1.6. Laserová dopplerometrie
27
1.6. Laserová dopplerometrie
1.6.1. Dopplerův jev
Dopplerův jev (také nazývaný Dopplerův posuv nebo dopplerovský posuv) je změna frekvence vlnění vysílaného zdrojem, jenž je v relativním pohybu vzhledem k pozorovateli (příjemci, posluchači, detektoru). Při vzájemném přibližování zdroje a pozorovatele dochází ke „zhušťování" vln a tím ke zkracování vlnové délky a zvyšování frekvence, naopak při vzájemném vzdalování zdroje a pozorovatele dochází k „natahování" vln a tím k prodlužování vlnové délky a snižování frekvence (viz obrázek 1.11).
Efekt se týká nejen zvuku, ale i světla a dalších druhů vlnění. Rozhodující veličinou je poměr vzájemné rychlosti zdroje a pozorovatele v k rychlosti šíření daného druhu vlnění, tedy v případě světla c = 2.9979 x 108 m - s-1 (viz Vybrané fyzikální konstanty na straně xvii), v případě zvuku ve vzduchuje rychlost šíření vlnění okolo c = 340 m - s-1. (Rychlost zvuku závisí na termodynamickém stavu vzduchu, a v jiných materiálech, ať už plynných, kapalných či pevných se liší, mnohdy i řádově [7].)
REDSHIFT
Obrázek 1.11. Schematické znázornění Dopplerova jevu. Zdroj vlnění se pohybuje zprava doleva ve směru šipky. Čísla vlnoploch korespondují s čísly pozic zdroje, z nichž byly odpovídající vlnoplochy emitovány. Pozorovatel vlevo, k němuž se zdroj přibližuje, naměří vyšší frekvenci než je vlastní frekvence zdroje vo (střed viditelné oblasti se posouvá k modrému konci spektra, proto modrý posuv, blueshift). Pozorovatel vpravo, od nějž se zdroj vzdaluje, naměří nižší frekvenci než je vlastní frekvence zdroje vo (střed viditelné oblasti se posouvá k červenému konci spektra, proto červený posuv, redshift).
28
Kapitola 1. Laser
Přesněji řečeno, rozhodující veličinou je průmět vzájemné rychlosti zdroje a pozorovatele do spojnice mezi nimi, takzvaná radiální komponenta vzájemné rychlosti
vr = vcosO , (1-18)
kde 6 je úhel sevřený vektorem mincím od zdroje k pozorovateli (vlnovým vektorem vlnění) a vektorem rychlosti v (viz též obrázek 1.12). Radiální komponenta vzájemné rychlosti je kladná při vzdalování (0 < 9 < jt/2), záporná při přibližování (k/2 < 6 < tt). Odtud je rovněž jasné, proč v běžném životě pozorujeme Dopplerův jev jen v akustice. Je totiž poměrně snadné pohybovat se rychlostí takovou, aby její poměr k rychlostí zvuku ve vzduchu za obvyklých podmínek měl dostatečnou hodnotu, než v případě poměru k rychlosti světla.15 Označíme-li vo frekvenci vysílanou zdrojem, pak frekvence v přijímaná pozorovatelem je
c
kde vr je projekce (1.18) relativní rychlosti pozorovatele a zdroje do spojnice mezi nimi. V případě, že vr je mnohem menší než c, lze vztah (1.19) s přesností do členů prvního řádu přepsat ve tvaru
v = v0(l- Vrc) , (1.20)
a pro změnu frekvence A v = v — vq platí
Av = -v0 Vr . (1.21)
c
Při vzdalování zdroje a pozorovatele (vr > 0) tedy dochází k poklesu pozorované frekvence, při přibližování (vr < 0) ke zvýšení pozorované frekvence. Pohybuje-li se zdroj vůči pozorovateli striktně transverzálně (0 = n/2), je projekce relativní rychlosti vr nulová a ke změně frekvence nedochází. Striktně řečeno, v relativistickém případě má vztah pro Dopplerův jev tvar
v = vo     Vc„; , (1.22)
c
15 Dánský meteorolog Buys-Ballot provedl k ověření Dopplerova jevu slavný pokus. Posadil skupinu hudebníků do vlaku. Přikázal strojvedoucímu rozjet vlak na nejvyšší možnou rychlost, zatímco on sám zaujal pozici pozorovatele na nástupišti. Hudebníci v rychle jedoucím vlaku hráli tón konstantní výšky, a při míjení nástupiště byl Buys-Ballot schopen změřit velikost Dopplerova jevu (změny výšky tónu) [28],
1.6. Laserová dopplerometrie
29
který dává pro transverzální pohyb nenulovou změnu frekvence (v čitateli zlomku není projekce vr, nýbrž celková velikost rychlosti). Tomuto jevu se nesprávně říká příčný Dopplerův jev. Ve skutečnosti však s Dopplerovým jevem nemá nic společného, jedná se o relativistický jev známý jako dilatace času. Pro řadu aplikací, kdy v c, je kvadrát v čitateli (odpovídající dilataci času) druhého řádu velikosti vzhledem k Dopplerově jevu (jmenovatel) a lze jej bezpečně zanedbat. Pro ilustraci, při měření průtoku krve je rychlost řádu 10-1m-s-1, takže dopplerovský člen v/c je řádu 10-9, kdežto relativistický člen (v/c)2 je řádu 10-18, což je zcela zanedbatelné oproti dopplerovskému členu.
Pro interaktivní znázornění Dopplerova jevu doporučujeme vyzkoušet tyto demonstrace:
• http://demonstrations.wolfram.com/IntroductionToTheDopplerEffect/
• http://demonstrations.wolfram.com/TheDopplerEffect/
• http://demonstrations.wolfram.com/DopplerEffect/
1.6.2. Měření rychlosti pomocí Dopplerova jevu
Uvažujme uspořádaní podle obrázku 1.12 na straně 30. Zdroj záření (typicky laser) vysílá fotony na frekvenci vo, jež se odrážejí (mimo jiné) od objektů pohybujících se rychlostí v (např. od krevních erytrocytu). Vektor v svírá se spojnicí laser-objekt úhel 0. Dopplerův jev se tedy uplatňuje dvakrát. Odrážející objekt pohybující se vůči zdroji radiální rychlostí (1.18) „vnímá" frekvenci posunutou o hodnotu Ava sám se stává zdrojem odraženého záření o frekvenci vi = vo + Av, jenž je následně detekováno v tomtéž zařízení, které obsahuje i zdroj původního záření. Protože se detektor pohybuje vůči odrážejícímu objektu opět se stejnou radiální rychlostí, bude detekovaná frekvence v dána uplatněním na „novou" frekvenci vi danou (1.19), tj.
(1.23)
Je-li Dopplerův posuv A v malý vůči původní frekvenci vo (což je obvyklý případ), dostaneme pro frekvenční posuv odraženého záření na detektoru linea-rizovaný vztah [7]
Av = — 2vo    — — 2vo c
v cos 6
(1.24)
c
Posun frekvence v (1.24) závisí na úhlu dopadu 6. Často nás nezajímá hodnota rychlosti, ale spíše míra perfuze, tj. součin rychlosti a množství tekutiny přité-
30
Kapitola 1. Laser
Obrázek 1.12. K principu dopplerovské velo-cimetrie (dopplerometrie). Fotony jsou přijímány pohybujícími se objekty se změněnou frekvencí. Tyto objekty se samy stávají pohybujícími se zdroji záření se změněnou frekvencí. Detektor, vůči němuž se tyto sekundární zdroje pohybují, přijímá dvakrát změněnou frekvenci oproti frekvenci původní. Upraveno podle [7].
Obrázek 1.13. Princip laserového dopplerovského perfuzního zobrazování (LDPI). Laserové záření proniká do kůže, kde je rozptylováno jednak statickými, jednak pohyblivými strukturami (krevními elementy). Intenzita a dopplerov-ský frekvenční posuv záření rozptýleného zpět do detektoru je podrobena analýze, na jejímž základě je stanovena krevní perfuze. Upraveno podle [29].
kající k vyšetřovánému povrchu a zase od něho odtékající zpět. V takovém případě bude část fotonů pronikajících do vyšetřované matrice (kůže) a rozptýlených pohyblivými elementy (typicky erytrocyty) podléhat dopplerovskému posuvu, zatímco část fotonů rozptýlených statickými strukturami nebude mít frekvenci změněnu (viz obrázek 1.13). Část záření rozptýlená zpět do fotodetek-toru v blízkosti zdroje (laseru) bude tedy tvořena směsí dopplerovsky posunutých a neposunutých fotonů. Kromě toho bude posun individuálního fotonu záviset na rychlosti u i na úhlu 6. Za předpokladu stacionárního proudění se úhel 6 efektivně vystředuje. Výsledkem je deformace spektra původního monochromatického záření.
16 Perfuze - průtok krve (nebo jiné tekutiny) tkání, orgánem. Dostatečná perfuze krve je nezbytná pro jejich správnou funkci, zabezpečuje zásobení kyslíkem a živinami a odplavení zplodin látkové výměny. Je ovlivňována krevním tlakem, činností srdce, množstvím krve a tekutin v organismu, místním stavem a potřebami (vazokonstrikcí, vazodilatací, řízení nervově čihumorálně [30].
1.6. Laserová dopplerometrie
31
Smísení fotonů s různými hodnotami Dopplerova posuvu ve fotodetektoru způsobí modulaci proudu produkovaného fotodetektorem: větší Dopplerův posuv vyvolá vyšší frekvenci proudu, zatímco magnituda fluktuující části proudu je úměrná počtu pohyblivých rozptylových center. Z proměnného proudu fotodetektoru je pak po filtraci možné odvodit signál úměrný perfuzi, tj. průměrné rychlosti krát koncentrace rozptylových center [14].
Pro úplnost zmíníme technologii monitorování perfuze LASCA,17 která není založena na Dopplerově jevu jako LDPI. Metoda LASCA kombinuje vysoké rozlišení a rychlost, a její podstata metody LASCA spočívá v následujícím: tkáň ozářená laserovým svazkem vytváří na svém povrchu interferenční vzorek (speckle pattern). Pokud je ozářená tkáň statická, je specklový vzorek konstantní. Obsahuje-li však tkáň pohybující se částice, jako jsou krevní elementy, bude specklový vzorek v čase fluktuovat. Systém PeriCam PSI tyto změny specklových obrazců zaznamenává CCD kamerou.
V závislosti na míře pohybu v zobrazované oblasti se liší míra fluktuací (čím více je v oblasti, do níž svazek proniká a v níž se rozptyluje, pohybu, tím více bude interferenční obrazec fluktuovat). Úroveň rozostření je kvantifikována specklovým kontrastem. Bylo zjištěno, že kontrast je korelován s krevní perfuzi. Specklový kontrast je definován jako poměr mezi směrodatnou odchylkou intenzity a střední intenzitou. Čím více se snímaný objekt pohybuje, tím více bude obraz rozostřený a směrodatná odchylka intenzity bude klesat, proto bude specklový kontrast nižší a naopak, při absenci pohybu bude specklový kontrast vyšší, protože směrodatná odchylka se bude zvyšovat, přičemž průměrná intenzita zůstane beze změny. Systém PeriCam PSI zaznamenává krevní perfuzi pomocí arbitrárních perfuzních jednotek (PU). K přesnému srovnání výsledku je každý přístroj výrobcem kalibrován (kalibrační sada je součástí PeriCam PSI a umožňuje tak průběžnou kalibraci a nastavení) [31]. Kvalita skenů pořízených metodou LASCA nedosahuje rozlišení LDPI, ale má velkou výhodu v kratším čase pořízení skenu.
Laser Speckle Contrast Analysis, laserová specklová analýza kontrastu.