Limita a spojitost funkce
Limita funkce
Pokud bereme funkci / jako předpis, který hodnotě x přiřazuje funkční hodnotu f(x), pak / má v bodě p limitu L, jestliže pro x v okolí bodu p jsou hodnoty f(x) blízko L. Matematická definice, navržená na začátku 19. století, vyžaduje, aby se pro libovolně malou odchylku od L dalo najít okolí bodu p, že pro každé x v tomto okolí se f(x) liší od L o méně než povolenou odchylku.
Matematicky zapisujeme, že pro x blížící se k p se hodnota f(x) blíží k L výrazem lim f(x) = L.
x—>p
-6-4-2 0 2 4 6
Obrázek 1: Ukázka okolí bodu (vlevo nahoře), ukázka nespojitosti (vpravo nahoře) a nespojitosti ve vlastním bodě (dole).
Důležité vzorce:
1                       /      1 \ ™                    sin x lim — = 0,        lim    1H--= e,       hm-= 1
x—>oo xa n—>oo \ TI J x—>0 X
kde a je kladné reálné číslo a e Eulerovo číslo (e = 2.718).
Spojitost funkce
Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, což si lze intuitivně představit tak, že graf funkce lze nakreslit jedním tahem,
1
aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá. Funkce má v každém bodě definičního oboru vlastní limitu (reálné číslo, ne nekonečno).
Funkce, kde není definiční obor celé R: 1 1
y = —
x x + 2
\fx,       y = \/ x2 — 4 log x,       y = log (x — 5)
V =
V =
y =
Přiklad 3.1
Určete limitu lim,. ^ %2 ■ Řešení
■- Protože funkce y = x2 je spojitá v bodě 3, můžeme přímo dosadit a určit limitu díky vztahu mezi limitou a spojitostí.
° linws x2 = 32 = 8 Přiklad 3.2
Určete limitu lim^^^ x2 + x — 1. Řešen/
: Použijeme větu o limitě součtu a protože funkce y počítat takto:
o limn-a x2 + x — 1 = limIH,2 x2 + ]inin2 x — 1
Přiklad 3.3
Určete limitu Mm^^^^x — l)(x + 3). Řešen/
: Použijeme větu o limitě součinu a využijeme spojitosti.
o lim^.itst- l)(at+ 3) = Jim^-ifz - 1)Jimx^_i(x + 3) = (-2)2 = -4
= a;2ajř = a; — 1 jsou spojité v bodě 2, můžeme = 22 + 1 = 5
Přiklad 3.4
_2
Řešen/'
: Použijeme větu o limitě podílu a využijeme spojitosti
ax^4 x—1 _ 2
z+4        limz^4 x+4 8
2
Úloha
limI_fr_i(22r + 3) Řešení    ± i
o =2(-l)+3 =
o = 1
Úloha
]hnx^0{x2 - 2x + 3) Řešení    ^ j
c = O2 - 2 • 0 + 3 =
o =3
Úloha
l- 2i+3 litru--- =
Řešení
lim, >i(2i+3)
lim, ti(3i-2) _
21+3 31-2 _
5
o
3
Úloha
Řešení
= hm^2 (,-2)
-     lim^a (z + 2) =
o =4
Úloha
Řešení ±
1+2
o = lim^_3
2
4
Úloha
lirrij- y0 sin x IittIj._^ t sin x lim^-^ sin £
Řešení ^
limIHřo sin :r — 0 linx^ ■; sin x — 1 lim^^^ sin. x 0
Úloha
lí™        sin3x 3 lí™        sín3i 3 3
° = 5
5