Opakování
1. Vyřešte integrál j      dx (úpravy)
2. Vyřešte integrál j \/6x — 7 dx (substituce)
3. Vyřešte integrál j sin x cos x dx (substituce)
Určitý integrál
Řešení určitého integrálu     f(x) dx spočívá ve dvou krocích:
a výpočet odpovídajícího neurčitého integrálu (zápis bez horní a dolní meze)
b dosazení mezí f* f(x) dx = [F{x)]ba = F(b) - F (a)
Např.: cl
/ x2 dx 'o
3
1 _ i! _ 2! _ I _ _ I
0~3~3~3 ~3'
1
GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
Obsah rovinného obrazce A = {[x, y] e R2: a<x<b, g (x) < y < f (x)}:
b
P = j[f(x)-g(x)]dx [m2]
a
Obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou y: x = cpit), y = y/{t), t e {a, /?) :
P
P = j \y/(t) qj(t)\dt [m2]
a
Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy
A = {[x, y] e R2: a<x<b, g(x) < y < f (x)} kolem osy x :
b
V = x$[f2(x)-g2(x)]dx [m3]
a
Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy ohraničené křivkou y: x = cpit), y = y/{t), t e {a, /?) kolem osy x :
P
V = ^y/2{t)\(p\t)\dt [m3]
a
Délka křivky ;k : y = f (x), x e (a, b) :
b
L = ^l + [f'(x)]2 dx [m]
a
Délka křivky y '■ x = (pif), y = y/{t), t e (a, J3):
P _
L = y[<p\t)f+W(t)f dt [m]
a
Obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky y '■ y = f (x), x e (a, b) kolem osy x :
b
5 = 2^j|/(ř)|Vl + [/'W]2 dx [m2]
a
Obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky y: x = (piť), y = y/{t), t e {a, /?) kolem osy x:
S = 2^\ y/{t) | Vt^XO]2 +[^'(0]2 dt [m2]
a
Příklady
a Vypočtěte obsah útvaru mezi přímkou y = 5 a parabolou y - x1 + 1.
b Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro obsah kruhu o poloměru r.
3