ASTRONOMIE
sbírka úloh
evropský
sociální fond v ČR
EVROPSKÁ UNIE
ministerstvo školství. MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY
OP V/clrl.ii.ini
pro konkurenceschopnost
Slezská univerzita v Opavě
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Úlohy zpracovala a doprovodnými texty opatřila Mgr. Kamila Truparová. Úlohy v části 6.4.1 sestavil Mgr. Martin Urbanec, Ph.D.
Na výsledném zpracování sbírky a formulaci některých jejích částí se podílel RNDr. Petr Slaný, Ph.D.
Sbírka byla vydána jako studijní materiál v rámci projektu Intenzifikace internacionálních, mezioborových a intersektorálních přístupů při studiu (CZ.1.07/2.2.00/28.0271) podpořeného operačním programem Vzdělávání pro konkurenceschopnost.
©Slezská univerzita v Opavě, 2014
Obsah
1 Sférická astronomie 1
1.1 Typy souřadných systémů.................................. 1
1.2 Souřadné systémy v astronomii............................... 2
1.2.1 Obzorníkové (horizontální) souřadnice ...................... 2
1.2.2 Rovníkové (ekvatoriální) souřadnice........................ 3
1.2.3 Transformace mezi horizontálními a rovníkovými souřadnicemi......... 5
1.2.4 Ekliptikální souřadnice............................... 6
1.2.5 Galaktické souřadnice............................... 7
1.3 Horní a dolní kulminace .................................. 8
1.4 Úlohy............................................ 8
1.5 Precese, nutace....................................... 14
1.5.1 Lunisolární precese................................. 14
1.5.2 Planetární precese ................................. 15
1.5.3 Generální precese.................................. 15
1.5.4 Nutace ....................................... 15
1.5.5 Úlohy........................................ 16
1.6 Paralaxa........................................... 17
1.6.1 Denní paralaxa................................... 17
1.6.2 Rovníková paralaxa ................................ 18
1.6.3 Roční paralaxa................................... 18
1.6.4 Úlohy........................................ 20
1.7 Aberace........................................... 21
1.7.1 Denní aberace.................................... 21
1.7.2 Roční aberace.................................... 22
1.7.3 Planetární aberace ................................. 23
1.7.4 Sekulární aberace.................................. 23
1.7.5 Úlohy........................................ 23
1.8 Refrakce........................................... 24
1.8.1    Úlohy........................................ 26
2 Sluneční soustava 29
2.1   Mechanika Sluneční soustavy................................ 29
2.1.1    Planety....................................... 29
iii
iv OBSAH
2.1.2 Trpasličí planetky.................................. 29
2.1.3 Malá tělesa sluneční soustavy........................... 30
2.2 Keplerovy zákony...................................... 30
2.2.1 I. Keplerův zákon - zákon drah........................... 30
2.2.2 II. Keplerův zákon - zákon ploch.......................... 31
2.2.3 III. Keplerův zákon................................. 31
2.2.4 Úlohy........................................ 32
2.3 Aspekty planet ....................................... 37
2.3.1 Konjunkce..................................... 37
2.3.2 Opozice....................................... 37
2.3.3 Elongace...................................... 37
2.3.4 Kvadratura..................................... 38
2.3.5 Zdánlivé pohyby planet............................... 38
2.3.6 Úlohy........................................ 38
2.4 Siderická a synodická oběžná doba............................. 39
2.4.1    Úlohy........................................ 39
2.5 Elementy dráhy planety a anomálie............................. 41
2.5.1 Elementy dráhy planety .............................. 41
2.5.2 Anomálie...................................... 42
2.5.3 Keplerova rovnice................................. 43
2.5.4 Úlohy........................................ 44
3 Gravitace 47
3.1 Newtonovy zákony..................................... 47
3.1.1 I. Newtonův zákon................................. 47
3.1.2 II. Newtonův zákon................................. 47
3.1.3 III. Newtonův zákon................................ 47
3.2 Centrální síla........................................ 47
3.3 Newtonův gravitační zákon................................. 48
3.4 Intenzita gravitačního pole................................. 48
3.5 Potenciální energie..................................... 49
3.6 Gravitační potenciál..................................... 49
3.7 Tíhové zrychlení...................................... 49
3.7.1    Úlohy........................................ 49
4 Zatmění 57
4.1 Zatmění........................................... 57
4.1.1 Zatmění Slunce................................... 57
4.1.2 Zatmění Měsíce................................... 59
4.1.3 Perioda Saros.................................... 59
4.2 Úlohy............................................ 59
OBSAH v
5 Dalekohledy 61
5.1 Dalekohledy......................................... 61
5.1.1 Refraktory ..................................... 61
5.1.2 Reflektory...................................... 62
5.1.3 Katadioptrické dalekohledy ............................ 63
5.2 Vady optických soustav................................... 63
5.3 Základní optické vlastnosti dalekohledů.......................... 64
5.3.1 Zvětšení dalekohledu................................ 64
5.3.2 Rozlišovací schopnost dalekohledu ........................ 65
5.3.3 Světelnost dalekohledu............................... 65
5.4 Úlohy............................................ 65
6 Hvězdy 69
6.1 Zdánlivá hvězdná velikost, Pogsonova rovnice.......... .............. 69
6.1.1 Absolutní hvězdná velikost............................. 70
6.1.2 Modul vzdálenosti................................. VI
6.1.3 Absorpce světla................................... VI
6.1.4 Úlohy........................................ V2
6.2 Záření absolutně černého tělesa............................... V4
6.2.1 Povrchové teploty hvězd.............................. V6
6.2.2 Solární konstanta.................................. V6
6.2.3 Zářivost Slunce L0................................. V6
6.2.4 Zářivost hvězd................................... VV
6.2.5 Úlohy........................................ V7
6.3 Spektrální třídy....................................... V9
6.3.1 Harvardská klasifikace............................... V9
6.3.2 Třídy svítivosti................................... 80
6.3.3 Hertzsprungův-Russellův diagram......................... 81
6.3.4 Systém UBV a UBVRI............................... 81
6.3.5 Barevný index B — V............................... 84
6.3.6 Barevný exces Eb-v................................ 84
6.3.V   Bolometrická korekce ............................... 86
6.3.8 Poloměry hvězd .................................. 86
6.3.9 Úhlové průměry hvězd............................... 8V
6.3.10 Hmotnosti hvězd.................................. 8V
6.3.11 Hustoty hvězd ................................... 88
6.3.12 Úlohy........................................ 88
6.4 Stavba hvězd a procesy ve hvězdném nitru......................... 92
6.4.1    Úlohy........................................ 95
7 Kinematické znaky hvězd 99
V.l   Kinematické znaky hvězd.................................. 99
7.1.1    Vlastní pohyb hvězd................................ 99
V. 1.2   Tangenciální rychlost................................ 100
vi OBSAH
7.1.3 Radiální rychlost.................................. 101
7.1.4 Prostorová rychlost................................. 101
7.1.5 Úlohy........................................ 101
8   Dvojhvězdy 105
8.1   Úlohy............................................ 105
Seznam použité literatury 107
1
Sférická astronomie
1.1   Typy souřadných systémů
Jednou ze základních úloh při pozorování pohybu tělesa je určení jeho polohy v daném okamžiku. K popisu používáme vhodný souřadný systém. Zdánlivě nejjednodušší jsou souřadnice pravoúhlé (kartézské). V astronomii se však nejvíce používají sférické souřadnice. Každá souřadná soustava je definována základní rovinou, která prochází počátkem souřadnic a základním smérem. Podle toho, kam položíme počátek souřadného systému, rozlišujeme v astronomii souřadnice topocentrické (počátek souřadnic leží v místě pozorovatele), geocentrické (počátek souřadnic leží ve středu Země), nebo heliocentrické (počátek souřadnic leží ve středu Slunce).
Pravoúhlé souřadnice jsou dány počátkem O, rovinou p, ve které leží na sebe kolmé osy x a y a osou z, která je kolmá na rovinu p. Pokud bodem H proložíme sféru s počátkem v bodě O a poloměrem r odpovídajícím vzdálenosti OH, můžeme zavést souřadnice sférické. Poloha bodu H je pak jednoznačně určena souřadnicemi x,y,z.
Poloha libovolného bodu na sféře je dána pouze úhly A a ip, viz obr. 1.2. Průvodič r je pro všechny body na povrchu sféry stejný. Pokud středem koule proložíme libovolnou rovinu, vznikne na povrchu koule tzv. hlavní kružnice. Jednou z hlavních kružnic je i rovník, který vznikne průsečíkem základní roviny s povrchem koule. Osa z protne kouli ve dvou protilehlých bodech, pólech. Oběma póly lze vést libovolné množství hlavních kružnic, které kolmo protínají rovník a nazývají se poledníky. V případě zeměpisných souřadnic je základní rovinou rovina rovníku a základní směr je určen průsečíkem základního (nultého) poledníku s rovníkem. Podobně můžeme sférické souřadnice použít i k určování poloh nebeských objektů. Konkrétně v astronomii se jedná o určení polohy průmětu planety, hvězdy apod. na nebeskou sféru. 1
Při určování poloh nebeských objektů můžeme použít několik různých souřadných systémů na kouli (které se budou lišit právě námi zvolenou základní rovinou a základním směrem). Vybíráme vždy takové, které se nejlépe hodí k řešení dané úlohy.
'Nebeská (taky světová) sféra je myšlená koule s r —> oo. Jedná se pouze o pomocnou konstrukci pro zavedení dvou astronomických úhlových (sférických) souřadnic a nemá nic společného se starověkou sférou stálic.
1
2
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Obrázek 1.1: U pravoúhlých souřadnic je poloha bodu H jednoznačně zadána třemi souřadnicemi x, y z nebo pomocí dvou úhlů A a ip a průvodičem r.
1.2   Souřadné systémy v astronomii 1.2.1   Obzorníkové (horizontální) souřadnice
Pro pozorovatele na Zemi se (v ideálním případě) okolní krajina jeví jako rovina, která zdánlivě protíná oblohu na horizontu. Tato horizontální rovina tvoří základní rovinu. Přímka vedená kolmo k horizontální rovině protne oblohu ve dvou bodech, v zenitu Z (nadhlavníku) a nadiru (podnožníku). Zenitem a nadirem můžeme vést nekonečné množství hlavních kružnic, tzv. výškových kružnic. Jedna z nich protíná obzor v severním ./V a jižním bodě S a nazývá se místní poledník - meridián. Meridián tedy určuje směr severo-jižní a právě směr k jižnímu bodu S je zvolen za základní směr a jižní bod se stává výchozím bodem horizontálních souřadnic.
K určení horizontálních souřadnic libovolné hvězdy H potřebujeme znát její úhlovou výšku h nad obzorem a azimut A, viz obr. 1.3. Uhlová výška h je úhel, který svírá spojnice pozorovatel - hvězda s rovinou obzoru. Výšky nad obzorem mají znaménko " + ", pod obzorem znaménko " — ". Hvězda nacházející se na obzoru bude mít úhlovou výšku h = 0°, hvězda v zenitu h = +90° a hvězda v nadiru h = —90°. Někdy se namísto úhlové výšky používá tzv. zenitová vzdálenost z, což je doplněk výšky do 90°,
z = 90°-h. (1.1)
Azimut A je úhel, který svírá svislá rovina procházející zenitem a hvězdou s rovinou místního poledníku. Počítá se od jižního bodu S (A = 0°) záporným směrem (po směru hodinových ručiček), tedy přes západ W (A = 90°), sever N (A = 180°) na východ E (A = 270°). Průchod nebeského tělesa meridiánem se nazývá kulminace. Podle toho, na které straně se těleso nachází, rozlišujeme kulminaci horní (těleso se nachází nad jižním bodem, má azimut A = 0° a nejmenší zenitovou vzdálenost) a kulminaci spodní (těleso se nachází nad severním bodem, má azimut A = 180° a největší zenitovou vzdálenost). Příkladem horní kulminace může být Slunce v pravé poledne. Oproti tomu příkladem spodní
1.2. SO UŘADNÉ SYSTÉMY V ASTRONOMII
3
z
y
Obrázek 1.2: U sférických souřadnic je poloha libovolného bodu H na sféře dána úhly A a tp. Průvodičem r je zbytečný. Pokud pro poloměr koule můžeme uvažovat r —> oo, pak se pozorovotel nachází vždy ve středu sféry. Z tohoto vycházejí i astronomické souřadnice.
kulminace bude Slunce o půlnoci.
Nevýhodou obzorníkových souřadnic je, že se mění jak s časem, tak i s místem pozorování.
1.2.2   Rovníkové (ekvatoriální) souřadnice
Zemská rotační osa protíná nebeskou sféru v severním a jižním pólu (Pg, Pj). Oba póly leží na nebeském poledníku - meridiánu. Protože nebeská sféra má nekonečně velký poloměr, můžeme každým pozorovacím místem vést rovnoběžku se zemskou osou - světovou osu. Tato osa určuje polohu základní roviny - roviny rovníku, která je ke světové ose kolmá. Průsečík roviny rovníku s nebeskou sférou se nazývá nebeský rovník (ekvátor). Severním a jižním pólem lze vést libovolné množství hlavních kružnic, tzv. deklinační'kružnice; příkladem deklinační kružnice je i meridián. Podle toho, jak zvolíme základní směr, rozlišujeme dva typy rovníkových souřadnic:
Rovníkové souřadnice I. druhu
Základní rovinou je rovina rovníku a základní směr je průsečík rovníku s meridiánem, označený jako M. Od tohoto bodu M počítáme hodinový úhel t. Ten je definovaný jako úhel, který svírá deklinační kružnice proložená hvězdou s meridiánem. Hodinový úhel je obdobou azimutu a roste ve směru denního pohybu oblohy. Hvězdy procházející meridiánem mají t = 0°. Hodinový úhel není pro daný objekt na obloze stále stejný, ale mění se s tím, jak se obloha otáčí, tedy jak s časem (rovnoměrně), tak i se zeměpisnou délkou pozorovacího místa. Vyjadřuje se buď v časové míře nebo ve stupních, přičemž platí:
lh = 15° lmin = 15' ls = 15".
4
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
z*nit
Obrázek 1.3: U obzorníkových souřadnic je základní rovinou rovina obzoru. Poloha libovolného bodu na sféře je dána uhlovou výškou h nad obzorem a azimutem A, který se počítá od jižního bodu J směrem na západ. Zdroj: Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
Druhou souřadnicí je deklinace ô. Ta je definována jako úhel, který svírá spojnice pozorovatel -hvězda s rovinou rovníku, viz obr. 1.4. Od nebeského rovníku k severnímu pólu se deklinace značí kladně, sev. pólmáá = +90°, směrem k jižnímu pólu záporně, jižní pólmá ô = —90°.Někdy se namísto deklinace používá pólová vzdálenost p , což je doplněk deklinace do 90°.
p = 90° - S. (1.2)
Deklinace je pro danou hvězdu stále stejná, nemění se ani s časem (pokud neuvažujeme precesi zemské osy), ani s místem pozorování.
Rovníkové souřadnice II. druhu
Základní rovinou je opět rovina svetového rovníku. Za základní směr se u těchto souřadnic zvolil směr k tz v. jarnímu bodu Y, jež leží na rovníku a sám se účastní denního rovnoměrného pohybu oblohy. V jarním bodě kde se Slunce nachází v okamžiku jarní rovnodennosti. Slunce se během roku zdánlivě pohybuje po obloze. Dráha, kterou urazí během roku na pozadí vzdálených hvězd, se nazývá ekliptika a protíná nebeský rovník ve dvou bodech, v jarním bodě Y a podzimním bodě —. Rovina rovníku svírá s rovinou ekliptiky úhel e = 23° 27', který se nazývá sklon ekliptiky.
Vůči jarnímu bodu se určuje rektascenze a, která je definována jako úhel, který svírá deklinační kružnice proložená hvězdou s deklinační kružnicí procházející jarním bodem, tzv. kolurem rovnodennosti,
1.2. SO UŘADNÉ SYSTÉMY V ASTRONOMII
5
■
Obrázek 1.4: U rovníkových souřadnic je základní rovinou rovina rovníku. Podle zvoleného základního směru rozdělujeme rovníkové souřadnice I. a II. druhu. U rovníkových souřadnic I. druhu je základním směrem průsečík meridiánu M (na obrázku označen jako "poledník") s rovníkem. Od tohoto bodu počítáme hodinový úhel t. Druhou souřadnicí je deklinace ô, která je společná pro oba typy souřadnic. U souřadnic II. druhu je základním směrem směr k jarnímu bodu Y. Od tohoto bodu se počítá rekatscenze a, která se měří opačným směrem než hodinový úhel t. Zdroj: Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
viz obr. 1.4. Rektascenze roste opačným směrem než azimut či hodinový úhel, měří se totiž proti směru denního pohybu oblohy (ze západu na východ) a vyjadřuje se buď v časové míře (od 0h do 24h) nebo ve stupních (od 0° do 360°).
Výhodou rovníkových souřadnic II. druhu je skutečnost, že se nemění s místem pozorování. S časem se mění jen velmi pomalu a rovnoměrně, díky posouvání jarního bodu po ekliptice (podrobněji v kapitole o precesi). Tato soustava souřadnic se proto hodí ke konstrukci astronomických map hvězdné oblohy a k vyznačení polohy dalších významných objektů na obloze (hvězdokupy, mlhoviny, planety, komety,...).
1.2.3   Transformace mezi horizontálními a rovníkovými souřadnicemi
V astronomii se používá několik odlišných druhů souřadnic. Podle typu úlohy se pak rozhodneme, které souřadnice jsou pro její popis nejvhodnější. Občas ale potřebujeme přejít z jedné souřadné soustavy do druhé. K tomuto účelu se používají převodní vztahy mezi jednotlivými souřadnými systémy, které vycházejí z pravidel sférické trigonometrie. Nejčastěji je potřeba pro daný okamžik pozorování převést rovníkové souřadnice některé hvězdy do obzorníkových nebo naopak. Vždy k tomu potřebujeme znát zeměpisnou šířku ip daného místa a místní hvězdný čas 0 (pro danou zeměpisnou délku A).
6
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Hvězdný čas je hodinový úhel jarního bodu. V okamžiku svrchního průchodu jarního bodu meri-diánem je 0h 0mm 0S hvězdného času. Vztah mezi hvězdným časem 0, rektascenzí a hvězdy a jejím hodinovým úhlem t je
B = a + t. (1.3)
Výpočet rovníkových souřadnic z obzorníkových:
sinícosá   =   sinA cos (1-4) cosi cos 5   =   sin h cos tp + cos A cos h sinp (1-5) siná   =   sin h sinp — cos p cos h cos A. (1-6)
Výpočet obzorníkových souřadnic z rovníkových:
sinA cos = sinícosá (1-7)
cos A cos h = cos t cos 5 sin p — sin <5 cos p (1-8)
sin = cos t cos <5 cos tp + sin <5 sin p (1-9)
í = e-a. (1.10)
Úhlová vzdálenost A dvou hvězd na sféře
Úhlovou vzdálenost A dvou hvězd na sféře, jež mají souřadnice (5i, a{) a (82, «2). určíme ze vztahu
A = sinái sm^2 + cosái cos^2 cos(a2 — a±). (1-H)
1.2.4   Ekliptikální souřadnice
Ekliptikální souřadnice je vhodné použít při výpočtu drah těles v naší sluneční soustavě. Základní rovinou je rovina ekliptiky. Přímka vedená k ní kolmo protíná nebeskou sféru ve dvou protilehlých bodech, pólech ekliptiky. Jimi můžeme vést šířkové kružnice, podobně jako jsme nebeskými póly vedli deklinační kružnice. Po těchto kružnicích se měří ekliptikální šířka (3, kladně k severnímu pólu ekliptiky, záporně k jižnímu (obdoba deklinace). Druhou souřadnicí je ekliptikální délka X, která se měří od jarního bodu ve směru ročního zdánlivého pohybu Slunce, viz obr. 1.5.
Transformace mezi ekliptikálními a rovníkovými souřadnicemi
Výpočet ekliptikálních souřadnic z rovníkových:
sin A cos (3   =   sin 5 sin e + cos 5 cos e sin a (1-12) cosA cos/3   =   cosácosa (1-13) sin/3   =   siná cose — cos5 sine siná. (1-14)
1.2. SO UŘADNÉ SYSTÉMY V ASTRONOMII
1
Obrázek 1.5: U ekliptikálních souřadnic je základní rovinou rovina ekkliptiky. Poloha bodu se určuje pomocí ekliptikální šířky /3 a ekliptikální délky A. Zdroj: Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
Výpočet rovníkových souřadnic z ekliptikálních:
siná cos 8   =   sin /3 sin e + cos /3 cos e sin A (1-15) cos a cos 8   =   cos/3 cosA (1-16) siná   =   sin /3 cos e + cos /3 sine sin A, (1-17)
kde e je sklon ekliptiky ke světovému rovníku. Pro naše potřeby postačí brát její současnou střední hodnotu e = 23° 27". Díky nutaci zemské osy dochází k její pozvolné kvaziperiodické změně ve zlomcích úhlových minut.
1.2.5   Galaktické souřadnice
Tyto souřadnice jsou vhodné k popisu pohybu hvězd a struktury naší Galaxie.2 Základní rovinou je rovina Galaxie, procházející Mléčnou dráhou. Protože pás Mléčné dráhy má jisté nepravidelnosti a není přesně ohraničený, byla rovina Galaxie stanovena mezinárodní úmluvou, ve které byly přesně určeny souřadnice galaktických pólů. Základním směrem je směr k předpokládanému středu Galaxie ležící v souhvězdí Střelce, kde se nachází výrazný rádiový zdroj SgrA* (a = 17h45,7mm, 8 = — 29° 0')-Galaktické souřadnice jsou galaktická délka l ( měřená od základního směru podobně jako rektascenze, tj proti směru hodinových ručiček) a galaktická šířka b (objekty nacházející se nad rovinou Galaxie mají b > 0, pod rovinou Galaxie b < 0).
2V zahraniční literatuře se místo Galaxie používá název Mléčná dráha pro celou naši Galaxii. My se však budeme držet české tradice a pod pojmem Mléčná dráha budeme rozumět toliko výrazný pás hvězd táhnoucí se přes celou noční oblohu.
8
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
1.3 Horní a dolní kulminace
Jak jsme se již zmínili v kapitole o obzorníkových souřadnicích, hvězda kulminuje, pokud prochází meridiánem. Podle toho, zda je její zenitová vzdálenost největší nebo nejmenší rozlišujeme kulminaci dolní a horní. Při horní kulminaci se může hvězda nacházet na dvou protilehlých stranách zenitu. Pokud má hvězda deklinaci 5 větší než je zeměpisná šířka ip pozorovacího místa, vrcholí mezi zenitem a světovým pólem, viz obr. 1.6a. Její zenitová vzdálenost je pak
zo = 6-<p. (1.18)
Pokud pro hvězdu platí ô < tp, pak vrcholí mezi zenitem a světovým rovníkem, viz obr. 1.6b. a pro její zenitovou vzdálenost platí:
z0 = p-S. (1.19) Při dolní kulminaci, viz obr. 1.6c, je zenitová vzdálenost
Zl = 180° -p-S. (1.20)
Hvězda, která se při dolní kulminaci na dané zeměpisné šířce nedostane pod obzor (nikdy zde nezapadá), patří mezi tzv. cirkumpolární hvězdy, viz obr. 1.6d. Ze vztahu (1.20) je zřejmé, že na zeměpisné šířce ip budou cirkumpolární všechny hvězdy, jejichž deklinace je ô > 90° — ip.
Pomocí zenitových vzdáleností při horní a dolní kulminaci můžeme určit zeměpisnou šířku ip pozorovacího místa:
ip = 90°-±(Zl+ZQ), je-li 6><p (1.21) p>   =   90° -1(Zi-zq),      je-li      6<<p. (1.22)
1.4 Úlohy
1. Rektascenze hvězdy je a = 14h 30mm. Určete její hodinový úhel t v 21h 14mm hvězdného času. [Po dosazení do (1.3) dostaneme: t = 6h 44min.]
2. Hodinový úhel hvězdy je t = 14h 22mm. Rektascenze a = 13h 2mm. Určete hvězdný čas v okamžiku pozorování.
[9 = 3h 24min]
3. Určete hvězdný čas, je-li hodinový úhel hvězdy t = 98° 11' 15", měřeno směrem východním! Rektascenze hvězdy je a = 21h 9min 23s.
[9 = 14h 36min 37, 7S]
4. V kolik hodin hvězdného času byla hvězda s rektascenzí a = 158° 27' 00" v dolní kulminaci? [Hvězda v dolní kulminaci má hodinový úhel t = 12h. Proto 9 = 22h 33min 48s.]
1.4. ÚLOHY
9
(c) (d)
Obrázek 1.6: Na obrázcích je znázorněna horní a dolní kulminace hvězdy: a) v případě že se hvězda při horní kulminaci nachází mezi zenitem a pólem, b) nebo mezi zenitem a nebeským rovníkem. Na obr. c) je znázorněna situace při dolní kulminaci hvězdy a na obr. d) je situace kdy známe zenitové vzdálenosti jedné hvězdy při horní i dolní kulminaci a jak pomocí nich můžeme určit zeměpisnou šířku tp pozorovacího místa.
5. Rektascenze Vegy (aLyr)jea = 18h 37mm. Určete její hodinový úhel v okamžiku horní kulminace jarního bodu.
[Při horní kulminaci se jarní bod nachází na meridiánu, což nastávápro hvězdný čas O = 0h 0mm 0S.
Pak t = 5h 23min. ]
6. Rektascenze hvězdy Arcturus (a Boo) je a = 14h 16mm. Určete její hodinový úhel v okamžiku dolní kulminace jarního bodu.
[t = 21h44min]
7. Hvězda Capella (a Aur) má rektascenzi a = 5h 16mm 41s. Určete její hodinový úhel t v 4h 8mm hvězdného času. Na které světové straně od meridiánu se hvězda nachází?
[t = — lh 8mm 41s. Hodinový úhel vyšel záporný, proto se hvězda nachází na východ od meridiánu.]
10
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
8. Hvězda Sírius (a CMa) má rektascenzi a = 6h 45mm. Určete její hodinový úhel t v okamžiku, kdy hodiny s hvězdným časem ukazují a) 18h 45mm, b) 6h 45mm. Popište, kde a proč se v těchto časech hvězda nachází.
[a) t = 12h, Sírius se nachází v dolní kulminaci, tzn. nad severním bodem , b) t = 0h Sírius se nachází v horní kulminaci, tedy nad jižním bodem.]
9. Rektascenze Capelly (a Aur) je ac = 5h I7min, Vegy (a Lyr) je av = 18h 37min. Určete hodinový úhel Capelly v okamžiku: a) horní kulminace Vegy, b) dolní kulminace Vegy.
[a) Při horní kulminaci Vegy je její hod. úhel ty = 0h 0min 0S, pak 9 = av = 18h 37min a hod. úhel Capelly íc = 13h 20min. b) Při dolní kulminaci Vegy je ív = 12h 0min 0S, pak 9 = 6h 37min a hod. úhel Capelly vychází íc = lh 20min.]
10. Rektascenze hvězdy Arcturus (a Boo) je aA = 14h 16mm, hvězdy Deneb (a Cyg) je ao = 20h 41mm. Určete hodinový úhel Arctura v okamžiku: a) horní kulminace Denebu, b) dolní kulminace Denebu.
[a) íA = 6h 25min, b) íA = 18h 25min.]
11. Určete zenitovou vzdálenost a azimut Arctura (a Boo) pro zeměpisnou šířku ip = 51° 32' 00" ve 13h 34min 54s hvězdného času. Rektascenze Arctura je aA = 14h 15min 39, 7S, deklinace óA = +19° 10' 56, 7".
[Z rovnice (1.3) pro hvězdný čas vypočteme hodinový úhel, t = 23h 19mm 14, 3S a převedeme na stupně t = 349° 48 '34, 5 ". Z převodních vztahů mezi rovníkovými a obzorníkovými souřadnicemi určíme výšku hvězdy h a azimut A. Konkrétně z (1.9) dostáváme h = 56° 40'4, 75", čemuž odpovídá z = 33° 19'55, 25 ".
Z (1.7) dostáváme sin A = — 0, 30409. Protože azimut A může nabývat hodnot od 0° do 360°, není touto rovnicí jeho hodnota určena jednoznačně; potřebujeme určit ještě cos A. Z (1.8) cos A = 0,95257.
Jelikož sin A < 0 a cos A > 0 bude azimut ležet ve čtvrtém kvadrantu a tedy A = 342° 17'47". ]
12. Určete zenitovou vzdálenost a azimut Vegy (a Lyr) pro Opavu se zeměpisnou šířkou ip = 49° 57' 00" ve 13h 34min 54s hvězdného času. Rektascenze Vegy je a = 18h 36min 56, 3S, deklinace S = +38° 47' 1,3".
[t = 284° 29' 25, 5", z = 52° 46' 20", A = 251° 24' 53"]
13. Určete rektascenzi a deklinaci hvězdy, která má v místě se zeměpisnou šířkou ip = 55° 46' v llh llmin 36s hvězdného času obzorníkové souřadnice h = 40° 44'50", A = 298° 28'50".
[Z rovnice (1.6) určíme deklinaci: ó = 19° 39'27".
Hodinový úhel t vypočítáme z rovnice (1.7): t = — 45° 0 '4 ".
Rektascenze se pak rovná a = 9 — t = 14h llmm.]
14. V kolik hodin bude 21. června v Olomouci zenitová vzdálenost Slunce z = 53° 08'? Zeměpisná šířka Olomouce ip = 49° 36', deklinace Slunce 21. června v období letního slunovratu je ô =
+23,5°.
1.4. ÚLOHY
11
[Nejdříve určíme pro požadovanou zenitovou vzdálenost uhlovou výšku Slunce. Z (1.9) vypočteme cos t = 0, 5, čemuž odpovídají dvě hodnoty hodinového úhlu: t = ±60°, neboli t = ±4h.
Slunce se tedy bude nacházet v dané zenitové vzdálenosti, pokud jeho vzdálenost od meridiánu bude rovna ±4h. Protože Slunce se nachází na meridiánu ve 12 hod, nastane tato situace v 8 a 16 hodin místního času.]
15. V místě se zeměpisnou šířkou ip = 46° 29' byla změřena zenitová vzdálenost hvězdy Sirius při horní kulminaci z = 63° 12'. Určete deklinaci Síria.
[S = -16° 43'.]
16. Určete zeměpisnou šířku místa, v němž hvězda Capella je při dolní kulminaci právě na obzoru. Deklinace hvězdy je ô = +45° 59'.
[Zenitová vzdálenost hvězdy při dolní kulminaci je dána relací (1.20). Nachazí-li se hvězda při dolní kulminaci na horizontu, je z\ = 90°, pak ip = 44° 01'.]
17. Určete zeměpisnou šířku místa, v němž hvězda Vega je při dolní kulminaci právě na obzoru. Deklinace hvězdy je ó = +38° 47'.
[p = 51° 13'.]
18. Pro které zeměpisné šířky bude Vega ze souhvězdí Lyry cirkumpolární? Její deklinace je ô = 38° 47'.
[ip > 90° - 6; ip > 51° 13'.]
19. Pro které zeměpisné šířky bude hvězda Sheliak (/3 Lyr) cirkumpolární? Její deklinace je ô = +33° 21' 45". Určete její zenitovou vzdálenost při horní i dolní kulminaci pro místo se zeměpisnou šířkou ip = 70°. Rozhodněte, zda se hvězda při horní kulminaci nachází mezi nebeským rovníkem a zenitem nebo mezi severním nebeským pólem a zenitem.
[Hvězda bude cirkumpolární pro místa s ip > 56° 38' 15". Protože tp > ô, kulminuje hvězda mezi zenitem a rovníkem a její zenitová vzdálenost při horní kulminaci bude zq = 36° 38' 15" a při dolní kulminaci zx = 76° 38' 15".]
20. Cirkumpolární hvězda má v horní kulminaci zenitovou vzdálenost zq = 29° 47v dolní kulminaci z\ = 41° 49obě měřeny k severnímu bodu. Určete zeměpisnou šířku pozorovacího místa.
[Z (1.21) dostáváme <p = 54° 12'.]
21. Hvězda Dubhe (a UMa) má v horní kulminaci zenitovou vzdálenost zq = 11° 48', v dolní kulminaci z\ = 68° 18', obě měřeny k severnímu bodu! Určete zeměpisnou šířku pozorovacího místa.
[ip = 49° 57' (Opava).]
22. Určete zeměpisnou šířku Prahy, jestliže výška kulminujícího Arctura ze souhvězdí Pastýře činí v Praze h = 59° 21'. Arctur má deklinaci 5 = +19° 10' 56, 7".
[Nejdříve určíme zenitovou vzdálenost zq hvězdy v horní kulminaci. Z (1.19) pak dostáváme ip = 49° 49'56, 7".]
12
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
23. V Pardubicích byla změřena výška Capelly ze souhvězdí Vozky při horní kulminaci h\ = 85° 55' na jihu a při dolní kulminaci h<i = 5° 59' na severu. Odvoďte obecný vztah pro určení zeměpisné šířky pozorovacího místa pomocí úhlových výšek při dolní a horní kulminaci. Vypočtěte zeměpisnou šířku Pardubic.
[Pro horní a dolní kulminaci platí:
hx = 90° -(ip-ó), (1.23) h2   =   <p + 5-90°. (1.24)
Po odečtení h<i od h\ obdržíme pro ip vztah:
18QQ _ {hl _ h2)
(p =---= 50 2 .J
24. Pozorovatel v Norském Bergenu změřil výšku hvězdy Algol (/3 Per) ze souhvězdí Persea při horní kulminaci h\ = 70° 34' na jihu a při dolní kulminaci h<i = 11° 21' na severu. Vypočtěte zeměpisnou šířku Bergenu.
[ip = 60° 23,5'.]
25. Jak vysoko se nachází Slunce v poledne v den letního slunovratu pro pozorovatele na rovníku, na obratníku Raka, na severním polárním kruhu a na severním pólu? Situaci pro každý případ načrtněte.
[Deklinace Slunce je v den letního slunovratu rovna ô® = +23° 27'.
Pro pozorovatele na rovníku: zeměpisná šířka rovníku je ip = 0°. Nebeský rovník se tedy nachází v zenitu, viz obr. 1.7a. Slunce je od nebeského rovníku vzdáleno +23° 27' směrem k severnímu bodu S, proto je jeho úhlová výška h = 90° — 23° 27' = 66° 33', ale měřeno od severního bodu!
Pro pozorovatele na obratníku Raka je jeho zeměpisná šířka ip = +23° 27'. Rovník se nachází 66° 33' vysoko nad jižním bodem J a Slunce se tedy v poledne musí nacházet přímo v nadhlavníku (v zenitu), viz obr. 1.7b.
Pro pozorovatele na severním polárním kruhu je jeho zeměpisná šířka ip = +66° 33' a Slunce je v poledne 46° 54' nad jižním bodem a o půlnoci se dotkne horizontu v severním bodě, aniž by zapadlo, viz obr. 1.7c.
Na severním pólu se Slunce nachází po celý den ve výšce 23° 27' nad horizontem, viz obr. 1.7d. ]
26. Vypočtěte hvězdný čas v okamžiku východu a západu hvězdy Prokyon (a CMi), jejíž souřadnice jsou a = 7h 39min 18, ls, S = 5° 13' 30 ", na zeměpisné šířce 50°.
[Při východu a západu je úhlová výška hvězdy h = 0°. Ze vztahu (1.9) určíme cosi, čemuž odpovídají dvě hodnoty hodinového úhlu, t = ±6h 25mm. Kladná hodnota odpovídá západu a záporná východu hvězdy. Východ hvězdy se bude nacházet na opačné straně od meridiánu. Pak s využitím (1.3) dostáváme pro hvězdný čas východu a západu 9V = lh I4mm a 9Z = 14h 4mm.]
1.4. ÚLOHY
13
zenit
Situace na severním polárním kruhu Situace na úvěrním pólu
(c) (d)
Obrázek 1.7: Na obrázcích jsou načrtnuty situace, kde se nachází Slunce v poledne (popřípadě i o půlnoci) v okamžiku letního slunovratu pro různá místa na Zemi: a) na rovníku, b) na obratníku Raka, c) na severním polárním kruhu a d) na severním pólu.
27. V místě se zeměpisnou šířkou ip = 50° je určitá hvězda nad obzorem 16 hodin. Určete deklinaci hvězdy a azimut místa západu.
[Od jihu k západu to hvězdě trvá polovinu doby strávené nad obzorem, tedy 8 hodin a proto hodinový úhel místa západu je t = 120°.
Při západu hvězdy je její úhlová výška h = 0°. Z rovnice (1.9) určíme deklinaci hvězdy: tg ô = 0,419, ó = 22°44/ll"
Protože azimut A může nabývat hodnot od 0° do 360°, musíme pro jeho jednoznačné určení znát sin A i cos A, které určíme z rovnic (1.7) a (1.8): sin A = 0, 798 a cos A = —0,6008. Protože sin A > 0 a cos A < 0, bude azimut ležet ve druhém kvadrantu, tedy A = 126° 55 '41".]
28. Pozorovatel v Českých Budějovicích určil zenitovou vzdálenost světového pólu z = 41° 01'. Vypočtěte a) zeměpisnou šířku ip Českých Budějovic, b) výšku Slunce v horní a dolní kulminaci pro dny: 21. března, 21. června a 21. prosince. Sklon ekliptiky k rovníku je e = 23, 5°.
[a) ip = 90° - z = 48° 59'.
14
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
b) Dne 21. března se Slunce nachází na rovníku, deklinace Slunce tedy je 5 = 0°. Úhlová výška Slunce při horní kulminaci je tedy h\ = 90° — ip = 41° 01' a úhlová výška Slunce při dolní kulminaci h2 = -hx = -41° 01'.
Dne 21. června se Slunce nachází na obratníku Raka, deklinace Slunce tedy je ô = e. Pro úhlovou výšku Slunce při horní kulminaci pak platí: h\ = 90° — p + ô = 64° 31'. Pro dolní kulminaci:
ip + ô - h2 = 90°, odtud h2 = -17° 31'.
Dne 21. prosince se Slunce nachází na obratníku Kozoroha, deklinace Slunce tedy je ô = —e. Pro úhlovou výšku Slunce při horní kulminaci platí: h\ = 90° — p> + 5 = 17° 31'. Pro dolní kulminaci:
ip + ô - h2 = 90°, odtud h2 = -64° 31'.]
29. Pozorovatel ve finských Helsinkách určil zenitovou vzdálenost světového pólu z = 29° 49'. Vypočtěte a) zeměpisnou šířku ip Helsinek, b) úhlovou výšku Slunce v horní a dolní kulminaci pro dny: 21. června a 21. prosince. Sklon ekliptiky k rovníku je e = 23, 5°.
[a) ip = 90° - z = 60° 11'.
b) Dne 21. června: Uhlová výška Slunce při horní kulminaci: h\ = 53° 19', při dolní kulminaci: h2 = -6° 19'.
Dne 21. prosince: Uhlová výška Slunce při horní kulminaci: h\ = 6° 19', při dolní kulminaci: h2 = -53° 19'.]
1.5   Precese, nutace
Polohu tělesa na obloze rozlišujeme na pozorovanou (tu kterou opravdu naměříme) a skutečnou (pozorovanou polohu opravenou o jevy, které mohou skutečnou polohu tělesa na obloze pozměnit). V následujících kapitolách si přiblížíme jevy, které ovlivňují pozorované polohy těles na obloze. Z dlouhodobého hlediska jsou takovým jevem jsou takovými jevy precese a nutace zemské osy, dalšími jevy jsou paralaxa, aberace a atmosférická refrakce.
Precese je z fyzikálního pohledu krouživý pohyb osy rotujícího tělesa po plášti dvojkužele způsobený působením dvojice vnějších sil. Astronomickou precesi objevil již kolem roku 125 př.n.l. Hipparchos, když porovnával polohy nejjasnějších hvězd ve zvířetníku s polohami zaznamenanými astronomy před stoletím. Zjistil, že ekliptikální délky hvězd vesměs vzrostly a poznal, že tento nárůst je způsoben pohybem jarního bodu. Fyzikálně se tento jev podařilo vysvětlit až Newtonovi na základě jeho gravitačního zákona.
1.5.1   Lunisolární precese
Země není dokonalá koule, ale rotační elipsoid, který má v oblasti rovníku přebytky hmoty, na které působí rušivé síly - gravitační síly Měsíce a Slunce - a ty se snaží dostat rovník do oběžné roviny Měsíce a do ekliptiky, viz obr. 1.8a. V důsledku toho vykonává Země precesnípohyb, tzv. lunisolární precesi, při níž zemská osa opíše kužel jednou za tzv. Platónský rok, což je zhruba 25 800 let. Poloviční vrcholový úhel je roven sklonu rovníku vůči ekliptice (e = 23, 5°).
Vlivem precese se mění poloha světového pólu. Dnes je asi 1° od Polárky, za 12 000 let se světový pól posune do blízkosti hvězdy Vegy (a Lyr). S pohybem zemské osy souvisí i změna polohy světového rovníku a tedy i jeho průsečíků s ekliptikou, tj. jarního a podzimního bodu. Ty se posouvají po ekliptice západním směrem, tedy proti zdánlivému ročnímu pohybu Slunce, rychlostí 50, 377"/rok.
1.5. PRECESE, NUTACE
15
1.5.2   Planetární precese
Planetárníprecese je způsobená gravitačním působením planet a mění polohu zemské dráhy. Tím vzniká periodická změna polohy ekliptiky na obloze! Za předpokladu pevného rovníku by planetární precese vedla k posuvu jarního bodu o 0,125"/rok v opačném směru než lunisolární precese.
1.5.3   Generální precese
Souhrne působení lunisolární a planetární precese se nazývá generální precese a posouvá jarní bod o 50, 246"/rok proti zdánlivému pohybu Slunce. Za rok tedy Slunce neopíše plných 360°, ale 359° 59' 9, 754". Proto je tropický rok (doba mezi po sobě následujícími průchody Slunce jarním bodem) o něco kratší než siderický rok (plných 360°).
pól ekliptiky
(a)
Obrázek 1.8: a) Precese zemské osy. Přitažlivé síly Měsíce a Slunce působí dvojicí sil na rovníkovou výduť Země a snaží se dostat rovník do oběžné roviny Měsíce a do ekliptiky. Osa Země vykonává precesní pohyb, při kterém opíše kužel jednou za 25 800 let (tzv. Platónský rok), b) Nutace zemské osy je periodické kolísání zemské osy překládající se přes precesní pohyb. Díky nutaci neopisuje zemská osa hladký povrch kuželu, ale nutace společně s precesí způsobuje „vlnivý" pohyb zemské osy kolem pólu ekliptiky. Zdroj: http.V/planety. astro, cz/zeme/1939-pohyby-zeme.
1.5.4 Nutace
Z astronomického hlediska je nutace malé, téměř periodické kolísání rotační osy Země překládající se přes precesní pohyb. Je vyvoláno gravitačním působením Měsíce. Jeho rovina dráhy není totožná s rovinou ekliptiky, ale skloněná k ní o úhel 5,1°, a proto se neustále mění velikost a směr jeho gravitační síly. Průsečnice těchto dvou rovin, tzv. uzlová přímka, se otáčí s periodou 18, 6 roku. Ve výsledku světový
16
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
pól opisuje kolem střední polohy dané precesí navíc nutační elipsu s velkou poloosou a = 9, 2" a malou b = 6,9", viz obr. 1.8b.
1.5.5 Úlohy
1. Za jak dlouho opíše v důsledku precese světový pól úhel 5°? Jak dlouhý je Platónský rok?
[Každý rok se jarní bod posune o 50, 246". Úhel 5° opíše za 5Q \m„ = 358 roků. Platónský rok je dlouhý 360°/50, 246" = 25 800 roků.]
2. V nynější době je bod letního slunovratu v souhvězdí Blíženců. Kdy byl v tomto souhvězdí jarní bod?
[Vzdálenost jarního bodu od bodu letního slunovratu je přibližně 90°. Jarní bod tuto vzdálenost urazí za 90°/50, 246" = 6448 roků, tzn. přibližně kolem roku 4 500 př. n. 1.]
3. Délka siderického rokuje přibližně 365, 256 dní. Určete délku tropického roku, víte-li, že se jarní bod posouvá po ekliptice v důsledku precese o 50, 246 " za rok vstříc Slunci.
[Tropický rok je doba za kterou se Slunce bude opět nacházet v jarním bodě. Slunce se za 1 den posune o úhel 360°/365, 256 = 3 548". Jarní bod se za rok posune o 50, 246" v opačném směru než se pohybuje Slunce, takže tropický rok bude kratší než siderický o dobu
50,246"
Ar = —-= 0,014 dne. (1.25)
3 548"
Délka tropického roku bude 365, 256 - 0, 014 = 365, 242 dne. ]
4. Regulus, nejjasnější hvězda v souhvězdí Lva, byla kdysi jednou ze 4 královských hvězd, které rozdělovaly rok na 4 roční období. Regulus označoval bod letního slunovratu. Před jakou dobou to bylo, když v současnosti bod letního slunovratu leží v souhvězdí Blíženců a má ekliptikami souřadnice: A = 90°, (3 = 0°. Souřadnice Regula jsou a = 10h 8min, ó = +11° 58'.
[Pomocí převodních vztahů mezi ekliptikálními a rovníkovými souřadnicemi určíme rovníkové souřadnice bodu, ve kterém se Slunce nachází v okamžiku letního slunovratu: a = 90° = 6h, ô = +23° 30'. Nyní můžeme určit úhlovou vzdálenost Regula a bodu letního slunovratu ze vztahu (1.11). Po číselném vyjádření je A = 59, 74°. Jarní bod se za 1 rok posune o 50, 246". Regulus označoval bod letního slunovratu před přibližně 4 300 lety.]
5. Souhvězdí Raka bylo kdysi nej severnějším souhvězdím zvířetníku. Nacházelo se v něm Slunce v okamžiku letního slunovratu. Proto se také nejsevernější rovnoběžka na Zemi, kde je Slunce jednou do roka v nadhlavníku (zenitu) nazývá obratník Raka. Kdy tomu tak bylo? Souřadnice bodu v souhvězdí Raka, v němž se Slunce nacházelo v okamžiku letního slunovratu, jsou a = 8h 7mm, ô = +20° 14'. V současnosti má bod letního slunovratu souřadnice: a = 90° = 6h, ô = +23° 30'.
[Úhlová vzdálenost obou bodů A = 30°. Jarní bod se o tuto vzdálenost posune za přibližně 2 150 let.]
6. V souhvězdí Panny dnes leží bod podzimní rovnodennosti. Odhadněte, bez použití kalkulátoru, kdy se v tomto souhvězdí nacházel bod letního slunovratu, který se dnes nachází v souhvězdí Blíženců.
1.6. PARALAXA
17
Obrázek 1.9: Vzdálenost nedostupného bodu H můžeme určit pomocí měření dvou úhlů a a (3 ze dvou míst Pi a P2. Spojnice těchto dvou bodů tvoří základnu trojúhelníku Pi, P2, H, pomocí něhož můžeme určit paralaxu tt bodu H. Paralaxa je tedy největší úhel, pod kterým je vidět základnu o délce d.
[Bod podzimní rovnodennosti je od bodu letního slunovratu vzdálen o 90°, tedy o čtvrtinu doby, kterou potřebuje jarní bod k vykonání celého oběhu (o čtvrtinu Platónského roku), což je 6 450 let.]
1.6 Paralaxa
Určování vzdáleností ve vesmíru (ať už blízkém či vzdáleném) patří k důležitým úkolům astronomie. Znalost skutečných vzdáleností nám umožnila udělat si správnou představu nejen o velikosti Slunce a celé sluneční soustavy, ale ze známých vzdáleností hvězd jsme schopni určit velikost i strukturu celé Galaxie a z proměřování vzdáleností ostatních galaxií odhalit další velkoškálové struktury ve vesmíru.
V této kapitole se budeme zabývat metodou měření vzdáleností vhodnou spíše pro blízké objekty. Při této metodě, převzaté z pozemské triangulace, měříme úhel tt, v astronomi nazývaný paralaxa, o který se nebeské těleso H na obloze posune, budeme-li jej pozorovat ze dvou rozdílných míst Pi a P2 vzdálených od sebe o vzdálenost d, viz obr. 1.9. Změna zdánlivé polohy tělesa na obloze vůči vzdáleným hvězdám souvisí se změnou polohy pozorovatele. Ta může být způsobena buď rotací Země, pak se této paralaxe říká denní, nebo oběhem Země kolem Slunce, tzv. roční paralaxa, nebo pohybem celé sluneční soustavy, tzv. sekulární paralaxa.
1.6.1   Denní paralaxa
Zavádí se jen u těles ve sluneční soustavě, u hvězd je nulová, a je definována jako úhel, pod kterým bychom z nebeského tělesa viděli vzdálenost od středu Země k pozorovacímu místu na povrchu Země.
18
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
Obrázek 1.10: Denní paralaxa
Pokud se pozorované těleso nachází v zenitu, je jeho denní paralaxa nulová, pokud se nachází na obzoru, je jeho denní paralaxa maximální a nazývá se horizontální paralaxa, viz obr. 1.10.
1.6.2   Rovníková paralaxa
Průměr Země se pro různé geografické šířky liší, největší je na rovníku. Denní paralaxa měřená z rovníku se nazývá rovníková paralaxa a je definována jako úhel, pod kterým by z pozorovaného tělesa byl vidět rovníkový poloměr Země. Rovníková horizontální paralaxa Slunce p& je úhel, pod kterým bychom viděli rovníkový poloměr Země ve vzdálenosti 1 au, kolmo k zornému paprsku, a činí p& = 8, 79". Zkratka au označuje astronomickou jednotku (astronomical unit), která je vhodná k vyjádření vzdáleností zejména ve sluneční soustavě; 1 au odpovídá střední vzdálenosti Země od Slunce.3 Obdobně existuje rovníková horizontální paralaxa Měsíce. Její hodnota činí pm = 57' 2, 5". Obecně je rovníková paralaxa p dána vztahem
p = —,       [rad] (1.26) r
nebo v obloukových vteřinách
Rv
p = 206 264,8—,       ["] (1.27) r
kde r je vzdálenost tělesa od Země [km] a Rz je rovníkový poloměr Země [km], Rz = 6 378 km.
1.6.3   Roční paralaxa
Rovníková paralaxa je měřitelná jen u těles v naší sluneční soustavě. Už u druhé nejbližší hvězdy (po Slunci) je rovníková paralaxa neměřitelná. Proto při určování paralax hvězd musíme použít základnu větší než jen rovníkový poloměr Země. K tomuto účelu se využívá oběhu Země kolem Slunce a za
3V roce 2012 byla na Valném shromáždění Mezinárodní astronomické unie (IAU) v Pekingu přijata rezoluce stanovující přesnou hodnotu astronomické jednotky: lau = 149 597 870 700 m.
1.6. PARALAXA
19
Proxima Centauri
Obrázek 1.11: Roční paralaxa
základnu se bere v podstatě hlavní poloosa dráhy Země kolem Slunce, (přesněji úsečka o velikosti 1 au). Díky oběhu Země kolem Slunce každá hvězda na obloze zdánlivě opisuje malou paralakční elipsu, jejíž hlavní poloosa odpovídá právě roční paralaxe hvězdy. U hvězd ležících blízko pólu ekliptiky získává elipsa tvar kružnice, u hvězd ležících v rovině ekliptiky přechází elipsa v úsečku. Roční paralaxa tt je definována jako úhel, pod nímž bychom z dané hvězdy viděli úsečku o velikosti 1 au, viz obr. 1.11. S jejím zavedením souvisí i definice parseku. Parsek (1 pc = 3, 0857 • 1013 km) je definovaný jako vzdálenost, ze které bychom viděli poloměr zemské dráhy (1 au) pod úhlem 1 obloukové vteřiny.
Mezi vzdáleností r udávanou v parsecích a paralaxou tt udávanou v obloukových vteřinách platí následující vztah:
7T=-. (1.28)
r
Nachází-li se hvězda ve vzdálenosti 10 pc, bude její paralaxa 0,1". S rostoucí vzdáleností hvězd jejich paralaxa klesá a protože i našemu Slunci nejbližší hvězda, Proxima Centauri, se nachází ve vzdálenosti větší než 1 pc, je paralaxa u všech hvězd menší než 1".
V současné době se hodnoty paralax a vzdáleností blízkých hvězd uvádí v katalogu HIPPARCOS (High Precision Parallax Collecting Satellite), který byl sestaven s pomocí dat naměřených družicí Hipparcos mezi lety 1989 - 1993.4
V tabulce 1.1 jsou uvedeny paralaxy a odpovídající vzdálenosti hvězd nejbližších našemu Slunci. V tabulce 1.2 jsou tyto hodnoty uvedeny pro 6 nejjasnějších hvězd na noční obloze.
4Tato družice byla pojmenována po slavném starořeckém astronomovi Hipparchovi, který žil ve 2. st. př.n.l. a sestavil první astronomický katalog hvězd, který po něm používal i Ptolemaios, či Edmond Halley.
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE Tabulka 1.1: Tabulka paralax a vzdáleností hvězd nejbližších našemu Slunci.
Hvězda	ozn. v HIPPARCOS	vr n	r [pc]
a Centauri C (Proxima)	HIP 70 890	0,7723	1,295
a Centauri B	HIP71 681	0,7421	1,348
a Centauri A (Toliman)	HIP 71 683	0,7421	1,348
Barnardova Šipka	HIP 87 937	0,5490	1,821
Wolf 359		0,4183	2,391
HD 95735	HIP 54 035	0,3924	2,548
Sirius B (a CMa B)		0,3792	2,637
Sirius A (a CMa A)		0,3792	2,637
V 1216 Sgr	HIP 92 403	0,3365	2,972
Tabulka 1.2: Tabulka paralax a vzdáleností pro šest nejjasnějších hvězd na naší noční obloze.
Hvězda	ozn. v HIPPARCOS	7T["]	r [pc]
Sirius (a CMa)	HIP 32 349	0,3792	2,63
Canopus (a Car)	HIP 30 438	0,0104	95,87
Arcturus (a Boo)	HIP 69 673	0,0889	11,25
a Centauri C (Proxima)	HIP 70 890	0,7723	1,29
Vega (a Lyr)	HIP 91 262	0,1289	7,76
Capella (a Aur)	HIP 24 608	0,0773	12,87
6.4 Úlohy
1. Určete rovníkovou paralaxu Slunce.
[pQ = 206 264,8"^ = 8,8".]
2. Určete rovníkovou paralaxu Měsíce. Střední vzdálenost Měsíce od Země je r = 384 400 km. [pM = 57'2".]
3. Určete rovníkovou paralaxu Slunce pro pozorovatele na Měsíci. Průměr Měsíce je 0, 27 Rz- Vzdálenost Země - Měsíc zanedbejte.
[pQ =2,38".]
4. Určete rovníkovou paralaxu Marsu, nachází-li se tato planeta nejblíže Zemi ve vzdálenosti r = 0,378 au.
[p = 23,3"]
5. V opozici je vzdálenost Jupitera od Země r = 6, 28 • 108 km a jeho úhlový průměr je 47, 2 ". Určtete rovníkovou paralaxu Jupitera a jeho skutečný průměr.
[p = 2,2", D = 1,44 • 105km]
1.7. ABERACE
21
6. Rovníková paralaxa Neptuna je 0, 29 ". Určete jeho vzdálenost od Země. [r = 30 au].
7. Rovníková paralaxa Měsíce je 57'2, 7" a jeho úhlový poloměr je 15'32,6". Vypočtěte vzdálenost r Měsíce od Země a poloměr Rm Měsíce v jednotkách Země.
[r = 60, 3 Rz, Rm = 0, 272 Rz]
8. Pod jakým úhlem bychom viděli poloměr: a) zemské dráhy; b) dráhy Pluta z hvězdy Proxima Centauri, jejíž roční paralaxa tt = 0, 76 "? Poloměr dráhy Pluta je 39 au.
[a)0,76",b) 29,6"]
9. Jaká je roční paralaxa Síria, který je ve vzdálenosti 8, 671y od Slunce? Pro jednotku délky světelný rok platí: 1 ly = 9,46 • 1015 m = 0, 3065 pc.
[tt = 0,376"]
10. Roční paralaxa Barnardovy šipky je tt = 0, 545 ". Určete její vzdálenost od Slunce v parsecích a ve světelných rocích.
[r = l,83pc = 5,971y]
11. Pod jakým úhlem bychom viděli poloměr Jupiterovy dráhy R = 5, 2 au z hvězdy, která je ve vzdálenosti 10 pc?
[0,52"]
12. Dvojhvězda Sirius má roční paralaxu 0, 376 ". Její složky jsou na obloze vzdáleny 7, 6 ". Vypočítejte jejich skutečnou vzdálenost v astronomických jednotkách za předpokladu, že jejich spojnice jsou kolmé k zornému paprsku.
[d = 20 au]
1.7 Aberace
Aberace je odchýlení světelného paprsku od původního směru podmíněné konečnou rychlostí světla a pohybem pozorovatele. Díky aberaci jsou všechny hvězdy na obloze posunuty ve směru pohybu Země. Okamžitý směr, kam se Země pohybuje, se nazývá APEX. Společně se Zemí se pohybují i dalekohledy na jejím povrchu, proto, abychom viděli hvězdu ve středu zorného pole dalekohledu, musíme dalekohled sklonit ve směru pohybu Země o úhel a, viz obr. 1.12a. Rozlišujeme čtyři druhy aberace:
1.7.1   Denní aberace
Denní aberace vzniká rotací Země kolem své osy. Země se otáčí od západu na východ a díky tomu se vlivem denní aberace zdají být všechny hvězdy při kulminaci posunuty od meridiánu na východ, takže hvězda zdánlivě kulminuje později než ve skutečnosti. Denní aberaci určíme ze vztahu
tg a = — cos íp,
(1.29)
22
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
dráha Země
(a) (b)
Obrázek 1.12: a) Aberace: S pohybem Země je unášen i každý přístroj na povrchu Země (např. dalekohled). Abychom měli hvězdu v zorném poli, musíme odklonit dalekohled ve směru apexu o úhel a. b) Roční aberace: Vzniká pohybem Země kolem Slunce. Díky ní opisují hvězdy na obloze elipsu kolem středního místa.
kde vn = 465 m s je rychlost rotace Země na rovníku sup je zeměpisná šířka pozorovacího místa. Denní aberace je maximální na rovníku, kde dosahuje hodnoty     = 0, 32".
1.7.2   Roční aberace
Roční aberace vzniká pohybem Země kolem Slunce. Rychlost Země na dráze kolem Slunce je v = 30kms_1.
Roční aberaci určíme z obr. 1.12a.
,         d vtt
tga = - = —. (1.30)
x ct
Využitím vt = v sin Q obdržíme:
v
tga = — sinB, (1-31)
c
1.7. ABERACE
23
kde v = 30 km s a úhel 0 je vzdálenost hvězdy od apexu. Maximální roční aberaci a = 20,47" budou jevit hvězdy vzdálené od apexu 90°. Tato hodnota se nazývá aberační konstanta.
Hvězdy na obloze vlivem roční aberace opisují obecně malé elipsy, viz obr. 1.12b, s velkou poloosou rovnou vždy v/ca. malou rovnou (v/c) sin 0. Pro hvězdy na pólu ekliptiky (0 = 90°) se elipsy změní na kružnice, naopak pro hvězdy ležící na ekliptice se elipsa změní v úsečku dlouhou 2v/c.
1.7.3 Planetární aberace
Planetární aberace je úhel, o který se posune planeta, než od ní dorazí světlo k nám.
1.7.4 Sekulární aberace
Sekulární aberace je způsobena pohybem Sluneční soustavy v Galaxii. Tato aberace se v běžných příkladech nezapočítává.
1.7.5 Úlohy
1. Jak velká je denní aberace pro pozorovatele na zemském rovníku? Kolikrát je roční aberace větší než denní?
[Rychlost Země na dráze kolem Slunce je 30kms_1. Ze vztahu tg a = | určíme největší roční aberaci aT = 21". K určení denní aberace potřebujeme znát rychlost rotace Země na rovníku, ta je = 465 m s-1. Denní aberace poté vychází = 0, 32". Roční aberace je přibližně 65 krát větší než denní.]
2. Vypočtěte rychlost světla, víte-li, že maximální roční aberace je a = 20,47" a rychlost Země na dráze kolem Slunce v = 29, 77kms_1.
[c =      = 299 975, 73 km s"1.]
L        tg a ' J
3. Jak velká by byla roční aberace pro pozorovatele na Venuši? Vzdálenost Venuše od Slunce r = 0, 723 au, oběžná doba P = 0, 615 roku.
[Uvažujme dráhu Venuše jako kruhovou, pak rychlost oběhu Venuše je v = 35,134 kms-1. Roční aberace pak vychází a = 24".]
4. Jak velká by byla denní a roční aberace pro pozorovatele na rovníku Jupitera? Poloměr Jupitera R = 71400 km, doba rotace kolem osy T = 9h 50mm, vzdálenost Jupitera od Slunce r = 778 • 106 km, oběžná doba P = 4 333 dní.
[a) denní aberace:
Rychlost rotace Jupitera je v =       = 12, 672 km s-1 a denní aberace je a = 8, 7". b) roční aberace:
Rychlost planety při oběhu kolem Slunce za předpokladu kruhové dráhy je v = = 13, 057 km s~ Roční aberace je a = 9".]
24 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
<0>
(a) (b)
Obrázek 1.13: a) Lom světla, b) Vznik refrakce: Paprsek dopadající na rozhraní dvou různých prostředí pod určitým úhlem se na rozhraní těchto dvou prostředí láme. V případě atmosférické refrakce si můžeme atmosféru rozdělit na pomyslné vrstvy se stále větší hustotou směrem k zemskému povrchu. Paprsek pak přichází z opticky řidšího do opticky hustšího prostředí a láme se ke kolmici. Pozorovateli se pak zdá, že se hvězda nachází na obloze výše, než ve skutečnosti je.
1.8 Refrakce
Atmosférická refrakce je odchylka světelného paprsku způsobená lomem světla procházejícího zemskou atmosférou. Paprsek přicházející z hvězdy prochází mnoha vrstvami atmosféry než dopadne na zemský povrch. Na každém rozhraní prochází paprsek z prostředí opticky řidšího do prostředí opticky hustšího a dochází tak k lomu ke kolmici. Výsledně pak paprsek na povrch dopadá pod jiným úhlem než do atmosféry vstupuje a pozorovateli se hvězda jeví výše nad obzorem než by odpovídalo její skutečné poloze, viz obr. 1.13b.
Rozdíl mezi skutečnou zenitovou vzdáleností zq a pozorovanou zenitovou vzdáleností z je úhel refrakce R, pro nějž platí:
zq-z = R. (1.32) Pro lom světla na rozhraní dvou prostředí platí (obr. 1.13a):
ri\ sin oji = ri2 sin a^. (1.33)
Rozdělíme-li zjednodušeně atmosféru na k planparalelních vrstev (obr. 1.13b), pak pro jednotlivá rozhraní můžeme psát:
1.8. REFRAKCE
25
uq sm otQ = n\ sm ct\ n\ sin a\ = ri2 sin a.2 ri2 sin Q!2   =   n% sin 03
rik-i sin Qík-i   =   riksinok = n sin a. (1-34) Po dosazení za tlq = 1 a dále z rovnice (1.32) obdržíme:
sin(i? + z) = n sin z (1.35)
Po rozepsání:
sin R cos z + sin z cos R = n sin z. (1.36)
Protože úhel R je obecně velmi malý a tudíž cosi? 1, sin i? R, pro velikost refrakce i? hvězdy s pozorovanou zenitovou vzdáleností z přibližně píšeme:
(n-l)tgz. (1.37)
Tento vztah platí uspokojivě pro zenitové vzdálenosti z < 70°.
Pro z > 70° platí přesnější relace, zohledňující závislost indexu lomu na teplotě a tlaku:
R=—^--      0,00452°tgz, (1.38)
273+ í B
kde p je tlak v hPa, t je teplota ve °C a R vychází v obloukových vteřinách. U obzoru je refrakce kolem 35'.
Refrakce proto ovlivňuje i východy a západy těles. Pokud bychom refrakci neuvažovali, měla by nebeská tělesa při svém východu nebo západu úhlovou výšku h = 0°. Ve skutečnosti je však tato výška h = —0° 35'. Refrakce totiž zdánlivě zvyšuje výšku tělesa nad obzorem, proto v okamžiku jeho východu nebo západu je toto těleso ještě nebo už zhruba 35 pod obzorem. Dosazením do rovnic (1.6) a (1.9) obdržíme relace pro azimut A a hodinový úhel t v okamžiku skutečného východu a západu tělesa:
„ siná
cos A = tg(-0o35')tg(f--, (1.39)
cos ip
sin(-0°35')
cosí = —^-/ - tg </>tg <5. (1.40)
cos ip cos o
Pro Slunce a Měsíc se jako okamžik východu a západu bere okamžik, kdy se jejich horní okraj dotkne obzoru. Protože úhlový poloměr obou těles je přibližně 16', je skutečná výška středu těchto těles —35' — 16' = —51'. Azimut A a hodinový úhel t východu nebo západu Slunce či Měsíce určíme ze vztahu:
„ siná
cosA = tg(-0°5l')tg</>--, (1.41)
cos ip
sin(-0°5ľ)
cosí = —--/-tg(/5tg<5. (1.42)
COS if cos o
1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
8.1 Úlohy
1. Výška hvězdy nad obzorem byla změřena při tlaku p = 986, 6 hPa a teplotě t = —10°C. Naměřená výška nad obzorem je h = 25° 15' 00". Jaká je skutečná výška hvězdy?
[Zenitová vzdálenost hvězdy je z = 64° 45'. Skutečná zenitová vzdálenost zq = R + z = 64° 47' 10". Úhlová výška hvězdy je h = 25° 12' 50".]
2. Změřená zenitová vzdálenost hvězdy /3 UMi byla při horní kulminaci z\ = 24° 2' 8", při dolní kulminaci Z2 = 53° 51'51". Obě měřeny k severu! Barometrický tlak v okamžiku pozorování byl 1 000 hPa, teplota vzduchu t = +20°C. Určete zeměpisnou šířku místa a deklinaci hvězdy s ohledem na refrakci.
[Pro horní kulminaci nejdříve určíme R\ = 24, 7". Skutečná zenitová vzdálenost hvězdy při horní kulminaci je pak z01 = R1 + Zl = 24° 2' 32, 7".
Analogicky vypočítáme refrakci pro hvězdu při dolní kulminaci: R2 = 1' 16". Skutečná zenitová vzdálenost hvězdy při dolní kulminaci je pak Z02 = R2 + ^2 = 53° 53' 7".
Pro horní a dolní kulminaci platí pro zenitové vzdálenosti hvězd vztahy:
z02   =   180° -S-tp Sečtením obou rovnic získáme výsledný vztah pro ip
90o_£01+£02 =51o2,1(),,
^ 2 Deklinace bude S = z01 + <p = 74° 59' 1". ]
3. Zenitová vzdálenost horního okraje Slunce z = 64° 55' 33" byla změřena při tlaku 1 013, 3hPa a teplotě t = 0°C. Zdánlivý poloměr Slunce je 15' 15". Určete skutečnou zenitovou vzdálenost středu Slunce.
[Skutečná zenitová vzdálenost horního okraje slunečního disku:
zokT = R + z = 2' 9" + 64° 55' 33" = 64° 57' 42". Zenitová vzdálenost středu slunečního disku:
zstT = zokT + 15' 15" = 65° 12' 57". ]
4. Rovníkové souřadnice hvězdy tt Scorpii jsou a = 15h 57mm, deklinace ô = —26° 00'. Vypočtěte hvězdný čas v okamžiku východu a západu této hvězdy na zeměpisné šířce ip = 48° a) bez opravy na refrakci, b) s opravou na refrakci. O kolik se vlivem refrakce prodlouží doba, po kterou je hvězda nad obzorem?
[a) Pokud refrakci zanedbáváme, nachází se hvězda při svém východu nebo západu přímo na horizontu a její úhlová výskaje tedy h = 0°.
Ze vztahu (1.9) vypočítáme hodinový úhel západu hvězdy tz = 57° 12'8" = 3h 48min 48, 5S a východu hvězdy ív = 20h llmin 11, 5S.
Hvězdný čas v okamžiku západu hvězdy bude 0Z = tz + a = 19h46mm, v okamžiku východu hvězdy 9V = ív + a = 12h 8min.
1.8. REFRAKCE
27
b) Pokud uvažujeme refrakci, nachází se hvězda při svém východu nebo západu ještě pod horizontem. Její skutečná úhlová výskaje h = —0° 35'. Dosazením do rovnice (1.40) obdržíme hodinový úhel západu hvězdy tz = 58° 21' 12" = 3h 53min 25s, východu ív = 20h 6min 35s.
Hvězdný čas v okamžiku západu hvězdy 0Z = tz + a = 19h 50mm, v okamžiku východu hvězdy 9V =tv + a = 12h4min.
S přihlédnutím na refrakci hvězda vychází přibližně o 4 minuty dřív a zapadá přibližně o 4 minuty později. Doba, po kterou je hvězda nad obzorem, se tak vlivem refrakce prodlouží zhruba o 8 minut.]
5. Vypočtěte délku dne pro datum 1. ledna na zeměpisné šířce ip = 50° a) bez opravy na refrakci, b) s opravou na refrakci. Deklinace Slunce v tento den je ô® = —23° &. O kolik se prodlouží délka dne započítaním refrakce?
[a) Bez opravy na refrakci:
Po dosazení do (1.9) obdržíme tz = 60° ľ 7" = 4h0min4,5s a ív = 19h 59min 55, 5S. Doba strávená nad obzorem: 2t = 8h 0mm 9S.
b) S opravou na refrakci:
Hodinový úhel určíme z rovnice (1.42). Po číselném dosazení: t = 61° 9' 15" = 4h 4min 37s. Doba strávená nad obzorem: 2t = 8h 9mm 14s. Den se prodlouží o 9mm 5S.]
6. Vypočtěte délku dne a azimut východu a západu Slunce s opravou na refrakci pro dny 1. ledna (5q = —23° 6') a 21. června (<50 = +23° 30') pro místo se zeměpisnou šířkou ip = 50°.
[Pro den 1. ledna:
a) Délka dne opravená o refrakci vyšla v minulém příkladě 2t = 8h 9mm 14s.
b) Azimut východu a západu opravený o refrakci určíme z rovnice (1.41). Po číselném dosazení vyjde azimut západu Az = 53° 35' 43" a azimut východu Av = 306° 22' 17".
Pro den 21. června:
a) Délka dne opravená o refrakci: 2t = 16h 23mm.
b) Azimut východu a západu opravený o refrakci: Az = 129° 38' 30" a Av = 230° 21' 30".]
2
Sluneční soustava
2.1   Mechanika Sluneční soustavy
Sluneční soustava je jednou z částí naší Galaxie. Slunce obíhá kolem centra Galaxie ve vzdálenosti 25 000 — 28 0001y a jeden oběh vykoná za 226 miliónů let. Samotné Slunce tvoří více než 99,866% hmotnosti celé sluneční soustavy. Svou hmotností tedy značně převyšuje ostatní objekty sluneční soustavy a jeho gravitace ovlivňuje celou sluneční soustavu. Zbylých 0,133% připadá na planety a jiná tělesa. Naše sluneční soustava je tvořena 8 planetami, několika trpasličími planetkami, desítkami měsíců a satelitů, milióny asteroidů a Trans-Neptunických těles a miliardami komet a meteoroidů. Hranice mezi jednotlivými typy těles nejsou zcela zřetelné. Neustálé objevování stále nových objektů sluneční soustavy vedlo k tomu, že v roce 2006 Mezinárodní Astronomická Unie (IAU) definovala tři kategorie těles: planety, trpasličí planetky a malá tělesa sluneční soustavy.
2.1.1 Planety
K zařazení tělesa do kategorie planet musí splňovat tři podmínky: a) musí obíhat okolo Slunce, b) musí mít dostatečnou hmotnost na to, aby dosáhlo přibližně kulového tvaru (tvar odpovídající hydrostatické rovnováze), c) musí vyčistit okolí své dráhy. Od roku 2006 má naše sluneční soustava jen 8 planet. První čtyři: Merkur, Venuše, Země, Mars se nazývají terestrické planety, mají pevný povrch a velmi podobné rozměry, od 5 000 km do 12 000 km a hustotu (4 000 — 5 000) kg m-3. Další planety: Jupiter, Saturn, Uran a Neptun se nazývají plynnými obry. Jejich hustota je (1 000 - 2 000) kg m~3 a rozměry jsou o řád větší než u terestrických planet.
2.1.2 Trpasličí planetky
Pluto se od roku 2006 řadí mezi nový druh vesmírných těles, tzv. trpasličí planetky. Pro zařazení tělesa do skupiny trpasličích planetek musí těleso splňovat 4 podmínky: 1) musí obíhat kolem Slunce, 2) musí mít dostatečnou hmotnost na to aby dosáhlo přibližně kulového tvaru (tvar odpovídající hydrostatické rovnováze), 3) nevyčistilo okolí své dráhy a 4) není měsícem (satelitem). Tuto novou skupinu společně s Plutem tvoří i Ceres, Eris, Haumea a Makemake.
29
30
2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
2.1.3   Malá tělesa sluneční soustavy
Další skupinou objektů tvoří malá tělesa sluneční soustavy, které zahrnují malá zrnka mezihvězdného prachu (s typickými rozměry ~ 0,1 /xm), meteorická tělesa pocházející z komet a planetek a mající nepravidelný tvar a rozměry od /tm až po km, planetky, malé satelity (měsíce) a kometami jádra s typickými rozměry kolem 10 km. K 22.červnu 2014 je počet katalogizovaných planetek 399 306 (Zdroj: http://astronomia.zcu.cz/planety/planetky/1815-seznam-planetek). Největší počet se jich nachází v pásu mezi Marsem a Jupiterem, v tzv. hlavním pásu planetek. Ten sahá do vzdálenosti od 2 au do 4 au Patří k nim například: Palaš, Juno, Vesta, Ida, Mathylde. Jen několik procent z nich se nachází za drahou Neptunu, ve vzdálenostech 30 — 50 au, tvořící tzv. Kuiperův pás. Označují se jako transneptunická tělesa (TNO). Odhaduje se, že takovýchto těles o průměru větším než 100 km se zde nachází více než 70 000.
Satelit je těleso obíhající primární těleso tak, že centrum hmotnosti (barycentrum) leží pod povrchem primárního tělesa. Pokud barycentrum leží vně primárního tělesa, mluvíme o binárním systému. Např. v systému Země-Měsíc leží barycentrum pod povrchem Země, proto Měsíc tvoří satelit Země. V systému Pluto-Charon leží barycentrum nad povrchem Pluta, proto o této dvojici mluvíme jako o binárním systému.
2.2   Keplerovy zákony
Na základě přesných pozorování planety Mars, která provedl Tycho Brahe v 16. století, se podařilo německému astronomovi Johannu Keplerovi vyslovit 3 zákony, kterými se řídí pohyb planet okolo Slunce.
2.2.1   I. Keplerův zákon - zákon drah
Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách (málo odlišných od kružnic), v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.
První zákon popisuje tvar drah planet, viz obr. 2.1. Jedná se o elipsy s malou výstředností (excentricitou) e, která je definována jako poměr vzdálenosti e ohniska od středu elipsy a hlavní poloosy a. Tato excentricita se nazývá numerická:
e = - (2.1)
a
Vzdálenost e se ozančuje jako lineární excentricita a dá se vyjádřit vztahem
£ = Va2 - b2, (2.2)
kde a, b jsou velká a malá poloosa elipsy. Velikost e určuje tvar dráhy takto:
e = 0 pro kružnici
0 < e < 1 pro elipsu
e = 1 pro parabolu
e > 1 pro hyperbolu
2.2. KEPLEROVY ZÁKONY
31
Obrázek 2.1: Elipsa je charakterizována velkou poloosou a a malou poloosou b. Vzdálenost libovolného ohniska F\, F2 od středu elipsy O se nazývá lineární excentricita e. Pokud se v ohnisku F\ nachází Slunce, pak bod P se nazývá perihéliem (přísluním) a bod A aféliem (odsluním) dráhy.
2.2.2   II. Keplerův zákon - zákon ploch
Plochy opsané průvodičem planety za jednotku času jsou stejné.
Průvodič r je úsečka spojující planetu se Sluncem. Protože plocha opsaná průvodičem za 1 s je plošná rychlost, může mít II. Keplerův zákon i toto znění: Plošná rychlost planety je konstantní. II. Keplerův zákon je znázorněn na obr. 2.2 vybarvenými plochami, které jsou vždy stejné pro tentýž časový úsek. Postupná rychlost planety je největší v perihéliu P a nejmenší v aféliu A. Spojnice perihelu a afelu se nazývá přímka apsid. Vzdálenost planety v přísluní je
rp = a — e = a(l — e) (2.3)
a v odsluní
ra = a + e = a(l + e). (2.4)
2.2.3   III. Keplerův zákon
Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je úměrný poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií.
Označme si oběžnou dobu Země T\ a velkou poloosu její dráhy a\, pro libovolnou planetu označíme odpovídající veličiny T2, 02- Pak podle III. Keplerova zákona platí:
$ = i (2-5>
Přesné znění III. Keplerova zákona bylo nalezeno až po objevení Newtonova gravitačního zákona a je ve tvaru:
a\ _ Tl M& + mi
32
2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
4
6
2
Obrázek 2.2: II. Keplerův zákon: Plocha opsaná průvodičem planety mezi body 1 a 2 je stejná jako mezi body 3 a 4 nebo 5 a 6 za stejný čas.
kde Mq je hmotnost Slunce a m\, m2 jsou hmotnosti planet. Protože i nej větší planeta naší sluneční soustavy, Jupiter, má pouhou tisícinu hmotnosti Slunce, můžeme v tomto vztahu hmotnosti planet zanedbat. Zcela obecně platí rovnice:
1. Určete v jakém poměru je největší rychlost planety Merkur (v perihéliu) k nejmenší rychlosti (v aféliu). Excentricita dráhy Merkura e = 0,2.
[Vzdálenost Merkura v aféliu je ra = a + e = a(l + e), v perihéliu rp = a — e = a(l — e). Protože v perihéliu i aféliu je rychlost planety kolmá na průvodič, můžeme použít zákon zachování momentu hybnosti ve tvaru:
a\ _ Tl Mi + mi
(2.7)
kde cii, Ti, Mi, m\ se vztahují na jednu dvojici těles a a2, T2, M2, m2 na druhou.
2.2.4 Úlohy
ram va = rpm vp
(2.8)
odtud
v,
V:
'p
'a
1+e 1 - e
1,5]
(2.9)
2. Najděte poměr postupných rychlostí planet Země a Venuše za předpokladu, že obě planety obíhají kolem Slunce po kruhových drahách s poloměry r\ = 150 • 106 km a r2 = 108 • 106 km.
2.2. KEPLEROVY ZÁKONY
33
[Z III. Keplerova zákona po dosazení za T = ^p1 obdržíme
7^ = 0,85]
V n
(2.10)
3. Brooksova kometa se pohybuje po eliptické dráze s excentricitou e = 0, 5. Srovnejte její lineární a uhlovou rychlost v perihéliu a aféliu.
[V perihéliu je rp = a(l — e) = 0, 5 a, v aféliu je ra = a(l + e) = 1, 5 a. Ze zákona zachovaní momentu hybnosti obdržíme ^ = ^ = 3. Pro poměr uhlových rychlostí: ^ = f1^")  = 9.]
4. Halleyova kometa se pohybuje po eliptické dráze, jejíž excentricita je e = 0, 967. Srovnejte její lineární a uhlovou rychlost v perihéliu a aféliu.
[Poměr lineární rychlosti v perihéliu a aféliu: ^ =        = 59, 6, poměr uhlových rychlostí:
5. Postupná rychlost komety Honda-Mrkos-Pajdušáková je v eféliu 10 krát menší než v perihéliu. Jaká je excentricita její dráhy?
6. Planetka Hermes se pohybuje kolem Slunce po dráze s velkou poloosou a = 1, 29 au a excentricitou e = 0,475. Určete: a) její oběžnou dobu, b) nejmenší vzdálenost od Slunce, c) největší vzdálenost od Slunce, d) délku malé poloosy.
[a) T = 1,46 roku, b) rp = 0,68 au, c) ra = 1,90 au, d) malou poloosu určíme ze vztahu a2 = 62+e2,kdee = e a je tzv. lineárni excentricita. Po číselném dosazení obdržíme b = 1,14 au.]
7. Trpasličí planeta Eris se pohybuje kolem Slunce po dráze s velkou poloosou a = 67, 6 au a excentricitou e = 0,44. Určete: a) její oběžnou dobu, b)nejmenší vzdálenost od Slunce, c) největší vzdálenost od Slunce.
[a) T = 555, 8 roku, b) rp = 37, 8 au, c) ra = 97, 3 au]
8. Dokažte, že rychlost tělesa pohybujícího se po elipse, je v bodě, jenž je průsečíkem vedlejší poloosy elipsy a trajektorie tělesa, rovna geometrickému průměru nejmenší a největší rychlosti na dráze.
[Označme va a ra rychlost tělesa v aféliu a jeho vzdálenost od ohniska, vp a rp rychlost tělesa v perihéliu a vzdálenost perihélia od ohniska, v rychlost tělesa v průsečíku vedlejší poloosy s elipsou, jak je vidět na obr. 2.3.
Ze zákona zachování momentu hybnosti dostaneme
[e = 0,82]
rp x mvp
ra x mv;
'a
0 0
r x mv
r x mv
(2.11)
(2.12)
34
2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
Obrázek 2.3: Znázornění vektoru postupné rychlosti v závislosti na poloze tělesa na dráze. Pro absolutní hodnoty:
|r*p x mup|   =   m|rp||u~p| sin90° = mrp vp (2.13)
\r\ x mv^l   =   mlr^H^I sin 90° = mraua (2.14)
|r x mv\   =   m\r\\v\siná = mvb, (2.15)
kde r sin a = b.
Připomeňme, že vektor rychlosti v průsečíku vedlejší poloosy s elipsou není kolmý na průvodič tělesa! Rovnice navzájem vynásobíme a podělíme druhou mocninou hmotnosti:
rpvpra_vlí = v2b2. (2.16)
Po dosazení za rp, ra a využitím rovnosti b2 = a2(l — e2) obdržíme
V = Vwp va.-\ (2-17)
9. Velká poloosa Maršový dráhy je a = 227, 8 • 10 km, excentricita e = 0, 0934. Vypočtěte vzdálenost Marsu od Země při opozici, je-li Mars: a) v perihéliu, b) v eféliu. Dráhu Země považujte za kruhovou, s poloměrem r = 149, 6 • 106km. Sklon Maršový dráhy zanedbejte.
[Z obr. 2.4 lze snadno vyčíst že pro Mars v opozici platí v případě za a) d = a—e—r = 57,0-106km a za b) d = a + e — r = 99, 6 • 106km.]
10. Jak dlouho by padal Měsíc na Zemi, kdyby se jeho pohyb náhle zastavil? Oběžná doba Měsíce je 27,3 dne.
2.2. KEPLEROVY ZÁKONY
35
(a) (b)
Obrázek 2.4: Schematické znázornění pro případ, kdy je Mars M v opozici (pro pozorovatele na Zemi se nachází na opačné straně než Slunce) a nachází se zároveň: a) v perihéliu své dráhy, b) v aféliu své dráhy. Dráha Země Z je považována za kruhovou.
[Uvažujme, že by se dráha Měsíce po jeho zastavení proměnila ve velmi protáhlou elipsu, s velkou poloosou rovnou polovině vzdálenosti Země-Měsíc, a = |. Apogeum dráhy Měsíce by se nacházelo v bodě, v němž se pohyb Měsíce zastavil, perigeum by bylo totožné se Zemí. Oběžnou dobu T jeho nové dráhy pak vypočítáme z III. Keplerova zákona,
rn2 rp2
ró aó
kde To je původní oběžná doba Měsíce, r je vzdálenost Země-Měsíc. Odtud
ÍŤ2 ÍT
T = Vf = ToV8- (2-19)
Měsíc při svém pádu na Zemi vykoná jen polovinu oběhu, proto doba, ze kterou dopadne na Zemi je rovna polovině oběžné doby, tedy t = ^. Po číselném dosazení: t = 4, 8 dne.]
11. Jak dlouho by padala Země na Slunce, kdyby se náhle zastavila na své dráze? [64,5 dne]
12. Pomocí přesného znění III. Keplerova zákona vypočtěte hmotnost planety Jupiter v jednotkách hmotnosti Slunce. Hmotnost Země zanedbejte. Oběžná doba Jupitera je T\ = 4 332, 6 dne, oběžná doba Země T2 = 365, 26 dne, velká poloosa Jupiterovy dráhy a\ = 5, 2028 au.
[Z přesného znění III. Keplerova zákona rce.(2.6) vyjádříme m\ ( přičemž hmotnost Země rri2 zanedbáváme)
a\T2 - a32T?
™i =   1 23fr22 ľM&. (2.20)
36
2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
Po číselném dosazení vyjde mi = 0, 00096 M0 = M0.]
13. Měsíc Charon obíhá kolem Pluta ve vzdálenosti ach = 19 640 km s oběžnou dobou Tch = 6, 39 dne. Poloměr Pluta je Rp = 1150 km, poloměr Charonu Rch = 600 km. Za zjednodušujícího předpokladu, že obě tělesa mají stejnou hustotu, určete jejich hmotnosti.
[Z III. Keplerova zákona
T2 4tt2
±Ch =_w_ (2 21)
a3 h     K(MP + MCh)'
určíme celkovou hmotnost soustavy Pluto - Charon
MP+ MCh = 1,47-1022kg. (2.22)
Za předpokladu, že jejich hustoty jsou stejné, dostaneme pro poměr jejich hmotností vztah -j^- = (tP^)3 = ^' 04- Když známe jejich celkovou hmotnost, snadno dopočítáme Mp = 1, 287 • 1022 kg
aMCh = 1,828 • 1021kg.]
14. O kolik by se prodloužila oběžná doba Jupitera, kdyby byla jeho hmotnost zanedbatelně malá? Hmotnost Jupitera je j^Mq, oběžná doba je 4 332, 6 dní.
[Vyjdeme z přesného znění III. Keplerova zákona. Označíme-li skutečnou oběžnou dobu Jupitera T\, novou oběžnou dobu při zanedbatelné hmotnosti Jupitera jako T2, pak za předpokladu, že se velká poloosa jeho dráhy nezmění, dostaneme:
T-2 M0 + m
Po dosazení za m = j^M& dostaneme pro oběžnou dobu T2
1 = -. (2.23)
To M0
T2 = Ti y 1 +        = 1, 000477 Ti. (2.24) Prodloužení oběžné doby T2-Tx = 0, 000477Ti = 2, 07 dne.]
15. Vypočtěte hmotnost Marsu v jednotkách hmotnosti Země z pohybu Maršová měsíce Deimose, který obíhá kolem Marsu ve vzdálenosti r\ = 23, 5 • 103 km a má oběžnou dobu T\ = 1, 262 dne. Odpovídající hodnoty pro Měsíc jsou r2 = 384,4 • 103 km, T2 = 27, 32 dne. Hmotnost obou měsíců zanedbejte.
[Z obecného tvaru III. Keplerova zákona (2.7):
a
l     Tl Mi + mi
(2.25)
a3     T2 M2 + m2
kde index " 1" se vztahuje na dvojici Mars - Deimos, index "2" na dvojici Země - Měsíc. Po číselním dosazení: Mi = 0,107M2. ]
16. Šestý Jupiterův měsíc má oběžnou dobu 251 dní, jeho vzdálenost od středu Jupitera je 11,5 • 106 km. Vypočtěte hmotnost Jupitera v jednotkách hmotnosti Země, je-li vzdálenost Země - Měsíc 384 400 km a oběžná doba Měsíce 27,3 dne. Hmotnosti obou měsíců zanedbejte.
[Mj = 317MZ.]
2.3. ASPEKTY PLANET
37
opozice
Obrázek 2.5: Aspekty planet.
2.3   Aspekty planet
Existují některé významné polohy planet vůči Slunci a Zemi, tzv. aspekty planet. Patří mezi ně konjunkce, opozice, elongace a kvadratura.
2.3.1 Konjunkce
Konjunkce nastává, mají-li dvě tělesa stejnou rektascenzi nebo délku. U vnitřních planet rozlišujeme dolní konjunkci a horní konjunkci. Dolní konjunkce nastává, nachází-li se planeta mezi Sluncem a Zemí, což je možné jen u planet vnitřních! Horní konjunkce nastává, je-li Slunce mezi Zemí a planetou. U vnějších planet nastává pouze konjunkce horní. Je-li planeta v konjunkci se Sluncem, vychází a zapadá zároveň se Sluncem a je tudíž na obloze nepozorovatelná! Existuje však jeden případ, kdy může být planeta při dolní konjunkci pozorovatelná a tím je přechod vnitřní planety přes sluneční kotouč, pak je planeta pozorovatelná jako černý bod na slunečním disku.
2.3.2 Opozice
Opozice je opakem konjunkce a nastává, mají-li dvě tělesa rektascenzi nebo délku odlišnou o 180°. Opozice nastává jen u vnějších planet, planeta se nachází na opačné straně než Slunce, vychází když Slunce zapadá a je tedy pozorovatelná celou noc. V době blízko opozice bývají nebeská tělesa nejlépe pozorovatelná.
2.3.3 Elongace
Elongace je úhlová vzdálenost vnitřních planet od Slunce. Při východní elongaci se planeta nachází na východ od Slunce, zapadá po západu Slunce a svítí večer nad západním obzorem jako Večernice. Při západní elongaci se planeta nachází na západ od Slunce, je vidět již před východem Slunce nad
38
2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
C
C
A
b)
Obrázek 2.6: a) Zdánlivý pohyb Marsu na pozadí hvězdné oblohy během jeho opozice v roce 1995. b) Vzájemné polohy Země a Marsu při opozici. Mars se při pohledu z pohybující Zěme promítá do různých částí oblohy. Zdroj: H. Karttunen, P. Kroger, H. Oja, M. Poutanen, K. J. Donner: Fundamental Astronomy.
východním obzorem jako Jitřenka. Velikost elongace závisí jak na vzdálenosti Země od Slunce, tak i na vzdálenostech Slunce - planeta a Země - planeta. U planety Merkur dosahuje maximální elongace až 28°. Největší elongace nastává u Venuše a dosahuje až 47°.
2.3.4 Kvadratura
Kvadratura nastává jen u vnějších planet, pokud je úhel planeta - Země - Slunce roven 90°.
2.3.5 Zdánlivé pohyby planet
Zdánlivé pohyby planet jsou docela komplikované, díky tomu že v sobě odráží i pohyb Země okolo Slunce. Planety se "normálně" pohybují okolo Slunce v přímém směru (na pozadí vzdálených hvězd směrem na východ), proti chodu hodinových ručiček při pohledu ze severní polokoule. V blízkosti opozice planety se její pohyb pomalu zmírňuje, v určité době před opozicí se pohyb "zastaví" a změní se ve zpětný (retrográdní) pohyb, na obr. 2.6 jemu odpovídá úsek mezi body A a C. Po opozici se zpětný pohyb opět zmírňuje a po opětovné zastávce se změní na pohyb přímý. Planeta na obloze, na pozadí vzdálených hvězd, opíše smyčku, jak je vidět na obr. 2.6a.
2.3.6 Úlohy
1. Vzdálenost Merkura od Slunce je 0, 387 au. Vypočtěte jaká je jeho maximální elongace. Dráhu Merkura pokládejte za kruhovou.
2.4. SIDERICKÁ A SYNODICKÁ OBĚŽNÁ DOBA
39
[siná = 2^Z; a = 22° 46'.]
2. Nej větší elongace Venuše je 46, 5°. Určete poloměr dráhy Venuše, [r = 0, 725 au.]
3. Určete jaká je největší úhlová vzdálenost Měsíce od Země pro pozorovatele na Marsu v okamžiku, kdy je Mars ve střední opozici. Vzdálenost Marsu od Slunce je 1, 52 au, vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. [a = 17']
4. Vypočtěte vzdálenost d Jupitera od Marsu v okamžiku, kdy je Jupiter v opozici a Mars v kvadratuře. Vzdálenost Marsu od Slunce je 1, 5 au, vzdálenost Jupitera od Slunce je 5, 2 au.
[d = 4, 35 au]
2.4   Siderická a synodická oběžná doba
Siderická obezná doba T je doba, kterou planeta potřebuje k tomu, aby se po jednom oběhu dostala do výchozího bodu na své dráze (vůči vzdáleným hvězdám), tj. doba za kterou planeta opíše 360°. Naproti tomu synodická obezná doba S je doba nutná k tomu, aby se planeta dostala opět do konjunkce se Sluncem, je to tedy oběžná doba, jak se nám jeví ze Země. Protože Země obíhá kolem Slunce, je zřejmé že doba synodického oběhu nebude totožná s dobou siderického oběhu.
Označíme-li siderickou oběžnou dobu Země Tz = 365 dní, pak za 1 den opíše Země úhel ^fr--Vnitřní planeta se siderickou oběžnou dobou Tp opíše za 1 den úhel Za 1 den vzroste rozdíl průvodičů obou planet o
360° 360°
(2.26)
Doba za kterou tento rozdíl vzroste na 360° se nazývá synodická obezná doba. Platí pro ni:
360° {      -      ) S = 360°. (2.27)
1	1
	
1	1
š ~	%'
1	1
š ~	
(2.28)
(2.29)
Pro vnitřní planety platí: Pro vnější planety platí:
2.4.1 Úlohy
1. O kolik stupňů za den Země předbíhá Mars na dráze kolem Slunce? Oběžná doba Země je Tz = 365 dní, Marsu TM = 687 dní.
[Země se zajeden den posune o       = 0, 986°, Mars o       = 0, 524°. Země tedy předbíhá Mars
o 0,986° - 0,524° = 0,462°. ]
40
2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
2. O kolik stupňů za den Mars předbíhá planetu Jupiter na dráze kolem Slunce? Oběžná doba Marsu je TM = 687 dní, Jupiteru Tj = 4 332, 6 dne.
[Mars předbíhá Jupiter o 0° 26' 28".]
3. Vypočtěte synodickou oběžnou dobu Marsu, je-li jeho siderická oběžná doba T = 687 dní. [S = 779 dní]
4. Vypočtěte synodickou oběžnou dobu planety Jupiter, je-li její siderická oběžná doba T = 11, 86 dní.
[S = 398 dní]
5. Vypočtěte střední denní pohyb Merkura po jeho dráze kolem Slunce, je-li jeho jeho synodická oběžná doba S = 116 dní.
[Siderická oběžná doba Merkura je T = 88 dní. Zajeden den opíše Merkur úhel n = =4,1°.]
6. Jaká musí být oběžná doba planetky, aby se její siderická oběžná doba právě rovnala oběžné době synodické?
[S = T = 2 roky]
7. Určete siderickou oběžnou dobu vnější hypotetické planety a hlavní poloosu její trajektorie v au, víte-li, že její siderická oběžná doba je 30—ti násobkem její synodické oběžné doby. Poblíž které dráhy skutečné planety by obíhala okolo Slunce?
[Synodická oběžná doba bude S = §j7~z = 377 dní, siderická T = 11 315 dní. Hlavní poloosa její trajektorie vyjde z III. Keplerova zákona a = 9, 8 au. Hypotetická planeta by se dělila o oběžnou dráhu s planetou Saturn (as = 9, 58 au).]
8. Jaká by byla synodická oběžná doba Saturna pro pozorovatele na Jupiteru? Siderická oběžná doba Jupitera Tj = 11, 86 roku, siderická oběžná doba Saturna Tg = 29,46 roku.
[S=19, 85 roku.]
9. Víte-li, že délka siderického roku, za který Země opíše úhel 360° kolem Slunce, je 365, 25636 středních slunečních dní, a že se perihélium zemské dráhy posune každý rok o 0, 0033° ve směru pohybu Země, vypočtěte délku anomalistického roku (tj. délku mezi dvěma průchody Země perihéliem). Určete za jak dlouho opíše přímka apsid úhel 360°.
[Přímka apsid opíše úhel 360° za 109 091 roků. Anomalistický rok trvá 365, 25971 dne.]
10. Jaká by byla synodická oběžná doba planetky, jež má siderickou oběžnou dobu T = 370 dní. Jaká by byla vzdálenost planetky od Země při opozici? Dráhy pokládejte za kruhové, oběžná doba Země je 365 dní.
[S = 74 roků. Poloměr dráhy planetky činí a = 1, 01 au. Vzdálenost planetky od Země při opozici je 1,363 • 106 km. ]
2.5. ELEMENTY DRÁHY PLANETY A ANOMÁLIE
41
Obrázek 2.7: Elementy dráhy planety. Zdroj: Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
11. Pozorovatel zjistil, že určitá planetka je v opozici každých 665 dní. Jaká je její vzdálenost od Slunce?
[Synodická oběžná doba planetky je tedy S = 665 dní, siderická oběžná doba nám vyjde T = 809, 08 dne. Z III. Keplerova zákona vyjde vzdálenost od Slunce a = 1, 7 au.]
2.5   Elementy dráhy planety a anomálie
Nebeská mechanika má dva velmi praktické úkoly: z pozorování určit dráhové elementy a ze známých elementu předpovídat polohy nebeských těles. Pro výpočet dráhových elementů potřebujeme přinejmenším tři pozorování. V praxi se však používá více. Určení dráhových elementů je tím přesnější, čím více pozorování máme k dispozici a čím větší úsek orbity tato měření pokrývají.
2.5.1   Elementy dráhy planety
Dráha planety v prostoru je popsána množinou šesti veličin, které se nazývají elementy dráhy planety.
Hlavní poloosa dráhy a je vzdálenost perihelia (popř. afélia) od středu elipsy. Udává se v astronomických jednotkách [au].
Numerická excentricita e je poměr lineární excentricity e k hlavní poloose.
Velká poloosa a excentricita určují velikost a tvar dráhy planety.
Sklon dráhy i je úhel, který svírá oběžná rovina planety s rovinou ekliptiky. Měří se ve směru od roviny ekliptiky k rovině dráhy planety. Udává se ve stupních [°] a může nabývat hodnot od 0° do 180°.
42
2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
Obrázek 2.8: Grafické znázornění pojmů pravá anomálie v, excentrická anomálie E a střední anomálie M.
Je-li i > 90°, pak se těleso pohybuje zpětným (retrográdním) směrem, tj. ve směru zdánlivého denního pohybu oblohy. Tento případ je možný je u komet.
Délka výstupného uzlu $1 je úhlová vzdálenost jarního bodu Y od výstupného uzlu, v němž vystupuje dráha tělesa nad rovinu ekliptiky. Udává se také ve stupních [°] a měří se přímým směrem. Spojnice výstupného a sestupného uzlu se nazývá uzlová přímka.
Sklon dráhy a délka výstupného uzlu určují polohu roviny dráhy v prostoru.
Argument šířky periélia lo je úhel, který svírá uzlová přímka (spojnice výstupného a sestupného uzlu) s přímkou apsid (spojnicí perihelia a afélia).
Argument šířky perihelia určuje orientaci dráhy v její rovině a udává se ve stupních [°].
Okamžik průchodu periéliem r je čas uplynulý od okamžiku průchodu planety perihéliem. Určuje polohu tělesa na dráze.
2.5.2 Anomálie Pravá anomálie
K nalezení polohy planety na její dráze v daném čase potřebujeme znát závislost polohového vektoru r na čase. Jako proměnná v rovnici popisující orbitu se používá úhel, tzv. pravá anomálie v, který svírá průvodič planety r s přímkou apsid (velkou poloosou), v = <PSB.
Pomocí pravé anomálie můžeme vyjádřit vzdálenost planety od Slunce takto:
2.5. ELEMENTY DRÁHY PLANETY A ANOMÁLIE
43
Z II. Keplerova zákona vyplývá, že pravá anomálie nemůže růst konstantní rychlostí. Excentrická anomálie
Pro zjednodušení rovnic, popisujících pohyb po elipse, se často namísto pravé anomálie používá tzv. excentrická anomálie E. Uvažujme kružnici, jejíž střed O je totožný se středem elipsy a její poloměr je rovný velké poloose, jak je vidět na obr. 2.8. Kolmice spuštěná z bodu B na velkou poloosu protne kružnici v bodě B'. Uhel, který svírá spojnice bodu B' a středu O elipsy s přímkou apsid se nazývá excentrická anomálie E.
Mezi pravou a excentrickou anomálií platí vztah:
v        l+e E
lg2 = V— *T <"'>
Vzdálenost planety od Slunce se dá pak vyjádřit takto:
r = a(l - ecosE). (2.32)
Střední anomálie
Dalším problémem je jak pro daný okamžik určit El Uvažujme hypotetickou planetu, která by se kolem Slunce pohybovala po kružnici o poloměru rovném velké poloose a perihéliem P by procházela současně se skutečnou planetou. Označíme-li okamžik průchodu hypotetické planety perihéliem jako r, pak v čase (t — t), což je počet dní uplynulých od průchodu perihéliem, se bude nacházet v bodě B". Spojnice středu O a bodu B" svírá s přímkou apsid úhel M = <POB", který se nazývá střední anomálie M a lze ji vyjádřit vztahem:
M = —(í-r). (2.33)
Pokud vyjádříme oběžnou dobu T planety ve dnech, pak       = n je střední denní pohyb planety.
Střední anomálie roste konstantí rychlostí s časem. Říká nám, kde by se planeta nacházela, kdyby se pohybovala po kružnici o poloměru rovném a.
2.5.3   Keplerova rovnice
Pomocí II. Keplerova zákona lze najít mezi střední anomálií M, excentrickou anomálií E a numerickou excentricitou e vztah, který se nazývá Keplerova rovnice
M = E - e sin S. (2.34)
Je-li excentricita dráhy malá, můžeme excentrickou anomálii E vypočítat metodou postupných aproximací. Jako první hodnotu vezmeme Eq = m a další ze vztahu
Ex   =   M + esinEfl, E2   =   M + e sin E3   =   M + esmE2,
(2.35)
44
2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
Obrázek 2.9: Nomogram pro řešení Keplerovy rovnice. Zdroj: Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
kde výraz e sin E musíme převést z radiánu na stupně. Tento postup opakujeme tak dlouho, až se hodnoty En a En-i od sebe neliší více než je požadovaná přesnost.
Pro větší excentricitu hledáme předběžnou hodnotu pomocí nomogramu, viz. obr.2.9. Na stupnici pro e vyhledáme excentricitu dráhy planety a spojíme s přímkou s 0° na stupnici pro střední anomálii M. Na stupnici pro M si vyznačíme příslušnou střední anomálii a tou vedeme rovnoběžku s první přímkou. Průsečík rovnoběžky s křivkou pro E nám určí výslednou hodnotu excentrické anomálie E.
2.5.4 Úlohy
1. Vypočtěte metodou postupných aproximací excentrickou anomálii planetky po uplynutí 22, 5 dne od průchodu perihéliem. Excentricita dráhy planetky e = 0, 02947, střední denní pohyb n =
14,678'.
[Vypočteme nejdřív střední anomálii:
M = n ■ t = 14, 678' • 22, 5 = 330, 255' = 5, 5042°. (2.36)
První hodnotu dostaneme jako
E0 = M = 5, 5042°.
(2.37)
2.5. ELEMENTY DRÁHY PLANETY A ANOMÁLIE
45
Další hodnotu E\ excentrické anomálie dostaneme dosazením Eq do rovnice
Ex = M + e sin E0
(2.38)
kde výraz e sin £ľo musíme převést z radiánu na stupně, tj. vynásobíme jej hodnotou = 57, 296. Po číselném dosazení:
Ex = M + e sin E0 = 5, 6662° = 5°40'. (2.39)
Následující hodnoty E2, E%, ...
E2 = M + esin£i = 5, 5042° + 0,166711° = 5,670911° = 5°40'l5, 28".
E3 = M + esin£2 = 5, 5042° + 0,166849° = 5,671049° = 5°40'l5, 78". £4 = M + esin£3 = 5, 5042° + 0,166853° = 5,671053° = 5°40'l5,79". Eb = M + esinB4 = 5, 5042° + 0,166853° = 5,671053° = 5°40'l5, 79".
Poslední dvě hodnoty se již od sebe neliší, excentrická anomálie je tedy E = 5°40 15, 79". ]
2. Jaká je střední a excentrická anomálie Merkura za 22 dní po průchodu perihéliem? Excentricita Merkurovy dráhy je e = 0, 21, oběžná doba T = 88 dní.
[M = 360°£ = 90°, E = 101, 7°.]
3. Určete střední a excentrickou anomálii Pluta za 100 let po průchodu perihéliem. Oběžná doba Pluta je T = 90 700 dní, excentricita jeho dráhy e = 0, 25.
[M = 145°, E = 151,8°.]
4. Kometa se pohybuje po eliptické dráze s excentricitou e = 0, 66. Oběžná doba komety je T = 3 roky. Určete excentrickou a pravou anomálii za rok po průchodu perihéliem.
[Střední anomálie: M = 360°^ = 120°'.
Protože excentricita komety je celkem velká, použijeme k určení excentrické anomálie E nomogram. Z něj odečteme E = 143°. Pro pravou anomálii platí:
Po číselném dosazení obdržíme | = 81,4° a tedy v = 163°.]
5. Kometa se pohybuje po eliptické dráze, jejíž velká poloosa a = 4 au, excentricita e = 0, 66. Určete excentrickou a pravou anomálii rok po průchodu perihéliem a její vzdálenost od Slunce.
[Z III. Keplerova zákona určíme oběžnou dobu komety na T = 8 roků.
Střední anomálie M = 45°. Excentrickou anomálii opět určíme z nomogramu E = 83° a s pomocí jí a excentricity e vypočítáme pravou anomálii:
(2.40)
=>
v = 126°.
(2.41)
2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA
Vzdálenost komety od Slunce:
r = a(l - ecosE) = 3, 7au]. (2.42)
3
Gravitace
3.1   Newtonovy zákony
Keplerovy zákony byly prvním krokem k fyzikálnímu popisu pohybu planet. Ale až gravitačním zákonem Newton dospěl k obecnému popisu vzájemného působení hmotných těles. Celá klasická mechanika, včetně nebeské mechaniky, je založena na principech Newtonovy mechaniky. Zde jen pro úplnost stručně shrneme nej důležitější poznatky.
3.1.1 I. Newtonův zákon
/. Newtonův zákon - zákon setrvačnosti: Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit. Označme hybnost tělesa p = my, pak platí
f = 0. (3.1)
3.1.2 II. Newtonův zákon
//. Newtonův zákon - zákon síly: Změna hybnosti tělesa je úměrná síle působící na těleso.
F = | (3.2)
dí
3.1.3   III. Newtonův zákon
Newtonův zákon - zákon akce a reakce: V uzavřeném systému těles každá akce vyvolá stejně velkou reakci opačného směru.
3.2   Centrální síla
Oběh planety kolem Slunce a všechny podobné křivočaré pohyby vyžadují, aby podle zákona setrvačnosti na těleso působila nějaká síla. Pokud můžeme v přiblížení popsat takový pohyb jako vzájemné působení
47
48
3. GRAVITACE
dvou těles, pak si můžeme představit, že na hmotný bod působí síla, která trvale působí ve směru k jistému bodu. Při pohybu po kružnici je tímto bodem střed kružnice a takto definovaná síla se nazývá centrální (dostředivá). Dostředivá síla působící na těleso o hmotnosti m pohybující se okamžitou rychlostí v na dráze o poloměru r vyvolá dostředivé zrychlení ad, které je rovno:
ad =--r0,
r
kde ro je jednotkový vektor mířící od centra k tělesu. Dostředivá síla Fd je pak dána:
Fd = maj = — m—ro-
r
(3.3)
(3.4)
3.3   Newtonův gravitační zákon
Hmotné body o hmotnostech mi, ni2 působí na sebe silou, která je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti r:
F = G
17111712
(3.5)
kde gravitační konstanta G = 6,672 • 10~n m3s_2kg_1. Tento vztah platí i pro sféricky symetrická tělesa, jejichž rozměry nejsou zanedbatelně malé vzhledem ke vzdálenostem. Taková tělesa se chovají tak, jakoby veškerá hmota byla soustředěna v jejich středech.
Gravitační sílaje vždy přitažlivá. Nechť vektor r udává polohu tělesa 2 vůči tělesu 1. Gravitační síla, kterou působí těleso 1 na těleso 2 je pak charakterizována vektorem
171x1712
-5—ro,
(3.6)
kde ro = r/r je jednotkový vektor ve směru r. Vektor F leží na spojnici středů obou těles a je orientován od tělesa 2 k tělesu 1. Podle zákona akce a reakce ovšem i těleso 2 působí na těleso 1 stejně velkou silou opačného směru.
V dalším je výhodné zavést pojem gravitační pole, které ve svém okolí těleso vytváří a jehož prostřednictvím na ostatní tělesa gravitačně působí.
3.4   Intenzita gravitačního pole
Intenzita gravitačního pole je určena podílem gravitační síly, která působí na těleso o hmotnosti m v místě pozorování a hmotnosti tohoto tělesa:
F
E = —. (3.7)
171
Intenzita gravitačního pole odpovídá síle, která v daném místě působí na těleso jednotkové hmotnosti. Je-li gravitační pole tvořeno tělesem1 o hmotnosti M, pak
E = -G^r0. (3.8)
'V dalším budeme mít na mysli výhradně sféricky symetrická tělesa.
3.5. POTENCIÁLNÍ ENERGIE
49
Intenzita gravitačního pole je totožná s gravitačním zrychlením, které pole v daném místě uděluje všem tělesům bez ohledu na jejich hmotnost.
3.5   Potenciální energie
Potenciální energie tělesa o hmotnosti m, umístěného v gravitačním poli vygenerovaném tělesem o hmotnosti M, je
Wp = -Ä (3.9)
r
Potenciální energie odpovídá záporně vzaté práci, kterou je potřeba vykonat, abychom dostali těleso hmotnosti m mimo gravitační působení tělesa M. Jelikož gravitační síla klesá s 2. mocninou vzdálenosti obou těles, nulové působení dostáváme až pro r —> oo. Zde proto leží hladina nulové potenciální energie, zatímco uvnitř pole je potenciální energie záporná.
3.6   Gravitační potenciál
Gravitační potenciál V je roven podílu potenciální energie tělesa o hmotnosti m a hmotnosti tohoto tělesa:
Wr, M
V = ^ = -G-. (3.10)
m r
3.7   Tíhové zrychlení
Tíhové zrychlení je zrychlení volně padajícího tělesa ve vakuu, určené k zvolenému místu na povrchu planety. Průměrná hodnota tíhového zrychlení na Zemi je
gz = 9, 806 65 ms"2. (3.11)
3.7.1 Úlohy
1. Vypočtěte gravitační konstantu G v soustavě jednotek SI, je-li hustota Země pz = 5 500 kg m~3, poloměr Země Rz = 6 378km a gravitační zrychlení na povrchu Země g = 9,81ms~2.
[Ze vztahu pro gravitační zrychlení g = ^M2- obdržíme po dosazení: G = 6, 672-10~n m3s_2kg-1.]
Hz
2. Vypočtěte gravitační zrychlení na povrchu Marsu, je-li jeho poloměr R = 3 400 km a hmotnost M = 6,46 • 1023 kg.
[g = 3,73ms-2]
3. Vypočtěte rychlost, s jakou se musí pohybovat umělá družice Země, aby obíhala po kruhové dráze těsně nad povrchem Země, tzv. 1. kosmická rychlost, někdy též "kruhová". Určete oběžnou dobu této družice, je-li Rz = 6, 38 • 106 m a g = 9, 81 ms .
50
3. GRAVITACE
[Při pohybu umělé družice kolem Země po kruhové dráze o poloměru i? je její dostředivé zrychlení
ad =     Toto zrychlení musí být rovno gravitačnímu zrychlení na povrchu Země a proto platí:
v2 G Mi
aA = Ä = 9 = ~Ř2~" ( }
Pro první kosmickou rychlost pak platí:
ví = \/9R = y —^— • (3-13)
Číselně je v = 7, 91 km s-1. Oběžnou dobu určíme ze vztahu: 2ttR = vT. Tedy
T =        = 1 h 24, 5 min.] (3.14)
4. Kolikrát jel. kosmická rychlost na Zemi větší než na Měsíci? Hmotnost Země je 81 krát větší než hmotnost Měsíce, poloměr Země je 3, 75 krát větší než poloměr Měsíce.
[ä =4,65]
Vím
5. Vypočtěte jakou počáteční rychlost musíme udělit raketě, aby se vzdálila z povrchu Země do nekonečna? (2. kosmická rychlost.)
[Nachází-li se raketa o hmotnosti m na povrchu Země, pak je její potenciální energie
WP = -G^p. 0.1»
Její kinetická energie je
Wk = ^mv2. (3.16)
V nekonečnu bude její potenciální i kinetická energie rovna nule. Proto ze zákona zachování energie musí být i na počátku jejího pohybu součet obou energií roven nule. Odtud
2GMZ
vn = y—^ = y/2gŘ. (3.17)
Druhá kosmická rychlost je tedy y/2 krát větší než první kosmická rychlost. Po číselném dosazení vu = ll,2kms_1. Protože raketa odlétá (teoreticky) po parabolické trajektorii, nazývá se tato rychlost někdy "parabolická".]
6. V jaké výšce musí obíhat umělá družice Země aby byla stále nad stejným místem rovníku? [Vyjdeme z III. Keplerova zákona:
T2 4tt2
{Rz + hf GMz
(3.18)
3.7. TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ
51
Odtud obdržíme:
h = 3/^zT2 _ Rz. (3.19)
Po číselném dosazení h = 36 000 km.]
7. V jaké vzdálenosti od povrchu Marsu musí být jeho družice, aby obíhala kolem něho se stejnou oběžnou dobou, s jakou se Mars otáčí kolem své osy? Hmotnost Marsu je M = 6,46 • 1023 kg, doba jedné otočky T = 24 hod 37 min a poloměr Marsu R = 3 400 km.
[h = 17,06- 106m]
8. Odvoďte vztah pro III. kosmickou rychlost a vyjádřete její hodnotu číselně.
[III. kosmická rychlost, vm, je rychlost, kterou musíme udělit družici na povrchu Země, aby opustila trvale sluneční soustavu (vliv planet neuvažujeme). Pro její zavedení je třeba nejprve vypočítat kruhovou a parabolickou rychlost při pohybu kolem Slunce ve vzdálenosti Země od Slunce.
Kruhová rychlost je průměrná rychlost Země (její hmotnost vůči hmotnosti Slunce zanedbáme)
při oběhu kolem Slunce, tj. ve vzdálenosti d = 149,6 • 106km. (Hmotnost Slunce je M0
1,9891 • 1030kg). Parabolická rychlost
GMq
vk = y—= 29 784 m s"1. (3.20) Vp = = 42121ms"1. (3.21)
Při vypouštění rakety je výhodné využít samotnou rychlost Země, proto budeme raketu vypouštět ve směru rychlosti Země. Tím pádem jí není nutno udílet rychlost 42 121 ms_1, ale pouze (42 121 —
29 784)ms-1 = 12 337mS-1.
To ale není ještě správná hodnota, neboť jsme neuvažovali vliv gravitačního pole Země. Družici musíme dodat navíc ještě energii na překonání přitažlivosti Země. Poněvadž kinetická energie tělesa je přímo úměrná druhé mocnině jeho rychlosti, musíme sčítat druhé (nikoliv prvé!) mocniny hodnot rychlostí a výsledkem je druhá mocnina třetí kosmické rychlosti. Dostáváme:
um = VÍM2 + 12, 32 krns"1 = ^276, 73kms"1 = 16,6kms-1.] (3.22)
9. Určete hmotnost Slunce víte-li že úhlová rychlost Země na dráze kolem Slunce je 1° za den, gravitační konstanta G = 6, 68 • 10~n m3kg_1s-2, vzdálenost Země od Slunce je r = 149, 6 • 106 km.
[Z III. Keplerova zákona po dasazení za T = ^ obdržíme:
47r2r3 Lú2r3
= w = —• <3-23)
Uhlovou rychlost převedeme na radiány, lo = 2, 02 • 10~7 s-1, a po číselném dosazení obdržíme:
MQ = 2,04 • 1030 kg.] (3.24)
52
3. GRAVITACE
10. Jak velká je délka l matematického kyvadla, které by mělo na Měsíci dobu kyvu t = ls? Jak velkou dobu kyvu t by mělo na Měsíci sekundové kyvadlo pozemské? Poloměr Měsíce Rm = 0, 27 Rz, hmotnost Mm = Mz.
[Je-li doba kyvu t = ls, pak perioda vlastních kmitů matematického kyvadla je dvojnásobek, tedy T = 2 s. Ze vztahu
H"         / M*            I l (0,27)2i?2 /si-/ T = 2ttJ— = 2tt\ —^- = 2ttJ-^-^—^ = 0,27-2^/- (3.25)
y<?M      \ GMM      ]j G   ±Mz y 9
obdržíme délku kyvadla l = 0,168 m.
Na Zemi by matematické kyvadlo s dobou kyvu ls mělo délku l = 0, 99 m. Na Měsíci by takto dlouhé kyvadlo mělo periodu kmitů T = 4, 85 s a dobu kyvu tedy t = 2,43 s. ]
11. Určete postupnou rychlost Země najejí dráze kolem Slunce, je-li hmotnost Slunce M0 = 2-1030kg a vzdálenost od Slunce r = 1, 5 • 108 km.
[V = ^GMo = 29,8kms-1]
12. Jupiter se otočí kolem své osy za dobu T = 9 hod 50 min, jeho poloměr R = 70 000 km, hmotnost M = 1,9 • 1027kg. Vypočtěte tíhové zrychlení gp na pólu a gT na rovníku Jupitera. Zploštění planety zanedbejte.
[Na poluje tíhové zrychlení rovno gravitačnímu; gp =       = 25,9ms~2.
Na rovníku působí kromě gravitačního zrychlení ještě odstředivé zrychlení, které má směr kolmý k ose otáčení. Výsledné tíhové zrychlení bude tedy: gT = gp — ^ = 23, 7ms~2.]
13. Vypočtěte únikovou rychlost na povrchu Měsíce a na povrchu Slunce, víte-li: poloměr Měsíce je R = 0, 27i?z, hmotnost Měsíce M = ^-Mz, poloměr Slunce R& = 7 ■ 108 m, hmotnost Slunce MQ = 2 ■ 1030 kg.
[Pro Měsíc: v = 2,4kms~1, pro Slunce: v = 618 km s-1.]
14. Určete gravitační zrychlení na povrchu planetky se střední hustotou rovnou střední hustotě Země a s poloměrem R = 0, 01 Rz- Jaká je úniková rychlost na této planetce?
[g = 0,01gz = 0,098ms-2,u = 0,01vz = mnis"1]
15. Do jaké výšky by vystoupilo těleso vystřelené z povrchu Země svisle vzhůru rychlostí v = 5 kms-1? Hmotnost Země je Mz = 5, 98 kg, poloměr Země Rz = 6, 38 • 106 m.
[Těleso vystřelené z povrchu Země rychlostí v má na počátku kinetickou energii
Wki = l-mv2 (3.26)
a potenciální energii
Wpi =
GMzm
(3.27)
3.7. TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ
53
Těleso vystoupá do výšky h, ve které je jeho kinetická energie rovna nule, = 0, a potenciální energie
—-Tři-
Ze zákona zachování mechanické energie:
1 o    GMzm GMzm
-mv2---2— = -      z (3.29)
2 iiz iiz + h
Po vyjádření obdržíme:
v2R2
'•'iGMt-W- <3-30) Dosadíme-li za GMZ = gi?z, můžeme výšku výstupu vyjádřit vztahem
v2R 2gRz - v
h=n_„   z„.2- (3.31)
Po číselném dosazení nám vyjde h = 1 592 km.]
16. Na Zemi padá z nekonečně velké vzdálenosti s nulovou počáteční rychlostí meteor o hmotnosti m = 0,1 kg. Vypočtěte jeho kinetickou energii, kterou by měl ve vzdálenosti h = 2 000 km nad povrchem Země.
[V nekonečnu bude mít meteor kinetickou i potenciální energii nulovou, tedy: W^i = 0 a Wpi = 0. Ve výšce h = 2 000 km nad povrchem Země bude jeho kinetická energie        a potenciální
VVP2 —     Rz+h ■
Ze zákona zachování mechanické energie:
Rz + h
Odtud:
Wk2 = f^. (3.33)
Po číselném dosazení: W\2 = 4, 765 • 106 J.]
17. Jak by se musela změnit hmotnost Země, aby Měsíc navždy opustil Zemi?
[Uvažujme, že se Měsíc nyní pohybuje po kruhové dráze o poloměru r rychlostí v\. Označíme-li hmotnost Země Mz, pak pro kruhovou rychlost Měsíce v\ platí:
, GMZ
Vl = ^r^T-r- (334)
Označíme-li změněnou hmotnost Země M a únikovou rychlost v2, pak platí:
, 2GM
!'2 = >fe- (333)
3. GRAVITACE
Hledáme takovou hmotnost, pro kterou je kruhová rychlost v± rovna únikové rychlosti V2:
GMZ       / 2GM
ň—- = A/t;-• (3-36)
Rz + r     V Rz+r
Odtud:
M = (3.37) Hmotnost Země by se musela náhle zmenšit na polovinu.]
Jak by se změnila dráha Země, kdyby se hmotnost Slunce náhle zdvojnásobila?
[Uvažujme, že se Země na počátku pohybuje po kruhové dráze s poloměrem r, rychlostí v\. Při kruhovém pohybu se musí účinky gravitační o odstředivé síly působící na obíhající těleso vyrušit, proto:
GMr^m mv2
-j— =--. (3.38)
/y £ íy
Pro rychlost planety v\ obdržíme:
v2 = (3.39)
r
V okamžiku, kdy se zdvojnásobí hmotnost Slunce, se bude Země nacházet v bodě A. Od této chvíle se Země začne pohybovat po elipse, přičemž bod A bude aféliem nové dráhy Země. Poloměr křivosti elipsy v eféliu je
b2
R = —, (3.40)
a
vzdálenost Země od Slunce je stále r, hmotnost Slunce je nyní 2 M0. V aféliu platí rovnice:
G2MQ     v2 a
Po dosazení rovnice (3.39) dostaneme:
~ = S- (3-42)
Po dosazení vzdálenosti Země v eféliu jer = a + e = a(l + e)a využitím rovnosti b2 + e2 = a2 obdržíme:
2      _ a
a(l+e) ~ a2{l-e2)' ( }
Odtud xcentricita dráhy vyjde e = 0, 5 a velká poloosa a =      = 108 km.
Vzdálenost Země v aféliu zůstane nezměněna, r\ = 1,5 • 108km, vzdálenost v perihéliu r2 = a(l - e) = 0,5 • 108km.
Pro rychlosti v perihéliu a aféliu platí vztah
vi     1 — e
v2     1 + e'
(3.44)
přičemž rychlost Země v aféliu je rovna původní rychlosti po kruhové dráze, vi = 30kms 1, rychlost v perihéliu pak vychází V2 = 90kms-1.]
3.7. TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ
55
19. Určete excentricitu, velkou poloosu dráhy, vzdálenost v perihéliu a oběžnou dobu komety, jejíž rychlost ve vzdálenosti 1 astronomické jednotky je kolmá na průvodič komety a 10 krát menší než rychlost Země.
[Rychlost tělesa obíhajícího po eliptické dráze je kolmá na průvodič v perihéliu a aféliu dráhy. Ze zadání víme, že rychlost komety ve vzdálenosti 1 au je menší než kruhová rychlost Země ve stejné vzdálenosti od Slunce, proto se kometa musí nacházet v aféliu své dráhy. Poloměr křivosti dráhy v aféliu je R = —.
V aféliu označíme rychlost komety v\ a vzdálenost od Slunce r\, pak platí:
vf _ GMQ ~R~ ~   r\ '
(3.45)
Země se pohybuje po kruhové dráze s poloměrem r\ rychlostí vq, proto pro ni platí:
v20 _ GM&
(3.46)
Dosazením za poloměr křivosti dráhy a porovnáním obou rovnic obdržíme:
vra v.
(3.47)
b2 r\
S využitím rovností platných pro elipsu: b2 = a2(l — e2), r\ = a(l + e) dostaneme po dosazení:
(3.48)
odtud:
,2
e = \-%. (3.49)
Dosazením za vq = 10 v\ vyjde pro excentricitu dráhy komety hodnota e = 0, 99. Velká poloosa dráhy: a =      = o, 502 au. Vzdálenost perihelia: V2 = a(l — e) = 0, 00502 au. Oběžná doba komety: T = XÍ^TZ = 0, 356roku.]
20. Určete mechanickou energii planety, jejíž hmotnost je m a velká poloosa a.
[Mechanická energie W je dána součtem kinetické a potenciální energie a tento součet je pro danou planetu konstantní. Protože nezáleží na tom, pro který bod na dráze ji určíme, určíme mechanickou energii pro planetu v perihéliu. Označíme-li rychlost planety v perihéliu v a vzdálenost perihelia od Slunce r, bude kinetická energie planety      = \mv2 a potenciální energie Wp = — g™Mq .
Mechanická energie
1 o GmMP)
W = -mv2---. (3.50)
2 r
56
3. GRAVITACE
V perihéliu je poloměr křivosti dráhy R =     proto zde platí:
mv2a GMqIti
^2 ty* 2
Z této rovnice lze vyjádřit kinetickou energii planety jako
1     , GMG)mb2
(3.51)
2 2r2 a celková mechanická energie planety je pak
-mu  = -^- (3.52)
W = GMTb2 - (3-53)
2r2a
Po dosazení za b2 = a2(l — e2), r = a(l — e) vyjde výsledný vztah
21. Na základě výsledku z předešlého příkladu dokažte, že pro okamžitou rychlost planety platí vztah:
v2 = GMq (---), (3.55) \r     a J
kde a je velká poloosa a r je vzdálenost od Slunce.
[Vztah z minulého příkladu se musí rovnat součtu kinetické a potenciální energie, tedy:
GM&m     1     2 GmM&
W =--= -mu--. (3.56)
2a         2 r
Po jednoduché úpravě obdržíme:
v2 = GMQ (---).] (3.57)
r a
22. Astrologové tvrdí, že kosmická tělesa svými astrologickými silami v okamžiku narození lidí ovlivňují jejich charaktery. Vypočtěte poměr gravitačních sil Jupitera a Země na nově narozené dítě v okamžiku, kdy se Jupiter nachází v opozici ve vzdálenosti d = 4, 2 au od Země. Hmotnost Jupitera je 318 Mz-
[Poměr gravitačních sil je
£j = ^^r- = Rz
Gravitační vliv Jupitera je teda zcela zanedbatelný.
1,37- 1ct'. (3.58)
4
Zatmění
4.1 Zatmění
Zatmění může být částečné nebo úplné. Zastínění slunečního disku Měsícem se nazývá zatmění Slunce. Zastínění Měsíce v úplňku zemským stínem se nazývá zatmění Měsíce. Zastínění hvězdy Měsícem, planetou nebo jejím Měsícem se nazývá zákryt.
4.1.1   Zatmění Slunce
Zatmění Slunce nastává, dostane-li se Měsíc mezi Slunce a Zemi. Při tomto zatmění musí být Měsíc v novu. Shodou okolností je disk Měsíce na obloze přibližně stejně velký jako disk Slunce. Skutečný průměr Měsíce je 400 krát menší než průměr Slunce a zároveň je Měsíc 400 blíže k Zemi než Slunce. Kdyby Měsíc obíhal kolem Země v rovině ekliptiky, nastávalo by zatmění Slunce při každém novu. Dráha Měsíce je však skloněna k rovině ekliptiky o úhel 5°. Měsíc v novu se někdy nachází pod a někdy nad ekliptikou a k zatmění nedojde. Jen ocitne-li se ve fázi novu blízko tzv. uzlu (což je průsečík měsíční dráhy a eklitiky), dojde k zatmění Slunce.
Délka stínu Měsíce závisí na poloměru Slunce, Země, Měsíce (tyto hodnoty jsou neměnné) a na vzájemných vzdálenostech všech tří těles (které se mění). Tečné paprsky vedené ze Slunce ohraničují kužel plného stínu i polostínu. Vrcholy obou kuželů leží na ose stínu. Úplné zatmění Slunce nastane, má-li plný stín přinejmenším takovou délku, aby alespoň jeho vrchol dosáhl na Zemi.
Je-li poloměr Slunce R®, poloměr Měsíce (Země) Rm, Rz a jejich vzájemná vzdálenost r, pak se dá z obr. 4.1 vyjádřit
Rur
dM = (4-1}
R® — Rz
Dosadíme-li za poloměr Slunce R® = 696 • 103 km, poloměr Měsíce Rm = 1 738 km, poloměr Země Rz = 6 378 km a za vzdálenost r = 149, 6 • 106 km, dostaneme pro délku plného stínu Země a Měsíce:
dM = 374 500 km (4.3) dz   =   1383 600 km. (4.4)
57
58
4. ZATMĚNÍ
Obrázek 4.1: Schématické znázornění zatmění Slunce pro výpočet délky Měsíčního stínu du-
SMEK POHVBU MÍSÍCE POLQCTÍN
	3B4 «0 km J
149 600 000 lun	1 384 000 km
Obrázek 4.2: Schéma zatmění Měsíce. Na myšlenou rovinu kolmou na osu stínu a proloženou okamžitou drahou Měsíce je promítnuta oblast plného stínu a polostínu, kterou prochází Měsíc. Zdroj: http://www. astrovm. cz/cz/na-obloze/ukazy/castecne-zatmeni-mesice-25-4-2013.html
Jelikož vzdálenost Měsíce od Země je přibližně 380 000 km, dosáhne na povrch Měsíce konec plného stínu Měsíce. Protože Měsíc se pohybuje kolem Země po eliptické dráze, mění se jeho vzdálenost od Země a proto mohou nastat tři různé případy zatmění:
1) úplné - na pozorovací místo dopadá alespoň vrchol úplného stínu
2) částečné - na pozorovací místo dopadá jen polostín
3) kruhové (prstencové) - na pozorovací místo nedopadne měsíční stín, protože je kratší než okamžitá vzdálenost Země - Měsíc.
Úplné zatmění Slunce můžeme pozorovat jen z místa na povrchu Země, kam dopadá plný stín Měsíce, tzv. pásu totality. Tento pás nebývá širší více něž 270 km. Stín se pohybuje rychlostí přinejmenším 34 km/min, proto maximální délka trvání zatmění je 7,5 minuty.
4.2. ÚLOHY
59
4.1.2 Zatmění Měsíce
Zatmění Měsíce nastává, je-li Země mezi Měsícem a Sluncem. Měsíc se musí nacházet poblíž uzlu své dráhy a musí být v úplňku. Za Zemí se táhne kuželový stín až do vzdálenosti 1 383 600 km. Kolem plného stínu se nachází polostín. Vstoupí-li celý Měsíc do plného stínu, nastane úplné zatmění Měsíce. Při něm Měsíc nezmizí z oblohy, zůstává viditelný, jen je tmavohnědý. Vstoupí-li jen částečně do plného stínu, nastane částečné (stínové) zatmění. Prochází-li Měsíc jen polostínem, nastává polostínové zatmění, při něm je Měsíc viditelný, jeho svit je jen zeslabený.
Zatmění Měsíce je pozorovatelné z celé polokoule, kde je v dané chvíli Měsíc nad obzorem. Počet slunečních zatmění je větší než měsíčních. Souvisí to se skutečností, že stínový kužel se za Zemí zužuje, před Zemí směrem ke Slunci rozšiřuje.
4.1.3 Perioda Saros
Zatmění se periodicky opakují v období 18 let a 11 dní. Tato perioda se nazývá Saros a souvisí s periodou stáčení uzlů měsíční dráhy. Po uplynutí této doby se zatmění opakují ve stejném pořadí. Během periody Saros nastává 70 zatmění, z toho 41 slunečních a 29 měsíčních.
1. Určete poměr slapových sil působících na Zemi, vyvolaných Sluncem a Měsícem. Jak by se situace změnila, kdyby se vzdálenost Měsíce zvětšila 2 krát? Hmotnost Země je Mz = 5, 97 • 1024kg, hmotnost Měsíce MM = 7, 35 • 1022 kg a hmotnost Slunce M0 = 1, 99 • 1030 kg.
[Využijeme vztah pro slapovou sílu:
kde Země je těleso, na které svou gravitační silou působí jiné kosmické těleso o hmotnosti M, např. Slunce nebo Měsíc, a r je vzdálenost středů obou těles. Za povšimnutí stojí skutečnost, že velikost působící síly klesá s třetí mocninou vzdálenosti. Po dosazení získáme pro velikost působících slapových sil Měsíce na Zemi MMz = 6,6- 1018 N a Slunce na Zemi M0Z = 3, 0 • 1018 N. Slapové síly vyvolané Měsícem jsou tedy 2, 2 krát větší než slapové síly vyvolané Sluncem. ]
2. Jsou dány tyto údaje: vzdálenost středu Slunce od povrchu Země a = 150 • 106 km, vzdálenost středu Měsíce od povrchu Země b = 360 000 km, poloměr Slunce R = 7 • 105 km, poloměr Měsíce r = 17, 5 • 102 km. Na základě těchto údajů vypočtěte, jakou plochu má stín Měsíce na povrchu Země při úplném zatmění Slunce. Povrch Země považujte za rovinný. Při jaké vzdálenosti Měsíce od Země se měsíční stín dotkne Země v jediném bodě?
[Z podobnosti trojúhelníků na obrázku 4.3 vyplývá:
4.2 Úlohy
F =
■IGM/MHy
(4.5)
R
r
(4.6)
a + x
b + x
a
60
4. ZATMĚNÍ
Obrázek 4.3: Schematické znázornění uspořádání těles k výpočtu plochy měsíčního stínu na povrchu Země při úplném zatmění Slunce.
sf- = - <4J>
0 + X X
Z druhé rovnice vyjádříme p =      a dosadíme z rce (4.6) za x = raR^R1b■ Pak
r a — Rb
p=-— = 70, 2 km (4.8)
a — b
Plocha Měsíčního stínu je S = irp2 = 15 500 km2.
Má-li se Měsíční stín dotknout Země v jediném bodě, pak musí platit x = 0, tedy r a = Rb. Pro vzdálenost Měsíce od povrchu Země po číselném dosazení vyjde hodnota b = 375 000 km. Pokud by vzdálenost Měsíce od Země byla ještě větší, nenastane již úplné zatmění ale prstencové. ]
3. Označme r poloměr Země, pak poloměr Slunce činí Rq = 109 r, vzdálenost středů Slunce a Země a = 23 680 r, vzdálenost středu Měsíce od středu Země b = 60 r. Vypočtěte poloměr p kolmého řezu plného stínu Země ve vzdálenosti Měsíce od Země za předpokladu, že Země není obklopena atmosférou.
[p = 0, 726 r]
5
Dalekohledy
5.1 Dalekohledy
Dalekohledy mají tři základní úkoly:
1) Nasbírat co nejvíce světla (což nám umožňuje pozorovat i velice slabé objekty)
2) Zvětšit zdánlivý úhlový rozměr pozorovaného objektu (díky tomu dosahujeme daleko lepších rozlišení)
3) Používají se k měření poloh objektů.
Dalekohledy dělíme na čočkové refraktory a zrcadlové reflektory a kombinované (zrcadlo-čočkové), tzv. katadioptrické.
5.1.1 Refraktory
U čočkových dalekohledů se jako objektiv používá spojná čočoka. Podle typu okulárové čočky rozlišujeme:
1. Galileův refraktor: Jako okulár je použitá rozptylka. Takto vzniklý obraz je vzpřímený a neskutečný. Ke krajům zorného pole klesá jasnost, proto tyto dalekohledy musely být vybaveny mnohem větším objektivem. Obrazová rovina leží mimo dalekohled, proto do ní nelze vložit ani clonu ani záměrný kříž. V astronomii se proto tyto dalekohledy nevyužívají.
2. Keplerův refraktor. Objektiv i okulár jsou tvořeny spojnou čočkou. Tento dalekohled má širší zorné pole, poskytuje jasnější obraz, který je skutečný a převrácený. Délka dalekohledu je dána součtem ohniskových vzdáleností objektivu a okuláru.1
Výhodou refraktorů je velké zorné pole, snazší výroba (kvalitní a přesná čočka se vyrobí snáz než kvalitní zrcadlo), optické plochy nepodléhají korozi, tubus dalekohledu je uzavřený - brání prachu a vlhkosti dostat se dovnitř. Čočkové dalekohledy jsou snadno přenosné. Nevýhodou je barevná vada čoček (viz dále), ztráty světla způsobené průchodem světelných paprsků čočkou a objektiv, který je náchylný k orosení.
'Jeden z největších Keplerových dalekohledů byl postaven Johannem Heveliem v 70. letech 17. st a měl délku 42 m.
61
62
5. DALEKOHLEDY
(a) (b)
Obrázek 5.1: a) Schematický nákres Keplerova dalekohledu. Převzato z: http://dalekohledy.wz-c7Jodalekohledech.html. b) U Keplerova dalekohledu je objektivem spojka o velké ohniskové vzdálenosti F, která vytvoří obraz vzdáleného objektu v ohniskové rovině obrazového prostoru čočky. Obraz je převrácený, zmenšený a skutečný. Okulár tvoří další spojná čočka, s menší ohniskovou vzdáleností /. Okulár se umísťuje tak, aby obraz vytvořený objektivem se nacházel v ohniskové rovině předmětového prostoru okuláru. Okulárem tedy pozorujeme obraz předmětu jako lupou.
5.1.2 Reflektory
Zrcadlové dalekohledy používají jako objektiv parabolické zrcadlo. Podle toho, jakým způsobem jsou odchýleny paprsky odražené od primárního zrcadla, rozlišujeme několik typů reflektorů.
1. Newtonův reflektor: Paprsky odražené od primárního zrcadla dopadají na sekundární rovinné zrcátko, které je skloněno pod úhlem 45° k optické ose hlavního zrcadla. Takto odražené paprsky jsou vyvedeny bokem tubusu ven z dalekohledu. Obraz je stranově i výškově převrácený.
2. Cassegrainův reflektor: Sekundární zrcátko již není rovinné ale konvexní a odráží světelné paprsky zpět přez otvor ve středu primárního zrcadla do sekundárního ohniska vně dalekohledu. Obraz je také převrácený.
3. Gregoryův reflektor: Sekundární zrcátko je narozdíl od Cassegrainova reflektoru duté.
4. Coudé reflektor: Uspořádání Coudé reflektoru je mnohem složitější. Tubus dalekohledu je zalomen, okulárová část slouží jako polární osa, část s objektivem jako deklinační osa. Pomocí dvou rovinných zrcátek je světlo vedeno deklinační osou do pevného Coudé ohniska. Výhodou tohoto složitého uspořádání je fakt, že se okulár nachází stále na temže místě, nezávisle na tom, na které místo na obloze je dalekohled namířen.
Výhodou reflektorů je úplná absence barevné vady. Zrcadla velkých průměrů se vyrábí snadněji než stejně velké čočky a navíc jsou zrcadla ukryta v tubusu, proto jsou méně náchylná k orosení. Nevýhodou je velká citlivost na neklid ovzduší a nutnost čas od času znovu pokovit zrcadlo, popřípadě seřídit obě zrcadla. Navíc sekundární zrcátko, které zakrývá část primárního zrcadla způsobuje ohybové jevy a snižuje kontrast obrazu.
5.2. VADY OPTICKÝCH SOUSTAV
63
(c) (c)
Obrázek 5.2: Schématické nákresy základních typů zrcadlových dalekohledů, a) Newtonův reflektor, b) Cassegrainův, c) Gregoryho reflektor. Převzato z: http://dalekohledy.wz.cz/odalekohledech.html, d) Coudé dalekohled, převzato z: http://telescopes.stardate.org.
5.1.3   Katadioptrické dalekohledy
Nevýhodou reflektorů bylo jejich malé zorné pole, které při fotografování velkých oblastí oblohy nepostačovalo. Řešení našel v roce 1930 Bernhard Schmidt, který zkombinoval čočkový a zrcadlový dalekohled dohromady. O 11 let později přišel s dalším novým řešením Dmitrij Dmitrijevič Maksutov.
1. Schmidtův dalekohled (komora) používá jako objektiv sférické zrcadlo a chyby jeho zobrazení koriguje tenká skleněná korekční deska.
2. Maksutův dalekohled (Maksutova komora) používá k odstranění sférické aberace meniskus. Výhodou tohoto dalekohledu je velká světelnost a velké zorné pole při malé délce tubusu.
3. Schmidt-Cassegrain: vznikl kombinací Schmidtovy komory s klasickým Cassegrainovým dalekohledem. Je to snad nejúspěšnější systém, velmi oblíbený mezi astronomy amatéry.
4. Maksutov-Cassegrain: vznikl kombinací Maksutovy komory s Cassegrainovým dalekohledem.
5.2   Vady optických soustav
1. Barevná vada - chromatická aberace: Způsobuje ji odlišný lom paprsků různých vlnových délek. Červené paprsky se v čočce lomí méně než modré. Vada se odstraňuje pomocí soustavy 2 čoček -tzv. ACHROMAT, nebo trojčočkovým objektivem - tzv. APOCHROMAT.
64
5. DALEKOHLEDY
SCH MIDTOVA K OMORA
MAK SUTOVOVA K OMORA
(a)
SCHMIDT - CASSEGRAIH
(b)
MAHSUTDV - CASSE OR All I
(c)
(d)
Obrázek 5.3: Kombinované (katadioptrické) dalekohledy: a) Schmidtova komora, b) Maksutova komora, c) dalekohled Schmidt-Cassegrain a d) dalekohled Maksutov-Cassegrain. Převzato z: http.V/dalekohledy. wz- cz/odalekohledech. html
2. Kulová vada - sférická aberace: Vzniká tím, že se paprsky na okraji čočky lomí více než paprsky jdoucí středem čočky. U čoček se odstraňuje soustavou čoček - APLANÁT, u zrcadel použitím zrcadla ve tvaru paraboloidu.
3. Astigmatismus - nehodovost: Vzniká při zobrazování okolí v širším úhlu. Objekty na okrajích zorného pole se zobrazí jako úsečky nebo plošky. Odstraňuje se spolu s kulovou a barevnou vadou ve vícečočkových objektivech - tzv. ANASTIGMATECH.
5.3   Základní optické vlastnosti dalekohledů
5.3.1   Zvětšení dalekohledu
Uhlové zvětšení dalekohledu Zje dáno poměrem ohniskových vzdáleností objektivu a okuláru,
Z = ^Í. (5.1)
/ok
Zvětšení dalekohledu můžeme vyjádřit taky pomocí průměru vstupní a výstupní pupily, D a D',
z = %■ <">
Výstupní pupila dalekohledu by měla být vždy menší než vstupní pupila oka (8 mm), jinak by část světla prošlého dalekohledem zůstala nevyužita. Odtud nejmenší rozumné zvětšení dalekohledu, tzv.
normální zvětšení je
D\mm\
ZN = -L—L. (5.3) O málo větší zvětšení se používá v triedrech.
5.4. ÚLOHY
65
Zvětšení, které se pohybuje v rozmezí (y; 2D) se nazývá užitečné zvětšení. Při něm využijeme plně rozlišovací schopnost tp dalekohledu (viz níže), tp = j^m]. Tzn., že tp musíme zvětšit alespoň na rozlišovací schopnost oka (120"):
120" 120"
Zv = — = — D[mm] « D [mm]. (5.4)
Při zvětšení větším než 2D je už výstupní pupila příliš malá, obraz ztrácí kontrast i jas a je temný. Takové zvětšení se nazývá mrtvé zvětšení.
5.3.2 Rozlišovací schopnost dalekohledu
Žádný dalekohled neumí zobrazit vzdálené body opět jako body, ale zobrazí je jako kotoučky. Průměr nejmenšího kotoučku je právě rozlišovací schopnost dalekohledu. Je to tedy nejmenší úhlová vzdálenost mezi dvěma body, kterou dalekohled dokáže ještě rozlišit. Pro žlutozelenou barvu, na kterou je naše oko nejcitlivější, je rozlišovací schopnost dána vztahem:
110"
V> = -y (5-5)
D [mm]
Rozlišovací schopnost závisí na kvalitě objektivu. Zkoušíme ji pomocí různých testů nebo pozorováním těsných dvojhvězd. Jsou-li středy kotoučků obou hvězd ve dvojhvězdě od sebe vzdáleny přesně tp, uvidíme dvojhvězdu jako čárku. Jsou-li vzdáleny více než tp, obě složky dvojhvězdy od sebe odlišíme.
5.3.3 Světelnost dalekohledu
Světelnost dalekohledu je poměr průměru vstupní pupily objektivu Z) [mm] a ohniskové vzdálenosti /Dbj,
D [mml
A = -i. (5.6)
Jobj
Někdy se uvádí v podobě 1 : ^j^j.
5.4 Úlohy
1. Jaký by musel být průměr objektivu astronomického dalekohledu, aby v něm bylo možné vidět skutečný průměr obří hvězdy Betelgeuze, jejíž úhlový průměr činí 0, 04"?
[Rozlišovací schopnost dalekohledu musí být alespoň tp = 0, 04". Pak D = 2 750 mm.]
2. Jaká je nejmenší úhlová vzdálenost středů dvou hvězd, které lze rozlišit v dalekohledu o průměru objektivu 60 cm.
[0,18"]
66
5. DALEKOHLEDY
3. Dokažte, že teoretická rozlišovací schopnost zdravého lidského oka je přibližně 1'.
[Vezměme vlnovou délku A = 550 nm, na kterou je lidské oko nejcitlivější, a průměr oční pupily D = 2 mm. Po dosazení do vztahu pro rozlišovací schopnost
D[m\
Po číselném vyjádření obdržíme tp = 3, 350 • 10~4 rad = 1/9". Reálná hodnota je kolem 2'. ]
4. Hubbleův kosmický dalekohled obíhající nad Zemí ve výšce 600 km nad Zemí používá primární zrcadlo o průměru D = 2, 4 m. Určete jeho rozlišovací schopnost na vlnové délce čáry vodíku La s A = 121,6 nm. Z jaké vzdálenosti d bychom pod stejným úhlem viděli dvacetikorunu o průměru
x = 25 mm?
[Rozlišovací schopnost dalekohledu:
Aíml
ip = 1, 22-Hr = 6,18 • 10~8rad = 0, 0127". (5.8) D[m\
Pro vzdálenost d platí: d = | = 6il5°ff0-?rad = 406 km.]
5. Uhel mezi dvěma hvězdami je <p = 10~6 rad. Lze tyto hvězdy rozlišit pomocí dalekohledu s průměrem primárního zrcadla 2, 54 m? Předpokládejme že pozorování proběhlo na vlnové délce A = 510 nm.
[Rozlišovací schopnost dalekohledu je:
510 • 10~9 [ml 7
V> = 1, 22-—^ = 2, 45 • 10~7 rad = 0, 05". (5.9)
2,54[m]
Poměr ^ = 4, 2. Dvojhvězdy tímto dalekohledem rozlišíme bez problémů, neboť jejich úhlová vzdálenost je 4 krát větší než rozlišovací schopnost dalekohledu.]
6. Předpokládejme, že hvězdy z minulého příkladu vyzařují rádiové vlny na frekvenci v = 400 MHz. Můžeme obě hvězdy rozlišit při detekci rádiového záření pomocí rádiového teleskopu v Arecibu, jehož průměr je 305 m?
[Vlnová délka rádiových vln je A = ^ = 0, 75 m. Rozlišovací schopnost teleskopu v Arecibu
V> = l,22^M = 3.10-3rad. (5.10) 305 |mj
K rozlišení obou hvězd na této vlnové délce bychom potřebovali 3 000 krát větší rozlišení.]
7. Jaké musí být zvětšení dalekohledu, aby při pozorování Jupitera (úhlový průměr 40") byl průměr Jupitera stejný jako průměr Měsíce v úplňku při pozorování pouhým okem (31')?
[Z=±fT =46,5]
5.4. ÚLOHY
67
8. Astronomický dalekohled má ohniskovou vzdálenost objektivu / = 150 cm, okuláru /' = 5 cm. Pod jakým úhlem a v něm uvidíme Měsíc, je-li úhlový průměr Měsíce 31'.
[Zvětšení dalekohledu Z = 4^ = 30. Měsíc v něm uvidíme pod úhlem a = 31' • Z = 15° 30'.]
/ok
9. Jaký průměr x bude mít obraz Slunce v ohnisku objektivu, jehož ohnisková vzdálenost / = 40 cm? Zdánlivý úhlový průměr Slunce d = 32'.
[Ze vztahu: tg | = | • j vyjádříme x: x = 2 f tg | = 0, 37 cm.]
10. Hvězda prošla zorným polem nehybného dalekohledu (podél průměru) za t sekund. Vypočtěte v úhlové míře průměr d zorného pole dalekohledu, je-li ô deklinace hvězdy.
[Hvězda nacházející se na rovníku opíše za 24 hodin kružnici o poloměru, který označíme r, tedy 2-kv = 360° = 24 hod = 86 400 s. Hvězda nacházející se mimo rovník opíše za 24 hodin kružnici o menším poloměru, který označíme x. Pro tento poloměr platí: x = r cos ô, kde ô je deklinace hvězdy. Za 1 s urazí hvězda dráhu
360° cos S
-= 15"cos<5 (5.11)
86400 V '
Zorným polem hvězda projde za t sekund, tedy: d = t ■ 15" cos ô.]
11. Určete úhlovou vzdálenost dvou svislých vláken v ohnisku okuláru meridiánového kruhu, jestliže doba průchodu hvězdy ô UMi mezi těmito vlákny byla t = 184 s. Deklinace hvězdy ô = 86° 36, 6'.
[Po dasazení do výsledného vztahu z minulého příkladu obdržíme: d = t- 15" cos S = 163" = 2'43".]
12. Jakou nejmenší délku x musí mít úsečka na Měsíci, aby její obraz v zrcadlovém dalekohledu s průměrem zrcadla 6 m bylo možno odlišit od bodu? Vzdálenost Měsíce od Země je d = 384 400 km.
[Rozlišovací schopnost dalekohledu je: V = r)[m] = ^' 018". Ze vztahu tg ^ = -J vyjde po číselném dosazení: x = 33, 5 m.]
13. Jak velký by musel být průměr zrcadla dalekohledu, abychom v něm dokázali rozlišit od bodu tzv. "Tvář na Marsu", nacházející se v oblasti Cydonia na povrchu Marsu. Uvažujme větší z rozměrů "tváře" 2, 5 km a vzdálenost Marsu od Země při opozici 55 • 106 km.
[Analogicky předešlému příkladu: tg f = ^ = 2, 272 • 10~8, odtud V = 2,604 • 10~6rad = 0, 01". Dalekohled s touto rozlišovací schopností by musel mít průměr zrcadla: D =       = lim.]
14. Určete rozlišovací schopnost dalekohledu o průměru D = 1, 3 m na vlnové délce A = 550 nm. Jaký by musel mít poloměr rádiový teleskop pracující na vlnové délce A = 4 m se stejnou rozlišovací schopností?
[Rozlišovací schopnost dalekohledu je:
V> = 1, 22550"1°'91[m] = 4, 7 • 10-7 rad = 0,1". (5.12) 1,3 [m]
5. DALEKOHLEDY
Průměr rádiového teleskopu se stejnou rozlišovací schopností by musel být 9, 5 • 10 m, což je technicky nemožné. Proto jsou používány interferometrické soustavy rádiových teleskopů.]
6
Hvězdy
6.1   Zdánlivá hvězdná velikost, Pogsonova rovnice
Už starořečtí astronomové rozdělili hvězdy do 6 skupin, magnitud1, podle jejich jasnosti. Nejjasnější hvězdy byly hvězdy 1. mag, nejslabší, okem viditelné, hvězdy byly hvězdy 6. magnitudy.
Později se zjistilo, že díky vlastnostem lidského oka tvoří tyto magnitudy přibližně geometrickou řadu. Tento poznatek dnes popisuje Weber - Fechnerův psychofyzikální zákon, který říká: Mění-li se fyzikální podněty působící na naše smysly řadou geometrickou, vnímáme jejich změnu v řadě aritmetické.
Fotometrická veličina udávající jasnost hvězdy nebo jiného kosmického tělesa se nazývá zdánlivá hvězdná velikost (magnituda), m. Je měřítkem osvětlení jednotkové plochy, postavené kolmo ke směru dopadajích paprsků. Hvězdná velikost nesouvisí s rozměrem hvězdy.
Jsou-li li, I2 intenzity osvětlení způsobené zářením dvou hvězd, pak rozdíl jejich zdánlivých hv. velikostí je dán Pogsonovou rovnicí:
Je-li rozdíl hvězdných velikostí roven lm, je jasnější hvězda 2, 512 krát jasnější než slabší hvězda. Při rozdílu hvězdných velikostí m\ — 1112 = 5m je poměr intenzit jasnější hvězdy ke slabší (|^) = 100.
V současné době se hvězdná velikost určuje pomocí detektorů záření a filtrů v různých oborech elektromagnetického spektra a je už tedy nezávislá na zraku pozorovatele.
Podle spektrálního oboru, v němž je tok záření měřen, rozlišujeme:
• vizuální hvvězdné velikosti mv, které odpovídají celkové intenzitě v rozmezí vlnových délek, na něž je lidské oko citlivé (maximum u A = 530 nm).
• fotografické hvězdné velikosti mph, určené ze zčernání obrazu na obyčejné fotografické emulzi citlivé na modré světlo (maximum na A = 430 nm).
• fotovizuální hvězdné velikosti mpv, což jsou fotografické hvězdné velikosti určené pomocí filtru citlivého na žlutozelené světlo, (maximum na A = 543 nm, která je blízká největší citlivosti lidského oka.)
'Název magnituda pochází z latinského magnitudo - velikost.
(6.1)
69
70
6. HVĚZDY
• foto elektrické hvězdné velikosti mpe, jsou určeny měřením intenzity světla pomocí fotoelektrického fotometru, jehož čidlo (fotonásobič nebo CCD) převádí energii dopadajících fotonů na el. proud, který lze přesně změřit. Fotoelektrická hvězdná velikost je určena s přesností na setiny, což je mnohem víc, než u fotografické či vizuální hvězdné velikosti. Vhodnou kombinací fotonásobiče a filtru lze zvolit interval vlnových délek (v různých oborech elektromagnetického záření, nejen viditelného).
• radiometrické hvězdné velikosti mra(j, jsou určené pomocí radiometru.
• bolometrické hvězdné velikosti mboi> Jsou vypočtené hvězdné velikosti, které by odpovídaly celkovému záření hvězdy na všech vlnových délkách vně zemské atmosféry. Vizuální hvězdná velikost odpovídá pouze světlu!
Rozdíl mezi bolometrickou a vizuální hvězdnou velikostí se nazývá bolometrická korekce BC. 6.1.1   Absolutní hvězdná velikost
Celková energie vyzářená z celého povrchu hvězdy za jednotku času je dána rovnicí:
2
L = 47rr2 I, (6.2)
kde L je celková svítivost (luminosita) hvězdy, / je intenzita osvětlení. Aby bylo možno vzájemně srovnávat svítivosti jednotlivých hvězd, převádí se zdánlivá hvězdná velikost na hodnotu, jakou by měla pokud bychom danou hvězdu pozorovali ze vzdálenosti 10 pc, což odpovídá paralaxe tt = 0,1". Pak mluvíme o absolutní hvězdné velikosti M. Intenzita světla ubývá se čtvercem vzdálenosti. Označíme-li IT intenzitu hvězdy ve vzdálenosti r parseků, m její zdánlivou hvězdnou velikost, Iiq intenzitu hvězdy ve vzdálenosti 10 pc a její absolutní hvězdnou velikost M, pak pro jejich poměr platí:
— = —T. (6.3)
Po dosazení do Pogsonovy rovnice:
M - m = 2, 5(log IT - log ho) = 5 log 10-5 log r. (6.4) Odtud pro absolutní hvězdnou velikost obdržíme výsledný vztah:
M = m + 5 — 5 log r, (6.5) kde r dosazujeme v parsecích, nebo pomocí paralaxy tt, kterou dosazujeme v obloukových vteřinách,
M = m + 5 + 51og7r. (6.6) V tabulce (6.1) jsou uvedeny zdánlivé a absolutní magnitudy nejjasnějších objektů na obloze:
2Tato rovnice platí přesně jen v případě, kdy světlo na své dráze mezi zdrojem a pozorovatelem není oslabeno absorpcí.
6.1. ZDANLIVÁ HVĚZDNÁ VELIKOST, POGSONOVA ROVNICE 71
Tabulka 6.1: Zdánlivé a absolutní magnitudy nejjasnějších objektů na obloze.
	zdánlivá	absolutní	vzdálenost
Objekt	hv. velikost	hv. velikost	
	m [mag]	M [mag]	[ly]
Slunce	-26,6	4,8	1,5 • 108km
Měsíc v úplňku	-12,6	-	3, 844 • 105 km
záblesky satelitů IRIDIUM	-8,0	-	stovky km
Venuše	-4,4	-	-
ISS	-3,5	-	400 km
Jupiter	-2,8	-	-
Sirius A (a CMa A)	-1,46	1,45	9
Canopus (a Car)	-0,72	-2,5	310
Arcturus (a Boo)	-0,04	-0,1	36
a Centauri A (Toliman)	-0,01	4,37	4
Vega (a Lyr)	0,03	0,5	26
Capella (a Aur)	0,08	-0,4	41
Polárka (a UMi)	1,97	-3,6	323
61 Cygni (HIP 104 217)	6,05	8,3	11
Barnardova šipka (HIP 87 937)	9,54	13,2	6
6.1.2 Modul vzdálenosti
Modul vzdálenosti (m — M) je rozdíl zdánlivé a absolutní hvězdné velikosti, neuvažujeme-li absorpci. Můžeme je j vyjádřit pomocí vzdálenosti r hvězdy
m — M = 5 log r — 5, (6.7)
nebo pomocí paralaxy tt
m - M = -5 log 7T - 5. (6.8)
Na následujícím obr. 6.1 jsou uvedeny moduly vzdáleností hvězd pro různé vzdálenosti od pozorovatele.
6.1.3 Absorpce světla
Protože světlo na cestě k pozorovateli prochází absorpčním prostředím (např. oblaky mezihvězdného prachu), dochází ke zmenšení intenzity světla hvězd (a tím ke zvětšení jejich zdánlivé hvězdné velikosti). Zdánlivá hvězdná velikost vzroste o veličinu A(r). Přesný vztah pro absolutní hvězdnou velikost má pak tvar:
M = m + 5- 51ogr - A{r), (6.9)
kde A(r) je funkce charakterizující absorpci světla.
V prvním přiblížení roste absorpce světla úměrně se vzdáleností hvězdy
A(r) = ar,
(6.10)
72
6. HVĚZDY
m-M=5\ogr -5 modul vzdálenosti
(m-AQ        -5      0      5      10     15     20    25     30     35     40 [mag] -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-
vzdálenost/-    1      10     102    103    104    105     106   107    108    109 [pc]
1 kpc i Mpc 1 Gpc
Obrázek 6.1: Modul vzdálenosti. Zdroj: Z. Pokorný: Vademecum [online], Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně.
kde a je koeficient absorpce, tj. absorpce na délkovu jednotku (např. na kpc), kterou projde světlo. Střední hodnota je ä = 0, 3m na kiloparsek. Absolutní hvězdnou velikost pak můžeme vyjádřit vztahem:
M = m + 5 — 5 log r — ar. (6.11)
6.1.4 Úlohy
1. Jaký je poměr intenzit světla dvou hvězd, jejichž zdánlivé hvězdné velikosti se liší o 7m? [Po dosazení do Pogsonovy rovnice
íh\
m\ — rri2 = 2,5 log   — (6.12)
Ji
obdržíme    = 631.]
2. Jestliže se intenzita hvězdy zvýší 25 000 krát, o kolik se změní její hvězdná velikost?
[Z Pogsonovy rovnice: rri2 = m\ — llm; nová hvězdná velikost se zmenší o llm a hvězda bude tedy o llm jasnější.]
3. Kdyby se vzdálenost hvězdy 4m zmenšila na polovinu, jaká by byla její zdánlivá hvězdná velikost?
[Označme původní vzdálenost hvězdy r\, novou jako r2 = íp. Připomeňme, že luminosita L hvězdy je celková energie vyzářená z celého povrchu hvězdy do okolního prostoru, L = Aíkt2!.
Pro poměr intenzit světla dvou hvězd tedy platí:
T
1      47"i í(s^^,\
T2 = ^r- (6-13)
4Ťřr|
Za předpokladu, že se jedná o jednu a tutéž hvězdu pozorovanou ve dvou různých vzdálenostech, L\ = L2, obdržíme:
h     í r-2
(6.14)
6.1. ZDANLIVÁ HVĚZDNÁ VELIKOST, POGSONOVA ROVNICE
73
Po dasazení do Pogsonovy rovnice:
m2 — mi = 2,5 log — = 5 log — (6.15)
Po číselném vyjádření: rri2 = 2, 5m.]
4. Jak by se jevilo jasné Slunce pro pozorovatele poblíž Vegy. Zdánlivá hvězdná velikost Slunce pro pozorovatele na Zemi je m = —26, 6m. Vzdálenost Vegy je 7, 8 pc.
[m = 4,43m]
5. HvězdaDenebjeodnás75krátdálenežSírius.ZdánliváhvězdnávelikostDenebujemD = l,26m, Síria mg = — l,43m. Kolikrát by byla intenzita hvězdy Deneb větší, než intenzita Síria, kdyby byly obě dvě ve stejné vzdálenosti?
[Označme vzdálenost Denebu ro = 75 r$. Posuneme-li Sírius do stejné vzdálenosti v jaké se nachází Deneb, bude nová zdánlivá hvězdná velikost Síria msI10va-
msnova-ms   =   2,5 log /s
-^Snova
5 log—. (6.16)
Zde jsme využili vztah (6.13). Po číselném dosazení: fn,gnova — 7,945m.
Pro poměr intenzit posunutého Síria a Denebu dosadíme do Pogsonovy rovnice:
m-Snova - mD = 2, 5 log   Id (6.17)
Snová
Odtud ID = 472 /Snova. ]
6. Dvojhvězda Castor má složky o hvězdných velikostech m\ = l,99m, iri2 = 2,85m. Jaká je hvězdná velikost Castora při pozorování pouhým okem, kdy se nám jeví jako jednoduchá hvězda.
[Vypočteme poměr intenzit obou složek z Pogsonovy rovnice:
Ji= 2,208Í2. (6-18)
Při pozorování pouhým okem sledujeme jedinou hvězdu s intenzitou I = I\ + I2 = 3, 20812- Její zdánlivou hvězdnou velikost určíme z:
1112 — fn = 2, 5 log —. (6.19) h
Odtud m = l,58m. ]
7. Zdánlivá hvězdná velikost Síria je m = — l,43m, paralaxa tt = 0,376". Určete jeho absolutní velikost.
[M = l,45m]
74
6. HVĚZDY
8. Kolikrát je jasnost Slunce větší než jasnost hvězdy Proxima Centauri? Zdánlivá hvězdná velikost Proximy je mp = +10, 5m, paralaxa tt = 0, 76". Absolutní hvězdná velikost Slunce je M0 =
4,85m
[Absolutní hvězdná velikost Proximy: Mp = 14, 904m. Poměr intenzit obou hvězd vyjádříme z rce:
MP - MQ =2,5log ^ (6.20)
Odtud: ^ = 10 500. ]
9. Hvězda a Cas je ve vzdálenosti 163 ly od Slunce. Její zdánlivá hvězdná velikost je m = 2, 37m. Vypočtěte její absolutní hvězdnou velikost.
[Převedeme vzdálenost na parseky, 163 ly = 50 pc. Po dosazení do rovnice (6.5) obdržíme M =
-l,12m]
10. Seřaďte 7 nejjasnějších hvězd oblohy podle jejich absolutní hvězdné velikosti, znáte-li jejich zdánlivé hvězdné velikosti a vzdálenosti.
Hvězda	m [mag]	r[ly]
Slunce	-26,6	1 au
Sirius	-1,47	8,6
Canopus	-0,72	310
Arcturus	-0,04	36,7
Alfa Centauri	-0,01	4,365
Vega	0,04	25,3
Capella	0,08	42,2
[Canopus, Capella, Arcturus, Vega, Sirius, Alfa Centauri, Slunce.]
11. Kolikrát je jasnost hvězdy Canopus větší než jasnost Slunce? [/Ca„ = 17OOO/0]
12. Určete modul vzdálenosti m — M hvězdy, která je ve vzdálenosti 100 pc od Slunce.
[m — M = 5m]
13. Paralaxa hvězdy je tt = 0, 0074", zdánlivá hvězdná velikost je 6, 5m. Určete absolutní hvězdnou velikost této hvězdy, je-li koeficient absorbce a = 0, 0005 hvězdné velikosti na parsek.
[M = 0, 78m]
6.2   Záření absolutně černého tělesa
Pro popis dějů spojených s vyzařováním energie se používá abstrakce - absolutně černé těleso. Jeho důležitou vlastností je, že dokonale pohlcuje veškeré záření, které na něj dopadá. Žádné záření neodráží.
6.2. ZÁŘENÍ ABSOLUTNĚ ČERNÉHO TĚLESA
75
Vlnová délka [nm]
Obrázek 6.2: Planckův zákon. Těleso s vyšší teplotou září více na všech vlnových délkách než těleso s nižší teplotou. Zdroj: http.V/hvezdy.astro.cz/charakteristika/4-spektralni-typy-hvezd
Černé těleso je dokonalým zářičem, neboť ze všech možných těles stejné teploty vysílá největší množství záření. Nejvíce se vlastnostem absolutně černého tělesa blíží dutina, jejíž vnitřní povrch tvoří matná černá plocha. Když otvorem pronikne do dutiny elektromagnetické záření, při opakovaných odrazech od vnitřních stěn dutiny se veškerá energie záření pohltí. Otvor dutiny se pak jeví jako černé těleso.
Dokonalé černé těleso je jen teoretický pojem, ke kterému se skutečná tělesa mohou do jisté míry přiblížit. Nejvíce se mu přibližuje žhavé plazma ve středu Slunce.
Záření černého tělesa popisuje Planckův zákon vyjadřující zářivý výkon jednotkové plochy černého tělesa (hvězdy) o teplotě T zářením vlnové délky A.
£(A.D = ^^—. (6.2!)
^       ekXT — 1
kde: h je Planckova konstanta h = 6, 626-10~34 J s, k je Boltzmanova konstanta k = 1, 380-10~23 JK_1 a c je rychlost světla ve vakuu c = 299 792 458 ms_1.
Z Planckova zákona plyne Wienův posunovací zákon, týkající se rozdělení energie ve spektru. Podle něj se s rostoucí teplotou černého tělesa posouvá maximum záření ke kratším vlnovým délkám. Označíme-li Amax vlnovou délku, na kterou připadá maximum energie při teplotě T, pak platí
AmaxT = 6, (6.22)
kde konstanta b = 2, 90 • 10~3 mK.
76
6. HVĚZDY
Pomocí Planckova zákona lze odvodit Stefanův-Boltzmanův zákon. Podle něhož je celkový zářivý tok E, který vysílá černé těleso z jednotkové plochy svého povrchu na všech vlnových délkách, přímo úměrný 4. mocnině absolutní teploty
E = a T4, (6.23) kde cr = 5, 669 • 10~8 W m~2 K~4 je Stefanova-Boltzmanova konstanta.
6.2.1 Povrchové teploty hvězd
Protože žádné těleso ve vesmíru není v termodynamické rovnováze (tedy není černým tělesem), musíme vždy uvést, jakým způsobem jsme teplotu určili nebo pomocí kterého zákona záření černého tělesa byla ze spektra odvozena.
• Barevná teplota Tc je teplota černého tělesa, u něhož by rozložení intenzity ve spektru (dané Planckovým zákonem) bylo stejné jako u pozorované hvězdy. Barevná teplota Slunce je Tc = 6 500K.
• Efektivní teplota Tef je dána Stefanovým-Boltzmanovým zákonem. Je to teplota takového černého tělesa, které vyzařuje zim2 stejné množství energie jako hvězda. Jinými slovy ji lze definovat jako teplotu černého tělesa, které má stejný povrch jako hvězda (4ttR2) a stejnou zářivost L jako hvězda. Efektivní teplota je nejlepší mírou skutečné teploty povrchu hvězdy, např. sluneční fotosféry. Pomocí solární konstanty (viz dále) lze určit efektivní teplotu Slunce Tef = 5 800 K. Kdyby Slunce bylo v termodynamické rovnováze, musela by efektivní a barevná teplota být stejné.
• Zářivá teplota TT je teplota, kterou by muselo mít černé těleso, aby vysílalo z 1 m2 v daném oboru spektra stejné množství energie jako pozorovaná hvězda. Podle oboru spektra pak hovoříme o vizuální, fotografické nebo infračervené barevné teplotě. Celkovému záření hvězdy odpovídá bolometrická zářivá teplota.
6.2.2 Solární konstanta
Solární konstanta K udává množství zářivé energie všech vlnových délek, dopadající za 1 s na plochu 1 m2 postavenou kolmo k paprskům ve střední vzdálenosti Země od Slunce (1 au) mimo zemskou atmosféru. Její hodnota je
K = 1,40 • 103 Jm_2s_1. (6.24)
Protože Země obíhá kolem Slunce po elipse, mění se vzdálenost Z - S a tím i hodnota solární konstanty během roku. Navíc se její hodnota snižuje průchodem zemskou atmosférou a dopadem na šikmý povrch ve vyšších geografických šířkách. Proto se měří na družicích.
6.2.3 Zářivost Slunce LQ
Zářivost Slunce L0 je celkové množství energie, kterou Slunce vyzáří celým svým povrchem do okolního prostoru za jednotku času. Zářivost Slunce bereme za jednotku zářivosti hvězd, její hodnota je
LQ = 3, 846 • 1026 W. (6.25)
Základem pro výpočet zářivosti Slunce je solární konstanta.
6.2. ZÁŘENÍ ABSOLUTNĚ ČERNÉHO TĚLESA
11
6.2.4 Zářivost hvězd
Zářivost hvězd se často udává v jednotkách zářivosti Slunce, tj. jako poměr celkového množství energie vyzářené celým povrchem hvězdy k zářivosti Slunce, L/L&.
Celkový zářivý tok E vyzářený jednotkou plochy povrchu hvězdy je
E = aT4í. (6.26)
Celý povrch hvězdy má plochu 4ttR2, kde R je poloměr hvězdy. Celkové množství energie, kterou hvězda svým povrchem vyzáří
L = A-kR2uT4í. (6.27) Zářivost hvězdy souvisí s absolutní bolometrickou hv. velikostí Mbd podle vztahu:
— = 2, 5l2(Mb°i©-Mb°i*), (6.28)
kde Mboi* je absolutní bolometrická hvězdná velikost hvězdy a Mboi© = 4, 74M je absolutní bolomet-rická hvězdná velikost Slunce.
6.2.5 Úlohy
1. Maximum energie ve slunečním spektru je u vlnové délky A = 480 nm. Vypočtěte povrchovou teplotu Slunce pomocí Wienova zákona posuvu.
[Z Wienova zákona posuvu T = 6 040 K.]
2. Vypočtěte pomocí Stefanova zákona a solární konstanty teplotu Slunce. Poloměr Slunce je Rq = 6, 96 • 105 km, vzdálenost Země od Slunce r = 150 • 106 km.
[Celková energie vyzářená Sluncem je
Wx = 47rr2K, (6.29)
kde r je poloměr zemské dráhy.
Jeden m2 slunečního povrchu vyzáří za 1 s energii
E = aT4, (6.30)
kde a = 5, 67 • 10~8 Wm~2K~4 je Stefanova konstanta, T je absolutní teplota povrchu Slunce.
Celý povrch Slunce tedy vyzáří energii
W2 = AttR2&E. (6.31)
Za předpokladu, že v prostoru mezi Sluncem a Zemí nedochází k tepelným ztrátám, můžeme položit Wi = W2. Odtud
r2K = Rq<tT4, (6.32) a pro teplotu povrchu Slunce dostaneme vztah:
/ r2K
Po číselném dosazení T = 5 820 K.
78
6. HVĚZDY
3. Maximum energie ve slunečním spektru je u vlnové délky A = 480 nm. Vypočtěte povrchovou teplotu Slunce pomocí Wienova zákona posuvu.
[T = 6 040K]
4. O kolik stupňů by se musela zmenšit teplota Slunce, aby se solární konstanta zmenšila o 1%? [Teplotu Slunce lze vyjádřit vztahem:
/ r2K
T = ř = 5 820 K, (6.34)
v rqa
kde r je vzdálenost Země od Slunce, Rq je poloměr Slunce, a je Stefanova-Boltzmanova konstanta. V našem případě jsou všechny veličiny konstatní, můžeme je pro lepší přehlednost nahradit konstantou
/ r2
k = \ l —2— = konst (6.35)
a pak
Pro malé změny lze použít vztah: Jeho úpravou dojdeme ke tvaru:
T = k^ÍK (6.36)
dT = -kK~3^dK
4 (6"37)
dT    1 dK
— =--. (6.38)
T     4 K
Má-li se solární konstanta zmenšit o 1%, pak
^ = ^-l% = 0,25%. (6.39)
Uvažujme pro povrchovou teplotu zaokrouhlenou hodnotu T = 6 000K. Pak změna dT = T ■ 0,25% = 15K. Teplota Slunce by se musela zmenšit o 15K.]
5. Vypočtěte hodnotu solární konstanty pro Merkur a Jupiter, jsou-li jejich vzdálenosti tm = 0, 38 au, rj = 5, 2 au. Porovnejte jejich hodnotu se solární konstatnou K pro Zemi. Hodnota solární konstanty pro Zemi je Kz = 1,4- 103 J m_2s_1.
[KM = 9,7- 103 Jm-2s-1 = 6, 9 K, Kj = 51,7Jm-2S-1 = 0,037iv"]
6. Absolutní bolometrická hvězdná velikost hvězdy je Mboi = 2, 54M. Vypočtěte poměr zářivosti této hvězdy k zářivosti Slunce, víte-li že Mboi© = 4, 74M.
[Dosadíme do vztahu pro zářivost hvězd:
— = 2, 5l2(Mbol©-Mbo1). (6.40)
Po číselném vyjádření vyjde zářivost 777 = 7, 6.]
6.3. SPEKTRÁLNI TŘÍDY
79
7. Jaká je absolutní bolometrická hvězdná velikost hvězdy, jejíž zářivost je 2 • 104 krát větší než zářivost Slunce.
[Vztah pro zářivost (6.28) upravíme a vyjádříme M\,Q\\
log20000 ,r *^
Mhol = Mboi0 - -. (6.41)
Po číselném dosazení vyjde: Mbd = —6, 01M.]
8. Kolikrát vyšší zářivý výkon má hvězda o teplotě T\ = 20 000 K, než stejně rozměrná hvězda o efektivní povrchové teplotě T2 = 5 000K? Za předopkladu, že září jako absolutně černá tělesa, kde leží maximum vyzařované energie v jejich spektrech?
[Porovnáním výkonů vyzařovaných plošnou jednotkou obou hvězd dostaneme:
Ei     ŕ TA4
Maxima vyzařované energie leží na A = 145 nm (UV) a A = 580 nm (oranžová).]
6.3   Spektrální třídy
Příslušnost hvězdy k určité spektrální třídě se určuje podle rozložení energie ve spektru do vlnových délek a podle přítomnosti spektrálních čar. Záření hvězdy je vysíláno z hvězdné atmosféry (fotosféry), jejíž teplota určuje charakter spektra.
6.3.1   Harvardská klasifikace
V 60. letech 19. st ital Angelo Secchi poprvé roztřídil hvězdy podle vizuálního pozorování jejich spekter. Jeho klasifikace měla pouze 4 třídy. Následné použití fotografie v astronomii vedlo k mnohem přesnější klasifikaci hvězd. Dnes se používá tzv. Harvardská klasifikace zavedená v 90. letech 19. st a zdokonalená na poč. 20. st ředitelem Harvardské observatoře Edwardem C. Pickeringem (1846-1919) a jeho spolupracovníky (Williaminou Flemingovou, Annie Cannonovou a mnoha dalšími). Na základě jejich práce byl sestaven mnohasvazkový katalog hvězdných spekter Henryho Drapera3 - tzv. HD katalog.
Harvardská klasifikace se skládá ze 7 základních spektrálních tříd, označených písmeny O, B, A, F, G, K, M.4 Ze všech hvězd jasnějších než 8. mag jich do těchto 7 tříd náleží plných 99, 8%. Tato posloupnost je zároveň posloupností barev od horkých (O) po chladné (M) hvězdy, tedy posloupností teplotní.5
K těmto základním sedmi třídám se připojují další, ve vesmíru méně časté třídy. Před třídu O se řadí třídy Q, P, W, protože mají vyšší teplotu. Třída Q jsou novy, P označují plynné mlohoviny, W jsou Wolfovy-Rayetovy hvězdy. Za třídu M se řadí vzácné typy spekter: S - zirkonové hvězdy, R a N označují uhlíkové hvězdy. Pro hnědé trpaslíky je zavedena třída L. Podrobnější popis charakterických znaků daných tříd je v tabulce 6.2.
3Henry Draper (1837-1882) byl americký astrofyzik a průkopník hvězdné spektroskopie.
4Pro snadné zapamatování této posloupnosti vznikla celá řada mnemotechnických pomůcek, např. Oh Be A Fine Girl (Guy), Kiss Me, nebo Only Bad Astronomers Forget Generally Known Mnemonics.
5Hvězdám typu O, B, A se někdy říká hvězdy ranného spektrálního typu, hvězdám chladnějším K, M hvězdy pozdního spektrálního typu. Toto označení se používá už jen z historických důvodů, z dob, kdy se všeobecně soudilo, že teplotní posloupnost je zároveň posloupností vývojovou (hvězda se rodí jako žhavé těleso a postupně chladne a vyhasíná).
80
6. HVĚZDY
R "N
W- O - B - A - F - G — K - M - L - T
S
Obrázek 6.3: Hardvardská spektrální klasifikace. Původní klasifikace spekter používala písmena spekter v abecedním pořádku. Postupem času se ukázalo, že některé ze skupin vůbec neexistují a u jiných bylo třeba změnit pořadí. Takto vznikla dnešní posloupnost spektrálních tříd. Zdroj:
http://hvezdyMstro.cz/charakteristika/4-spektralni-typy-hvezd.
Tabulka 6.2: Charakteristické rysy základních spektrálních tříd O, B, A, F, G, K, M a jejich nejznámnější zástupci.
Spektrální třída	Barva hvězdy	Povrchová teplota	Hvezdy
0	modrá	50 000 - 30 000 K	Alnitak, Mintaka
B	modrobílá	30 000- 11 000 K	Rigel, Spica, Regulus
A	bílomodrá	11 000-7 500 K	Sirius, Vega, Altair
F	žlutobílá	7 500 - 6 000 K	Canopus, Procyon
G	žlutá	6 000 - 5 000 K	Slunce, Capella
K	oranžová	5 000 - 3 500 K	Arkturus, Aldebaran
M	červená	3 500 - 3 000 K	Betelgeuze, Antares
Charakteristické čáry objevující se ve spektrech hvězd jednotlivých spektrálních tříd jsou uvedeny v tabulce6.3 a ukázány na následujícím obr. 6.4.
Spektrální třídy, s výjimkou spektrálních tříd Q a P, jsou dále děleny na deset podtříd označených číslicemi 0-9. Tyto číslice označují přechod mezi sousedními třídami a kladou se za velké písmeno označující spektrální třídu, např. třída A5 je uprostřed mezi A0 a F0, třída A9 se jen velmi málo liší od třídy F0.
6.3.2   Třídy svítivosti
Od zavedení Harvardské klasifikace bylo zřejmé, že hvězdy jedné spektrální třídy mohou mít různou svítivost (absolutní hvězdná velikost). Proto se zavedla svítivost jako druhý parametr při klasifikace hvězd. Zatímco údaje o spektrálním typu vypovídají více o povrchové teplotě hvězd, třídy svítivosti nám poskytují informace o tlaku v atmosféře hvězdy (určují se hlavně z profilu spektrálních čar ionizovaných prvků).
Běžně se používá Morganova-Keenanova klasifikace, která za označení Harvardské spektrální třídy (např. A5) připojuje římskou číslici označující třídu svítivosti.
6.3. SPEKTRÁLNI TŘÍDY 81
Tabulka 6.3: Charakteristické čáry objevující se ve spektrech hvězd náležících jednotlivým spektrálním třídám.
Spektrální	Charakteristické čáry
třída	
0	ionizované a neutrální helium, slabý vodík
B	neutrálni hélium, silnější vodík
A	velmi silné čáry vodíku
F	slábnou čáry vodíku, objevují se čáry vápníku a kovů
G	silné čáry vápníku, intenzivní čáry kovů, ještě patrné slabé čáry vodíku
K	nej silnější jsou čáry kovů, objevují se absorpční pásy molekul
M	nej výraznější jsou pásy molekul, mnoho absorpčních čar železa
6.3.3 Hertzsprungův-Russellův diagram
Mezi povrchovou teplotou hvězdy (spektrální třídou) a její zářivostí (absolutní hv. veliskotí) platí velmi důležitá závislost, kterou můžeme znázornit v Hertzsprungově-Rusellově diagramu (HR diagramu).6
Hvězdy nezaplňují plochu HR diagramu rovnoměrně, ale soustřeďují se v několika oblastech. Většina hvězd se nachází v úzkém pásu, který vede z horního levého rohu (kde jsou hvězdy žhavé s obrovskou zářivostí) do pravého dolního rohu (hvězdy chladné, červené a velmi slabé). Tento pás se nazývá hlavní posloupnost. Obsahuje přes 90% všech hvězd včetně našeho Slunce.
Další skupina hvězd je soustředěna v oblasti nízkých povrchových teplot ale vysokých výkonů. Jde o skupiny červených obrů a veleobrů.7 Pod hlavní posloupností, v oblasti malých zářivých výkonů a vysokých povrchových teplot, se nachází skupina bílých trpaslíků. Hvězdy spektrálních tříd K a M s malým zářivým výkonem označujeme jako červené trpaslíky.
Pomocí HR diagramu můžeme odhadnout vzdálenost hvězdy, známe-li její spektrální třídu a to ke které skupině (obrů, veleobrů, hlavní posloupnosti ...) patří.8 Z diagramu můžeme pak vyčíst její absolutní hvězdné velikost a ze známé napozorované zdánlivé hvězdné velikosti určit její vzdálenost pomocí Pogsonovy rovnice.
6.3.4 Systém UBV a UBVRI
Jedním z hlavních úkolů astrofyziky je studovat průběh vyzářené energie v závislosti na frekvenci záření vesmírných objektů. Zemská atmosféra ale určité části spektra pohlcuje, takže na zemském povrchu
6Tato závislost byla objevena v roce 1909 dánským astronomem Ejnarem Hertzsprungem (1873-1967) a americkým astronomem Henry Russellem (1877-1957).
7Podíváme-li se na HR diagram, ve kterém jsou vyznačeny i rozměry hvězd, uvidíme, že pojmenování "obři", "veleobři"má své dobré opodstatnění.
8Rozdíly ve spektrech obřích a trpasličích hvězd jsou velice nápadné, proto lze ze spektra hvězdy vyčíst, k jaké skupině hvězda patří.
82
6. HVĚZDY
Tabulka 6.4: Některé charakteristiky hvězd nacházejících se na různých větvích Hertzsprungova-Russellova diagramu. Data převzata z Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
Spektrální třída	Abs. viz. hv. velikost Mv	Barevný index B — V	Ef. povrchové teploty	Bar. povrchové teploty Tc
H		avní posloupnost V		
05	-6	-0,45	35 000	70 000
BO	-3,7	-0,31	21 000	38 000
B5	-0,9	-0,17	13 500	23 000
AO	+0,7	0,00	9 700	15 400
A5	+2,0	+0,16	8 100	11 100
FO	+2,8	+0,30	7 200	9 000
F5	+3,8	+0,45	6 500	7 600
GO	+4,6	+0,57	6 000	6 700
G5	+5,2	+0,70	5 400	6 000
KO	+6,0	+0,84	4 700	5 400
K5	+7,4	+1,11	4 000	4 500
MO	+8,9	+1,39	3 300	3 800
M5	+12,0	+1,61	2 600	3 000
Obři III				
GO	+1,8	+0,65	5 400	6 000
G5	+1,5	+0,84	4 700	5 000
KO	+0,8	+1,06	4 100	4 400
K5	0,0	+1,40	3 500	3 700
MO	-0,3	+1,65	2 900	3 400
M5	-0,5	+1,85		3 000
Veleobři I				
BO	-6,4	-0,21		
AO	-6,0	0,00		
FO	-5,6	+0,30	6 400	
GO	-4,4	+0,76	5 400	6 200
G5	-4,4	+1,06	4 700	5 300
KO	-4,4	+1,42	4 000	4 600
K5	-4,4	+1,71	3 400	
MO	-4,4	+1,94	2 800	
M5		+2,15		
6.3. SPEKTRÁLNI TŘÍDY
83
spektrální [řídil
Ne     bdi lei LeEI   IE II
														
n                     [[ n														
														
n														
														
				CaCa			Ke							
														
Ca									Kcľc Nbl					
														
li
A
ľ
(i
										K
					TiO.Fe.Mn.My					
										M
J ■ -■■ ■ —1-í-					—1-	SOD		-1-	600 700 1   1   1 1	
?5ť! ' 4Ô0 550    650 75(1
ľ I novů dčlkíi [um]
Obrázek 6.4: Harvardská spektrální klasifikace. Schematický vzhled spekter základních spektrálních tříd. Zdroj: Zejda, M. Základy astronomie, Brno 2013, upraveno.
můžeme měřit jen v oblastech propustnosti atmosféry, které se ale mění podle aktuálních podmínek. Výhodné by tedy bylo vymezit okna propustnosti jiným ("umělým") způsobem, aby nepodléhaly místním ani časovým změnám. K tomuto účelu se využívají sady fotometrických filtrů, které propouštějí záření jen v přesně definovaných intervalech vlnových délek.9
Každý filtr je definován nejen oblastí spektrální propustnosti, ale i tvarem funkce propustnosti. V
9V oblasti světla jde s trochou nadsázky o úseky odpovídající určitým barvám, proto se někdy mluví o fotometrických pozorováních v určitých barvách.
84
6. HVĚZDY
Tabulka 6.5: Morganova-Keenanova spektrální klasifikace.
Třída svítivosti	Typ hvězdy	Zástupci
la	jasní veleobři	Deneb, Rigel
Ib	veleobři	Antares, Betelgeuze
II	nadobři (jasní obři)	Mintaka, Adhara
III	obři	Arcturus, Capella
IV	podobři	Procyon, Achernar
V	hvězdy hl. posloupnosti	Slunce, Sirius A
VI	podtrpaslíci	Kapteynova hvězda
VII	bílí trpaslíci	Sirius B
praxi se používají sady vhodně zvolených filtrů, dnes je těchto sad přes 200. První systém filtrů navrhli Johnson & Morgan (1953). Původní systém filtrů UBV je vymezen barevnými filtry pro ultrafialovou barvu U (ultraviolet) s maximem propustnosti pro vlnovou délku A = 365 nm, modrou barvu B (blue) s maximem propustnosti pro vlnovou délku A = 440 nm a visuální V (visual) s maximem propustnosti pro vlnovou délku A = 550 nm. Na tento tříbarevný systém navazují další barvy v dlouhovlnném oboru spektra: červený R (red) s maximem propustnosti pro vlnovou délku A = 700 nm a infračervený I (infrared) s maximem A = 800 nm. Tento systém UBVRI je vidět na obr. 6.7.
6.3.5   Barevný index B — V
Rozdíly zdánlivých (nebo absolutních) hvězdných velikostí téhož objektu změřených ve dvou různých filtrech označujeme jako barevný index.
B -V = mB-my = MB- My.w (6.43)
Hodnota barevného indexu B — V nám poskytuje informace o tom, v jaké barvě hvězda nejvíc září a jaká je její povrchová teplota. Hvězda s menším B — V indexem je modřejší než hvězda s vyšším indexem. Horké namodralé hvězdy budou mít index B — V záporný! To souvisí s tím, že hvězdná velikost klesá s rostoucí jasností hvězd!
Barevný index souvisí s barevnou povrchovou teplotou Tc vztahem
5-^ = ^- 0,52. (6.44)
-í c
6.3.6   Barevný exces EB_V
Barevný index nezávisí na vzdálenosti hvězdy, může být ale ovlivněn mezihvězdnou extinkcí. Při ní je část záření pohlcena mezihvězdným materiálem, nacházejícím se mezi zdrojem a pozorovatelem. Díky mezihvězdné extinkci se nám pak pozorované objekty jeví více červené než ve skutečnosti jsou. Množství
10Vždy se odečítá hvězdná velikost pro kratší vlnovou délku mínus hvězdná velikost pro delší vlnovou délku.
6.3. SPEKTRÁLNI TŘÍDY
85
absolutní hvězdná velikost M.
BO        AO      FO       GO       KO MO
spektrální třída
Obrázek 6.5: Luminozitní třídy. Zdroj: Z. Pokorný: Vademecum [online], Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně.
spektrální třída
Obrázek 6.6: Schématický Hertzsprungův-Russellův diagram. Na vodorovné ose jsou spektrální třídy (související s povrchovou teplotou hvězd), na svislé ose absolutní hvězdná velikost M (související se zářivostí hvězd). Zdroj: Z. Pokorný: Vademecum [online], Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně.
zčervenání je charakterizováno barevným excesem, což je rozdíl mezi pozorovaným barevným indexem
86
6. HVĚZDY
MIM MZM    M^    WSM MVM
											
											
											
A	,fi\		\	/							
	\										
/	l \										
/	|l										
/	j '										
li	\ i										
/ /								s			
300 400 500 600 700 300 900 1000 1100
U^fevelengUi[nm)
Obrázek 6.7: Křivky propustnosti filtrů pro nejběžnější širokopásmový Johnsonův systém UBVRI. Zdroj \//www. asahi-spectra. com
a normálním (tj. bez vlivu extinkce). Například ve fotometrickém systému UBV je barevný exces:
Eb-v = {B- V)poz - (B - V)Iloim. (6.45)
6.3.7   Bolometrická korekce
Pokud budeme chtít znát jasnost (nebo hvězdnou velikost) objektu nejen v určité části spektra, ale v celém spektrálním oboru, musíme danou fyzikální veličinu přepočítat na tzv. bolometrickou. Rozdíl mezi vizuální a bolometrickou hvězdnou velikostí se udává bolometrická korekce BC.
BC = mv - mboi = Mv - Mboiu (6.46)
Bolometrická korekce je přibližně nulová pro hvězdy spektrální třídy F (Tef = 6 800 K). Pro všechny ostatní hvězdy je pak kladná. U některých hvězd činí bolometrická korekce až několik magnitud, takže určitě není zanedbatelná! Stejná bolometrická korekce platí jak pro zdánlivé tak i absolutní hvězdné velikosti. Pokud se tedy dopracujeme až k absolutním bolometrickým hvězdným velikostem, můžeme pak přímo proměřovat jejich zářivý výkon.
6.3.8   Poloměry hvězd
Poloměry hvězd se obvykle udávají v jednotkách poloměru Slunce Rq nebo v km. Poloměr Slunce je 6, 96 • 105 km. Poloměr hvězdy (v jednotkách Rq) lze vyjádřit pomocí absolutní teploty T a absolutní vizuální hvězdné velikosti Mv:
log R= ^ -0,20 Mv, (6.47) nebo pomocí absolutní bolometrické hvězdné velikosti
log i? = 8,53 - 0,2Mboi - 2 logT. (6.48)
"Pozor! V některých zdrojích je bolometrická korekce definována opačným způsobem, tedy: BC = mboi — rnv.
6.3. SPEKTRÁLNÍ TŘÍDY
87
Tabulka 6.6: Bolometrické korekce BC a absolutní hvězdné velikosti pro hvězdy na některých větvích Hertzsprungova-Russelova diagramu. Data převzata z Široký, Široká: Základy astronomie v příkladech.
Sp. třída	Hlavní posloupnost		Obři		Veleobři	
	BC	Mboi	BC	Mboi	BC	Mboi
05	4,6	-10,6				
BO	3,0	-6,7			3	-9,4
B5	1,6	-2,5				
AO	0,68	0,0			0,7	-6,7
A5	0,30	+1,7				
FO	0,10	+2,7			0,2	-5,8
F5	0,00	+3,8				
GO	0,03	+4,6	0,1	+0,7	0,3	-4,7
G5	0,10	+5,1	0,3	+1,2	0,6	-5,0
KO	0,20	+5,8	0,6	0,2	1,0	-5,4
K5	0,58	+6,8	1,0	-1,0	1,6	-6,0
MO	1,20	+7,6	1,7	-2,0	2,5	-6,9
M5	2,1	+9,8	3,0	-3,4	4,0	
6.3.9 Úhlové průměry hvězd
Uhlové průměry hvězd d souvisí se skutečnými poloměry R hvězd vztahem:
d=^irR, (6.49)
kde 7r je roční paralaxa hvězdy v obloukových vteřinách a ^ je průměr Slunce v astronomických jednotkách (au). Pokud bychom tento vztah převedli do logaritmického tvaru získáme
logd = log7r + logi?- 2,03, (6.50)
nebo s využitím vztahu (6.47)
logd = log7r + ^-^-0,20Mv-2,03. (6.51) Převedeme-li absolutní hvězdnou velikost na zdánlivou hvězdnou velikost, obdržíme vztah
log d = - 0,20 mv - 3,03. (6.52)
6.3.10 Hmotnosti hvězd
Hmotnosti hvězd 5JÍ se obvykle vyjadřují v jednotkách hmotnosti Slunce 9Jt0 = 1, 989 • 1030 kg. Obecně souvisí hmotnost hvězdy s její zářivostí, tedy s její absolutní bolometrickou hvězdnou velikostí M^0\. Tuto závislost můžeme matematicky popsat rovnicí:
log 371 = 0,56-0,12 Mb61.
(6.53)
88
6. HVĚZDY
6.3.11 Hustoty hvězd
Hustoty hvězd se udávají buď v jednotkách hustoty Slunce p& nebo v jednotkách kg • m~3. Střední hustota Slunce je p& = 1,408 • 103 kg • m~3.
Hustotu hvězdy v jednotkách hustoty Slunce vypočítáme ze vztahu
P=y, (6-54)
kde 5JÍ je hmotnost hvězdy dosazená v jednotkách hmotnosti Slunce (Vfll® = 1, 989 • 1030 kg) a V je objem hvězdy udaný také v jednotkách objemu Slunce (V® = 1,412 • 1027 m3).
6.3.12 Úlohy
1. Hvězda spektrální třídy A0 má zdánlivou vizuální hvězdnou velikost m = +6, 5m. Jaká je její pravděpodobná paralaxa a vzdálenost v pc, patří-li hvězda ke hvězdám na hlavní posloupnosti?
[V tabulce vyhledáme střední absolutní hvězdnou velikost pro hvězdy spektrální třídy A0 ležící na hlavní posloupnosti, Mv = +0, 7m. Pravděpodobnou paralaxu určíme z upravené Pogsonovy rovnice
M - m - 5
logTr =---= -2,16. (6.55)
5
Odtud paralaxa ir = 0, 0069" a vzdálenost v pc: r = ^ = 145 pc]
2. Hvězda spektrální třídy G0 má zdánlivou hvězdnou velikost m = +4, 9m. Jaká je její pravděpodobná paralaxa, patří-li hvězda ke a) hlavní, b) posloupnosti obrů, c) k posloupnosti veleobrů?
[V tabulce vyhledáme hodnoty absolutní hvězdné velikosti pro hvězdy spektrální třídy G0 pro jednotlivé posloupnosti.
a) G0, hlavní posloupnost M = 4, 6m, tt = 0, 087"
b) G0, posloupnost obrů M = 1, 8m, tt = 0, 024"
c) G0, posloupnost veleobrů M = -4, 4m, tt = 0, 0014". ]
3. Hvězda spektrální třídy M0 má zdánlivou hvězdnou velikost m = +0,45m. Jaká je její pravděpodobná paralaxa, patří-li hvězda ke a) hlavní, b) posloupnosti obrů, c) k posloupnosti veleobrů? Jaká je její pravděpodobná vzdálenost v ly pro jednotlivé případy?
[Analogicky jako v minulém příkladu:
a) M0, hlavní posloupnost M = +8, 9m, tt = 4, 89", r = 0, 67 ly
b) M0, posloupnost obrů M = -0, 3m, tt = 0, 07", r = 0,47 ly
c) M0, posloupnost veleobrů M = -4,4m, tt = 0, 01", r = 326 ly.]
4. Hvězda spektrální třídy F0 je ve vzdálenosti 400 pc od Slunce. Její zdánlivá vizuální hvězdná velikost je m = +10, 5m. Určete ke které posloupnosti hvězda patří? Jaká je absolutní bolometrická hvězdná velikost této hvězdy?
[M = 2, 5m. Z tabulky ... zjistíme, že hvězda patří k hlavní posloupnosti. V tabulce ... najdete hodnotu bolometrické korekce pro tyto hvězdy: B.C. = 0,10. Pak absolutní bolometrická hvězd velikost Mboi = +2, 6m]
6.3. SPEKTRÁLNÍ TŘÍDY
89
5. Určete zdánlivou a absolutní bolometrickou hvězdnou velikost hvězdy spektrální třídy K5, náležící do posloupnosti veleobrů, znáte-li její vizuální hvězdnou velikost mv = +6,45m. Bolometrickou korekci si vyhledejte v tabulce.
[V tabulce zjistíme: BC = 1, 6, m^i = mv — BC = 4, 85m. Z tabulky zjistíme i Mboi = —6, 0 a obdobně jako pro zdánlivé hvězdné velikosti platí i pro absolutní hvězdné velikosti Mv =
BC + Mbol = -4,4m]
6. Určete zdánlivou i absolutní bolometrickou hvězdnou velikost pro hvězdu spektrální třídy B5, ležící na hlavní posloupnosti, je-li její zdánlivá hv. velikost mv = +14, 0m. Určete také její zářivost v jednotkách luminosity Slunce j^.
[mboi = 12,4m, Mv = -0, 9m, ze vztahu (6.28) vypočteme     = 787.]
7. Určete zdánlivou i absolutní bolometrickou hvězdnou velikost pro hvězdu spektrální třídy A0, náležící k větvi veleobrů, je-li její zdánlivá hvězdná velikost mv = +1, 25m. Určete její zářivost v jednotkách luminosity Slunce j^.
[mbol = 0, 55m, Mv = -6, 0m, ^ = 37 700]
8. Hvězda spektrální třídy G0 patřící k posloupnosti obrů má paralaxu tt = 0, 002". Jaká je její zdánlivá vizuální velikost, uvažujeme-li koeficient absorpce 0, 6m na kiloparsek.
[V tabulce si vyhledáme absolutní hvězdnou velikost, Mv = 1, 8m, pak z rce. (6.11):
m = M-5-51og7r + - (6.56)
tt
vypočteme mv = 10, 6m.]
9. Vypočtěte index B — V pro hvězdu o barevné povrchové teplotě Tc = 3 400 K. [5-F = +l,63m]
10. Vypočtěte index B — V pro hvězdu o barevné povrchové teplotě Tc = 35 000 K.
[B -V = -0,31m]
11. Vypočtěte barevnou povrchovou teplotu a pomocí tabulky určete spektrální typ hvězdy, náležící do posloupnosti obrů, je-li její index B — V = +0, 69m.
[Tc = 6 000 K, spektrální třída G]
12. Vypočtěte barevnou povrchovou teplotu a určete spektrální třídy hvězd hlavní posloupnosti, jejichž indexy B - V jsou: a) -0, 30m, b) -0, 0m , c) +0, 70m.
[Barevná povrchová teplota:
a) Tc = 33 000 K, spektrální třída B
b) Tc = 14 000 K, spektrální třída A
c) Tc = 6 000 K, spektrální třída G.]
90
6. HVĚZDY
13. U které vlnové délky je maximum energie pro hvězdu, jejíž index B — V = +0, 78m? [Tc = 5 615 K. Po dosazení do Wienova zákona: A = 520 nm]
14. Vypočtěte poloměr hvězdy Betelgeuze (a Ori) v jednotkách slunečního poloměru, víte-li že para-laxa hvězdy tt = 0, 0067", úhlový průměr d = 0, 04".
[Uhlový průměr hvězdy d souvisí se skutečným poloměrem hvězdy R (v jednotkách Rq) a roční paralaxou hvězdy tt (v obloukových vteřinách) vztahem:
d=^TrR (6.57)
Odtud R = 638 R0.]
15. Vypočtěte poloměr hvězdy Antares (a Sco) v jednotkách slunečního poloměru, je-li její zdánlivá hvězdná velikost mv = +0, 98m, paralaxa tt = 0, 0087" a povrchová teplota T = 3 100 K.
[Z Pogsonovy rovnice určíme absolutní vizuální hvězdnou velikost: Mv = m + 5 + 5 log tt = -4, 32m. Dosazením do vztahu (6.47) obdržíme: R = 585 RQ.]
16. Určete poloměr hvězdy Aldebaran (a Tau) a vypočtěte jeho úhlový průměr. Paralaxa Aldebarana je tt = 0, 057", povrchová teplota T = 3 300 K, absolutní vizuální hvězdná velikost Mv = —0, lm.
[R = 63 R0, d = 0,034"]
17. Kolikrát je poloměr hvězdy o absolutní hvězdné velikosti M\ = —4, 0m větší než poloměr hvězdy s M2 = +13,4m, jsou-li teploty obou hvězd stejné.
[Odečtením výrazů pro poloměry jednotlivých hvězd dostaneme:
log^ = -0,2(Mi-M2) (6.58)
Po číselném vyjádření:
R
-i = 3 020.] (6.59)
R2
18. Určete pomocí závislosti hmotnost - absolutní hvězdná velikost hmotnost Polárky (a UMi) v jednotkách hmotnosti Slunce. Její absolutní vizuální hvězdná velikost je —3, 7m. Absolutní bolo-metrickou hvězdnou velikost klademe v tomto příkladě rovnu absolutní vizuální hvězdné velikosti.
[Dosazením do vztahu: log TI = 0, 56 - 0,12 Mhoi vyjde 5JÍ = 10 9Jl0.]
19. Pomocí závislosti hmotnost - absolutní hvězdná velikost vypočtěte hmotnost hvězdy, jejíž paralaxa je tt = 0,19 ", zdánlivá hvězdná velikost m = 4, 3m. Absolutní bolometrickou hvězdnou velikost klademe v tomto příkladě rovnu absolutní vizuální hvězdné velikosti.
[371 = 102 a7lQ]
6.3. SPEKTRÁLNI TŘÍDY
91
20. Vypočtěte hustotu hvězdy 40 Eri B jejíž hmotnost je 0, 31 Wl&, teplota T = 12 500 K, absolutní vizuální hvězdná velikost Mv = +11, 3m. Hustotu vyjádřete v jednotkách hustoty Slunce, v jednotkách kg • m~3. Jaká je to hvězda?
[R = 0, 0163 R0, p = 72 000 p0 = 1 • 108 kg • m~3, hvězda je bílý trpaslík.]
21. Vypočtěte hmotnost, poloměr a střední hustotu hvězdy, jejíž zdánlivá hvězdná velikost je +0, 21m, paralaxa7r = 0, 073", povrchová teplota T = 6 000 K. Absolutní bolometrickou hvězdnou velikost klademe v tomto příkladě rovnu absolutní vizuální hvězdné velikosti.
[9Jt = 4,15JÍ0, R = 12R0, p = 0,0024p0 = 3,3kg-m-3]
22. Uhlový průměr Vegy je d = 0, 0037", paralaxa tt = 0,124", zdánlivá hv. velikost m = +0, 04m. Vypočtěte poloměr Vegy, její hmotnost, střední hustotu a povrchovou teplotu.
[R = 3, 2 R0, M = 0,5M, tm = 3,2 5JÍ0,p = 0, lp0 = 140kg • m~3, T = 9 700K]
23. Při velké (perihéliové) opozici Marsu byla jeho zdánlivá hvězdná velikostmi = —2, 8m, vzdálenost Marsu od Slunce byla r\ = 207-106 km, vzdálenost od Země byla d\ = 56-106 km. Jaká je zdánlivá hvězdná velikost Marsu při aféliové opozici, kdy je jeho vzdálenost od Slunce r2 = 249 • 106 km, vzdálenost od Země cfo = 100 • 106 km.
[Intenzita světla u těles, které svítí pouze odraženým slunečním světlem, klesá s druhou mocninou vzdálenosti od Slunce a s druhou mocninou vzdálenosti od Země. Označíme-li intenzitu Marsu při perihéliové opozici I\ a intenzitu při aféliové opozici I2, platí pro jejich poměr:
h ridi h rfdf
Dosadíme-li poměr do Pogsonovy rovnice, obdržíme pro rozdíl hvězdných velikostí:
rri2 — mi = 2,5 log —- = 5 log 2 2 (6.61) h ndi
Pro hledanou zdánlivou hvězdnou velikost m,2 dostaneme:
rri2 = m\ + 5 logr2<Í2 — 5 logritZi (6.62)
Číselně: m2 = -1,14m.]
24. Vypočtěte zdánlivou hvězdnou velikost m\ planetky při její vzdálenosti od Slunce r\ =4,0 AU, od Země d\ =6,0 AU, je-li velká poloosa její dráhy a = 3, 0 au a hvězdná velikost při střední opozici m,2 = 12, 0m. Při střední opozici je vzdálenost planetky od Slunce r2 = a, od Země d2 = a — 1.
[
m\ — m,2 = 2,5 log     = 5 log 1 1 (6.63) h r2d2
Po číselném dosazení m\ = 15m.]
92
6. HVĚZDY
25. Při opozici je zdánlivá hvězdná velikost Jupitera —2, 50m. Vzdálenost Jupitera od Slunce je r\ = 5, 20 au. Jaká by byla jeho zdánlivá hvězdná velikost při opozici, kdyby byl ve dvojnásobné vzdálenosti od Slunce, než je ve skutečnosti?
[Označíme vzdálenost Jupiteru od Země d\ = 4,2 au, novou vzdálenost Jupiteru od Slunce r2 = 10,40 au a Jupiteru od Země <i2 = 9,4 au. Po dosazení obdržíme: rri2 = +0, 75m.]
26. Při opozici je zdánlivá hvězdná velikost Jupitera —2, 50m. Jaká by byla jeho zdánlivá hvězdná velikost pro pozorovatele na Marsu v době, kdy je Jupiter v nejmenší vzdálenosti od Marsu? Poloměr dráhy Marsu je 1, 52 au, poloměr dráhy Jupitera je 5, 2 au. Dráhy pokládejte za kruhové.
[m2 = -2, 79m]
27. Je-li Saturn v nejmenší vzdálenosti od Země , je jeho zdánlivá hvězdná velikost —0,10m. Jaká by byla jeho maximální zdánlivá hvězdná velikost pro pozorovatele na Jupiteru? Poloměr Jupiterovy dráhy je 5, 20 au. Poloměr Saturnovy dráhy 9, 55 au. Dráhy obou planet pokládejte za kruhové.
[m2 = -l,57m]
28. O kolik se změní zdánlivá hvězdná velikost komety, zmenší-li se její vzdálenost od Země i od Slunce na polovinu.
[Protože komety nesvítí pouze odraženým slunečním světlem, klesá intenzita jejich světla v mnoha případech se čtvrtou mocninou vzdálenosti od Slunce. Pro poměr intenzit platí tedy v tomto případě
h rfdf
kde ri, r2 jsou vzdálenosti komety od SLunce a d±, d2 vzdálenosti od Země. V našem případě
r\ d
r-2 =
Poměr intenzit bude
r2 = —,       d2 = —. (6.65)
I=    = h (6-66)
Po dosazení do Pogsonovy rovnice obdržíme m2 = mi — 4, 5m. Zdánlivá hvězdná velikost komety se zmenší o 4, 5m.]
29. Kometa měla ve vzdálenosti d\ = 0, 5 au od Země ari = 1, 5 au od Slunce zdánlivou hvězdnou velikost m\ = 8, 0m. Vypočtěte jekou má hvězdnou velikost ve vzdálenosti r2 = 1 au od Slunce a cZ2 = 1 au od Země. Intenzita klesá se čtvrtou mocninou vzdálenosti od Slunce.
[m2 = 7, 74m]
6.4   Stavba hvězd a procesy ve hvězdném nitru
Hvězdy jsou dostatečně hmotná souvislá gravitačně vázaná tělesa, která jsou po většinu své existence v mechanické a energetické rovnováze. Stavba hvězdného nitra je popsána čtyřmi základními rovnicemi struktury doplněnými o tři materiálové vztahy, jež odrážejí složení hvězdné látky (stavová rovnice), míru
6.4. STAVBA HVĚZD A PROCESY VE HVĚZDNÉM NITRU
93
interakce záření s látkou (opacita) a typ termonukleární reakce v centru hvězdy (energetická výtěžnost reakce). V dalším se omezíme pouze na sféricky symetrické konfigurace, v nichž veškeré veličiny charakterizující hvězdu závisí pouze na radiální souřadnici r.
Mechanická rovnováha ve hvězdách má podobu hydrostatické rovnováhy, při níž vlastní gravitaci hvězdy vzdoruje síla daná rozdílem tlaků v jednotlivých vrstvách - síla tlakového gradientu.
Na obrázku vidíme element tlouštky dr a hmotnosti dm = p dV, kde p = p(r) je hustota hvězdného materiálu ve vzdálenosti r od centra hvězdy a dV = drdS*. Na element působí jednak tlakové síly určené hodnotou tlaku P v daném místě a dále vlastní gravitace hvězdy určená hmotností Mr obsaženou v kouli o poloměru r. Má-li být element v rovnováze, musí se gravitační a tlakové síly vzájemně kompenzovat:
_GMrdva + pdS _ (p + dp)dS = Q
(6.67)
Dosadíme-li za dm = p drdS*, pak po úpravě dostáváme rovnici hydrostatické rovnováhy pro sféricky symetrické hvězdy:
dP GMT
— =--^p. (6.68)
dr rz
Pro sférické rozložení hmoty ve hvězdě dále platí rovnice zachování hmoty ve tvaru
dMr
dr
Aur2 p.
(6.69)
Hlavním dlouhodobým zdrojem energie hvězd jsou termonukleární reakce probíhající v jejich centru, z nichž nejvydatnější je syntéza vodíku 1H na helium 4He. V zásadě tato syntéza může probíhat dvěma způsoby: v proton-protónovém řetězci a CNO cyklu. Pokud teplota v centru hvězdy přesáhne 108K, dojde k zapálení Salpeterovy reakce, neboli 3a-procesu, při němž se 3 jádra helia 4He postupně přemění v jádro uhlíku 12C. U dostatečně hmotných hvězd může nukleosyntéza pokračovat dál a dojít až k železu 56Fe, což je jádro s největší vazebnou energií na nukleon, tedy nejtěsněji vázaný prvek. Toto je však případ jen těch nejhmotnějších hvězd, většina hvězd, podobně jako naše Slunce, zkončí svůj jaderný vývoj u uhlíku a kyslíku.
Při všech těchto reakcích dochází k uvolňování energie zejména v podobě elektromagnetického záření a neutrin. Množství energie, které se za jednotku času uvolní jaderným hořením 1 kg hvězdného materiálu, udává tzv. energetická výtěžnost reakce e. Pro jednotlivé reakce ji můžeme psát fenomenologicky jako funkci hustoty a teploty ve tvaru12
(6.70)
kde pro jednotlivé reakce se většinou uvádí:
p — p :	v =	1,	A	= 4,
CNO :	v =	1,	A	= 15-18
3a :	v =	2,	A	~ 40.
1 V literatuře můžeme najít i složitější vyjádření závislosti zohledňující mj. i chemické složení hvězdného materiálu, viz třeba Harmanec, P. a Brož, M.: Stavba a vývoj hvězd. MATFYZPRESS Praha, 2011.
94
6. HVĚZDY
Je-li Lr zářivý výkon procházející povrchem koule o poloměru r, pak jeho změna na vzdálenosti dr jaderně aktivní oblasti je ve stacionárním případě popsaná rovnicí
—L = 47rr2pe, (6.71) dr
vyjadřující energetickou rovnováhu ve hvězdě.
Je-li hvězda v rovnováze, pak se v jejím nitru uvolní právě tolik energie, kolik jí hvězda odevzdá do okolí. Aby teplo pokud možno samočinně postupovalo směrem k povrchu, je ve hvězdě nutný teplotní spád (gradient). Jeho výše souvisí se způsobem přenosu energie. V principu existují tři: (i) časticová difúze, (ii) zářivá difúze, (iii) konvekce. První dva způsoby jsou mikroskopické a jejich míra uplatnění souvisí se střední volnou dráhou částic resp. fotonů. V případě běžných hvězd je časticová difúze (přenos energie vedením tepla) krajně neúčinná a uplatňuje se výhradně difúze fotonů ionizovaným materiálem hvězdy. Jiná situace je ovšem v elektronově degenerované látce, kterou můžeme najít v nitrech bílých trpaslíků a neutronových hvězd. Třetí způsob je makroskopický a nastává v případech, kdy zářivá rovnováha již není možná - teplotní gradient je natolik velký, že daná vrstva přestane být vůči konvekci stabilní a dojde k makroskopickému přenosu hmoty. Toto nastává zejména v oblastech s velkým zářivým tokem a taky tam, kde záření velmi účinně interaguje s látkou, tj. v místech s velkou opacitou.
V případě přenosu energie zářivou difúzí je teplotní gradient ve sférických hvězdách dán výrazem
dT        3re p   Lr ^ dr        16cr T3 47rr2 '
kde a je Stefanova-Boltzmannova konstanta a re udává opacitu hvězdného materiálu, jejíž vyjádření závisí na způsobu interakce záření s látkou. Ve většině případů vázaně-volných a volně-volných přechodů elektronů je dobrým přiblížením opacita Kramersova typu,
re = re0pT~3'5. (6.73)
V případě řídkých horkých atmosfér velmi hmotných hvězd je ovšem dominantní interakcí Thomsonův rozptyl na volných elektronech a opacita je dána výrazem
rees = 0,02(1 + X)m2 kg"1, (6.74)
kde X vyjadřuje hmotnostní zastoupení vodíku v daném místě, tj. jeho hmotnost v 1 kg materiálu hvězdy.
Rozvine-li se ve hvězdě konvekce, pak dobrým přiblížením je adiabatický teplotní gradient. Pro látku ve stavu ideálního plynu je určen výrazem
dT\ 7-1TGAÍ,
ad
i   )    =" —ňP— (6-75)
kde 7 = cp/cy je adiabatický index (pro jednoatomový ideální plyn je 7 = 5/3).
Poslední rovnicí určující vnitřní stavbu hvězdy je stavová rovnice hvězdné látky. Ačkoliv je látka v nitru hvězdy ve formě vysokoteplotnho plazmatu (směs ionizované látky, volných elektronů a záření), je energie coulombovských interakcí nabitých částic oproti jejich kinetické energii zanedbatelná a látku můžeme s výhodou popsat pomocí stavové rovnice ideálního plynu, v níž tlak P je lineární funkcí hustoty p a teploty T:
P = -?—kT, (6.76) //mu
6.4. STAVBA HVĚZD A PROCESY VE HVĚZDNÉM NITRU
95
kde mu = 1, 66 • 10 27 kg je atomová hmotnostní jednotka a /x je tzv. střední molekulová hmotnost. Pro neutrální plyn je
X,
pn      . Aj
kde X j je hmotnostní zastoupení částic j-tého druhu a Aj = mj/mu je jejich atomová hmotnost. Naproti tomu u zcela ionizovaného plynu přispívají k tlaku látky i volné elektrony a jeho střední molekulová hmotnost je proto dána výrazem
T^Ea + ^T' (6-78)
3 J
kde Z j je protonové číslo j-tého atomu. V případě hvězd s chemickým složením podobným Slunci je
pn = 1,3 a/ij = 0,62.
K celkovému tlaku v nitru hvězd přispívá i tlak záření. Významný je zejména v řídkých oblastech horkých velmi hmotných hvězd, kde je dokonce dominantním zdrojem tlaku. Aplikací zákonitostí statistické fyziky na záření absolutně černého tělesa dostáváme pro tlak fotonového plynu předpis
Pr = \ur = \aT\ (6.79)
kde ur je hustota energie záření a a = 4<t/c = 7, 56 • 10~16 J m~3 K~4 je zářivá konstanta.
V případě bílých trpaslíků a neutronových hvězd, ale taky v centrálních částech hvězd v pokročilejším stupni vývoje, se setkáváme s degenerovaným fermionovým plynem tvořeným degenerovanými elektrony příp. neutrony (neutronové hvězdy). Rozhodující vliv na chování degenerované látky má kvantová mechanika, konkrétně Pauliho vylučovací princip, podle něhož se žádné dva fermiony nemohou nacházet v tomtéž kvantovém stavu. Degenerovaná látka je velmi špatně stlačitelná, tlak degenerovaného plynu závisí velmi silně na koncentraci volných fermionů (potažmo tedy na hustotě) a jen okrajově na teplotě. Často tedy vystačíme se stavovou rovnicí chladné degenerované látky, která má v limitě malých rychlostí (kinetická energie částic je mnohem menší než jejich klidová energie Eq) a v ultrarelativistické limitě (E^ 3> Eq) jednoduchý polytropický tvar
P = KpT, (6.80)
kde T = 5/3 (nerelativistická limita) resp. T = 4/3 (ultrarelativistická limita). Konstanta úměrnosti K je v obou případech různá a závisí taktéž na typu degenerované látky.
6.4.1 Úlohy
1. Předpokládejte, že pro hvězdu platí následující rozložení hustoty
P = Pc
r \ ' RJ
kde pc je centrální hustota a i? je poloměr hvězdy. Určete:
(a) závislost m{r)
(b) závislost M(R), kde M je hmotnost hvězdy, srovnejte hodnoty pro Slunce s realitou
6.4. STAVBA HVĚZD A PROCESY VE HVĚZDNÉM NITRU
97
A dále, že pro hustotu energie může psát
mc
,2
8{x)
kde
1
8r?
|x (x + x2)1/2 (x + 2x2) - ln x+(l+x2)1/2 j
9. Najděte ultrarelativistickou a nerelativistickou limitu vztahů pro tlak a hustotu energie z předchozí úlohy.
10. Určete množství energie uvolněné při vzniku jednoho jádra atomu helia ze čtyř jader atomů vodíku. Určete energii, která vznikne při přeměně jednoho kilogramu vodíku.
11. Určete množství energie uvolněné při přeměně jednoho kilogramu helia 4He na uhlík 12C (tzv. Salpeterova reakce). Srovnejte s energií z předchozí úlohy.
12. Určete minimální hmotnost hvězdy, pro kterou centrální teplota umožňuje zažehnutí vodíkových termonukleárních reakcí. Předpokládejte a) konstantní profil hustoty, b) profil hustoty daný relací p = pc [l — (r/i?)2]. Chemické složení nechť je i) shodné se Sluncem (// = 0, 61), ii) odpovídá hvězdě tvořené pouze vodíkem.
13. Ze znalosti Sluneční konstanty (1367 W.m~2) určete hmotnostní úbytek Slunce za jednu vteřinu a zajeden rok. Za předpokladu, že veškerá energie pochází z přeměny vodíku na helium, odhadněte odpovídající počet reakcí v nitru Slunce.
14. Odvoďte vztah pro Eddingtonovu limitu zářivého výkonu hvězdy složené čistě z vodíku. Při výpočtu předpokládejte, že veškerý tlak v nitru hvězdy odpovídá tlaku záření.
15. Určete horní mez hmotnosti hvězdy hlavní posloupnosti užitím předpokladu, že hvězda září maximálně, tj. eddingtonovsky. Předpokládejte zjednodušující vztah L/Lq = (M/M0)3.
16. Stanovte Eddingtonovu limitu zářivého výkonu hvězdy s hmotností O,O85M0 za předpokladu, že pro opacitu v blízkosti povrchu hvězdy je dominantní elektronový rozptyl (re ~ (1 + X) 0, 02 m2kg-\X = 0,7).
17. Srovnejte Eddingtonovu limitu zářivého výkonu pro Slunce s jeho reálným zářivým výkonem.
18. Dokažte, že v centrální oblasti Slunce není energie přenášena konvekcí. Množství energie na jednotku hmotnosti je odhadováno na 1, 35 • 10_3Wkg_1, 7 = cp/cy = 5/3, P = 3, 2 • 1016 Pa, T = 1, 56 • 107 K, re = 0,138m2kg_1.
19. Dokažte, že rovnici hydrostatické rovnováhy lze pro modely hvězdných atmosfér psát ve tvaru dPjdr = g/'re, kde r je optická hloubka a g je gravitační zrychlení na povrchu hvězdy.
7
Kinematické znaky hvězd
7.1   Kinematické znaky hvězd
Až do poč. 18. století byly hvězdy považovány za stálice, jejichž vzájemné polohy se vůbec nemění. V roce 1717 Edmond Halley1 porovnal svá pozorování získaná během pobytu na ostrově Sv. Heleny s údaji uvedenými v katalozích Flamsteeda, Tycha Brahe a Ptolemaia a zjistil, že některé hvězdy jeví zřetelný pohyb na pozadí ostatních hvězd. Usoudil, že tento pohyb je odrazem relativního pohybu hvězdy vůči pozorovateli.
7.1.1   Vlastní pohyb hvězd
Ze Země jsme schopni pozorovat pouze tu složku prostorové rychlosti, která je kolmá na směr zorného paprsku. Tato složka rychlosti se nazývá tangenciální a na obr. 7.1 ji odpovídá úsečka HA. Druhou složkou je rychlost ve směru zorného paprsku, tzv. radiální. Uhel fi, pod kterým se ze Země jeví úsek HA, se nazývá vlastní pohyb hvězdy.
Vlastní pohyby hvězd jsou obecně velmi malé, jen pár hvězd vykazuje větší hodnoty. Prvenství drží hvězda Barnardova šipka (HIP 87937) v souvězdí Hadonoše, jejíž vlastní pohyb činí 10, 3" za rok. Za průměrný lidský život se posune přibližně o čtvrtinu úhlového průměru Měsíce!
V katalozích bývají uvedeny vlastní pohyby v rektascenzi fia a vlastní pohyby v deklinaci fis-2 Označíme-li tp úhel, který svírá vlastní pohyb fi se směrem k severnímu pólu (poziční úhel směru vlastního pohybu), pak pro něj platí:
'Edmond Halley (1656-1742)
2 Ve starší literatuře se vlastní pohyb v rektascenzi uváděl v jednotkách [časové sekundy/rok] a bylo nutno jej ve vztahu pro celkový vlastní pohyb převést úhlové vteřiny. Výsledný vztah měl pak podobu:
fl = V[15Ata cos á]2 + (fis)2- (7.1)
V současných katalozích (Hipparcos, Simbad) se pod pojmem fia rozumí vlastní pohyb v rektascenzi převedený na obloukové vteřiny za rok a vynásobený výrazem cos 6. Tedy: fi = a/[/í„ + /•*!]•
99
100
7. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD
Obrázek 7.1: Rozložení prostorové rychlosti hvězdy na složku radiální vT a na složku tangenciální (tečnou) vt. Uhel fi, pod kterým je vidět usek HA je vlastní pohyb hvězdy.
fis   =   f1 cos "0 15 fia cos á   = (isinip.
(7.2)
7.1.2   Tangenciální rychlost
Tangenciální rychlost ut je složka lineární rychlosti hvězdy v rovině kolmé k zornému paprsku. Vypočteme ji pomocí vlastního pohybu fi hvězdy a vzdálenosti r (nebo roční paralaxy ir):
vt = k fir = k — , (7.3)
kde k je koeficent úměrnosti, který závisí na zvolených jednotkách. Jestliže fi a tt jsou vyjádřeny v úhlových vteřinách, pak k = 1 a poměr ^ je tangenciální rychlost v astronomických jednotkách. Uvádíme-li tangenciální rychlost v km • s_1, pak
149, 6-106 ,
k =-■-=4, 74.3 (7.4)
31557 000
3V čitateli je astronomická jednotka v km a ve jemenovateli je počet sekund v tropickém roce.
7.1. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD
101
Výsledně:
vt = 4, 74^ =
4, 74 fir
km • s
i
(7.5)
7t
kde r je vzdálenost vyjádřená v parsecích a //, 7r jsou vyjádřeny v obloukových vteřinách.
7.1.3 Radiální rychlost
Radiální rychlost vT je složka lineární rychlosti hvězdy ve směru od pozorovatele ke hvězdě. Určuje se na základě Dopplerova principu z posuvu AA spektrální čáry o vlnové délce A. Radiální rychlost můžeme určit ze vztahu:
Vr = c^, 4 (7.6)
kde c je rychlost světla, AA = A' — A. Při posuvu čar k červenému konci spektra má vT má kladné znaménko (hvězda se vzdaluje), při posuvu k modrému konci spektra záporné znaménko (hvězda se přibližuje).
7.1.4 Prostorová rychlost
Prostorová rychlost v je dána vektorovým součtem tangenciální a radiální složky rychlosti. Tedy
Pokud se hvězda vzdaluje, je vT > 0 a úhel 0 nabývá hodnot od 0° do 90°. Pokud se přibližuje, je vT < 0 a úhel 9 nabývá hodnot od 90° do 180°.
7.1.5 Úlohy
1. Nejžhavější a nejhmotnější hvězdy mají v průměru hmotnosti 2 • 1031kg a rychlosti kolem 15 • 103 mzcdots-1. Hvězdy třídy našeho Slunce mají hmotnosti kolem 2 • 1030kg a rychlosti 64 • 103m • s_1. Ještě menší a chladnější hvězdy mají v průměru hmotnosti kolem 1,2 • 1030kg a rychlosti 78 • 103 m • s-1. Porovnejte kinetické energie těchto hvězd.
[Odpovídající kinetické energie pro dané typy hvězd jsou: 2, 2 • 1039 J, 4,1 • 1039 J, 3, 65 • 1039 J. Navzájem se tedy od sebe příliš neliší.]
2. Za jakou dobu t se zvýší intenzita hvězdy ra-krát, je-li ve vzdálenosti r od Slunce a přibližuje se k nám rychlostí v. Udávejme vzdálenost r v km a rychlost v v km • s_1.
4Tento výtah lze použít jen pro objekty, jejichž rychlost vT je malá ve srovnání s rychlostí světla. Při rychlostech blízkých rychlosti světla (např. u velmi vzdálených galaxií) musíme použít vztah plynoucí ze speciální teorie relativity.
(7.7)
Prostorová rychlost v svírá se směrem zorného paprsku úhel 0. Pak platí:
vt = v sin Q vT   =   v cos O.
7. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD
Obrázek 7.2: Prostorová rychlost hvězdy.
[Hvězda se přibližuje ke Slunci rychlostí v, je-li její vzdálenost v současné době r a intenzita světla li, pak za čas t se její vzdálenost zmenší na r — vt a její intenzita vzroste na hodnotu I2. Protože intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti, bude poměr intenzit
h h
vt)
(7.8)
Protože se intenzita zvýší ra-krát, bude platit I2 = n I± a ze vztahu pro poměr intenzit dostaneme:
J2
(r — vt)2
n.
(7.9)
Pro hledanou hodnotu t obdržíme:
(7.10)
V této rovnici nám hledaný čas vychází v sekundách. Mnohem názornější je převést tuto dobu na roky, pak:
7.1. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD
103
3. Za jakou dobu se zdvojnásobí intenzita hvězdy ( Herculis, která má paralaxu tt = 0,108" a přibližuje se ke Slunci rychlostí 70 km • s_1?
[Ze známé paralaxy určíme vzdálenost pomocí vztahu tt = 1/r, odtud r = 9, 259 pc = 2, 857 • 1014 km. Po dosazení do (7.11) obdržíme t = 37 880 roků. ]
4. Altair (a) Aql se přibližuje ke Slunci rychlostí 26 km s_1. Za jak dlouho se jeho zdánlivá hvězdná velikost změní o 0, lm? Vzdálenost Altaira od Slunce je 15, 71y.
[Z Pogsonovy rovnice zjistíme poměr intenzit
Pak t = 8 146 roků.]
5. Aldebaran (a) Tau se vzdaluje od Slunce rychlostí 54 km s_1, jeho paralaxa tt = 0, 050", vizuální hvězdná velikost Aldabaranu je +0, 85m. Za jak dlouho bude jeho zdánlivá hvězdná velikost
+0, 87m?
[t = 3 350 roků]
6. Ve spektru hvězdy je čára vápníku o vlnové délce A = 422, 7nm posunuta o AA = 0, 07 nm k fialovému konci spektra. Určete radiální rychlost hvězdy.
[vT = —49 km s_1. Hvězda se k nám přibližuje.]
7. Jak se posune čára sodíku s vlnovou délkou A = 589, 6 nm ve spektru hvězdy, která má radiální rychlost vT = +161 kms-1.
[AA = 0, 316 nm. Čára se posune k červenému konci spektra.]
8. Ve spektru novy v souhvězdí Herkula byla v roce 1934 tmavá čára vodíku H\ (A = 434,1 nm) posunuta o 1, 01 nm k fialovému konci spektra. Jaká byla rychlost plynu vyvrženého hvězdou?
[v = 700 km s"1]
9. B arnardova hvězda (někdy též nazývána šipka) má ze všech hvězd nej větší vlastní pohyb po obloze. Jednotlivé složky jejího vlastního pohybu jsou: fiacosô = —0,797 /rok, fis = 10,326 /rok. Spočtěte, za jak dlouho se posune na obloze o úhlový průměr Měsíce? Určete úhel tp, který svírá její vlastní pohyb se směrem k severnímu pólu.
[Vypočítáme výsledný vlastní pohyb Barnardovy šipky:
(7.12)
/i = yj(fia cos ô)2 + (/i<$)2 = 10, 356 /rok.
(7.13)
Úhlový průměr Měsíce je přibližně 0, 5
. B arnardova šipka urazí tuto vzdálenost za
1800'
= 174 let.
(7.14)
t =
10,356"
104
7. KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD
Úhel tp určíme ze vztahů:
fis   =   ficosip (7.15) fiacosS   =   fismý (7.16)
Protože úhel tp může ležet v rozmezí (0° — 360°), musíme znát sin tp i cos tp. Určíme velikost úhlu ip = 4, 36°, protože sin V' je záporný a cos V' kladný, bude výsledný úhel ležet ve 4. kvadrantu, tedy V = 355°34'.]
10. Určete radiální rychlost Barnardovy šipky, znáte-li z = AA/A = —0, 000369.
[vT = c • z = —110, 6kms_1]
11. Určete skutečnou prostorovou rychlost Barnardovy hvězdy vůči Slunci, znáte-li její vzdálenost
5,981y
[Nejdříve převedeme vzdálenost na parseky: r = 1, 834 pc, pak určíme tangenciální rychlost:
Vt = kfír = 4,74-10,356 • l,834kms_1 = 90kms_1. (7.17)
Prostorová rychlost ]
v = V(«r)2 + (vt)2 = 142,2kms_1.
(7.18)
8
Dvojhvězdy
8.1 Úlohy
1. Určete vzdálenost dvojhvězdy, známe-li její oběžnou dobu T = 27 roků, hmotnosti jednotlivých složek 3 M0, 5 M0 a úhlovou velikosti hlavní poloosy a = 0,45".
2. Můžeme pomocí Hubbleova dalekohledu rozlišit dvě hvězdy spektrální třídy O mezi kterými je úhel 10~7 rad, na vlnové délce čáry La = 121,6 nm?
[Rozlišovací schopnost dalekohledu: 9 = 1, 22    = 6, 2 • 1(T8 rad = 0, 01".]
105
Seznam použité literatury
[1] Carroll, B.W., Ostlie, D.A.: An Introduction to Modern Astrophysics. Addison-Wesley, 1996.
[2] Harmanec, R, Brož, M.: Stavba a vývoj hvězd. MATFYZPRESS, Praha, 2011.
[3] Karttunen, H., Kröger, P, Oja, H., Poutanen, M., Donner, K.J. (eds.): Fundamental Astronomy, Springer, 2007 (5ed.).
[4] Kleczek, J.: Velká encyklopedie vesmíru. Academia, Praha, 2002.
[5] Kulhánek, P, Červenka, M.: Astrofyzika v příkladech. ČVUT, Praha, 2012.
[6] Mikulášek, Z., Krtička, J.: Základy fyziky hvězd. MU, Brno, 2005.
[7] Pokorný, Z.: Vademecum. Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně, 2006.
[8] Široký, J., Široká, M.: Základy astronomie v příkladech. SPN, Praha, 1977.
[9] Štefl, V, Korčáková, D., Krtička, J.: Úlohy z astrofyziky. MU, Brno, 2010. (www.physics.muni.cz/astroulohy)
[10] Vanýsek, V: Základy astronomie a astrofyziky. Academia, Praha, 1980.
[11] Zejda, M.: Základy astronomie. MU, Brno, 2013.
Internetové zdroje
[12] Reichl, J., Všetička, M.: Multimediální encyklopedie fyziky, http://fyzika.jreichl.com, 2006-2015. [13] Astronómia, http://astronomia.zcu.cz.
107