266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
I. 5. Vyšetˇrování pr ˚ubˇehu funkce
Monotonie a lokální extrémy
Důsledek 12. Nechť má funkce f(x) konečnou derivaci na intervalu I.
• Je-li f (x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f rostoucí na I.
• Je-li f (x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f klesající na I.
Definice 13. Nechť x0 ∈ D(f). Tento bod se nazývá stacionární, pokud f (x0) = 0.
Poznámka 14. Lokální extrém může nastat buď ve stacionárním bodě nebo v bodě, kde f (x0)
neexistuje.
Věta 15. Nechť je funkce f(x) spojitá v bodě x0 a má vlastní derivaci v nějakém ryzím okolí
O{x0}\x0. Jestliže pro všechna x ∈ O(x0), x < x0, je f(x0) > 0 (f(x0) < 0) a jestliže pro všechna
x ∈ O{x0}, x > x0, je f(x0) < 0 (f(x0) > 0), pak má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální maximum
(minimum).
Věta 16. Nechť f (x0) = 0. Je-li f (x0) > 0, pak má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální minimum.
Je-li f (x0) < 0, pak má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální maximum.
Konvexnost, konkávnost a inflexní body
Důsledek 17. Nechť I je otevřený interval a funkce f(x) má vlastní druhou derivaci na intervalu I.
• Je-li f (x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f ostře konvexní na I.
• Je-li f (x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f ostře konkávní na I.
Definice 18. Nechť x0 ∈ D(f). Tento bod se nazývá kritický, pokud f (x0) = 0.
Věta 19.
• Nechť x0 je inflexní bod a nechť existuje f (x0). Potom f (x0) = 0.
• Nechť f (x0) = 0 a existuje okolí Oδ(x0) takové, že platí f (x0) < 0 pro každé x ∈
(x0 − δ, x0) a f (x0) > 0 pro každé x ∈ (x0, x0 + δ), nebo naopak. Pak je x0 inflexním
bodem funkce f(x).
• Nechť f (x0) = 0 a f (x0) = 0. Pak je x0 inflexním bodem funkce f(x).
Poznámka 20. Inflexním bodem může může být buď kritický bod nebo bod, kde f (x0) neexistuje.
Zde je potřeba dát pozor na definici inflexního bodu. V některých publikacích bývá inflexní bod
definován jako kritický bod, v němž druhá derivace mění znaménko, což znamená, že v inflexním
bodě musí existovat vlastní druhá derivace, jejíž hodnota je rovna nule. Inflexní body bývají někdy
ještě rozdělovány do dvou kategorií podle chování f (x0). Pokud x0 je inflexní bod a současně
f (x0) = 0, nazývá se bod x0 sedlovým bode (též stacionární inflexní bod), a pokud x0 je inflexní
bod s f (x0) = 0, hovoříme o nestacionárním inflexním bodě.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 267
Asymptoty
Definice 21. Buď x0 ∈ R. Přímka x = x0 se nazývá asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže
má f v x0 alespoň jednu limitu nevlastní, tj.
lim
x→x0+
f(x) = ±∞ nebo lim
x→x0−
f(x) = ±∞.
Věta 22. Přímka y = ax+b je asymptotou se směrnicí funkce f pro x → +∞ právě tehdy, když
existují konečné limity
lim
x→+∞
f(x)
x
= a, lim
x→+∞
(f(x) − ax) = b.
Analogické tvrzení platí pro x → −∞.
Vyšetřování průběhu funkce — postup
i) Definiční obor;
ii) spojitost, charakterostika bodů nespojitosti;
iii) lichost, sudost, periodičnost;
iv) f(x) = 0, intervaly, kde je funkce kladná a záporná;
v) f (x) = 0 a D(f );
vi) monotonie, extrémy;
vii) f (x) = 0 a D(f );
viii) konvexnost, konkávnost, inflexní body;
ix) asymptoty bez směrnice a směrnicí;
x) graf funkce.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
268 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(247) Zjistěte, zda je funkce
f(x) = x−3
e−x sin x
sudá, nebo lichá.
Řešení:
Připomeňme, že funkce je sudá, jestliže je její graf symetrický dle osy y, tj. f(−x) = f(x),
a lichá, jestliže je její graf symetrický dle počátku soustavy souřadnic, tj. f(−x) = −f(x).
Spočtěme tedy, čemu se rovná f(−x).
f(−x) = (−x)−3
e−(−x) sin(−x)
= −x−3
ex(− sin x)
= −x−3
e−x sin x
= −f(x).
Daná funkce je tedy lichá.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 269
(248) Zjistěte, zda je funkce
f(x) =
x(x2
+ 5)
cotg 1
x7 ln
3
√
x2
sudá, nebo lichá.
Řešení:
Spočtěme, čemu se rovná f(−x).
f(−x) =
(−x)[(−x)2
+ 5]
cotg 1
(−x)7 ln 3
(−x)2
=
−x(x2
+ 5)
cotg − 1
x7 ln
3
√
x2
=
−x(x2
+ 5)
− cotg 1
x7 ln
3
√
x2
=
x(x2
+ 5)
cotg 1
x7 ln
3
√
x2
= f(x).
Daná funkce je tedy sudá.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
270 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(249) Zjistěte, zda je funkce
f(x) =
x2
− 2x + 1
sin x
sudá, nebo lichá.
Řešení:
Spočtěme, čemu se rovná f(−x).
f(−x) =
(−x)2
− 2(−x) + 1
sin(−x)
=
x2
+ 2x + 1
− sin x
= −
x2
+ 2x + 1
sin x
= ±f(x).
Daná funkce tedy není ani sudá, ani lichá.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 271
(250) Rozhodněte o kladnosti a zápornosti funkce
f(x) =
(x − 2) esin x
arccotg x
.
Řešení:
Funkce může změnit znaménko pouze ve svém nulovém bodě (protnutím osy x), nebo
v bodech, kde není definována (přeskočením osy x). Proto nejprve určíme definiční obor
dané funkce
D(f) = R.
Nyní najdeme nulové body této funkce
f(x) = 0,
(x − 2) esin x
arccotg x
= 0,
(x − 2) esin x
= 0,
x − 2 = 0,
x = 2.
Obdrželi jsme celkem dva intervaly, na nichž musíme zjistit znaménko funkce.
x (−∞, 2) (2, ∞)
sgn f − +
f záporná kladná
Daná funkce je tedy záporná (její graf je pod osou x) v intervalu (−∞, 2) a kladná (její
graf je nad osou x) v intervalu (2, ∞).
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
272 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(251) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) = 12x5
− 15x4
− 40x3
+ 60.
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obor funkce f(x). Je zřejmé, že platí D(f) = R. Spočítáme první
derivaci, tj.
f (x) = 60x4
− 60x3
− 120x2
= 60x2
(x2
− x − 2).
Nyní musíme určit definiční obor pro f (x), ten je očividně D(f ) = R, a stacionární body
funkce f(x), tedy musíme vyřešit rovnici f (x) = 0. Proto
60x2
(x2
− x − 2) = 0 ⇒
⇒ x1 = 0 nebo x2
− x − 2 = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2, x3 = −1.
Tyto body nám rozdělí definiční obor rozdělí na čtyři intervaly (−∞, −1), (−1, 0), (0, 2)
a (2, ∞), ve kterých zjistíme znaménka f (x). Podle těchto znamének určíme průběh funkce
v jednotlivých intervalech a určíme případné extrémy. K tomu nám pomůže následující
tabulka
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 2) (2, ∞)
sgn f + − − +
f
Odtud je vidět, že funkce f(x) je rostoucí v intervalech (−∞, −1), a (2, ∞), klesající
v (−1, 2). Funkce f(x) má dva lokální extrémy, lokální maximum pro x = −1 a lokální
minimum pro x = 2.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 273
(252) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) = x e−x2
.
Řešení:
Stejným postupem jako v předchozím příkladě obdržíme
D(f) = R, f (x) = e−x2
−2x2
e−x2
= e−x2
(1 − 2x2
) a D(f ) = R.
Nyní určíme stacionární body funkce f(x), proto
e−x2
(1 − 2x2
) = 0 ⇒
⇒ 1 − 2x2
= 0 ⇒ x2
=
1
2
⇒ x1 =
√
2
2
a x2 = −
√
2
2
.
Nyní se nám definiční obor funkce f(x) rozpadl na tři intervaly, ve kterých určíme průběh
funkce, tj.
x −∞, −
√
2
2
−
√
2
2
,
√
2
2
√
2
2
, ∞
sgn f − + −
f
Tedy funkce f(x) je rostoucí v intervalu −
√
2
2
,
√
2
2
a klesající v intervalech −∞, −
√
2
2
,
√
2
2
, ∞ . Také má dva lokální extrémy, konkrétně lokální minimum pro x = −
√
2
2
a lokální
maximum pro x =
√
2
2
.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
274 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(253) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) =
x2
ln x
.
Řešení:
Určíme potřebné definiční obory a derivaci f(x), tj.
D(f) = (0, 1) ∪ (1, ∞), f (x) =
2x ln x − x
ln2
x
, D(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞).
Určíme stacionární body, proto
2x ln x − x
ln2
x
⇒ x (2 ln x − 1) = 0 ⇒
⇒ x1 = 0 nebo ln x =
1
2
⇒ x1 = 0 nebo x2 = e
1
2 .
Ovšem bod x1 ∈ D(f), proto je stacionárním bodem pouze x2. Nyní analyzujeme monotonii
funkce f(x), tj.
x (0, 1) 1, e
1
2 e
1
2 , ∞
sgn f − − +
f
Tedy funkce f(x) je klesající v intervalech (0, 1), a (1,
√
e), rostoucí v intervalu (
√
e, ∞)
a s lokálním minimem pro x =
√
e.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 275
(254) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) = x − 2 sin x, x ∈ (0, 2π).
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obory (ty jsou určeny již zadáním příkladu) a f (x), tj.
D(f) = (0, 2π), f (x) = 1 − 2 cos x, D(f ) = (0, 2π).
Najdeme stacionární body
1 − 2 cos x = 0 ⇒ cos x =
1
2
⇒ x1 =
π
3
a x2 =
5π
3
.
A analyzujeme monotonii funkce f(x)
x 0, π
3
π
3
, 5π
3
5π
3
, 2π
sgn f − + −
f
Funkce f(x) je tedy rostoucí na intervalu π
3
, 5π
3
a klesající na intervalech 0, π
3
,
5π
3
, 2π . Funkce má také dva lokální extrémy, lokální minimum pro x = π
3
a lokální
maximum v bodě x = 5π
3
.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
276 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(255) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) =
1
x
ln
1
x
.
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj.
D(f) = (0, ∞), f (x) = −
1
x2
1 + ln
1
x
, D(f ) = (0, ∞).
Najdeme stacionární body
−
1
x2
1 + ln
1
x
= 0 ⇒ ln
1
x
= −1 ⇒
1
x
= e−1
⇒ x = e .
A analyzujeme monotonii funkce f(x)
x (0, e) (e, ∞)
sgn f − +
f
Funkce f(x) je tedy rostoucí na intervalu (e, ∞) a klesající na intervalu (0, e). Funkce
má také lokální minimum pro x = e.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 277
(256) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) =
(x + 3)2
ex
.
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj.
D(f) = R, f (x) = −
x2
+ 4x + 3
ex
, D(f ) = R.
Najdeme stacionární body
−
x2
+ 4x + 3
ex
= 0 ⇒ x2
+ 4x + 3 = 0
⇒ (x + 1)(x + 3) = 0 ⇒ x = −1 nebo x = −3.
A analyzujeme monotonii funkce f(x)
x (−∞, −3) (−3, −1) (−1, ∞)
sgn f − + −
f
Funkce f(x) je tedy rostoucí pro x ∈ (−3, −1) a klesající pro x ∈ (−∞, −3) ∪ (−1, ∞).
Funkce má lokální minimum pro x = −3 a lokální maximum pro x = −1.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
278 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(257) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce
f(x) =
(x + 3)2
ex
.
Řešení:
K analyzování chování tečen grafu funkce f(x) použijeme postup analogický vyšetřování
monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce f (x). Tedy,
nejdříve určíme definiční obory a f (x), k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i f (x)
– tu ale již známe z příkladu 256, tedy
D(f) = R, f (x) = −
x2
+ 4x + 3
ex
, f (x) =
x2
+ 2x − 1
ex
, D(f ) = R.
Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice f (x) = 0, tj.
x2
+ 2x − 1
ex
= 0 ⇒ x2
+ 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = −1 −
√
2 a x2 = −1 +
√
2.
Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka
f (x), tj.
x (−∞, −1 −
√
2) (−1 −
√
2, −1 +
√
2) (−1 +
√
2, ∞)
sgn f + − +
f ∪ ∩ ∪
Funkce f(x) je konvexní v intervalech (−∞, −1−
√
2) a (−1+
√
2, ∞), konkávní v intervalu
(−1 −
√
2, −1 +
√
2) a má dva inflexní body pro x = −1 −
√
2 a x = −1 +
√
2.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 279
(258) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce
f(x) = x4
− 2x3
− 12x2
+ 7x − 3.
Řešení:
K analyzování chování tečen grafu funkce f(x) použijeme postup analogický vyšetřování
monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce f (x). Tedy,
nejdříve určíme definiční obory a f (x), k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i f (x),
tj.
D(f) = R, f (x) = 4x3
− 6x2
− 24x + 7, f (x) = 12x2
− 12x − 24, D(f ) = R.
Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice f (x) = 0, tj.
12x2
− 12x − 24 = 0 ⇒ x1 = 2 a x2 = −1.
Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka
f (x), tj.
x (−∞, −1) (−1, 2) (2, ∞)
sgn f + − +
f ∪ ∩ ∪
Funkce f(x) je konvexní v intervalech (−∞, −1) a (2, ∞), konkávní v intervalu (−1, 2).
Funkce má dva inflexní body pro x = −1 a x = 2.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
280 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(259) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce
f(x) = x e−x2
2 .
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj.
D(f) = R, f (x) = e−x2
2 1 − x2
, f (x) = x e−x2
2 x2
− 3 , D(f ) = R.
Nyní určíme kritické body, tj.
x e−x2
2 x2
− 3 = 0 ⇒
⇒ x1 = 0 nebo x2
= 3 ⇒ x1 = 0, x2 =
√
3 a x3 = −
√
3.
Teď se nám definiční obor rozpadl na čtyři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka
f (x), tj.
x −∞, −
√
3 −
√
3, 0 0,
√
3
√
3, ∞
sgn f − + − +
f ∩ ∪ ∩ ∪
Funkce f(x) je konvexní v intervalech (−
√
3, 0) a (
√
3, ∞), konkávní v (−∞, −
√
3)
a (0,
√
3). Funkce má tři inflexní body pro x = 0, ±
√
3.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 281
(260) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce
f(x) =
5
√
x3.
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj.
D(f) = R, f (x) =
3
5
5
√
x2
, f (x) = −
6
25
5
√
x7
, D(f ) = R \ {0}.
Rovnice
−
6
25
5
√
x7
= 0
nemá řešení. Ovšem druhá derivace neexistuje pro x = 0, proto nám tento bod rozdělí
definiční obor funkce f(x) na dva intervaly, proto
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f + −
f ∪ ∩
Funkce f(x) je konvexní na intervalu (−∞, 0) a konkávní na intervalu (0, −∞). Funkce
má inflexní bod pro x = 0.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
282 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(261) Určete asymptoty bez směrnice funkce
f(x) =
1
x2
.
Řešení:
Určíme definiční obor funkce f(x), tj.
D(f) = R \ {0},
proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je x = 0. Musíme
ověřit limitní chování funkce f(x) v tomto bodě, tj.
lim
x→0
1
x2
= +∞.
Proto existuje asymptota bez směrnice a je dána rovnicí x = 0.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 283
(262) Určete asymptoty bez směrnice funkce
f(x) = 5x +
sin x
x
.
Řešení:
Postupujeme stejně jako v předchozím příkladě. Určíme definiční obor funkce f(x), tj.
D(f) = R \ {0},
proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je x = 0. Musíme
ověřit limitní chování funkce f(x) v tomto bodě, tj.
lim
x→0
5x +
sin x
x
= 1.
Proto asymptota bez směrnice neexistuje.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
284 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(263) Určete asymptoty v ±∞ funkce
f(x) =
3x2
x − 1
.
Řešení:
K určení rovnice asymptoty se směrnicí budeme postupovat dle daných vzorců, proto
a = lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
3x2
x−1
x
= lim
x→±∞
3x
x − 1
= lim
x→±∞
3
1 − 1
x
= 3,
b = lim
x→±∞
(f(x) − ax) = lim
x→±∞
3x2
x − 1
− 3x = lim
x→±∞
3x2
− 3x2
+ 3x
x − 1
=
= lim
x→±∞
3x
x − 1
= 3.
Při výpočtu jsme využili možnost nerozlišovat, zda limitu počítáme v +∞ nebo −∞ (toto
samozřejmě v některých případech není možné a asymptoty se mohou lišit). Proto rovnice
asymptoty se směrnicí je v obou směrech rovna y = 3x + 3.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 285
(264) Určete asymptoty funkce
f(x) =
4 + x3
4 − x2
.
Řešení:
Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor
D(f) = R \ {±2}.
V „dírách“ definičního oboru vypočítáme jednostranné limity, tj.
lim
x→2
4 + x3
4 − x2
= lim
x→2
4 + x3
(2 − x)(2 + x)
=
+∞, x → 2−
,
−∞, x → 2+
,
lim
x→−2
4 + x3
4 − x2
= lim
x→−2
4 + x3
(2 − x)(2 + x)
=
+∞, x → −2−
,
−∞, x → −2+
.
Funkce f(x) má tedy dvě asymptoty bez směrnice o rovnicí x = 2 a x = −2. Nyní určíme
asymptoty se směrnicí, tj.
a = lim
x→±∞
4+x3
4−x2
x
= lim
x→±∞
4 + x3
4x − x3
= lim
x→±∞
4
x3 + 1
4
x2 − 1
= −1,
b = lim
x→±∞
4 + x3
4 − x2
+ x = lim
x→±∞
4 + x3
+ 4x − x3
4 − x2
= lim
x→±∞
4
x2 + 4
x
4
x2 − 1
= 0.
Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí o rovnici y = −x.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
286 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(265) Určete asymptoty funkce
f(x) =
ex
x + 1
.
Řešení:
Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor
D(f) = R \ {−1}.
Vypočítáme jednostranné limity v −1, tj.
lim
x→−1
ex
x + 1
=
+∞, x → −1+
,
−∞, x → −1−
,
Funkce f(x) má tedy asymptotu bez směrnice o rovnici x = −1. Nyní určíme asymptoty
se směrnicí, tj.
a = lim
x→±∞
ex
x+1
x
= lim
x→±∞
ex
x2 + x
=
=



limx→∞
ex
x2+x

∞
∞

l’H.p.
= limx→∞
ex
2x+1

∞
∞

l’H.p.
= limx→∞
ex
2
= ∞,
limx→−∞
ex
x2+x
= 0.
V dalším nás tedy zajímá pouze směr do −∞, proto
b = lim
x→−∞
ex
x + 1
= 0.
Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí pouze ve směru −∞ o rovnici y = 0.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 287
(266) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
x3
x2 − 1
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x2
−1 = 0. Proto máme
D(f) = R \ {±1}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme
lim
x→1+
x3
x2 − 1
= lim
x→1+
x3
x + 1
·
1
x − 1
= +∞,
lim
x→1−
x3
x2 − 1
= lim
x→1−
x3
x + 1
·
1
x − 1
= −∞,
lim
x→−1+
x3
x2 − 1
= +∞,
lim
x→−1−
x3
x2 − 1
= −∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
−x3
x2 − 1
= −f(x),
je zadaná funkce lichá (to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže
být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ x3
= 0 ⇔ x = 0.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f − + − +
f záporná kladná záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
x2
x2
− 3
(x2 − 1)2
, D(f ) = R \ {±1}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ x2
x2
− 3 = 0 ⇔ x1 = 0, x2 =
√
3, x3 = −
√
3,
x −∞, −
√
3 −
√
3, −1 (−1, 0) (0, 1) 1,
√
3
√
3, ∞
sgn f + − − − − +
f
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má lokální maximum pro x = −
√
3 a lokální minimum
pro x =
√
3. Ve význačných bodech (lok. extrémy, infl. body) je vhodné znát i jejich
funkční hodnotu, proto spočítáme f −
√
3 = −3
2
√
3 a f
√
3 = 3
2
√
3.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
288 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
2x x2
+ 3
(x2 − 1)3
, D(f ) = R \ {±1}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ 2x x2
+ 3 = 0 ⇔ x = 0,
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f − + − +
f ∩ ∪ ∩ ∪
Funkce f(x) má tedy v bodě x = 0 inflexní bod. Z předchozího již víme, že f(0) = 0.
V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. f (0) = 0, což znamená, že tečna je
v tomto bodě rovnoběžná s osou x.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x = 1 a x = −1.
Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
x3
x2−1
x
= lim
x→±∞
x2
x2 − 1
= lim
x→±∞
1
1 − 1
x2
= 1,
b = lim
x→±∞
x3
x2 − 1
− x = lim
x→±∞
x3
− x3
+ x
x2 − 1
= lim
x→±∞
1
x
1 − 1
x2
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = x.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 17. Graf funkce f(x) z Příkladu 266.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 289
(267) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = −
x2
x + 1
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x + 1 = 0. Proto máme
D(f) = R \ {−1}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodu nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme
lim
x→−1+
−
x2
x + 1
= − lim
x→−1+
x2
x + 1
= −(+∞) = −∞,
lim
x→−1−
−
x2
x + 1
= lim
x→−1−
−
x2
x + 1
= −(−∞) = ∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) = −
x2
−x + 1
= ±f(x),
není zadaná funkce ani lichá, ani sudá (což je vidět už z nesymetrie definičního
oboru). Vzhledem k definičnímu oboru je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ x2
= 0 ⇔ x = 0.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, ∞)
sgn f + − −
f kladná záporná záporná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
−x2
− 2x
(x + 1)2
, D(f ) = R \ {−1}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ −x(x + 2) = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = −2.
x (−∞, −2) (−2, −1) (−1, 0) (0, ∞)
sgn f − + + −
f
Z tabulky vidíme, že funkce má v x = −2 lokální minimum a v x = 0 lokální maximum.
Spočtěme v těchto význačných bodech funkční hodnotu.
f(−2) = 4, f(0) = 0.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
−2x − 2
(x + 1)4
=
−2
(x + 1)3
,
D(f ) = R \ {−1}.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
290 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ −2 = 0,
což je nesmysl. Druhá derivace tedy nemá žádný nulový bod. Nesmíme ovšem zapomenout,
že její znaménko se může změnit i v bodech, ve kterých není definována (tj.
v „dírách“ jejího definičního oboru).
x (−∞, −1) (−1, ∞)
sgn f + −
f ∪ ∩
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici x = −1.
Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
= −
x2
x2 + x
= −1,
b = lim
x→±∞
−
x2
x + 1
+ x = lim
x→±∞
x
x + 1
= 1.
Funkce f(x) má tedy v +∞ i −∞ asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí
y = −x + 1.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 18. Graf funkce f(x) z Příkladu 267.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 291
(268) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
1
x
+ ln x.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna kladná reálná čísla, tedy
D(f) = (0, ∞).
ii) Zjistíme limitní chování na okraji definičního oboru
lim
x→0+
1
x
+ ln x
∞ − ∞
 = lim
x→0+
1 + x ln x
x

lim
x→0+
x ln x = lim
x→0+
ln x
1
x
l’H.p.
= lim
x→0+
1
x
−
1
x2
= lim
x→0+
−x = 0
⇒ lim
x→0+
1+x ln x
x
= 1+0
0

= ∞.
iii) Vzhledem k tvaru definičního oboru je zřejmé, že zadaná funkce není ani lichá, ani
sudá, ani periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0,
1
x
+ ln x = 0,
ln x = −
1
x
,
ln xx
= −1,
kde použité úpravy jsou vzhledem k oboru hodnot korektní. Protože ln xx
> 0, daná
funkce nemá žádný nulový bod a je tedy na celém svém definičním oboru buď pouze
kladná, nebo pouze záporná (zdůrazněme, že definiční obor je „bez děr“). Tedy
x (0, ∞)
sgn f +
f kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
x − 1
x2
, D(f ) = R \ {0}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x1 = 1.
Připomeňme, že vše navíc probíhá na definičním oboru původní funkce, tj.
x (0, 1) (1, ∞)
sgn f − +
f
Z tabulky vidíme, že funkce má v x = 1 lokální minimum. Spočtěme v tomto význačném
bodě funkční hodnotu.
f(1) = 1 + 0 = 1.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
292 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
−x2
+ 2x
x4
=
2 − x
x3
,
D(f ) = R \ {0}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ 2 − x = 0 ⇔ x = 2.
x (0, 2) (2, ∞)
sgn f + −
f ∪ ∩
Čili funkce f má v x = 2 inflexní bod. Funkční hodnota v něm je
f(2) =
1
2
+ ln 2
.
= 1, 19.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0.
Asymptotu se směrnicí má, opět vzhledem k definičnímu oboru, smysl hledat pouze
v +∞:
a = lim
x→∞
1
x
+ ln x
x
= lim
x→∞
1 + x ln x
x2
=
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1 + ln x
2x
=
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1
2x
= 0,
b = lim
x→∞
1
x
+ ln x = ∞,
tedy funkce f(x) asymptotu se směrnicí nemá.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 19. Graf funkce f(x) z Příkladu 268.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 293
(269) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
1 − 2x
3x2
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 3x2
= 0. Proto máme
D(f) = R \ {0}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodu nespojitosti, tj.
lim
x→0
1 − 2x
3x2
= lim
x→0
1 − 2x
3
·
1
x2
= +∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
1 + 2x
3x2
,
není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ 1 − 2x = 0 ⇔ x =
1
2
.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, 0) 0, 1
2
1
2
, ∞
sgn f + + −
f kladná kladná záporná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
2 (x − 1)
3x3
, D(f ) = R \ {0}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ 2(x − 1) = 0 ⇔ x = 1,
x (−∞, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f + − +
f
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má pro x = 1 lokální minimum s hodnotou f(1) = −1
3
.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) = −
2 (2x − 3)
3x4
, D(f ) = R \ {0}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ 2 (2x − 3) = 0 ⇔ x =
3
2
,
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
294 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
x (−∞, 0) 0, 3
2
3
2
, ∞
sgn f + + −
f ∪ ∪ ∩
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má pro x = 3
2
inflexní bod. Platí f 3
2
= − 8
27
a směrnice tečny je rovna f 3
2
= 8
81
, což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme
i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
1−2x
3x2
x
= lim
x→±∞
1 − 2x
3x3
= lim
x→±∞
1
x3 − 2
x2
3
= 0,
b = lim
x→±∞
1 − 2x
3x2
= lim
x→±∞
1
x2 − 2
x
3
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 20. Graf funkce f(x) z Příkladu 269.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 295
(270) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
x2
− 1
x2 + 1
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, tj.
D(f) = R.
ii) Z bodu ii) plyne, že funkce je spojitá v R.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
x2
− 1
x2 + 1
= f(x),
je zadaná funkce sudá (to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže
být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ x2
− 1 = 0 ⇔ x = ±1.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
sgn f + − +
f kladná záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
4x
(x2 + 1)2
, D(f ) = R.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ x = 0,
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f
V bodě lokálního minima x = 0 určíme funkční hodnotu, tj. f(0) = −1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) = −
4 3x2
− 1
(x2 + 1)3
, D(f ) = R.
viii) Určíme inflexní body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ 3x2
− 1 = 0 ⇔ x = ±
√
3
3
,
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
296 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
x −∞, −
√
3
3
−
√
3
3
,
√
3
3
√
3
3
, ∞
sgn f − + −
f ∩ ∪ ∩
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má dva inflexní body x = ±
√
3
3
s hodnotami f ±
√
3
3
=
−1
2
a f ±
√
3
3
= ±3
√
3
4
.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se
směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
x2−1
x2+1
x
= lim
x→±∞
x2
− 1
x3 + x
= lim
x→±∞
1
x
− 1
x3
1 + 1
x2
= 0,
b = lim
x→±∞
x2
− 1
x2 + 1
= lim
x→±∞
1 − 1
x2
1 + 1
x2
= 1.
Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 1.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 21. Graf funkce f(x) z Příkladu 270.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 297
(271) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
x2
+ 1
x2 − 1
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x2
−1 = 0. Proto máme
D(f) = R \ {±1}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme
lim
x→1+
x2
+ 1
x2 − 1
= lim
x→1+
x2
+ 1
x + 1
·
1
x − 1
= +∞,
lim
x→1−
x2
+ 1
x2 − 1
= lim
x→1−
x2
+ 1
x + 1
·
1
x − 1
= −∞,
lim
x→−1+
x2
+ 1
x2 − 1
= −∞,
lim
x→−1−
x2
+ 1
x2 − 1
= +∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
x2
+ 1
x2 − 1
= −f(x),
je zadaná funkce sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Je zřejmé, že průsečíky s osou x neexistují (neboť rovnice x2
+ 1 = 0 nemá řešení).
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
sgn f + − +
f kladná záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) = −
4x
(x2 − 1)2
, D(f ) = R \ {±1}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ x = 0,
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f + + − −
f
V bodě lokálního maxima x = 0 určíme funkční hodnotu, tj. f(0) = −1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
4 3x2
+ 1
(x2 − 1)3
, D(f ) = R \ {±1}.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
298 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
viii) Funkce nemá kritické body (rovnice 3x2
+ 1 = 0 nemá řešení). Určíme intervaly
konvexnosti a konkávnosti, tj.
x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
sgn f + − +
f ∪ ∩ ∪
Je vidět, že funkce nemá inflexní body.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x = 1 a x = −1.
Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
x2+1
x2−1
x
= lim
x→±∞
x2
+ 1
x3 − x
= lim
x→±∞
1
x
+ 1
x3
1 − 1
x2
= 0,
b = lim
x→±∞
x2
+ 1
x2 − 1
= lim
x→±∞
1 + 1
x2
1 − 1
x2
= 1.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 1.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 22. Graf funkce f(x) z Příkladu 271.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 299
(272) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
x
3 − x2
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 3−x2
= 0. Proto máme
D(f) = R \ {±
√
3}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme
lim
x→
√
3
+
x
3 − x2
= lim
x→
√
3
+
x
√
3 + x
·
1
√
3 − x
= −∞,
lim
x→
√
3
−
x
3 − x2
= lim
x→
√
3
−
x
√
3 + x
·
1
√
3 − x
= +∞,
lim
x→−
√
3
+
x
3 − x2
= −∞,
lim
x→−
√
3
−
x
3 − x2
= +∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
−x
3 − x2
= −f(x),
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ x = 0.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x −∞, −
√
3 −
√
3, 0 0,
√
3
√
3, ∞
sgn f + − + −
f kladná záporná kladná záporná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
3 + x2
(3 − x2)2
, D(f ) = R \ {±
√
3}.
vi) Je zřejmé, že funkce f(x) nemá stacionární body. Určíme intervaly monotonie, tj.
x −∞, −
√
3 −
√
3,
√
3
√
3, ∞
sgn f + + +
f
Funkce f(x) tedy nemá žádný lokální extrém.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
2x 9 + x2
(3 − x2)3
, D(f ) = R \ {±
√
3}.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
300 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ 2x 9 + x2
= 0 ⇔ x = 0,
x −∞, −
√
3 −
√
3, 0 0,
√
3
√
3, ∞
sgn f + − + −
f ∪ ∩ ∪ ∩
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má inflexní bod pro x = 0. Z předchozího již víme,
že f(0) = 0. Určíme zde ještě směrnici tečny, tj. f (0) = 1
3
.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x =
√
3
a x = −
√
3. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
x
3−x2
x
= lim
x→±∞
x
3x − x3
= lim
x→±∞
1
x2
3
x2 − 1
= 0,
b = lim
x→±∞
x
3 − x2
= lim
x→±∞
1
x
3
x
− 1
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 23. Graf funkce f(x) z Příkladu 272.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 301
(273) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
1
2
x +
1
x
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x = 0. Proto máme
D(f) = R{0}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme
lim
x→0+
1
2
x +
1
x
= +∞, lim
x→0−
1
2
x +
1
x
= −∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
1
2
−x −
1
x
= −
1
2
x +
1
x
= −f(x),
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ x +
1
x
= 0 ⇔ x = −
1
x
⇔ x2
= −1,
tedy funkce nemá průsečíky s osou x. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x)
kladná a záporná, proto
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
x2
− 1
2x2
, D(f ) = R \ {±0}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ x2
− 1 = 0 ⇔ x = ±1,
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f + − − +
f
Určíme funkčního hodnoty lokálního maxima pro x = −1 a minima pro x = 1, tj.
f(−1) = −1 a f(1) = 1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
1
x3
, D(f ) = R \ {±0}.
viii) Inflexní body očividně neexistují, určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
302 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f ∩ ∪
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) nemá inflexní bod.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici x = 0. Určíme
i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
1
2
x + 1
x
x
= lim
x→±∞
x2
+ 1
2x2
= lim
x→±∞
1 + 1
x2
2
=
1
2
,
b = lim
x→±∞
1
2
x +
1
x
−
x
2
= lim
x→±∞
1
2x
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = x
2
.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 24. Graf funkce f(x) z Příkladu 273.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 303
(274) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
ln x
x
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x2
−1 = 0. Proto máme
D(f) = (0, ∞) .
ii) Zjistíme limitní chování v levém krajním bodě definičního oboru, tj.
lim
x→0+
ln x
x
= −∞.
iii) Definiční obor funkce f(x) není symetrický, proto funkce f(x) ani nemůže být lichá
nebo sudá. Navíc, je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ ln x = 0 ⇔ x = 1.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (0, 1) (1, ∞)
sgn f − +
f záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
1 − ln x
x2
, D(f ) = (0, ∞) .
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ 1 − ln x = 0 ⇔ x = e,
x (0, e) (e, ∞)
sgn f + −
f
Pro x = e má funkce f(x) lokální maximum s funkční hodnotou f (e) = 1
e
.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
−3 + 2 ln x
x3
, D(f ) = (0, ∞) .
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ 2 ln x − 3 = 0 ⇔ x = e
3
2 ,
x 0, e
3
2 e
3
2 , ∞
sgn f − +
f ∩ ∪
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
304 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
V bodě x = e
3
2 má funkce f(x) inflexní bod. Platí f e
3
2 = 3
2
e− 3
2 a směrnice tečny
je rovna f e
3
2 = − 1
2 e3 , což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme
i asymptotu se směrnicí (pokud existuje – směr pro x → −∞ nemá smysl uvažovat),
proto
a = lim
x→∞
ln x
x
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1
x
2x
= 0,
b = lim
x→∞
ln x
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1
x
1
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 25. Graf funkce f(x) z Příkladu 274.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 305
(275) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
ln x2
x
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x = 0. Proto máme
D(f) = R \ {0}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme
lim
x→0+
ln x2
x
= −∞, lim
x→0−
ln x2
x
= +∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
ln x2
−x
= −
ln x2
x
= −f(x),
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ ln x2
= 0 ⇔ x2
= 1 ⇔ x = ±1.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f − + − +
f záporná kladná záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
2 − ln x2
x2
, D(f ) = R \ {0}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ ln x2
− 2 = 0 ⇔ x2
= e2
⇔ x = ± e,
x (−∞, − e) (− e, 0) (0, e) (e, ∞)
sgn f − + + −
f
Funkce f(x) ma lokální minimum pro x = − e a lokální maximum pro x = e s funkčními
hodnotami f (− e) = −2
e
a f (e) = 2
e
.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
2 ln x2
− 6
x3
, D(f ) = R \ {0}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ ln x2
− 3 = 0 ⇔ x2
= e3
⇔ x = ± e
3
2 ,
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
306 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
x −∞, − e
3
2 − e
3
2 , 0 0, e
3
2 e
3
2 , ∞
sgn f − + − +
f ∩ ∪ ∩ ∪
Funkce f(x) má tři inflexní body pro x = ± e
3
2 a x = 0. Vypočítáme funkční hodnoty
a směrnice tečen, proto f − e
3
2 = −3 e−3
2 , f − e
3
2 = 5 e3
, f e
3
2 = 3 e− 3
2 ,
f e
3
2 = − e−3
.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme
i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
ln x2
x
x
= lim
x→±∞
ln x2
x2
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→±∞
1
x2 · 2x
2x
= 0,
b = lim
x→±∞
ln x2
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→±∞
1
x2 · 2x
1
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 26. Graf funkce f(x) z Příkladu 275.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 307
(276) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = x − ln x.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že ln x existuje. Proto máme
D(f) = (0, ∞) .
ii) Zjistíme limitní chování v levém krajním bodě definičního oboru, proto
lim
x→0+
(x − ln x) = ∞.
iii) Definiční obor není symetrický, proto funkce f(x) nemůže být sudá ani lichá. Navíc,
je zřejmé, že funkce není ani periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ x = ln x.
Pokud si vzpomenete na grafy elementárních funkcí, viz
je zřejmé, že funkce f(x) nemá žádné průsečíky s osou x, proto
x (0, ∞)
sgn f +
f kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) = 1 −
1
x
, D(f ) = R \ {0}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ 1 =
1
x
⇔ x = 1,
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
308 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
x (0, 1) (1, ∞)
sgn f − +
f
Určíme hodnotu lokálního minima, tj. f (1) = 1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
1
x2
, D(f ) = R \ {0}.
viii) Kritické body neexistují, určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
x (0, ∞)
sgn f +
f ∪
Je tedy zřejmé, že funkce f(x) nemá inflexní bod.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme i asymptotu
se směrnicí (směr pro x → −∞ nemá smysl), proto
a = lim
x→∞
x − ln x
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1 − 1
x
1
= 1,
b = lim
x→∞
(x − ln x − x) = lim
x→∞
ln x = ∞.
Funkce f(x) tey nemá asymptotu se směrnicí.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 27. Graf funkce f(x) z Příkladu 276.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 309
(277) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = ln
1 + sin x
1 − sin x
v intervalu x ∈ [0, 2π].
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Základní rámec definičního oboru je již dán zadáním příkladu. Dále musí platit
1 + sin x
1 − sin x
> 0 a současně sin x = 1.
Řešení druhé rovnice dostaneme ihned, tj. x = π
2
(stále platí x ∈ [0, 2π]). První rovnici
rozdělíme do dvou možností
1 + sin x > 0 ∧ 1 − sin x > 0 nebo 1 + sin x < 0 ∧ 1 − sin x < 0,
sin x > −1 ∧ sin x < 1 nebo sin x < −1 ∧ sin x > 1,
x ∈ 0, 3π
2
∪ 3π
2
, 2π ∧ x ∈ 0, π
2
∪ π
2
, 2π nebo soustava nemá řešení.
Tedy definiční obor zadané funkce je
D(f) = 0,
π
2
∪
π
2
,
3π
2
∪
3π
2
, 2π .
ii) Určíme hodnoty v krajních bodech definičního oboru, tj. f(0) = 0 a f(2π) = 0. Také
zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dosta-
neme
lim
x→ π
2
ln
1 + sin x
1 − sin x
= +∞, lim
x→ 3π
2
ln
1 + sin x
1 − sin x
= −∞.
iii) Vzhledem k definičními oboru není funkce f(x) sudá, lichá ani periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔
1 + sin x
1 − sin x
= 1 ⇔ 1 + sin x = 1 − sin x ⇔
⇔ 2 sin x = 0 ⇔ x = π.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x 0, π
2
π
2
, π π, 3π
2
3π
2
, 2π
sgn f + + − −
f kladná kladná záporná záporná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
1
cos x
, D(f ) = 0,
π
2
∪
π
2
,
3π
2
∪
3π
2
, 2π .
vi) Stacionární body neexistují, nyní určíme intervaly monotonie, tj.
x 0, π
2
π
2
, 3π
2
3π
2
, 2π
sgn f + − +
f
Zadaná funkce tedy nemá žádné lokální extrémy.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
310 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
sin x
cos2 x
, D(f ) = 0,
π
2
∪
π
2
,
3π
2
∪
3π
2
, 2π .
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = π, x3 = 2π.
x 0, π
2
π
2
, π π, 3π
2
3π
2
, 2π
sgn f + + − −
f ∪ ∪ ∩ ∩
Je zřejmé, že kritické body x1 = 0 a x3 = 2π nemohou být inflexními body. Určíme
funkční hodnotu a směrnici tečny v inflexním bodě x = π, tj. f (π) = 0 a f (π) = −1.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x = π
2
a x = 3π
2
.
Poněvadž jsme na omezeném intervalu, nemá smysl uvažovat asymptoty se směrnicí.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 28. Graf funkce f(x) z Příkladu 277.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 311
(278) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = x e−x2
2 .
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
D(f) = R.
ii) Funkce f(x) je spojitá v celém definičním oboru.
iii) Poněvadž platí
f(−x) = −x e−x2
2 = −f(x),
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ x = 0.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) = e− x2
2 1 − x2
, D(f ) = R.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ 1 − x2
= 0 ⇔ x = ±1,
x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
sgn f − + −
f
Funkce f(x) má lokální minimum pro x = −1 a lokální maximum x = 1 s funkčními
hodnotami f(−1) = − e−1
2 a f(1) = e− 1
2 .
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) = x e−x2
2 x2
− 3 , D(f ) = R \ {±1}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ x x2
− 3 = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = −
√
3, x3 =
√
3.
x −∞, −
√
3 −
√
3, 0 0,
√
3
√
3, ∞
sgn f − + − +
f ∩ ∪ ∩ ∪
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
312 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Funkce f(x) má tři inflexní body pro x = ±
√
3 a pro x = 0. Určíme funkční hodnoty
a směrnice tečen v inflexních bodech, proto f −
√
3 = −
√
3 e− 3
2 , f −
√
3 =
−2 e−3
2 , f (0) = 0, f (0) = 1, f
√
3 =
√
3 e− 3
2 a f
√
3 = −2 e− 3
2 .
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty se směrnicí. Určíme i asymptoty se
směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
x e−x2
2
x
= lim
x→±∞
e− x2
2 = 0,
b = lim
x→±∞
x e− x2
2 = lim
x→±∞
x
e
x2
2
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→±∞
1
x e
x2
2
= 0.
Funkce f(x) má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 29. Graf funkce f(x) z Příkladu 278.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 313
(279) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = x − arctg x.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
D(f) = R.
ii) Je zřejmé, že funkce f(x) je spojitá v R.
iii) Poněvadž platí
f(−x) = −x − arctg(−x) = −(x − arctg x) = −f(x)
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určit průsečíky s osou x není snadné, zřejmě
f(x) = 0 ⇔ x = 0.
Existence dalších nulových bodů můžeme vyloučit, neboť v bodě vi) ukážeme, že
funkce je stále rostoucí. Proto obdržíme
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) = 1 −
1
1 + x2
=
x2
1 + x2
, D(f ) = R.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ x2
= 0 ⇔ x = 0,
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f + +
f
Funkce f(x) tedy nemá lokální extrémy.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
2x
(1 + x2)3
, D(f ) = R.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ x = 0,
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f ∩ ∪
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
314 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Funkce f(x) má tedy inflexní bod pro x = 0. Z předchozího již víme, že f(0) = 0.
V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. f (0) = 0, což znamená, že tečna je
v tomto bodě rovnoběžná s osou x.
ix) Asymptoty bez směrnice neexistují, určíme asymptoty se směrnicí (pokud existují),
proto
a = lim
x→±∞
x − arctg x
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→±∞
1 − 1
1+x2
1
= 1,
b = lim
x→±∞
(x − arctg x − x) = − lim
x→±∞
arctg x = ±
π
2
.
Funkce f(x) má tedy dvě asymptoty se směrnicí. Pro x → −∞ je dána rovnicí
y = x + π
2
a pro x → +∞ máme y = x − π
2
.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 30. Graf funkce f(x) z Příkladu 279.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 315
(280) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = arccos
2x
1 + x2
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Protože pro všechna x ∈ R platí −1 ≤ 2x
1+x2 ≤ 1, tj. 0 ≤ (x + 1)2
a 0 ≤ (x − 1)2
,
vyhovují funkčnímu předpisu všechna reálná čísla, tj.
D(f) = R.
ii) Funkce f(x) je spojitá v celém definičním oboru.
iii) Poněvadž platí
f(−x) = arccos
−2x
1 + x2
= π − arccos
2x
1 + x2
,
(zde jsme využili vztah arccos(−x) = π−arccos x) není zadaná funkce lichá ani sudá
(to zjistíme již z grafu elementární funkce arccos x). Je zřejmé, že funkce nemůže být
periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔
2x
1 + x2
= 1 ⇔ (x − 1)2
= 0 ⇔ x = 1.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, 1) (1, ∞)
sgn f + +
f kladná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
2 x2
− 1
|x2 − 1| · (x2 + 1)
, D(f ) = R \ {±1}.
vi) Vzhledem k definičnímu oboru f (x) nemáme žádné stacionární body, určíme intervaly
monotonie, tj.
x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
sgn f + − +
f
Funkce f(x) má lokální maximum pro x = −1 a lokální minimum x = 1 s hodnotami
f (−1) = π a f (1) = 0. V těchto bodech není první derivace definována, proto zde
má graf funkce f(x) hrot.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
−4x x2
− 1
|x2 − 1| · (x2 + 1)2
, D(f ) = R \ {±1}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇔ 4x x2
− 1 = 0 ⇔ x = 0,
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
316 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f + − + −
f ∪ ∩ ∪ ∩
Funkce f(x) má tři inflexní body pro x = ±1 a x = 0. Určíme potřebné funkční
hodnoty a směrnice tečen, tj. f(−1) = π, limx→−1− f (x) = 1, limx→−1+ f (x) = −1,
f(0) = π
2
, f (0) = −2, f(1) = 0, limx→1− f (x) = −1, limx→1+ f (x) = 1.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme i asymptoty se
směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
arccos 2x
1+x2
x

π
2
∞
 = 0,
b = lim
x→±∞
arccos
2x
1 + x2
=
π
2
.
Funkce f(x) má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = π
2
.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 31. Graf funkce f(x) z Příkladu 280.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 317
(281) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
3
2x2 − x3.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
D(f) = R.
ii) Je zřejmé, že funkce f(x) je spojitá v R.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
3
2x2 + x3 = −
3
−2x2 − x3
není zadaná funkce ani sudá ani lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ x2
(2 − x) = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = 2.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, 0) (0, 2) (2, ∞)
sgn f + + −
f kladná kladná záporná
Ze změny znamének je vidět, že v bodě x = 0 je pouze bod dotyku osy x nikoli její
průsečík.
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
4x − 3x2
3 3
(2x2 − x3)2
, D(f ) = R \ {0, 2}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ x(4 − 3x) = 0 ⇔ x1 = 0, x2 =
4
3
,
x (−∞, 0) 0, 4
3
4
3
, 2 (2, ∞)
sgn f − + − −
f
Funkce f(x) má lokální minimum pro x = 0 a lokální minimum pro x = 4
3
s hodnotami
f (0) = 0 a f 4
3
= 2
3
3
√
4. Navíc, v bodě x = 0 není první derivace definována, bude
mít graf funkce v tomto bodě hrot.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) = −
8
9(2 − x) 3
(2x2 − x3)2
, D(f ) = R \ {0, 2}.
viii) Druhá derivace nemá nulový bod, určíme tedy intervaly konvexnosti a konkávnosti,
tj.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
318 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
x (−∞, 0) (0, 2) (2, ∞)
sgn f − − +
f ∩ ∩ ∪
V bodě x = 2 má funkce f(x) inflexní body. Z předchozího již víme, že f(2) =
0. V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, ovšem f (2) neexistuje. Z výpočtu
limx→2 f (x) = −∞ plyne, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou y.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se
směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
3
√
2x2 − x3
x
= lim
x→±∞
3 2x2 − x3
x3
= lim
x→±∞
3
2
x
− 1
1
= −1,
b = lim
x→±∞
3
2x2 − x3 + x
−∞ + ∞
 =
= lim
x→±∞
x
3 2
x
− 1 + x =
= lim
x→±∞

 1
1
x 3
√2
x
−1
+
1
1
x

 = lim
x→±∞
1 + 1
1
3
√2
x −1
1
x 3
√2
x
−1
0
0

l’H.p.
=
l’H.p.
= lim
x→±∞
2
3(2
x
−1)
4
3 x2
− 1
x2
(2
x
−1)
1
3
+ 2
3x3
(2
x
−1)
4
3
= lim
x→±∞
2x
−4 + 3x
=
2
3
Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = −x + 2
3
.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 32. Graf funkce f(x) z Příkladu 281.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 319
(282) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = 2(x + 1) − 3
3
(x + 1)2
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
D(f) = R.
ii) Zadaná funkce je spojitá v R.
iii) Poněvadž platí
f(−x) = 2(−x + 1) − 3 3
(−x + 1)2
není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ 2(x + 1) − 3
3
(x + 1)2
= 0 ⇔ 8(x + 1)3
= 27(x + 1)2
⇔ x1 = −1, x2 =
19
8
.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) −1, 19
8
19
8
, ∞
sgn f − − +
f záporná záporná kladná
Je tedy vidět, že v bodě x = −1 je pouze bod dotyku grafu funkce f(x) a osy x.
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) = 2 −
2
3
√
x + 1
, D(f ) = R \ {−1}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ 2 −
2
3
√
x + 1
= 0 ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x = 0.
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, ∞)
sgn f + − +
f
Funkce f(x) má lokální maximum pro x = −1 a lokální minimum pro x = 0 s hodnotami
f(−1) = 0 a f(0) − 1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
2
3 3
(x + 1)4
, D(f ) = R \ {−1}.
viii) Je vidět, že kritické body neexistují. Určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
320 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
x (−∞, −1) (−1, ∞)
sgn f + +
f ∪ ∪
Funkce f(x) tedy nemá inflexní bod.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme nyní asymptoty se
směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
2(x + 1) − 3 3
(x + 1)2
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→±∞
2 − 2
3√
x+1
1
= 2,
b = lim
x→±∞
2(x + 1) − 3
3
(x + 1)2
− 2x = lim
x→±∞
2 − 3
3
(x + 1)2
= −∞.
Tedy funkce f(x) nemá ani asymptoty se směrnicí.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 33. Graf funkce f(x) z Příkladu 282.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 321
(283) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
cos x
cos(2x)
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že
cos 2x = 0 ⇔ 2x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z ⇔ x =
π
4
+
kπ
2
, k ∈ Z.
Proto máme
D(f) = R \
k∈Z
π
4
+
kπ
2
.
ii) Spočítáme limitní chování v bodech nespojitosti (budeme uvažovat pouze interval
[−π, π], viz bod iii)), tj.
lim
x→− 3π
4
−
cos x
cos(2x)
= −∞, lim
x→− 3π
4
+
cos x
cos(2x)
= +∞,
lim
x→− π
4
−
cos x
cos(2x)
= −∞, lim
x→− π
4
+
cos x
cos(2x)
= +∞,
lim
x→ π
4
−
cos x
cos(2x)
= +∞, lim
x→ π
4
+
cos x
cos(2x)
= −∞,
lim
x→ 3π
4
−
cos x
cos(2x)
= +∞, lim
x→ 3π
4
+
cos x
cos(2x)
= −∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
cos(−x)
cos(−2x)
=
cos x
cos(2x)
= f(x),
je zadaná funkce sudá. Funkce cos x je periodická s periodou 2π a funkce cos(2x)
je periodická s periodou π. Proto zadaná funkce f(x) je periodická s periodou 2π.
Při vyšetřování funkce se tudíž omezíme na libovolný interval délky 2π, my zvolíme
interval [−π, π]
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x1 = −
π
2
, x2 =
π
2
.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x −π, −3π
4
−3π
4
, −π
2
−π
2
, −π
4
−π
4
, π
4
π
4
, π
2
π
2
, 3π
4
3π
4
, π
sgn f − + − + − + −
f záporná kladná záporná kladná záporná kladná záporná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
2 cos2
x + 1 sin x
cos(2x)
, D(f ) = R \
k∈Z
π
4
+
kπ
2
.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇔ 2 cos2
x + 1 sin x = 0
⇔ sin x = 0 ⇔ x1 = −π, x2 = 0, x3 = π
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
322 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
x (..., −π) −π, −3π
4
−3π
4
, −π
2
−π
2
, −π
4
−π
4
, 0 0, π
4
π
4
, π
2
π
2
, 3π
4
3π
4
, π (π, ...)
sgn f − + − − − + + + − +
f
Funkce f(x) má tedy v intervalu [−π, π] lokální minima pro x = ±π a lokální maximum
pro x = 0 s hodnotami f (−π) = −1, f (0) = 1, f (π) = −1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
11 − 4 cos4
x − 4 cos2
x cos x
cos3 2x
, D(f ) = R \
k∈Z
π
4
+
kπ
2
.
viii) Vypočítáme kritické body a
f (x) = 0 ⇔ 11 − 4 cos4
x − 4 cos2
x cos x = 0
⇔ cos x = 0 ⇔ x1 = −
π
2
, x2 =
π
2
.
Rovnice 11 − 4 cos4
x − 4 cos2
x = 0 nemá řešení, protože při použití substituce
y = cos2
x, dostaneme rovnici 11 − 4y2
− 4y = 0 s řešením y1 = −1
2
−
√
3 <
0 a y2 = −1
2
+
√
3 > 1, tedy řešení původní rovnice neexistuje (stejný výsledek
dostaneme bez počítání s využitím faktu −1 ≤ cos x ≤ 1, potom totiž dostaneme
11 − 4 cos4
x − 4 cos2
x ≥ 3). Nyní určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
x (..., −π) −π, −3π
4
−3π
4
, −π
2
−π
2
, −π
4
−π
4
, π
4
π
4
, π
2
π
2
, 3π
4
3π
4
, π (π, ...)
sgn f − − + − + − + − −
f ∩ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∩
Funkce f(x) má proto v intervalu [−π, π] dva inflexní body pro x = ±π
2
. V inflexních
bodech dopočítáme funkční hodnoty a směrnice tečen, tj. f −π
2
= 0, f −π
2
= −1,
f π
2
= 0, f π
2
= 1.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má čtyři asymptoty bez směrnice o rovnicích x = −3π
4
,
x = −π
4
, x = π
4
a x = 3π
4
. Vzhledem k periodičnosti funkce f(x) nemají asymptoty se
směrnicí smysl.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 323
Obrázek 34. Graf funkce f(x) z Příkladu 283.
Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil