Slezská univerzita v Opavě – Filosoficko-přírodovědecká fakulta
Fyzikální praktikum I – Mechanika a molekulová fyzika
Jméno: Ročník, obor:
První
Vyučující: Datum měření:
Akademický rok:
Název úlohy:
Modul pružnosti v tahu
Datum odevzdání:
Číslo úlohy:
6
Hodnocení:
1. Cíl úlohy:
Určete modul pružnosti v tahu oceli a dřeva statickou a dynamickou metodou.
2. Teorie úlohy:
Působí – li na těleso síla a je – li zajištěno, že se pohybový stav tělesa nemění, nastává
deformace tělesa. Tato deformace je buďto elastická neboli pružná (taková deformace je
vratná), nebo plastická (obecně nevratná). V našem případě budeme uvažovat výhradně
pružnou deformaci.
Napětí v tahu  , které při působení síly v tělese vzniká, je definováno jako poměr kolmé
složky síly F k velikosti plochy S , na níž síla působí:
.
S
F


 (1)
Jednotkou napětí je (stejně jako u tlaku) Pascal Pa. Relativní deformace tělesa  , k níž
působením síly dojde, je
l
l
 , (2)
kde l je příslušný lineární rozměr tělesa a l prodloužení.
Souvislost napětí  a relativní deformace  vyjadřuje křivka deformace (viz obr. 1, místo 𝜈
je použito 𝜎), na níž je vynesena závislost
 .  (3)
Obr. 1: Deformační křivka pro ocel.
(převzato z http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/632-krivka-deformace )
Z obr. 1 vidíme, že část 0A je lineární (u oceli pro   100 MPa), je to oblast lineární
deformace, pro ni platí Hookův zákon
 E , nebo ve tvaru pro relativní deformaci ,
1
 
E
(4)
veličina E se nazývá modul pružnosti v tahu (nebo též Youngův modul), jeho jednotkou je
1 Pascal. Hodnoty E většiny technických materiálů jsou v rozmezí 109
až 1012
Pa, pro ocel je
přibližná hodnota E = 21011
Pa.
Metody měření E
1. Statická metoda
K měření bychom mohli vyjít přímo z definice E, avšak přesnější je měření z průhybu
materiálu.
K měření modulu pružnosti E použijeme tyč obdélníkového průřezu .ba Představme si
tuto tyč volně položenou na dva břity, kolmé na délku tyče. Vzdálenost břitů je l. Zatížíme – li
tyč uprostřed mezi oběma břity silou F, kolmou na stranu b průřezu, tyč se prohne, o
vzdálenost y. Lze odvodit, že průhyb tyče y je
,
4
1
3
3
bEa
Fl
y  (5)
z čehož plyne
.
4
1
3
3
bya
Fl
E  (6)
Tuto rovnici dosazením mgF  upravíme na tvar
,
4
1
3
3
bya
mgl
E  (7)
kde m je hmotnost použitého závaží.
Změřením příčných rozměrů tyče a a b, vzdálenosti břitů l a průhybu tyče y při známé
síle F tedy můžeme určit modul pružnosti E. Průhyb měříme hodinkovým indikátorem. Při
posunutí měřícího kolíčku hodinkového indikátoru o 1 mm opíše jeho ručička úhel 360.
Kruhová stupnice je rozdělena na 100 dílků, proto posunutí ručičky o 1 dílek odpovídá
posunu kolíku o 10-2
mm. Indikátorové hodinky upevníme tak, že při nezatížené tyči ukazují
počáteční výchylku n0. Při zatěžování tyče se údaj hodinek mění na hodnotu n. Pro průhyb
tyče pak platí .0nny  Po provedení měření zkontrolujeme n0, hodnoty by se neměly lišit.
2. Dynamická metoda
Upevníme – li jeden konec tyče a druhý ponecháme volný, může tento volný konec při
malých výchylkách vykonávat harmonické kmity. Pro dobu kmitu lze odvodit vztah
.
3
2
3
1
EJ
ml
T r
  (8)
V tomto vztahu E značí modul pružnosti v tahu materiálu, ze kterého je vetknutá tyč
zhotovena, mr značí redukovanou hmotnost volné části vetknuté tyče (hmotnost tyče
redukovaná na její volný konec), l1 značí celkovou délku tyče od místa vetknutí až k jejímu
volnému konci, J značí kvadratický moment průřezu (moment setrvačnosti průřezu), pro který
vzhledem k tvaru zkoumané tyče platí
,
12
1 3
baJ  (9)
kde a je rozměr tyče ve směru kmitů.
Redukovanou hmotnost tyče mr nelze přímo měřit a proto ji ze vztahu (8) vyloučíme
následujícím způsobem: na volný konec tyče připevníme pomocné těleso známé hmotnosti mp
tak, aby jeho těžiště připadalo na volný konec tyče. Doba kmitu se v důsledku změřené
hmotnosti prodlouží na T1, pro kterou platí
 
.
3
2
3
1
1
EJ
mml
T
pr 
  (10)
Obě rovnice (8) a (10) umocníme a výsledky vzájemně odečteme. Jednoduchou úpravou pak
obdržíme pro hledanou hodnotu modulu pružnosti v tahu E výraz
 .
3
4
22
1
3
1
2
TTJ
lm
E
p



(11)
Rovnici (11) převedeme s využitím rovnice (9) na výraz
 .
16
22
1
3
3
1
2
TTba
ml
E
p



(12)
Stanovením jednotlivých parametrů na pravé straně rovnice (12) lze modul pružnosti v tahu
vypočítat.
Použité měřící přístroje a pomůcky
- Hodinový indikátor
- Stolní váhy
- Posuvné měřítko
- Stopky
- Svinovací metr
Postup měření
Nejlépe napište vlastní, pro ostatní např. :
1) Nejprve jsem posuvným měřítkem změřil oba rozměry (a, b) ocelové tyče.
2) Dále jsem změřil svinovacím metrem vzdálenost l1 pro statickou metodu.
3) Poté jsem určil hmotnosti obou závaží m1 a m2.
4) Provedl jsem měření průhybu tyče pro zatížení závažími m1 a m2.
5) Potom tyč upevnil do zařízení na stěně a změřil délku tyče l2 pro dynamickou metodu.
6) Změřil jsem dobu kmitu pro dynamickou metodu bez připevněného závaží a
s připevněným závažím ( m1 + m2).
7) Statickou a dynamickou metodou jsem vypočítal E pro ocelovou tyč.
8) Statickou metodou jsem obdobně vypočítal E pro dřevěnou tyč.