... pokračování .6.3 Geocentrická sférická souřadnicová soustava směr jarní rovnodennosti Obr. 3-28 Definice geocentrické sférické souřadnicové soustavy. Poloha kosmického letadla je dána souřadnicemi (a, 8, r). entrická sférická souřadnicová soustava (a,8,r) je inerciální souřadnicová soustava, jejíž počátek je opět spojen se středem Země. Poloha kosmického tělesa na žné dráze je tentokrát určena dvěma úhly a průvodičem. Sférické souřadnice jsou ány dle obr. 3-28 následovně: 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP a - rektascenze je úhel, který svírá směr jarní rovnodennosti s rovinou místnť-c poledníku, kladná je ve směru na východ. Nabývá hodnot (0° < a < 360°), S - deklinace (úhlová výška objektu), úhel mezi průvodičem r a rovinou rovníka, kladná je když průvodič se nachází nad rovinou rovníku a naopak. Nabývá hodr (-90° < 5 < +90°), r - vzdálenost kosmického tělesa D od středu centrálního gravitačního pole C (mc polohového vektoru). Často je třeba přecházet z geocentrické rovníkové souřadnicové soustavy geocentrické sférické a naopak. K tomu nám poslouží transformační rovnice dvěma souřadnicovými soustavami pootočenými vůči sobě o sférické souřadnice a a < Stanovení polohového vektoru v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě pomocí geocentrických sférických souřadnic Pro nalezení kartézských souřadnic polohového vektoru v geocentrické rovník souřadnicové soustavě použijeme klasickou transformaci myšlené souřadnic soustavy, v jejíž ose X leží polohový vektor. Dvěma pootočeními o rektascer deklinaci vůči geocentrické rovníkové soustavě nalezneme transformační následujícím postupem. První pootočení provedeme v kladném smyslu kolem osy Z o úhel a (rektascenzi) obr. 3-29 a zapíšeme vztahy vyjadřující vzájemnou relaci mezi složkami vektoru výchozí geocentrické soustavě {X,Y,Z) a její pootočenou polohou (X^Y^Zi). Vz zapíšeme ve složkové formě i v maticové formě, rov. (3.210). Z. 5 i v \ X, = X cos a + Y sin a, Yx = —X sin a + Y cos a, Zj = Z. V maticové formě cos a sin a (1 • = — sin a cos a 0 [zu 0 0 1 . (3.2H Obr. 3-29 První pootočení os. Druhé pootočení okamžité mezipolohy os (X-l,Y1,Z1) provedeme v záporném sr okolo osy Vj o úhel 5 (deklinaci), čímž jsme dosáhli situace, kdy osa X2 leží ve si vektoru r. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP X2 = X1 cos 8 + Zi sin 8, y2 = v,. Z2 = —X1 sin 8 + Zj cos 8. V maticové formě X2\ cos 8 0 sin <5 0 1 0 -siní 0 cos 8 1*1) Obr. 3-30 Druhé pootočení os. Tato dvě pootočeni nám již postačují pro nalezení transformační rovnice pro stanovení polohového vektoru pomocí geocentrických rovníkových souřadnic a geocentrických sférických souřadnic. Postupným dosazováním dílčích transformačních matic získáme transformační rovnici ve tvaru X Y Z Roznásobením matic v předchozí rovnici nakonec obdržíme 8cos ô cos a cos ô sin a sinčHX -sina cosa 0 Yl (3.212) — sin ô cos a —sin ô sin a cosójlz. Pomocí inverzní matice získáme transformační rovnici pro stanovení geocentrických rovníkových souřadnic polohového vektoru ve tvaru (X2) fr1 cos ô 0 sin S~ cosct sin a 0 $. ■ 0 U 0 1 0 — sin a cos a 0 IzJ t-oJ — sin Ô 0 cos 6- . 0 0 1. X cos S cos a — sin a — sin 5 cos ď Y cos 5 sin a cos a —sin 8 sin a z sin 8 0 cos 5 (3.213) Odtud můžeme zapsat souřadnice polohového vektoru v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě vyjádřené pomocí geocentrických sférických souřadnic X = r cos 8 cos a, Y = r cos 8 sin a, (3.214) Z = r sin 8. V klasickém vektorovém vyjádření můžeme polohový vektor zapsat takto ř = r cos 8 cos a I + r cos 8 sin a J + r sin 8 K = rer, (3.215) kde ér je jednotkový polohový vektor er = cos 8 cos al + cos ô sin a/ + sin 5 K. (3.216) 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Stanovení vektoru rychlosti v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě pomoc geocentrických sférických souřadnic, azimutu a sklonu dráhy letu Kromě polohového vektoru ř můžeme pomocí sférických souřadnic přímo stanoví vektor rychlosti letu V kosmického tělesa na oběžné dráze. Jak je nám známo, vek rychlosti letu leží v rovině dráhy a je k ní v každém okamžiku tečný. Proto rozšíříme i uvedené sférické souřadnice ještě o azimut dráhy letu x a sklon dráhy letu y, respek pomocný úhel /?. Takže nyní v geocentrické sférické souřadnicové soustavě pracujen novým souborem souřadnic (a, 6,x.Y> r> V)> jejichž význam v souladu s obr. 3-31; následující: X - azimut je úhel mezi rovinou místního poledníku a vektorem rychlosti letu (jir slovy tečnou k oběžné dráze), Y - sklon dráhy letu je úhel mezi vektorem rychlosti letu a kolmicí v bodě polohovému vektoru v rovině oběžné dráhy, resp. lokálním horizontem, /? — pomocný transformační úhel je úhel mezi geocentrickou normálou a vektc rychlosti letu v rovině oběžné dráhy. V některé literatuře se tento úhel na2 rovněž jako „sklon dráhy letu", p = 90° — y. průmět oběžné dráhy na povrch Země Obr. 3-31 Poloha vektoru rychlosti v geocentrické sférické souřadnicové sousta* 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Pro nalezení kartézských souřadnic vektoru rychlosti v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě použijeme obdobný transformační postup jako v předchozím případě s tím, že je třeba použít čtyř pootočení myšlené souřadnicové soustavy, v jejíž ose X leží nyní vektor rychlosti. První dvě pootočení jsou shodná s předchozím případem. Na tato dvě pootočení o úhly a, ô navazují pootočení o další dvě souřadnice, azimut* a pomocný úhel /? (obr. 3-31). Třetí pootočení okamžité mezipolohy os (X2, K2,Z2) provedeme v záporném smyslu okolo os X2 o úhel * (azimut dráhy). Tím jsme dosáhli situace, kdy rovina CY3,Z3) již leží v rovině oběžné dráhy. X3 — X2, Y3 = y2cos*-Z2 sinx, Z3 = y2sin* + Z2 cos*. V maticové formě 1 0 0 - Y3 — 0 cos* -sin* u3> .0 sin * cos* . X2) Y2 .(3.217) Obr. 3-32 Třetí pootočení os. Nyní je třeba pootočit osu X3 (vektor V) v rovině dráhy do polohy tečné k oběžné dráze. K tomu je třeba realizovat čtvrté a poslední pootočení v záporném smyslu kolem osy Y3 o pomocný úhel /? (doplňkový úhel sklonu dráhy letu do 90°). Tímto je jednoznačně definována konečná poloha vektoru rychlosti pomocí sférických souřadnic (a, 5,*,y). X4 = X3 cos p + Z3 sin p, ^4 = Y3l Z4 = -X3 sin P + Z3 cos p. V maticové formě cos p 0 sin p 0 1 0 —sin p 0 cos p (X,\ .(3.218) Obr. 3-33 Čtvrté pootočení os. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Nyní v rov. (3.218) místo pomocného úhlu /? zavedeme standardní sklon dráhy leti» dle dříve uvedeného převodního vztahu /? = 90° - y. Pak platí sin p = sin(90° - y) = cos y, cos P = cos(90° - y) = sin y. Po dosazení obdržíme pro poslední transformační krok výraz X4 siny 0 cosy 0 1 0 — cosy 0 siny (X3 z3 (32 Postupným dosazením všech dílčích transformačních rovnic (3.210), (3.211), (3. (3.218), resp. (3.219), odpovídajících výše uvedeným čtyřem pootočením, oL transformační rovnici, v níž ovšem všechny složky představují nyní složky rychlosti XA . ř-V = 14255,753 [fcm2s-1]. e) Výpočet modulu vektoru rychlosti letu V = yjx2 + Ý2 + Ž2 = V(-4.33)2 + (-2.028345)2 + 6.5381122 = 8,1 [/cms" f) Výpočet sklonu dráhy letu y dle rov. (3.227) /14255,753\ Y = arcsin (^rj = \6800(8,1) g) Výpočet vektoru specifického momentu hybnosti dle rov. (3.196) h = ř x V = hxT + hYJ + hzK, kde složky jsou dány výrazy (3.197) až (3.199) hx = YVZ - ZVy, hY = ZVX - XVZ, j - 0,261799 [rad] - 15 hx = 5129,964(6,538112) - 4370,956(-2,028345) = 42406,089, hY = 4370,956(-4,33) - (904,551)6,538112 = -24840,297, hz = 904,551(-2,028345) - 5129,964(-4,33) = 20378,006, h = ř x V = 42406,089/- 24840,297/+ 20378,006/?. h) Výpočet modulu specifického momentu hybnosti dle rov. (3.200) h = lhx + h2+h2 = V42 4 06,0892 + (-24840.297)2 + 2 03 78.0062. h = \r x V\ = 53203,19. i) Výpočet jednotkového vektoru specifického momentu hybnosti h _ ř x V _ 42406,089/*- 24840.2977"" + 20378,006/? e" = h = |ŕ x Í7| = 53203,19 ' eh = 0,797059/"- 0,4668957 + 0,383022/?. j) Výpočet vektoru určujícího směr tečny k oběžné dráze v prostoru eh x r = kde složky jsou dány výrazy / J ehx ehy X Y K Z = (éh x r)xľ + (e„ x ř)YJ + (e„ x r)zK, (én x ř)x = ehYZ - ehzY, (ěh x ř)Y = ehzX - ehxZ, (.ěh x r)z = ehxY - ehyX, 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP {eh x ř)x = -0,466895(4370,956) - 0,383022(5129,964) = -4005,667, (eh x ř)y = 0,383022(904,551) - 0,797059(4370,956) = -3137,447, (eft x r)z = 0,797059(5129,964) - (-0,466895)904,551 = 4511,215, e„ x ř = -4005,667/- 3137,447/+4511,215K\ k) Výpočet modulu vektoru určujícího směr tečny k oběžné dráze \eh x ř| = ^(-4005,667)2 + (-3137.447)2 + 4511.2152 = 6800. I) Výpočet jednotkového vektoru určujícího směr tečny k dráze dle rov. (3.229) eh x r -4005,667/ - 3137,447/ + 4511,215tf |eh x r| 6800 % = -0,589069/- 0,461389/+ 0,663414/?. m) Výpočet vektorového součinu ř x K řxK = / / /f X K Z 0 0 1 5129,964/ - 904,55iy. n) Výpočet vektorového součinu (r x K) x ŕ (ŕ x K) x ŕ = (f x /?) x f = (? x/n / Y ľ K 5129,964 -904,551 0 904,551 5129,964 4370,956 (ř x K) x r = -904,551(4370,956)/- 5129,964(4370,956)/ + (5129.9642 + 904,5512)/í, (ř x K) x ř = -3953753/- 22422847/+ 27134746Ä1. o) Výpočet modulu |(r x /?) x r| |(ŕ x ^) x r| = V(-3953753)2 + (-22422847)2 + 271347462 = 35421895. p) Výpočet jednotkového vektoru určujícího směr tečny k poledníku dle rov. (3.230) _ (řxK)xř _-3953753/- 22422847/+ 27134746/? Ěp ~ |(f x j?) x r| ~ 35421895 ' ép = -0,111619/- 0,633022/+ 0,766044/?. q) Výpočet úhlu azimutu dle rov. (3.231) ět ěp = -0,589069(-0,111619) + (-0,461389)(-0,633022) + 0,663414(0,766044) = 0,866025, X = arccos(e, • ěp) - arccos(0,866025) = 0,523599 [rad], jř = 30 H ne&o * = 330 H- Pro přiřazení adekvátního úhlu azimutu je nutno doplnit výpočet hodnoty sin/, r) Výpočet vektorového součinu (e, x ep) / ; k = (#i x ep)J + {et x ěp)J+ (ět x ep)zK, ecxep = ePX ĚPY ePZ {ýt x Čp)x ~ etYepz ~ etzePV (*t x ep)Y - etzepx ~ etxePz-(et x ěp)2 = etxePY - etYePx, (et x ep)x = -0,461389(0,766044) - 0,663414(-0,633022) = 0,066511, (et X ěp)Y = 0,663414(-0,111619) - (-0,589069)(0,766044) = 0,377203, (et x ep)z = -0,589069(-0,633022) - (-0,461389)(-0,111619) - 0,321394. s) Výpočet modulu vektoru |eř x ep\ \et x ep| = V0.0665112 + 0.3772032 + 0.3213942 = 0,5. t) Výpočet hodnoty sin x dle vztahu (3.232) sin / — et x ep = 0,5. Jelikož hodnota sin x > 0, pak správná hodnota azimutu je x = 30 [°]. 3.6.4 Rotující geocentrické souřadnicové soustavy Mezi rotující geocentrické souřadnicové soustavy patří: rotující geocentrická sférická souřadnicová soustava (A, ó\r) a rotující geocentrická rovníková souřadnicová soustava (x0,y0, z0). Rotující geocentrická sférická souřadnicová soustava je definována stejně jako geocentrická sférická souřadnicová soustava (a, 5, r) s tím rozdílem, že místo souřadnice a (rektascenze) se používá zeměpisná délka A. Rotující geocentrická rovníková souřadnicová soustava je klasická pravoúhlá pravotočivá kartézská souřadnicová soustava. Osa x0 stále prochází greenwichským poledníkem. Obě souřadnicové soustavy jsou tudíž pevně spojeny se Zemí a spolu s ní rotují kolem osy Z = zQ. Z toho vyplývá, že se jedná o neinerciální souřadnicové soustavy. Vzájemná relace mezi geocentrickými a rotujícími geocentrickými soustavami je patrný z obr. 3-34. Zeměpisná délka je definována jako úhel mezi místním a greenwichským poledníkem, nazývaným také jako nultý poledník. Relace mezi rektascenzí a zeměpisnou délkou je dána výrazem A = a — a c> 0° < A < 360°, (3.233) kde aG je rektascenze greenwichského poledníku ve zvoleném čase. Podrobnější definice uvedena dále (obr. 3-37). Na rozdíl od standardní zeměpisné délky, která je definována v rozsahu 0° -5- 180° a uvádí se v kladných hodnotách východním směrem a v záporných hodnotách západním 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP směrem od greenwichského rovníku, zde budeme zeměpisnou délku A používat v rozsahu 0° -s- 360° východním (kladným) směrem. Obr. 3-34 Definice rotující geocentrické sférické souřadnicové soustavy. Poloha objektu je dána souřadnicemi (A, ó\ r). 3.7 Určování oběžných drah z pozorování Doposud jsme se zaobírali určováním pohybu kosmických těles a popisu jejich drah vzhledem ke středu centrálního gravitačního pole. Avšak neméně důležité je určování pohybu kosmických těles, či přirozených nebeských těles vzhledem k místu pozorovatele, který se nachází na povrchu vztažného tělesa (na povrchu Země). To znamená, že úloha je obvykle postavena tak, že na základě pozorování hledáme tvar a parametry oběžné dráhy. Vzhledem k tomu, že pohyb daného kosmického objektu nesledujeme ze středu Země, ale pozorujeme s povrchu Země, je třeba nejen zvolit vhodné vztažné souřadnicové soustavy, ale také uvážit známé pohyby Země a vzít v úvahu i časomerné údaje, a uvádět v jaké epoše (čase) určitá událost (pozorování kosmického objektu) nastala. Neméně důležité je také určit místo pozorovatele na povrchu Země, která není přesnou sférickou koulí, ale je podél osy rotace zploštělá. Proto se budeme nejprve věnovat časomíře pro určování epochy pozorovaných událostí. Do dalších úvah budou zahrnuty samozřejmě také vlivy zploštění Země. 3.7.1 Časomíra - určování epochy Po tisíciletí lidé odvozovali plynutí času z rotačních pohybů Země. Lépe řečeno ze zdánlivých pohybů nebeských těles (Slunce, Měsíce) vůči nějakému záměrnému bodu na nebeské sféře. Odvozuje-li se čas podle pohybu Slunce, jedná se o sluneční čas. Za časovou jednotku může být zvolena právě doba mezi dvěma stejnými zdánlivými 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP polohami Slunce, např. mezi dvěma kulminacemi Slunce. Tuto dobu nazýváme zdánlivý sluneční den. Bohužel, takto stanovený sluneční den vykazuje určité nepravidelnosti, jejichž hlav příčiny spočívají v následujících vlivech. Země se nepohybuje kolem Slunc rovnoměrně, ale v souladu s druhým Keplerovým zákonem se pohybuje rychleji, když j blíže ke Slunci a naopak. Ani samotné Slunce se nepohybuje po ekliptice rovnoměrn Zdánlivý pohyb je ovlivněn také sklonem rovníku vůči ekliptice. V určité míře projevuje gravitační působení Měsíce a blízkých planet a další, prozatím neobjasné vlivy. Proto byl zaveden střední sluneční den, který je rozdělen na 24 středníi slunečních hodin. Tím jsme se vyhnuli nepravidelně plynoucímu času, který nap ukazují sluneční hodiny, a za základ měření času se používá střední sluneční čas, pc nějž se řídí běžný občanský život. Posledně uvedený čas ukazují např. naše hodinky. Pro pozorovatele na různých polednících však máme různé časy, tzv. lokální časy. Běž život si proto vyžádal sjednocení měření času. Byl zaveden tzv. univerzální (světový) i UT. Střední sluneční den je definován dobou, za kterou Slunce projde stejným vztažný poledníkem. Za tento vztažný nultý poledník byl zvolen greenwichský polec procházející tamější hvězdárnou. To znamená, že v pravé poledne světového času (l prochází Slunce právě tímto nultým poledníkem. Od tohoto poledníku se rovn definují zeměpisné délky, jimiž se určují geografické polohy míst na zeměkouli. Loká časy jsou pak odvozeny od světového času připočítáváním, respektive odpočítávár jedné hodiny pro každé časové pásmo, i když existují jisté výjimky. Časová pás vznikla rozdělením obvodu Země na 24 částí o zeměpisné délce 15°. Obr. 3-35 Rozdíl mezi středním slunečním dnem a středním siderickým dnem. Pokud budeme vztahovat dobu rotace Země vůči vzdáleným stálicím, pak se jedr hvězdný (siderícký) čas. Siderický den je doba, za kterou se objeví vztažný bod (hvězd na stejném poledníku. Za vztažný bod byl zvolen bod jarní rovnodennosti. Na obr. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP je znázorněn pohyb rotující Země kolem Slunce. Odtud vidíme, že vztažné směry ke stálicím (zde k bodu jarní rovnodennosti) a ke Slunci jsou v různých fázích pohybu Země kolem Slunce odlišné. Zatímco se Země pootočila vůči stálicím o 360°, vůči Slunci se musí pootočit o něco více. Z toho vyplývá, že siderický den je kratší než sluneční den. Sluneční čas i siderický čas plynou sice rovnoměrně, ale mají různé základní časové jednotky (dny). Siderický den trvá 23 hodin 56 minut a 4 sekundy. Sluneční den trvá 24 hodin. To znamená, že Země se otočí o 360° za jeden siderický den a o 360,98564724° za střední sluneční den. Lokální siderický čas daného místa je doba, která uplynula od průchodu lokálního poledníku přes vztažný směr jarní rovnodennosti. Siderický čas lze převést na úhlovou vzdálenost ve stupních tak, že siderický čas násobíme číslem 15. Toto číslo představuje počet stupňů, o něž se pootočí Země za hodinu. Při určování časových údajů o pozorování poloh kosmických těles vyvstával problém při používání občanského gregoriánskeho kalendáře. Máme-li např. stanovit dobu mezi dvěma událostmi, musíme přitom pracně zohledňovat různé počty dní v měsíci, přestupné roky a jiné anomálie. Proto byl zaveden systém juliánskych dní, což jsou střední sluneční dny, které plynou rovnoměrně a jednoznačně od zvoleného data. JD2451544.5 počátek epochy J2000 JD 2451543 JD 2451544 JD 2451545 31.12.1999 1.1.2000 2.1.2000 1.1.2000.0 hod. UT li 1.1.2000,12:00 hod. UT Obr. 3-36 Vzájemný vztah gregoriánskeho kalendáře a juliánskych dní. Systém juliánskych dní zavedl J. Scaliger již v roce 1582 jako kalendář vhodnější pro astronomická pozorování. Číselně se žádný den neopakuje a není používáno dělení na měsíce a týdny. Počátek tohoto systému byl stanoven na pravé poledne 1. ledna 4713 před Kristem. Období je děleno na epochy a století. Juliánske století má 36525 středních slunečních dní. Současná epocha označena jako epocha J2000 začala v poledne UT 1. ledna 2000. Tomu odpovídá juliánsky den JD 2451545. Jak je uvedeno na obr. 3-36, začátky juliánskych dnů se liší od začátků dní v gregoriánském kalendáři. Mezi oběma systémy byly stanoveny transformační vztahy. Označme si symbolem /£>„ juliánsky den vO hod. UT, pak pro každý jiný čas UT je juliánsky den dán výrazem v desítkové soustavě UT JD=JD0+-. (3.234) 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Hodnoty JDQ jsou tabelovány nebo se dají stanovit např. dle lit. [16] ze vztahu (M + 9> JD0 = 367/? - Int ) /275M\ > + Int f——J + D + 1721013,5, (3.235 kde symbol R je rok, M je měsíc a D je den a mohou nabývat následujících hodnot 1901 < R < 2099, 1 < M < 12, 1 < D < 31. Symbolem /nt( ) je naznačeno, že z výrazu v závorce se bere pouze celočíselná výsledku. Čísla za desetinou čárkou se neuvažují. Bezrozměrovou dobu t0, která uplynula mezi daným juliánskym dnem JD0 a počat epochy J2000 lze stanovit ve stoletích ze vztahu JD0 2451545 to " 36525 • (3- Pro stanovení polohy na zeměkouli v každém daném okamžiku v geocen rovníkové souřadnicové soustavě musíme znát odpovídající lokální siderický čas je nejprve nutno stanovit greenwichský lokální čas aCo v 0 hod. UT ve stupníi vztahu dle lit. [61] aCo = 100,4606184 + 36000,77004í0 + 3,87933. ÍO"4^ - 2,583. ÍO-8^. (3 rovina místního poledníku Obr. 3-37 Vzájemná vazba mezi úhly definujícími polohu greenwichského a mh poledníku. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Pokud vypočtená hodnota vybočí z rozsahu 0° < aCú < 360°, je nutno připočítat nebo odpočítat odpovídající celočíselné násobky 360° tak, abychom dodrželi předepsaný rozsah aCo. Pokud máme stanovenou správnou hodnotu aCo můžeme konečně určit greenwichský siderický čas aG pro libovolný jiný čas UT dle vztahu UT ac = aCo + 360,98564724—. (3.238) Připomeňme, že konstanta 360,98564724 v uvedeném vztahu představuje počet stupňů, o které se pootočí zeměkoule za 24 středních slunečních hodin. Připočtením zeměpisné délky A k právě určené hodnotě aG můžeme konečně stanovit lokální siderický čas na požadovaném poledníku vyjádřený ve stupních dle výrazu a = ac+A. (3.239) Pokud vypočtená hodnota a překročí rozsah 0° < a < 360°, postupujeme stejně jako v předchozím případě při stanovování správné hodnoty aG(j. Vzájemné relace mezi právě odvozeným úhly jsou znázorněny na obr. 3-37. Příklad 3.11 Zadáni: Stanovte juliánsky den prvního operačního vzletu raketoplánu Columbia 12. dubna 1981 ve 12:00:03 UT a posledního vzletu raketoplánu Atlantis 8. července 2011 v 15:29:04 UT. Stanovte v juliánskych dnech, jaká doba mezi těmito událostmi uplynula. Řešeni: a) Nejprve rovnici (3.235) pro zkrácení zápisu přepíšeme JD0 = 367R -A + B + D + 1721013,5, kde f 7 [R + >nt Pľt)]) /275Mx A=Int[A-f^j- B=Mt(—) b) Výpočet juliánskeho dne pro první událost (0 h UT). R = 1981, M = 4, D = 12. Výpočtem stanovíme konstanty r7[l981 + /«tfó!)ľ| A = Int\-i-- v )\i = 3468| B = lnt[- —1 = 122. /275(4)\ JD0 = 367(1981) - 3468 + 122 + 12 + 1721013,5 = 2444706,5. Pro výpočet juliánskeho dne nutno nejprve stanovit světový čas (UT), který uplynul od poslední půlnoci v hodinách (v desetinném vyjádření) 3. Pasívni pohyb kosmických těles v CGP UT = h + m 60 3600 0 3 12 + —+ —r^- = 12,000833 [h]. 60 3600 L ' Juliánsky den je pak dán hodnotou JD0, ke které připočteme světový čas, který uply od poslední půlnoci (0 h UT), vyjadrený ve dnech UT 12,000833 /D, =JD0 + — = 2444706,5 +-—-= 2444707,0. Výpočet juliánskeho dne pro druhou událost (OhUT). R = 2011, M = 7, D = I Výpočtem stanovíme konstanty > [2011 4-/nt(I^)] A = Int = 3521, B = lnt '275(7)^ 213. JD0 = 367(2011) - 3521 + 213 + 8 + 1721013,5 = 2455750,5. Pro výpočet juliánského dne nutno nejprve stanovit siderický čas ve zlomcích hodin m s UT = h + 6Ô+3ÍcT0 29 = 15 + : = 15,484444 [h]. 60 3600 V tomto případě je juliánsky den dán hodnotou JD0, ke které připočteme čas, uplynul od poslední půlnoci (0 h UT~), vyjádřený ve dnech UT 15,484444 ]D2 =JD0 + — = 2455750,5 +-—-= 2455751,145. d) Doba, která uplynula mezi oběma událostmi je dána následujícím počtem juliánskych i A(JD) = JD2 - /D, = 2455751,145 - 2444707,0 = 11044,145. 3.7.2 Vliv zploštění Země. Geodetické souřadnice Doposud jsme předpokládali, že Země má dokonalý sférický tvar. Ve skutečnos Země zploštělá. V dalším budeme uvažovat, že Země má tvar rotačního elipsoidu, obr. 3-38 je znázorněna rovina místního poledníku (na obrázku je zploštění záměrně zvětšeno). Rovníková (hlavní) poloosa a7 je větší než polární (vedlejší) pole Země bz. Zploštění Země je definováno následovně a = (3.; Uvážením známého vztahu pro vedlejší poloosu elipsy bz = azJl — ej, můžeme za smluvní excentricitu Země. Jednoduchou úpravou nalezneme relaci mezi zplošti Země a smluvní excentricitou a = 1 -y/T^, (3 A naopak, smluvní excentricitu v závislosti na zploštění Země můžeme vyjádřit vz ez = y/2a-a2. (3 19 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Kvůli zploštění Země musíme nyní uvážit nové skutečnosti, které jsou patrné z obr. 3-38. Normála k místní horizontální rovině v bodě B (geodetická normála) již neleží na jedné nositelce s polohovým vektorem řB ani s polohovým vektorem r kosmického tělesa (družice D) na oběžné dráze. Geocentrická výška h na sférické zeměkouli (ve směru nositelky vektoru r) je nahrazena geodetickou výškou H ve směru geodetické normály. A jsou zavedeny dvě zeměpisné šířky definující polohu bodu B. Vedle geocentrické zeměpisné šířky

, H), které na zploštělé rotující zeměkouli definují polohu kosmického tělesa (družice D). Předpokládejme, že známe polohu kosmického tělesa (družice D), definovanou trojicí geodetických souřadnic (A, , H), a hodláme nalézt souřadnice v některé geocentrické souřadnicové soustavě. Věnujme se nejprve nalezení určujících vazeb mezi geometrickými parametry. Poloha lokálního poledníku (p') je dána zeměpisnou délkou A. V rovině lokálního poledníku dle obr. 3-38 je zavedena pomocná souřadnicová soustava (x',z') s počátkem ve středu Země C. Poloha vztažného bodu B na zemském elipsoidu, který leží v rovině lokálního 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP poledníku, nechť je dána lokálními souřadnicemi (x'B,z'B). Hledejme souvislost uvedenými pravoúhlými souřadnicemi a sférickými souřadnicemi. Na základě osové afinity (vzájemného vztahu) mezi soustřednými kružnicemi a eli dle obr. 3-39 platí následující vztah zB Kí C bz z'2 K2~Č az Odtud plyne výraz pro souřadnici z'B bodu B v rovině lokálního poledníku (p') U-7 a. = z24ř= (3.2 Využitím pomocného úhlu /? můžeme horizontální souřadnici bodu B zapsat x'B = azcos(i (3. a vertikální souřadnici bodu K2 vyjádřit následovně z'z = az sin p. L Obr. 3-39 Definice souřadnic (_x'B,z'B) dotykového bodu tečny pomocí osové afin' mezi kružnicí a elipsou. Po dosazení výrazu pro z'2 do rov. (3.243) obdržíme rovněž vertikální souřadnici b v závislosti na pomocném úhlu p ve tvaru z'B = azyj 1 - e| sin/?. (3. Pro nalezení výrazů pro sin p a cos/? využijeme vztah pro normálu k elipse v b pro niž platí 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP dx'B tg = --7-f. (3.246) dZg Diferenciály vztahů (3.244) a (3.245) obdržíme ve tvaru dx'B = az(— sin P)dp, dz'B = azJ 1 — e| cos p dp. Po dosazení do vztahu (3.246) a úpravě obdržíme pro tangentu geodetické šířky výraz tg/? tgO= ■ (3.247) V1 -e* Pomocí tohoto vztahu si upravíme výraz pro tg P na tvar ,-- Jl — e'i sin 4> tg^ = tg*>/T^| = V__^_-. (3.248) Označíme-li A = Jl - e| sin , B = cos a C = V42 + fí2, pak výraz (3.248) lze zapsat jednoduše takto tg/? = ^ Pro goniometrické funkce pomocného úhlu /? platí -4 Jl — e} sin cp sin /? = . = v - (3.249) V42 + B2 Jl-e2sm2 B cos cos /? = , = =. (3.250) V/42 + B2 V1 -e|sinzO Po dosazení rov. (3.249) a (3.250) do výrazů pro souřadnice bodu B (3.244) a (3.245) obdržíme a, cos *b=7====. (3.251) Vl — ejsin2 O a7(l — el~) sin z'B= 7 ,.==-• (3-252) Oba výše uvedené výrazy vyjadřují relaci mezi souřadnicemi vztažného bodu „B" na zemském elipsoidu a geodetickou šířkou . Vyjádříme-li ještě v souladu s obr. 3-38 souřadnici x'B pomocí geodetického poloměru np (vzdálenosti mezi bodem C a bodem B) x'B = nt, cos a položíme rovno výrazu pro souřadnici x'B dle rovnice (3.251), obdržíme vztah pro geodetický poloměr r$, ve tvaru 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP (3.253) y/l — eis\n2

= r sin — r^e2 sin 4>, (3.2 z něhož vyplývá vztah pro vzdálenost mezi středem Země C a geodetickým středem C d = r0e| sin (p. (3.2 Vzdálenost vztažného bodu B od středu Země představuje polohový vektor vztažné bodu na zemském elipsoidu, který je dán výrazem 2 + z'2 B • (3.: Souřadnice x'B a z'B můžeme vyjádřit jak pomocí geocentrické šířky

a geodetického poloměru dle obr. 3-38 následovně x'b = rBcos

o,(l - e2 + H cos , ( a,(i-ez2) l „\ . . -+ H sin cp. -e|sin2

, (3.264) z'D = rB sin

, W) do (inerciální) geocentrické sférické souřadnicové soustavy (a, S, r) se od předchozího postupu odlišuje pouze ve stanovení jedné souřadnice, rektascenze a. Rektascenze je pro danou epochu dána výrazem a = X + ac = a + (aGo + 360,98564724^), 0° < A < 360°. (3.268) Transformace geodetických souřadnic (A, í>, H) do (inerciální) geocentrické rovníkové souřadnicové soustavy (X.Y.Z) je v podstatě shodná s předchozí transformací. Po stanovení souřadnic (x'D,z'D) dle rovnic (3.262), (3.263) a rektascenze a následuje poslední krok, v němž jsou stanoveny souřadnice (X, Y, Z) z těchto vztahů X — x'D cos a — (r + H) cos cp cos a, (3.269) Y = x'D sin a = (r.,, + H) cos O sin a, (3.270) Z= [rvt.a-eD + tfjsinO. (3.271) Na základě výše odvozených souřadnic (X.Y.Z) můžeme polohu kosmického tělesa vyjádřit polohovým vektorem v závislosti na kombinaci geodetických souřadnic K. (3.273) 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP 3.7.3 Topocentrická rovníková souřadnicová soustava Topocentrickou rovníkovou souřadnicovou soustavu (X',Z', V") můžeme definc podobně jako geocentrickou rovníkovou souřadnicovou soustavu. Jak uvedeno na i 3-40 má stejnou orientaci v prostoru, její osy (X',Z',Y') jsou stále rovnoběžné sos geocentrické rovníkové souřadnicové soustavy (X, Y,Z). Avšak její počátek „0" leží i povrchu Země a je s ní pevně spojen. Je určena pro pozorování kosmických z povrchu Země, a proto je její počátek ztotožněn s místem pozorování. Poloha kosmického tělesa v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě je polohovým vektorem g, který můžeme pomocí odpovídající definice rektascer deklinace (cť, 5') v soustavě (X1, Z', Y') vyjádřit vztahem analogickým s rov. (3.215) q = g cos ó" cos a' ľ + g cos ó" sin a'J' + g sin ô' K'. Vzhledem k tomu, že osy obou výše zmíněných souřadnicových soustav jsou rovnoběžné, mají jejich jednotkové vektory stále shodné směry. Tudíž musí platit /' | ]' = / a k' = k. Z toho plyne alternativní výraz pro polohový vektor q ve tvaru q = g cos ó" cos a' i + g cos ó" sin a'j + g sin ó" K = gig, (32 kde jednotkový vektor je v tomto případě dán vztahem e'e = cos 8' cos a' / + cos ó" sin a'/ + sin S' K. (3.1 D (a. M (D) Obr. 3-40 Definice topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy (X',Y',Z'). 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Přestože jsou osy obou zmíněných souřadnicových soustav rovnoběžné, rektascenze a deklinace v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (a', 5') se neshodují s rektascenzí a deklinací v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (a, 5). To je dáno tím, že se neshodují počátky těchto souřadnicových soustav. Pro případ rektascenzí je odlišnost těchto sférických souřadnic v obou soustavách patrna z obr. 3-41. Obdobně to platí i pro deklinace. Obr. 3-41 Vzájemné relace mezi rektascenzí v geocentrické rovníkové (X, Y, Z) a topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (X', Z', Y'). Pro přepočet kartézských souřadnic (X',Z',Y') a sférických souřadnic (oc', £',(?) z topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy do geocentrické rovníkové souřadnicové soustavy a naopak, je třeba doplnit relaci mezi polohovými vektory Pro výpočet polohového vektoru r0 lze použít rov. (3.273) pro stanovení polohového vektoru libovolného bodu na zemském povrchu v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě. Nyní však musíme uvedený vztah modifikovat pro rektascenzí a0, definující polohu poledníku p0, na němž leží počátek topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy „0". Po úpravě získáme výraz (D) X r = ŕ„ + q. (3.276) ŕ0 = r0 cos (cos a0l + sin a, o 7)+r,p(l-e|)sinff. (3.277) Příklad 3.12 Zadaní: Poloha kosmického tělesa je dána polohovým vektorem ř v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (X, Y, Z) v čase odpovídajícím poloze nultého poledníku aG. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P Nalezněte rektascenzi a' a deklinaci 8' kosmického tělesa v topocentrické rovníkoví souřadnicové soustavě (X1, Z', V), jejíž počátek je dán zeměpisnou délkou a geodeticko*] šířkou. Dále stanovte rektascenzi a a deklinaci S v geocentrické rovníkové souřadnice soustavě téhož kosmického tělesa nalézajícího se ve stejné poloze a čase a porovne získané výsledky. Potřebná data: Zeměpisná délka Geodetická šířka Rektascenze nultého poledníku Zploštění Země Poloměr Země Polohový vektor Ä = 60°, = 20°, ac = 130°, a = 0,003353, rz = 6378 [km], ř = -4511/ - 2605/ + 4371/f [km]. Řešení: a) Výpočet rektascenze počátku topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy a0 a0 = Ä + ac = 60 + 130 = 190 [°]. b) Výpočet hodnot goniometrických funkcí pro úhly a0 a sin a0 = sin 190° = -0,1736482, cos a0 = cos 190° = -0,9848078, sin = sin 20° = 0,3420201, cos * = cos 20° = 0,9396926. c) Výpočet excentricity Země ez provedeme dle rov. (3.242) ez = yjZa - a2 = V2(0,003353) - 0,0033532 = 0,0818215. d) Výpočet poloměru dle rov. (3.253) az 6378 r0 = Vl - ejsin2 ct> Vl - 0,08182152 0.34202012 6380,4989 [km]. e) Výpočet polohového vektoru ř0 v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (A\K,Z) Pro výpočet použijeme vztah (3.277) pro stanovení polohového vektoru, který defin počátek topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy „0" r„ = r$, cos (cos a0 I + sin a0f) + r&(l — e|) sin K, řQ = 6380,4989(0,9396926)(-0,9848078/- 0,1736482/) + 6380,4989(1 - 0,08182152)0,3420201/?, ř0 = -5904,6195/- 1041,1437/+ 2167,6495/?. f) Výpočet modulu polohového vektoru v geocentrické rovníkové souřadnicové sous (X.Y.Z) r = V(-4511)2 + (-2605)2 + 43712 = 6800,0579 [fem]. 27 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P ) Výpočet polohového vektoru kosmického tělesa v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě Polohový vektor g stanovíme vektorovým rozdílem ť? = f - ř0, g = (-4511/- 26057 + 4371^) - (-5904,6195/- 1041,1437/ + 2167,6495/?), g = 1393,6195/- 1563,8563/+ 2203,3505tf. h) Výpočet modulu polohového vektoru g g = V1393.61952 + (-1563.8563)2 + 2203,35052 = 3040,1604 [km]. i) Výpočet jednotkového polohového vektoru e's v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě dle rov. (3.274) e'e = (1393,6195/- 1563,8563/+ 2203,3505/f)/3040,1604, ěg = 0,4584033/- 0,5143993/+ 0,7247481/r. j) Výpočet deklinace 8' a rektascenze a' v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (X',Y' Z') Deklinaci a rektascenzi stanovíme porovnáním složek obecného tvaru jednotkového vektoru dle rov. (3.275) s výše vypočtenými složkami téhož jednotkového vektoru ěg = cos S' cos a' / + cos Ô' sin ď J + sin ô' K. Z porovnání vyplývá výpočtový vztah pro deklinaci siná' = 0,7247481, odkud deklinace 6' = arcsin(0,7247481) = 46,447897 [°J. Protože deklinace je definována v rozsahu úhlů 8' = +90°, vypočtená hodnota je jednoznačná a není třeba žádné korektury. Pro výpočet rektascenze a' máme k dispozici dva vztahy cos 8' cos a' = 0,4584033, cos 8' sin a' = -0,5143993, cos(46,447897°)cosa' = 0,4584033, 0,4584033 = 0,6653034, cos(46,447897°) a' = arccos(0,6653034) = 48,294°, nebo ď = 311,706°. Obdrželi jsme nejednoznačné řešení a výsledek je třeba korigovat. Na základě posouzení hodnot souřadnic X'a Y' jednotkového vektoru ěg je zřejmé, že platná hodnota rektascenze v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě je a' = 311,706°. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP k) Výpočet jednotkového polohového vektoru kosmického tělesa v geocentrické rovníkoví souřadnicové soustavě, (Potřebný modul r = 6800,0579 byl již stanoven v bodě f) (-4511/- 2605/+ 4371/?) 6800,0579 er = -0,663377/- 0,383085/ + 0,642789tf. I) Výpočet deklinace 5 a rektascenze a v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (X, Y.Z) Deklinaci a rektascenzi stanovíme opět porovnáním složek obecného jednotkového vektoru dle rov. (3.216) s výše vypočtenými složkami téhož jednotkové vektoru er — cos ä cos ot / + cos elevačním úhlem i? a lokálním polohovým vektorem g. Azimut je úhel mezi tečnou k lokálnímu poledníku (osou xt) a průmětem vektoru g do horizontální roviny (xf,zt). Měří se od severu a je kladný ve smyslu pohybu hodinových ručiček v rozsahu (0~ < / < 360°). Elevační úhel i9 je úhel mezi lokálním vektorem g a horizontální rovinou (xt,zt). Pokud polohový vektor g leží nad horizontální rovinou, považujeme elevační úhel za kladný a naopak. Nabývá hodnot (-90° < ů < +90°). Obr. 3-42 Definice topocentrické horizontální souřadnicové soustavy {xt,yt,zt) a sférických souřadnic (x, d, q). 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Výraz pro polohový vektor g, definující polohu kosmického tělesa v topocentridéj horizontální souřadnicové soustavě, lze odvodit přímo z obr. 3-42 ve tvaru q = q cosi? cos* it + q sini9/t + q cos d sin* = gee, kde ěQ je jednotkový polohový vektor ěe = cosi9cos*ľt + sini9/f + cosi9sin*fct. (3.2/ (3.27 Transformace mezi topocentrickou rovníkovou, respektive geocentrickou rovníkov a topocentrickou horizontální souřadnicovou soustavou Na úvod je nutno opět připomenou, že směry a smysly jednotkových vek topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy jsou stejné jako v geocentr rovníkové souřadnicové soustavě. To znamená, že relace mezi jednotkovými vek topocentrické horizontální souřadnicové soustavy (Ff,/f,fcř) a topocentrické rovníkc souřadnicové soustavy (/',/', K") budou stejné jako relace mezi jednotkovými vekto topocentrické horizontální souřadnicové soustavy (Jt,jt,kt) a geocentrické rovníkc souřadnicové soustavy (/,/,/("). Proto budeme v dalším používat pouze označ jednotkových vektorů (l,J,K) nejen pro geocentrickou rovníkovou, ale také topocentrickou rovníkovou souřadnicovou soustavu. V rovině lokálního poledníku (p0) zavedeme pomocný jednotkový vektor ľ' pro osu. Tento jednotkový vektor je v souřadnicové soustavě {X, Y, Z) definován výrazem ľ = cosa0 / + sinct0/. (3.28 Vektor ľ'má stejný směr i smysl také v souřadnicové soustavě (X'.Y'.Z'). Por jednotkového vektoru ľ můžeme dle obr. 3-42 již přímo psát výraz pro jednotko vektor Jt v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě, který leží rovněž v rovin lokálního poledníku p0 Jt = cos ľ + sin O K. (3.; Po dosazení výrazu pro jednotkový vektor ľ do rovnice (3.281) obdržíme konečný j pro stanovení polohy jednotkového vektoru Jt v topocentrické horizont souřadnicové soustavě ]t = cos

cosa0 cos sin a01 + cos í> cos a0 J. Modul uvedeného součinu jednotkových vektorů je dán jednoduchým výrazem \K x/ř| = cos a definitivní výraz pro jednotkový vektor v souladu s rov. (3.283) obdržíme ve tvaru kt — — sin aQ I + cosa0/. (3.284) Konečně pro poslední jednotkový vektor if , který je kolmý na rovinu (Jt,kt) platí vektorový součin k = J t x fct = / / K cosOcosar0 cos cos a0 ľ — sin <í> sin a0j+ cos í> K. Nyní již můžeme jednotlivé rov. (3.285), (3.282) a (3.284) přepsat na maticovou rovnici pro transformaci jednotkových vektorů nebo přímo souřadnic polohy kosmického tělesa z topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy do topocentrické horizontální souřadnicové soustavy (xt,yt,zt) takto {°)th = [Tth/tr]{QÍtr> kde jsme vektory označili následovně (3.286) ÍQhh = \Vt Ut - {°}tr = \Y' Z' (3.287) th/tr\ a transformační matice byla pomocí zmíněných rovnic (3.285), (3.282) a (3.284) získána ve tvaru — sin coscosa0 — sinct0 —sinsincc0 cos«t>sina0 cosa0 cos sin O (3.2 Poznámka: V letecko-kosmických aplikacích je místo topocentrické horizon souřadnicové soustavy (xř,yt,zř) častěji používána normálová zemská souřadní soustava {xg,yg,Zg). Dle mezinárodní normy ISO 1151, [40], je vůči topocenť horizontální souřadnicové soustavě pootočena kolem osy xt = xg o 90° v klad smyslu. Takže osa zg leží ve směru normály s kladným smyslem do středu Z (zq = — yf). Osa yg pak směřuje tečně k místní rovnoběžce východním sm" (yg = zt). V normálové zemské souřadnicové soustavě {xg,yg,zg^ se běžně defi polohové úhly atmosférických letadel i kosmických letadel (např. raketoplánů), [26]. Příklad 3.13 Zadáni: Vypočtěte azimut x a elevační úhel i9 kosmického tělesa v topocentrické horizon" souřadnicové soustavě, je-li dán jeho polohový vektor ř v geocentrické rovn" souřadnicové soustavě. Poloha počátku topocentrické horizontální souřadnicové sou (poloha pozorovatele) je dána rektascenzí a0 a geodetickou šířkou . Potřebná data: Rektascenze počátku soustavy (xt,yt,zt) Geodetická šířka Excentricita Země Poloměr Země Polohový vektor a0 = 65°, * = 25°, ez = 0,081821, rz = 6378 [km], ř = 2900/+ 5800/+ 2300Ž? [km]. Řešeni: a) Výpočet hodnot goniometrických funkcí pro úhly a0 a 4> sin a0 = sin 65° = 0,906308, cos a0 = cos 65° = 0,422618 sin = sin 25° = 0,422618, cos - cos 25° = 0,906308. b) Výpočet poloměru r^, az 6378 r = vT e| sin2 Vl - 0,08182i2 0.4226182 6381,817 [km]. Výpočet polohového vektoru r0 počátku topocentrické horizontální souřadnicové soustavy v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě Pro výpočet použijeme vztah (3.277) pro stanovení polohového vektoru, který defi počátek topocentrické horizontální souřadnicové soustavy „0" (obr. 3-42) ř0 = cos O (cos a0 ľ + sina0/) + r K, 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CC P ř0 = 6381,817(0,906308)(0,422618/+ 0,906308/) + 6381,817(1 - 0,0818212)0,422618K, ř0 = 2444,378/+ 5241,985/+ 2679,016/?. d) Výpočet modulu polohového vektoru v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě r = V29002 + 58002 + 23002 = 6880,407 [km]. e) Výpočet polohového vektoru kosmického tělesa g v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě Polohový vektor g stanovíme vektorovým rozdílem Q = ř-ř0, g = (2900/+ 5800/+ 2300/?) - (2444,378/+ 5241,985/+ 2679,016/?), g = 455,622/+ 558,015/- 379,016^. Zapsáno v maticovém tvaru X" 455,622 ÍQ}tr = Y' = 558,015 tr -379,016. f) Výpočet transformační matice dle rov. (3.288) -0,178606 -0,38302 0,906308 0,383022 0,821394 0,422618 -0,906308 0,422618 0 g) Transformace vektoru {g}tr z topocentrické rovníkové souřadnicové soustavy do topocentrické horizontální souřadnicové soustavy Pro transformaci použijeme rov. (3.286) -0,178606 -0,38302 0,906308 0,383022 0,821394 0,422618 -0,906308 0,422618 0 (-638,614) {g}th = 472,685 . 455,622 558,015 -379,016 -177,107) h) Výpočet modulu polohového vektoru g v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě (jeho velikost je stejná jako v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě) g = V(-638,614)2 + 472,6852 + (-177.107)2 = 814,018 [km]. i) Výpočet jednotkového polohového vektoru eQ v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě _ -638,614ít + 472,685;f - 177,107/ft e° ~ 814,018 ' ěe = -0,784521ľt + 0,580681/t - 0,21757fct. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Porovnáním právě vypočteného jednotkového vektoru ee s obecným výrazem pro tenac, jednotkový vektor dle rov. (3.279) ée = cosi9 cos*í, + sin i9/, + cosi9 sin* kt stanovíme elevační úhel ů a azimut * kosmického tělesa v topocentrické horizont souřadnicové soustavě (xt,yt,zc). j) Výpočet elevačního úhlu i9 siní?- = 0.580681, i9 = arcsin 0,580681 = 35,4985 [°]. k) Výpočet azimutu * cos ů cos* = -0,784521, cos* -0,784521 -0,784521 - = -0,96363, cosi? cos 35,4985° * = arccos(-0,96363), * = 164,5 [°] nebo x = 195,5 [°]. Průzkumem znamének souřadnic složek jednotkového vektoru ěe ve směru os z£ můžeme stanovit, která z uvedených hodnot azimutu je správná. Obě zmín souřadnice jsou záporné. Tudíž kosmické těleso se nachází ve třetím kvadrantu a | azimut jeho polohy je * = 195,5 [°]. Druhý způsob, jímž lze potvrdit tuto skutečnost je výpočet hodnoty sin* z podmínk cos sin* = -0,21757, odkud stejným postupem stanovíme hodnotu sin* = -0,26724. Protože sin* má zápornou hodnotu, potvrzuje to skutečnost, že * = 195,5 ["]. 3.7.5 Stanovení oběžné dráhy z měření úhlů a vzdáleností Při stanovování parametrů oběžné dráhy z pozorování je třeba uvážit skutečnost, pozorovatel sleduje kosmický objekt z pozorovací stanice, která se nachází na povr zeměkoule a nikoliv ve středu Země. Místo pozorování je dáno polohovým vektorem i v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (_x,y,z). Parametry pozorování js obvykle dány v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě (xf,yt,zf), rotuje spolu se Zemí úhlovou rychlostí toz. Poloha kosmického objektu v t souřadnicové soustavě je dána lokálním polohovým vektorem q. Avšak pole kosmického tělesa na oběžné dráze, jejíž rovina prochází středem Země je definov v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě polohovým vektorem r. Jak víme z předchozích rozborů, relace mezi lokálním polohovým vektore sledovaného tělesa q, polohovým vektorem místa pozorovatele f0 a geocentrick polohovým vektorem sledovaného kosmického objektu ř je dána rovnicí (3.276). Jelik 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP modul lokálního polohového vektor q je stejný jak v soustavě (xt,yt,zt), tak v soustavě (A", V", Z') vyjádříme polohový vektor kosmického objektu ř v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě pomocí jednotkového vektoru v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě e'e následovně ř = ř0 + g = ř0 + gěg, (3.291) kde polohový vektor r0 s uvážením zploštění Země je dán rovnicí (3.277), g je vzdálenost mezi pozorovatelem a kosmickým objektem a jednotkový vektor e'e je dán výrazem (3.275). Odpovídající rychlost v inerciální souřadnicové soustavě, kterou zde představuje geocentrická rovníková souřadnicová soustava (X,Y,Z), je dána derivací rov. (3.291). Pro vektor rychlosti platí vztah V = r = r0 + gee + gěe. (3.292) Jelikož vektor ř0 je spojen se Zemí, která rotuje vůči inerciální soustavě konstantní úhlovou rychlostí SI = cozK, bude vektor rychlosti pohybu pozorovatele dán vztahem f0 = ft x ř0. (3.293) Po dosazení do rov. (3.292), výsledný vektor rychlosti pohybu kosmického objektu v (inerciální) geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě bude dán výrazem V = U x ř0 + Qě"e + Qěg. (3.294) Ve vztahu (3.294) představuje g časovou změnu vzdálenosti mezi pozorovatelem a kosmickým objektem a derivaci jednotkového vektoru ě'e získáme derivací rov. (3.275) ég = (—5' sin ó" cos a' — á' cos ó" sin a')ľ + (-5' sin ó" sin a' + á' cos ó~' cos a')j + 8' cos 8' K, (3.295) respektive v maticovém zápisu (—5' sin 8' cos a' — á' cos ó"' sin a'J -8' sin 8' sin a' + á' cos 8' cos a' >■ (3.296) 5'cosó" J Přepíšeme nyní jednotkový vektor e'e dle rovnice (3.275) e'e — cos ó" cos a' / + cos 8' sin a'/ + sin 8' K a jednotkový vektor ěQ dle rov. (3.279) ěe = cos d cos x 't + sin i? jt + cos i9 sin fct do maticové formy (cosó" coscc" {cosá cos a cos 8' sin a' siní' (3.297) 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP {cosi9 cosx sinů costfsinx (3. Jednotkový vektor dle rov. (3.297) je zapsán v topocentrické rovníkové souřadn' soustavě, zatímco jednotkový vektor dle rovice (3.298) je zapsán v topocen horizontální souřadnicové soustavě. Použitím transformační rovnice dle (3.289) oběma souřadnicovými soustavami {e'e\tr = [Ttr/th]{ee}th nalezneme relaci mezi deklinací a rektascenzí v topocentrické rovníkové souřad soustavě a azimutem a elevačním úhlem v topocentrické horizontální souřad soustavě. Po dosazení za transformační matici dle rov. (3.290) a za jednotkové v dle rov. (3.297) a (3.298) obdržíme konečnou transformační rovnici ve tvaru cosi9 cos;n siní? cosi9 sin x) Roznásobením pravé strany transformační rovnice obdržíme následující mezivýsl — sin cos a0 cos ů cos x + cos cos ct0 sin i9 — sin ct0 cos ů: —sin sin cc0 cos ů cosx + cos * sin «o sin ^ + cos a0 cos i9 sia cos cos ů cos x + sin sin ť? Dle uvedené rovnice zapíšeme výrazy pro rektascenzi a' a deklinaci 8' v topocen rovníkové souřadnicové soustavě Ícos 5' cos a" cos 8' sin a' siní' cos 8' cos a' cos 8' sin a' sin 8' sincosa0 cos<í>cosa0 — sina0 -sinsina0 cossina0 cosoc0 cos sin O 0 (3 cos a = cos cos a0 sin ů — sin a0 cos i9 s* (3 sin a = cos 8 - (—sin sin a0 cos i9 cos x + cos O sin a0 sin i9 + cos a0 cos i9 sin sin 8' = cos cos ů cos x + sin sin ů. C (3 Nyní zavedeme tzv. hodinový úhel t, pomocí něhož vyloučíme z výše uvedených geocentrickou rektascenzi a0. Jak je vidět na obr. 3-41, hodinový úhel je úhel rovinou poledníku pozorovatele a průmětem lokálního polohového vektoru roviny (A", V). Pokud kosmický objekt leží na západ od poledníku, na němž se m pozorovatel, jedná se o kladný hodinový úhel. Pak hodinový úhel je v našem p" definován vztahem t = a0 — ď. (3 Pomocí goniometrických relací můžeme nyní pro hodinový úhel zapsat násl vztahy cos t = cos(a0 — a') = cos a0 cos a' + sin a0 sin a', (3 sin t = sin(a0 — a') = sin a0 cos a' — cos a0 sin a'. (3 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Dosadíme-li do těchto goniometrických vztahů za sin a' a cos a' dle rovnic (3.301) a (3.300) obdržíme pro hodinový úhel dva výrazy cos sin i9 — sin cos d cos y cos t =----, (3.306) cos ô' cos t9 sin y sin t =--r-A (3.307) cos 8' Pro výpočet hodinového úhlu zbývá ještě určit cos ó". Deklinaci v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě určíme z rov. (3.302) 8' = arcsin(cos cos ů cos x + sin

cos i9 cos y\ t = arccos (----). (3.309) V cos 8 ) Druhý vztah pro výpočet hodinového úhlu (3.307) použijeme pro identifikaci znaménka hodinového úhlu. Jelikož elevační úhel d a deklinace 8' mohou nabývat hodnot maximálně ± 90°, pak cosinus obou úhlů je vždy kladný. Díky tomu z rov. (3.307) vyplývá, že znaménko sin t závisí pouze na hodnotě sin,*". Takže hodnota sin t bude kladná pro smx < 0, tj. pro azimuty v rozsahu 180° < x ^ 360, pak hodinový úhel stanovíme přímo ze vztahu (3.309). Avšak pro azimuty v rozsahu 0° < x < 180° je nutno pro výpočet hodinového úhlu použít výraz /cos sin $ — sin cos ů cos x\ t = 2n — arccos I-—-1. (3.310) V cos o / Po ověření správné hodnoty hodinového úhlu můžeme konečně stanovit rektascenzi a' v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě dle vztahu (3.303), který přepíšeme na tvar a' = a0- t. (3.311) Protože pozorovaný kosmický objekt mění svou polohu s časem a mění se i poloha pozorovatele díky rotaci Země aiz, je třeba obdobně nalézt 8' a óc' v závislosti na časové změně azimutu x a elevačního úhlu i9. Časovou změnu deklinace v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě 8' získáme derivací rovnice (3.302), z níž obdržíme 1 ó" =-— Íi9(sin cosi? — cos O sinů cos^-) — ^cos cosi9 sin^l. (3.312) cos o 1 1 Časovou změnu rektascenze v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě ď nalezneme následujícím postupem. Nejprve derivujeme rovnici (3.307), z níž stanovíme časovou změnu hodinového úhlu cos ^ cos ů — ů sini9 sin^-) cosó"' + 8' cos ů sin x sin 8' cos t cos2 ó"' 38 3. Pasivní pohyb kosmických těles v C6P V dalším kroku dosadíme za cosr dle rov. (3.306) a po úpravě získáme konečný pro časovou změnu hodinového úhlu t = — *cos*cosů + (<5' cosi9 tg8' — 6 sinů) sin* coscost9cos* Derivací rov. (3.311) dle času máme k dispozici vztah pro časovou změnu rektasce v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (3.3 a = a0-r. Uvážíme-li, že á0 = a)z, pak po dosazení do předchozího vztahu, včetně rov. (3 máme pro výpočet čt' k dispozici konečný výraz ve tvaru * cos * cos d + (8' cos ůtgS' — i9 sin i9) sin * á — a>7 H------. (3 cos

a e vyjádřenou geocentrickou rektascenzí a0 je pozorován kosmický objekt. Jsou následující parametry v topocentrické horizontální souřadnicové soustavě: vzdál azimut a elevační úhel kosmického objektu, včetně jejich časových změn. Nalezněte kosmického objektu (elementy dráhy). Potřebná data: Geodetická šířka Geocentrická rektascenze Poloměr Země Excentricita Země Úhlová rychlost rotace Země Vzdálenost kosmického objektu Časová změna vzdálenosti Azimut Časová změna azimutu Elevační úhel Časová změna elevačního úhlu = 50 [°], «o = 60 [°], rz = az = 6378 [km], ez = 0,0818215 [1], ú)z = 7,292.10"5 [s-1], q = 3200 [km], q = 0 [kms'1], x = 30 [% x = 1,973.10"3 [s_1], i9 = 40 [°], ů = 0,9864.10"3 [s-1]. Řešení: a) Výpočet deklinace v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě dle rov. (3.308) 8' = arcsin(cos cos i9 cos x + sin sin i9), 8' = arcsin(cos 50° cos 40° cos 30° + sin 50° sin 40°), 8' = 1,165126 [rad] = 66,757 ["]. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP b) Vypočet hodinového úhlu a rektascenze v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě. Vzhledem k tomu, že úhel azimutu leží v rozsahu 0° < x < 180°, použijeme pro výpočet hodinového úhlu rov. (3.310) t = 2n — arccos I /cos sin i9 — sin cos i9 cos *\ t = 2n — arccos -—- , V cos o' / cos 66,757° r = 4,469197 [rad] = 256,066 [°]. Rektascenze v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě bude ď = a0 - r = 60° - 256,066 = -196,066 [°] c) Výpočet délky geodetické normály (poloměru) r0dle rov. (3.253) az 6378 yjl - ejsin2* y/l - 0.08182152 sin2 50° 6390,565 [km]. d) Výpočet polohového vektoru ř0 v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (X.Y.Z) dle rov. (3.277) ř0 = r0 cos <í> (cosa0 / + sin a0J) + r&il — e|) sin K, ř0 = 6390,565(cos50°)(cos60°/ + sin 60°/) + 6390,565(1 - 0,08182152) sin 50° K, ř0 = 2053,888/+ 3557,439/+ 4862,683/? [km]. e) Výpočet jednotkového vektoru e'e lokálního polohového vektoru v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě dle rov. (3.275) ěg — cos 8' cos a' 1 + cos 8' sin a' J + sin S' K, e'e = cos 66,757° cos(-196,066°) / + cos 66,757° sin(-196,066°)/ + sin 66,757° K, e'e = -0,379221/+ 0,109214/+ 0,91838/?. f) Výpočet lokálního polohového vektoru {gee) v topocentrické rovníkové souřadnicové soustavě dle rov. (3.274) Qě"e = 3200(-0,379221/ + 0,109214/+ 0,91838^), oe'e = -1213,508/+ 349,484/+ 2940,282/?. g) Výpočet polohového vektoru kosmického objektu v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě ř dle rov. (3.291) ř = ř0+ Qě'Q, ř = (2053,888/+ 3557,439/ + 4862,683/?) + (-1213,508/+ 349,484/+ 2940,282/?), ř = 840,380/+ 3906,923/+ 7802,965/? [km]. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP h) Časová změna polohy pozorovací stanice v inerciální geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě ř0. Složky (X0, K0,Z0) vektoru ř0 jsou již stanoveny v bodě d) ř0 = a x ř0 = 1 J K 0 0 coz %o Zq = -U)ZY0Í + tozXj = coz(-Y0l + Xj). ř0 = 7,292. l(rs(-3557,439/ + 2053,888/), ?0 = -0,259408/+ 0,149770/ [fcms"1]. i) Výpočet časové změny deklinace v topocentrické rovníkové souřadnicové soust dle rov. (3.312) 6' = [i9(sin cos i9 — cos 0 sin i9 cos*) — X cos 0 costf sin^]/ cos 5' = [0,9864.10_3(sin50°cos40° - cos 50° sin 40° cos 30°) - 1,973.10-3 cos 50° cos 40° sin 30°]/ cos 66,757°, 6' = -0,6585.10-3 [ar1]. j) Výpočet časové změny rektascenze á' v topocentrické rovníkové souřadnicové so dle rov. (3.314) X cosx cosi9 + (Š' cos ů tg5' — é sin i9) sin x A ůi = u>z H--———--:——---= ci>z + —, cos sin i9 — sin

sin d — sin cos i9 cos x, B = cos 50° sin 40° - sin 50° cos 40° cos 30° = -95,0287.10-3, á' = wz+-= 7,292.10~s + 0,40464.10"3 -95,0287.10"3 = -4,1852.10-3 [s" k) Derivace jednotkového vektoru ě'g dle rov. (3.295) ép = (—5' sin 8' cos a' — ď cos 8' sin a')/ +(—8' sin <5' sin a' + á' cos 8' cos a')/ + 8' cos 8' K, e'e = [-(-0,6585.10-3) sin 66,757° cos(-196,066°) - (-4,1852.10"3) cos 66,757° sin(-196,066°)]/ + [-(-0,6585.10"3) sin 66,757° sin(-196,066°) + (-4,1852.10"3) cos 66,757° cos(-196,066°)]/ +(-0,6585.10~3) cos 66,757° K, ě' = -0,124346.10"3/ + 1,75455.10"3/- 0,259868. ÍO"3/?. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP I) Vektor rychlosti pohybu kosmického objektu v (inerciální) geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě dle rov. (3.292) V = rQ + Qe'e + Qěe, V = (-0,259408/ + 0,149770/) + 0(-0.379221/ + 0,109214/+ 0,91838) + 3200(-0,124346.10'3I + 1,75455. ÍO"3/ - 0,259868. ÍO"3/?), V = -0,657317/ + 5,764338/-0,831576/?. m) Poslední krok spočívá ve výpočtu elementů dráhy, který provedeme dle nám již známého postupu uvedeného v příkladu 3.8. Výpočtem pro výše určený polohový vektor ř a vektor rychlosti V obdržíme následující hodnoty elementů dráhy: délka vzestupného uzlu n = 275,248 [°], hlavni poloosa eliptické dráhy a = 7044,526 [km], excentricita eliptické dráhy e = 0,380930 [1], sklon oběžné dráhy i = 81,298 [°], argument perigea o) = 29,481 [°], pravá anomálie kosmického objektu 0 = 145,267 ["]. 3.7.6 Stanovení dráhy ze dvou poloh a času. Lambertův problém Lambertovým problémem se rozumí úloha nalezení dráhy, jsou-li dány dva body a doba přeletu mezi nimi. J. H. Lambert (1728-1777) byl německý astronom a matematik, který prokázal, že doba přeletu At mezi dvěma body na dráze nezávisí na její excentricite. Závisí pouze na modulech polohových vektorů, délce hlavní poloosy a úhlové vzdálenosti mezi oběma body. Připomeňme, že také celková specifická mechanická energie kosmického tělesa a perioda je rovněž nezávislá na excentricite. Obě uvedené veličiny v daném centrálním gravitačním poli závisí toliko na délce hlavní poloosy a, viz rov. (3.94) a (3.86). Lambertův problém je znázorněn na obr. 3-43, kde jsou zadány dva body Bj a B2 hledané dráhy pomocí polohových vektorů fj a ř2. Době letu mezi oběma body At odpovídá rozdíl pravých anomálií A0. Tento úhel můžeme stanovit z definice skalárního součinu obou polohových vektorů, odkud platí cosA0 = ^—^. (3.315) rlr2 Stanovení úhlu A0 z uvedené rovnice je nejednoznačné, neboť jedné hodnotě cosA0 > 0 (srovnej s obr. 3-14) odpovídají dvě hodnoty argumentu A0. Jedna se nachází v prvním kvadrantu a druhá ve čtvrtém. A obdobně pro cos A0 < 0 obdržíme dva argumenty, ve druhém a třetím kvadrantu. Ovšem máme ještě další problém, znalost obou vektorů a úhlu mezi nimi ještě nic neříká o tom, zda hledaná dráha je prográdní (0° < i < 90°) nebo retrográdní (90° < / < 180°). Tuto otázku můžeme zodpovědět pomocí polohy jednotkového 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP vektoru k perifokální souřadnicové soustavy. Pokud tento vektor leží nad rovinou rovníku, jedná se o prográdní dráhu, jak je právě naznačeno na obr. 3-43, a naopak, pokud směřuje pod rovinu rovníku, jedná se o retrográdní dráhu. /\vzestupný uzel Obr. 3-43 Dráha je dána dvěma body a rozdílem jejich pravých anomálií. Lambertův problém. Matematicky to můžeme posuzovat dle znaménka složky vektoru (fj x r2)z ve směru vertikální osy Z (rx x ř2)z = K • [rjr2 sin(A0) k] = rtr2 sin(A0) (K ■ k), kde skalární součin vektorů (/f-fc) = cosi. Tím máme vertikální složku vektoru (řj x r2)z vyjádřenu v závislosti jak na úhlu A0, tak na sklonu dráhy i ve tvaru (ř, x ř2)z - rir2 sin(A0)cosi. (3.316) Zvýše uvedeného je známo, že pro přímé (prográdní) dráhy platí cosi >0 a pro nepřímé (retrográdní) dráhy platí cos i < 0. Rozeberme nejprve případ prográdnich drah. Z rovnice (3.316) pro tento případ (cos i > 0) vyplývá, že: a) Pro (ř\ x ř2)z > 0 je sin(A0) > 0, což je splněno když (0° < A0 < 180°), pak je dle rov. (3.315) platný výsledek pro první kvadrant A0 = arccos )' (3.317) b) Pro (fj x ř2)z < 0 je sin(A0) < 0, což je splněno když (180° < A0 < 360°), pak je dle v souladu s rov. (3.315) platný výsledek pro čtvrtý kvadrant, který stanovíme dle vztahu 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP A0 = 360° - arccos \^r) ■ (3-318) Případ retrográdních drah. Postup je zcela analogický, dle rov. (3.316) pro tento případ (cos i < 0) vyplývá, že: a) Pro (řj x ř2)z > 0 je sin(A0) < 0, což je splněno když (180° < A0 < 360°), pak je dle rov. (3.315) platný výsledek pro čtvrtý kvadrant A0 = 360° -arccos (^—H (3.319) b) Pro (ři x ř2)z < 0 je sin(A0) > 0, což je splněno když (0° < A0 < 180°), pak je dle v souladu s rov. (3.315) platný výsledek pro třetí kvadrant, který stanovíme dle vztahu A0 = arccos ^77^- (3.320) Vraťme se k rovnicím (3.154) a (3.155) odvozeným v podkapitole 3.5.3 Z uvedených rovnic vyplývá, že pro řešení Lambertova problému stačí nalézt vektor rychlosti V, v bodě Bj. Ten nalezneme z první rovnice ^ =-(r2-M), (3.321) který dosadíme do druhé rovnice, odkud získáváme výraz - i- , 9 ,~ „** 9 . f9 ~ f9 h. V2 =/>!+- (r2 - frx) = -r2----řv y y y Čitatel v posledním zlomku uvedené rovnice je v souladu s rovnicí (3.174) roven jedné (jg — f g = l). Pak vektor rychlosti v bodě B2 je dán vztahem V2=^(gř2-r,). (3.322) Pro další řešení Lambertova problému budeme používat univerzální proměnné. Zde se přidržíme metody řešení uváděné v literatuře [11], [15], kde jsou zavedeny následující univerzální proměnné x [km1/2] a a — l/a [km'1]. Pro další řešení si upravíme dříve odvozené výrazy pro Lagrangeovy koeficienty, rov. (3.167), (3.172), (3.176) a (3.173). Z uvedených rovnic vyloučíme parametr pomocí vztahu p = h2/\i a zavedeme místo něj specifický moment hybnosti. Lagrangeovy koeficienty pak budeme používat ve tvaru / = 1-^r2(l-cosA0), (3.323) 5=^sinA0, (3.324) 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CCP 5 = 1 «1 — cosA0ru 1 l T-—.£(1 -COSA0)---- h sinA0 L/i2 rt r2 h2 ^(l - cos A0). (3.32 (3.32 Využitím univerzálních proměnných lze Lagrangeovy koeficienty zapsat ve tvaru x2 f=\-—C(z), (3.3 1 , 9 = At - -ý=*3S(z). (3.3 V/T (3.3 g = \-?-C(z). (3.3 r2 V těchto rovnicích byla pro zkrácení zápisu zavedena bezrozměrová proměnná z = ax2. (3.33 V uvedených výrazech pro Lagrangeovy koeficienty jsou veličiny A0, At, rt a r2 zac neznámými veličinami jsou ^, /i a z. Funkce C(z) a S(z) jsou tzv. Stumpffovy fur které jsou definovány pomocí následujících nekonečných řad 00 k ■, 7 V z 1 z z y ' Lŕ ' (2fc + 2)! 2 24 720 a = 0 40320 5(z) = Z(-1)kr^T3v4-T2Ô + fe=0 5040 362880 Relaci mezi A0 a At nalezneme z rovnosti výrazů pro koeficienty g r2rl 1 -V^-sinAO = Ar-— x S (z), h Specifický moment hybnosti h určíme buď z rovnosti součinitelů f nebo /. Z rovn rovnic (3.323) a (3.327) obdržíme (3.3 (3.2 (3.33 h = /ir1r2(l — cos A0) X2C(z) Dosazením uvedeného vztahu pro h do rov. (3.334) a úpravě obdržíme (3.33 V^Aí = x3S{z) + xMž) (sin A0 J^^q) • (3-3 Pro zkrácení zápisu označíme výraz v kulaté závorce rov. (3.336) symbolem A A = sin A0 \ 1 - co: cos A0 (3.33 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Pak rov. (3.336) zapíšeme v jednodušší formě takto v^At = *3S(z) + AXJČ(z). (3.338) Protože z = ax2 = X2/a Je vlastně funkcí dvou proměnných, z nichž a představuje hlavní poloosu neznámé dráhy, která je předmětem hledání, je třeba nalézt přímou vazbu mezi bezrozměrovou proměnnou z a univerzální proměnnou x, která nezahrnuje hlavní poloosu a. Za tímto účelem použijeme rovnost výrazů pro součinitele / dle rov. (3.325) a (3.329) H(l — cos A0) /tsin A0 V- , 1 1 f-r(l - cosAG)---- = ^[zS(z)-l]. rl'2 (3.339) Opět za specifický moment hybnosti dosadíme dle rov. (3.335) a celou rovnici přenásobíme výrazem (rxr2). Postupnou úpravou obdržíme mezivýsledek Vl - cos A0 Vřy^sin A0 JČ(z)\x2C(z) - r, - r2] = z5(z) - 1, [*2C(z)-Ti- r2] = z5(z) - 1, *2C(z) = r, + r2+A zS(z) - 1 (3.340) Nyní jsme na pravé straně rovnice obdrželi funkci, která je již závislá pouze na jedné proměnné z. Označíme-li ji jako samostatnou funkci z5(z) - 1 y(z) = Tl+r2+A (3.341) pak rovnici (3.340) můžeme zapsat ve velmi jednoduchém tvaru X = y(z) C(z)' (3.342) Nyní můžeme získanou relaci (3.342) mezi bezrozměrovou proměnnou z a univerzální proměnnou x dosadit do rov. (3.338). Po dosazení obdržíme V^At = y(z) C(z) 5(z) + AyjC{z). (3.343) Řešení uvedené rovnice pro neznámou z je možné pouze iteračním postupem. Použijeme Newton-Raphsonovou metodu, [56], pro niž si rovnici přeformulujeme na funkci 3 F(z) = C(z) S(z) + Ay/C(z) - ^At. (3.344) Derivaci uvedené funkce obdržíme ve tvaru F\z) = 1 í[2C(z)S'(z) - 3C'(z)S(z)]y(z)2 2Vy(z)C(z)5 l 4C(z)ž + 3C(z)S(z)y(z) (3.345) 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP kde funkce C'(z) a S'(z) jsou derivace Stumffových funkcí, které jsou dány rovnice-(3.332), (3.333) a funkce y'(z) je získána derivací rov. (3.341) ve tvaru A y'00 = 2C(z)3/2 což lze upravit na jednoduchý tvar {[1 - zS(z)]C'(z) + 2[S(z) + zS'(z)]C{z)}, y'(z)=-v/Č(i). (3.31 Dosazením do rov. (3.345) a dalšími postupy uvedenými ve výše zmíněné literátu autoři dospěli k následujícímu vyjádření výrazu pro derivaci F'(z) pro případ z 0 F'00 = fyOO" kooj C(z)- 3 5(z) 2C(z) + A + 8 c 00 ^JyOO 3 5(z)2] 4 C(z) j a pro případ z = 0 je třeba použít výraz VI 3 yl F'00 = -y(0)í + - V>'(0) 2y(0) (3.347 (3.34 Takto získané funkce jsou pak použity pro iteraci Newton-Raphsonovou metodou [56] dle rekurentního vztahu F(zt) zi+l — zi + ' (3.349) Nyní je třeba vhodně zvolit počáteční hodnotu z0. Jelikož dopředu neznáme typ oběžné dráhy, můžeme jednoduše začít od nulové hodnoty z0 = 0 nebo si vypomoci vykreslením funkce F(z) a na základě grafu zvolit počáteční hodnotu v místě kde funkce F(z) mění znaménko. Dosazením rovnic (3.342) a (3.343) do výrazů (3.327) až (3.330) získáme výsledné vztahy pro Lagrangeovy koeficienty 2 f = t-9 = 7č rzrx m COO = l y00 C(z) C(z) 5(z) + iivyôô [zS(z) - 1], i fy00V cr . . (yôô (3.350) (3.351) (3.352) 47 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP 9 7 = 1- C(z) = 1 - y(z) (3.353) Jakmile na základě iteračního procesu získáme hodnotu proměnné z s vyhovující přesností můžeme ji dosadit do rov. (3.341) a stanovit hodnotu y. V dalším kroku vypočteme hodnoty Lagrangeových koeficientů dle rov. (3.350) až (3.353). Nyní můžeme na základě známých hodnot Lagrangeových koeficientů přistoupit k výpočtu vektorů rychlosti Vx a V2 dle dříve uvedených rov. (3.321) a (3.322). Konečně můžeme použitím vektorů rj a Vx nebo r2 a V2 určit elementy dráhy nám již známým postupem uvedeným v kap. 3.6 (příklad 3.8). 3.8 Vliv nesféričnosti Země na oběžnou dráhu Doposud jsme probírali pohyb kosmických těles v homogenním centrálním gravitačním poli bez uvažování jakýchkoliv vnějších rušivých vlivů. Skutečnost je však poněkud jiná a výsledky uvedených ideálních řešení je třeba víceméně korigovat dle aktuálních podmínek. Problematika pohybu kosmického tělesa na oběžné dráze s uvážením všech doposud známých rušivých vlivů je však úloha značně obtížná. Výklad těchto vlivů by si vyžadoval samostatnou monografii. Proto čtenáře odkazujeme na speciální literaturu, např. [17], [20]. Zde si uvedeme jen vliv nesféričnosti Země na pohyb kosmického objektu na oběžné dráze Země. Jak již bylo uvedeno v kap. 3.7.2, Země má tvar rotačního elipsoidu. Gravitační síla v tomto případě nepůsobí na obíhající objekt ve směru geocentrické normály, nýbrž působí ve směru lokální geodetické normály, která nesměřuje do středu centrálního tělesa. Z toho vyplývá, že tato síla nezávisí jen na vzdálenosti od středu přitažlivosti, ale závisí ještě na zeměpisné šířce. Tento vliv je standardně vyjadřován pomocí bezrozměrových parametrů, které nazýváme zonálními harmonickými koeficienty. Speciálně vliv zploštění Země je vyjádřen tzv. druhým zonálním harmonickým koeficientem označeným symbolem J2. Pro každé centrální těleso (planetu) má jinou, avšak konstantní hodnotu. Pro Zemi byla stanovena hodnota druhého harmonického zonálního koeficientu J2 = 1,08263.10"3 [1]. Výsledné zrychlení, které platí pro keplerovské dráhy je nyní nutno doplnit o další člen p, který vyjadřuje poruchové zrychlení. V tomto duchu upravíme rov. (3.88) na tvar Složky poruchového zrychlení vyvolané nesféričnosti Země závisí na parametrech dráhy a zmíněném druhém harmonickém zonálním koeficientu J2. Složky vektoru poruchového zrychlení byly odvozeny např. v lit. [55]. Moduly těchto složek ve směrech radiálním, transverzálním a ve směru normály k oběžné dráhy jsou dány výrazy (3.354) \~) t1 - 3 sin2 i sin 2(w + 0)], (3.355) 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Po = -^;2(^)'sin2isin[2(o) + 0)], 3 fi /rz\2 pn = --—y2(—J sin2ísin(w + 0). (3.3? (3 Vliv nesféričnosti Země se sice projeví změnami všech parametrů oběžné dráhy, mezi hlavní důsledky patří stáčení uzlové přímky a změna argumentu perigea o' dráhy. 3.8.1 Stáčení (regrese) uzlových bodů oběžné dráhy Kromě vlivů na různé parametry oběžných drah, je v uvedeném zdroji [55] odvoz výše uvedeného normálového zrychlení pn na časovou změnu délky vzestupné ve tvaru h sin(o) + 0) n = ^(l + ecos0)siniPn- í3 Další složky poruchového zrychlení se na tomto parametru oběžné dráhy nep Pokud budeme uvažovat průměrnou časovou změnu délky vzestupného uzlu za celou periodu lze po úpravách dospět ke konečnému výrazu pro průměrné poo uzlové přímky ve tvaru ň 2(1 -e2)2 a7/2 cos í. (3. Z uvedeného vztahu vyplývá, že pro přímé (prográdní) oběžné dráhy (0 < i obdržíme zápornou hodnotu Cl < 0. To znamená, že v tomto případě se uzlová stále pootáčí západním směrem. U nepřímých (retrográdních) oběžných drah je naopak. A v případě polární oběžné dráhy se sklonem i = 90° se poloha uzlové nemění. 3.8.2 Změna argumentu perigea oběžné dráhy Na rozdíl od vlivu poruchového zrychlení v důsledku nesféričnosti Země na uzlových bodů je časová změna argumentu perigea oběžné dráhy závislá na složkách poruchového zrychlení dle vztahu r cos0 co cil (2 + e cos 0) sin 0 rsin( 0. Perigeum se pohybuje ve smyslu oběhu kosmického tělesa. Naopak v rozsahu sklonů mezi těmito kritickými hodnotami 63,43° < i < 116,57° je co < 0. Perigeum se pohybuje proti smyslu pohybu kosmického objektu. 3.9 Speciální typy oběžných drah Významné místo mezi různými typy oběžných drah zaujímají synchronní a stacionární dráhy umělých družic. Synchronní oběžné dráhy jsou ty, u nichž je siderická doba oběhu stejná, jako je doba rotace nebeského tělesa, kolem něhož obíhá nebo je v poměru celých čísel. V tomto případě kosmický objekt v pravidelných intervalech přelétá nad stejnými místy na povrchu nebeského tělesa. Zatímco stacionární oběžné dráhy jsou ty, které leží v rovině rovníku nebeského tělesa, a jejich siderická oběžná doba se rovná době rotace nebeského tělesa, kolem něhož obíhá. V tomto případě se pak kosmický objekt stále nachází nad jedním místem na rovníku. Ze synchronních drah uvedeme heliosynchronní a geosynchronní oběžnou dráhu. Jako zástupce stacionárních drah probereme geostacionární oběžnou dráhu Země. Přehled ještě doplníme o speciální oběžnou dráhu typu Molnija, [17]. 3.9.1 Heliosynchronní oběžná dráha Země Přehled speciálních oběžných drah začneme heliosynchronní oběžnou dráhou Země, neboť její princip bezprostředně navazuje na skutečnosti uvedené v předchozí části pojednávající o poruchách v důsledku zploštění Země. Jestliže na tyto poruchy oběžných drah běžně nahlížíme jako na nežádoucí a komplikující, u heliosynchronních oběžných drah jich naopak smysluplně využíváme. Heliosynchronní oběžná dráha kosmického objektu kolem Země je typická tím, že časová změna (rychlost regrese) polohy uzlové přímky íl se rovná střední úhlové rychlosti pohybu Země (obecně planety) kolem Slunce. Země obíhá téměř po kruhové dráze s periodou 365,25 (středních) slunečních dní. Úhlová rychlost rotace Země kolem Slunce je dána poměrem 360° - = 0,9856 [°/den]. 365,25 dni Touto úhlovou rychlostí se musí zároveň pootáčet uzlová přímka ve směru rotace Země kolem Slunce. Pak pomocí rov. (3.359) zapíšeme tuto podmínku ve tvaru cos í = -2,06464.1014--= 0,9856 [°/den]. (3.362) (1 — elY a7'2 Konstanta má rozměr [° km7/2/den]. Proto je třeba délku velké poloosy a dosazovat v [km]. Vhodnou volbou sklonu oběžné dráhy i, excentricity e a délky hlavní poloosy a můžeme uvedenou podmínku splnit. Z rov. (3.362) jasně vyplývá, že hodnota cosi musí být záporná, což je splněno pro sklony oběžných drah ť > 90°. Z tohoto poznatku vyplývá, že heliosynchronní oběžné dráhy Země jsou dráhy nepřímé (retrográdní). Popsaný mechanismus synchronní rotace uzlové přímky oběžné dráhy během jednoho siderického dne (23 h 56 m 4 s) při pohybu Země kolem Slunce je znázorněn na obr. 3-44. Z obrázku vyplývá, že kosmický objekt v tomto případě přelétavá danou oblast 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP planety za stejných podmínek osvětlení povrchu planety Sluncem. Úhel a mezi spojm: středů Slunce-Země a uzlovou přímkou vzestupného a sestupného uzlu oběžné dra-zůstává konstantní. heliosynchronni dráha sestupný uzel Obr. 3-44 Heliosynchronni oběžná dráha Země. V době psaní této učebnice byla vypuštěna umělá družice Země VZLUSAT-1. Je to pr česká nanodružice typu CubeSat. Byla vypuštěna na heliosynchronni oběžnou dráh Země pomocí indické nosné rakety PSLV-C38. Realizační tým poskytl autorovi záklaC informace pro edukační účely, které jsou použity v následujícím příkladu 3.15. Příklad 3.15 Zadání: Stanovte periodu a sklon oběžné dráhy české nanodružice Země VZLUSAT-1 vypuštěné heliosynchronni kruhovou oběžnou dráhu v zadané výšce. Potřebná data: Výška oběžné dráhy Gravitační parametr Země Excentricita Úhlová rychlost pootáčení uzlové přímky h = 510 [km], H = 398600 [km3s-2], e = 0, íl = 0,9856 [°/den]. 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Řešení: a) Výpočet oběžné doby dle rov. (3.86), kam místo délky hlavní poloosy dosadíme poloměr kruhové oběžné dráhy (a = rz + h) T = 2n N a* — = 2n (i (6378 + 510)3 = 5689.2 [s] = 1,580 [h] = 1 h 34 m 49 s. 398600 b) Výpočet sklonu oběžné dráhy z podmínky definované rov. (3.362) cos j íí = -2,06464.10" • (1 _e2)2a7/2' odkud získáme výraz pro íi(l-e2)2a7/2 0,9856(6378 + 510)35 C0S1 = -2,06464.10" = -2,06464.10" = ~°A2947 i = arccos(-0,12947) = 97,4 [°]. Na tomto jednoduchém příkladu je potvrzeno, že heliosynchronní družice Země se pohybují po retrográdních oběžných dráhách se sklonem i > 90°. 3.9.2 Geosynchronní oběžná dráha Geosynchronní oběžnou dráhu, např. Země, můžeme definovat obdobně, jak již bylo uvedeno výše v obecné definici synchronní dráhy. V tomto případě je nebeské těleso nahrazeno planetou Země. Takže geosynchronní oběžná dráha je dráha kosmického objektu obíhajícího Zemi, u kterého je siderická doba oběhu stejná, jako je doba rotace Země, nebo je v poměru celých čísel. geosynchronní družice Obr. 3-45 Porovnáni geosynchronní a geostacionární umělé družice Země. Kosmický objekt v pravidelných intervalech přelétá nad stejnými místy na povrchu Země (neuvažujeme rušivé vlivy). Sklon oběžné dráhy je nenulový, avšak relativně malý. Pokud je sklon oběžné dráhy nulový, pak se již jedná o geostacionární oběžnou dráhu. Takže geostacionární oběžná dráha je vlastně speciálním případem geosynchronní 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP oběžné dráhy s nulovým sklonem. Popis geostacionární oběžné dráhy následuje, j Porovnání obou zmíněných oběžných drah je znázorněno na obr. 3-45. 3.9.3 Geostacionární oběžná dráha Mezi často využívané speciální typy oběžných drah patří geostacionární oběžná dráh Jak již bylo řečeno, ve své podstatě se vlastně jedná o speciální případ geosynchroi oběžné dráhy Země. Na těchto drahách se nejčastěji pohybují telekomunikační ne meteorologické umělé družice Země. Obr. 3-46 Geostacionární umělá družice Země. Geostacionární dráha je kruhová oběžná dráha s nulovým sklonem ve specifické nad povrchem Země (obr. 3-46). Výška je odvozena z podmínky, aby úhlová rycr pohybu umělé družice byla stejná, jako je úhlová rychlost rotace Země kolem své Umělá družice umístěná na geostacionární oběžnou dráhu se pak nachází stále stejném místě nad rovníkem (neuvažujeme-li žádné vnější rušivé vlivy). Vzdálenost geostacionární oběžné dráhy od středu Země určíme z III. Keplerova zák (3.86), který s využitím rovnosti a = rCE0 přepíšeme na tvar ,„ /-a 2/3 rGEO = 0„ (3.3ť Výška geostacionární oběžné dráhy je dána relací ^CEO = rGEO ~ rZ- Perioda geostacionární umělé družice musí být rovna jednomu siderickému dni (v stálicím) TCE0 = 23 h 56 m 4 s = 86164 s. Z toho dle rov. (3.363) vyplývá vzdáler 2/3 /86164V398600\ , , rcE0 = {-2^r-J = 42164 lkmí 3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP Výška geostacionární oběžné dráhy hCE0 = rGE0 - rz = 42164 - 6378 = 35786 [km]. 3.9.4 Oběžná dráha typu Molnija V podkapitole 3.8.2 jsme dospěli k poznatku, že existují dvě kritické hodnoty sklonu oběžné dráhy i = 63,43° a i = 116,57°, při nichž nedochází ke stáčení perigea oběžné dráhy v důsledku nesféričnosti Země. Této skutečnosti využívají oběžné dráhy typu Molnija, jejichž typové označení pochází od ruských telekomunikačních družic stejného jména. Ruské telekomunikační družice Molnija jsou vypouštěny na velmi protáhlou prográdní eliptickou oběžnou dráhu se sklonem i — 63,43° s periodou 12 hodin nad severní polosféru Země z kosmodromu Plesetsk (