Základy teorie interagujících polí 1 Úvodní poznámky Teorie volných (neinteragujích) polí, která byla obsahem předmětu Kvantová teorie pole I, nepřinesla ve srovnání s kvantovou mechanikou žádné nové postupy jak vypočíst měřitelné veličiny a porovnat je s experimentem. Největším přínosem teorie volných polí byl popis elektromagnetického záření jako toku částic-fotonů, který se v rámci kvantové mechaniky nezdařil. V kvantové mechanice se interakce kvantověmechanických soustav (atomy, molekuly, částice, pevné látky) s elektromagnetickým zářením popisovala jako interakce s klasickým elektromagnetickým vlněním. I když tento semiklasický popis elektromagnetických jevů slavil určité úspěchy (zřejmě nejvýznamnějším byla předpověď stimulované emise Albertem Einsteinem v roce 1917), nedal se považovat za logicky konzistentní teorii. U všech polí které jsme doposud zkoumali, komutovaly jejich Hamiltonovy operátory s operátory počtu částic v jednotlivých kvantových stavech. Tyto počty tak byly dobrými kvantovými čísly. Procesy ve kterých dochází k jejich změně (rozptyl částic, vznik částic nebo jejich anihilace, rozpady částic se vznikem částic jiných) jsou tak v kvantové teorii volných (neinteragujích) polí zakázané. Přidání interakčního hamiltoniánu má za následek, že operátory počtu částic přestávají komutovat s hamiltoniánem. Počty částic, či už v jednotlivých kvantových stavech nebo celkově, se můžou měnit, co umožňuje teoreticky popsat různé procesy. Jsou různé způsoby volby interakčního hamiltoniánu, od jednoduchých modelů až po moderní kalibrační teorie elektroslabých a silných interakcí, o kterých si řekneme něco později. Teď si ukážeme, jak se získá hamiltonián spinorové elektrodynamiky, tj teorie která popisuje interakci nabitých leptonů (elektrony, pozitrony, miony, tauony) s kvanty elektromagnetického pole, fotony. 2 Hamiltonián spinorové elektrodynamiky Vycházíme z klasické Lagrangeovy hustoty která vede na Maxwellovy rovnice respektující přítomnost nabitého čtyřproudu ja [viz vztah (51) v elmagpole.pdf] £m = £m,o + £', kde £m,0 = --Fa/3Fal3 je Lagrangeova hustota volného (bez nábojů) elektromagnetického pole a C = -jaAa popisuje interakci elektromagnetického pole s elektrickými náboji. Ještě použijeme Lagrangeovu hustotu volného spinorového pole [vztah (1) v spinpole.pdf] CD = ^ \ý(x)^(d^(x)) - (d^(x))^^(x)] - mtp(x)tp(x) a výraz pro čtyřvektor hustoty toku náboje pro částici popsanou Diracovou rovnicí f{x) = (-e)^(x)^(x) , který jsme dostali tak, že jsme čtyřvektor hustoty toku pravděpodobnosti [vztah (68) v ktpl_201012.pdf] vynásobili nábojem částice (elektronu). 1 Lagrangeovu hustotu spojeného elektromagnetického a spinorového pole zapisujeme ve tvaru £ = £0 + £', kde £o = £d + £m,o je součet Lagrangeových hustot volných polí a popisuje interakci mezi poli. V dalším kroku najdeme Hamiltonovu hustotu pomocí vztahu (30) z ktpl_201026 pro mnohokomponentní pole fa (i = l,...,n), který tady pro pohodlí čtenáře r epr o dukuj eme n{faTT) = YiTTi{x)fa{x)-C{fad(l>). (1) i=l Pro spojené spinorové a elektromagnetické pole je n = 12 (osm komponent spinorového pole a čtyři komponenty pole elektromagnetického). Ke každé komponentě pole přísluší odpovídající komponenta konjugovaného pole o(pofa) [vztah (29) z ktpl_201026]. Protože interakční Lagrangeova hustota C neobsahuje derivace polí podle času, konjugovaná pole se zapnutím interakce mezi poli nezmění. Nezmění se ani suma ve vztahu (1). Hamiltonova hustota je proto rovna Ti = TLq + Ti' , kde Tio je součet Hamiltonových hustot spinorového a volného elektromagnetického pole a Ti' = —£', tudíž Ti' = -elp(x)-fai>(x)Aa(x) (3) Po přechodu ke kvantové teorii a integraci přes prostor dostáváme pro Hamiltonův operátor soustavy polí H = H0 + H', kde ^o = E ep (X> + %,s) + E "kŇk,x P>s k,\ je součet hamiltoniánu volného spinorového pole [vztah (31) v spinpole.pdf] a volného elektromagnetického pole [vztah (68) v elmagpole.pdf]. Dále, ve Schródingerově obraze píšeme H'= J Ti'(x)d3x, (4) kde ^ TL'(x) = -e :1p(x)-fai>(x)Áa(x): . (5) Jako obvykle, i zde jsme předepsali pořadí operátorů ve smyslu normálního součinu. 2 3 Interakční obraz (Dirac picture) Mějme Hamiltonův operátor ve tvaru H = H0 + H', kde Hq je Hamiltonův operátor volných polí a H' je operátor popisující interakci mezi poli. Ve Schródingerově obraze jsou operátory od času nezávislé a časový vývoj stavu je popsán rovnicí idt\iP;t)s = H\i/>;t)s. (6) Přechod do Diracova obrazu se realizuje unitární transformací stavů a operátorů |V;*)d = Ů{t)\i/>;t)s (7) ÔD(t) = Ů(t)OsŮ\t) (8) s unitárním operátorem Ú(t) = éňot. (9) Pro časovou derivaci stavového vektoru v novém obrazu postupně dostáváme pomocí (7), (9), (6) a (8) idt\ip;t)D = -eiňotH0\iP;t}s+eiňotH\iP;t}s = ŮH'\^t)s = ÚŔW Ů\^t)s. Výsledná rovnice idt\i>;t)D=H'D(t)\i,;t)D (10) ukazuje, že časový vývoj stavu v Diracově obraze je dán rovnicí Schródingerova typu, kde však na pravé straně je místo celkového hamiltoniánu jenom interakční hamiltonián. Ten závisí od času, jak plyne ze vztahů (8) a (9), protože s operátorem Hq nekomutuje. Po vypnutí interakce se dostáváme do Heisenbergova obrazu volných polí, stavový vektor se stává konstantním. Bez ohledu na to, jestli je interakce zapnutá či nikoliv, operátory v Diracově obraze jsou stejné jako v Heisenbergově obraze pro volná pole, jak je vidět ze vztahů (8) a (9). Tyto operátory byly odvozeny v přednáškách z Kvantové teorie pole I a budou beze změny použity i zde. V dalším budeme pracovat výhradně v interakčním obraze a proto už nebudeme index D u stavů a operátorů explicitně vypisovat. Uveďme jako příklad hamiltonián interakce mezi spinorovým a elektromagnetickým polem v interakčním obraze. Když se vztahy (4) a (5) přejdeme do interakčního obrazu, dostáváme H'(t) = í n'(x)d3x, (íi) pricemz Ů'{x) = -e :1p(x)-fai>(x)Áa(x): . (12) Operátory polí v interakčním (Diracově) obraze, které závisí od čtyřvektoru x, jsou stejné jako operátory polí v Heisenbergově obrazu pro volná pole, jak jsme je odvodili v KTP I. 3 4 Evoluční operátor a jeho poruchový rozvoj Časový vývoj stavu se dá popsat jako unitární transformace1 \il>;t)=Ú(t,t0)\il>;t0) (13) Operátor zde vystupující musí splňovat podmínku W(t, to)U(t,to) = l, která zaručuje zachování normy stavového vektoru, jakož i podmínek ř7_1(í, íq) = U(to,t), č7(ío, ío) = 1 a U (t, ť)U(t', íq) = U(t,to). Po dosazení (13) do (10) dostáváme rovnici idtÚ(t,t0) - H'(t)Ú(t,t0)] |V;ío) =0. Aby tato rovnice platila pro libovolný počáteční stavový vektor, pro evoluční operátor musí platit dtŮ(t,t0) = -iH'(t)Ů(t,t0). Tuto rovnici převedeme na integrální č7(Mo) = l-i / dŕi#'(ŕi)l7(ŕi,ŕo), která se dá výhodně řešit iterační metodou postupných aproximací č7«(Mo) = 1 - i ľdhH'it^Ú^ituto) J t0 s = 1. Po n krocích dostáváme ř7^(í,í0) = l + E(-i)fc / d*i^'(*i) / dŕ2#'(ŕ2)... / ~ dtkH'(tk). (14) fc_l ■'ÍO ■'ío ■'ÍO Zde vystupující fc-rozměrný integrál označíme jako Ik a využijeme, že operátory H'(ti), H'fo), ■ ■., H'{tk-i) se vzhledem ke všem po nich následujícím integrálům chovají jako konstanty, takže je můžeme přesunout až do posledního integrálu. Máme tak h= /díi/ dí2.../ ~ dtkH'(t1)H'(t2)...H'(tk). (15) ■'ío ■'ío ■'ÍO Pomocí funkce „/ n íl if x > 0 6/(a; J = 0 if x < 0 můžeme (15) přepsat na tvar se stejnými horními integračními mezemi ve všech integrálech h = fdti fdŕ2... fdtk e{h - t2)e(t2 - *3) • • • 0(tk-i - tk) #'(ŕi)#'(ŕ2)... Ř'(tk). (16) J to J to J to Teď využijeme, že pro libovolnou integrovatelnou funkci k proměnných t±,...,tk platí vztah / díi / dí2 ... / dtk /(íi,í2,... ,tk) = — / díi / dí2 ... / dtk /(* ■'ÍO ■'ÍO ■'ÍO ■'ÍO ■'ÍO ■'ÍO perm. (17) 1Je to podobná situace jako v klasické mechanice, kde se pohyb dá popsat jako kanonická transformace zobecněných souřadnic a hybností. 4 kde se sčítá přes všechny permutace argumentů. Vyplývá to z toho, že hodnota integrálu se nezmění, když n proměnných přeznačíme na jejich libovolnou permutaci a pak pořadí integrací změníme na původní (meze jsou ve všech integrálech stejné, jedná se o rektangulární oblast). Když jako funkci / teď vybereme integrand integrálu (16), ze vztahu (17) dostáváme Ik = T\ Ídtl Ídtz • • • Ídtk P[H'{h)H'{t2)... H'(tk)}, (18) fc- Jt0 Jto Jto kde jsme zavedli Dysonův chronologický operátor P, který uspořádává součin operátorů podle časového argumentu P[H'{t1)H'{t2)...H'{tk)} = 0(tai-ta2)9(ta2-ta3)...9(t ak-i~tak) H'{tai)H'{ta2) . . . H'(tak). perm. Tady součet přes všechny permutace obsahuje, díky přítomnosti funkcí 9, jen jeden člen, konkrétně ten, kde jsou operátory uspořádány podle časového argumentu, od největšího po nejmenší.2 Dysonův chronologický operátor P můžeme v (18) nahradit Wickovým chronologickým operátorem T, který se liší od P tím, že při chronologickém uspořádávaní se za každou vzájemnou výměnu fermionových operátorů změní znaménko součinu. Interakční hamiltonián spinorového pole s libovolným jiným polem obsahuje dva fermionové operátory [viz např. (12)]. Při použití operátoru T se při záměně pořadí dvou hamiltoniánů změní znaménko čtyřikrát, takže výsledek je stejný jako při použití operátoru P. Nahrazení operátoru P operátorem T ve vztahu (18) nám později umožní používat Wickovu větu, která platí pro T operátor, ale ne pro P operátor. V limitě n —> oo ze vztahu (14) tak dostáváme evoluční operátor ve tvaru nekonečné řady Ú(t, t0) = 1 + V / díi / dí2 ... / dtk Ť[H'{t{)H'{t2) • • • H'(tk)], (19) k=1 fc- Jto Jto Jto nazývané Dysonovou řadou (Dyson serieš). My z ní budeme využívat jenom první členy (po k = 2). Dysonova řada se dá kompaktně zapsat vztahem Ů(t,t0) =Ťexpj-i^" H'(ť)dť^ , nazývaném Dysonovým vzorcem (Dyson formula). Doporučujeme čtenáři, aby si napsal první tři členy rozvoje exponenty v Dysonově vzorci a ověřil jejich kompatibilitu s odpovídajícími členy Dysonovy řady. 5 Pravděpodobnost přechodu, amplituda procesu Předpokládejme, že se soustava interagujících polí v čase íq nacházela ve stavu \i), tj, že platilo \ip;to >= \i >. Stav \i) ve charakterizován typy částic a jejich hybnostmi. Jako příklad uveďme stav, ve kterém se nachází jeden elektron s hybností pa ve spinovém stavu sa a jeden pozitron s hybností j% ve spinovém stavu sj,. Pak bude \i) = bl dl 10). 1 ' Pa,Sa Pb,Sbl / 2Tento způsob úpravy integrálu (15) pochází od F. J. Dysona [Phys. Rev. 75, 486 (1949)] a byl převzat např. do učebnice S. S. Schwebera (An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, p.332). V učebnicích se často dokazuje jen případ fc = 2 a odvolává se na zobecnění, nebo se jednoduše jenom napíše výsledek. Existuje i důkaz ekvivalence vztahů (15) a (18) matematickou indukcí (S. M. Bileňkij, Vvedenije v diagramy Fejnmana i riziku elektroslabovo vzaimodejstvija, Moskva, Energoatomizdat 1990), ale ten je mnohem komplikovanější. 5 Stav soustavy v čase t bude podle (13) dán vztahem IV; *) = Ů(t,t0)\i). Tento stav bude superpozicí všech možných stavů, do kterých se stav \i} může vyvinout vlivem uvažované interakce. V našem příkladu by to byly, při uvažování interakce (12), stavy e~e+, e~e+7 (písmenem 7 označujeme foton), 77, 777 a mnohé další, méně pravděpodobné. Při uvažování dalších interakcí by to mohly být i stavy 7r+7r~, 7r+7r~7r°, pp, atd. Chceme teď zjistit, jaká je pravděpodobnost, že soustava se bude v čase t nacházet v určitém specifickém stavu |/). Amplituda této pravděpodobnosti je rovna skalárnímu součinu (/IV; t) = (f\Ů{t,t0)\Í) = Ufi{t,t0), tj maticovému elementu evolučního operátoru mezi zadaným počátečním (initial) a uvažovaným koncovým (finál) stavem. Příslušná pravděpodobnost přechodu ze stavu \i) do stavu |/) je rovna Pfi(t,t0) = \Ufi(t,t0)\2 . (20) Jestliže v našem příkladu zvolíme |/\ = ct ČÍ 10) vztah (20) nám poskytne pravděpodobnost, že v čase t najdeme místo původního elektron-pozitronového stavu dva fotony, jeden s hybností k\ a polarizací Ai, druhý s hybností &2 a polarizací A2. Formulováno jinak, získáme pravděpodobnost, že během časového intervalu r = t — to dojde k procesu (reakci) e~e+ —?► 77. Maticový element evolučního operátoru parametrizujeme vztahem (o oprávněnosti této parametrizace se přesvědčíme při výpočtu Uf í různých konkrétních procesů) Ufi{t, t0) -5fi = K iM D(t, t0, Pf, Pí) . (21) kterým je definována amplituda M uvažovaného procesu. Význam ostatních symbolů je následující: • Symbol Sfi je roven jedné, když konečný stav je identický s počátečním, jinak je nulový. • Veličina K závisí na výběru normalizace jednočásticových stavů. Při našem normování na konečný objem V je rovna ff=n^s' (22) kde součin probíhá přes všechny zúčastněné částice (v počátečním i koncovém stavu) a Ei je energie ité částice v soustavě hmotného středu (cms, center of mass systém). • Funkce D(t,to, Pf, Pí) je definována vztahem D{t,tQ,V,Pf,Pl)= ľ áť I dVe^-P')*' (23) Jt0 J (V) kde Pf je celková čtyřhybnost konečného stavu a Pj celková čtyřhybnost stavu počátečního, čtyřvektor x' = (t',xr). V limitě to —> —00, t —> 00, V —> 00 snadno ve funkci D (23) rozpoznáme jednu z možných reprezentací Diracovy čtyřrozměrné delta funkce D(t,t0,V,Pf,P) -^(27T)4ó^(Pf-P), (24) 6 lim D(t,t0,V,Pf,Pi) = {2^)H^\Pf - Pí) —oo t -V +00 00 která vyjadřuje zákon zachování energie a hybnosti. Na druhé straně, když položíme Pf = Pí tak dostáváme D(t,t0,V, P,P) = Vt (25) kde r = t — t$. Vztahem (21) definována amplituda M je funkcí kinematických veličin charakterizujících uvažovaný proces a kvantových čísel participujících částic, které specifikují jejich spinové stavy, resp. polarizace. Pravděpodobnost přechodu a amplituda procesu představují teoretické veličiny, které jsme schopni pomocí kvantové teorie interagujících polí spočíst. To ale nejsou veličiny které se dají změřit v experimentu. Experimentálně měřitelnými veličinami jsou např. účinné průřezy reakcí vyvolaných srážkou dvou částic, nebo rychlost rozpadu mateřské částice na dvě nebo více částic (související se střední dobou života nebo poločasem rozpadu). Je proto potřebné vybudovat most mezi teorií a experimentem. V dalším si odvodíme vyjádření účinného průřezu binárních reakcí (dvě částice v počátečním stavu, dvě v koncovém) pomocí amplitudy. 6 Účinný průřez Uvažujme o dvou protínajících se svazcích částic (obr. 1). Ve svazku a je hustota částic pa, jejich rychlost je va a hybnost každé z nich pa, podobně i ve svazku b. Střední počet (jedná se o kvantovou střední hodnotu) interakcí mezi částicemi svazku a a svazku b ke kterým dojde za čas r v objemu V je úměrný hustotám částic ve svazcích, jejich relativní rychlosti (když částice a a b letí vedle sebe se stejnou rychlostí, k interakcím nedochází, k nejvíce interakcím dochází jestliže částice letí přímo proti sobě), objemu a času. Konstantu úměrnosti jsme označili jako a a vyznačili její závislost na hybnostech částic, ze kterých můžeme určit nejenom jejich rychlosti, ale i jejich energie a celkovou energii srážky. Její fyzikální rozměr je stejný jako fyzikální rozměr obsahu plochy (m2, barn=10~28 m2, ...), nazývá se účinným průřezem. Obrázek 1: K obecné definici účinného průřezu. (26) 7 Podle výsledku interakcí, tj. koncového stavu, rozlišujeme různé druhy účinného průřezu. Když pod n v definici (26) rozumíme počet všech interakcí, bez ohledu na to, co v nich vzniklo, mluvíme o totálním účinném průřezu, ci + C2. (30) Může se jednat o pružný rozptyl (např. 7 + e~ —> 7 + e~, e+ + e~ —> e+ + e~ nebo o binární reakci (např. e+ + e~ —^7 + 7, e+ + e~ —> p+ + p~). Při detailnějším popisu reakcí mezi částicemi se nezajímáme jenom o to, jestli k reakci dojde, ale i o to jaké jsou parametry finálního stavu. Můžou se definovat různé diferenciální účinné průřezy. Často se používá diferenciální účinný průřez který popisuje úhlové rozdělení jedné z finálních částic ve zvolené vztažné soustavě. án = ^- papb\va - vb\ V t drž, (31) díl kde dn je střední počet interakcí při kterých vyletí částice o kterou se zajímáme do elementu prostorového úhlu díl = sin#d#d —oo t —> +00 Tento operátor se nazývá S-operátorem. Jeho působením dostáváme ze stavového vektoru v čase to = —00, který označíme jako \i), stavový vektor v čase t = +00 |V>; +00) = S Amplituda pravděpodobnosti, že uvažovaná kvantová soustava se bude v čase t = +00 nacházet v určitém vybraném stavu |/) je rovna 2 podle (20) a (21) rovna Pf.t(t,t0)=K2\M\2\D(t,t0,Pf,Pt)\2 (33) Zde narážíme na problém. Jak bylo uvedeno v sekci 7, k porovnání s experimentem musíme nakonec učinit limitní přechod (32). Při tomto limitním přechodu z funkce D dostáváme násobek Diracovy delta funkce [viz (24)]. Ale kvadrát delta funkce nemá smysl, ani když delta funkci interpretujeme pomocí teorie distribucí. Pomůžeme si tak, že na jednu D funkci aplikujeme limitní přechod (24) a pak pro výpočet druhé použijeme vztah (25). Když ještě využijeme (22), vztah (33) přechází na P* = V3£;^lEJ^lW/-A), (34) kde r = t—íq je doba trvání procesu. Argumentem čtyřrozměrné delta funkce je rozdíl čtyřvektoru energie-hybnosti v konečném stavu Pf = p\ + p2 a toho ve stavu počátečním Pj = pa + Pb- Počítejme pravděpodobnost, že částice c\ vyletí s hybností z intervalu (pi,p*i +dpi) a částice c2 vyletí s hybností z intervalu (p2,P2 + dp2)- Tuto pravděpodobnost dostaneme vynásobením pravděpodobnosti přechodu do jednoho stavu (34) počtem stavů 6 _ Vd3Pl Vd3p2 Ú ^ " ^ (2tt)3 (2tt)3 ' 9 kde jsme využili, že počet stavů je pro obě finální částice dán objemem fázového prostoru poděleného fázovým objemem který připadá najeden stav, tj (27r)3 (viz ktpl_201912.pdf str. 4). Po dosazení za Pfi ze vztahu (34) a rozepsání čtyřrozměrné delta funkce na dvě dostáváme Integraci přes P2 provedeme s využitím třírozměrné delta funkce (v dalším musíme všude položit P2 = —pi) a objemový element d3pi rozepíšeme ve sférických souřadnicích (používáme zjednodušené označení \p\\ = pi): rrp" = JwiiS{El + E2 ~ ^ A ipi df! V dalším kroku vyintegrujeme přes p\. Je to trochu komplikovanější, protože v argumentu delta funkce nemáme přímo p±, ale funkci od p\. Použijeme proto známy vzorec n 1 = | ^/ \\S(X ~ Xí)' (35) i=1 IV \x'i)\ kde funkce (f(x) má n uzlů {íp{xi) = 0, i = 1, ..,n). V našem případě je PiVš fi+u^, W+ —> e+ve, a —> ci + c2 Volíme klidovou soustavu mateřské částice {Ea = ma, pa = 0). Postupujeme podobně jako v případě binární reakce a postupně dostáváme pravděpodobnost přechodu do stavu s hybnostmi vycházejících částic p\ a P2 '2 a pravděpodobnost přechodu do skupiny stavů v intervalech (p±,pi + dp±) a (p2,P2 + dp d6p/* = QO 2 T F F |-M|2á(3)(pi +p2)(Pi) = \lm\+Pi + \jm\+p\- ma p'(pi) pima E1E2 Uvedená integrace vybere ze všech p\ to s hodnotou Pi 2ma která je jako jediná kompatibilní se zákonem zachování energie. Dostáváme tak (vlnovku už nevyznačujeme) d2p" = 32Äl'^"2d!!- Rychlost narůstání pravděpodobnosti rozpadu s výletem částice c\ do elementu prostorového úhlu díž je d2Pft dT = -i-. t Dostáváme tak diferenciální rychlost rozpadu (differential decay rate) dr \Pt\ IA„2 ■\MY dn* 327r2m2 kde hvězdička teď označuje klidovou soustavu mateřské částice. 11 10 Wickova věta (Wick's Theorem) Jak jsme ukázali, při výpočtu pravděpodobnosti přechodu budeme potřebovat maticový element evolučního operátoru, který je vyjádřen Dysonovou řadou. V ní vystupuje Wickův chronologický součin několika (počet podle uvažovaného členu řady) interakčních hamiltoniánů. Interakční ha-miltonián je přitom vyjádřen jako součin několika polních operátorů [např. tří v (12)]. Takže budeme postaveni před úkol spočíst maticový element T-součinu mnoha polních operátorů. Wickova věta vyjadřuje T-součin operátorů jako součet normálních součinů, jejichž maticové elementy ve Fokově prostoru už umíme snadno vyjádřit. Nejjednodušší podoba Wickovy věty je ta pro dva operátory. Z definice kontrakce dvou operátorů [vztah (73) v ktpl_201026.pdf] plyne Ť{ÁB) = :ÁB: + Á'B' . Druhý člen na pravé straně už není operátorem, takže nemusíme normální součin vyznačovat. Wickova věta pro T-součin libovolného počtu operátorů zní (kvůli zjednodušení grafiky už stříšky nad symboly operátorů nevyznačujeme) T(ABC.XYZ) = : ABC...XYZ: + : ABC...XYZ: , (38) kontrakce kde se sčítá přes všechny možné kontrakce. Přiblížíme si to na příkladě čtyř operátorů: T(ABCD) = : ABC D : + : A'B'CD : + : A'BC'D : + : A'BCD' : + : AB'C'D : + : AB'CD' : + : ABC D' : + A'B'C" D" + A'B" C D" + A'B" C" D' . Abychom v případě výskytu dvou kontrakcí v jednom normálním součinu mohli odlišit o který pár operátorů se jedná, museli jsme zavést další symbol pro kontrakci (dva puntíky). Protože kontrakce není operátor, můžeme psát např. :A'B'CD: = A'B':CD: , ale musíme dávat pozor na záměnu pořadí operátorů při vytváření kontrakcí: : A'BC'D: =eA'C':BD: , kde e = — 1 když oba operátory B a C jsou fermionové a e = 1 v ostatních případech. Vzhledem k letošnímu náročnému školnímu roku nebudeme Wickovu větu dokazovat. Případného zájemce odkazujeme na původní Wickův článek [G.C. Wick, Phys. Rev. 80, 268 (1950)]. Důkaz probíhá v rigorózním matematickém stylu-důkaz pomocné věty, potom použití metody matematické indukce. 11 Comptonův rozptyl Budeme se zabývat rozptylem fotonů na elektronech 7 + e~ 7 + e~ . Zavedeme následující označení: • vstupující foton: energie cjj, hybnost ki, = (wj,fcj), polarizační index Aj, polarizační čtyřvektor e(ki,Xi), kreační operátor ct = čj 12 vstupující elektron: energie Ei, hybnost pi, p^ = (Ei,pi), spinový index Sj, kreační operátor St =SJ vystupující foton: energie Uf, hybnost kf, kj = (ujf, kf), polarizační index Xf, polarizační čtyřvektor e(kf,Xf), kreační operátor c ■t = 4 kf,xf f • vystupující elektron: energie Ef, hybnost pf, p^ = (Ef,pf), spinový index Sf, kreační operátor St = St • počátečný stav: \i) = c|S| |0) • konečný stav: |/) = cJ-SJ. |0) Zavedli jsme přitom trochu jiné označení polarizačních vektorů než v KTP 1. Hybnost a polarizační index fotonu neuvádíme jako dolní indexy, ale jako argumenty v závorce, abychom uvolnili místo pro lorentzovský index v případě, že budeme pracovat s kovariantním polarizačním čtyřvektorem. 11.1 Evoluční operátor pro Comptonův rozptyl Chceme spočítat maticový element evolučního operátoru (19), který vzhledem k naší specifikaci počátečního a koncového stavu můžeme zapsat ve tvaru Ufi(t,t0) = (0\bfcfŮ(t,to)clbl\0). (39) Omezíme se přitom jenom na nejnižší člen řady (19) který dá nenulový příspěvek k (39). Nultý člen Dysonova rozvoje (rovný 1) nepřispěje, protože konečný stav je odlišný od počátečního. V dalším členu {k = 1) již vystupuje interakční hamiltonián (11), zapsán jako objemový integrál z hustoty (12), pro kterou po zavedení maticových indexů (abychom mohli měnit pořadí operátorů) máme = -e7a6 :'ipa(x1)tpb(x1)Áa(x1): . Abychom mohli uplatnit normální součin, musíme operátory polí rozepsat jako součty kladně frekvenčních částí (obsahujících anihilační operátory) a záporně frekvenčních částí (obsahujících kreační operátory). Pak dostáváme U'{X1) = -e^fiW^j+iH^)] (40) ÍÍ \xi)^[+\xi) - ^ {xi)^a \x1)+i[ \x1)ipt,*' k,x 1. První typ (mající původ v členu Á^\xi) ze vztahu (40)) vede na nulový příspěvek díky působení anihilačního operátoru na pravé vakuum (0| ... čf cžiAcJ|0> = (0\...Čf (cJcžiA + %A,aJ|0> = 0 2. Druhý typ (mající původ v členu Áa \x±) ze vztahu (40)) vede na nulový příspěvek díky působení kreačního operátoru na levé vakuum st stin\ — /nl (0| ... čf c\ AcJ|0> = (0| ... (ej c/ + í^/a^JSJ|0> 0 Z toho plyne, že první řád Dysonova rozvoje dává v případě Comptonova rozptylu nulový příspěvek k pravděpodobnosti přechodu. Z výše uvedeného rozboru můžeme udělat i obecnější závěr. K tomu, abychom dostali nenulovou pravděpodobnost určitého procesu, musí být počet kreačních a anihilačních operátorů dodaných do vakuové střední hodnoty operátorem přechodu takový, aby byl pro každý typ částice celkový počet kreačních operátorů roven celkovému počtu anihilačních operátorů. V případě Comptonova rozptylu to znamená, že nenulový příspěvek dají jenom struktury typu $(-)^(+)i(-)i(+) . (41) Protože součin dvou fotonových operátorů nemůžeme získat v prvním řádu Dysonova rozvoje, musíme přejít do řádu druhého, kde je evoluční operátor vyjádřen vztahem Ů^(t,t0) = t¥. Jd4Xl Jd4x2Ť[?i'(x1)?i'(x2)] . (42) Protože každý operátor W obsahuje součin dvou operátorů spinorového pole, hranatá závorka v (42) bude obsahovat součin čtyř spinorových operátorů, což je o dva víc než povoluje požadovaná struktura (41). Takže při použití Wickovy věty se uplatní jenom normální součiny ve kterých bude jedna kontrakce mezi spinorovými operátory. Při úpravě vztahu (42) použijeme vztah (40) pro W(xi) a podobný vztah se záměnami x\ —> X2, a —> c, b —> d & a —> f3 pro /H'{x2). Kvůli zjednodušení zápisu nebudeme v dalším uvádět závislost na čtyř vektor ech. Rozumí se, že operátory s indexy a,b,a závisí od x±, ty s indexy c, d, (3 závisí od X2- f>(2)(Mo) = ^(-e)27ä-&/ j d4x2 [Á(-)ÁW +k^mx (43) kde X = T tľ,e,-^C^C,*í+,+C,*^, (44) Ve vztahu (43) jsme místo rovnítka použili symbol = abychom vyjádřili, že rovnost neplatí, protože členy které nemají strukturu (41) zahazujeme. Po obložení operátoru (42) koncovým 14 a počátečním stavem by nepřispívaly. Aby platila v (43) rovnost, museli bychom do hranaté závorky přidat členy Ä^Ä^ a Äa ^ \ Výsledkem součinu hranatých závorek je 16 členů, každý je součinem čtyř operátorů. Na každou takovouto čtveřici pak uplatníme Wickovu větu (38), ze které si ponecháme jenom ty normální součiny uvnitř kterých je provedena jedna kontrakce mezi operátory pocházející z různých hamiltoniánů (kontrakce dvou operátorů které pocházejí ze stejného hamiltoniánu je nulová). Pro nás ale budou z hlediska kritéria (41) důležité jenom ty, které obsahují tpa spolu s anebo tpc spolu s . Podle výše uvedených podmínek vybereme z (44) čtveřice, které budou dávat nenulový příspěvek k maticovému elementu. Jsou to (z typografických důvodů umísťujeme puntík označující kontrakci vedle maticového indexu): X + .(+) Po umístění kontrahovaných operátorů vedle sebe a vytvoření normálních součinů z nekontra-hovaných (počet potřebných záměn pořadí je vždy sudý, takže znaménka se nemění) dostáváme X $ d (+) %:^c. +v^c. +^.vc. +^.vc. + ví V, (+) ^(+) Součet kontrakcí uvnitř hranatých závorek se dá zapsat jako kontrakce mezi úplnými polními operátory. V podrobnějším zápisu máme výsledek X = \x2)Tpi+\x1)Tpd.(x2)^a.(x1) + ý[ \x1)Tp(dh\x2)Tpb.(x1)Ípc.(x2) . Při záměně x\ o x2, a o c, 6 o d se dva sčítance v posledním vztahu vzájemně vymění. Protože ostatní součásti vztahu (42) jsou vůči této záměně doplněné záměnou a o (3 symetrické a na pořadí integrací nezáleží, sčítance samotné dávají stejný příspěvek k (42). Stačí uvažovat jenom jeden z nich (vybíráme ten druhý) a výsledek vynásobit dvojkou. Kontrakci spinorových operátorů vyjádříme pomocí Feynmanova propagátoru [viz vztah (66) v spinpole.pdf] 4'b»(x1)^c,(x2) = it-SH^i - x2)]bc S přihlédnutím k (43) píšeme Á(-\x1)Á(+\x2) + Á(-\x2)Á(+\x1)_ Lehce nahlédneme, že teď už můžeme obnovit maticové násobení t>(2)(í,í0) = i(ie)2 /d4Xl /d4x2^)(x1)7aSF(x1-x2)7^(+)(x2) (45) Äi-\x1)Ä^\x2) + Ä^-\x2)ÄM(x1) -P Vzhledem tomu, že v hranaté závorce na pravé straně je součet dvou členů, můžeme i operátor na levé straně vyjádřit jako součet dvou operátorů Ů^(t,t0) = Ů^(t,t0) + Ů^(t,t0). 15 11.2 První příspěvek k amplitudě Comptonova rozpylu Budeme se nejdřív zabývat operátorem Ů^(t,t0) =i(ie)2 /d4Xl /d4x2íH(x1)7aSF(x1-x2)7'3V'(+)(x2)Ái-)(x1)Á(+)(x2). (46) Pro prvky tu vystupující můžeme psát na základě materiálu spinpole.pdf, vztahy (54), (57) a (69), psát V>(+)(*2) = Yl^=e-^u(P,s)bŘS, (47) p,s V p 5H-i--2) = 7^31 / ..e-^-^p. (49) 1 ľ p1 + m (2?r)4 7 p2 - m2 +ie" V materiálu elmagpole.pdf ze vztahů (76) a (77) zase vyčteme 4+)(*2) = E -J^%MK A)e-fa2 , (50) fc,a v fc ii-^i) = E -^4',ve«^> • (51) Počítejme teď maticový element operátoru (46) mezi počátečním a koncovým stavem U™ (í, to) = <0| bfčf Ú™ (í, t0) cJ&J |0> • (52) Po dosazení vztahů (47) až (51) do (52) získáme komplikovaný vztah, který se tady ani nepokoušíme reprodukovat. Dá se však značně zjednodušit díky tomu, že všechny operace (integrace, sumace) a symboly které nejsou operátory (říká se jim c-čísla) můžeme vyjmout z vakuové střední hodnoty. Na té nejhlubší úrovni se nám objeví vakuová střední hodnota, kterou umíme aplikací komutačních a antikomutačních vztahů lehce spočíst. Výsledkem jsou Kroneckerovy symboly standardní a i ty pro vektory <°l bfčf typ bp,sĚl,jX,%\4t>i 1°) = fyfČ'äsfs'äpďKsäk'fíäXfX'ôfáôxiX . Z každé sumy nám zůstane jenom jeden člen s hodnotami indexů podle příslušného Kroneckerova symbolu. Snadno tak identifikujeme faktor K, zavedený v (22) 1111 K VWEí ^/WĚ] V2VlJ~í t/ŽVlJ] ' Než se pokusíme zapsat výsledek, změníme pořadí integrací. V (42) se má nejdřív provést integrace s čtyřrozměrným elementem d4p [viz (49)], pak d4x2 a nakonec d4xi. Uděláme změnu a integraci d4p provedeme až nakonec /d4 —-1—— u{pf, s/)7a(/í + m^uipi, Si) p — m + íe 3i(P/+fc/-p)xld4Xi í Sp-pi-ki^2áAX2. 16 Teď využijeme, že v limitě íq ~~^ —oo, t —> oo, V —> oo se z posledního integrálu stává (27r)4á^4-> (p — Pí — ki), což nám umožní lehce provést integraci přes d4p tím, že všude položíme p = pi + kí Ve zbývajícím integrálu zavedeme čtyřvektor hybnosti konečného stavu P f =p^ + kf a čtyřvektor hybnosti počátečního stavu Pí = pí + kí. Zjistíme, že tento integrál je totožný s funkcí (23). Výsledkem tak je [/}HMo) = K (ieyu(Pf,Sfha-I^ + i£ ^u(pí, Si)e*a(kf,Xf)ep(ki, Aj) D (í, í0, P/, ^ p=Pi+ki Porovnáním s definičním vztahem pro amplitudu (21) získáváme první příspěvek k amplitudě Comptonova rozptylu iM{2d) =u(pf,sf)(iei i(j$ + m) p2 _ m2 _|_ j£ p=Pi+kí (\e^)u(pi, Si) s*a(kf, Xf)sp(ki, Aj) (53) ve kterém jsme kvadrát součinu (ie) rozhodili mezi matice 7. Pro názornost je této amplitudě přiřazen Feynmanův diagram zobrazený na obr. 2. Lehce najdeme korespondenci mezi částmi amplitudy (53) a prvky diagramu, která je obsahem Feynmanových pravidel. Kompletně je uvedeme později. Vnější čáry (plné se šipkou pro elektrony, vlnovky pro fotony) znázorňují kf,Af Obrázek 2: První Feynmanův diagram nejnižšího (druhého) řádu pro Comptonův rozptyl. vstupující a vystupující částice. Odpovídající prvky amplitudy vynásobené imaginární jednotkou (53) lehce identifikujeme. Vrcholy, ve kterých se setkávají dvě fermionové a jedna fotonová čára, odpovídají interakci (12). V ní kromě dvou fermionových a jednoho fotonového operátoru vystupuje ještě gama matice a konstanta (—e). n-tý člen Dysonova rozvoje obsahuje součin n interakčních hamiltoniánu a n-tou mocninu (—i). Na každý interakční hamiltonián (vrchol v diagramu) tak připadá jedno (—i). Proto se za každý vrchol diagramu ve výrazu (53) nachází faktor (—i)( —e)7 = (ie7) s indexem u 7 který odpovídá připojenému fotonu. Vnitřní fermionová čára odpovídá výrazu mezi dvěmi (ie7) v (53), což je podle (49) Fourierův obraz spinorového propagátoru. Říká se o ní, že představuje virtuální elektron, neboli elektron mimo hmotnostní nadplochu (protože p2 7^ m2). Opustíme teď vztah (53), který byl pro nás důležitý tím, že Feynmanova pravidla se formulují pro iAi^K Uvedeme si vztah pro A4^2^, nazývané amplitudou přímého kanálu (angl. direct, odtud' to d) ve tvaru ze kterého budeme vycházet při výpočtu Comptonova účinného průřezu. Použijeme (jpi + ki)2 — m2 = 2(piki). Konstantu e ve jmenovateli můžeme položit rovnou nule, protože (píki) je pozitivně definitní. Zavedeme označení U{ = u(j>i, Sj), u f = u(j)f, s f). Použijeme taky Feynmanovo lomítko, např. ^ = e*a{kf, Af)"fa■ Dostáváme tak M{2d) = --^—ufff^.t + k + rn)^u,t. (54) ^ (Pí k-i) 17 11.3 Druhý příspěvek k amplitudě Comptonova rozptylu č7(2c)(Mo) =i(ie)2 /d4Xl /d4x2íH(x1)7a SF(x1-x2)7^(+)(x2)Á(-)(x2)Ái+)(x1). (55) Pro úpravu tohoto vztahu použijeme vztahy (47) a (48) beze změny, vztah (49) s nepodstatným přejmenováním integrační proměnné p na q. Vztahy (50) a (51) se nám teď nehodí a musíme je nahradit vztahy Äí+\x1) = gž £a(fc, Aje"*^ > (56) fc,a k k',X Vakuová střední hodnota která je jádrem vztahu (55) má znovu tvar Z každé sumy nám zůstane jenom jeden člen. Snadno taky identifikujeme faktor 1111 K VWEi ^/WĚ~f VWuh ^/Wl uj f Než se pokusíme zapsat výsledek, změníme pořadí integrací. V (55) se má nejdřív provést integrace s čtyřrozměrným elementem d4q [viz (49) s p —> q], pak d4x2 a nakonec d4xi. Uděláme změnu a integraci d4q provedeme až nakonec. /d4 -j——2—-u(pj, sf)^a{i + m)^u{pi, Si) Q Til ~r lc x f ei(pf-k^q'>Xlďlx1 f ei(q-p*+kf'>X2ďlx2, Teď využijeme, že v limitě íq ~~^ ~~ 00> t ~> 00 > V oo se z posledního integrálu stává (2tv)4S^(q — Pí + kf), což nám umožní lehce provést integraci přes d4q tím, že všude položíme q = pi — kf. Ve zbývajícím integrálu tím nabude argument exponenty hodnotu p f — ki — q = p f — ki — pi + kf = Pf — Pi, kde jsme zavedli čtyřvektor hybnosti konečného stavu P f = pf + kf a čtyřvektor hybnosti počátečního stavu Pi = pi + ki. Tím se ze zbývajícího integrálu stává funkce (23). Dostáváme tak uf\tM = Ki;,eÝu{pf,Sf)^-M±^ mz + íe ^u{pi, Si)s*p(kf,Xf)sa(ki, Xi) D(t, t0, Pf, Pi] q=Pi-kf Porovnáním s definičním vztahem pro amplitudu (21) získáváme druhý příspěvek k amplitudě Comptonova rozptylu iM™ =u{pf,sf)(ie^ KÚ + m 2 — m? + ie (\e^)u(pi, Si) s*p(kf,Xf)sa(ki,Xi) (58) q=Pi-kf Feynmanův diagram který odpovídá této amplitudě je zobrazen na obr. 3. Při jednodušším zápisu M^2c\ které se nazývá amplitudou zkříženého kanálu (angl. crossed, odtuď to c), použijeme {jpi — kf)2 — m2 = —2{pikf) a dostáváme e2 M{2c) = —, - rilf fa -ftf + m) ff m . (59) 2{pikf) 1 18 Obrázek 3: Druhý Feynmanův diagram nejnižšího (druhého) řádu pro Comptonův rozptyl. 11.4 Účinný průřez Comptonova rozptylu Rozptyl fotonů na elektronech se nejčastěji vyšetřuje v laboratorní soustavě, kde platí pi = (m, 0). Protože polarizační vektory fotonů mají nulovou nultou složku, platí (eíPí) = (tfPi) = 0. Laboratorní energie fotonu vyletujícího při Comptonově rozptylu (CR) je dána vztahem Uf = i + ^ľ-cos*)' (60) kde ují je laboratorní energie dopadajícího fotonu, m je hmotnost elektronu a 9 je úhel v laboratorní soustavě o který se foton odkloní od původního směru. Vztah (60) odvodíme ze zákonů zachování energie a hybnosti m + ují = Ef + ujf Z nich plynou vztahy ki = Pf + kf . Pf+m2 = (m + Ui- ujf)2 p2 = uj2 + lú2 — 2uJiUJf cos 9 . Jejich odečtením dostaneme po úpravách hledaný vztah (60). Diferenciální účinný průřez CR v laboratorní soustavě Diferenciální účinný průřez v laboratorní soustavě odvodíme z diferenciálního účinného průřezu (37) v invariantní proměnné t, která je definovaná jako kvadrát přenesené čtyřhybnosti. Pro pohodlí čtenáře příslušný vzorec připomínáme ^ =_l_\M\2 dt 64 tvs \p*a\2 1 1 Proměnná s je definována jako kvadrát čtyřhybnosti v počátečním stavu, v našem případě platí s = (ki + pi)2 = m2 + Imuji. p*a je hybnost jedné ze srážejících se částic v cms soustavě. Součin s\Pa\2 = A(s,0,m2)/4 = m2uj2 [viz text za vztahem (35)]. V našem případě platí t = (kf — ki)2 = — 2uiUf(l — cos 9). Po menším cvičení z derivování s přihlédnutím k (60) určíme dt 2uj2f. d cos 9 f Postupně vyjadřujeme dír 1 dá 1 dt da díl 2tt d cos 9 2tt d cos 9 dt 19 Nakonec vychází, že v laboratorní soustavě je diferenciální účinný průřez Comptonova rozptylu vyjádřen pomocí amplitudy vztahem Amplituda Comptonova rozptylu vyjádřena v laboratorní soustavě Amplituda CR je součtem amplitudy přímého kanálu (54) a zkříženého kanálu (59). Dá se zapsat následovně e2 M = -uf {Pih) 1 (Píkf) (62) kde Ui=u(pi, Si) a Uf=u(pf,Sf) jsou Diracovy spinory vstupujícího a vystupujícího elektronu. Při dalších úpravách použijeme obecně platné vztahy: p2 = p2 = m2, k2 = k2 = 0, pi + ki = Pf + kf, e2 = e2 = -1, (ciki) = (e/fc/) = 0, (^ - m)ui = 0, «/(^/ - m) = 0, ^ + ^ = 2(a6), uí,bUitc = {Pí + rrj)6c5 kde b a c jsou maticové indexy. Díky tomu, že používáme laboratorní soustavu, platí i další vztahy: (eíPí) = (tfPi) = 0, (piki) = mu i, (pikf) = muf. Polarizační vektory volíme reálné, popisující lineární polarizaci. Ukažme si podrobně úpravu čitatele prvního členu v (62). = Ufýfýi(ýi - m +fti)iii = UfýfýiftiUi. Při záměně pořadí jsme využili vztah 0 = 2{ab) — Ijxfi a, to, že v obou případech je skalární součin roven nule. Podobně upravíme i druhý člen a dostáváme e2 M = —ufQui, (63) kde Q = —ifiěi + —t4fh ■ (64) Ui U f Ve vzorci pro účinný průřez vystupuje kvadrát modulu amplitudy \M\2 = MM *. Z maticového hlediska je M číslo, v jehož vyjádření vystupují součiny 7 matic. Při stanovování M * se nám objeví matice komplexně sdružené ke 7 maticím, o kterých toho moc nevíme. Využijeme, že amplituda je matice 1 x 1 a že pro ní tedy platí M * = M^. Kvadrát amplitudy vyjádříme raději vztahem \M\2 =MMj, ve kterém budou vystupovat matice hermitovsky sdružené ke 7 maticím, se kterými umíme pracovat. Použitím (63) dostáváme e4 \M\2 = j^UfQuiňiQ'uf, (65) kde Mírné pocvičení s algebrou 7 matic nám dá výsledek Q' = —fti^i^f + —Ifiddi. (66) Ui U f 20 Předpokládáme, že elektrony na kterých dochází k rozptylu fotonů jsou nepolarizované. Pro každý elektron jsou jeho dva možné spinové stavy stejně pravděpodobné. Dále se rozhodneme, že na spinovém stavu vycházejícího elektronu nám nezáleží, budeme brát všechno. Odpovídající diferenciální účinný průřez dostaneme tak, že namísto jednoduchého kvadrátu amplitudy do (61) dosadíme kvadrát amplitudy (62) sečtený přes spinové stavy konečného elektronu a zprůměrovaný přes spinové stavy počátečního elektronu 2 Si,Sf Za kvadrát amplitudy sem dosadíme ze vztahu (65). Maticová násobení v něm obsažená rozepíšeme zavedením maticových indexů, abychom mohli prvky matic přemisťovat e4 \M\2 = —j Y Uf,a Qab Uj,b Ui,c Q'cd uf,d ■ 8m Si,Sf Poslední člen součinu za sumačním znaménkem můžeme přesunout k prvnímu a využít vztahy [viz (113) v ktpl_201012.pdf] ^2Sf UfjdUfja = (j>f + m)da a uijbuijC = (pi + m)bc. Máme tak e4 \M\2 = 7^2 (P/ + m)da Qab (jPi + ™)bc Q'cd ■ Vidíme, že maticové indexy na sebe plynule navazují, takže můžeme obnovit maticové násobení. Výsledkem je prvek dd součinu čtyř matic. Přes opakující se d se ale sčíta, takže dostáváme součet diagonálních prvků výsledné matice, tj její stopu (trace) e4 \M\2 = ^TV [(ýf + m)Q(ýi + m)Q'] . Po dosazení za Q z (64) a za Q' z (66) dostáváme {Ml- et 8m2 kde Ti r2 + r3 r4 2 ' '2 (68) Ti = TrKtf+mWftijtiWi+mMtitf], (69) T2 = ^[Wf+mWftihWi+mWftfti], (70) T3 = Tt[^f+m)^f^f(^ + m)fa^f], (71) T4 = Tt^j +m)t4f$f{fr + m)h;JtJh]. (72) Začněme úpravou T±, které můžeme díky tomu, že stopa ze součinu lichého počtu gama matic je rovna nule, napsat jako součet stopy ze součinu osmi matic a výrazu m2TV(^ffcfafafc^f). Objevuje se v něm součin fa fa, který je roven nule. Proto máme jenom T\ = TV \i>jijiifai>ifaiiij\. Použijeme fafa = 2{piki) — faýi a součin se dvěma fa vedle sebe zahodíme. Takže zůstává Ti = 2{p,h)Ti{i>f^f^44f) = 2{p,h)Ti{i>^ffa^f) Při poslední úpravě se vykompenzovala změna znaménka při fafa = —faýí s = —1. Na poslední stopu ze součinu čtyř gama matic už můžeme uplatnit známy vzorec Tr(jW) = 4[(a6)(cd) + (ad)(bc) - (ac)(bd)] (73) 21 a po úpravě, při které využijeme i vztah (kiPf) = (kfPi), plynoucí ze zákonu zachování čtyřhybnosti, dostáváme Ti = 8mui [muf + 2(fcí£/)2] . (74) Ve vztahu (70) pro T2 nejdřív použijeme pf = pi + ki — kf a pak hledáme výsledek ve tvaru součtu tří členů3 T2 = Tr [(j/a + - ftf + mWftifaWi + = T2a + T2ř) + T2c , kde r2a = Tr [(fa + m^ffaftiifa + m)ftfčfiči\ , T2b = ^{P4fiíhi>éfifi;>) > T2c = -Tr (tftftiMifotfti) ■ Využili jsme přitom, že stopa ze součinu lichého počtu gama matic je rovna nule. Uvedené tři stopy se dají spočíst různými způsoby, postupy které uvádíme níže nejsou jediné možné. Při úpravě T2a nejdřív využijeme, že f i antikomutuje (a m komutuje) s/ji/ja přesuneme první závorku o dvě místa doprava T2a = Tr [ifií{i>í + m)fti(ýi + m)^f^ffa} . Do tohoto vztahu pak dosadíme {jf>i + m)jti = 2{piki) — ^{p'í — m), čímž se vztah rozpadne na dva členy. Ve druhém z nich se objeví součin — m)(J>i + m) = pf — m? = 0. Zůstane tak opět jenom jeden člen, ve kterém pak přesuneme poslední dvě matice na začátek T2a = 2muji Tr^ffaýifirfffa) = 2mui Tr (^fa^ffa^f) ■ Použitím vztahů ^ffa = 2(ej£j) — faýf a fafa = —1 dostáváme T2a = 2mut [2(eie/) Tr(ýf^f) - Tr(^f)} . Po vyčíslení stop máme výsledek T2a = 8m2LHuf [2{£i£f)2 -1] . Při hledání výsledku pro T2b použijime nejdřív vztah jt^f = 2(fcj£y) — ýffii, čímž dostaneme T2b jako součin dvou členů. Ve druhém z nich použijeme fafa = —fafa. Tím dostaneme vedle sebe fafa = 0, v důsledku čeho druhý člen odpadne. Zůstane nám tak jenom první člen T2b = 2{hef) Tr {fafa^^jfa) V něm přesuneme poslední fa na začátek a využijeme fa fa = — 1. V získaném vztahu T2b = -2{kief)TT{ftitiftftf) už stačí jenom aplikovat vzorec (73) a máme výsledek T2b = -8mu}f(kíEf)2 . Při výpočtu T2c můžeme např. postupovat tak, že nejdřív přesuneme poslední tři matice na začátek T2c = -Titfftftiftftrfifcfc) 3Tuto část uvádíme kvůli úplnosti, odvození T2 nebude na zkoušce vyžadováno. 22 a pak vyměníme pořadí prvních dvou T2c = Tr (iff.fiif.fifi%hi>i) ■ Když využijeme vztah ffii = 2{kfEi) — iiff a po něm i ffff = 0, vyjde nám T2c = 2(kf£t)Tt(ifffifitf^) = 2{kfei)Tr {fotili) • Při poslední úpravě jsme využili ifff = —ffif a ifif = —1. Pomocí vzorce (73) dostáváme výsledek T2c = 8mu}i(kfEi)2 . Spojením výše získaných výsledků dostávame pro stopu T2, zavedenou ve vztahu (70) výsledek T2 = 8m2UiUf [2(£i£f)2 - l] - 8muf(ki£f)2 + 8muji(kfEi)2 . (75) Výrazy T3 (71) a T4 (72) už nemusíme počítat. Všimněme si, že při transformaci Ei i—> e f A ki i—> (~kf) [tato zahrnuje samozřejmě i transformaci nultých komponent ují <—> (—uif)] přechází T\ (69) na T4 (72) a T2 (70) na T3 (71). Stačí proto stejnou transformaci udělat ve výsledcích (74) a (75) a dostáváme4 T3 = T2 (76) T4 = 8muf[muji-2(kfEi)2] (77) Po dosazení našich výsledků do (68) vychází u f \M\2 = eq + — +A{£l£fY -2 UJi UJf Když ještě použijeme e2 = Aira [viz ods. 1.4 v ktpl_201012.pdf] a výsledek dosadíme do (61), dostáváme vzorec Kleina a Nishiny (Oskar Klein & Yoshio Nishina, 1929) da a2 ÍLOf^2 díl ~ 4m2 V ují ^ + ^+4(£V£-))2-2 UJi UJf (78) který udává diferenciální účinný průřez Comptonova rozptylu s nepolarizovanými elektrony v laboratorní soustavě. V limitě měkkých fotonů (ují —> 0) vztah (78) přechází na klasický vzorec Thompsonův dog _ a?_(^ _ .2 díl ~ m2[£l'£f) • Když uvažujeme svazek nepolarizovaných fotonů a nezajímá nás polarizace vycházejících fotonů, dostaneme příslušný diferenciální účinný průřez tak, že účinný průřez (78) sečteme přes polarizace vycházejícího fotonu a zprůměrujeme přes polarizace počátečního fotonu. Jeden polarizační vektor vstupujícího fotonu volíme v rovině rozptylu, druhý je na ni kolmý (viz obr. 4). Stejně volíme i polarizační vektory vycházejícího fotonu. Lehce nahlédneme, že platí - = cos & 1 • š/,2 = 0 , Eit2 • Ef:i = 0 , Eit2 • ě*/,2 = 1 i 4Kdybychom použili jinou zdánlivě vhodnou transformaci {ei -o £/ /\ fcíOfc/} dostaneme zlé výsledky, protože tato transformace narušuje zákon zachování k f +'Pf = fci+Pi. 23 takže k. Obrázek 4: Volba polarizačních vektorů u Comptonova rozptylu. X;(ěi,Ai-ě/,A/)2 = 1 + cos2e- (79) Když využijeme (79) dostaneme Kleinův a Nishinův vzorec pro Comptonův rozptyl nepolarizo-vaných fotonů na nepolarizovaných elektronech v laboratorní soustavě, který zní da Celkový účinný průřez je jako funkce v = Ui/m dán vztahem 2ira2 a2 fujf\2 I ujf ují 9 n -*-) [-*- + — - sin2 9 UJi UJi UJf (80) da dQ a v2 - 2v - 2 , , v3 + 9v2 + 8ľ + 2 ■ ln(l + 2v) + - 2i/ rl + 21/)2 (81) kterého odvození nebude na zkoušce vyžadováno. Pro ilustraci uvádíme, že pro ují = 100 MeV vychází a = 8, 20 mb. Abychom ale tento výsledek dostali, musíme opustit námi používanou soustavu jednotek h = c = 1 a doplnit do vzorce (81) h a c v příslušných mocninách. Modifikovaný vzorec je výhodné zapsat ve tvaru 2-kc? (hc) (mc2)2u2 v2 -2v -2 , . v3 + 9v2 + 8u + 2 ln(l + 2v) + - 2v 1 + 21/) s bezrozměrnou proměnou v = L0i/(mc2). Potřebné číselné hodnoty jsou mc2 = 0.5110 MeV, (hc)2 = 0.3894 mbMeV2, a = 1/137.04. Pokud by si někdo chtěl ověřit, že vztah (81) přechází v limitě i/-í-0na klasický Thompsonův vzorec 87ra2 o"0 3m2 (82) musel by použít Maclaurinův rozvoj funkce ln(l + x) až po člen x3 12 Rozptyl elektronů na pozitronech e~(pi,si) + e+(p2,s2) ->• e~(p3,s3) + e+(p4,s4) Počáteční stav \i) = bjďj\0), konečný stav |/) = 6^á^|0), kde b ;t = b^lSl,di í//i(Mo) = (0\dfbfU{t,t0)b\d\\0) 24 O 0.2 0.4 0.6 0.6 oj, (MeV) Obrázek 5: Podíl účinného průřezu Comptonova rozptylu (81) k jeho klasické limitě (82) jako funkce energie dopadajícího fotonu. Podle pravidla, které jsme si zdůvodnili při Comptonově rozptylu, aby byl maticový element evolučního operátoru nenulový, musí evoluční operátor dodat součin jednoho kreačního operátoru elektronu (které jsou obsaženy v jednoho kreačního operátoru pozitronu (ip^), jed- noho anihilačního operátoru pozitronu (V'^) a jednoho anihilačního operátoru elektronu Požadovaná operátorová struktura příspěvku evolučního operátoru je tedy (83) Abychom dostali potřebný počet operátorů spinorového pole, musíme použít druhý řád poruchového rozvoje evolučního operátoru. Ten ale poskytuje i součin dvou operátorů elektromagnetického pole, které v požadované struktuře (83) nevystupují. Proto si z rozvoje podle Wickovy věty ponecháme jenom členy, ve kterých jsou operátory elektromagnetického pole kontrahovány. Když vyjdeme ze vztahu (42) pro evoluční operátor ve druhém řádu a upravujeme ho s přihlédnutím ke specifikám procesu který uvažujeme zde, tak namísto vztahu (43) dostaneme vztah velice podobný, ve kterém však budou fotonové operátory kontrahovány5 č/(2)(Mo) = -i :(-e)27ä>7fd d4x! d4x2Á*Á^ (84) kde X T (+) (+) (85) Výraz který jsme si označili jako X je stejný jako v případě Comptonova rozptylu. Teď si z něj však ponecháme jiné členy než tenkrát, a to ty, které po uplatnění normálního součinu povedou na strukturu (83), tj součiny, ve kterých jsou všechny čtyři operátory různé. Protože členy s kontrakcemi podle Wickovy věty by teď vedly k menšímu počtu operátorů než potřebujeme, můžeme operátor T rovnou nahradit normálním součinem 5Připomeňme, že závislost na čtyřvektorecli x explicitně nevypisujeme. Operátory s indexy a, b a a závisí od xi, ty s indexy c, d a /3 od X2- 25 Po uplatnění normálního součinu se změní pořadí operátorů Při změně pořadí operátorů ke změně znaménka nedošlo, protože počet výměn pořadí byl všude sudý. Změňme ještě pořadí sčítanců a zaveďme ozávorkování X = Teď je jasně vidět, že při transformaci {a o c A b o d A x\ o x2 A a o /?} si dva výrazy v závorkách vzájemně vymění místa. Protože (84) je vůči této transformaci symetrická, ty dva výrazy v závorkách přispívají stejně. Stačí proto uvažovat jeden z nich (vybereme si ten druhý) a výsledek vynásobit 2. tf<2>(Mo) = (ie)2^ / d4xx / d4x2A-A£ (86) Maticový element mezi počátečním a koncovým stavem tohoto operátoru si vzhledem ke struktuře výrazu v hranaté závorce můžeme napsat jako součet dvou maticových elementů. Prvním je UJMfrto) = (ie)27ä-& / d4xx / d4x2Á-Á£ (0|df^(-)^-^(+)^bJdJ|0> (87) a druhým uf\tM) = -(ie)Wd / d4x! / d^A'A^Oldfbf^-J^-V^^bJdTlO). \2„,a„P Věnujme se nejdřív výpočtu prvního maticového elementu. K tomu budeme potřebovat operátory i p,s tä\x2) = e épXlua(p, s)bí 1 q,r ^/2VĚ~ e igX2vc(q,r)d^r , -iqX2 Ud{q'r')bq (89) (90) (91) (92) Po dosazení operátorů (89-92) do (87) dostaneme komplikovaný vztah, jádrem kterého bude vakuová střední hodnota ze součinu kreačních a anihilačních operátorů. Její hodnotu lehce určíme pomocí antikomutačních vztahů mezi těmito operátory. Dostaneme (93) Díky Kroneckerovým symbolům zůstane z každé sumy, mající původ ve vztazích (89-92), jenom jeden člen. Například operátor (89) bude do výsledného výrazu přispívat faktorem ^/WĚ~1 P3 26 Ve vzniklém vztahu můžeme lehce identifikovat faktor 4 V dalším použijeme vztah pro kontrakci fotonových operátorů [str. 17 materiálu elmagpole.pdf z 3.4.2021, kombinace vztahů (85) a (87)] (-10 a) ľ , p-i^Oi-^) 4:0*1 w**) = ^ J ^e-^T—. (94) Když vytkneme konstantní výrazy před integrál a obnovíme maticové násobení, z (87) dostáváme uff\tM) = K(ie)2^p3,s3)rv(p4,s4)v(p2,s2)^u(pu (95) kde jsme označili e-ik(xi-X2) y = J d4xi ei(p3+P4)Xl J d4x2 e-*1^2^2 J d4k- k2 + ie Změníme pořadí integrací a máme y = j j d4xl ei(p3+p4-k)xl j d4X2ei(k-Pl-P2)x2 _ V limitě íq ~~> —oo, i —> oo, V —?► oo se z posledního integrálu stává (2Tv)4S^(k — p\— p2), což nám umožní lehce provést integraci přes d4k tím, že všude položíme k = p\ + p2. Zůstane nám tak y = f d4xiei(p3+P4-pi-p2>Xl , kz +\e J kde k = pi +p2. Po zavedení označení Pf = p3 + p4 a Pj = pi + p2 se ze zbývajícího integrálu stává funkce (23). Po dosazení do (95) dostáváme Uf] (t, t0) = K(ie)2u(p3, s3)7av(p4, s4)v(p2, s2)^u{pu s{)^^- D(t, t0, V, P,,Pf). fc +1£ k=Pl+p2 (96) Porovnáním s definičním vztahem pro amplitudu (21) získáváme první příspěvek k amplitudě rozptylu elektronů na pozitronech \M™ =ň(p3,S3)(ie7-)7;(p4,S4)L^ «(P2,S2)(ie7/3)w(pi,si). (97) fc=pi+p2 Této amplitudě přiřazen Feynmanův diagram, nazývaný přímým (angl. direct, odtud to d v označení amplitudy), je uvedený na obr. 6. Vstupující a vycházející pozitron jsou v něm vyznačeny plnými čarami, ale šipkami orientovanými opačně jako u elektronů. V amplitudě (97) nalézáme tři nové prvky: příspěvek za vstupující pozitron v(p2,s2), příspěvek za vycházející pozitron v(p4,s4) a příspěvek za vnitřní fotonovou čáru (virtuální foton) se čtyřhybností k spojující dva vrcholy s indexy a a /3, rovnající se (—iga/3)/(k2 + ie). Feynmanovy diagramy, které tady používáme, nejsou diagramy v prostoročase, ale v hybnostním prostoru. Nicméně svádějí k představě, že v určitém bodě (prvním vrcholu) dojde k anihilaci elektronu a pozitronu na masivní foton, který se po určitém čase (ve druhém vrcholu) rozpadne zpátky na elektron a pozitron. 27 Obrázek 6: Přímý Feynmanův diagram pro rozptyl elektronů na pozitronech. Věnujme se teď druhému maticovému elementu, danému vztahem (88), který tu pro pohodlí čtenáře znovu uvádíme uf\tM) = -i}ef1^cdJ d4xx f d4x2A-A£ (Oldfbf^-í^-^W^bídflO) spolu s potřebnými polními operátory V>(-)(Xl) = V 1 eipXlua(p,s)bl , p,s Ä~W = ^-j^^vt&s')^, (98) q,r = E^^e~VXl^>%-V, (99) Číslujeme jenom nové operátory, které se při výpočtu prvního maticového elementu nevyskytly. Vakuová střední hodnota která se na nejhlubší úrovni vztahu pro druhý maticový element objeví je stejná jako v případě prvního příspěvku (93) a tudíž implikuje stejná pravidla pro výběr sumačních indexů ve výrazech pro polní operátory. Pro hybnosti jsou to: P=P3, p'=p4, q'=Pi, q=P2 Analogické vztahy platí i pro spinové indexy. Po ponechání jenom odpovídajících členů ze sum v polních operátorech a využití vztahu pro kontrakci fotonových operátorů (94), ve kterém opatříme integrační proměnnou čárkou, dostáváme uf\tM) = -^(ie)Mpl^3)7Mpl^iMP2,S2)7^(pl^4)^^^, (100) kde /(■ r p—ik'(xi— X2) d4xl ei(P3-Pi)xi / d4X2ei(p4-P2)x2 / d4k/_ Změníme pořadí integrací a máme k/2 + ie Z= I I ďW^-Pi-^xi / d^e^'+P^P2)^. k' + ie 28 V limitě íq ~~> —oo, t —> oo, V —> oo se z posledního integrálu stává (27r)4<5(4)(fc' +p4 — P2)5 coz nám umožní lehce provést integraci přes d4k' tím, že všude položíme k' = P2 — P4- Zůstane nám tak (2tt)4 Z d xi e Í(p3+P4-Pl-P2)xi k'z + ie kde k' = P2 — Pa- Po zavedení označení Pf = p3 + Pa & Pí = pi + P2 se ze zbývajícího integrálu stává funkce (23). Po dosazení do (100) dostáváme ^/^(Mo) = -K(ie)2u(p3, s3)7au(pi, siMp*2, s2)^v(p4, s4)j^9a^ k'z + ie k'=p2-pA D(t,t0,V,Pi,Pf). (101) Porovnáním s definičním vztahem pro amplitudu (21) získáváme druhý příspěvek k amplitudě rozptylu elektronů na pozitronech iM^ = (-l)u(p3,s3)(ie1aMp1,s1)y k'z + ie v(p2,S2)(ie-fí3)v(p4,s4). (102) k'=p2-p4 V této amplitudě se objevil nový prvek, faktor (—1) za zkřížené fermionové nohy6. Amplitudě (102) přiřazený Feynmanův diagram, nazývaný zkříženým (crossed, proto c), je zobrazen na obr. 7. Obrázek 7: Zkřížený Feynmanův diagram pro rozptyl elektronů na pozitronech. Než půjdeme dále, musíme se vypořádat s tím, že jsme pro kontrakci fotonových operátorů použili zjednodušený vztah (94) namísto správného i ľ e-ik(xi-X2) ä'^ä'^)=7^)4 yd4fc fc2+i£ p^(fc). kde kakp kanp+nakp PaP{k) = -9aP ~ j-y2 + {nk) je polarizační tenzor v případě Coulombovy kalibrace. Zjednodušení spočívalo v tom, že ve vztahu pro polarizační tenzor jsme neuvažovali členy obsahující čtyřvektor k. Teď si ukážeme, že i kdybychom je uvažovali, dostaneme stejné výsledky pro amplitudy rozptylu elektronů na pozitronech, protože příspěvky dodatečných členů jsou nulové. Použijeme přitom vztahy (čísla ukazují na vztahy v ktpl_201012.pdf) j>u = mu (92), up* = mu (93), j>v = —mv (98) av^> = —mv (99). 6Ještě jsme neprozradili, že čarám označujícím externí (tj vstupující a vystupující) částice se říká nohy (legs) diagramu. 29 Když použijeme k = P1+P2 = P3 +Pa a k' = p2~P4 = P3 — Pi, lehce dokážeme, že příspěvky od čtyřvektoru k k amplitudě (97) a od čtyřvektoru k' k amplitudě (102) by byly nulové i v případě použití kompletního polarizačního tenzoru: kau(p3, s3)^av(p4, s 4) = u(p3, s3)(/$3 + 7*4 MP4, s 4) = u(p3, s3)(m - m)v(p4, s4) = 0 , k/3v(p2,s2h^u(p1,s1) = v{p2,s2){i>i +1>2)u{pi,si) = v(p2,s2)(m - m)u(pi,si) = 0, k'au{p3,s3)-iau(pi,si) = u(p3,s3)(p:3 -Í>i)u{pi,si) = u(p3,s3)(m - m)u(pi,si) = 0, k'pv(p2, s2)^v(p4, s4) = v(p2, s2)(f2 - i>4)v{p4, sA) = v(p2, s2)[-m - (-m)]v(p4, s4) = 0 . 12.1 Diferenciální účinný průřez rozptylu elektronů na pozitronech Pro reakce se dvěmi částicemi (1 a 2) v počátečním a dvěmi částicemi (3 a 4) v konečném stavu Mandelstam zavedl tři invarianty: s = (pi+p2)2, t = (p3~P1)2 au = (p3—p2)2- Nejsou nezávislé, ale splňují vztah s + t + u = m2 + m2, + m2 + m2. Proces budeme popisovat v soustavě hmotného středu (cms), kde platí p\ +p2 = 0 a P3+P4 = 0. Protože všechny zúčastněné částice mají stejnou hmotnost, budou mít všechny i stejnou energii E a platí s = AE2. Invariant t souvisí s úhlem rozptylu 6 vztahem t = -2(E2-m2)(l-cos6). (103) Pro amplitudu rozptylu elektronů na pozitronech platí vztah M(2) = M(2d) + M(2c) ^ (1Q4) kde amplituda přímého diagramu M^2d^ je dána vztahem (97) a amplituda zkříženého diagramu je dána vztahem (102). Tyto vztahy si nejdřív upravíme na jednodušší tvar. Kromě triviálních úprav které se přímo nabízejí, vyjádříme kvadráty čtyřhybností virtuálních fotonů pomocí Man-delstamových proměnných, k2 = {p\ +P2)2 = s a k'2 = {p2 — P4)2 = t. Dále v obou dvou vztazích můžeme položit e = 0. Ve vztahu (97) proto, že s > Am2, ve vztahu (102) proto, že t < 0 kromě případu rozptylu na nulový úhel, který nebudeme uvažovat. Pomocí metrického tenzoru zavedeme do vztahů gama matice s dolním indexem 7^ = 4-m)bg E U3hU3a = (h+m)ha ^2v2fV2c = (fc-m)fc E uidule = (fi + m)de Sl plynoucí ze vztahů (113) v ktpl_201012.pdf. Jednotlivé členy potom uspořádáme tak, aby maticové indexy na sebe plynule navazovaly. Celý výraz se dá napsat jako součin dvou skupin, v rámci každé ze skupin budeme moci obnovit maticové násobení. Skupiny zvýrazňujeme zavedením hranatách závorek Yl = [(fa - m)bgYgh(fc + m)halab\ X [(fa ~ m)fcl^cd(fa + m)delvef\ ■ V první závorce máme součin čtyř čtvercových matic. Jeho výsledkem je prvek bb výsledné matice. Protože přes b se sčítá, dostáváme stopu výsledné matice. Podobně je to i ve druhé hranaté závorce. Výsledkem tedy je Y-v = Tr [(j44 - m)Y(fa + ™h1 Tr [(j$2 - m)^^ + m)7„] (108) Když vynásobíme první člen ze závorky v (105) druhým členem ze závorky v (106) dostáváme (znaménko minus je zohledněno v (107)) Y2= E ^37^4^27^1 ^47*^2^17^3 = E ^alabV^bV2cl^cdUldVAelvefV2fUlg^VghU3h . Sl,S2,SZ,S4, Si,S2,S3,S4 Kromě předešlých zaangažujeme i další dva vztahy E U4ř>«4e = {fa ~ m)be y^uldulg = {fa+m)dg Sl a dostaneme Y2 = (j$3 + m)ha^b(fA - m)^ ve f (fa - m)fc^^ifa + m)dg^vgh Yi y2 + y3 s2 st + t2 (107) 31 Na rozdíl od případu Y\ tady maticové indexy na sebe navazují po celé délce výrazu. Výsledkem je prvek hh matice která je součinem osmi matic. Po sčítaní přes h dostáváme stopu Y2 = Tr [{fa + m)7^4 - m)lv(fa - m)7/i(^i + m)7"] • (109) Podobně určíme i I3 a I4. Pro snazší porovnání zde uvádíme všechny výsledky: Y1 = Tr [($4-m)Y(h+ mh^} Tr [{fa - m)^^ + m)^] , Y2 = Tr [(j$3 + m)^(fa - m)^v(f2 - m)7M(^i +m)^v] , I3 = Tr [(j43 + m)^{p'1 + m)^v(p'2 - m) 7^(7*4 - m)^v] , Y4 = Tr [(fa+m)Y(h+ ™bM] Tr [{fa - m)^^-m)^v] . Všimněme si, že když v Y\ uděláme záměnu p\ o — p4 (nebo p2 o — p$) dostaneme I4. Při této záměně dojde i k záměně Mandelstamových invariantů s o t a invariant u zůstane nezměněn. To má za následek, že když si vyjádříme Y\ pomocí s a t, k určení I4 stačí ve vztahu pro Y\ přejmenovat s na t a více versa. Okamžitě, bez dalšího počítání, tak dostaneme I4. Stejnou úvahu můžeme aplikovat i na Y2 a Y3 se stejným výsledkem. Specielním důsledkem výše uvedeného je invariance součtu kvadrátů modulů amplitud (107) při transformaci s o t. Tento jev je specielním případem křížové symetrie (angl. crossing sym-metry). Dá se aplikovat i na amplitudy samotné, jenom p\ o — p4 musíme doplnit transformací polarizačních vektorů e± o e\. Křížová transformace p\ o — p4 se dá ilustrovat i diagramaticky. Když na přímém diagramu (obr. 6) přejde elektron z počátečního stavu se čtyřhybností p\ do konečného stavu jako pozitron s čtyřhybností p4 = —p\ a pozitron z konečného stavu s čtyřhybností p4 přejde do počátečního stavu jako elektron s čtyřhybností p\ = — p4, získáváme zkřížený diagram (obr. 7). Při křížové transformaci se přímý a zkřížený diagram vzájemně vymění. Experimenty které zkoumají srážky elektronů s pozitrony probíhají na zařízeních nazývaných akumulační prstence (storage rings). V nich obíhají proti sobě svazky elektronů a pozitronů a v několika navržených místech se protínají. První takovéto zařízení, AdA, bylo navrženo a zkonstruováno počátkem 60. let minulého století. Elektrony i pozitrony v něm měly energii E=200 MeV, obvod prstence byl 4 metry. Doposud největší zařízení tohoto druhu, LEP v CERN, které bylo v provozu v létech 1989-2000, mělo obvod 27 km a celková energie srážejícího se elektronu a pozitronu byla 2£ľ=209 GeV. Dlužno říci, že pružný rozptyl elektronů na pozitronech, který tady vyšetřujeme, má v současných experimentech malý význam a pozornost se soustřeďuje na produkci a zkoumání nových částic. Při energiích srážky mezi elektrony a pozitrony které vysoce převyšují klidovou energii elektronu (mc2 = 0,511 MeV) můžeme položit m = 0, čímž se nám výpočty značně zjednoduší. Začněme výpočtem Y±, které je po zanedbaní hmotnosti dáno vztahem Y1=Tt (M^37M) Tr [hltily) ■ Začněme výpočtem první stopy, při kterém použijeme známy vzorec pro stopu součinu čtyř gama matic Tr(7a7i/7/37M) = 4 {gav+ ga^gPv - gaPgv^ (110) a dostaneme Yla = 4 [pfc£ + Pípl ~ (p3P4)^'Í>Aryvhl^Í)ilV] ■ Nejdřív při úpravě součinu pěti posledních matic použijeme vzorec Ivlal^lpl" = -2 7/37//Ya (114) a dostáváme Y2 = -2 TY [^30^17^2] • Když použijeme vztah tak nám vyjde Y2 = -8(pip4) Tr fofa] = -32(pip4)(P2P3) = -8u2 , takže jako výsledek dostáváme y2 = -8(s + *)2. (116) S využitím křížové symetrie dostaneme další výsledky y3 = -8(s2 +2st + t2), (117) y4 = 8(r2 + 2st + 2s2). (118) a podle (107) i £ |-M(2)|2 = 16e4(- + 1 + - Sl,S2,S3,S4 1 \ 2 S t Při výpočtu účinného průřezu nepolarizovaného rozptylu musíme do obvyklého vzorce pro účinný průřez místo kvadrátu amplitudy dosadit kvadrát amplitudy sčítaný přes spinové stavy finálních částic a zprůměrovaný přes spinové stavy iniciálních částic, což v našem případě znamená |X(2)|2 = I ^ \M{2)\ Sl,S2,S3,S4 2 S Pro úpravu členů v závorce teď použijeme vztah t = -|(1 - cos9), kde ŕ? je úhel rozptylu elektronu v soustavě cms. |x(2)|2 = —4tä (3 +cos2 eÝ 4 sin I |X(2)|2 =4e4 (j + l + l) . (119) 33 Dosadíme do obecného vzorce pro diferenciální účinný průřez v soustavě hmotného středu (36) a využijeme vztah s = 4E2, kde E je cms energie jednoho z elektronů nebo pozitronů. Dále vyjádříme kvadrát náboje elektronu pomocí konstanty jemné struktury e2 = Aira a zavedeme konstantu {hc)2 = 0.38938 x 106 GeV2nbarn, která zajistí, že jestli na pravé straně dosadíme E v gigaelektronvoltech, účinný průřez dostaneme v nanobarnech. du ďň = ( ' 64£2 a2 (3 + cos2 6f sin (120) Porovnání vzorečku (120) s experimentálními údaji je na obr. 0.001 i i J_i_i_i i -0.8 -0.4 0.0 cos 0 0.u 0.6 (a) 15 -O „ c 10 co Ci V CD Ol O u t i i ; ! i—i—i—j—i—i—i—r TASSO 10 Obrázek 8: Porovnání výpočtů s použitím vzorce (120) s daty experimentu TASSO u kolajdru PETRA v ústavu DESY u Hamburgu, (a) Diferenciální účinný průřez pro různé energie yfš = 2E; (b) Účinný průřez získaný integrací přes úhlové proměnné. Feynmanovy diagramy se často používají v alternativní formě zobrazené na obr. 9. Co se hlavně liší, je diagram zkříženého kanálu. Teď je mnohem jednodušší a umožňuje jednoduchou, i když trochu naivní interpretaci. Interakce mezi elektronem a pozitronem je způsobená výměnou fotonu. Během interakce dojde ke změně pohybového stavu částic, výměně čtyřhybnosti mezi nimi. Můžeme se na to dívat dvěmi způsoby: a) elektron odevzdá čtyřhybnost ka = p\ — p% pozitronu, kterého čtyřhybnost tak nadobude hodnotu p4 = p2 + {pi — P3)', b) pozitron odevzdá čtyřhybnost k^ = p2 — Pa elektronu, kterého čtyřhybnost tak nadobude hodnotu p% = Pi + (j>2 — P a)- Čtyřhybnosti vitruálního fotonu se při těchto dvou náhledech liší: k^ = —ka. Příspěvek virtuálního fotonu k amplitudě závisí od kvadrátu čtyřhybnosti, které jsou stejné a rovny Mandelstamově proměnné t = k2 = k2, takže nejednoznačnost v našich představách o průběhu procesu se neprojeví na výsledku.7 7V procesech s virtuálním fermionem je situace jiná, jeho příspěvek závisí od "směru"čtyřhybnosti. Tam se za 34 2- -4 2--e->-*s-4 (s) (t) Obrázek 9: Jiná forma Feynmanových diagramů procesu e~e+ —> e~e+. Při nízkých energiích je příspěvek anihilačního kanálu, který je na obr. 9 označen jako (s), zanedbatelný. Kvantověpolní výsledek, reprezentovaný již jenom výměnným diagramem (i), se blíží ke kvantověmechanickému (oba počítané s nenulovou hmotností elektronu). V kvantové mechanice anihilační diagram neexistuje. Rozptyl pozitronů s elektrony se někdy nazývá Bhabhovým rozptylem, protože první odvození diferenciálního účinného průřezu dcr/dcosé? (s nezanedbanou hmotností) publikoval indický fyzik H. J. Bhabha v Proc. Roy. Soc. A154 (1936) 195. O třicet let později zahynul při havárii letu 101 společnosti Air India blízko Mont Blanku. 13 Feynmanova pravidla spinorové elektrodynamiky Na základě našich dosavadních výpočtů, založených na poruchovém rozvoji evolučního operátoru, můžeme usoudit, jak jednotlivé prvky Feynmanových diagramů přispívají k ij\4, tj amplitudě procesu vynásobené imaginární jednotkou: • Efj,(k,X) za vcházející foton • e*(fc,A) za vycházející foton • u(p, s) za vcházející lepton • u(p, s) za vycházející lepton • v(p,s) za vcházející antilepton • v(p, s) za vycházející antilepton • ie7^ za vertex spojený s fotonem, kterého polarizační vektor má Lorentzovský index fi • za virtuální foton: q2 + ie • za virtuální lepton, kterým protéká čtyřhybnost p ve směru šipky: i(ý + in) p2 — m2 + ie • (-1) za "skrížené leptonové nohy" správnou čtyřhybnost považuje ta, která "teče" ve směru šipky, kterou je virtuální fermion v příslušném diagramu opatřen. 35 14 Anihilace elektronu s pozitronem na dva fotony Jako první příklad aplikace Feynmanových pravidel budeme uvažovat anihilaci elektronu s pozitronem na dva fotony e (pi,si) + e+(p2,s2) ->• 7(P3,A3) + 7(P*4,s4) Í121] Příslušné Feynmanovy diagramy jsou zobrazeny na obr. 10. Kvadrát čtyřhybnosti tekoucí přes virtuální fermion na prvním diagramu je t = (pi — P3)2, na druhém u = (pi — P4)2. p,.s, P3.\ Pi-Bi "Pi-Pa P2.sí (t) Obrázek 10: Feynmanovy diagramy nejnižšího (druhého) řádu pro e e+ anihilaci na dva fotony. Zavedeme označení ui = u(pi,si), v2 = v(p2, s2), £3 = e(p3, A3), £4 = e(p4, A4), p = p\ - p3 a Q = Pi ~ Pa- S využitím Feynmanových pravidel pak můžeme psát i-M(2i)= 4^Wie7M) + m) p2 _ m2 _|_ j£ i(d + m) (ie7^)ui (ie7^) «i . Í122) (123) - mz +1£ Než postoupíme dále, zaveďme dva nové invarianty ť = t — m2 a u' = u — m2 a vyjádřeme je pomocí veličin v soustavě hmotného středu, kde je energie každé ze zúčastněných částic stejná, E = yfš/2. Uhel mezi p\ a p% nechť je 6, úhel mezi p\ a pA tak bude {tt — 9). Podíl hybnosti a energie elektronu je roven jeho rychlosti v. Můžeme psát ť = (pi -p3)2 ~ m2 : u' = (p1-pA)2 —2 -2(pip3) = -2{EiE% -pi -ps) -2(pip4) = -2(^1^4 -Pi -Pa) -2E2(1 -VCOS0), -2E2(l+vcos6). m Protože v < 1, jsou veličiny ť a v! negativně definitní. Takže můžeme v menovatelích pocházejících z Fourierova obrazu Feynmanova spinorového propagátoru položit e = 0. Sečteme (122) s (123) a po úpravách dostáváme amplitudu anihilace e~ a e+ na dva fotony M 2 * * — /~\iiv kde (124) (125) K výpočtu kvadrátu amplitudy budeme potřebovat i amplitudu komplexně združenou, kterou výhodněji získáme hermitovským združením výrazu (124). Současně ale změníme označení sumačních indexů /i —> p a v —> a, aby nedošlo ke konfuzi při výpočtu součinu A4^Á4. M] = -e2e3(Te4p (yl^Q^u^j = -e2e^eApu\Q^1%2 36 M] = -e2e3ae4p u1Q'Jav2 , (126) kde jsme zavedli označení Qt» = 7°Q^t7o = 7 t Když využijeme, že 7^ = 7°7ÍÍ7°, dostaneme I7-t(^t + m)7Pt + I7Pt(^t + m)7-t 7° QP- = V(j$ + m)y> + 17"(^ + m)7CT. (127) ť u' Kvadrát modulu amplitudy je roven \M\2 = e4e*3„e3(Telpe4pu1Q a4 na základě kterých dostaneme Y = ^(ňiQ^2)(«2Q^i). Sl,S2 Abychom mohli využít známy postup při sumování přes spinové stavy, rozepíšeme dvě maticová násobení vyznačená závorkami pomocí maticových indexů Y = E ^ÁQ^)abV2bV2cQcduld = ^ UldUla{Q^v)abV2bV2cQ^ ■ Sl,S2 Sl,S2 Teď použijeme vztah pro elektron E UldUla = {Í>1 + m)da si Yv2bv2c = (f2 -m)bc, Y = {Í>i+ m)da(Q^)ab(^>2 - mjbcQúL a pro pozitron čímž dostaneme 8V případě e~ + e+ —> e~ + e+ jsme ukázali na str. 28, že tyto členy by dávaly nulový příspěvek k přímému i zkříženému diagramu. V případě e~ + e+ —> 7 + 7 je situace komplikovanější, předmětné členy dávají nenulové příspěvky k individuálním diagramům, v součtu se však vyruší. Jedná se o projev Wardovy identity, která je důsledkem kalibrační invariance. Příslušné výpočty zde neuvádíme. 37 Navázanost maticových indexů nám říká, že se jedná o součin čtyř čtvercových matic, vedoucí na prvek dd součinu. Protože přes d se sčítá, výsledkem je stopa Y = Tr Napišme si (127) s dolními indexy {h+m)QIÍV{i)2-m)Q^ . (130) a připomeňme si i to, jak vypadá Q^v (125) = ly^ + m)Y + + 777)7^. v w Z výše uvedených vztahů je vidět, že (130) můžeme zapsat ve tvaru Y = lL + ^ + I±, (131) ťz ťu' U kde Yi = Tr [(/$! + m)^v{j) + 777)7^2 ~ 777)7^ + 777)7"] , Y2 = Tr [(^i + m)^v{i> + 777)7^2 - m)lv{i + m)7M] , 13 = Tr [(^1 + 777)7^ + 777)7^2 - 777)7^ + 771)7"] , 14 = Tr + m)7M(^ + 777)7^2 - 777)7"+ m)7M] • Abychom si výpočty zjednodušili, položíme 777 = 0, čímž omezíme platnost našich výsledku na energie mnohem vyšší než klidová energie elektronu. Použijeme vztah (114) a W"!*1 = -27° (132) a postupně dostáváme Y1 = Tr (^17^7^27^7") = -2 Tr(^i 7^7*27*7") = 4 Tr^i/tya/*) . Teď použijeme vztah (110) pro stopu součinu čtyř gama matic, což nám dá Yi = 16 [2{ppi){pp2) -p2{piP2)] Z definic p, q, s, ť a v! plynou při 777 = 0 vztahy (ppi) = — {pi p3) = ť/2, (pp2) = {p2Pa) = —ť/Z, p2 = ť, (pip2) = s/2 = — (ť + s')/2. Jejich použitím dostáváme Yx = 8tV a taky Y2 = Tr(|í17^27^7^7M) = -2 Tr^j^"^) = ~8 (pq)TÍPlp2). Při poslední úpravě jsme použili vztah (115). Dál nemusíme počítat, protože (pq) = {pi — P?){Pi - Pa) = P3P4 ~ Pi(P3 +PA- Pi) = P3P4 ~ P1P2 = s/2 - s/2 = 0 a tudíž Y2 =0. Další veličiny určíme použitím křížové symetrie t o u, a to I3 = 0, I4 = 8ťu'. Po dosazení do (131) nakonec dostáváme F = 8|7+t< 38 Když sem dosadíme ť = —2E2{1 — cosé?) a v! = —2E2{1 + cosé?) tak vychází S přihlédnutím k významu Y (129) můžeme pro kvadrát amplitudy sečtený přes polarizace finálních fotonů a zprůměrovaný přes spinové stavy počátečního elektronu a pozitronu psát ptTF = -e4Y 4 a po zavedení konstanty jemné struktury e2 = Aira ]M\* = 647TV - l) \ sin 0 J Po dosazení do obecného vzorce pro diferenciální účinný průřez v soustavě hmotného středu (36) dostáváme do" , ,9 a2 ( 2 \ , díl s \sm y / kde 6 je úhel mezi hybností elektronu a hybností fotonu. Vložili jsme tam i konstantu (hc)2 = 0.38938 x 109 GeV2 pbarn, která zajistí, že jestli na pravé straně dosadíme -^/š v gigaelektron-voltech, tak účinný průřez dostaneme v pikobarnech. Pro ilustraci uveďme, že experiment CELLO u e+e~ kolajdru PETRA v DESY (Hamburg) měřil účinný průřez anihilace elektronu a pozitronu na dva fotony pro | cos#| < 0.85 při y/š = 34.2 GeV. Jejich výsledek 178.1 pb, zatížený statistickou chybou 5.5% a systematickou chybou 5.3%, souhlasí s tím co vychází integrací vztahu (133) (185.2 pb). Naše formulka (133) dobře souhlasí i s naměřenou závislostí diferenciálního účinného průřezu na | cos 9\ (obr. 14). 15 Anihilace e a e+ na pár opačně nabitých fermionů Uvažujeme elementární nabité fermiony, tj. miony /x^ s hmotností ~ 207me nebo tauony s hmotností mT ~ 3477me. Pro určitost budeme mluvit o e+e~ anihilaci na pár fi+fi~. e"(pi,si) + e+(p2,s2) ->• V~(p3,s3) + fi+(p4,s4). (134) Miony, jako elementární částice se spinem ^ jsou popsány Diracovou rovnicí. Protože je ale budeme uvažovat současně s elektronem a pozitronem, musíme pro miony volit jiné označení spinorů a gama matic. Použijeme velká písmena ^f(x), T^, U (p, s), V (p, s). Přitom maticový prostor pro miony je odlišný od toho pro elektrony, takže např. výrazy T^^u nebo ý(x)fy(x) nemají smysl. Reakce je popsaná v nejnižším řádu jedním Feynmanovým diagramem (obr. 12). Výměnný diagram, jak jsme ho poznali v procesu e~ + e+ —> e~ + e+ tady chybí, protože v elektromagnetickém vertexu se nemůže elektron změnit na mion. Definujeme obvyklé invarianty s = (p\ +P2)2, t = {p\ — ps)2, u = (p\ — p^)2 a označíme jako m hmotnost elektronu a jako M hmotnost mionu. Pro mionové bispinory zavedeme označení U3 = U(ps,s^), V4 = V(p4,S4) a pro elektronové u\ = u(pi,si), v2 = v(p2,S2). S využitím Feynmanových pravidel píšeme k=pi+p2 39 _l_I_I_I_I_I_L. _L _i_i_i_i_i_ 0.2 0.4 Icos 8\ 0.6 0.8 Obrázek 11: Porovnání vzorce (133) s experimentálními daty skupiny TOPAZ u e+e kolajdru TRISTAN v ústavu KEK (Japonsko). což můžeme upravit do jednodušší formy M = — U3TUV4 V2lvux. e2 ^ (135) Kvadrát modulu amplitudy budeme znovu počítat jako A4^Á4, přičem v jednoduše odvozeném výrazu pro M) změníme sčítací index na fi o2 M] = — VaT^U* u 4l ^3 Ui7MU2 • (136) Vynásobíme pravou stranu (136) pravou stranou (135) a čtyři součiny tří matic, které se tam vyskytují, rozepíšeme pomocí maticových indexů A, B,C, D,a,b,c,d. Pro kvadrát modulu amplitudy tak dostáváme rA V4aTaBU3B U3C^CDV4D ^la7Mař>U2ř> v2c^vcduld . Budeme se znovu zabývat případem nepolarizovaných částic, takže budeme potřebovat součet kvadrátů modulů amplitud přes spinové indexy. Při jeho výpočtu použijeme vztahy Y uldula = (pi + mjda si ^2v2bV2c = {V2-m)bc Y,U3bU3C = {P3+M)BC S3 Y^VadVaa = {pa-M)da 40 Obrázek 12: Feynmanův diagram nejnižšího (druhého) řádu pro e e+ anihilaci na pár opačně nabitých mionů. Po obnovení maticového násobení zjistíme, že se tam vytvořily dva nezávislé maticové součiny čtyř čtvercových matic (jeden v elektronovém, druhý v mionovém maticovém prostoru) a že výsledkem obou jsou stopy výsledných matic. Součet kvadrátů modulů amplitud zapisujeme na základě toho ve tvaru £ \M\2 = ^A^B,V, (137) kde = Tr [ (j$4 - M)rM(j$3 + M)TV ] = Tr (j^r^r^) - M2Tr(rMri/), B^v = Tr [ (j$i + m)7M(/S2 - rn)^v }= Tr ( fi^^lv) ~ m2Ti(^^v). Jednoduchý výpočet s využitím (110) dá = 4[p^+plp^-g^(p3.P4 + M2)], B^v = 4 [ Pl^P2v + P2tíPlv ~ 9^(Pl-P2 + m2) ] . Lehce spočteme i A^B^ = 32[(pip4)(p2p3) + (PiPs)(P2P4) + m2{p3pA) + M2{Plp2) + 2m2M2] Při další úpravě využijeme vztahy 2(pip2) = s — 2m2, 2(p3p4) = s — 2M2, 2(pip3) = 2(p2p4) = m2 + M2 — t, 2(pip4)=2(p2p3)=m2 + M2 — u a nakonec i u + t = 2M2 + 2m2 - s. Po chvilce trápení dostáváme A^B^ = 8[4s(m2 + M2) - 2{m2 + M2)2 + u2 + t2} . (138) Zbývá nám ještě vyjádřit invarianty t a u jako funkce nějaké měřitelné veličiny. Jako takovou si vybereme úhel mezi p\ a p3 v soustavě hmotného středu, který označíme jako 6. Uhel mezi p\ a p a je {tt — 0). Protože pracujeme v soustavě hmotného středu, jsou energie všech částic stejné a rovny yfš/2. Mandelstamův invariant t je roven t = (Pl- p3)2 = m2 + M2 - 2{pxp3) = m2 + M2 - |(1 - vľv3 cos 9), kde ví je rychlost i-té částice v soustavě hmotného středu, v\ = y/l — Am2/s, v3 = y/l — 4M2/s. Podobně máme u = (jp1- p4)2 =m2 + M2 - 2(p1p4) =m2 + M2 - |(1 + vľv3 cos 6). 41 Do (138) potřebujeme dosadit r + u2 2 ( m2 + M2 2) + 2 Když to učiníme, tak dostáváme A^B [XV Asz 1 + -(m2 + M2) + 1 A.mř — v\v3 cos u ; 4M" cos2 e (139) Jestliže chceme získat diferenciální účinný průřez pro nepolarizované částice, musíme do obecného vzorce (36) dosadit kvadrát modulu amplitudy sečtený přes spinové stavy částic v konečném stavu a zprůměrovat přes spinové stavy částic v počátečním stavu. To znamená vydělit součet (137) čtyřmi. Navíc ještě vyjádříme kvadrát náboje elektronu pomocí konstanty jemné struktury, 4ira. S přihlédnutím k (139) tak získáme \M\< 16Tv2a2 1 + -(m2 +M2) + 1 1 4M< cos2 e což po dosazení do (36) dá diferenciální účinný průřez reakce e „2 da dli (hc) a ~4~s 4M2 4m2 1 + (m2 +M2) + 1 4mz 1 4M2 cos2 9 (140) Do vzorce jsme zavedli i konstantu (hc)2 = 0.38938 x 106 GeV2nbarn, která zajistí, že když na pravé straně dosadíme s v (GeV)2, účinný průřez dostaneme v nanobarnech. Integrací přes díž dostáváme _ 2m2' (hc) 4M2 1 + 1 + 2MZ 3s V s — 4m2 \ s ) \ s Při vysokých energiích můžeme zanedbat hmotnosti a vzorečky nabývají jednoduchý tvar da ,9 a2 , 9 * 141 Í142) (hcf 3s Porovnání účinného průřezu získaného ze vztahu (141) s experimentálními daty najdeme na obr. 13. Při součtu energií srážejících se částic do 550 MeV [podobrázek (a)] je souhlas výpočtu s daty uspokojivý. Avšak při energií nad 900 MeV [podobrázek (b)] je patrné, že naměřený účinný průřez systematicky převyšuje vypočtené hodnoty. Experimenátoři to zdůvodnili tak, že při vyšších energiích přispívá i Feynmanův diagram čtvrtého řádu s fermionovou smyčkou [obr. 13c]. Podle kvarkového modelu je produkce hadronů (silně interagujících částic) v anihilacích elektronů s pozitrony iniciovaná reakcí e~ + e+ —> kvark + antikvark. Kvark a antikvark nemůžou existovat volné, říká se tomu uvěznění kvarků (angl. quark confinement). Vzniknutý kvark a antikvark proto fragmentují na spršky (jets) hadronů. Tato představa byla podpořena experimentálním sledováním závislosti účinného průřezu reakce e~ + e+ —> hadrony na energii. Při překročení energetického prahu pro produkci určitého typu kvarků hadronový účinný průřez narůstá skoro skokově [v souladu se vzorcem (141)].9 Takto byly získány první indície o existenci c-kvarků. Ukazuje se taky, že úhlové rozložení spršek zhruba kopíruje úhlové rozložení kvarků podle vzorce (142), viz obr. ??. 9Musí se vzít do úvahy, že kvarky mají zlomkový náboj, ne celočíselný, a že existují ve třech modifikacích, tzv. barvách. 42 250 350 J_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_L_ i—i—i—i—|—i—i—i—i—|—i—i—i—i—|—i—i—i—i—|—i—i—i—r e+ e- -» fj.~ SND @ VEPP-2M J_i_i_i_i_I_i_i_i_i_I_i_i_i_i_L 400 . 450 500 Vs (MeV) 550 (a) Účinný průřez z experimentu CMD-2 900 1000 1100 1200 1300 1400 Vs (MeV) (b) Účinný průřez z experimentu SND Pa-Sa\ / P4-S4 e\ A* ey Pvsi ' \ P3'S3 (c) Diagram čtvrtého řádu který je podle SND kolaborace odpovědný za převis dat nad vztahem (141) Obrázek 13: Porovnání hodnot získaných ze vztahu (141) s experimentálními daty z experimentů u kolajdru VEPP-2M v institutu INP (Novosibirsk). Anihilace elektronu a pozitronu na dva těžší leptony se řídí zákony elektrodynamiky, která je invariantní vůči zrcadlení prostoru. To je vidět i na vzorcích (140) a (142) pro diferenciální účinný průřez, které se nezmění při transformaci cos 9 —> — cos 6. Naproti tomu, slabé interakce, odpovědné hlavně za převážnou část rozpadů částic a jader, nejsou vůči zrcadlení invariantní. Slabé interakce se změnou náboje a jiných kvantových čísel jsou zprostředkovány výměnou kalibračních bozonů mezi participujícími částicemi. Další kalibrační bozon, Z°, nemůže přenášet náboj ani jiná kvantová čísla. Je zodpovědný např. za rozptyl neutrin na elektronech, který byl pozorován poprvé v roce 1973 v bublinové komoře Gargamelle v CERN.10 Může taky přispívat k anihilaci elektronu a pozitronu na dva těžší leptony, jak je znázorněno Feynmanovým diagramem na obr. ??c. Protože mzo = 91,19 GeV (skoro desetinásobek hmotnosti protonu), tento diagram se projeví až při velmi vysokých energiích. Jeho interference s elektromagnetickým diagramem (obr. 12) vede k narušení invariance vůči zrcadlení a k předo-zadní asymetrii. Je to ilustrováno experimentálními výsledky na obr. ??. 1 Tento objev přispěl k důvěře v existenci kalibračních bozonů a ulehčil schválení trochu riskantního projektu, jakým byla proměna urychlovače SPS na kolajder SppS v CERN. Na něm pak byly bozony W a Z skutečně v roce 1983 objeveny. 43 5 5 5 5 44 5 5 5 5 5 5 5 5 16 Rozptyl elektronů na elektronech Jako ilustraci použití křížové symetrie si ukážeme, jak se dají vztahy odvozené pro rozptyl elektronů na pozitronech využít na určení diferenciálního účinného průřezu rozptylu nepolari-zovaných elektronů na nepolarizovaných elektronech e"(pi) + e~(p2) ->• e~(p3) + e~(p4). (143) Tato cesta je mnohem snazší než opětovné určování maticového elementu evolučního operátoru a i snazší než použití Feynmanových pravidel. Dá se ovšem použít jenom tehdy, když už máme spočtenu jednu z reakcí které jsou svázány křížovou symetrií. Pro jednoduchost budeme, jako v případě e~e+ rozptylu, klást m = 0. Vycházíme z toho, že z rozptylu elektronů na pozitronech e"(pi) + e+(p2) e~(p3) + e+(p4) dostaneme rozptyl elektronů na elektronech tak, že pozitron z počátečního stavu převedeme do konečného a naopak e~(Pi) + e-(-p4) e-(p3) + e-(-p2) (144) Feynmanovy diagramy pro elektron-elektronový rozptyl jsou ukázány na obr. 16. Výše zmíněnou transformací je dostaneme z diagramů pro elektron-pozitronový rozptyl (obr. 9). Diagram (t) z obr. 9 přechází na diagram (t) na obr. 16, diagram (s) na diagram (u). Porovnáním (144) s (143) (t) (u) Obrázek 16: Feynmanovy diagramy pro rozptyl elektronů na elektronech [t = (p\ — p3)2 = (P2 ~ Va)2, u=(pi- pA)2 = (p2 - ps)2}. zjišťujeme, že součet přes spinové proměnné kvadrátů amplitud pro rozptyl elektronů na elektronech můžeme dostat z obdobného součtu pro rozptyl elektronů na pozitronech transformací —P4 —> p2 a — p2 —> P4- Při této transformaci se z původního s = (jpi +p2)2 stane u = (jpi — p4)2 a naopak. Invariant t = (p3 — pi)2 = (p2 — P a)2 se přitom nezmění. Kvadrát amplitudy rozptylu elektronů na elektronech zprůměrovaný přes spinové stavy počátečních elektronů a sečtený přes spinové stavy konečných dostaneme tak, že obdobnou veličinu pro e~e+ rozptyl [vztah (119)] vyjádříme pomocí s a u, které pak navzájem vyměníme. Takže vycházíme ze vztahu (119), který zapisujeme tak, aby bylo jasné o který proces se jedná iÄwP = 4««(i+ £ + |)'. 45 Díky tomu, že předpokládáme nulové hmotnosti, platí t předchozího vztahu po úpravách dostáváme (s + u). Po dosazení za t do |AWI2 = 4e4 1 u u -+ - u + s s Po zámene s o u máme s s -+ - s + u u \Me-e-\2=4e4^l Po nahrazení u + s = — t to přepíšeme na tvar \M~~f = 4e4 (1 + j + s s \ 2 Při nulových hmotnostech platí vztahy í = —s(l — cos 0)/2 & u = — s(l + cos #)/2, kde je úhel mezi pi a P3- Pomocí nich dostáváme |AW|2=4e4 (3 + cos" sin4 9 (145) Po použití e2 = 47TQ! a dosazení do obecného vztahu pro diferenciální účinný průřez v soustavě hmotného středu (36) nakonec vychází da a2 (3 + cos2#)2 díl AE2 sin4 9 (146) kde E je energie jednoho z elektronů. Rozptyl elektronů na elektronech se nazývá M0llerovým rozptylem, podle dánskeho fyzika Christiana M0llera, který jako první publikoval vzorec pro diferenciální účinný průřez (s nenulovými hmotnostmi). Pro zajímavost (a jako výzvu pro zdatné počtáře) ho uvádíme da _ a2(E2+p2)2 dtt ~ AE2p4 + sin4 9 sin2 9 \E2+p p'- 1 + sin2 9 Zde, p = \/E2 — m2. Lehce se přesvědčíme, že pro m = 0 přechází M0llerův vzorec na náš vztah (146). 17 Rozptyl elektronů na stojících kladných mionech nebo bodových protonech Z experimentálního hlediska je rozptyl elektronů na mionovém terčíku e~(pi) +r{P2) e_(p3) +/i+(p4) (147) nerealizovatelný. Budeme se jím přesto zabývat, protože získaný diferenciální účinný průřez je stejný jako pro rozptyl elektronů na protonech za předpokladu, že proton je bodová částice bez vnitřní struktury. Tím slouží jako výchozí bod pro složitější vztahy, které strukturu protonu berou do úvahy. Avšak ani při vysokých energiích teď nemůžeme hmotnost mionu zanedbat, protože pak by neexistovala soustava, ve které je mion v klidu (laboratorní soustava). Když zanedbáme hmotnost elektronu, kinematika rozptylu elektronů na hmotných mionech je stejná jako kinematika Comptonova rozptylu, tj. rozptylu fotonů na hmotných elektronech. Proto můžeme využít vztah (60) s tím, že energii dopadajícího (vyletujícího) fotonu ují (uif) 46 nahradíme energií dopadajícího (vyletujícího) elektronu E\ (E3) a pro energii vyletujícího elektronu v laboratorní soustavě píšeme E3 =-„El „-. (148) l+2|isin2ř?/2 1 ' Podobně můžeme převzít vztah (61) pro diferenciální účinný průřez Comptonova rozptylu v laboratorní soustavě, ve kterém nahradíme hmotnost elektronu hmotností mionu M do- 1 ÍE^2 dtt 64tt2M2 V Ei \M\2. (149) Namísto kvadrátu amplitudy z původního vzorečku jsme napsali |.M|2, což je kvadrát amplitudy sečtený přes spinové stavy konečných částic a zprůměrovaný přes spinové stavy počátečních částic. Vyznačili jsme tak, že se budeme zajímat o rozptyl nepolarizovaných částic na nepolari-zovaném terčíku a budeme akceptovat všechny vycházející částice bez ohledu na jejich spinový stav. Při určování účinného průřezu rozptylu (147) využijeme to, že tento proces je spřízněn křížovou symetrií s procesem (134) e"(pi) + e+(p2) ->• /x~(p3) + Aí+(P4) • Když provedeme křížovou transformaci p2 <-> — p$, které odpovídá záměna s o t, přejde jeden proces na druhý. Kvadrát amplitudy procesu (134) sečten přes koncové a zprůměrován přes počáteční spinové stavy dostaneme spojením vztahů (137) a (138) a je roven E \Me-e+^-»+? = Mm2 + M2) - 2(m2 + M2)2 + u2 + t2] . Sl,S2,S3,S4 Když položíme hmotnost elektronu m nule a použijeme u = 2M2 — s — t dostáváme E l-^e-e+^-M+l2 = ^ [2M4 - 4M2Í + s2 + 2st + 2í2] . Po křížové transformaci s o t vyjde E l-^e-M+^-M+l2 = ^ [2M4 - 4M2s + t2 + 2st + 2s2] . Sl,S2,S3,S4 Po vydělení počtem spinových stavů počátečních částic a zavedení konstanty jemná struktury a = e2/(Au) vychází 327r2a2 \M\2 = [2M4 - 4M2s + t2 + 2st + 2s2] , Při úpravě výrazu v hranatých závorkách použijeme nejdřív vyjádření Mandelstamovy proměnné s = (Pi +P2)2 pomocí veličin v počátečním stavu s = M(M + 2E\) a dostáváme 327r2a2 \M\2 = —ž— [8M2Ef +t2 + 2M(m + 2E1)t] . (150) Abychom nám vyšel diferenciální účinný průřez v zaužívané formě, definujeme prostorupodobný čtyřvektor q=p\— ps, který je roven čtyřhybnosti přenesené z elektronu na terčík. Platí q2 = t a uvnitř hranaté závorky v posledním vztahu nahradíme t2 součinem tq2. V dalším kroku 47 použijeme vztah pro Mandelstamovou proměnnou t = (p3 — pí)2, který díky tomu, že hmotnost elektronu klademe rovnou nule, nabývá jednoduchý tvar t = -AEi E3 sin2 - . Z hranaté závorky vytkneme výraz 8M2E1E3, čímž se z prvního členu v závorce stane E±/E3, pro což ze vztahu (148) máme Ei 2Ei . 2 0 —— = 1 H--sin - . E3 M 2 Výraz v hranaté závorce se tím značně zjednoduší a dostáváme 167r2a2M2 í o0 Q2 o0 = 2Z^L^_ I cos2---* sin2 ' ' SiS3sin4fV 2 2M2 Po dosazení do (149) nakonec získáváme der a2 E3 f 2 0 q2 . 2° cosz---^sinz- . 151 dn AE2 sin4 f-Bi V 2 2M2 2 Dlužno podotknouti, že závislost na úhlu rozptylu není tak jednoduchá, jak by se na první pohled ze vztahu (151) mohlo zdát. Musíme si uvědomit, že závislost na 0 je ukrytá i v dalších členech, a sice E3 _ M Ex~ M + 2EX sin2 f ' 2_ 4£2Msin2f M + 2EX sin2 | ' 2 V případě rozptylu elektronů na protonech se struktura protonu bere do úvahy zavedením dvou funkcí kvadrátu přenesené čtyřhybnosti, nazývaných formfaktory der a1 E3 áň = AE\ sin4 f ~Ě\ Formfaktory se určují fitováním experimentálních údajů o diferenciálním účinném průřezu rozptylu elektronů. Ze známých formfaktorů se dá určit rozložení náboje a magnetického momentu protonu. Za určování elektromagnetické struktury jader a nukleonů získal Robert Hofstadter Nobelovu cenu za rok 1961. 18 Odvození vztahů s 7 maticemi Na tomto místě podáváme odvození vztahů s 7 maticemi, které jsme při aplikaci spinorové elektrodynamiky na konkrétní procesy používali. I když se jedná v podstatě o látku ze zimního semestru, při nedávných konzultacích jsem zjistil, že bude užitečné si ji zopakovat. Vycházíme ze základního antikomutátoru 7 matic 7V+7V = 2 kde mezi dvěmi 7 maticemi se stejnými indexy v různých polohách (tedy sčítacími), se nacházela jedna, dvě, nebo tři další 7 matice. Začněme úpravou prvního z nich 7*7^7° = 7a(2flpa - 7a7M) = ^ - 7*7*7" Teď použijeme vztah 7^7° = 47, který dostaneme kontrahováním vztahu (152) s gv^, a máme výsledek 7^7° = -27M • (155) Dalším případem je 7a7M7V = Wp(2gua ~ 7V) = 27V " 7*7^7" Na úpravu druhého členu použijeme vztah (155) a dostáváme 7a/7Y = 2(7Y+7Y) Za výraz v závorce dosadíme ze vztahu (152) a vyjde nám 7a7M7V=V-/. (156) Nakonec uvažujme 7a7p7V7a = 7a7/V(2flpQ! - 7°7P) = 2^p^v - l^YTl9 = 27W - 4^V • Poslední člen jsme upravovali s pomocí (156). Teď už můžeme 27p vytknout 7a7M7V7a = 27p(7M7" - 2 x'k = xk — Xq generuje zákon zachování odpovídající složky hybnosti. Invariance Lagrangeovy funkce vůči rotacím kolem určité osi Ok —> 0'k = 6k — Ook má za následek zákon zachování průmětu momentu hybnosti na onu osu. Základní článek11 o souvislosti transformačních vlastností polních rovnic (pro bezspinové částice i částice se spiny ^ a 1) se zákony zachování publikoval Wolfgang Pauli v době kdy již byl profesorem v Institute for Advanced Study v USA. Jednalo se o vylepšenou verzi referátu který Pauli připravoval pro Solvayův kongres v roce 1939, ten se však už kvůli situaci v Evropě neuskutečnil. Pauliho článek byl publikován v době, kdy mnoho států v Evropě již bylo okupováno, ani ne měsíc před vpádem Německa do Sovětského svazu a sedm měsíců před přepadením Pearl Harbor Japonci, které mělo za následek vstup USA do války. Takže Pauliho článek bohužel zapadl a ani v dnešní době se v souvislosti se zákony zachování v teorii pole často nezmiňuje. Případ klasického K rozměrného pole s komponentami (f>i(x),..., ,d(f>), která nezávisí na časoprostorových souřadnicích explicitně, ale přes takovou závislost komponent pole a jejich derivací. • Invariantnost Lagrangeovy hustoty vůči spojité transformaci nemá za následek přímo existenci zachovávající se veličiny, ale existenci zachovávajícího se (splňujícího rovnici kontinuity) čtyřproudu. Zachovávající se veličinou je pak prostorový integrál z nulté komponenty tohoto čtyřproudu. • Pro mnohokomponentní pole (s výjimkou skalárního pole) z invariance Lagrangeovy hustoty vůči prostorovým rotacím neplyne zákon zachování orbitálního momentu hybnosti, ale celkového, tj součtu orbitálního a spinového (který v klasické mechanice neexistuje) momentu hybnosti. "Vyšel 8. května 1941 v Reviews of Modern Physics 13, 203 (1941). 50 • V teorii pole jsou důležité i transformace při kterých se časoprostorové souřadnice nemění, transformační předpis je zadán přímo pro komponenty pole. Tyto transformace se nazývají interní a v klasické mechanice nemají analog. V poslední době nabývají na důležitosti ve spojení s kalibračními teoriemi pole, které umožňují exaktně popisovat i interakce, které se v klasické fyzice nevyskytují. Zákony zachování při interních transformacích Uvažujme lf-komponentní pole (f>i(x), (f>2(x), ■ ■ ■, ((>k(x) a -/V-parametrickou spojitou transformaci s parametry aj, i = 1,...,N, přičemž při identické transformaci jsou všechny a nulové. Každá komponenta pole po transformaci může obecně záviset od všech komponent pole před transformací. Pro 6-tou komponentu pole po transformaci píšeme k b'b(x,a) = y~] Aba(a)4>a( (158) a=l kde A je čtvercová matice K x K. Změnu komponenty pole při transformaci (158) s infinitezimálně malými hodnotami parametrů 8a zapíšeme jako n k (159) i=l a=l kde jsou čtvercové matice K x K s komponentami (í) _ 1 (dAba(a D ba don (160) o Změna Lagrangeovy hustoty při infinitezimálně malých změnách komponent pole je rovna k 6=1 <9£ e, 9C . d4>b d{dp4>b) V prvním členu z hranaté závorky nahradíme derivaci pomocí Lagrangeovy rovnice a v druhém členu použijeme ó(8p{x), (163) která se od verze kterou jsme používali v přednáškách z Kvantové pole I [ soubor spinpole.pdf, rovnice (1)] liší o čtyřdivergenci ^d^ \ip(x)rYfJ"ip(x)~\, tudíž vede přes Lagrangeovy rovnice na stejné pohybové rovnice (Diracovy rovnice pro ip a ip). 52 Spinorové pole je polem osmikomponentním, jeho komponenty stotožňujeme s maticovými elementy spinorových polí ip{x) a ip{x) takto: i(/(x) = e-iqaý(x), (166) ý(x) -+ ý'(x) = eiqaý(x), (167) kde reálné číslo a je parametrem grupy a q je náboj elektronu (který jsme tam zavedli kvůli snadné pozdější interpretaci získaného zachovávajíceho se proudu). Tuto transformaci13 nazýváme globální, protože je stejná v každém bodě časoprostoru. Derivace pole se transformuje stejně jako pole samotné [d^{x)\ [d^(x)]' = e-^a[d^(x)] (168) a Lagrangeova hustota se nemění £0 £'o = Cq , (169) Protože se každá komponenta ipa transformuje stejně a komponenty se nemíchají, pro transformační matici zavedenou ve vztahu (158) můžeme napsat Aba(a) = e-iqaSba , pro b, a = 1, 2, 3,4 a pak i podle (160) Dba = -qóba . (170) Koeficienty Dba pro hodnoty indexů b, a = 5, 6, 7, 8 pro účely určování zachovávajícího se proudu (162) nepotřebujeme, protože díky nulovosti derivace (165) přispívat nebudou. Po dosazení vztahů (164) a (170) do (162) dostáváme pro zachovávající se proud generovaný globální kalibrační transformací (166) f(x) = #(x)7^), (171) který známe z kapitoly 2 jako čtyřvektor hustoty toku náboje. 20.3 Lokální kalibrační transformace Nahraďme teď parametr a v transformaci (166-167) reálnou funkcí14 a(x). Při takto vzniklé transformaci se fáze polí změní různě v různých časovoprostorových bodech, mluvíme proto o lokální transformaci. i>{x) -+ i>'{x) = e-iqa^i>{x), (172) ^(x) ý\x) = éqa(-x^(x), (173) 13Na komplexní číslo kterým pole tp(x) násobíme, můžeme nahlížet jako na unitární matici rozměru lxl, která je prvkem grupy U(l). Grupu transformací generovaných těmito maticemi označujeme stejně, tj. jako U(l). Jedná se o grupu komutativní (abelovskou). 14S funkcí \{x), kterou jsme při úvahách o kalibrační transformaci používali dříve, souvisí vztahem a(x) = -xO)- 53 Pro derivaci pole po transformaci máme d^'(x) = e-^*) [-iqtP{x)d^a{x) + d^(x)} Při této transformaci se Co změní na C'o = ip'(x) (Í7M9M — m ) tp'(x) = ip(x) (Í7M9M — m ) ip(x) + q^p(x)^,1^(x) d^a(x), co s přihlédnutím k (163) a (171) můžeme zapsat ve tvaru £'o = Co+r{x)d^a{x). (174) 20.4 Zavedení kalibračního pole, jeho interakce s proudem Lagrangeova hustota volného spinorového pole (163) není invariantní vůči lokální transformaci (172-173). Abychom našli Lagrangeovu hustotu která bude kalibračně invariantní musíme předpokládat, že existuje pole A^(x) které se váže na čtyřproud j^(x) tak, že vykompenzuje15 nežádoucí příspěvek ve vztahu (174). Píšeme proto A = Co-f(x)A^x). (175) Protože čtyřproud (171) je invariantní i vůči lokální transformaci, pro novou Lagrangeovu hustotu po lokální transformaci máme C[ = C'o-f(x)A'^x) = Co +ť(x)dfla(x)-j»(x)A'tl(x) a s využitím (175) taky C[ -£1= f{x) [d^a(x) - A'^x) + A^x)] . Aby byl námi zvolená Lagrangeova hustota kalibračně invariantní, tj aby platilo C[ = C±, musí se kompenzační pole transformovat při kalibrační transformaci podle vztahu A'^x) = A^x) + d^x). (176) Když zavedeme kalibračně kovariantní derivaci Dfj, = + iqAf,, můžeme Lagrangeovu hustotu (175) zapsat ve tvaru Ci = V>(X)(Í7M~ fn)il)(x). 20.5 Materializace kalibračního pole Pokud chceme kompenzační pole učinit integrální součástí dynamického systému a umožnit jeho kvantování, musíme do Lagrangeovy hustoty přidat taky část která popisuje volné kompenzační pole (tzv. kinetický člen) a to kalibračně invariantním způsobem. Při její konstrukci využijeme tenzor elektromagnetického pole (field strength tensor, Faraday tensor, Maxwell bivector) Fllv(x) = dllAv-dvAll, (177) 'Takováto pole se nazývají kalibračními nebo kompenzačními (gauge fields, kompensirujuščije polja) 54 který je kalibračně invariantní, protože d^dva(x) = d^d^a(x). Kvadrát tohoto tensoru F2 = F^VF^V musí do kompletní Lagrangeovy hustoty vstupovat s negativním multiplikačním faktorem, závislým od výběru jednotek. V Heavisideově soustavě jednotek jej klademe roven — ^. je kompletní Lagrangeova hustota rovna C = VKx)(i7^ - m)V(x) - -F^ - f{x)A^x). Rozeznáváme tu postupně Lagrangeovu hustotu volného spinorového pole, volného elektromagnetického pole a člen popisující interakci elektromagnetického pole se spinorovým, jak jsme jej jiným způsobem odvodili v kapitole 2. 20.6 Kalibrační teorie silných a slabých interakcí Při formulaci kvantových teorií které popisují procesy a interakce nemající analog v klasické fyzice nemáme samozřejmě žádný vzor ze kterého bychom mohli vycházet. Jedná se při tom o tak důležité interakce jako je silná interakce (díky které např. drží pohromadě jádra atomů) a slabé, nejznámějším projevem které jsou rozpady jader a částic. Tady přicházejí ke slovu kalibrační teorie pole, ve kterých se interakce zavádí z požadavku lokální kalibrační invariance Lagrangeovy hustoty. Jako příklad uveďme kvantovou chromodynamiku, která je kandidátem na objasnění silných interakcí. Ta vychází z poznatku, že kvarky mají další kvantové číslo, které může nabývat tři hodnoty. Říká se mu barva. Vlnová funkce kvarku je s ohledem na barvu trojkomponentní. Lagrangeova hustota kvarkového pole je invariantní vůči globálním transformacím, při kterých vlnovou funkci násobíme maticí z grupy SU(3), která je osmiparametrická a nekomutativní. Z globální invariance plyne existence osmi zachovávajících se proudů. K dosažení invariance vůči lokálním transformacím je nutné zavést osm kalibračních polí. Jejich kvanta, kterým se říká gluony, se liší od sebe barvou, která je u gluonů dána různými kombinacemi kvarkové barvy a antibarvy. Tvoří osmirozměrnou reprezentaci grupy SU(3), zatímco silně interagující částice (hadrony) jsou barevně neutrální, tudíž patří do reprezentace jednorozměrné. Gluony mají, podobně jako kvanta elektromagnetického pole, nulovou klidovou hmotnost. Ve výsledné Lagrangeově hustotě se kromě členu popisujícího interakci kvarků s gluony, se jako důsledek nekomutativnosti kalibrační grupy objeví i členy, popisující interakci gluonů mezi sebou. To je zásadní rozdíl vůči kvantové elektrodynamice, ve které fotony mezi sebou přímo neinteragují (fotony se na fotonech mohou rozptylovat až ve čtvrtém řádu poruchového rozvoje, kde se ve Feynmanovém diagramu objeví spinorový čtvereček do rohů kterého jsou napojeny fotony). Co se slabých interakcí týče, jejich popis je komplikovanější, protože kvanta kalibračního pole (W^ a Z° bosony, objevené v CERNu v roce 1983) mají nenulové hmotnosti, přibližně stokrát větší než proton. Tam už se musí zapojit do hry skalární pole, kvantum kterého (Higgsův boson) bylo objeveno v roce 2012. 55