Kapitola 1 Sférická astronomie
1.1   Typy souřadných systémů
Jednou ze základních úloh při pozorování nějakého děje, např. pohybu těles, je určení polohy tělesa v daném okamžiku. K popisu používáme vhodný souřadný systém. Obvykle se ve fyzice používají souřadnice pravoúhlé nebo polární. V astronomii se používají sférické souřadnice. Každá souřadná soustava je definována základní rovinou, která prochází počátkem souřadnic a základním směrem. Podle toho, kam položíme počátek souřadného systému, rozlišujeme v astronomii souřadnice topocentrické (počátek souřadnic leží v místě pozorovatele), geocentrické (počátek souřadnic leží ve středu Země), nebo heliocentrické (počátek souřadnic leží ve středu Slunce).
Pravoúhlé souřadnice jsou dány počátkem O a rovinou p, ve které leží osy x a y, na sebe kolmé, a osou z, která je kolmá na rovinu p. Poloha bodu H je pak jednoznačně určena souřadnicemi x, y, z, nebo pomocí dvou úhlů A, íp a průvodičem r, jak je vidět na obr. 1.1.
Pokud u sférických souřadnic rovina p a osa z procházejí středem sféry, pak počátek souřadné soustavy je střed sféry. Poloha libovolného bodu na sféře je dána pouze úhly A a <p, viz obr.1.2. Průvodič r je pro všechny body na povrchu sféry stejný. Pokud středem koule proložíme libovolnou rovinu, vznikne na povrchu koule tzv. hlavní kružnice. Jednou z hlavních kružnic je i rovník, který vznikne průsečíkem základní roviny s povrchem koule. Osa z protne kouli ve dvou protilehlých bodech, pólech. Oběma póly lze vést libovolné množství hlavních kružnic, které kolmo protínají rovník a nazývají se poledníky. V případě zeměpisných souřadnic je základní rovinou rovina rov-
7
8
KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Obrázek 1.1: U pravoúhlých souřadnic je poloha bodu H jednoznačně zadána třemi souřadnicemi x, y z nebo pomocí dvou úhlů A a tp a průvodičem r.
Obrázek 1.2: U sférických souřadnic je poloha libovolného bodu H na sféře dána úhly A a <p. Průvodičem r je zbytečný. Pokud pro poloměr koule můžeme uvažovat r —> oo, pak se pozorovotel nachází vždy ve středu sféry. Z tohoto vycházejí i astronomické souřadnice.
1.2. ASTRONOMICKÉ SOUŘADNICE
9
niku a základní směr je určen průsečíkem základního poledníku s rovníkem. Avšak při určování poloh nebeských objektů můžeme použít několik různých souřadných systémů na kouli (které se budou lišit právě námi zvolenou základní rovinou a základním směrem). Vybíráme vždy takové, které se nejlépe hodí k řešení naší úlohy.
1.2   Astronomické souřadnice
1.2.1   Obzorníkové (horizontální) souřadnice
Obrázek 1.3: U obzorníkových souřadnic je základní rovinou rovina obzoru. Poloha libovolného bodu na sféře je dána úhlovou výškou h nad obzorem a azimutem A, který se počítá od jižního bodu J směrem na západ. Zdroj: Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
Pro pozorovatele na Zemi se (v ideálním případě) okolní krajina jeví jak rovina, která zdánlivě protíná oblohu na horizontu. Tato horizontální rovina tvoří základní rovinu. Přímka vedená k ní kolmo protne oblohu ve dvou
10
KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
bodech, v zenitu Z (nadhlavníku) a nadiru (podnožníku). Zenitem a nadirem můžeme vést nekonečné množství hlavních kružnic, tzv. výškových kružnic. Jedna z nich protíná obzor v severním N a jižním bodě S a nazývá se místní poledník - meridián. Meridián tedy určuje směr severo-jižní a právě směr k jižnímu bodu S je zvolen za základní směr a jižní bod se stává výchozím bodem horizontálních souřadnic.
K určení horizontálních souřadnic libovolné hvězdy H potřebujeme znát její úhlovou výšku h nad obzorem a azimut A, viz obr.1.3. Uhlová výška h je úhel, který svírá spojnice pozorovatel - hvězda s rovinou obzoru. Výšky nad obzorem mají znaménko " + ", pod obzorem znaménko " — ". Hvězda nacházející se na obzoru bude mít úhlovou výšku h = 0°, hvězda v zenitu h = +90° a hvězda v nadiru h = —90°. Někdy se namísto úhlové výšky používá tzv. zenitová vzdálenost, což je doplněk výšky do 90°,
z = 90° - h. (1.1)
Azimut A je úhel, který svírá svislá rovina procházející zenitem a hvězdou s rovinou místního poledníku. Počítá se od jižního bodu S (A = 0°) záporným směrem; tedy přes západ W (A = 90°), sever N (A = 180°) na východ E (A = 270°). Průchod nebeského tělesa meridiánem se nazývá kulminace. Podle toho, na které straně se těleso nachází, rozlišujeme kulminaci horní (těleso se nachází nad jižním bodem, má azimut A = 0° a nejmenší zenitovou vzdálenost) a kulminaci spodní (těleso se nachází nad severním bodem, má azimut A = 180° a největší zenitovou vzdálenost). Příkladem horní kulminace může být Slunce v pravé poledne. Oproti tomu příkladem spodní kulminace bude Slunce o půlnoci. Nevýhodou těchto souřadnic je to, že se mění jak s časem tak i s místem pozorování.
1.2.2   Rovníkové (ekvatoreální) souřadnice
Zemská rotační osa protíná nebeskou sféru v severním a jižním pólu (P$, Pj). Oba póly leží na nebeském poledníku - meridiánu. Protože nebeská sféra má nekonečně velký poloměr, můžeme každým pozorovacím místem vést rovnoběžku se zemskou osou - světovou osu. Tato osa určuje polohu základní roviny - roviny rovníku, která je ke světové ose kolmá. Průsečík roviny rovníku s nebeskou sférou se nazývá nebeský rovník (ekvátor). Severním a jižním pólem lze vést libovolné množství hlavních kružnic, tzv. deklinační kružnice, např. meridián. Podle toho, jaký zvolíme základní směr, rozlišujeme dva typy rovníkových souřadnic:
1.2. ASTRONOMICKÉ SOUŘADNICE
11
Rovníkové souřadnice I. druhu
Základní rovinou je rovina rovníku a základní směr je průsečík rovníku s meri-diánem, označený jako M. Od tohoto bodu M počítame hodinový úhel t. Ten je definovaný jeko úhel, který svírá deklinační kružnice proložená hvězdou s meridiánem. Hodinový úhel je obdobou azimutu a roste ve směru denního pohybu oblohy. Hvězdy procházející meridiánem mají t = 0°. Hodinový úhel není pro daný objekt na obloze stále stejný, ale mění s tím, jak se obloha otáčí, tedy s časem (rovnoměrně), tak i se zeměpisnou délkou pozorovacího místa. Vyjadřuje se buď v časové míře nebo ve stupních, přičemž platí:
lh  = 15° lmin  = 15' ls  = 15".
a naopak:
ľ  = 4S 1"  = 0.06s.
Druhou souřadnicí je deklinace 5. Ta je definována jako úhel, který svírá spojnice pozorovatel - hvězda s rovinou rovníku, viz obr.1.4. Od nebeského rovníku k severnímu pólu se deklinace značí kladně, sev. pól má ô — +90°, směrem k jižnímu pólu záporně, jižní pól má 5 = —90°. Někdy se namísto deklinace používá pólová vzdálenost, což je doplněk deklinace do 90°.
p = 90° - 8. (1.2)
Deklinace je pro danou hvězdu stále stejná, nemění se ani s časem (pokud neuvažujeme precesi zemské osy) ani s místem pozorování.
Rovníkové souřadnice II. druhu
Základní rovinou je opět rovina světového rovníku. Za základní směr se u těchto souřadnic zvolil směr k bodu, jež leží na rovníku a sám se účastní rovnoměrného pohybu oblohy. Je to tzv. jarní bod Y - bod, kde se Slunce nachází v okamžiku jarní rovnodennosti. Slunce se během roku zdánlivě pohybuje po obloze. Dráha, kterou urazí během roku na pozadí vzdálených
12
KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Obrázek 1.4: U rovníkových souřadnic je základní rovinou rovina rovníku. Podle zvoleného základního směru rozdělujeme rovníkové souřadnice I. a II. druhu. U rovníkových souřadnic I. druhu je základním směrem průsečík meri-diánu M (na obrázku označen jako "poledník") s rovníkem. Od tohoto bodu počítame hodinový úhel t. Druhou souřadnicí je deklinace ô, která je společná pro oba typy souřadnic. U souřadnic II. druhu je základním směrem směr k jarnímu bodu Y. Od tohoto bodu se počítá rekatscenze a, která se měří opačným směrem než hodinový úhel t. Zdroj: Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
hvězd se nazývá ekliptika a protíná nebeský rovník ve dvou bodech, v jarním a podzimním bodě —. Rovina rovníku svírá s rovinou ekliptiky úhel e = 23.5° který se nazývá sklon ekliptiky.
Vůči jarnímu bodu se určuje rektascenze a, která je definována jako úhel, který svírá deklinační kružnice proložená hvězdou s deklinační kružnicí procházející jarním bodem, tzv. kolurem rovnodennosti, viz obr.1.4. Rektascenze roste opačným směrem než azimut či hodinový úhel, měří se totiž proti směru denního pohybu oblohy (ze západu na východ) a vyjadřuje se buď v časové míře (od 0h do 24h) nebo ve stupních (od 0° do 360°).
1.2. ASTRONOMICKÉ SOUŘADNICE
13
Výhodou rovníkových souřadnic II. druhu je skutečnost, že se nemění s místem pozorování. S časem se mění jen velmi pomalu a rovnoměrně, díky posouvání jarního bodu po ekliptice (podrobněji v kapitole o precesi.)
1.2.3   Transformace mezi horizontálními a rovníkovými souřadnicemi
V astronomii se tedy používá několik odlišných druhů souřadnic, k popisu různých úloh může být výhodnější používat i různé souřadnice. Občas ale potřebujeme přejít z jedné souřadné soustavy do druhé. K tomuto účelu se používají převodní vztahy mezi jednotlivými souřadnými systémy. Nejčastěji je potřeba pro daný okamžik pozorování převést rovníkové souřadnice některé hvězdy do obzorníkových nebo naopak. Vždy k tomu potřebujeme znát zeměpisnou šířku <p daného místa a místní hvězdný čas 0 (pro danou
zeměpisnou délku A).
Výpočet rovníkových souřadnic z obzorníkových:
sinícosč =  sin A cos h (1.3)
cos t cos S =  sin h cos >p + cos A cos h sin ip (1.4)
siná =  sin h sin ip — cos <p cos h cos A. (1.5)
Výpočet obzorníkových souřadnic z rovníkových:
sinA cos/i =  siní cosS (1.6)
cos A cos h =  cos t cos 5 sin ip — sin S cos ip (1.7)
sin h =  cos t cos S cos ip + sin 8 sin <p (1.8)
t =  O-a. (1.9)
Hvězdný čas O
je hodinový úhel jarního bodu. V okamžiku svrchního průchodu jarního bodu meridiánem je 0h0mm0s hvězdného času. Vztah mezi hvězdným časem 0, rektascenzí a hvězdy a jejím hodinovým úhlem t je
0 = a + t.
(1.10)
14
KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Obrázek 1.5: U ekliptikálních souřadnic je základní rovinou rovina ekkliptiky. Poloha bodu se určuje pomocí ekliptikální šířky (i a ekliptikální délky A. Zdroj: Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
Úhlová vzdálenost A dvou hvězd na sféře
Úhlovou vzdálenost A dvou hvězd na sféře, jež mají souřadnice 51, cti a 82, a2, určíme ze vztahu
A = sinči sinô2 + cos<5i cosô2 cos(a2 — (1-H) 1.2.4   Ekliptikální souřadnice
Tyto souřadnice je vhodné použít při výpočtu drah těles v naší Sluneční soustavě. Základní rovinou je rovina ekliptiky. Přímka vedená k ní kolmo protíná nebeskou sféru ve dvou protilehlých bodech, pólech ekliptiky. Jimi můžeme vést šířkové kružnice, podobně jako jsme nebeskými póly vedly de-klinační kružnice. Po těchto kružnicích se měří ekliptikální šířka (3, kladně k severnímu pólu ekliptiky, záporně k jižnímu (obdoba deklinace). Druhou souřadnicí je ekliptikální délka A, která se měří od jarního bodu ve směru ročního zdánlivého pohybu Slunce, viz obr.1.5.
1.3. HORNÍ A DOLNÍ KULMINACE
15
Transformace mezi ekliptikálními a rovníkovými souřadnicemi
Výpočet ekliptikálních souřadnic z rovníkových:
sin A cos/?  =  sin 8 sin e + cos S cos e sin a (1-12)
cosA cos/3  =  cos 5 cos a (1-13)
sin/3  =  sinJ cose — cosá sine siná. (1-14)
Výpočet rovníkových souřadnic z ekliptikálních:
sin a cos 6 =  sin /3 sin e + cos /3 cos e sin A (1-15)
cos a cos 5 = cos/3 cos A (1-16)
siná =  sin f3 cose + cos/3 sine sin A, (1-17)
kde e je sklon ekliptiky ke světovému rovníku.
1.2.5   Galaktické souřadnice
Tyto souřadnice jsou vhodné k popisu pohybu hvězd a struktury naší Mléčné dráhy. Základní rovinou je rovina Galaxie. Protože pás Mléčné dráhy má jisté nepravidelnosti a není přesně ohraničený, byla rovina Galaxie stanovena mezinárodní úmluvou, ve které byly přesně určeny souřadnice galaktických pólů. Základním směrem je směr k předpokládanému středu Galaxie. Galaktické souřadnice jsou galaktická délka l a galaktická šířka b.
1.3   Horní a dolní kulminace
Jak jsme se již zmínili v kapitole o obzorníkových souřadnicích, hvězda kulminuje, pokud prochází meridiánem. Podle toho, zda je její zenitová vzdálenost největší nebo nejmenší rozlišujeme kulminaci dolní a horní. Při horní kulminaci se může hvězda nacházet na dvou protilehlých stranách zenitu. Pokud má hvězda deklinaci ô větší než je zeměpisná šířka ip pozorovacího místa, vrcholí mezi zenitem a světovým pólem, viz obr. 1.6.a. Její zenitová vzdálenost je pak
Zo = 8-<p, (1.18)
a pokud pro hvězdu platí ô < ip, pak vrcholí mezi zenitem a světovým rovníkem, viz obr. 1.6.b. a pro její zenitovou vzdálenost platí:
z0 = ip — S.
(1.19)
16
KAPITOLA 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Při dolní kulminaci, viz obr. 1.6.c. je zenitová vzdálenost
zi = 180° -(p-S. (1.20)
Pomocí zenitových vzdáleností při horní a dolní kulminaci můžeme určit zeměpisnou šířku p> pozorovacího místa, viz. obr. 1.6.d.
¥> = 90°-^(*o + 2i). (1.21)
(c) (d)
Obrázek 1.6: Na obrázcích je znázorněna horní a dolní kulminace hvězdy: a) v případě že se hvězda při horní kulminaci nachází mezi zenitem a pólem, b) nebo mezi zenitem a nebeským rovníkem. Na obr. c) je znázorněna situace při dolní kulminaci hvězdy a na obr. d) je situace kdy známe zenitové vzdálenosti jedné hvězdy při horní i spodní kulminaci a jak pomocí nich můžeme určit zeměpisnou šířku <p pozorovacího místa.