Limita a derivace funkce
Definice funkce
Budiž M nějaká množina reálných čísel. Jestliže každému číslu x množiny M je přiřazeno určité číslo y, říkáme, že y je funkcí x. Množinu M nazýváme oborem této funkce.
Označení: y = f(x)
Grafem funkce f(x) je množina všech bodů v rovině, jež mají souřadnice [x, f(x)], kde x G M. Příklady funkcí
Lineární funkce  y=kx+q k - směrnice funkce
Směrnice funkce je rovna tangentě úhlu, který svírá graf lineární funkce s osou x. Graf funkce y = x+1
	y = x + 1								
-				4 3 2 ly	y				
									
									
									
									
	i	i	i /-	1 1 -1	:	:	: :	; ■	
									
									
									
Tato funkce je definována na celé množině reálných čísel.
Na celé množině reálných čísel jsou také definovány např. funkce y = x2, y = sin x, y = cos x. Některé funkce ale nejsou definovány na celé množině reálných čísel. Např.
Nepřímá úměrnost y = -    x£ (—oo, 0) U (0, oo)
Logaritmická funkce y = In x  x £ (0,oo)
Limita funkce
Funkce y = f(x) nemusí být v některém bodu definována. Nás zajímá, jak se tato funkce chová v okolí tohoto bodu.
Okolím bodu a rozumíme každý otevřený interval, který obsahuje bod a. Příklad:
x2 —1
y = Tato funkce není definována v bodě x = 1.1 když ji můžeme upravit na y = x +1
není stejná jako funkce y = x+1 z předchozího příkladu. K zjištění jak se chová v okolí bodu 1, použijeme limitu.
Definice limity
Funkce f(x) má v bodě a limitu b, jestliže ke každému kladnému číslu s existuje kladné číslo n takové, že pro všechna xí az okolí (a - n, a + n) čísla a, patří funkční hodnoty f(x) do okolí (b - s, b + s).
Zapisujeme: lim f(x) = b)
x->l
x2-1 (x-l).(x+l) ŕ     ,  „ x       .   , .
V našem prípade lim -= lim---- = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2
x->l   x-l      x^l       x-1 x^l
Funkce má limitu i v bodě, němž je definována. V toto případě se limita rovná funkční hodnotě.
Derivace funkce
Máme-li vést v bodě P tečnu ke křivce (viz obrázek), musíme zavést pojem derivace funkce.
7			
Ir v	* -M^M^— _     _ .-----		
			I
	/		
	////		
ů / r \	__		
	_S /	ŮX	
			
			
			X
_1			
Snadno lze určit směrnici sečny PQ.
^ _ Ay _ /(x0+Ax)-/(x0) Ax Ax
Bude-li se zmenšovat vzdálenost bodů P a Q, bude se tato směrnice stále více blížit směrnici tečny křivky.
Definice derivace funkce v bodě
Nechť je funkce f(x) definována v bodě xo a nějakém jeho okolí. Existuje-li vlastní limita
/"(xq+Ax)_/"(Xq)
lim ---—, nazýváme tuto limitu derivace funkce f(x) v bodě xo.
Ax^O Ax
Derivace můžeme hledat i v dalších bodech a ke každému bodu přiřadit derivaci funkce v tomto bodě, pokud existuje. V tomto případě můžeme derivaci pokládat za funkci proměnné x. Tuto funkci lze také derivovat. Získáme pak derivaci druhého řádu.
Označení derivace funkce y = f(x):
Vzorce pro výpočet derivací
y = c (c je konstanta)    y' = 0
y = xn
y = In x
y = logax (a > 0)
y = ex
y = ax (a > 0 ,a^ 1) y = sin x y = cos x
y = tgx
y = cotg x
u a v jsou funkce
y = n x
n-l
, 1
y = z
y =
x lna
y = e
n je přirozené číslo
x £ (0,oo) (In x je přirozený logaritmus x) x £ (0,oo) x £ (— oo , oo) e - Eulerovo číslo e= 2,718281 y'=axlna   x£ (—00,00) y'= cos x    x £ (— 00 , 00)
y'= - sin x   x £ (— 00 , 00)
1
y =
y =
x ^ (2k+1^n t k je ce|é číslo
sin^x
x ^kn, k je celé číslo
derivace součtu (u + v)' = u'+v' derivace součinu (u v)' =u'v+uv'
. ,„ u v-u v
derivace podílu (-) =--—
derivace složené funkce f'(g(x)) = f (x). g'(x)
Příklad užití derivací ve fyzice
Rychlost je první derivací dráhy podle času. Zrychlení je druhou derivací dráhy podle času. s-dráha v-rychlost   a-zrychlení Pohyb rovnoměrný přímočarý
s =v t
ds _ ^ d2 s _ q dt ~       dtz ~
pohyb rovnoměrně zrychlený
t2 ds dz s
s = a —      — = a t = v —-
2 dt dt2
= a