Slezská univerzita v Opavě – Fyzikální ústav
Fyzikální praktikum I – Mechanika a molekulová fyzika
Jméno: Ročník, obor: Vyučující: Datum měření:
Spolupracující:
Název úlohy:
Měření modulu pružnosti ve smyku
Datum odevzdání:
Číslo úlohy: Hodnocení:
1. Cíl úlohy:
Určete modul pružnosti ve smyku pro ocel.
2. Teorie úlohy:
Při namáhání materiálu smykem (viz obr. 1) se jeho jednotlivé vrstvy navzájem
posouvají (smýkají po sobě). Vzdálenost vrstev však zůstává zachována. Tečná síla Ft,
působící v rovině horní stěny malého hranolu o hranách a,b,c, posunula tuto stěnu o
vzdálenost u.
Obr. 1 Deformace tuhého tělesa při smyku.
Zaveďme veličiny nezávislé na rozměrech zvoleného hranolku: poměrné (relativní)
posunutí  a tečné (smykové) napětí  :
b
u
 ,
ac
F
S
F tt
 ,
Hookeův zákon pro smyk má potom tvar:
 G , nebo
G
1
  ,
kde konstantu úměrnosti G nazveme modulem pružnosti ve smyku. Můžeme tedy modul
pružnosti spočíst ze vztahu vztahem:


G . [G] = Nm-2
= Pa (1)
K namáhání materiálu smykem dochází např. při zkrucování tyče kruhového průřezu,
která je na jednom konci upevněna a na jejíž druhý konec působí dvojice sil krouticím
momentem M. Dá se ukázat, že mezi tímto momentem a úhlem zkroucení tyče  platí vztah



l
r
GM
2
4
, (2)
kde r je poloměr a l délka tyče.
Použijeme-li tenkou a dlouhou tyč, je poměrné posunutí  dostatečně malé i při
velkém úhlu zkroucení  . Usnadní nám to udržet namáhání materiálu v oblasti malých
deformací a tedy i v mezích platnosti Hookeova zákona. Tento požadavek snadno splníme,
když místo tyče užijeme tenký dlouhý drát o průměru d. Po dosazení r = d/2 dostává vztah (2)
tvar:





l
d
GM
32
4
. (3)
Zavěsme na dolní konec drátu těleso o momentu setrvačnosti J a působením momentu
M drát zkruťme. Protože se pohybujeme v intervalu platnosti Hookeova zákona a tedy
v oblasti pružných deformací, bude se drát po skončení působení deformačních sil vracet do
původního stavu. Na těleso přitom bude působit moment M. Pohybová rovnice tělesa:
MJ 
přejde po dosazení za M z (3) na
0
32
4
 


Jl
d
G .
To je ovšem diferenciální rovnice harmonického pohybu, pro jehož úhlovou frekvenci
 platí:
Jl
d
G
32
4
2 
  . (4)
Zavěšené těleso tedy vykonává harmonické torzní kmity. Při výpočtu jsme nebrali
v úvahu odpor prostředí a ztráty v drátu, které způsobují tlumení. Jejich vliv však lze obvykle
zanedbat.
Dosadíme-li T/2  do (4), získáme po úpravě:
24
128
Td
Jl
G

 . (5)
kde T je doba torzních kmitů tělesa a J jeho moment setrvačnosti.
Těleso (obr. 2) vykonávající kmitavý pohyb je složeno z tyče o hmotnosti M o
momentu setrvačnosti JT a dvou stejných symetricky vzhledem k ose rotace umístěných
přídavných těles o hmotnostech mV a momentech setrvačnosti k vlastní ose rotace procházející
těžištěm JV. Jelikož přídavná závaží mají tvar dutých válců nasunutých na tyč, lze pro moment
setrvačnosti J celé kmitající sestavy napsat vztah:
 2
2 amJJJ VVT  , (6)
kde 2
12
1
MLJT  (7)





















3224
222
vDDm
J VTV
V (8)
Po dosazení:





























 2
222
2
3224
2
12
1
am
vDDm
MLJ V
VTV (10)
Obr. 2
Vypočteme–li tedy moment setrvačnosti J tělesa podle rovnice (10), můžeme poté
vypočítat i hodnotu modulu pružnosti ve smyku ocelové struny podle rovnice (5).
Abychom se vyhnuli použití teoretického vztahu pro VJ a TJ , vyloučíme je z měření
následovně. Válce umístíme postupně do vzdálenosti a1 , a2 , odpovídající časy jsou
1T , 2T .
Platí
 2
11 2 amJJJ VVTa  (11)
 2
22 2 amJJJ VVTa  (12)
Rovnice odečteme
 2
1
2
212 2 aamJJ Vaa  (13)
Z rovnice (5) vyjádříme J a pro dvě různé vzdálenosti a a příslušné časy T, platí
 2
1
2
2
4
12
128
TT
l
Gd
JJ aa 

(14)
Porovnáním pravých stran rovnic (13) a (14) dostaneme
 
 2
1
2
2
4
2
1
2
22128
TTd
aaml
G V




(15)
Vlastní měření
Úkol
Určete modul pružnosti ve smyku ocelové struny.
Pomůcky
Mikrometrické měřítko
Pravítko
Váhy
Posuvné měřítko
Stopky
Svinovací metr
Postup měření
Nejlépe vlastní, pro ostatní např.:
1. Změřte průměr drátu d a jeho délku l.
2. Určete hmotnost závaží Vm .
3. Změřte 10 kmitů torzního kyvadla se závažími vzdálenými o délku a od středu tyče a
vypočtěte dobu jednoho kmitu.
4. Proveďte pro více různých vzdáleností a.
5. Ze vztahu (15) vypočtěte G.