Systém výuky a podmínky zápočtu a zkoušky Systém Dotace: 45min přednáška + 135min cvičení = 3 hodiny čistého času Každý týden: 2 nové témata + opakování z minula Analytická geometrie a vektorový počet souřadnicové soustavy a transformace souřadnic; vektor, sčítání vektorů, skalární a vektorový součin, smíšený a dvojný součin; lineární kombinace vektorů, vektory lineárně závislé a nezávislé, bázové vektory; parametrické a obecná rovnice přímky a roviny; vzdálenost bodu od přímky a roviny, vzájemná poloha přímek a rovin, úhel dvou přímek a rovin; parametrické a obecné rovnice rovinných křivek. Matematická analýza I funkce jedné reálné proměnné, definiční obor, obor hodnot; polynomické, racionální lomené, exponenciální a goniometrické funkce; limita a spojitost funkce; derivace funkce a její geometrický význam; derivace elementárních funkcí; základní vlastnosti derivací; diferenciál a Taylorův vzorec; průběh funkce. Matematická analýza II primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné reálné proměnné; integrace elementárních funkcí; základní vlastnosti neurčitých integrálů a integrační metody; Riemannův určitý integrál a jeho vlastnosti; geometrické aplikace Riemannova určitého integrálu. Hodnocení/bodování Bodování Docházka 10 Písemka 1 15 Písemka 2 15 Ukol 1 15 Domácí úkoly 16 Zkouška 45 Součet 116 Splnění zápočtů minimálně 30b (po obou písemkách) Splnění zkoušky minimálně 70b (po zápočtu a zkouškové písemce) Minimálně jedna (důstojná) prezentace počítání u tabule 1 1 Souřadnicové soustavy a transformace souřadnic Soustava souřadnic: Umožňuje jednoznačně popsat polohu bodu pomocí čísel jakožto souřadnic čili koordinát. Příklady soustav souřadnic: Ji ,3) (-3 ,1) (0, Dl 3 - 7 i -f- 1 "i i _ .5)- ±, J Obrázek 1: Kartézská soustava souřadnic ve 2D. Obrázek 2: Polární soustava souřadnic ve 3D vlevo, sférická soustava souřadnic ve 3D napravo. Bod v prostoru je dán uspořádanou n-ticí koordinátu v dané soustavě souřadnic. Bod v různých souřadných systémech může mít různé hodnoty koordinátu, nicméně jeho poloha v prostoru je pořád stejná. Např: A = (ax,ay) = (1,1) v kartézské soustavě a A = (ar, ag) = (\/2, 45°) v polární soustavě. Transformace souřadnic: Udává vztah mezi dvěmi souřadnicovými systémy. 2 Např.: x = rsin#cos (1) y = r sin 9 sin z = r cos 9 1.1 Příklady: 1. Proč existují různé soustavy souřadnic? 2. Je-li transformace mezi kartézskou a sférickou soustavou souřadnic dána vztahy (1), určete koordináty těchto bodů v kartézské soustavě souřadnic: • A = [2,0,tt] • B = [-l,7r/2,7r/2] • C = [10,0,0] 2 Vektor, sčítání vektorů, skalární a vektorový součin, smíšený a dvojný součin Skalár je ve fyzice, v matematice nebo informatice veličina, jejíž hodnota je v daných jednotkách plně určena jediným číselným údajem. Vektor je definován jako prvek vektorového prostoru. V něm lze zavést bázi a dále souřadnice daného vektoru vzhledem k této bázi. Pokud je vektorový prostor konečnědimenzionální, souřadnice vektoru tvoří uspořádané n-tice čísel, označovaných jako složky (též komponenty) vektoru. Vektor lze definovat také jako zdálenost a směr mezi dvěma body. Máme-li tedy bod A a bod B, vektor definovaný těmito body vypočteme jako rozdíl koordinátu obou bodů v = B — A = (bi — ai, &2 — 0-2) Báze vektorového prostoru Jedná se o množinu jistým způsobem výjimečných vektorů z daného vektorového prostoru, pomocí níž jsme schopni vyjádřit libovolný vektor tohoto prostoru. Příklad báze a vektoru: báze - a= (1,0); b= (0,1) vektor - v = (2, 3) = 2 • a + 3 • b = 2 • (1, 0) + 3 • (0,1) Velikost vektoru: Udává délku daného vektoru \v\. Skalární součin: Zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. ortogonalitě a případně k úhlu, který svírají. x -y = (xi,x2,x3) ■ (2/1,2/2,2/3) = xiVi + x'iV'ž. + x-aVz = MM cos a, kde a je úhel mezi vektory x a y. Vektorový součin: Binární operace vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního). Výsledný vektor je kolmý k oběma původním vektorům. 3 U X V = (W2ľ3 - «3^2 , U3V1 - U1V3 , U\V2 — VqV] ) u x v = (1,2,0) x (0,1,2) = (2 • 2 — O ■ 1, 0-0 — 1-2, 1 ■ 1 — 2 • 0) = (4, —2,1) vx u = (0,1,2) x (1,2,0) = (1 - 0-2-2, 2-1-0-0, 0-2 - 1- 1) = (-4,2, -1) Je zřejmé, že vektory u*v a v*u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u. v. • Výpočet pomoci determinantu matice: i i k i .í k u x v — U-2 — 1 2 0 vi Vi 0 1 2 Pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít napríklad Sarrusovo pravidlo, podle nějž je výsledek u x v = hx2ľ3 + iŕií^k + íj1jw3 - ku2ui - U3V2Í - tajili = i-2-2 + llk + OjO-k-20-0-li-2j-l = 4i - 2j + lk 2.1 Príklady: 1. Zakreslete (pouze vektory ve 2D) a sečtěte tyto vektory: • a = (1,2) a b = (3,4) • a = (-10, -7) a b = (1, -4) • a= (1,2,3), b= (-5,-6,-7) ac= (1,1,1) 2. Nalezněte střed úsečky ohraničené body: • A = [0, 0] a B = [0,4] • A = [-1,2] a B = [2,3] 3. Vypočtěte skalární součint těchto vektorů a určete úhly mezi těmito vektory: • a = (1,0) a b = (0,1) • a = (1,4) a b = (-2,1/4) • a = (5, -7) a b= (1, -4) 4. Vypočtěte vektorový součint těchto vektorů: • a = (1,0,1), b = (0,1,2) a c = (-2,1,2) • a= (1,4,0), 6= (-3,1,4) a 6= (0,0,2) • a = (5, -2,3), b = (-4,1,0) a b = (1,1,1) 4 Malý testík :-) a2—4 a-2 2+a 2. 6-2^2 = % 3 (sin x cot x)" — 1 3 sin2 x 4. Vypočtěte determinant matice A, kde A=[\\)- (2) 5. Z ineternetu jsme stáhli soubor za 450s rychlostí 20Mb/s. Jak dlouho bude trvat stažení totožného souboru rychlostí 30Mb/s? 5