní nutno zavést rychlostní impuls AVP > 0 (na 236 S. Manévrovaní na oběžné dráze letadlem, je ové kosmické 5-24 čárkovaný vektor) v perigeu, kterým se aktivní kosmické letadlo převede na vnější přechodovou dráhu (přerušovaná čára). Perioda přechodové dráhy (2) se nyní musí rovnat součtu periody výchozí oběžné dráhy a doby tCP potřebné pro přelet z aktuální polohy cílového kosmického tělesa C do perigea P % = Tx + tCP- Po této době je v perigeu zaveden rychlostní impuls &VPi < 0, kterým se kosmické letadlo ubrzdí na rychlost odpovídající cílovému kosmickému letadlu v bodě P. Příklad 5.10 Zadání: Dvě kosmická letadla se pohybují po společné eliptické oběžné dráze kolem Země. Cílové pasivní kosmické letadlo se nachází před aktivním kosmickým letadlem, které se má během jednoho oběhu setkat s cílem v perigeu P. Stanovte celkový rychlostní impuls, potřebný pro uskutečnění požadovaného setkávacího manévru na téže oběžné dráze. Potřebná data: Perigeum společné eliptické oběžné dráhy (1) Apogeum společné eliptické oběžné dráhy (1) Fázový úhel (skutečná anomálie cíle) Gravitační parametr Země Řešení: a) Výpočet excentricity společné oběžné dráhy (1) rPÍ = rP = 7200 [km], rM = 14000 [km], ec = so n fi = 398600 [km2s~2]. e, - 14000-7200 rAl + f>, 14000 + 7200 b) Výpočet hlavní poloosy společné oběžné dráhy (1) % +rP1 _ 14000 + 7200 = 0,320755 [1]. a- = = 10600 [km]. c) Výpočet periody společné oběžné dráhy 7^ dle III. Keplerova zákona 2tt Ti = -pai (3/2) _ 2tt :10600(3/2) = 10861 [s]. V7? V398600 d) Výpočet excentrické anomálie pasivního kosmického letadla dle rov. (3.125) Ec = 2arctg rrftgyi 1 -0,320755 80° 1 + 0,320755tg 2 '' Ec = 1,08341 [rad] = 62,075 [°]. e) Výpočet potřebné doby pro přelet z perigea P do aktuální polohy cílového kosmického letadla C pomocí Keplerovy rovnice (3.114) s přihlédnutím k rov. (3.113) T, 10861 tPC =-L(Ec- e, sinEc) = (1,08341 - 0,320755sin62,075°), 27r tPC = 1382,87 [s]. 2n f) Výpočet doby letu cílového kosmického letadla z aktuální polohy C do společného perigea P 237