Nejistoty měření 25. října 2021 1 Základní vztahy 1.1 Standardní nejistota typu A Pokud opakovaně měříme tutéž veličinu X, za stejných podmínek, se stejnými měřícími metodami a stejnými měřícími prostředky, určujeme tzv. standardní nejistotu typu A (dále jen nejistota typu A), kterou budeme označovat ua, stejně jako tzv. výběrovou směrodatnou odchylku n opakovaných měření x{, které mají aritmetický průměr x, tj. podle vztahu Tato nejistota je tedy dána statistickým zpracováním, její příčiny se považují za neznámé (náhodné vlivy vstupující do procesu měření) a její hodnota klesá s počtem n opakovaných měření. Pokud je n < 10, pak z teorie plyne, že tuto nejistotu je nutné vynásobit korekčním faktorem fc^, kde např.pro n = 5 je kA = V2 w 1.4. Tedy pro 5 měření budeme tuto nejistotu počítat podle vztahu kde výraz u'A nyní označuje pravou stranu vztahu (1). 1.2 Standardní nejistota typu B Standardní nejistota typu B (dále jen nejistota typu B), označovaná ug, je nejistota daná měřicí metodou, popř. měřicím přístrojem, chybou odečtu, reakční dobou experimentátora, atd.. Pro naše účely ji budeme brát jako polovinu nejmenšího dílku na stupnici měřícího prostředku, v případě, že je opatřen stupnicí s noniem, tj. stupnicí pro jemnější odečítání délek, pak je to polovina nejmenšího dílku této stupnice. V našem praktiku budeme pracovat s těmito nejistotami: (1) u a = V2u'A (2) 1 Měřicí prostředek uB svinovací metr 0.5mm posuvné měřítko (šuplera) 0.05mm mikrometr 0.005mm hodinkový indikátor (viz úl. 6) 0.005mm stopky O.ls obchodní váhy 2ff kuchyňské digitální váhy Iff analytické váhy 0.05g odměrný válec lml 1.3 Kombinovaná nejistota Výsledná, tzv. kombinovaná nejistota uc v sobě zahrnuje oba dva předchozí typy. Z teorie plyne uG = ^u\ + u2B, (3) přičemž jednotka je shodná s jednotkou měřené veličiny X. Výsledek pak zapíšeme ve tvaru X = (x±uXiC)j. (4) Zde "j "značí příslušnou jednotku a přidaný index x příslušnost výsledné nejistoty uc k veličině X. Toto je vhodné provést, pokud je v dané úloze měřeno více veličin, zatímco index "Cize vynechat. Např. v úloze 1, kde měříme hustotu dřeva, z něhož je zhotovena deska s rozměry a,b,c o hmotnosti m, označíme celkovou (kombinovanou) nejistotu u příslušné veličiny postupně ua, «5, uc, um. Za účelem sjednocení použitého značení zaveďme následující konvenci, kterou si vysvětlíme na konkrétním příkladě: v úloze 4, kde měříme doby kmitu reverzního kyvadla Ti, T2, T3 postupně pro tři různé polohy závaží, označme nejistotu typu A pro periodu T\ jako «tia (a ne např. Uria, nebo T\ua) a čtěme "nejistota periody T\ typu A", podobně pro nejistotu typu B. Vynecháním typu nejistoty (indexu C) budeme rozumět nejistotu celkovou (kombinovanou). Zápis (4) budeme vždy doplňovat vyjádřením v alternativním tvaru podle předpisu X = (x ±ux)j = ž(l ±ur,x)j, (5) z něhož je ihned patrná relativní nejistota ur,x = ^zL, (6) X která je zjevně bezrozměrným číslem (jednotku píšeme až vně závorky). Např. ze zápisu m = (85, 00 ± 0.05)g = 85(1 ± 0.0006)g (7) lze ihned vidět, že hmotnost m byla změřena s relativní nejistotou ur>m = 0.06%. Všimněte si, že v zápise (7) jsme střední hodnotu m zaokrouhlili na stejný počet desetinných míst, jako nejistotu. Nelze proto např. psát m = (85 ± 0.05)a, «r,6> •• Úprava spočívá ve vydělení obou stran rovnice (4) střední hodnotou x, což nakonec vede ke vztahu Ur,X = \j(a«r,a)2 + (/3«r,6)2 + (7Mr,c)2 + •• + (MMr,k)2 + (^«r,()2 + (pUr,m)2 - (13) Např. pro a%5 dostaneme Ur,X = \](3«r,a)2 + (5«r,6)2 + (2Mr,c)2 + M2 rf. (15) Je vidět, že veličiny vystupující v nejvyšších mocninách (zde b) je nutno měřit co nejpřesněji, neboť vliv jejich relativních nejistot je násoben příslušnou mocninou. 3 Popíšeme nyní na konkrétní úloze dva způsoby, kterými lze postupovat při výpočtu měřené veličiny, přičemž v prvním případě užijeme vztah (11) a ve druhém vztah (13). Jako příklad vezměme úlohu č. 4, v níž budeme počítat hodnotu tíhového zrychlení podle vzorce 9 = ^±, (16) kde lr označuje redukovanou délku reverzního kyvadla a T dobu jeho kmitu. Mějme např. naměřeno lr = (100.00 ± 0.05)cm = 100(1 ±5* 10"4)cm T = (2.00±0.01)s = 2(l±5*10_3)s, (17) (18) tedy ír = lOO.OOcm, «; = 0.05cm, ur,í = f = 5 * 10"4, a dále Ť = 2.00s, uT = O.Ols, ur,T = = 5 * 10"3. a) Postup za použití vzorce (11) Je možné použít přímo vzorec (11) pro výpočet nejistoty ug, z níž následně určíme relativní nejistotu «r,g = a výsledek pak zapsat podle (4) ve tvaru g = {g±ug)ms~2 = g{l±ur^)ms~2. (19) Tento způsob vyžaduje více numerických výpočtů, neboť každou z parciálních derivací ve vztahu (11) je nutno vyčíslit v bodech ä,b,č... V našem případě máme funkční závislost g = g(lr,T), takže parciální derivaci % = <2»> vyčíslíme v bodě T = 2.00, což označíme jako 4vr24 = ^- = tt2 = 9.8696, (21) a podobně parciální derivaci dg, 2 1 4vH j2 vyčíslíme v bodech lr = 1.00m, Ť = 2.00s a označíme 1 J|lrr=i,Ť=2 = -8^2^ = -vr2 = -9.8696, (23) 1 Je třeba mít na paměti, že jednotlivé výrazy v kulatých závorkách ve vzorci (11) musí mít stejný rozměr jako veličina X, v našem případě g. Jelikož jednotkou tíhového zrychlení g je m.s~2, musíme dosazovat v metrech a sekundách. Proto máme v (23) dosazeno lr = 1. 4 gama \ A——■ «\ i \ li b Obrázek 1: Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Je vidět, že čím více je odvěsna BC kratší než odvěsna AC, tím více bude rozdíl mezi velikostí přepony AB a velikostí odvěsny AC, který je znázorněn úsečkou DB, zanedbatelný. Zde je BC kratší než AC pouze asi čtyřikrát. a dosadíme do vzorce ^=^Aly+ílh^ (24) což vede k numerickému výpočtu ug = ^(9.8696 * 0.0005)2 + (9.8696 * O.Ol)2 = 0.098701m.s"2. (25) Pozor, zde jsme opět museli dosadit nejistotu «; v metrech, tj. «; = 0.0005m, aby výsledek měl rozměr m.s~2\ Poznámka: Čtenáři dále doporučujeme ověřit numerickým výpočtem, že výsledek ug je při zanedbání členu v první závorce, který je o dva řády nižší, roven ug = 0.098690. Tedy výsledek se liší od správné hodnoty nepatrně až na čtvrtém desetinném místě, přičemž tento rozdíl spolehlivě vymizí při následném zaokrouhlém podle pravidel uvedených v kapitole 2. Příčinu tohoto zanedbatelného rozdílu lze názorně vysvětlit: vzorec (24) připomíná Pythagorovu větu pro výpočet velikosti přepony pravoúhlého trojúhelníka ug pomocí odvěsen, jejichž velikostem odpovídají výrazy v kulatých závorkách. Je zřejmé, že pokud je jedna z odvěsen výrazně nebo dokonce řádově delší než druhá odvěsna, viz obr. 1, budou délky přepony a delší odvěsny prakticky totožné. Je-li tedy součin v některé z kulatých závorek o jeden nebo více řádů nižší než je řád ostatních, je možné ji ihned zanedbat. Střední hodnotu g vypočteme ze středních hodnot lr, Ť dosazením do vztahu (16), tj. g = 4vr2Í- = 4vr2i^ = 9.8696m.s"2. (26) 5 Nyní je třeba správně zaokrouhlit výsledek i nejistotu (viz kap. 2)! Výsledek pak je g = (9.9 ± 0.1)ms-2 = 9.9(1.00 ± 0.01)ms-2 (27) b) Postup za použití vzorce (13) Druhou možností je nejprve spočítat relativní chybu jistou úpravou vzorce (4), kterou lze provést právě tehdy, když funkční závislost X(a,b,c,..) obsahuje pouze součin a/nebo podíl mocnin proměnných a, b, c, k, l, m,.., Náš vzorec (16) svým tvarem odpovídá tvaru (12) (násobící faktor 4tt2 je zde nepodstatný), můžeme proto podle (13) psát ur,g = ^u2rl + {2ur^, (28) což po dosazení dá ur,g = v^.lO-4)2 + (2.5.10"3)2 = 0.01001 = 0.01. (29) Poznámka: Opět si zde může čtenář ověřit prakticky shodný výsledek při zanedbání členu v první závorce. Nyní již zbývá jen vypočíst střední hodnotu g podle (26), nejistotu ug podle vztahu ug = ur,g.g, (30) numericky Ug = 0.010 * 9.8696 = 0.098696, (31) kterou zaokrouhlíme na jednu platnou cifru nahoru podle pravidel v kap. 2, tj. 0.1. (32) Střední hodnotu g = 9.8696 je nyní třeba správně zaokrouhlit tak, aby se řád poslední platné cifry shodoval s řádem nejistoty (viz kap. 2), tedy g = 9.9. (33) Konečně můžeme zapsat výsledek g = (9.9 ± 0.1)ms-2 = 9.9(1.00 ± 0.01)ms-2. (34) Ze srovnání obou metod je vidět, že zejména při vyšším počtu proměnných, kdy je nutno vyčíslit odpovídající počet parciálních derivací, je druhá metoda mnohem rychlejší. Použijeme ji tedy s výhodou např. v úloze 6 u statické metody, kdy zjišťujeme Youngův modul pružnosti E v tahu, který pak počítáme podle vztahu E=1-1-^. (35) V případě první metody bychom počítali 4 parciální derivace postupně podle proměnných m, a, b, y, které by bylo nutno následně vyčíslit v bodech m, ä, b, y a dosadit do (11), případě použití metody č. 2 dosadíme jednoduše do vzorce Ur,E = \Ju'^m + (3Mria)2 + M2fc + M2y. (36) 6 1.4.2 X je funkcí součtu a/nebo rozdílu proměnných a, b, c,.. Pokud je funkční závislost X(a, b, c,..) ve tvaru X = a±b±c±.., (37) kde jsou hodnoty a,b,c,.. naměřeny ve tvaru (9), potom vzorec (13) nabude tvaru tzv. geometrického součtu ux = yjul+ul + u* + .... (38) Tento vzorec použijeme například v úlohách, ve kterých počítáme určitou veličinu vícekrát pro různé naměřené hodnoty, a nakonec z nich určujeme aritmetický průměr. Např. v úloze č. 4 počítáme tíhové zrychlení g z doby kmitu matematického kyvadla pro dvě různé délky závěsu h, l2. Jim odpovídají hodnoty gi = gi ± ugi g2 = g2±ug2. (39) (40) Výsledné g určíme jako aritmetický průměr g = Ž±ĚL (41) a nejistotu podle vzorce (38) (42) Zde je nutno dělit geometrický součet počtem sčítanců v aritmetickém průměru (41), jak lze odvodit ze vzorce (11). Podobně postupujeme v úlohách 5, 7, kde počítáme hmotnost válečku mv, resp. modul pružnosti ve smyku G pro různé kombinace časů Ti, T2, T3 a jim odpovídajícím vzdálenostem a\, a2, 0,3, a ty nakonec zprůměrujeme. 1.4.3 X je obecnou funkcí mocnin proměnných a, b, c,.. V případě dynamické metody úlohy č. 6 používáme vzorec E-a%(T?-T>y (43) který neodpovídá žádnému z předchozích speciálních tvarů funkční závislosti X(a,b, c,..), a tudíž nelze použít žádný ze vztahů (13), (38). V tomto případě určíme nejistotu uE buď užitím metody 1 popsané v kap. (1.4.1), anebo spočítáme mezní hodnoty Emirl, Emax pro mezní hodnoty veličin l, mp, a, b, T\^2. 7 Zde jsme Emin/max označili minimální/maximální hodnotu veličiny E, přičemž definujeme Emin = Ě-uE (44) Emax = Ě + uE. (45) V tomto případě je třeba správně zvolit znaménko ± u těchto veličin. Zde např. bude e _ _16tt2(ž + ui)3(rňp + um)_ jak plyne z elementární úvahy pro maximální hodnotu zlomku (43). Příslušný vztah pro Emin si již laskavý čtenář snadno rozmyslí sám. Hodnotu E pak zapíšeme jako E = ̱uE = Ě{l±uTiE), (47) kde - Emm + Emax E = -^-' ^48J a ue =-g-• (49) 2 Zaokrouhlování výsledků Používáme následujících pravidel: • Nejprve zaokrouhlíme nejistotu, a sice na jednu platnou číslici nahoru (platné číslice jsou všechny číslice včetně nuly, pokud je nula uprostřed nebo na konci, např. čísla 0.0120, 0.0102 jsou zaokrouhleny na tři platné číslice, ale číslo 0.0012 na dvě), tj. např. nejistotu 0.041 zaokrouhlíme na 0.05, ale 0.0409 na 0.04. Pokud je však nejvyšší platná číslice 1 nebo 2, zaokrouhlíme na dvě platné číslice, rovněž nahoru, takže např. 0.0123 zaokrouhlíme na 0.013. Střední hodnotu zaokrouhlujeme již podle standardních pravidel, a to tak, aby nejnižší řád nejistoty opravoval poslední platnou číslici střední hodnoty. Příklady: 0.123 ± 0.00123 -> 0.1230 ±0.0013 0.12345 ±0.0012 0.1235 ± 0.0012 0.12345 ± 0.0031 -> 0.123 ±0.004 (50) 8