1 Funkce Funkce je predpis, který každému cislu x z definičního oboru M pripradi pravé jedno y z oboru hodnot N. Zapisujeme ji: 1- V = f(x) 2. / :y = x Definiční obor Definicini obor je množina všech pripustnych hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých muze x nabývat. Znacime ho D(f). Priklady: 1. f : y = x, zde je resenim cely obor reálnych cisel 5R => D(f) = 5R 2. / : y = -, v tomto pripade definicni obor reálna cisla mimo 0 D(f) = 5R\{0} X 1.1 Obor hodnot Obor hodnot je množina všech reálnych hodnot cisel y, která dostaneme jako vystupni hodnoty jestliže za x dosadime všechny pripustne hodnoty z D(f). Znacime ho iř (/). Priklady: 1. / : y = x, definicni obor D(f) = 5R, pak H(f) = 5R 2. / : y = \x\, absolútni hodnta, tedy obor hodnot bude H(f) =< 0, oo) 3. / : y = x2, D(f) =< —2, 2 >, dosadime-li do funkce,dostaneme, ze naby-vaji pouze nezáporných cisel mensich nebo rovných 4, tedy H(f) =< 0,4 > Polynomické, racionální lomené, exponenciální a goniometrické funkce Polynomické funckce Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n G N) je dána předpisem / : y = anxn + cin-ix™-1 + ...a^x1 + a\xx + a$x° (1) Definiční obor: Všechna reálná čísla. Obor hodnot: Všechna reálná čísla. Věta: Každá polynomická rovnice stupně n má v oboru reálných čísel nejvýše n kořenů počítáno i s jejich násobností. Věta: Každá polynomická rovnice lichého stupně má v oboru reálných čísel aspoň jeden kořen. 1 Příklad: Načrtněte grafy funkcí a : y = xa b : y = x2 — 2x + 2 (2) 0 -10 y=2x3-5x2+6x-3 ; -20 ; -30 ; -40 ; -50 _j_i_i_i_i_i_i_i_i_i_ -2-10 1 2 x Obrázek 1: Ukázka polynomické funkce. Racionálně lomenné funckce Definice: Polynomická funkce (n, m € R) je dána předpisem _ _ a„xn + an-ixn~l + ...a2x'2 + aix1 + a0x° bmxm + brn-ix™-1 + ...b2x2 + bix1 + b0x° ^ ' Definiční obor: Všechna reálná čísla, krom kořenu polynomu ve jmenovateli. Obor hodnot: Všechna reálná čísla. 0 -2 2x3-5x2 + 6x-3 x2 + 1 -4 -6 - -8 -10 -2-10 1 2 Obrázek 2: Ukázka racionálně lomenné funkce. 2 Exponenciální a logaritmická funkce Mocninná funkce: y = x a e R, x > 0, kde x je základ a a je exponent. Exponenciální funkce: y = a x e R, a > 0. (4) (5) : y=10x/ ; y v/ Obrázek 3: Ukázka exponenciální funkce. Logaritmická funkce: y = loga(a;), x > 0, a > 0, (6) kde a se nazývá základ. Věta: Logaritmus (jeho hodnota, zde y) je exponent na který musíme umocnit základ, abychom dostali číslo x (argument) y = loga(a;) <=> x = av. Věta: Logaritmická funkce je inverzní k funkci exponenciální - jejich složení dává původní hodnotu vloženou do funkce. Definice: Přirozený logaritmus je logaritmus o základu e, kde e = 2, 7182818 je Eulerovo číslo a značíme ho ln (ln(x) = loge(a;)). Definice: Dekadický logaritmus je logaritmus o základu 10 a zapisuje se bez číslovky základu tedy log10(a;) = log(a;). Vlastnosti logaritmu: x loga(x ■ y) = \oga{X) + loga(y)> loSa(-) = l0go(z) ~ l°ga(y)> y logaí^) = r ■ l°9a(x), loga(l) = 0, loga(a) = 1. 3 -1 -2 ; y=Logsx,--- S ^----- y=Log10x ; O 2 4 6 8 10 x Obrázek 4: Ukázka dekadické a přirozené logaritmické funkce. Goniometrické funkce Obrázek 5: Geometrická definice goniometrických funkcí. sin(x) cos(x) tan(x) Obrázek 6: Ukázak goniometrických funkcí sin(a;), cos(a;), tan(a;). 4 Vlastnosti goniometrických funkcí: 2 2 1 /7r sin a; + cos x = 1, cota; =-, siní--a;) = cos a;, tana;' v2 ' cos--a; = srna;, tan--a; =cota;, cot--x = tana;, v2 ' v2 7 v2 7 /\ /\ -2^ cos 2a; sm(— x) = — srna;, cos(— xj = cosx, tan(— xj = — tana;, sin x=---, 1 + cos 2a; cos x = - 2 Shrnuti a príklady 2.1 Sestrojováni grafu 2.1.1 Lineami funkce Do rovnice funkce dosadíme nejakou hodnom xa x, napr.O a dosadime do rovnice a dostaneme y a tim dostaneme souřadnice jednoho bodu, oznacime A. Jelikož jsou obor hodnot i definicini obor všechna 5R, muzeme si vybrat jakékoliv cislo a opet dosadime Zel X Si vypocitame y. Tim dostaneme druhy bod B. Zakreslime do grafu a propoj enim bodu dosyaneme graf lineami funkce. V pripade, ze mame funkci omezenou na nejakou cast D(f) dosadime tyto krajni body za x a vypocitame y-nove souřadnice 2.1.2 Kvadratická funkce Grafem je parabola. Vypocitame vrcholy funkce, které jsou dane vzorci: 1. souřadnice x -b 2a 2. souřadnice y b c-- 4a Pote polozime rovnici = 0 a dopocitame kořeny. Tim dostaneme pruseciky s osou x. Je-li a v rovnici aa;2 + bx + c = 0 kladne, je parabola otevřena nahoru, je-li záporne, je obracena - otevřena dolu. 2.1.3 Exponenciálni funkce Exponenciálni funkce prochazi bodem o souradnicich [0,1], za a; opet dosadime a dopocitame y, tim dostaneme duhy bod. Oba zakreslime do grafu a propojime (pr exponenciálni funkce) 5 2.1.4 Pravidla pro pocitani logaritmických funkci Nyní zavedeme ještě další zápis pro mocninu ď = r, kde základ a je kladné reálné číslo různé od jedné. Poznámka Logaritmus čísla r > 0 o základu a > 0, a ý 1 je takové číslo v, pro které piati: ď - r. Zápis loga r = v čteme "logaritmus r o základu a je v". Číslo a nazýváme základ logaritmu, číslo r nazýváme argument logaritmu, číslo v nazýváme logaritmus. argument logaritmus loga T = V' zaklad Přiklad vypočtu: Vypočtete log3 9 Reseni: 1. hledané cislo si oznacime symbolem ?: log3 9 =? 2. prepiseme rovnost podle dfinice logaritmu: log ar = v => a" = r 3? = 9 3. hledáme ? lehce odhadneme, ze hledané cislo je 2, jelizko 32 = 9 4. výsledek je tedy log3 9 = 2 Pri sestrojováni grafu postupujeme obdobne jako v predchozim pripade, nalezneme tedy dva body jez protneme našim grafem. 6 2.1.5 Vlastnosti funkci Rovnice y = ax + b D{f) R H(f) M Rostoucí, klesající Lineární funkce je rostoucí pro a > 0 a klesající pro a < 0. Sudá, lichá Lineární funkce není ani sudá, ani lichá. Prostá Lineární funkce je prostá. Periodická Lineární funkce není periodická. Omezenost Lineární funkce není omezená ani shora, ani zdola. Graf Grafem lineární funkce je přímka. Obrázek 7: Vlastnosti lineami funkci 7 Rovnice y = ax2 + bx + c D(f) R mf) Pro hodnoty koeficientu a > 0 je a pro hodnoty koeficientu a < 0 je £T(/) = ^—oo; ~t^4ac V V dalším textu se dozvíme, jak jsme k těmto intervalům dospěli. Rostoucí, klesající Kvadratická funkce není na svém definičním oboru ani rostoucí, ani klesající. Pro kladné hodnoty koeficientu a je tato funkce na intervalu ^—oo; klesající a na intervalu ; oo^ rostoucí. Pro záporné hodnoty koeficientu a je tato funkce na intervalu ^— co; rostoucí a na intervalu ^-=^ ;oo^ klesající. Sudá. lichá Obecně není kvadratická funkce ani sudá, ani lichá. Pro hodnotu koeficientu 6 = 0 (tzn. funkce ve tvaru f: y = ax2 + c) je kvadratická funkce sudá. Prostá Kvadratická funkce není prostá. Periodická Kvadratická funkce není periodická. Omezenost Pro hodnoty koeficientu a > 0 je kvadratická funkce omezená zdola a pro hodnoty koeficientu a < 0 je kvadratická funkce omezená shora Graf Grafem kvadratické funkce je parabola. Obrázek 8: Vlastnosti kvadratických funkci 2.1.6 Príklady funkci 8 Rovnice y = ď D(f) M H(f) (0;oo) Rostoucí, klesající Exponenciální funkce je rostoucí pro hodnoty základu a > 1 a klesající pro hodnoty základu a £ (0; 1). Sudá, lichá Exponenciální funkce není ani sudá, ani lichá. Prostá Exponenciální funkce je prostá. Periodická Exponenciální funkce není periodická. Omezenost Exponenciální funkce je omezená zdola. Obrázek 9: Vlastnosti exponenciálních funkci Rovnice D(í) (0;oo) H(f) R Rostoucí, klesající Logaritmická funkce je rostoucí pro hodnoty základu a > 1 a klesající pro hodnoty základu a G (0; 1). Sudá, lichá Logaritmická funkce není ani sudá, ani lichá. Prostá Logaritmická funkce je prostá. Periodická Logaritmická funkce není periodická. Omezenost Logaritmická funkce není omezená. Obrázek 10: Vlastnosti logaritmických funkci 9 Pro x, xi,x2 G (0; +00), r G R a a, b G (0; +oo)\{l} platí: • lo&X = r ■ lo^x • logaG = 1 • iQgJ = 0 Obrázek 11: Pravidla pro pocitani logaritmichych funkci 3. Načrtnete graf funkce /, která je zadána předpisem f : x = 2x + 3. ^ j Snadno můžeme určit dva body, které leží na grafu této lineárni funkce např. tak, že za x resp. za y dosadíme 0 a druhou souřadnici dopočteme. Takto získanými body A = [0;3], B = [1,5; 0] proložíme přímku. y 1 x -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 E 1 \2 3 4 5 t \ \ \ \ \ 10 5. Načrtněte graf funkce /, která je zadána předpisem / : y — 2x — 2; D(f) — {0; 3). ^ | Obdobně jako v přikladu 3. určíme dva body, které odpovídají krajním hodnotám definičního oboru A = [0; — 2], B= [3;4]. Tyto dva body spojíme úsečkou, a konce označíme plným nebo prázdným kroužkem podle toho, jestli dané hodnoty leží nebo neleží v definičním oboru. 5 4 3 2 -1 ¥ 1 / X -5 -4 -3 -2 -1 0 /1 2 3 4 5 -2' -3 -4 -5 7. Načrtněte graf funkce g, která je zadána předpisem g : y = —1,5. f ] Jedná se o předpis konstantní funkce. O konstantní funkci víme, že její graf je přímka rovnoběžná s osou x. Dále víme, že graf funkce protíná osu y v bodě o y-ové souřadnici rovné koeficientu 6. Koeficient b — —1,5. 5 4 3 2 1 ř -5 -4 -3 -2 -1 0 í 1 2 3 4 5 " I -2 -3 -4 -5 11 9. Graf lineární funkce je zadán dvěma body A — [1; 1], B — [—3; —1]. Načrtněte graf lineární funkce a u Graf získáme snadno tak, že v kartézské soustavě souřadnic zobrazíme body A — [1; 1], B — [—3; —1] a proložíme jimi přímku. V v 3. Je dán předpis funkce / : y = 0, 5a;2 Načrtněte graf této funkce. ^ j Koeficient a v předpisu funkce má kladné znaménko - parabola bude 'otevřená' nahoru. Koeficient b je nulový - a;-ová souřadnice vrcholu bude mít hodnotu 0. Souřadnici y vrcholu určíme z koeficientu c. Vrchol paraboly vypočteme podle V = [— ^ ; c — |^]. Vrchol paraboly má souřadnice V = [0; —2]. Jedná se o druhý speciální případ kvadratické funkce, průsečíky paraboly s osou x můžeme zjistit snadno, když rovnicí 0,5a;2 -2 = 0 upravíme na tvar 0,5a;2 = 2, odkud xU2 = ±V3 = ±2. \ 4 \ 3 \ 1 1 \ 4 ¥ i V / K -4 -3 -V -1 0 \ -1 1/234 -3 -4 12 4. Je dán předpis funkce f : y = —3x2 + Qx. Načrtněte graf této funkce, f I Koeficient a v předpisu funkce má záporné znaménko - parabola bude 'otevřená' dolů. Koeficient b v předpisu funkce má opačné znaménko než koeficient o, vrchol paraboly tedy bude napravo od osy y. Koeficient c je nulový, proto parabola protíná osu y v počátku. Souřadnice vrcholu vypočteme podle zminěného vzorce, jeho souřadnice jsou V = [1;3]. Jedná se o prvni speciální případ kvadratické funkce, průsečíky paraboly s osou x zjistíme snadno, když v rovnici -3x2 + Qx = 0 vytkneme 3x 3x(-x + 2) =0, odkud xi = 0, X2 = 2. A 3 2 1 -4 -3 -2 -1 oj ■i i i r •j ř 13 5. Je dán předpis funkce f : y = —Sx2 + 12x — 9. Načrtněte graf této funkce. ? I Koeficient a v předpisu funkce má záporné znaménko - parabola bude 'otevřená' dolů. Koeficient b v předpisu funkce má opačné znaménko než koeficient a, vrchol paraboly tedy bude napravo od osy y. Koeficient c má hodnotu -9, proto parabola protne osu y v bodě o y-ově souřadnici -9. Souřadnice vrcholu vypočteme podle zmíněného vzorce, jeho souřadnice jsou V = [2; 3]. Průsečíky paraboly s osou x zjistíme, když vyřešíme kvadratickou rovnici -3a?2 + 12a; - 9 = 0. K-ové souřadnice průsečíků paraboly s osou x jsou X\ = 1, X2 = 3. 4 3 2 1 y V * -1 u -1 -2 -3 -4 -6 -6 7 fi 2 5 4 5 " / I l 14 6. Je dán předpis funkce f :y = 3a;2 — 6x + 5. Načrtněte graf této funkce. ^ I Koeficient a má kladné znaménko - parabola bude 'otevřená' nahoru. Koefcient b má opačné znaménko než koeficient a, vrchol paraboly tedy bude napravo od osy y. Koeficient c má hodnotu 5, proto parabola protne osu y v bodě o y-ově souřadnici 5. Souřadnice vrcholu vypočteme podle zmíněného vzorce, jeho souřadnice jsou V = [1;2]. Průsečíky paraboly s osou x neexistují, což zjistíme, když se pokusíme vyřešit kvadratickou rovnici 3ai2 - 6a; + 5 = 0. Diskriminant této kvadratické rovnice D — —24 je záporný, proto rovnice nemá žádné reálné řešení. Průsečíky s osou x, které nám pomohly k sestrojení grafu v předchozích případech zde použít nemůžeme. Známe souřadnice vrcholu paraboly. Další bod ležící na grafu funkce je bod o souřadnicích [0; 5]. Už dříve jsme si mohli povšimnout, že graf kvadratické funkce je symetrický podle osy paraboly. Díky této vlastnosti snadno určíme souřadnice dalšího bodu ležícího na grafu této funkce [2; 5]. l J 4 3 2 1 / / I i v K -2 -1 0 j 12 3 4 1. Nakreslete grafy funkcí: a) f--y = r ?J Z výkladu víme, že pro a > 1 je exponenciální funkce rostoucí a zároveň pro libovolný základ graf exponenciální funkce prochází bodem o souřadnicích [0; 1]. Dále víme, že graf exponenciální funkce o základu 2 prochází bodem o souřadnicích [1; 2]. 6 5 4 3 2 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 12 3 4 15 b) /:»=(Í)' Z výkladu víme, že pro a G (0; 1) je exponenciální funkce klesající a zároveň pro libovolný základ graf exponenciální funkce prochází bodem o souřadnicích [0; 1]. Dále víme, že graf exponenciální funkce o základu -| prochází bodem [—1; 2] \ 6 \ 5 \ 4 \ 3 V 2 -4 -3 -2 -1 0 .i 12 3 4 i -2 «»/=»=or u Úpravou exponenciálního výrazu je zřejmé, že se jedná o stejnou funkci jako v případě a). 6 j 5 4 i 3 / 2 -4 -3 -2 -1 0 -1 12 3 4 -2 16 V f:y = 2~* ?J Úpravou exponenciálního výrazu ^ = ? = (0 je zřejmé, že se jedná o stejnou funkci jako v případě b). \ 6 \ 5 \ 4 \ 3 V2 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 12 3 4 a) f:y= log2x Ľ Z výkladu víme, že pro a > 1 je logaritmická funkce rostoucí a zároveň graf logaritmické funkce prochází body o souřadnicích [1; 0] a [2; 1]. 17 b) f:y = log05x Z výkladu víme, že pro a G (0; 1) je logaritmická funkce klesající a zároveň graf logaritmické funkce prochází body o souřadnicích [1; 0] a [2; —1], neboť 0,5 = ^ ■ Úpravou logaritmického výrazu Úä = log*x bychom mohli usuzovat, že se jedná o stejnou funkci jako v prípade a. Je však třeba si uvědomit, pro jaké základy je logaritmická funkce definována. Základ logaritmu může být kladné číslo různé od 1, proto tato funkce je definována na definičním oboru D(f) = (0; oo) — {1}. 18