ZÁKLADNÍ POJMY A ZÁKONY
MECHANIKY KOSMICKÉHO LETU
2   ZÁKLADNÍ POJMY A ZÁKONY MECHANIKY KOSMICKÉHO LETU
2.1 Gravitační zákon. Newtonovy pohybové zákony
S projevy gravitace se lidé setkávají v běžném životě od nepaměti. Všechny věci nám padají z ruky na zem, nikoliv nahoru. Ne každý si kladl otázku proč tomu tak je. Spokojili se s aristotelovským vysvětlením, platným po mnoho staletí. Díky němu byli lidé přesvědčeni, že těžší tělesa padají k zemi rychleji než tělesa lehká. Až zásluhou G. Galilea (1564-1642) byla objevena skutečnost, že všechna volně padající tělesa v daném centrálním gravitačním poli se pohybují s konstantním zrychlením. O pravdivosti Galileova tvrzení jsme se mohli názorně přesvědčit díky kosmonautovi D. R. Scottovi, veliteli mise Apolla 15 na Měsíc. Ten před zraky mnoha diváků v přímém televizním přenosu z Měsíce dne 2.8.1971 předvedl experiment, při němž současně upustil geologické kladívko a peříčko. Oba předměty dopadly na povrch Měsíce současně. Tímto experimentem na Měsíci se potvrdila pravdivost tvrzení G. Galilea a vyloučily se nepřesnosti Galileových pokusů na Zemi, které byly ovlivňovány odporem vzduchu.
O tom, že se tělesa vzájemně přitahují, se již dříve vyslovili Mikuláš Kusánský (1401-1464) i Leonardo da Vinci (1452-1519). Rovněž i Mikuláš Koperník (1473-1543) a Jan Kepler (1571-1630) ve svých úvahách správně předpokládali, že nebeská tělesa se vyznačují vzájemnou přitažlivostí.
O přitažlivosti (gravitaci) mezi nebeskými tělesy se v roce 1666 zmiňuje také italský učenec G. A. Borelli (1608-1679). Předpokládal, že planety jsou přitahovány ke Slunci a na svých oběžných drahách se udržují díky síle vznikající při kruhovém pohybu kolem Slunce.
Podstatně dále pokročil významný anglický vědec Robert Hook (1635-1703), který v roce 1674 publikoval své představy o pohybu planet. Předpokládá, že nebeská tělesa se vzájemně přitahují ke svým středům. Tvar oběžné dráhy je dán skládáním dvou různých pohybů. Předpokládá, že těleso se pohybuje přímočaře po tečně k dráze a zároveň volně padá na centrální těleso. Oba posledně zmínění badatelé byli svými tvrzeními velmi blízko skutečnosti. Nicméně, jednalo se o nepodložené domněnky. Bylo nezbytné je teprve exaktně prokázat.
Ve stejné době se problémy gravitace a pohybem nebeských těles začal zabývat Isaac Newton (1643-1727) i řada dalších vrstevníků, kteří do nebeské mechaniky významně přispěli. Z nich je třeba se zmínit v prvé řadě o Ch. Huygensovi (1629-1695), který objevil vztah pro zrychlení tělesa pohybujícího se rovnoměrně po kružnici. Zákon říká, že zrychlení je přímo úměrné kvadrátu rychlosti pohybu V a nepřímo úměrné poloměru kružnice r
a = V2/r.
Na základě tohoto poznatku již bylo možno snadno potvrdit zákon o nepřímé úměře zrychlení na kvadrátu vzdálenosti. Uplatněním vztahu pro rychlost (obvod dělený periodou) V = 2ttt/T je zrychlení dáno vztahem
2. Základní pojmy a zákony mechaniky kosmického letu
4n2
a = yrr-
Pak spolu se znalostí třetího Keplerova zákona (viz kap. 3), v němž pro kruhový pohyb dosadíme poloměr r
T2 _ 4?r2
Ť5 ~ "k2
lze dospět k důležitému poznatku o nepřímé úměře zrychlení pohybu (potažmo síly) na kvadrátu vzdálenosti těles (konstanta k2 nebyla v té době ještě známa)
k2
a = p. (2.1)
Další pokrok v nalezení zákona o všeobecné přitažlivosti těles byl možný až na základě tří fundamentálních Newtonových zákonů o pohybu těles: zákonu setrvačnosti, zákonu o sile a zákonu o akci a reakci. Byť jsou tyto základní zákony klasické mechaniky všeobecně známy, nebude na škodu si je připomenout.
První zákon, zákon o setrvačnosti říká, že každé těleso zůstává v klidu nebo přímočarém rovnoměrném pohybu pokud není nějakou vnější silou přinuceno tento stav změnit.
Druhý zákon vyjadřuje závislost mezi zrychlením a vnější silou působící na těleso. Jinými slovy tento zákon říká, že zrychlení tělesa je přímo úměrné vnější působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa
F
a = — nebo F = ma. (2.2) m
Třetí zákon (zákon akce a reakce) říká, jestliže jedno těleso působí na druhé těleso libovolnou silou v jednom směru, pak druhé těleso působí na první těleso stejně velkou silou v opačném směru.
Na základě těchto nových poznatků a díky svým matematickým znalostem byl Newton schopen nejen zpřesnit třetí Keplerův zákon, ale také zformulovat vztah pro gravitační sílu, který říká, že přitažlivá síla dvou těles je přímo úměrná součinu hmotností obou těles a nepřímo úměrná kvadrátu jejich vzdálenosti
771i 777.2
F---—-
ľ9 r2 •
Na rozdíl od definitivního vztahu tak jak jej známe a používáme nyní, Newton nebyl sto stanovit přímo velikost gravitační síly. Neznal hodnotu konstanty k2 ve vztahu (2.1). Silové účinky gravitačního působení mohl stanovovat pouze vzájemným porovnáváním.
Definitivní podobu výrazu pro gravitační sílu dal až v roce 1894 další anglický vědec G. V. Boys tím, že zavedl univerzální gravitační konstantu, která se v odborné literatuře označuje nejrůznějšími symboly, nejčastěji G nebo k. Jelikož zde je symbol G vyhrazen pro tíhovou sílu, budeme výraz pro gravitační sílu zapisovat ve tvaru
777, m->
Fg = k^±. (2.3)
Hodnota univerzální gravitační konstanty byla stanovena na základě experimentů anglického fyzika H. Cavendishe (1731-1810). Poté byla v dalších letech opakovanými pokusy postupně zpřesňována. Posledními pokusy, které provedli J. Gundlach a S.
2. Základní pojmy a zákony mechaniky kosmického letu
Merkowitz na Washingtonské univerzitě v roce 2000 se dospělo k následující hodnotě univerzální gravitační konstanty
k = (6,674215 ± 0,000092). 10"" [Nm2kg-2]. Dle vztahu (2.3) získáváme sice správné vzájemné gravitační účinky, avšak do dnešní doby nejsme sto vysvětlit fyzikální podstatu gravitace a její působení na dálku. Naději na pochopení a objasnění podstaty gravitace nám může dát až Einsteinova obecná teorie relativity.
Zde se však nadále budeme zaobírat Newtonovou klasickou mechanikou a používat ji pro řešení základních úloh mechaniky kosmického letu bez uvažování relativistických efektů.
Uvažujeme dvě tělesa, která v souladu s třetím Newtonovým zákonem o akci a reakci na sebe působí stejně velkými, opačně působícími silami (obr. 2-1). Tyto gravitační síly se obvykle vyjadřují ve vektorovém tvaru.
působení
m.
Obr. 2-1 Gravitační síly působící na dvě tělesa, která se vzájemně přitahují.
Dle obr. 2-1 těleso o hmotnosti působí na druhé těleso o hmotnosti m2 přitažlivou silou označenou F21. Naopak druhé těleso o hmotnosti m2 působí na první těleso o hmotnosti mx přitažlivou silou F12. První index vždy označuje těleso, na nějž přitažlivá síla působí a druhý index označuje působící těleso. Vzdálenost obou těles je dána vektorem f. Zvolme jednotkový vektor er = ŕ/r, jehož kladný smysl směřuje od tělesa o hmotnosti m1 k druhému tělesu o hmotnosti m2. Pak přitažlivá síla F12 je dána vektorovým výrazem
-. 7n1Třl2 _ TTliTn2
F12 =K—p2-er = K—p3-r C24)
a přitažlivá síla F21 = —F12 je dána vektorovým vztahem
F2i = -k—— er = "K"— r- (2-5)
Pokud za vztažné těleso zvolíme těleso o hmotnosti ma budeme tuto gravitační sílu směřující vždy k přitahujícímu tělesu označovat obecným symbolem pro gravitační sílu Fg a výraz (2.5) přepíšeme do následující vektorové formy
-. mim2 _ m1m2 „
Fg = -k——er = -k-—-r.
(2.6)
2.2  Gravitační pole a jeho popis
2.2.1 Intenzita gravitačního pole
Každé těleso o hmotnosti M je zdrojem gravitačního pole. Uvažujeme sférické těleso, které generuje homogenní centrální gravitační pole. Vložíme-li do gravitačního pole těleso o hmotnosti m působí na něj v souladu s výše uvedeným Newtonovým zákonem o všeobecné přitažlivosti gravitační sila Fg.
Jednou z možností jak popisovat vlastnosti a účinky gravitačního pole v okolí centrálního tělesa je přímé měření gravitační síly vhodnou sondou, tj. nějakým jiným tělesem. Ovšem potíž je v tom, že zjištěná gravitační síla závisí na hmotnosti používané sondy. Nehledě na to, že vložené těleso sondy deformuje gravitační pole, které je předmětem měření. Vliv malé sondy na gravitační pole je však možno prakticky zanedbat. Teoreticky vliv hmotnosti sondy vyloučíme tím, že zjištěnou gravitační sílu dělíme hmotností sondy. Tím se dostáváme k pojmu intenzita gravitačního pole
K = (2.7) m
Intenzita gravitačního pole je síla, kterou gravitační pole v daném místě působí na těleso o jednotkové hmotnosti. Použití intenzity gravitačního pole nám lépe poslouží pro popis gravitačního pole než gravitační síla protože již nezávisí na hmotnosti sondy. Intenzita gravitačního pole je vektorová veličina, která je funkcí tří souřadnic, resp. polohového vektoru ve zvolené souřadnicové soustavě
K = 7KX+ jKy + kKz. (2.8)
Dosadíme-li do definičního výrazu pro intenzitu gravitačního pole (2.7) vztah (2.6) pro gravitační sílu centrálního tělesa M obdržíme
- _        kM .        kM .
K{r) = --ÍTer = —ÍT r. (2.9)
Aplikací druhého Newtonova zákona pro gravitační zrychlení libovolného tělesa o hmotnosti m v centrálním poli tělesa o hmotnosti M můžeme nalézt fyzikální význam intenzity gravitačního pole ze vztahu
ág = ^ - ž?(ř). (2.io)
m
Jak vyplývá z uvedeného vztahu, gravitační zrychlení tělesa m v místě ř centrálního gravitačního pole se rovná intenzitě gravitačního pole v temže místě a nezávisí na jeho hmotnosti.
2.2.2 Gravitační potenciál
Jak vyplynulo z předchozí části, gravitační pole popsané vektorem intenzity K(ř) je vektorové pole. Ve zvolené souřadnicové soustavě intenzita gravitačního pole závisí na třech veličinách (složkách polohového vektoru). Využijme nyní skutečnosti, že homogenní gravitační pole je potenciální pole. V potenciálním gravitačním poli platí, že práci gravitační síly lze popsat změnou potenciální energie. Potenciální energie je skalární veličina a v každém bodě gravitačního pole je určena pouze jednou veličinou na
rozdíl od tří složek intenzity gravitačního pole. A tudíž na gravitační pole můžeme nyní pohlížet jako na skalární pole.
Vycházíme ze známé fyzikální skutečnosti, že práce A v potenciálním poli se rovná změně potenciální energie AEp. V tomto případě práci gravitační síly Fg směřující do středu gravitačního pole vyjádříme jako úbytek potenciální energie A — —AEp.
Práci gravitační síly na dráze mezi dvěma vzdálenostmi r, a r2 od středu přitažlivosti můžeme s přihlédnutím k výrazu pro gravitační sílu (2.6) zapsat následovně
ľ* dr
= I   Fgdr = —KMm I
Po integraci a dosazení mezí obdržíme pro práci gravitační síly výraz
A = kMtu I
'2 'ľ
Úbytek potenciální energie mezi dvěma různými body v centrálním gravitačním poli můžeme zapsat formálně takto
-AEp = ~[Ep(r2) - řpCrO] = Fpfo) - E„(r2). Po dosazení uvedených výrazů do fundamentálního vztahu mechaniky A — —AEp obdržíme
A = KMm (---) = -[£p(r2) - Eptrj]. (2.12)
Při popisu gravitačního pole se běžně za nulovou hladinu potenciální energie bere hladina ve vzdálenosti, kde se již prakticky neprojevuje gravitační síla, tj. v nekonečnu. Zvolme tedy za nulovou hladinu vzdálenost rx = oo a nechť r2 = r je libovolná vzdálenost od středu přitažlivosti. Na základě této volby můžeme dle rov. (2.12) zapsat jak výraz pro práci gravitační síly při přemístění tělesa z nekonečna do vzdálenosti r od středu přitažlivosti
KMm
4 = ——., (2.13)
tak výraz pro potenciální energii na hladině ve vzdálenosti r od středu přitažlivosti
, „ KMm Ep(r) =--. (2.14)
Povšimněme si, že při této volbě je práce gravitační síly kladná a potenciální energie je záporná. Se vzdáleností klesá záporná hodnota potenciální energie. Naopak, zvyšovat potenciální energii v centrálním gravitačním poli je možno jen působením vnější síly působící v opačném smyslu než síla přitažlivá. Vnější síla pak koná zápornou práci.
Protože potenciální energie Ep(r) závisí podobně jako gravitační síla na hmotnosti, není tato veličina vhodná v tomto tvaru pro popis vlastností a účinků gravitačního pole. Proto podobně jako u intenzity gravitačního pole vliv hmotnosti vyloučíme. S využitím rov. (2.14) zavedeme novou veličinu, tzv. gravitační potenciál 0(r), který je definován následovně
E„(r) kM
^=^T=-—- C2.15) m r
2. Základní pojmy a zákony mechaniky kosmického letu
Grafické znázornění závislosti gravitačního potenciálu na vzdálenosti od centra přitažlivosti je uvedeno na obr. 2-2. Alternativní definice gravitačního potenciálu je založena na využití vztahu (2.13). V tomto případě je gravitační potenciál definován jako záporný podíl práce gravitační síly a hmotnosti m
A kM
<t>(r) =--=--.
m r
(2.16)
Fyzikální význam gravitačního potenciálu můžeme vyjádřit tak, že je to potenciální energie, kterou by oplývalo těleso o jednotkové hmotnosti vložené do centrálního gravitačního pole ve vzdálenosti rod středu přitažlivosti. Nebo také lze gravitační potenciál definovat jako záporně vzatou práci gravitační síly při přemístění tělesa o jednotkové hmotnosti z nekonečna do bodu ve vzdálenosti r od středu přitažlivosti.
r
-m
Obr. 2-2 Změna gravitačního potenciálu se vzdáleností o středu přitažlivosti.
Intenzita gravitačního pole AT(r) a gravitační potenciál <t>(r) popisující stejné gravitačního pole mezi sebou úzce souvisí. Relace mezi skalárním popisem gravitačního pole a vektorovým popisem je dána vztahem známým z vektorové analýzy
_       / 3<t>     d<P -.d<t>\
(2.17)
dy
2.2.3 Tíhová síla a tíhové zrychlení
Na kosmické letadlo v blízkosti Země působí nejen gravitační pole Země, ale také pole odstředivých sil v důsledku rotace Země kolem vlastní osy. Gravitační síla je v souladu s Newtonovým všeobecným gravitačním zákonem dána výrazem (2.3), který si přepíšeme na tvar
tcMm
* = |£W' (218)
kde r = rz + h je vzdálenost od středu centrálního gravitačního pole Země, rz je smluvní poloměr Země a h je výška nad zemí.
Kromě uvedené gravitační síly působí na kosmické letadlo v důsledku rotace Země úhlovou rychlostí cjz určitá odstředivá síla. Pro konstantní úhlovou rychlost rotace Země můžeme odstředivou sílu obecně vyjádřit ve vektorovém zápisu takto
Fs - -mä x (fi x ř). (2.19)
Po provedení vektorových součinů a s uvážením, že fi = a)zk a f = yj + zk můžeme velikost (modul) odstředivé síly zapsat následovně
Fs = mioly.
A po dosazení souřadnice y — (rz + h) cos <p dle obr. 2-3, kde <p je zeměpisná šířka, na níž se kosmické letadlo nachází, obdržíme výraz pro odstředivou sílu působící na kosmické letadlo v důsledku rotace Země
Fs = mwf (rz -I- h)coscp. (2.20)
Obr. 2-3 Definice tíhové síly.
Exaktně je tíhová síla G definována jako vektorový součet gravitační síly Fg a odstředivé síly Fs v souladu s obr. 2-3
G=Fg + Fs. (2.21)
Jako každé síle i tíhové síle odpovídá zrychlení, které v tomto případě nazýváme tíhové zrychlení. Uvážíme-li druhý Newtonův zákon pro vztah mezi silou a zrychlením, můžeme tíhové zrychlení vyjádřit v souladu s rov. (2.2) následovně
G
9 =—■ m
(2.22)
Dosazením za modul gravitační síly dle rov. (2.18) a za složku modulu odstředivé síly ve směru normály výraz —Fscos(p = —mu>\{rz + h)cos2<p obdržíme vztah pro stanovení tzv. normálového tíhového zrychlení v závislosti na výšce a zeměpisné šířce ve tvaru
kM
9n = (r + hy ~         + h)cos2<p. (2.23)
Ve vztahu (2.23) je uplatněna pouze normálová složka Fs a je zanedbána tečná složka odstředivé síly (kolmá na normálu). V dalším textu budeme index „n" i přídomek „normálové" vynechávat, nicméně bude se vždy jednat o normálové tíhové zrychlení {£ = gn), jehož vektor směřuje do středu Země. Z výrazu je zřejmé, že v důsledku závislosti na zeměpisné šířce <p a výšce h je maximální hodnota tíhového zrychlení na pólech Země v nulové výšce a nejmenší pak bude na rovníku.
V praktických aplikacích mechaniky letu atmosférických a kosmických letadel se vliv odstředivé síly obvykle zanedbává. Takže tíhové zrychlení je dáno pouze prvním členem v rov. (2.23), který závisí jen na výšce
kM
9W =
(Tz + hy
(2.24)
Tíhové zrychlení na povrchu sférické Země (v nulové výšce h = Om) je pak dáno vztahem
kM
9o=—r- (2-25) rz
Vyjádříme-li si z této rovnice výraz pro součin univerzální gravitační konstanty a hmotnosti Země
kM = g0ri (2.26) a dosadíme jej do rov. (2.24), můžeme vyjádřit výraz pro tíhové zrychlení v libovolné vzdálenosti od středu gravitačního pole Země r = rz + h ve tvaru
gW = 9o
9o
9o
(2.27)
		1,05
c		1,00
-C		0,95
>		
N -Q)	tH	0,90
> O	Q 00	0,85
£	~—	
né ti	ao	0,80
<o		0,75
E		
o		0,70
CL		
		0,65
		0,60
									
									
									
									
									
									
	, = 9,8	0665	ms"2]						
									
									
0     100   200   300   400   500   600   700   800   900 1000 Geometrická výška nad zemí h [km]
Obr. 2-4 Závislost poměrného tíhového zrychlení na výšce nad zemí.
Posledně uvedený výraz v rov. (2.27) je přibližný vztah stanovený použitím prvních dvou členů binomického rozvoje. Za standardní smluvní hodnotu tíhového zrychlení Země v/i = 0 m se bere tíhové zrychlení, jehož hodnota je g0 = 9,80665 [ms~2], která odpovídá smluvnímu tíhovému zrychlení v nulové výšce na zeměpisné šířce <p = 45°.
Na obr. 2-4 je uvedena závislost poměrného tíhového zrychlení Země v závislosti na geometrické výšce. Z uvedeného diagramu můžeme vidět, že ve výškách odpovídajících nízkým oběžným dráhám kolem h = 500 [km] poklesla hodnota tíhového zrychlení o necelých 15%.
V řadě úloh se používá konstantní smluvní tíhové zrychlení g = gQ. To znamená, že uvažujeme tíhové pole, v němž sledované veličiny závislé na výšce vyjadřujeme v jiné transformované výšce. Této výšce říkáme geopotenciální výška. Na rozdíl od geometrické výšky h ji obvykle označujeme velkým písmenem H.
Obr. 2-5 Relace mezi geometrickou a geopotenciální výškou letu.
Geopotenciální výška H je určena na základě rovnosti potenciálních energií ve skutečném tíhovém poli s proměnným tíhovým zrychlením g(h) a tíhovém poli o konstantním tíhovém zrychlení g0 (obr. 2-5)
-h
(2.28)
mg0H = m g(h)dh, Jo
odkud geopotenciální výška s přihlédnutím ke vztahu (2.27) bude dána následujícím definičním vztahem
rh rh
1 fn Ch dh
H=—\ g{h)dh = -—j.
9o Jo J0 ^ + A)
Po integraci pravé strany rovnice (2.29) a dosazení mezí obdržíme výraz
(2.29)
(2.30)
z něhož můžeme přímo určit geopotenciální výšku pro zvolenou geometrickou výšku h. Jak je patrné z obr. 2-5 i uvedeného vztahu (2.30) geopotenciální výška je vždy menší a rozdíl roste s výškou. Pro relativně malé výšky ve srovnání s poloměrem Země je možno rozdíl zanedbat H = h. Ve výšce h = 100 [km] je chyba cca (—1,5 %).
10
3   PASIVNÍ POHYB KOSMICKÝCH TĚLES V CENTRÁLNÍM GRAVITAČNÍM POLI
3.1 Problém dvou těles. Pohybové rovnice
Problém dvou těles spočívá v řešení úlohy pohybu dvou těles pod účinky vzájemně na sebe působících sil v souladu s Newtonovým zákonem o všeobecné přitažlivosti těles.
m
inerciální soustava
Z		
	-*	
.F<0		
7		
		
		
Obr. 3-1 Definice poloh a působících sil na dvě tělesa v inerciální souřadnicové
soustavě.
Uvažujme dvě tělesa o hmotnostech M a m v inerciální souřadnicové soustavě (X, Y,Z), jejichž pohyb je ovlivňován pouze vzájemnými centrálními gravitačními silami (obr. 3-1).
Obě tělesa považujeme za homogenní koule, jejichž těžiště jsou shodná s geometrickými středy. Gravitační síly tudíž působí přímo ve středech obou těles ve směru spojnice obou středů, ale v opačných smyslech. Gravitační síla Fm je síla, kterou na těleso m působí těleso M. A naopak gravitační síla FM je síla, kterou na těleso M působí těleso m.
Polohy středů obou těles vdané inerciální souřadnicové soustavě vzhledem k jejímu počátku jsou dány polohovými vektory řm a řM. Zavedeme ještě polohový vektor ř, který stanovuje vzájemnou polohu obou těles. Kladný smysl je definován jednotkovým vektorem er směřujícím od tělesa M k tělesu m. Vektor řr definuje polohu společného těžiště obou těles „T" v dané soustavě. Hmotnosti těles budeme označovat shodně s označením kosmického tělesa. Těleso označené jako m má hmotnost m a podobně to platí i pro druhé těleso, těleso označené jako M má hmotnost M.
3.1.1 Obecné pohybové rovnice dvou těles
V souladu s rov. (2.6) můžeme pro sílu, kterou působí těleso M na těleso m psát výraz ve tvaru
KMm _
Fm =--—er. (3.1)
A podobně vztah pro sílu, kterou působí těleso m na těleso M (FM = —Fm) můžeme zapsat ve tvaru
KMm _
FM = +-^er- (3-2)
Dále dle druhého Newtonova zákona, rov. (2.2), lze obě síly vyjádřit následovně (tečkami jsou označeny derivace dle času)
d?rr dt
F,n = mrm = m^f1, (3.3)
FM = AfrM=M^f. (3.4)
Dosadíme-li gravitační síly dle rov. (3.1) a (3.2) do odpovídajících pohybových rovnic (3.3) a (3.4) obdržíme
d2řm       KMm _ m—=--—er, (3.5)
M^dr = +^r-eV (3-6)
d2řM KMm ~ďl
Nejprve první rov. (3.5) dělíme hmotností m a druhou rov. (3.6) dělíme hmotností M. Následně odečteme druhou rovnici od první. Tímto krokem obdržíme pohybovou rovnici ve tvaru
d2řm   d2řM er
-^r-^r = -^ + m)7I.
S přihlédnutím k definici vektoru r = řm — řM dle obr. 3-1 můžeme uvedenou rovnici přepsat na tvar
d2ř er — + k(M + m)^ = 0. (3.7)
Doplňme i alternativní vztah zavedením výrazu pro jednotkový vektor er = ř/r
ř + k(M + = 0. (3.8
Na tomto místě zavedeme další důležitý pojem a to gravitační parametr, který jí definován vztahem
^ = a:(M + m). (3.9
Zavedeme-li gravitační parametr n do výše odvozené pohybové rovnice (3.7), můžerm ji přepsat na jednodušší tvar
r + 4-er = 0. (3.10
Posledně uvedená výsledná vektorová pohybová rovnice vyjadřuje relativní pohyb tělesa m vůči tělesu M. Přenásobíme-li rov. (3.10) mínus jedničkou (-1), obdržíme de facto fyzikálně stejnou rovnici s tím, že změnou znaménka se vlastně změnilo místo „pozorovatele". A rovnice bude vyjadřovat relativní pohyb tělesa M vůči tělesu m.
3.1.2 Pohyb společného těžiště dvou těles
Podívejme se nyní na pohyb společného těžiště obou těles. Jeho poloha v naší inerciální souřadnicové soustavě je dána vztahem
MřM + mřm
rT = —£-— . (3.11)
T       M+m v '
Derivací rov. (3.11) stanovíme nejprve absolutní rychlost a absolutní zrychlení těžiště
v inerciální souřadnicové soustavě
-     MrM + mrm
rt = —7~.-. (3.12)
T       M + m K '
s     MrM + mřm
rT = ——-. (3.13)
T       M+m ■ J
Provedeme-li součet rov. (3.5) a (3.6), obdržíme
kMtti kMtti MřM+mřm = +—^-er-—^-er = 0. (3.14)
Po dosazení uvedené skutečnosti do rov. (3.13) vidíme, že zrychlení společného těžiště je nulové (aT — řT — 0). Z toho plyne, že společné těžiště se buď pohybuje konstantní rychlostí (yr = ŕT = konst.) a tudíž přímočaře, nebo je v klidu. Polohový vektor v libovolném čase je dán vztahem
rT = rT0 + VTt, (3.15) kde první člen vyjadřuje polohový vektor společného těžiště v čase í = 0.
3.1.3 Relativní pohyb v soustavě s počátkem v těžišti obou těles
Pokud jsme v předchozí podkapitole prokázali, že společné těžiště se pohybuje přímočaře konstantní rychlostí nebo je v klidu, můžeme tento bod také považovat za počátek jiné inerciální souřadnicové soustavy (nerotující) dle obr. 3-2.
To znamená, že polohový vektor řT = 0, z čehož dle rov. (3.11) vyplývá, že
MřM + mřm = 0, odkud polohový vektor tělesa M bude
m _ rM = —M-rm.
Pro polohový vektor ř pak můžeme psát následující relaci
- -.     m -     M + m _     M + m
' = Ťji* ~ Tff — Tm + — rm =    ~   vm —    ~ rmer.
Modul tohoto polohového vektoru zapíšeme jednoduše ve tvaru
M + m
r = —M—rr»- (3-16)
z
Obr. 3-2 Pohyb dvou těles v inerciální souřadnicové soustavě s počátkem
společném těžišti.
Vraťme se nyní k pohybové rovnici (3.5), kterou dělíme hmotností m a zavedei výraz pro jednotkový vektor er = fm/rm. Rovnice nabude tvar
Po dosazení za modul r dle rov. (3.16) obdržíme pohybovou rovnici ve tvaru
k ■
Čitatele i jmenovatele na pravé straně rovnice přenásobíme výrazem (Aí zavedeme výraz pro gravitační parametr fi = k(M 4- m). Po malé úpravě obdrž
Zavedením nového gravitačního parametru ve tvaru
M
Mm
^ (m + rn)
y M + rn
a zavedením řm = rměr můžeme pohybovou rovnici (3.18) přepsat na konečný
.-í    , Mm -
rm + TT er = 0.
Stejným způsobem můžeme odvodit pohybovou rovnici pro druhé těleso o h M pohybující se kolem společného těžiště ve tvaru
. Mm - _ rM + — er = 0,
'm
kde nový gravitační parametr je dán výrazem
14
(3.22)
Jak můžeme vidět, obě pohybové rovnice tělesa m i M vzhledem ke společnému těžišti mají podobný tvar jako výše odvozené pohybové rovnice pro vzájemný pohyb jednoho tělesa vůči druhému. Z toho vyplývá, že tvary drah jsou si podobné. Na obr. 3-3 je znázorněna dráha tělesa m vzhledem k tělesu M, které jsme umístili do počátku inerční souřadnicové soustavy. Čárkovaně je znázorněn relativní pohyb společného těžiště T vůči tělesu M. Tak vidí pozorovatel z tělesa M pohyb tělesa m, resp. pohyb těžiště T. Na obr. 3-4 je pak znázorněn relativní pohyb obou těles vzhledem k těžišti T. Tak by viděl pohyb jednotlivých těles pozorovatel umístěný ve společném těžišti T.
Obr. 3-3 Pohyb tělesa m a společného        Obr. 3-4 Pohyb obou těles vzhledem ke těžiště T vůči tělesu M. společnému těžišti T.
3.1 A Restringovaný problém dvou těles
Při řešení pohybu umělých družic a různých sond se obvykle uvažuje ta skutečnost, že hmotnost těchto kosmických těles je mnohonásobně menší než hmotnost centrálního tělesa, v jehož sféře vlivu se toto těleso pohybuje. Uvážíme-li tedy m « M, můžeme přistoupit ke zjednodušenému (restringovanému) řešení problému dvou těles. Těleso M umístíme do počátku inerciální souřadnicové soustavy. Z toho plyne, že polohový vektor tělesa M je nulový (rM = 0) a polohový vektor řm je totožný s polohovým vektorem r. Zanedbáním hmotnosti tělesa m můžeme původní společné těžiště ztotožnit s těžištěm tělesa M a tedy s počátkem souřadnicové soustavy (řr = 0). To znamená, že pro řešení takto formulovaného problému, můžeme použít výsledky odvozené v předchozí podkapitole, kde jsme odvodili pohybové rovnice pro pohyb tělesa vůči společnému těžišti.
Pro nalezení pohybové rovnice použijeme jednoduše rovnici (3.17), v níž uplatníme totožnost polohových vektorů řm = ř . Po dosazení této skutečnosti a zavedení jednotkového vektoru ř = rer obdržíme pohybovou rovnici ve tvaru
r + ^er = 0. (3.23)
Do rov. (3.23) jsme zavedli restringovaný gravitační parametr příslušející samotnému centrálnímu tělesu M ve tvaru
fi = km = n, (3.24) který v dalším textu budeme nadále označovat v souladu s tímto zápisem symbolem /x.
Rovnice (3.23) představuje pohybovou rovnici v podobném tvaru jako v předchozích případech s tím, že se změnil pouze gravitační parametr, v němž jsme zanedbali hmotnost m. Metoda je aplikovatelná pro řešení pohybu jak umělých družic a sond, tak také planet. Hodnoty gravitačního parametru pro některá nebeská tělesa jsou uvedeny vtab. 3-1, [28].
Tab. 3-1
Kosmické těleso	(i — kM [km2s 2]	Kosmické těleso	H — kM [km3s 2]
Slunce	132 712 438 000	Mars	42 828
Merkur	22 032	Jupiter	126 710 000
Venuše	324 860	Saturn	37 940 000
Země	398 600	Uran	5 781 600
Měsíc Země	4 903	Neptun	6 871 300
3.2  Keplerovy zákony
3.2.1  První Keplerův zákon - tvar oběžné dráhy
Kepler dospěl k poznání, že dráhy planet jsou elipsy a my zde budeme pouze teoreticky verifikovat, že tomu tak je, pokud neuvažujeme žádné rušivé vlivy. Proto následujíc odvození rovnice dráhy provedeme pro pohyb kosmického tělesa po eliptické dráze Navíc pak provedeme zobecnění platnosti rovnice dráhy i pro jiné typy drah (kuželoseček).
Uvažujme oběh kosmického tělesa (planety, družice) m kolem tělesa M vjehc centrálním gravitačním poli. Těleso M spojíme s počátkem nerotující (fl = 0) vztažm souřadnicové soustavy (x, y,z). Centrální těleso považujeme za dokonalou homogenr kouli. V tomto případě lze centrální těleso nahradit hmotným bodem v jeho středí. Sledujme nyní pohyb kosmického tělesa m pod účinkem pouze centrální gravitační sil Fg = Fm, směřující neustále do středu tělesa M. Okamžitá poloha tělesa m nechť j dána průvodičem r a polohovým úhlem 0 dle obr. 3-5.
Pro řešení dané úlohy se jako nejvhodnější nabízí použití polárních souřadnic Pohybové rovnice v polárních souřadnicích (r, 0) pro konstantní hmotnost obíhajícíh tělesa (?n = konst.) jsou dostatečně známy z obecné mechaniky, např. [38]. Pro r\é případ je zapíšeme ve tvaru
m(r - r02) = Fg, (3.2E
cř(mr20)
dt
(3.26)
Obr. 3-5 Pohyb tělesa v centrálním gravitačním poli popsaný polárními souřadnicemi
(r.0).
Dle druhého Newtonova zákona je síla dána součinem hmotnosti a zrychlení. V našem případě je touto silou gravitační síla, která je dána vztahem
F9 = rn(-rr)-
(3.27)
kde radiální relativní zrychlení jsme stanovili z rov. (3.10). Moment centrální gravitační síly k počátku je nulový (M0 = 0). Dosadíme-li na pravé strany pohybových rovnic uvedené skutečnosti a zkrátíme-li obě rovnice hmotností obíhajícího tělesa m obdržíme dvě pohybové rovnice
(r-r02) = -^,
— (r20) = 0. dtK '
(3.28)
(3.29)
Posledně uvedenou rovnici (3.29) můžeme po provedení derivace ještě přepsat na jednodušší tvar
rz0 = h = konst,
(3.30)
kde h je časově nezávislá konstanta, jejíž geometrický i fyzikální význam si objasníme později.
Pro řešení uvedených pohybových rovnic použijeme substituční metodu. Zavedeme následující substituci
_ 1 u
(3.31)
Nejprve stanovíme první derivaci průvodiče ř, kterou s přihlédnutím k rovnici (3.30) po substituci Q/u2 = h upravíme následovně
dt\u) u2
0 du du
_ _ _ i _
u2dQ~ dQ'
(3.32)
1 du dQ "dl dQ
Druhá derivace průvodiče r je dána derivací rov. (3.32) a opět upravena s přihlédnutím k substituovanému výrazu (3.30). Po naznačené úpravě obdržíme
dř    d (     du\ d2u . h Qdzu .d2u
r = ——- = — I —h—— = — h-—-0- = — /r — ——r — —h2uÁ ——r. dt    dt\     dQ) dQ2   h hdQ2 dQ2
(3.33)
Po dosazení do rovnice (3.28) a využitím vztahu (3.30) obdržíme po malé úpravě diferenciální rovnici v proměnné u ve tvaru
d2u u
Řešení takové klasické diferenciální rovnice předpokládáme ve standardním tvaru, který sestává z řešení homogenní diferenciální rovnice a partikulárního integrálu. V našem případě je řešení v proměnné u dáno ve tvaru
u = A cos(0
(3.35)
Po zpětné substituci obdržíme řešení pro dráhu definovanou průvodičem r ve tvaru
1
r =-----w. (3.36)
A cos(0 - 0O) + p
Řešení pohybové rovnice obsahuje jisté konstanty, které mají svůj geometrický význam.
Přepišme si uvedenou rovnici dráhy na alternativní vztah, který získáme přenásobením čitatele i jmenovatele na pravé straně poměrem (h2/u)
h2 1
r =
u h2
M 1 + A — cos(0
e0)
(3.37)
Jelikož Kepler ve svém prvním zákonu stanovil, že se planety pohybují po elipsách, objasníme si geometrické souvislosti na této nejdůležitější kuželosečce. Protože konstanty v dané rovnici musí platit v libovolném bodě oběžné dráhy, zvolme si prc objasnění konstanty {h2/[£) okamžik, ve kterém je úhel (0 = 90° + 0O) . To odpovídí situaci, kdy průvodič r je kolmý na osu apsid (obr. 3-6).
Z geometrie elipsy je známo, že tento průvodič je totožný s tzv. parametrem elipsy p
h2
p = —. (3.38 u
Dosazením zjištěné skutečnosti do rovnice (3.37), nabývá řešení pohybové rovnici následující tvar
P
r =
1 +>4pcos(0 - 0O)'
(3.39
18
V dalším kroku nalezneme výraz pro geometrickou konstantu Ap. Tuto konstantu lze nalézt ze dvou poloh průvodiče r, a to pro polohu v pericentru (0 = 0O) a pro polohu vapocentru (0 = 180° + 0O).
Obr. 3-6 Obecná poloha elipsy v rovině oběžné dráhy a základní charakteristiky elipsy. V prvním případě obdržíme
Ve druhém případě platí
r'mT=+- '3'41>
Vyjádřením parametru p z obou rovnic lze psát následující rovnost
rP(l + Ap) = rA(l - Ap).
Po dosazení vzdáleností pericentra rP = a — c a apocentra rA = a + c od ohniska dle obr. 3-6 obdržíme rovnici
(a-c)(l+Ap) = (a + c)(l-Ap), z níž nalezneme konstantu, která vyjadřuje excentricitu (obr. 3-6), což je bezrozměrová veličina
Ap = - = e. (3.42) a
Zavedeme-li tyto relace do řešení pohybové rovnice (3.39), můžeme rovnici pro dráhu zapsat např. ve tvaru
r =--f3 43")
H 1 + ecos(0 - 0O)'
A jelikož uhlová konstanta 0O je libovolnou počáteční integrační konstantou, můžeme její hodnotu zvolit rovnu nule (0O = 0). V tomto případě bude osa x totožná s přímkou apsid. Výsledné řešení pohybové rovnice zapíšeme ve tvaru
h2 1
r=—---. (3.44)
p 1 + ecos0
Respektive, uplatněním rovnice (3.38) pro parametr můžeme rovnici pro dráhu uvádět v nejjednodušším a nejčastěji používaném tvaru
r =-----. (3.45)
1 + e cos 0
Přestože jsme celé odvození rovnice dráhy provedli pro eliptickou dráhu, výše uvedené vztahy (3.44) a (3.45) představují rovnice platné pro obecnou kuželosečku v polárních souřadnicích s ohniskem v počátku naší souřadnicové soustavy. O tom, o jaký typ kuželosečky se jedná, rozhoduje excentricita (výstřednost) kuželosečky e, což jei bezrozměrová vzdálenost fokusu F od středu kuželosečky S.
Eliptická dráha (0 < e < 1)
Eliptické dráhy jsou nejrozšířenějšími tvary drah, po nichž se pohybují nebeská tělesa i umělá kosmická tělesa (kosmická letadla). Eliptická dráha patří mezi uzavřené oběžné dráhy, které můžeme jednoznačně definovat excentricitou a parametrem. Polohu kosmického tělesa na dráze pak určujeme polární souřadnicí (argumentem) 0, která se nazývá skutečná (pravá) anomálie. Je to úhel mezi průvodičem r a přímkou apsid. Měř se od bodu, který se nazývá pericentrum, což je bod dráhy, který je nejblíže k ohnisku Protilehlý, nejvzdálenější bod od ohniska se nazývá apocentrum. Výše uvedené názv\ jsou obecné názvy těchto charakteristických bodů na uzavřené oběžné dráze - elipse Pokud se jedná o oběžnou dráhu kolem nějakého konkrétního centrálního tělesa používají se pro tyto body přiléhavější speciální názvy. Pro oběžnou dráhu kolem Země je to perigeum a apogeum. Pro oběžné dráhy kolem Slunce se tyto odpovídající bod nazývají perihel a afel.
Výše jsme podrobně probrali tvary rovnice dráhy pro eliptické oběžné dráhy. Nicméně pro eliptické oběžné dráhy můžeme ještě uvést další alternativní tvar. Za tímto účeler odvodíme jiný výraz pro parametr elipsy p, tentokrát v závislosti na hlavní poloose a excentricite elipsy e. Pro hlavní poloosu elipsy platí
2a = rP+ rA. (3.46;
Nejprve stanovíme dle rov. (3.45) vztah pro polohu pericentra rP(0 = 0°) a dle též rovnice stanovíme výraz pro vzdálenost apocentra rA (0 = 180°). Takto získané vztah dosadíme do rovnice (3.46) a po jednoduché úpravě máme k dispozici další výraz pr parametr elipsy
p = a(l-e2). (3.4
Dosadíme-li uvedený výraz pro parametr do rov. (3.45) obdržíme alternativní rovni dráhy v závislosti na excentricite a hlavní poloose elipsy ve tvaru
20
a(l-e2)
r = r1-(3.48)
1 + e cos 0
Elipsa je definována jako množina geometrických bodů, pro něž platí, že součet jejich vzdáleností od dvou pevných bodů, tzv. ohnisek, je konstantní. Tato vzdálenost se rovná dvojnásobku délky hlavní poloosy elipsy (2a). Hlavní geometrické charakteristiky elipsy jsou již uvedeny na obr. 3-6. Doplňme bez odvození některé další potřebné vztahy, známé z geometrie elipsy. Mezi nejdůležitější geometrické parametry elipsy patří excentricita (e), hlavní poloosa (a), vzdálenosti pericentru (rP) a apocentra (rA) od hlavního ohniska (fokusu).
Pro excentricitu a hlavní poloosu elipsy platí vztahy:
*-FŤF- (3-49) « = ^. (3.50)
~A "+" rP 2
e = --l. (3.51) «=TTT' (3-52)
a 1 + e
e = l-—, (3.53) a = --^-. (3.54)
a 1 — e
Pro vzdálenost apocentra a pericentra od hlavního ohniska elipsy platí vztahy:
rA = 2a — rP, (3.55) rP = 2a — rA, (3.56)
rA = a(l + e), (3.57) rP = a(l - e), (3.58)
1 + e 1 - e
rA=rP^—e, (3.59) Tp = r*T+~e (3-60)
Vazby mezi dalšími základními rozměry elipsy jsou dány vztahy:
(3.61) b = aVl -e2. (3.62)
Příklad 3.1
Zadáni:
Stanovte následující parametry eliptické dráhy kosmického tělesa obíhajícího kolem Země: vzdálenosti perigea rP a apogea rA od centra gravitačního pole, specifický moment hybnosti h, délku hlavní a vedlejší poloosy a, b.
Potřebná data:
Výška kosmického tělesa v perigeu Excentricita Poloměr Země Gravitační parametr Země
Řešeni:
a) Výpočet vzdálenosti perigea
rP =rz + HP = 6378 + 450 = 6828 [km].
HP = 450 [km], e = 0,5 [1], rz = 6378 [km], fj. = 398600 [km3s~2].
b) Výpočet specifického momentu hybnosti provedeme dle rov. (3.44), kterou upravíme s uvážením podmínky v perigeu 0 = 0° na tvar
h = vVP(l + e) = 7(398600) 6828 (1 + 0,5) = 63894,14 [fcma5-1].
c) Výpočet vzdálenosti apogea provedeme rovněž pomocí rov. (3.44), kde nyní uvážíme podmínku pro apogeum 0 = 180°
h2    1       63894.142 1
T* ' J—e "   398600   (1 -0,5) = 20484
d) Výpočet hlavní poloosy elipsy provedeme dle vztahu (3.50)
rA + rP    20484 4- 6828 a =    2     =---- 13656 [km].
e) Konečně výpočet vedlejší poloosy elipsy stanovíme z rov. (3.62)
b = ay/l - e2 = 13656 Jl - 0,52 = 11826,44 [km].
Kruhová dráha (e = 0)
Kruhovou oběžnou dráhu můžeme považovat za speciální dráhu eliptickou. Kružnice jť geometrickým místem bodů, které mají konstantní vzdálenost od pevného bodu V tomto případě je ohnisko totožné se středem kružnice a průvodič r = konst Dosadíme-li do rov. (3.44) a (3.45) za excentricitu e = 0 zjistíme, že pro kruhovoi dráhu jednoduše platí
h2
r — p — — - konst. (3.63
Parabolická dráha (e = 1)
Parabola (obr. 3-7) je obecně definována jako množina geometrických bodů, které maj stejnou vzdálenost od ohniska a od zvolené řídící přímky. Řídicí přímka leží vpravo o< fokusu ve vzdálenosti d = 2rP a je rovnoběžná s osou y.
Parabolická dráha je určena rovnicí obecné kuželosečky (3.45), v níž dosadíme z; excentricitu e — 1. Takže parabolická dráha je v polárních souřadnicích určena rovnicí
r =--^—-. (3.64
l + cos© v
Parabola představuje již otevřenou dráhu. Polohový vektor pro pravou anomál 0 = 180°, tj. při cos0 = —1, nabývá nekonečné hodnoty. Hlavní poloosa a -* oc Pericentrum parabolické dráhy (vrchol paraboly) leží na průsečíku paraboly s její osol kdy pro pravou anomálii platí cos0 = 1. Parametr paraboly je v souladu s rovnicí (3.6^ dán dvojnásobkem vzdálenosti vrcholu paraboly od ohniska
p = 2rP. (3.6E
Parabolický tvar dráhy svými parametry představuje hraniční dráhu, která je předěler mezi eliptickými a hyperbolickými dráhami.
Obr. 3-7 Geometrické charakteristiky paraboly.
Hyperbolická dráha (e > 1)
Hyperbola je definována jako množina geometrických bodů, které mají od dvou pevných bodů (ohnisek) stálý rozdíl vzdáleností. Rozdíl těchto vzdáleností se rovná dvojnásobku délky hlavní poloosy (2a).
Hyperbolická dráha je určena rovnicí obecné kuželosečky s tím, že excentricita je větší jak jedna (e > 1). V obecné teorii kuželoseček je délka hlavní poloosy hyperboly záporná. Nicméně, zde upravíme obecný výraz pro hyperbolu za předpokladu, že hlavní poloosu hyperboly budeme uvažovat jako kladnou veličinu (a > 0).
Podobně jako u elipsy i zde použijeme pro nalezení výrazu pro parametr stejný postup. Nejprve určíme dle rov. (3.45) výraz pro vzdálenost pericentra hyperboly rP (0 = 0) a z téže rovnice určíme vztah pro vzdálenost apocentra hyperboly rA (0 = 180). Avšak vzhledem k tomu, že nyní je excentricita větší jak jedna (e > 1) je dle rov. (3.45) číselná hodnota vzdálenosti apocentra hyperboly záporná. Tudíž v souladu s obr. 3-8 je nutno kladně uvažovanou vzdálenost (2a) mezi pericentrem a apocentrem zapsat následovně
Nyní do uvedeného vztahu dosadíme výrazy pro polohu apocentra a pericentra, které získáme dle rov. (3.45)
odkud obdržíme výraz pro parametr hyperboly, který budeme používat ve tvaru
2a = \rA\-rP = -rA-rp.
p = a(e2 - 1). (3.66^
Po dosazení parametru p dle rov. (3.66) do obecného výrazu pro kuželosečku (3.45 získáváme řešení pohybové rovnice pro pohyb kosmického tělesa po hyperbole ve tvaru
a(e2 - 1)
r    l+ecosO    l + ecos0' (367>
Na rozdíl od jiných typů kuželoseček, hyperbola má dvě osově symetrické větve. Pro pohyb tělesa v centrálním poli vykazujícím přitažlivé gravitační síly je platná pouze jedna z nich, označena (1). Druhá větev (2) nemá reálný fyzikální význam, odpovídala by odpuzující gravitační síle, označujeme ji jako tzv. prázdnou větev. Pericentrum P leží v průsečíku hyperboly (vrchol reálné hyperboly) s osou apsid (0 = 0), zatímco apocentrum A je totožné s vrcholem prázdné větve.
přímka apsid
Obr. 3-8 Geometrické charakteristiky hyperboly.
Významnou roli hrají obě asymptoty. Asymptoty jsou tečny v nekonečnu k obem větvím hyperboly a svírají spolu úhel 2/3 (obr. 3-8). Hledejme nyní pravou anomálii pr případ, kdy polohový vektor r —> oo. Jinými slovy, v limitním případě bude rovnoběžr s asymptotou. Z rov. (3.67) vyplývá, že této situaci odpovídá pravá anomálie 0 = 0 pro niž platí podmínka
cos ©o, = — 1/e. (3.6(
Jak je možno vidět z obr. 3-8, mezi úhlem asymptoty (3 a limitní pravou anomálii 0 platí následující vazba
/? = 180°-0C
Odtud pro cos (3 platí vztah
24
cos /? = cos(180° - ©a,) = cos 180° cos 0ro + sin 180° sin 0ro = - cos 0^.
Srovnáním s rov. (3.68) je zřejmé, že pro úhel asymptot platí
cos/?=l/e. (3.69)
Přilétající kosmické těleso k centrálnímu tělesu umístěnému v ohnisku F se při oběhu asymptoticky pootočí o úhel S a poté opět tímto směrem odlétá do nekonečna. Úhel asymptotického pootočení stanovíme dle obr. 3-8 z podmínky S/2 = 90° — /?. Takže z funkce pro sinus tohoto úhlu obdržíme vztah
8
sin - = sin(90° - /?) = sin 90° cos /? - cos 90° sin /? = cos (i.
Srovnáním s rov. (3.69) vidíme, že poloviční úhel asymptotického pootočení je roven převratné hodnotě excentricity
ô 1
sin- = -. (3.70) L e
Doplňme ještě bez odvození některé další užitečné vztahy, známé z teorie hyperboly. Vztahy platí za předpokladu, že hlavní poloosa hyperboly je uvažována kladně (a > 0).
b	= aje2 - 1,	(3.71)	b	= rPV(e + l)/(e - 1),	(3.72)
e :	= 1 + (rP/a),	(3.73)	e	= Vl+ (.b/a)2,	(3.74)
>',\	= -a(e + 1),	(3.75)	rP	= a(e - 1),	(3.76)
	= c — a,	(3.77)	d	= (jP + a) sin p,	(3.78)
d	= aje2-l,	(3.79)	d	= ae sin/?.	(3.80)
3.2.2 Druhý Keplerův zákon - zákon ploch
Druhý Keplerův zákon se vztahuje k poznatku, že plocha opsaná průvodičem při pohybu kosmického tělesa po oběžné dráze je konstantní. Pro prokázání tohoto zákona použijeme odvozenou pohybovou rov. (3.10), do níž ještě dosadíme za jednotkový vektor er — ř/r a zapíšeme takto
(3.81)
Obě strany uvedené rovnice přenásobíme vektorově zleva polohovým vektorem r
r x r =--TÍřxř).
ri
Díky tomu, že vektorový součin polohových vektorů na pravé straně rovnice je roven nule (ŕxr = 0), je vektorový součin
r x r = 0.
Dále uvážíme skutečnost, že pro derivaci vektorového součinu polohového vektoru a vektoru rychlosti s přihlédnutím k výše uvedeným skutečnostem platí
—- (rxřj = řxr + rxř = 0.
Z nulovosti uvedené derivace vyplývá, že součin polohového vektoru a vektoru rychlosti (ř = V) musí být konstantní
rxr = řxV = h. (3.82)
Vektor h je konstantní vektor co do velikosti i směru a s časem se nemění. Jeho geometrický význam vyplyne z následujícího odvození II. Keplerova zákona.
	4 y rd&
dS	
d<y /	y\ oběžná dráha
	
	
i /	X
Obr. 3-9 Definiční obrázek k odvozeni sektoriální rychlosti.
Sledujme plochu opisovanou průvodičem r při pohybu kosmického tělesa po oběžné dráze (obr. 3-9). Za elementární čas dt průvodič změní svou úhlovou polohu o dO a opíše elementární plochu dS
dS = ^r(rd&).
Časová změna plochy pak bude dána vztahem
dS    1 7d0    1 _. — = -r2— = -r20. dt    2    dt 2
Po dosazení dle rov. (3.30) dostáváme velmi důležitý vztah pro tzv. sektoriální rychlost
dS h
— = - = konst. (3.83) dt 2
Uvedený vztah představuje //. Keplerův zákon, který říká, že plocha opsaná průvodičem za jednotku času při pohybu kosmického tělesa po oběžné dráze, tzv. sektoriální rychlost, je konstantní. Tímto konstanta h dle rov. (3.83) dostává svůj geometrický význam. Konstanta h je rovna dvojnásobku sektoriální rychlosti a nazývá se konstanta zákona ploch.
Konstanta h má vedle geometrického významu také fyzikální význam. Připomeňme si známý obecný výraz pro moment hybnosti b = r x mV, který přepíšeme pro těleso o jednotkové hmotnosti (m = 1) na tvar
— = f x V. m
Toto je moment hybnosti vztažený na jednotku hmotnosti, a nazývá se specifický moment hybnosti. Srovnáním tohoto výrazu s rov. (3.82) je zřejmý fyzikálni význam vektorové konstanty h. Představuje specifický moment hybnosti kosmického tělesa o jednotkové hmotnosti.
Doplňme ještě vzájemnou polohu vektoru r a h. Pro tento účel sestavíme skalární součin r • h. Uplatněním pravidla pro smíšený součin vektorů obdržíme
ř ■ h = ř ■ (ř x V) = ř ■ (ř x ř) = ŕ ■ (ř x ř) = 0.
Odtud vyplývá, že |r||/i|cosa = 0. Pro nenulové moduly vektorů |r| a \h\ musí být cos a = 0, což platí pro úhel a — 90°. Z toho vyplývá, že oba vektory jsou navzájem kolmé. A protože h je časově konstantní vektor (co do velikosti i směru) znamená to také, že průvodič r leží neustále v jedné rovině. Toto je potvrzení toho, že oběžné dráhy jsou rovinné křivky.
3.2.3 Třetí Keplerův zákon - oběžná doba
Zajímejme se nyní o periodu pohybu T, tj. dobu, za kterou projde kosmické těleso stejnými polohami na své oběžné dráze. Za tuto dobu průvodič opíše právě celou plochu elipsy Se. Předpokládáme, že známe sektoriální rychlost pohybu kosmického tělesa. Pak lze psát
■T rdSs
Se = nab
=/„(>•
Nyní do uvedeného vztahu dosadíme za sektoriální rychlost dle rov. (3.83) a výraz pro vedlejší poloosu dle vztahu (3.62). Po integraci obdržíme pro periodu následující mezivýsledek
o2 I-7
T = 2rr —VI - e2.
h.
Dále dosadíme za konstantu h dle vztahu, který získáme kombinací výrazů pro parametr p dle rov. (3.38) a rov. (3.47) ve tvaru
h = ^äyjl-e2. (3.85)
Po dosazení do rov. (3.84) za specifický moment hybnosti h dle rov. (3.85) a úpravě obdržíme výsledný vztah pro periodu
(3.86)
Uvedenou rovnici můžeme ještě přepsat na následující tvar
T2 An2
— =-= konst. (3.87)
a3 p
Toto je zpřesněné vyjádření III. Keplerova zákona, který stanovuje skutečnost, že poměr druhých mocnin period a třetích mocnin hlavních poloos eliptických drah zůstává konstantní. V tomto znění jej vyslovil Kepler, avšak bez znalosti výrazu pro onu konstantu. Definitivní podobu III. Keplerův zákon doznal až mnohem později na základě Newtonových studií. Vzhledem k tomu, že konstanta obsahuje gravitační parametr m je tato konstanta pro každou planetu, či jiné centrální těleso různá.
3.3  Energie kosmického tělesa při pohybu v centrálním gravitačním poli
3.3.1 Specifická mechanická energie
Vraťme se opět k pohybové rovnici (3.10), kterou s využitím výrazu pro jednotkový vektor er = ř/r zapíšeme ve tvaru
? + 4-ř = 0. (3.88) Rovnici přenásobíme skalárně zleva vektorem rychlosti r
ŕ-r + ^-r?-ř = 0. (3.89) r3
Snadno lze prokázat, že skalární součin ŕ ■ r se dá vyjádřit následovně
- -    1 d r Id ldV2
ř • ŕ = — — (ř • ř) = -—(ř)  = -—-—. 2dtv     J    2dtv J     2 dt
O správnosti tvrzení se lze přesvědčit zpětnou derivací našeho výsledku
1 d ,~ 2 11 a ——(r) = —(2 ŕ • rj = r • f. 2dtv J     2V J
Dále z druhého členu v rov. (3.89) vypíšeme výraz ř ■ ř/r a provedeme jeho derivaci. dí se prokázat, že tento výraz se dá vyjádřit takto
r-ŕ    d      _ i     d ■ i     d    _ i dr
— = Tt(r"r)2 = dl(rr cos 0)2 = ďt(r )2 = Tf
Důkazem je opět zpětná derivace získaného výrazu
d I    1,„ „ ^    * 1    1 r-r
jjtr • r)2 = -(r • r) 2(ŕ ■ r + r ■ ŕ) = ~^2{f ■ r) = —.
Nyní můžeme odvozené výrazy dosadit do původní rovnice (3.89), čímž získáme rovnit ve tvaru
ldV2    u dr
---h—--- 0
2 dt r2dt
Rovnici upravíme separací proměnných pro přímou integraci takto
1 , dr
2 Hr2
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
Integrací uvedené rovnice obdržíme výsledek ve tvaru
V2 u
— = - + £. 2 r
Rovnici přepíšeme do konečného tvaru, kde levá strana představuje součet specifické kinetické energie a specifické potenciální energie
T~r = S Uk9~*1 (390)
Konstanta na pravé straně rovnice pak představuje celkovou specifickou mechanickou energii kosmického tělesa při pohybu po oběžné dráze. Pokud výsledek uplatníme pro kosmické těleso o zadané hmotnosti m, můžeme naši rovnici přepsat na tvar
\mV2 + (-7m) = m£ [/]. (3.91)
což představuje nám dobře známý zákon zachování mechanické energie ve tvaru
Ec = Ek + Ep. (3.92)
3.3.2 Specifická energetická konstanta
Vraťme se zpět k výrazu pro celkovou specifickou mechanickou energii kosmického tělesa pohybujícího se po eliptické dráze. Jelikož celková energie v souvislosti se zákonem zachování energie zůstává konstantní, můžeme výraz pro celkovou energii zapsat pro libovolnou polohu kosmického tělesa na oběžné dráze. S výhodou zvolíme polohu v pericentru r = rP, kde pravá anomálie je rovna nule (0 == 0). V pericentru jsou průvodič a vektor rychlosti na sebe vzájemně kolmé. Z výrazu pro specifický moment hybnosti řP x VP = h vyplývá, že součin jejich modulů se rovná modulu specifického momentu hybnosti rPVP sin 90° = h. Odtud pro rychlost kosmického tělesa v pericentru platí
VP = ~. (3.93) rp
Z rovnice (3.44) zapsanou pro podmínky v pericentru dostáváme vztah pro kvadrát specifického momentu hybnosti ve tvaru
h2 = rPn(l + e).
Po dosazení kvadrátu rychlosti VP dle rov. (3.93) do rov. (3.90) a následně po dosazení výše uvedeného vztahu pro kvadrát specifického momentu hybnosti, obdržíme následující mezivýsledek
c = Vp     H = 1 h2    P- _ M(l + e)    n = n 2 v p    2 Tp v p        "2.vp v p "2,Tp
Nakonec, po dosazení za vzdálenost pericentra rP = a(l — e?) dle vztahu (3.58) získáme po úpravě výsledný vztah pro specifickou energetickou konstantu
Specifickou energetickou konstantu jsme odvozovali pro elipsu, avšak obecně platí pro každou kuželosečku a představuje celkovou specifickou mechanickou energii kosmického tělesa. Jak je vidět ze vztahu (3.94), závisí přímo úměrně na gravitačním parametru centrálního tělesa a nepřímo úměrně na hlavní poloose kuželosečky. To znamená, že vdaném centrálním gravitačním poli celková specifická energie závisí jen na velikosti dráhy, která je dána hlavní poloosou příslušné kuželosečky. Podle velikosti hlavní poloosy lze pro jednotlivé kuželosečky psát následující konkrétní výrazy pro specifické energetické konstanty, které jsou uvedeny v tab. 3-2.
Tab. 3-2	Specifická energetická konstanta [Jkg'1]
Eliptická dráha (a > 0)	£ = -f 2a
Kruhová dráha (a = r)	í = -f 2r
Parabolická dráha (a -* oo)	£ = 0
Hyperbolická dráha (zde je a > 0)	£ = +f 2a
3.3.3 Kosmické rychlosti a dráhy letu
Rychlost patří k nejdůležitějším charakteristikám popisujícím pohyb kosmického tělesa Pro stanovení rychlosti pohybu kosmického tělesa použijeme výše odvozený vztah prc celkovou specifickou mechanickou energii (3.90), do něhož dosadíme výraz prc energetickou konstantu (3.94). Po dosazení a úpravě obdržíme obecný výraz prc rychlost pohybu kosmického tělesa ve tvaru
(3.95
Uvedený výraz je v tomto tvaru platný nejen pro eliptickou oběžnou dráhu, ale m obecnou platnost pro jakoukoliv kuželosečku. V daném centrálním gravitačním poli (u závisí rychlost pohybu jen na velikosti oběžné dráhy (a) a poloze na dráze, určen vzdáleností pohybujícího se tělesa od středu centrálního gravitačního pole (r).
I. kosmická rychlost - kruhová rychlost
Dosazením do obecného vztahu pro rychlost (3.95) za hlavní poloosu poloměr kruhov, oběžné dráhy (a = r = konst.) obdržíme výraz pro rychlost, kterou nazýváme kosmickou rychlostí, respektive kruhovou rychlostí
V, = JI (3.9< Např. pro planetu Zemi je hodnota kruhové rychlosti v nulové výšce Vt = 7,9 [fcms-1]
II. kosmická rychlost - úniková rychlost
Pro otevřenou parabolickou dráhu, pro niž platí (a -* oo) obdržíme výraz pro II. kosmickou rychlost ve tvaru
V" = ff= VrJ1 (3-97)
Tato rychlost odpovídá rychlosti, při níž je možno překonat přitažlivost centrálního tělesa a proto se nazývá úniková rychlost. Pro únik z planety Země je hodnota II. kosmické rychlosti V,, = 11,2 [kms'1].
Hyperbolická rychlost
Vraťme se zpět k výrazu pro celkovou specifickou mechanickou energii, rov. (3.90), kam dosadíme za specifickou energetickou konstantu pro hyperbolu, uvedenou v tab. 3-2
2    r 2a
Dosadíme-li za průvodič (r -» co) obdržíme vztah pro rychlost v nekonečnu ve tvaru
I m^J| 0.98)
Tato rychlost se nazývá hyperbolický přebytek rychlosti. Zaveďme tuto rychlost zpět do výrazu pro celkovou specifickou mechanickou energii
2    r     2 '
odkud pro kvadrát hyperbolické rychlosti získáváme vztah ve tvaru
V2=^ + V*. (3.99) r
A s přihlédnutím k rovnici (3.97) pro II. kosmickou rychlost můžeme zapsat relaci mezi kvadráty rychlostí
V2 = V2, + V2. (3.100) Z uvedeného vztahu je zřejmé proč je rychlost Vm nazývána hyperbolickým přebytkem rychlosti. Je to rychlost, o kterou je třeba zvýšit parabolickou únikovou rychlost, abychom přešli na hyperbolickou dráhu, nutnou pro odlet z příslušného CGP. Kvadrát hyperbolického přebytku rychlosti se v mechanice kosmického letu označuje
C3 = V2 [km2s-2], (3.101)
a je měřítkem energie potřebné k uskutečnění meziplanetárního letu, [23]. Často se nazývá jako „charakteristická energie". Více se o meziplanetárních letech uvádí v kap. 6.
Srovnání tvarů drah a rychlostí je uvedeno na obr. 3-10. Z uvedeného je vidět, že parabolická úniková dráha je předělem mezi uzavřenými dráhami (kruhovými a eliptickými) a otevřenými dráhami (parabolickými a hyperbolickými). Čárkovaně je na obrázku znázorněna dráha balistické rakety, jejíž eliptická dráha protíná povrch Země. Povšimněte si, že pro balistickou dráhu leží perigeum uvnitř Země.
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
Příklad 3.2
Zadání:
Stanovte následující parametry eliptické dráhy kosmického tělesa obíhajícího kolem Země rychlosti v perigeu a apogeu VP, VA, periodu T, specifickou energetickou konstantu £ rychlost     v zadaném bodě dráhy (1), který je definován hodnotou pravé anomálie 0j.
Potřebná data:
Pravá anomálie (-), = 115 [°],
Excentricita e = 0,2 [1],
Vzdálenost perigea rP = 7150 [km],
Gravitační parametr Země f.i = 398600 [km3s~2].
Řešeni:
a) Výpočet specifického momentu hybnosti provedeme dle rov. (3.44), kterou upravín s uvážením podmínky v perigeu 0 = 0° na tvar
h = vVrp(l + e) = 7(398600)7150(1 + 0,2) = 58481 [km2s~1].
b) Výpočet vzdálenosti apogea provedeme rovněž pomocí vztahu (3.44), kde nyní uvážír podmínku pro apogeum 0 = 180°
h2    1        584812 1 r* = T —e = 398600(1 -0,2) = 10725 ^
c) Výpočet hlavní poloosy elipsy provedeme dle vztahu (3.50)
tA + rP    10725 + 7150 , ,
a =     „     =---= 8937,5 [km].
d) Výpočet oběžné doby (periody) z rov. (3.86) T = 2n
— = 2tt V-
8937,53
398600
8408,825 [s] = 2,33578 [h] = 2°20'09".
e) Výpočet rychlosti v perigeu a apogeu provedeme jednoduše dle vztahu (3.93)
h     58481 ,        „ h 58481
Vp = — = = 8,179 [kms-1], VA = — = „^r = 5,453 [/cms-1].
Tp 7150
7150
f)  Specifická energetická konstanta je dána výrazem (i 398600
2a
£ =
10725
= -22,299 [km2s~2] = -22,299 [MJkg'1].
2(8937,5)
g) Výpočet modulu polohového vektoru rj
h2        1 584812 1 ř ,
r —__—__— 9372 2 ífcml
1     /i l + ecos©!    398600 1 + 0,2 cos 115° '  L J"
h) Konečně rychlost v bodě (1), který je definován souřadnicemi p"i»®i) stanovíme z rovnice (3.95) ve tvaru
/398600 2  -———+ (-22,299) V 9372,2
6,361 [kms-1].
3.4 Časový průběh pohybu kosmického tělesa na oběžné dráze
Na základě dosavadních rozborů umíme nalézt polohu kosmického tělesa r v závislosti na pravé anomálii 0 pro jakoukoliv známou eliptickou oběžnou dráhu, např. pomocí rovnice dráhy (3.45). Nyní nás bude zajímat, v jakém čase se do této polohy kosmické těleso dostane. Hledáme funkční závislost t = /(0). Jak vyplývá ze zákona ploch, pohyb kosmického tělesa po eliptické oběžné dráze je nerovnoměrný. Pro řešení časové závislosti slouží Keplerova rovnice, kterou nyní odvodíme.
3.4.1 Keplerova rovnice - vztah mezi střední a excentrickou anomálií
Keplerova časová rovnice vyjadřuje vztah mezi tzv. excentrickou anomálii E a střední anomálií M. Excentrická anomálie E je úhel mezi přímkou apsid a spojnicí středu elipsy S s bodem Q (obr. 3-11). Bod Q je definován jako průmět kosmického tělesa D na kružnici „k" opsanou dané eliptické dráze, vedený rovnoběžně s osou y. Průmět kosmického tělesa (družice) na pomocnou kružnici se pohybuje rovněž nerovnoměrně. Proto se zavádí další pomocná úhlová proměnná, tzv. střední anomálie M, což je úhel mezi přímkou apsid a spojnicí středu kružnice s bodem Q* na téže pomocné kružnici „k", znázorněné na obr. 3-12. Na rozdíl od nerovnoměrného pohybu bodu Q, svázaného s pohybem bodu D, bod Q se po pomocné kružnici „k" pohybuje rovnoměrně s konstantní úhlovou rychlostí n = 2n/T. Tato úhlová rychlost se v mechanice kosmického letu nazývá střední pohyb. Ten představuje vlastně úhlovou
rychlost myšleného kosmického tělesa, v obr. 3-12 označeného bodem Q*, které by pohybovalo rovnoměrně po kruhové dráze „k" o poloměru r = a.
Obr. 3-12 Relace mezi E a M, resp. mezi nerovnoměrným pohybem bodu Q a rovnoměrným pohybem bodu Q* na pomocné kružnici k.
Hledejme nejprve velikost průvodiče definujícího polohu kosmického tělesa na eliptické dráze v závislosti na excentrické anomálii r = /(£). Zavedeme souřadnicovou soustavu (x,y) s počátkem v ohnisku 0 = F (obr. 3-11). Složky polohového vektoru r v závislosti na excentrické anomálii vyjádříme následovně
*(£■) = acosE — ae = a(cos E — e), (3.102) y(E) = b sin E = aVl - e2 sin E, (3.103)
kde jsme ve druhém vztahu uplatnili výraz pro vedlejší poloosu b dle vztahu (3.62). Derivací výše uvedených rovnic obdržíme
*(E) = -aĚ sin E. (3.104)
ý(E) = bĚcosE. (3.105)
Složky téhož průvodiče r vyjádříme také v závislosti na pravé anomálii
x(0) = rcos0, (3.106)
y(0) = rsin0. (3.107)
Derivace těchto rovnic jsou následující
x(&) = —r0 sin 0 + ř cos 0, (3.108)
y(0) = r0cos0 + řsin0. (3.109)
Nyní sestavíme s cíleným záměrem dvě rovnice následující kombinací všech předchozích vztahů (3.102) až (3.109), [52]
x(0)y(0) = x(E)y(E),
y(0)x(0) = y(£)*(E).
Po dosazení příslušných výrazů do obou uvedených rovnic a roznásobení obou stran rovnic získáme mezivýsledek v následujícím tvaru
r20 cos2 0 + rř sin 0 cos 0 = afa£"(cos2 E — e cosiľ),
—r20 sin2 0 + rř sin 0 cos 0 = -abĚ sin2 E.
Odečtením druhé rovnice od první získáme docela jednoduchý výraz
r20 = abĚ{\ -ecosf). (3.110)
Levá strana rovnice představuje v souladu s rov. (3.30) specifický moment hybnosti h. Kombinací rov. (3.83) a (3.84) a s uvážením vztahu pro střední pohyb (úhlovou rychlost) n = 2n/T lze specifický moment hybnosti vyjádřit vztahem
2n
h = Yab = nab- (3.111)
Uvedený výraz dosadíme na levou stranu rovnice (3.110) a separací proměnných upravíme rovnici pro přímou integraci
ndt = (1 — e cos E)dE.
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P
Levou stranu integrujeme v mezích od okamžiku průchodu kosmického těles pericentrem tP po libovolný čas f. Pravou stranu integrujeme v mezích 0 až E. P integraci obdržíme výsledek ve tvaru
n(t - tP) = E — e sin£. (3.112
Levá strana uvedené rovnice představuje okamžitou hodnotu střední anomálie M, t úhel měřený od pericentra
M = n(t
2n
(3.113
E o
T3
					e =	1,0 .					
					e =	0,8 ,					
					e =	0,6 ,					
										s. e =	0,4
										v e =	0,2
										•s  e =	0
											
											
											
											
											
											
Nyní můžeme s využitím rovnice (3.113) zapsat konečnou podobu Keplerovy rovnic (3.112) ve standardním tvaru
M = E — e sin E. (3.114
Z výše uvedených rovnic (3.113) a (3.114) je zřejmé, že Keplerova rovnice vyjadřuj vztah mezi střední anomálií, resp. časem t a polohou kosmického tělesa, vyjádřeno excentrickou anomálií E. Z jejího tvaru vyplývá, že se jedná o transcendentní rovnic Pro řešení excentrické anomálie E pro zadaný čas t musíme použít nějakou vhodno numerickou metodu. Grafické vyjádření vzájemné relace mezi střední a excentricko anomálií je uvedeno na obr. 3-13.
360 330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0
0      30     60     90    120   150   180   210   240   270   300   330 360 Excentrická anomálie E ["]
Obr. 3-13 Závislost střední anomálie na excentrické anomálii.
Pro řešení uvedené transcendentní rov. (3.114) se nejčastěji používá Newtc Raphsonova metoda, [56]. Řešení libovolné rovnice /(x) = 0 spočívá v pou rekurentního vzorce
= Xj —
rocd'
(3.11
Podaří-li se zvolit počáteční hodnotu x0 relativně blízkou k řešení, pak tato metoda velmi rychle konverguje ke správnému řešení s předepsanou přesností.
V našem případě řešíme kořen rovnice /(£) = 0, kde funkce /(£") pro i-tou aproximaci má tvar
/(£■<) = Et - esinf; -M (3.116) a její derivace je dána výrazem
/'(£() = l-ecos£r. (3.117)
Nyní podle rov. (3.115) zapíšeme rekurentní vztah pro hledání hodnoty excentrické anomálie   + 1
Ew = Et - = Ef - AStt (3.118)
Uvedený rekurentní vztah řešíme v postupných krocích od vhodně zvolené počáteční hodnoty E0 tak dlouho, dokud rozdíl posledních dvou hodnot je menší než zvolená tolerance. Za počáteční hodnotu excentrické anomálie lze zvolit například E0 — M.
Pro urychlení numerického řešení Keplerovy rovnice se dle lit. [20] doporučuje volit počáteční hodnotu EQ buď takto:
a) pro případ, že M < n, E0 = M + e/2, (3.119)
b) pro případ, že M > n, E0 = M — e/2, (3.120)
nebo na základě vztahu
e sin M
E0 — M +--=-r-. (3.121)
cos e — í j — e j sin e + M sin e
Praktická ukázka numerického řešení transcendentní Keplerovy rovnice je představena v níže uvedeném příkladu 3.4.
3.4.2 Vztah mezi modulem polohového vektoru a excentrickou anomálií
Dosadíme-li do modulu polohového vektoru za souřadnice x a y dle vztahů (3.102) a (3.103) obdržíme výraz
r = jx2 + y2 = 7a2(cos E — e)2 + a2(l — e2) sin2 E,
který po jistých goniometrických úpravách vyjadřuje výsledný vztah mezi modulem polohového vektoru a excentrickou anomálii
r = a(l - ecosE). (3.122)
3.4.3 Vztah mezi pravou a excentrickou anomálií
Protože poloha kosmického tělesa na oběžné dráze je definována nejen průvodičem, ale také pravou anomálií, zbývá nám ještě doplnit funkční vztah 0 = /(£"). K tomu nám
poslouží rovnice eliptické dráhy (3.48) a x-ové souřadnice polohy kosmického tělesa na oběžné dráze dle rov. (3.106) a (3.102). Z rovnosti x-ových souřadnic plyne
r cos 0 = ot(cos E — e).
Obr. 3-14 Při použití funkce kosinus úhlu E se objevuje nejednoznačnost řešení. Pro jednu hodnotu cos E existují dvě hodnoty úhlu E.
Po dosazení za r dle rovnice eliptické dráhy (3.48) a úpravě dostáváme již relaci mezi pravou a excentrickou anomálií
e + cos 0
cos E =
(3.123:
1 + e cos 0
Bližším rozborem však snadno zjistíme, že tato vazba je nejednoznačná, neboť funkcť cos£ nabývá stejné hodnoty pro dva různé argumenty E (obr. 3-14). Proto použijeme vazbu platnou pro tangenty polovičních úhlů, čímž se nejednoznačnosti vyhneme (obr 3-15).
tg
-tg
Obr. 3-15 Použitím funkce tangens polovičního úhlu E je nejednoznačnost vyloučena
38
Z goniometrie známe obecný vztah pro tangentu polovičního úhlu. V našem případě pro (E/2) můžeme psát
tg2 =
1 — cos E
1 + cos£
(3.124)
Do uvedeného vztahu dosadíme výraz pro cos£ dle rov. (3.123). Úpravami, které spočívají nejprve v převedení čitatele i jmenovatele pod odmocninou na tvar
tg2 =
1 + e cos 0 - (e + cos 0)
1 + ecos0 + (e + cos0) získáme po dalších úpravách následující vztah
tg2
1-e
1 + e.
1 - cos 0
1 + cos 0
Jelikož v pořadí druhá odmocnina v tomto vztahu je dle stejného pravidla opět výraz pro tangentu polovičního úhlu, tentokrát tg(0/2), bude výsledná vazba mezi polovičními hodnotami pravé anomálie a excentrické anomálie dána vztahem
tg2 =
Respektive opačné řešení je dáno výrazem
0
tg2 =
1-e 0
iT7tgř
1+e E
1-e -2
(3.125)
(3.126)
Nyní máme k dispozici veškeré potřebné vztahy k nalezení vazby mezi střední anomálií, resp. časem a pravou anomálií.
Vrátíme-li se ke Keplerově rovnici (3.114), můžeme nalézt vztah pro přímý výpočet střední anomálie v závislosti na pravé anomálii. K tomu použijeme relaci sin2 E + cos2 E = 1, do níž dosadíme výraz (3.123) pro cos E. Odtud nalezneme výraz pro sin E ve tvaru
sin E =
Vl - e2 sin 0
(3.127)
1+e cos 0
Dosazením do Keplerovy rovnice (3.114) za úhel E, který určíme z rov. (3.125) a za sin E dle rov. (3.127) obdržíme modifikovanou Keplerovu rovnici vyjadřující přímý funkční vztah mezi M a 0 ve tvaru
M = 2 arctg
1-e 0
Vl - e2 sin 0
tg- I - e-.
1 + e   2 /       1 + e cos 0
(3.128)
Grafické znázornění této funkční závislosti střední anomálie M na pravé anomálii 0 je uvedeno na obr. 3-16.
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
2
4)
E c
'E
TJ
-J
360 330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0
											
											
				e =	0,8 ^						
				e =	3,6--						
								-	e ■	0,4	
										'0,2	
									~~~~ e =	0	
											
											
											
											
											
0 30
60    90   120   150   180  210  240  270  300  330 360 Pravá anomálie 0 [°]
Obr. 3-16 Graf funkční závislosti střední anomálie na pravé anomálii.
Poznámka: Nutno podotknou, že Keplerovu rovnici je možno odvodit i jiným postupem než byl zde uveden. Je možno vycházet z rov. (3.30). Její přímou integrací svyužitír rovnice dráhy (3.44) a vazeb mezi pravou anomálií a excentrickou anomálií (3.12 můžeme dospět ke Keplerově rovnici v základním tvaru (3.114), resp. (3.128).
Příklad 3.3
Zadání:
Stanovte dobu letu t kosmického tělesa po eliptické oběžné dráze kolem Země, kter uplynula od okamžiku průletu perigeem tP do aktuální polohy kosmického těles definované pravou anomálií 0.
Potřebná data:
Vzdálenost perigea Délka hlavní poloosy Pravá anomálie Gravitační parametr Země Čas průletu perigeem Řešení:
rP = 6800 [km], a = 10625 [km\, 0 = 140 [°], H = 398600 [km3s-2], tP = 1°36' = 5760 [s].
a) Výpočet excentricity elipsy dle rov. (3.53)
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P
rP 6800 , ,
e = 1-ä=1-l0625 = 0'36 M"
b) Výpočet momentu hybnosti dle rov. (3.85)
h = vVa(l -e2) = 7398600(10625X1 - 0,362) = 60714,52 [fem^-1]. c) Výpočet periody dle rov. (3.86)
a3 106253 , , , ,
2n — = 2?r Lnn,nn = 10899,45 [s] = 3,0276 [hod]. J J 398600
d) Výpočet excentrické anomálie dle rov. (3.125) E
tg2
1 - e 0
1 + e °2
1-0,36 /140
tg(—) = 1,884754,
1 + 0,36
E = 2 arctg(l,884754) = 2,165981 [rad] = 124,102 [°].
e) Výpočet střední anomálie z Keplerovy rovnice (3.114)
M = E -esinf = 2,165981 - 0,36sin(124,102), M = 1,867886 [rad] = 107,022 [°].
f) Výpočet středního pohybu
n = 2n =-2tt 7646g 1q-4 rs-i] _ 2,0753 [hod-1].
T 10899,45
g) Konečně dobu letu mezi perigeem a okamžitou polohou stanovíme pomocí rov. (3.113), kterou si upravíme na tvar
M 1,867886 r ,        P. ,,
t = ň + t" = 5,76468.10-* + 5760 = 900°'2 [S] " 2'5 [ft°d]-
Kosmické těleso na dané eliptické oběžné dráze doletí do polohy definované pomocí pravé anomálie za čas t = 2,5 [hod].
Příklad 3.4
Zadání:
Stanovte polohu kosmického tělesa pohybujícího se po eliptické oběžné dráze kolem Země pomocí pravé anomálie 0 v době, která uplynula od průletu perigeem. Čas průletu perigeem zvolte řP = 0. Požadovaná přesnost iteračního numerického řešení |AEŕ| < 10"8.
Potřebná data:
Vzdálenost apogea Excentricita
Gravitační parametr Země Doba letu od perigea
rA = 14450 [km],
e = 0,25 [1],
H = 398600 [km3s-2],
t = 72 [min] = 1,2 [hod].
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
Řešení:
a) Výpočet délky hlavní poloosy elipsy dle rov. (3.52)
Tm 14450
a = —— =--—r = 11560 [km ].
1 + e    1 + 0,25 1 1
b) Výpočet momentu hybnosti dle rov. (3.85)
h = vVO ~e2) = V398600(11560)(l - 0.252) = 65725,39 [fcm2s-1].
c) Výpočet periody dle rov. (3.86)
íô* |ll5603 r , r
T = 2,J7 = 2,J^^ = 12369,38 [s] = 3,4359 [hod].
d) Výpočet středního pohybu
n = ^ =     ^J*' oo = 5,07963.10"4 [s"1] = 1,828667 [hod"1]. T     12369,38 1 J
e) Výpočet střední anomálie dle rov. (3.113).
M = n(t - tP) = 1,828667(1.2) = 2,194399 [rad] .
f) Výpočet excentrické anomálie dle rov. (3.114)
M = £ — e sin E
je nutno provést numericky. Výpočet pokračuje v následujících krocích.
g) Stanovení počáteční hodnoty excentrické anomálie E0.
Vzhledem k tomu, že hodnota střední anomálie M < n začínáme aproximaci i počáteční hodnoty definované rov. (3.119). Ve výpočtech jsou úhly brány v radiánechl
e 0,25 E0 = M + - = 2,194399 + -y- = 2,319399 [rad].
h) Numerické řešení transcendentní Keplerovy rovnice provedeno Newton-Raphsonov metodou dle rov. (3.118)
ffí+1 - £,   f,{Ei) - g, Ag,,
1. krok řešení:
Funkční hodnota /(g0) dle rov. (3.116)
/(g„) = g0 - e sin g0 - M = 2,319399 - 0,25 sin 2,319399 - 2,194399,
/(£■„) = -5,81601.10-2. Hodnota derivace dle rov. (3.117)
/'(g0) = 1 - e cos g0 = 1 - 0,25 cos 2,319399 = 1,170154.
Odchylka Ag0
/(g0)     -5,81601.10-2
= HZ) =     1.170154     = -4'97030°-10"
Absolutní hodnota odchylky |A£0| po prvním kroku je samozřejmě větší jak požadov přesnost |A£0| > 10"8, proto pokračujeme druhým krokem.
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
2. krok řešení
E, = £•„ - A£0 = 2,319399 - (-4,970300.10~2) = 2,369102 [rad], /(fj = E1 - e sin Ej - M = 2,369102 - 0,25 sin 2,369102 - 2,194399,
/(£,) = 2,227101.10-4,
/"(Ei) = 1 - e cos 51! = 1 - 0,25 cos 2,369102 = 1,179044, /(EJ     2,227101.10"4 ^=JW)=     1.179044     - 1-888905-10"4-
Absolutní hodnota odchylky |A£]| po druhém kroku je stále větší než požadovaná přesnost |AEt| > 10~8, proto pokračujeme třetím krokem.
3. krok řešení
E2 = Ei — A£j = 2,369102 - 1,888905.10-4 = 2,368913 [rad], f{E2) = E2 - e sin E2 - M = 2,368913 - 0,25 sin 2,368913 - 2,194399,
f(E2) = 3,11288.10"9,
f{E2) = 1 - ecos£2 = 1 - 0,25 cos 2,368913 = 1,179011,
f{E2) _ 3,11288.10"9 f\E2) ~ 1,179011
AE2 = T77TTT = — = 2,64025.10"9.
Jak vidíme absolutní hodnota odchylky |AE2| po třetím kroku je již menší než požadovaná přesnost |A£2I < 10"8, proto můžeme v tomto kroku stanovenou hodnotu excentrické anomálie považovat za dostatečně přesné řešení Keplerovy rovnice
E = E2 = 2,368913 [rad] = 135,7287 ["].
i)   Výpočet skutečné anomálie 0
Pomocí výše stanovené hodnoty excentrické anomálie E můžeme konečně vypočítat skutečnou anomálii 0 dle rov. (3.126)
0     |1 +e
1 + 0,25 /135,7287\ 2 = Jľ^tg2 - Jľ^ä2?tg(-^—) " 3'173670'
0 = 2 arctg 3,173670 = 145,02 [°].
Kosmické těleso se během 72 minut přemístilo z perigea eliptické dráhy do polohy, definované pravou anomálií 0 = 145 [°].
3.5 Poloha a rychlost kosmického tělesa v rovině oběžné dráhy
3.5.1 Perifokální souřadnicová soustava
Polohový vektor a vektor rychlosti pohybu kosmického tělesa na oběžné dráze odvodíme v tzv. perifokální souřadnicové soustavě (x,y,z) s počátkem v ohnisku. Osa x leží na přímce apsid a její kladný smysl směřuje od ohniska k pericentru. Osa y je totožná s parametrem p. Jak je nám již známo, poloha kosmického tělesa na oběžné
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P
dráze je dána polohovým vektorem f, který má v perifokální souřadnicové soustavě dv složky, (z = 0)
f = ix + fy. (3.12Í
Vektor rychlosti V pohybujícího se kosmického tělesa po eliptické dráze je v každéi okamžiku tečný k dráze. V perifokální souřadnicové soustavě (x,y) má rovněž d\, složky
V = ŕ = ix+jý. (3.13C
Obr. 3-17 Definice složek výsledného vektoru rychlosti V a sklonu dráhy letu y.
Jak znázorněno na obr. 3-17, vektor rychlosti V rozkládáme na vektor radiální rýchlo Vr ve směru polohového vektoru a na vektor transverzální rychlosti Ve, který je kolr na polohový vektor.
Definujme jednotkové vektory radiálních a transverzálních složek pomocí jednotkový vektorů ve směru os perifokální souřadnicové soustavy dle obr. 3-18
er = ícos 0 +/sin 0, (3.13
ee = — ísin 0 + /cos 0. (3.13
Pomocí jednotkových vektorů vyjádříme jak polohový vektor, tak vektory radiáln transverzální rychlosti
ř = rer = r(í cos 0 + /sin 0), (3.13 Vr = VrSr = K-íTcos 0 + /sin 0), (3.13 VQ = Vee0 = r0(-r sin 0 + /cos 0). (3.1:
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
Obr. 3-18 Definice jednotkových vektorů.
V rovnici (3.135) je transverzální rychlost vyjádřena jako součin modulu polohového vektoru a úhlové rychlosti Ke = r0. S využitím rov. (3.134) a (3.135) sestavíme výsledný vektor rychlosti jako vektorový součet radiální a transverzální rychlosti
V = Vr + V0 = ř(tcos 0 + /sin 0) + r0(-ľsin 0 + /cos 0). (3.136)
V dalším kroku nalezneme výrazy pro oba moduly v rovnici (3.136) v závislosti na geometrii eliptické dráhy a gravitačním parametru.
Vztah pro specifický moment hybnosti (3.30) přepíšeme do tvaru r0 = h/r. Za konstantu ploch h dosadíme dle dříve odvozeného výrazu (3.38) h = y/Jtp a za r dosadíme rovnici dráhy dle vztahu (3.45). Po dosazení a úpravě obdržíme pro hledaný modul výraz
V0 = r0 = yfji/p (1 + e cos 0). (3.137)
Druhý modul ŕ nalezneme přímou derivací rovnice dráhy (3.45) a s použitím vztahu (3.137) 0 = VQ/r obdržíme
—pe(— sin 0)0       pesin0 VQ r ~ (1 + e cos 0)2 ~ (1 + e cos 0)2 r "
Po dosazení za VQ dle rov. (3.137) a za r dle rovnice dráhy (3.45) obdržíme po malé úpravě výsledný vztah pro modul radiální rychlosti
Vr-ř = vWpesin0. (3.138)
Odvozené výrazy pro modul radiální i transverzální rychlosti dosadíme do rov. (3.136) pro výsledný vektor rychlosti
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
V - vWp [e sin 0 (ľcos0 + /sin0) + (1 + e cos 0)(-isin 0 + /cos0)].
Po roznásobení a setřídění členů vzhledem k jednotkovým vektorům obdržíme konečr výraz pro vektor výsledné rychlosti
V = yfpjp [-ľsin 0 + /(e + cos 0)].
(3.13Í
3.5.2 Stavový vektor v perifokální souřadnicové soustavě. Sklon dráhy letu
Výsledky pro polohový vektor i pro vektor rychlosti můžeme zapsat ve formě stavovýc vektorů. Úplný stavový vektor představuje šest prvků vytvořených ze souřadn polohového vektoru a vektoru rychlosti. Polohový vektor s využitím vztahů (3.106 (3.107) a (3.45) lze zapsat v maticové formě takto
r cos 01 r sin 0 [ = 0
1 + e cos 0
cos 0 sin 0 0
(3.14Í
A vektor rychlosti v souladu s rov. (4.139) můžeme zapsat rovněž v maticovém tvaru
(vx)	X	( -sin0 1	
k\ =	v	= -y/p/pje + cos0	(3.14
UJ		i     0 J	
S využitím obr. 3-17 můžeme definovat další důležitý pojem a to sklon dráhy letu y, c je úhel mezi výsledným vektorem rychlosti a transverzální rychlostí, která leží v mísí horizontální rovině. Sklon dráhy letu lze vyjádřit pomocí poměru radiální a transverzá rychlosti
Vr     V sin v
^ = é = ^? (314 odkud po dosazení dle rov. (3.138) a (3.137) vyjádříme výraz pro sklon dráhy letu tvaru
/   esin0 \ y = arCtg(l + ecos0J-
(3.14
Výše uvedené vztahy platí samozřejmě pro jakoukoliv kuželosečku. Podívejme se vš zvlášť na speciální případ, na parabolickou dráhu. Pro parabolu platí e = 1.
Uvážením této skutečnosti a použitím rov. (3.143) získáme nejprve výraz pro tangei sklonu dráhy letu ve tvaru
sin 0 tgy = 1 + cos 0'
Z goniometrických vazeb lze nalézt výrazy pro poloviční úhly pravé anomálie
0 0 sin0 " 2sin — cos—, 2 2
COS0 = cos2 —
■ 20
sin* — = cos
0    / ,0\ --(l-cos2I) = 2
cos2 — — 1.
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
Po dosazení do výrazu pro tangentu sklonu dráhy letu obdržíme
„0     0 .0
2 sin -j cos j    sm2 0
=-^~ = ~0 = tg2"
2 cos2
cos-j
Odkud vyplývá jednoduchá relace mezi sklonem dráhy letu a pravou anomálií pro parabolickou dráhu
Y = t (3.144)
Obr. 3-19 Složky výsledného vektoru rychlosti a sklon dráhy letu pro parabolu.
A stavové vektory pro parabolickou dráhu v perifokální souřadnicové soustavě nabudou dle rov. (3.140) a (3.141) tvar
(x) p cos0
\y\ - 7—--]sin0
(J    l + cos0
(3.145)
(3.146)
3.5.3 Výpočet polohy a rychlosti z počátečních podmínek
Známe-li počáteční polohu r(0,) =r, a rychlost kosmického tělesa K(0j) = Vj v souladu s rov. (3.129) a (3.130) na libovolné oběžné dráze
		-sin© ]
		1 + COS0[
U		l     0 )
Vl=r1= xj+ýj,
(3.147)
(3.148)
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
můžeme z těchto počátečních hodnot stanovit polohu r2 a rychlost kosmického těl V2 v jiném okamžiku, který je dán polohou 02 = 0!+ A0 (obr. 3-20).
trajektorie
Obr. 3-20 Počáteční a nová poloha a rychlost kosmického tělesa.
Vyjdeme ze skutečnosti, že specifický moment hybnosti h je na dané oběžné drá každém okamžiku konstantní. Hodnotu specifického momentu hybnosti stanovíme počáteční podmínky takto
h = r1xV1 =
i
I
y,
(3.1
Jak vyplývá z rov. (3.149), vektor specifického momentu hybnosti má jen jednu sk ve směru jednotkového vektoru k, takže tato složka je přímo modulem vek specifického momentu hybnosti
ft= C*iíi-yi*i)» (3-1
V dalším kroku následuje vyjádření jednotkových vektorů v libovolně zvo souřadnicové soustavy pomocí počátečních hodnot polohového vektoru ŕ,, vek rychlosti V, a modulu specifického momentu hybnosti h.
Nejprve si z rov. (3.147) vyjádříme jednotkový vektor i
x1 xx
C3.
Uvedený výraz (3.151) dosadíme do vztahu (3.148) pro počáteční vektor rychlosti V .-7     . fh    y\ -V . -   *i - ,f.     *i    N -    *i .  , *iýi ~yi*i
Vi=xA~*:J) yiJ=^ri+yyi~x~iyi>J=x~irí —i—-
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
Čitatel v posledním členu této rovnice představuje dle rov. (3.150) modul specifického momentu hybnosti h. Z takto upravené rovnice nalezneme výsledný výraz pro jednotkový vektor /ve tvaru
/^x^-j (3152)
Dosazením tohoto jednotkového vektoru do rovnice (3.151) upravíme výraz pro jednotkový vektor i na tvar
fi     Ví (Xx X, « \ Ví -      / 1     V] Xi \ i Ví -
X) h   I       h       \xí    h xj h
Po dosazení za modul h v čitateli posledního členu dle rov. (3.150) upravíme výraz pro jednotkový vektor na konečný tvar
Vi -    Ví _
Oba odvozené konečné výrazy pro jednotkové vektory (3.153) a (3.152) dosadíme do vztahů pro hledaný polohový vektor r2 dle rov. (3.129) a vektor rychlosti V2 dle rov. (3.130)
r2 = x2i + y2j, V2 = x2i + ý2j.
Po dosazení a úpravě uvedených vztahů vzhledem k počátečním vektorům polohy ř, a rychlosti V1 obdržíme
( Srí # , h* Y.      ,7  *i - \  *zýi - yz*i a A -^yi+yz^i ^ v   ■ ( y* i? ^ Ä    . . (xi ,7   *tÄA  *zýi - ýz*i, , -x2yi + %*j ft
Obě uvedené rovnice přepíšeme do jednodušších výrazů
ř2=fr,+gVv (3.154)
%=fA+Š% (3-155)
kde koeficienty /, g a jejich derivace /, 5 představují tzv. Lagrangeovy koeficienty ve tvaru
(3.156)
9 = ~X2y^y>X\ (3.157) x2ýi — v2x1
f=        ,       , (3.158)
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
Z uvedených vztahů (3.154) a (3.155) je patrné, že polohový vektor i vektor rychlosti dán lineární kombinaci počátečních vektorů polohy a rychlosti.
Pro další řešení je třeba vyjádřit Lagrangeovy koeficienty v závislosti na pravé anomál respektive na rozdílu pravé anomálie mezi hledanou a počáteční polohou kosmickéť tělesa. K tomu využijeme vztahy odvozené v předchozí podkapitole. Složky počátečnír polohového vektoru ve zvolené souřadnicové soustavě zapíšeme dle rov. (3.140)
= rx COS0J, (3.161
y1 = ij sin 0j. (3.16
A složky počátečního vektoru rychlosti ve směrech příslušných jednotkových vekto vdané souřadnicové soustavě převezmeme z rovnice (3.141) pro výsledný vekt rychlosti, odkud složky počáteční rychlosti jsou dány vztahy
*i — — vWPs'n9i' (3.16
ýl = v^Tpíe + cosOJ. (3.16
Pro složky hledaného polohového vektoru (*2, y2) a složky hledaného vektoru rychlo (x2,ý2) budeme používat stejné vztahy (3.160) až (3.163) s tím, že budeme vtom případě používat index „2".
Připomeňme, že parametr p je svázán s modulem specifického momentu hybnosti h c rov. (3.38), odkud plyne vztah h = yfpp- Nyní již můžeme přikročit k sestavování výra pro jednotlivé Lagrangeovy koeficienty.
Koeficient / nalezneme dle vztahu (3.156), kde použijeme odpovídající, výše zrnině složky polohového vektoru a složky vektoru rychlosti
/ = -r== [(r2 cos 02)vVp O + COS0O - (r2sin02) (-yVp sin 0^],
/>/<
r2
/ = — [e cos 02 + (cos 02 cos Q1 + sin 02 sin 0j)]. (3.1f P
Z goniometrických funkcí vyplývá, že (cos 02 cos 0X + sin 02 sin 0X) = cos(02 — 6 Z obr. (3-20) je zřejmé, že 02 — 0j = A0 definuje vzájemnou hledanou polohu v počáteční poloze. Takže výraz pro Lagrangeův koeficient / můžeme přepsat do tvaru
/ = — (ecos02 + cosA0). (3.1 P
Z rov. (3.45) pro dráhu
stanovíme výraz pro
r2 =
1 + e cos 02
e cos 02 = — — 1. (3.
r2
Po dosazení do vztahu (3.165) a úpravě obdržíme výraz pro součinitel / ve tvaru
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
/ = 1-^-(1 - cosA0). (3.167)
Pro výpočet Lagrangeova součinitele / ještě zbývá určit vztah pro modul polohového vektoru r2, který vystupuje v rovnici (3.167).
Modul hledaného polohového vektoru sestavíme opět pomocí rovnice dráhy (3.45) s využitím relace mezi pravými anomáliemi 02 = 0t + A0
=        P        =_P_
2    l + ecos02    1 + e cos(0j + A0)'
Do uvedeného vztahu dosadíme dle známých goniometrických vazeb vztah
cos(0x + A0) = cos 0! cos A0 — sin 0t sin A0
a po nepatrné úpravě přepíšeme výraz pro modul hledaného polohového vektoru do tvaru
r2 =-.
1 + e cos 0j cos A0 — e sin 0i sin A0
V následujícím kroku vyloučíme pravou anomálii určující počáteční polohový vektor 01. K tomu použijeme rov. (3.166), kterou zapíšeme pro počáteční podmínky (index 1)
ecos0i=— - 1. (3.168)
Z rovnice (3.138) pro radiální rychlost kosmického tělesa Vr, kterou zapíšeme pro počáteční podmínky (index 1)
Vn = 4p7p e sin 0,, (3.169)
nalezneme výraz pro
esinOj = Vriy/p/u.. (3.170)
Po dosazení obou výrazů (3.168) a (3.170) obdržíme konečný vztah pro modul hledaného polohového vektoru
r2=--rp-r-£-—-. (3.171)
1 + (^r- l)cosA0 - Vrly/p/JismAQ
Stanovení koeficientu g provedeme dle rovnice (3.157), kam dosadíme za souřadnice (■*i<yi) přímo dle rov. (3.160) a (3.161). Pro stanovení souřadnic 0t2,y2) použijeme stejných vztahů, avšak s indexem „2"
—x2yx + y2Jfj 1
9 =-r-= -p= L(—r2 cos 02)ri sin 0j + (r2 sin Q2)r1 cosOJ,
" ýPP
rlr2 rlr2
g = —== (sin 02 cos0! — cos02 sinO^ = -p=sin(02 — 0j), VPM VP^
g = ^fizsmäQ. (3.172) VPP
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CCP
Koeficient g odvodíme podobným postupem. Vztahy pro souřadnice xlt opět použijeme dle rovnic (3.160), (3.161) a vztahy pro složky rychlosti x2, ý2 stanovíme dle rovnic (3.162) a (3.163) pro index „2". Dosadíme do výrazu (3.159) pro derivaci koeficientu g
—x2yi + ý2x1       Ir/    i- \ i-
g =---= -1=[-i<-Jn/psinG2)r1 sin 0! + vWpO + cos02)r, cos0t ,
" VPP
g = — [e cos 0j + (sin 02 sin 0j + cos 0Z cos 0,)]. P
První člen v hranaté závorce ecos0j nahradíme dle rov. (3.168) a kulatou závorku upravíme následovně: (sin 02 sin 0X + cos 02 cos 0j) = cos(02 — 0t) = cos A0. Po dosazení obdržíme
g = — (— - 1 + cosAoY P /
A po poslední nepatrné úpravě získáváme výsledný vztah pro Lagrangeův koeficient g ve tvaru
g = 1 - — (1 - cosA0). (3 p
173)
Poslední koeficient / odvodíme jiným způsobem. Využijeme vzájemnou vazbu mezi Lagrangeovými koeficienty, kterou lze odvodit z výrazu pro specifický moment hybnosti
fg-fg = l. (3.174)
Uvedená rovnice je vlastně jiná forma vyjádření zákona zachování specifickéhc momentu hybnosti kosmického tělesa pomocí Lagrangeových koeficientů. Odvození je uvedeno v Příloze A.
2 rov. (3.174) vyjádříme výraz pro koeficient / ve tvaru
f = ^(fg-l). (3.175; Nyní do uvedeného vztahu dosadíme dříve odvozené výrazy pro koeficienty/, g a g
t = ^§Á0 (I1 "f C* " «* H f* - f d - cos A0)] - 1 j.
f = ^Ä0 [- ^ d - cos A0) - ^ (1 - cos A0) + ^ (1 - cos m*\ Po úpravě dostáváme konečný výraz pro Lagrangeův koeficient / ve tvaru
Ju(l-cosA0)/l-cosA0    1 1\ ~--. (-----)• (3.176-
p     smA0     V      p ri rz'
Výhodou použití Lagrangeových koeficientů pro výpočet polohy a rychlosti kosmickéh tělesa na oběžné dráze je skutečnost, že není nutno a priori znát tvar dráhy. Jak jsme ji
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P
poznali, typ dráhy je určen excentricitou. Excentricita však v žádném výsledném vztahu pro výpočet Lagrangeových koeficientů nevystupuje. Metoda je tedy nezávislá na tvaru dráhy, respektive excentricite.
Nicméně, tvar oběžné dráhy i polohu oběžné dráhy v rovině zvolené souřadnicové soustavy můžeme dodatečně stanovit z obecné rovnice dráhy (3.43), která zahrnuje konstantu 0O. Pro řešení použijeme rovnici dráhy pro počáteční podmínky (index 1)
_h2 1 _ p
ri ~ ~p~\ + ecosCQj - 0O) ~ 1 +ecos(01 - 0O)
a vztah pro počáteční radiální rychlost kosmického tělesa
Vrl =ev^7psin(01-0o). (3.178) Potřebný modul vektoru počáteční radiální rychlosti stanovíme ze vztahu
Vrl = ^—l-. (3.179) ~i
Použití obecného tvaru rovnice dráhy (3.43) je nutné pro stanovení úhlové konstanty 0O, která definuje polohu pericentra oběžné dráhy v její rovině vzhledem k obecně zvolené souřadnicové soustavě dle obr. 3-6. Připomeňme, že pouze v perifokální souřadnicové soustavě je tato úhlová konstanta rovna nule. I když jsme zde použitou souřadnicovou soustavu označili stejně (x,y), nejedná se o perifokální souřadnicovou soustavu.
Řešení provedeme následujícím postupem. Nejprve ze složek počátečního polohového vektoru řj určíme pravou anomálii 0X dle vztahu
0! = arctg(j-). (3.180)
Využitím rov. (3.177) a (3.178) stanovíme výraz pro tangentu úhlu (0j — 0O)
sinCSt - 0O) Wp/> tg(01-0o) = cos(0i_0o)=^rr.
odkud získáme úhlovou konstantu 0O ze vztahu
e0 = e1-arctgr^Y^) [rad]- (3-181>
r
Před výpočtem excentricity e je nutno stanovit hodnotu modulu počáteční radiální rychlosti Vrl dle rov. (3.179). Poté můžeme přistoupit k výpočtu excentricity z rovnice (3.177) nebo z rov. (3.178). Zvolíme-li rov. (3.178), obdržíme pro výpočet excentricity výraz
sinO! -0O)'
(3.182)
Výpočet excentricity provádíme pro hodnotu úhlové konstanty 0O, která dává kladnou hodnotu excentricity. Řešení tvaru a polohy dráhy je ukázáno na příkladu 3.6.
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
Příklad 3.5
Zadání:
Na základě zadaných počátečních podmínek vypočtěte pomocí Lagrangeových koeficiei polohový vektor ŕ a vektor rychlosti V pro aktuální polohu, která je dána změnou pr anomálie o hodnotu A0.
Potřebná data: Gravitační parametr Země Přírůstek pravé anomálie Počáteční polohový vektor Počáteční vektor rychlosti Řešení:
a) Výpočet specifického momentu hybnosti
H = 398600 [km3s-2], A0 = 80 [°] , ř, = 10640ľ- 7520/, Vx = 6,ir+ 1,9/.
h = řj x v1 =
10640 6,1
/ k -7520 0 1,9 0
= 66088/c.
b) Výpočet parametru p dle rov. (3.38)
66088
h2
p = 7:
398600
c) Výpočet modulu počátečního polohového vektoru
= 10957,41 [km].
r; = V106402 + (-7520)2 = 13029,198 [km]. d) Výpočet počáteční radiální rychlosti dle rov. (3.179)
Vri =
\?t • řt _ (6,ir+ l,9/)(10640r- 7520/) r,    ~ 13029,198
= 3,884813 ffcms-1]-
e) Výpočet hodnot goniometrických funkci
sinA0 = sin(80°) = 0,984808 [1], cosA0 = cos(80°) = 0,173648 [1].
f) Výpočet modulu polohového vektoru dle rov. (3.171)
P
r2 =
1 + (£-- l)cosA0- Vrlyjp/n sin A0 10957,41
r2 =■
1 +
- 1) 0.173648 - 3,884813^^0.9848
r2 = 32411,651 [km]. g) Výpočet koeficientu f provedeme dle rov. (3.167)
r, 32411,651 / = 1 - ± (1 - cos A0) = 1 - 1095741 (1 - 0,173648) = -1,44432
3. Pasívni pohyb kosmických těles v CGP
h) Výpočet koeficientu g provedeme dle rov. (3.172)
r,r, 13029,198(32411,651) j =-Hz-<=in AP) = -0984808 = 6292,856 [s].
i) Výpočet derivace koeficientu g dle rov. (3.173)
r, 13029,198 g = 1 -^(1 -cosA0) = 1- 1Q95741 (1 -0,173648) = 0,017404 [1].
j) Výpočet derivace koeficientu / provedeme dle rov. (3.175)
/ = - if9 - D = ,9JPC, [-1.44432 (0,017404) - 1], g 6292,856
/ = -1,62905.10"4 [s-1].
k) Výpočet aktuálního (hledaného) polohového vektoru f2 provedeme dle rov. (3.154)
% = M + gVlt
ř2 = -l,44432(10640i- 7520/) + 6292,856 (6,li + 1,9/), ŕ2 = 23018,857i + 22817,713/ [km]. I)  Výpočet aktuálního (hledaného) vektoru rychlosti V2 provedeme dle rov. (3.155)
V2 = -1,62905.10-4 (10640ľ- 7520/) + 0,017404 (6,lľ+ 1,9/), V2 = -1,6271451 + 1,258113 [kras'1].
Příklad 3.6
Zadáni:
Stanovte tvar (excentricitu e) a polohu oběžné dráhy ve zvolené souřadnicové soustavě {x,y) pro případ uvedený v příkladu 3.5.
Potřebná data:
Gravitační parametr Země n = 398600 [km3s~2],
Parametr p = 10957,41 [km],
Počáteční polohový vektor rx = 10640Í- 7520/
Počáteční vektor rychlosti Vx =6,lľ+l,9/.
Přírůstek pravé anomálie A0 = 80 ["]. Řešeni:
a) Výpočet modulu počátečního polohového vektoru rx
r, = V106402 + (-7520)2 = 13029,198 [km]. b) Výpočet počáteční radiální rychlosti kosmického tělesa dle rov. (3.179)
55
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P
Vx ■ řx    (6,li + l,9/)(10640í- 7520/)
13029,198
= 3,884813 [fcms-1]-
c) Výpočet pravé anomálie počáteční polohy 0j ze složek počátečního polohového vektc
/-7520\
0X = arctgl ——) = -0,6152531 [rad] = -35,251406 ["]. V 10640/
d) Výpočet úhlové konstanta 0O, která definuje směr přímky apsid v rovině zvolené souřadnicové soustavy dle rov. (3.181)
60 = 0, - arctg i p ^    | = -35,251406 - arctg
3,884813
10957,4
398600
10957,41
- 1
13029,198
0O = 0,713510587 [rad] = 40,881145 [°] nebo 0O = 220,881145
e) Výpočet excentricity e provedeme dle vztahu (3.182) pro obě stanovené hodnoty úh konstanty 0O
3,884813
sin(0, - 0O) i p    sin(-35,251406 - 40,881145) >
10957,41
398600
-0,6634-
3,884813
e =
in(0i - 0O) l/i    sin(-35,251406 - 220,881145) ^
10957,41
398600
= 0,6634-
Je zřejmé, že geometrický smysl má pouze úhlová konstanta 0O = 220,881 [° kladnou excentricitu. Pak perigeum leží ve 3. kvadrantu. Dle hodnoty excent můžeme konstatovat, že se jedná o eliptickou oběžnou dráhu.
f)  Výpočet oběžné dráhy provedeme dle obecného tvaru rovnice dráhy (3.43), k přepíšeme s uvážením relace p = h2/p na tvar
v 10957,41
1 + e cos(0 - 0O)     1 + 0,663441 cos(0 - 220,881145°)'
Výpočet oběžné dráhy byl proveden v tabulkovém procesoru Excel. Grafické znázi úplné oběžné dráhy a její polohy v dané souřadnicové soustavě je uvedeno na ol 3-21, kde jsou vyznačeny polohy počátečního polohového vektoru (rx,0i) i hled polohového vektoru (r2,02), posunutého o zadané A0 = 80°.
	0	r	cos 0	X	sin 0	
	n	[km]	[1]	[km]	[1]	[1
	-50	10846,746	0,642788	6972,154	-0,766044	-83C
	-40	12244,888	0,766044	9380,128	-0,642788	-78:
ri.0,	-35,2514	13029,198	0,816627	10640,000	-0,577165	-75;
	-20	16181,549	0,939693	15205,682	-0,342020	-55
56
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
	0	21985,474	1,000000	21985,474	0,000000	0,000
	20	28825,206	0,939693	27086,833	0,342020	9858,801
	40	32549,552	0,766044	24934,403	0,642788	20922,449
r2,Q2	44,7486	32411,643	0,710203	23018,835	0,703997	22817,709
	50	31765,754	0,642788	20418,633	0,766044	24333,979
E >
-10D00
30000
00 30000 x [km]
-15000
Obr. 3-21 Vypočtený tvar a poloha eliptické oběžné dráhy.
3.6 Poloha a rychlost kosmického tělesa na dráze v prostoru
Při stanovování polohy a rychlosti pohybu kosmického tělesa na oběžné dráze, která může mít obecnou polohu v prostoru, budeme vycházet ze znalosti polohového vektoru a rychlosti v rovině oběžné dráhy. Pak nám již bude stačit nalézt transformační rovnici mezi perifokální souřadnicovou soustavou v rovině dráhy a vhodnou prostorovou souřadnicovou soustavou.
Než přistoupíme k nalezení vhodné transformační rovnice, seznámíme se s klasickým popisem oběžné dráhy v prostoru, který se používá v nebeské mechanice a astronomii. V této nejstarší vědní disciplíně je poloha oběžné dráhy v prostoru definována pomocí tzv. elementů dráhy.
57
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
3.6.1 Elementy dráhy
Mezi základní elementy dráhy se nejčastěji řadí následující šestice prvků a.e.i.íl.t Jejich geometrický význam je zřejmý z obr. 3-22. Elementy dráhy jsou na sobě nezá a je jimi jednoznačně dána:
a) Poloha roviny dráhy v prostoru, která je definována sklonem dráhy (í) a dé vzestupného uzlu (fl). Sklon dráhy je úhel mezi rovinou dráhy a rovinou rovi Délka vzestupného uzlu je úhel definující polohu uzlové přímky v rovině rovníku směru jarní rovnodennosti.
b) Orientace oběžné dráhy v její rovině pomocí argumentu pericentra (a>). Argui pericentra je úhel mezi uzlovou přímkou a přímkou apsid (spojnice pericen apocentra). Pro kruhovou dráhu úhel cj není definován.
c) Velikost elipsy, daná délkou hlavní poloosy (a) a tvar elipsy, daný bezrozměr excentricitou (e).
d) Poloha kosmického tělesa na oběžné dráze pomocí pravé anomálie (0).
Podle charakteru řešených úloh v nebeské mechanice i mechanice kosmického I* možno volit i jiné kombinace šestice elementů dráhy. Někdy se místo hlavní polot která souvisí nejen s velikostí kuželosečky, ale také s energetickou konstantou, pc specifický moment hybnosti h. A místo pravé anomálie 0 se používá střední anc M nebo klasicky doba průchodu kosmického tělesa pericentrem tp. Zde upřednostnili výše uvedenou šestici elementů dráhy, protože lépe vy; geometrické souvislosti (obr. 3-22).
Obr. 3-22 Poloha oběžné dráhy v prostoru je definována šesti elementy d
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
3.6.2 Geocentrická rovníková souřadnicová soustava
Geocentrická rovníková souřadnicová soustava (X,Y,Z) je inerciální souřadnicová soustava, jejíž počátek je spojen se středem centrálního gravitačního pole „C" a zůstává nehybná v prostoru vzhledem ke stálicím (obr. 3-23). Primární osa X leží v rovině rovníku a směřuje k bodu jarní rovnodennosti na nebeské sféře. Osa Z směřuje k severnímu pólu centrálního tělesa (Země). Třetí osa leží v rovině rovníku a doplňuje souřadnicovou soustavu na pravoúhlý pravotočivý systém os.
rovina rovníku
D(X, V,Z)
		
z\ \	\ \ \ \ \	Y
		—* J
směr jami rovnodennosti
Obr. 3-23 Geocentrická rovníková (inerciální) souřadnicová soustava. Poloha kosmického letadla je dána souřadnicemi (X, Y, Z).
Transformace mezi geocentrickou rovníkovou a perifokální souřadnicovou soustavou
Pro nalezení prvků polohového vektoru {r} a prvků vektoru rychlosti {V} v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě je třeba nalézt transformační rovnici, která umožňuje přepočet mezi stavovými vektory v perifokální a geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě. Prvky polohového vektoru a vektoru rychlosti v perifokální souřadnicové soustavě máme k dispozici a jsou dány rov. (3.140) a (3.141).
Nejprve si ukážeme obecnou transformaci mezi dvěma obecnými souřadnicovými soustavami. Předpokládejme, že máme dvě souřadnicové soustavy, které jsou na počátku ztotožněny a nachází se v základní poloze znázorněné osami rX,Y,Z~) dle obr. 3-24. Nyní je třeba nalézt obecnou výslednou polohu obou souřadnicových soustav vůči sobě. Tu nalezneme pomocí tří postupných pootočení sledované souřadnicové soustavy vůči pevné vztažné souřadnicové soustavě. Touto vztažnou souřadnicovou soustavou nechť je geocentrická rovníková souřadnicová soustava (X, Y, Z). Pořadí pootáčení sledované pohyblivé souřadnicové soustavy je patrné z obr. 3-24.
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
Z = Z
Obr. 3-24 Vzájemná poloha geocentrické rovníkové (X, Y, Z) a perifokální souřadnicové soustavy Qx,y,z). Pořadí pootočení.
První pootočení provedeme v kladném smyslu kolem osy Z o úhel fl ( vzestupného uzlu) dle obr. 3-25. Zapíšeme vztahy vyjadřující vzájemnou relaci složkami libovolného vektoru ve výchozí geocentrické soustavě (X, Y,Z) a ] pootočené poloze (Xlf Y^.Z^. Vztahy zapíšeme ve složkové formě i v maticové fc jak uvedeno níže.
y, \ q
(D z = z.
'pr-'" S \
Q
Xi =Xcosn + ysiníl, Yx = -Xsinfi + Y cos n, Zx = Z.
V maticové formě
cos fí    sin íl 0 — sin íí   cos íl 0 0 0 1
ř*l]	
Yi	n
	
Obr. 3-25 První pootočeni os.
Druhé pootočení okamžité mezipolohy os (Xl,Y1,Z1) provedeme vkladném okolo osy Xj o úhel i (sklon oběžné dráhy), čímž dle obr. 3-26 obdržím transformační rovnice.
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
x2 — xx,
Y2 = v] cos i + Zx sin í, Z2 = —Fj sin / + Z} cos i.
V maticové formě
(X2\ Z:
1     0 o 0    cos t    sin i 0   - sin i   cos i
í1)
M. (3.184) Z J
Obr. 3-26 Oru/ié pootočeni os.
Třetí pootočení okamžité mezipolohy os (X2,Y2,Z2) provedeme v kladném smyslu okolo os Z2 o úhel (ú (argument pericentra). Toto poslední pootočení konečně stanoví výslednou polohu transformované souřadnicové soustavy, označenou CY3, Y^.Z-^. Tuto souřadnicovou soustavu můžeme v našem případě považovat za hledanou polohu perifokální souřadnicové soustavy (x, y, z) vůči soustavě (X, Y, Z).
X3 = x = X2 cos co + Y2 sin co, Y3 = y = —X2 sin co + Y2 cos co, Z3 = z = Z2.
V maticové formě
		r*)
		y\ =
(z31		IzJ
cos co -sin co 0
sin co 0 cos co 0 0 1
(3.185)
Obr. 3-27 Třetí pootočení os.
Nyní již můžeme postupným dosazováním dílčích transformačních matic stanovit souřadnice polohového vektoru, resp. stavový vektor
cos co - sin co 0
sin co cos co 0
1 0 0    cos i 0 —siní
0 sin i cos i
cosíí - sinfl 0
sinfi cosíl 0
. (3.186)
Po roznásobení dílčích transformačních matic obdržíme úplnou transformační matici ve tvaru
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
[TP/3r]
cos co cos fl — sin oj cos i sin fl cos oj sin fl + sin oj cos i cos fi sin o.
— sin u> cos fl — cos a> cos í sin fl — sin oj sin íl + cos oj cos i cosfl cos o
sin i sin íí.                               — sin i cos fl cc
Výslednou transformační rovnici zapíšeme ve zkrácené podobě takto
{r}p = [Tp/gr]{r}gr. kde jsme vektory označili následovně
i*% = fy]
Výsledná transformační rovnice slouží k přepočtu stavových vektorů z geo rovníkové souřadnicové soustavy  (X, Y,Z) do perifokální souřadnicové (x, y, z). Pro ortogonální souřadnicové soustavy platí
[Tgr/p] ~ [Tp/gr]     - [Tp/gr] ■
A proto můžeme zpětnou transformaci z perifokální souřadnicové soustavy ( geocentrické  rovníkové  souřadnicové  soustavy  {X, Y.Z)   provést dle transformační rovnice
[r}gr = [Tgr/p]{r}p, kde inverzní transformační matice má tvar
[Tgr/p] .
cos co cos fl — sin oj cos i sin fl   — sin co cos fl — cos oj cos t sin fl sir
cos oj sin fl -f- sin oj cos i cos fl   —sin oj sin fl + cos oj cos i cosfl   — s
sin oj sin i cos oj sin i
Pro označování transformačních matic používáme dvojici indexů. První lomítkem) vždy označuje, kam se transformuje a druhý index, odkud se tran
Výše uvedený postup platí také pro vzájemné transformace prvků stavov rychlostí mezi oběma výše uvedenými souřadnicovými soustavami, transformaci prvků stavového vektoru rychlosti z perifokální do geocentric souřadnicové soustavy lze psát
Wgr = [Tgr,p\mp.
kde pro vektory rychlosti platí následující označení
{V}p =
ar
62
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
Příklad 3.7
Zadáni:
Pro prostorovou oběžnou dráhu zadanou pomocí jejich elementů nalezněte stavový vektor [r] a [V] v geocentrické rovníkové souřadnicové soustavě (X, Y, Z) pro polohu kosmického tělesa zadanou pomocí pravé anomálie.
a = 10800 [km], e = 0,4 [1], i = 35 [°], u> = 40 [•],
n = 80 [°],
0 = 30 [°],
H = 398600 [km3s~2].
Potřebná data:
Délka hlavní poloosy eliptické dráhy Excentricita eliptické dráhy Sklon oběžné dráhy Argument perigea Délka vzestupného uzlu Pravá anomálie (poloha kosmického tělesa) Gravitační parametr Země
Řešení:
a) Výpočet parametru eliptické oběžné dráhy dle rov. (3.47)
p = a(l - e2) = 10800(1 - 0,42) = 9072 [km].
b) Výpočet hodnot potřebných goniometrických funkcí
sin 0 = sin 30° = 0,5, cos 0 = cos 30° = 0,866025,
sin i - sin 35° = 0,573576, cos i = cos 35° = 0,819152,
sin n = sin 80° = 0,984808, cos íl = cos 80° = 0,173648,
sin oj = sin 40° = 0,642788, cos w = cos 40° = 0,766044.
c) Výpočet potřebných parametrů vystupujících ve stavových vektorech
p 9072
l + ecos0    1 +0,4(0,866025)
6737,917 [km],
398600
9072
= 6,628528 [/cms-1].
d) Výpočet polohového vektoru v perifokální souřadnicové soustavě (x,y,z) dle rov. (3.140). Po dosazení obdržíme stavový vektor polohy
1 + e cos 0
cos 0)	r5835,207'	
sin0> =	3368,959	[km
l  0 )	0	p
e) Výpočet vektoru rychlosti v perifokální souřadnicové soustavě (x, y, z) dle rov. (3.141). Po dosazení obdržíme stavový vektor rychlosti ve tvaru
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P
- sin 0 = yV/P\e + COS0| —
f)   Výpočet transformační matice dle rov. (3.191)
-3,31426)
8,39188 [ [kms~yl. 0 L
[Tgr/p]
cos co cos fí — sin oj cos i sin fi cos oj sin fi + sin oj cos i cos fi sin oj sin i
sin co cos íl — cos oj cos i sin fi     sin í 5 sin oj sin fi + cos oj cos i cosfi   — sin i cos oj sin i co:
Po dosazení výše uvedených goniometrických funkcí obdržíme transformační tvaru (Pozn.: Výpočty provedeny s vyšší přesností, výsledky zaokrouhleny na 6
-0,385519   -0,729593 0,564863 0,845839     -0,524057 -0,099601 0,368688     0,439385     0,819152 J g) Výpočet stavového vektoru polohy v geocentrické rovníkové souřadnicové získáme dle transformační rovnice (3.190)
gr/p\
	
\Y	
(z	
trígr = [Tgr/p]{r}P.
-0,385519 -0,729593 0,564863 1 (5835,207 0,845839 -0,524057 -0,099601 3368,959 0,368688      0,439385      0,819152 J l 0
-470 317C 3631
h) Výpočet stavového vektoru rychlosti v geocentrické rovníkové souřadnicoví získáme dle transformační rovnice (3.192)
Wgr = [Tgr,p\{V}p,
(VA	-0,385519	-0,729593	0,564863
K =	0,845839	-0,524057	-0,099601
hL	. 0,368688	0,439385	0,819152
-3,314261 8,391885 0
2,4
Stanovení elementů dráhy ze stavového vektoru
Na základě znalosti prvků stavového vektoru v geocentrické rovníkové so soustavě (X,Y,Z,Vx,VY,Vz) můžeme naopak stanovit všechny eleme následujícím postupem:
1) Nejprve stanovíme moduly polohového vektoru a vektoru rychlosti dle vz
r = y/X2 + Y2 + Z2,
V = y/X2 + Ý2 + Ž2 = Jv2
'2 + V2 + V2.
2) Následuje výpočet specifického momentu hybnosti, včetně jeho modulu
t J K X    Y Z
Vx      Vy VZ
h=řxv=
= hxI + hYJ + hzK, kde složky specifického momentu hybnosti jsou dány výrazy
64
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
hx = YVZ - ZVYl (3.197)
hY = ZVX - XVZl (3.198)
hz = XVY - YVX, (3.199)
a modul stanovíme ze vztahu
h = \h\ + ft| + ft|. (3.200)
3) Výpočet sklonu oběžné dráhy provedeme pomocí specifického momentu hybnosti následovně
i = arccos (y Y (3.201)
Sklon oběžné dráhy je definován v rozsahu 0° < i < 180°. Při výpočtu sklonu dráhy z uvedeného vztahu se neobjevuje žádná nejednoznačnost. Na tomto místě je však třeba říci, že podle jeho hodnoty definujeme typ dráhy s ohledem na smysl oběhu. V případě, kdy sklon dráhy leží v rozsahu 0° < i < 90° nazýváme oběžnou dráhu jako přímou (prográdní) a naopak při sklonu dráhy 90° < i < 180° se jedná o tzv. zpětnou (retrográdní) oběžnou dráhu.
4) Výpočet hlavní poloosy eliptické oběžné dráhy provedeme pomocí specifické energetické konstanty £ a gravitačního parametru /i. Nejprve ze vztahu (3.90) stanovíme energetickou konstantu
V2 u
£---—
2 r
a nakonec hlavní poloosu dle vztahu (3.94)
5) Vektor uzlové přímky určíme dle vztahu
/     / K
u = K xh
0    0 1
hx   hY hz
(3.202)
= -hyl + hx] - uxl + uYJ, (3.203)
odkud je modul vektoru uzlové přímky dán výrazem
u = Ju2, + u2- = J(-/iy)2 + h2. (3.204) 6) Délka vzestupného uzlu je pak dána výrazem
(^). (3.205)
fí — arccos
Délka vzestupného uzlu je definována v rozsahu úhlů 0° < fl < 360°. Výpočet délky vzestupného uzlu z uvedeného vztahu vede na nejednoznačnost přiřazení správné úhlové hodnoty fl. Běžně obdržíme dvě řešení, z nichž je nutno nalézt správnou hodnotu íl dle níže uvedené nabídky
/Ux\
íli = arccos y~) Pro "y ^ 0»
,UX\
fl2 = 360 — arccos y~) Pro uy < 0-
65
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
7) Argument pericentra můžeme stanovit ze vztahu
co = arccos
Vektor excentricity, který zároveň definuje směr přímky apsid, stanovíme \ vztahu (B.9), který je odvozen v Příloze B
Argument pericentra je definován v rozsahu úhlů 0° < co < 360°. Rovněž v argumentu pericentra co z rov. (3.206) vede na nejednoznačné řešení. Ni< z polohy přímky apsid, kterou definuje vektor excentricity je zřejmé, že v r úhlů 0° < co < 180° je vertikální složka vektoru excentricity e7 > 0. A v rozsahu úhlů 180° < co < 360° je složka ez < 0. Takže dle znaménka složí-možno identifikovat správnou hodnotu argumentu pericentra co podle níže u nabídky
co, = arccos I ——- \ pro ez > 0,
co2 = 360° — arccos í-)    pro ez < 0.
8) A konečně poslední element orbitální dráhy, pravou anomálii, určíme dle vzt;
0 = arccos
m
ravou a
m
V tomto případě můžeme nejednoznačnost výpočtu pravé anomálie jec vyřešit pomocí stanovení znaménka radiální rychlosti letu Vr dle dříve uve vztahu (3.179)
V-ř
Vr =
r
Dle základní rov. (3.138) pro radiální rychlost se můžeme jednoduše přesvt pokud je radiální rychlost Vr > 0, pak se kosmické těleso pohybuje ve sr pericentra a pravá anomálie 0 < 0 < 180° a pokud je radiální rychlost Vr se kosmické těleso pohybuje ve směru k pericentru a pravá anomálie 18C 360°.
Alternativně lze výpočet pravé anomálie nalézt také přímo z rovnice dráhy (
h2 1
H 1 + e cos 0
odkud je pravá anomálie dána výrazem
,z
0 — arccos
e \pr )
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CG P
'íklad 3.8
dáni:
zadané stavové vektory ř a V určete všechny elementy orbitální dráhy a, e, i, w, fl, 0. řebná data:
vitační parametr Země p = 398600 [km3s~2] a stavové vektory
ř =-2228,2/+ 7196,1/+4010^ [km], V = -7,796/ - 2,312/+ 1,871/? [fems-1]. šeni:
Výpočet modulu polohového vektoru dle rov. (3.194)
r = y/X2 + Y2 +Z2 = V(-2228,2)2 + 7196.12 + 40102 = 8533,981 [km]. Výpočet modulu vektoru rychlosti letu dle rov. (3.195)
V = yjV2 + V2 + V2 = V(-7,796)2 + (-2.312)2 + 1.8712 = 8,344076 [kms'1]. Výpočet složek specifického momentu hybnosti dle rov. (3.197) až (3.199)
hx = YVZ - ZVY = 7196,1(1,871) - 4010(-2,312) = 22735,023 ffcm2s-1], hY = ZVX - XVz = 4010(-7,796) - (-2228,2)1,871 = -27093, hz = XVy - YVX = -2228,2(-2,312) - 7196,l(-7,796) = 61252,394. ) Výpočet modulu specifického momentu hybnosti
h = _jhx + h2+h2= V22735,0232 + (-27093)2 + 61252.3942 = 70730,245.
) Specifickou energetickou konstantu stanovíme dle rov. (3.90)
V2    n    8.3440762     398600 , ,
£ = — -- =----————" = -11,895592 [km2s~2].
2     r 2 8533,981 L 1
f)  Výpočet hlavní poloosy provedeme dle rov. (3.94), z níž pro velkou poloosu platí A< 398600
28 2(-ll,895592) g) Výpočet sklonu oběžné dráhy dle rov. (3.201)
16754,105 [km].
(hz\ /61252.394N ; ^  = arccos ————r  = 30,0 [°]. V h ) V70730,245/ 1 '
Vypočtený sklon oběžné dráhy leží v definovaném oboru 0 + 180°. A díky tomu, že je menší jak 90°, jedná se o přímou (prográdní) oběžnou dráhu.
h) Výpočet složek vektoru uzlové přímky. Z rov. (3.203) vyplývá
ux = -hY = 27093,
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CCP
uY = hx = 22735,023, uz = 0.
i)   Výpočet modulu vektoru uzlové přímky
u = Juj, + uY+u2z = V270932 -1- 22735,0232 = 35368,232. j)  Výpočet délky vzestupného uzlu dle rov. (3.205)
rux\ (   27093 \
n, = arccos (-) = arccos (^^) = 40,0 [•].
o /   27093 \
n2 = 360 - arccos (-) = 360 - arccos (^^) = 320,0 [•].
S ohledem na skutečnost, že složka vektoru uzlové přímky je kladná (uy > 0) sprá hodnotou délky vzestupného úhlu je fl = ftj = 40,0 [°].
k) Výpočet skalárního součinu r • V
ŕ ■ V = -2228,2(-7,796) + 7196,1(-2,312) + 4010(1,871) = 8236,374
I)   Výpočet vektoru excentricity dle vztahu (3.207)
lr, - , / 398600 \
e = ^tt;— (-2228,2/ + 7196,1/ + 4010/f) 8,3442 --—--
398600 Lv 1 ' \ 8533,981/
- (-7,796/- 2,312/+ l,871/?)8236,374 , e = 0,0329876/+ 0,461490/ + 0,191881/?. m) Výpočet modulu vektoru excentricity
e=  \e2 + e2 + ej = ^0,03298762 + 0,4614902 + 0,19188i2 = 0,501
Dle vypočtené hodnoty excentricity můžeme konstatovat, že oběžnou dráhou je el n) Výpočet argumentu perigea dle rov. (3.206)
/27093(0,0329876) + 22735,023(0,46145
(ue\
o), — arccos - =
V ue J
m = so [°],
oi2 = 360° — arccos
arccos
35368,232(0,501)
a>2 = 360° — arccos
27093(0,0329876) + 22735,023(0,461490)\
35368,232(0,501)
)'3
V tomto případě je správným řešením co = co^ = 50 [°], což potvrzuje kladná vektoru excentricity ez > 0. o) Výpočet pravé anomálie dle rov. (3.208)
68
3. Pasivní pohyb kosmických těles v CGP
é-r\
0, = arccos - ,
V er /
0,0329876(-2228,2) + 0,461490(7196,1) + 0,191881(4010)
01 = arCC°S-0,501(8533,981)-'
0! = 20 ["],
02 = 360° - arccos (^^j = 360° - 20° = 340 ["].
Pro přiřazení správné hodnoty je třeba znát znaménko radiální složky vektoru rychlosti letu Vr. Tuto složku stanovíme pomocí výrazu
_ V ■ ř _ -7,796(-2228,2) + (-2,312)7196,1 + 1,871(4010) V'' " ~r~ ~ 8533,981 '
Vr = 0,965127 [kms'1].
Jelikož hodnota radiální rychlosti je kladná (Vr > 0), správná hodnota pravé anomálie je
0 = 0, = 20 [°].