Slezská univerzita v Opavě – Fyzikální ústav
Fyzikální praktikum I – Mechanika a molekulová fyzika
Jméno: Ročník, obor: Vyučující: Datum měření:
Spolupracující: Název úlohy:
Moment setrvačnosti tělesa,
Steinerova věta
Datum odevzdání:
Číslo úlohy: Hodnocení:
Tento soubor obsahuje stručné pokyny pro měření úlohy a základy problematiky. Další
potřebné i podrobnější informace čerpejte z literatury, pěkně je na netu popsáno např. zde:
https://cs.m.wikipedia.org/wiki/Moment_setrva%C4%8Dnosti
Úkol:
Ze změřených hodnot momentů setrvačnosti a s využitím Steinerovy věty určete hmotnost
daného tělesa (např. válce). Zhodnoťte dosažitelnou přesnost měření.
Pomůcky
- Stolní váhy
- Posuvné měřítko
- Stopky
- Svinovací metr
Teorie úlohy
Užitím odkazu výše:
V teorii zaveďte moment J setrvačnosti tělesa, bude to de facto z jeho definice, a to jak pro
soustavu hmotných bodů, tak pro tuhé těleso. Dál přijde Steinerova věta, k tomu blíže zde:
Steinerova věta:
Moment setrvačnosti tělesa JT vzhledem k ose jdoucí těžištěm a moment setrvačnosti
Ja vzhledem k rovnoběžné ose ve vzdálenosti a spolu souvisejí podle vztahu
2
amJJ Ta  , (1)
kde m je hmotnost tělesa, a je vzdálenost vzájemně rovnoběžných os otáčení.
Vlastní měření - popis a teorie metody
1. Hřídel se dvěma rameny (obr. 1) se otáčí se zanedbatelným třením kolem svislé osy.
Její moment setrvačnosti je J. Na hřídel navineme niť a přes kladku zavěsíme závaží o
hmotnosti m. Působením stálé síly F=mg po dráze h se soustava otáčí rovnoměrně
zrychleným pohybem po dobu T až do vymotání nitě a platí:
Obr. 1
Zákon zachování mech. energie má tvar
22
2
1
2
1
Jmvmgh  (1)
Rychlost v a  lze vyjádřit ze vztahů pro rovnoměrně zrychlený pohyb.
rT
h
T
h
aTv
T
h
a
2
2
2
2




(2)
Dosazením do (1) a úpravou vyjádříme J
2
2
2
rm
h
mgT
J 





 (3)
Podle parametrů úlohy lze druhý člen v závorce i zanedbat a pak platí
h
mgTr
J
2
22
 (4)
2. Na ramena umístíme do vzdálenosti a od osy otáčení dvě tělesa (válce) stejné
hmotnosti a stejných rozměrů. Moment setrvačnosti pravidelných těles vzhledem
k těžišti lze vypočíst, nechť je v našem případě VJ . Podle Steinerovy věty moment
dvou válců hmotnosti Vm ve vzdálenosti a je
 2
2 amJJJ VVa  , (5)
který opět můžeme pomocí popsané metody změřit a vypočíst podle vztahu (5). Čas T
bude větší.
Abychom se vyhnuli použití teoretického vztahu pro VJ , vyloučíme ho z měření
následovně - válce umístíme postupně do vzdálenosti a1, a2. Odpovídající časy nechť
jsou 1T , 2T .
Platí
 2
11 2 amJJJ VVa  (6)
 2
22 2 amJJJ VVa  (7)
Rovnice odečteme a vyjádříme Vm :
 2
1
2
2
12
2 aa
JJ
m aa
V


 (8)
Vyloučili jsme nejen VJ , ale i J, tj. moment setrvačnosti soustavy, na kterou
umísťujeme válečky.
Vyjádříme-li anJ pomocí vztahu (4), pak
 
 2
1
2
2
2
1
2
2
2
4 aah
TTmgr
mV


 , (9)
takže můžeme určit hmotnost daného tělesa – to je dle zadání náš úkol.
Pomůcky
- Stolní váhy (vážíme metodou 3 kyvů, to ostatně vždy)
- Posuvné měřítko
- Stopky
- Svinovací metr
Postup měření
1. Změřte průměr (a následně vypočtěte poloměr r) hřídele.
2. Na stolních vahách zvažte závaží o hmotnosti m.
3. Změřte délku odmotávaného provázku a určete tak hodnotu h.
4. Do vzdálenosti 1a od osy umístěte na obě ramena dva stejné válce a změřte čas 1T .
5. Opakujte pro další 2a , 3a .
6. Podle vztahu (9) vypočtěte hmotnosti Vm pro 10 vzdáleností a.
7. Hmotnost Vm a porovnejte s hodnotou získanou vážením.
Nyní proveďme vlastní měření, hodnoty zapisujme do tabulky:
- následuje kompletní měření se zpracováním výsledků – viz Protokol - vzor
Závěr.
Porovnejte a zhodnoťte výsledky měření oběma metodami, určete celkový výsledek
s ohledem na zhodnocení přesnosti obou metod, všechny výsledky uveďte v Závěru.