Diferenciál a Taylorův polynom
Aproximace funkce v okolí bodu
Danou funkci chceme v okolí daného bodu nahradit (aproximovat) jednodušší funkcí.
• Lineární aproximace: Funkci nahradíme lineární funkcí - tečnou v daném bodě.
• Aproximace pomocí Taylorova polynomu: Funkci nahradíme polynomem stupně n, který má v daném bodě stejnou funkční hodnotu i hodnotu derivací až do řádu n.
1    Lineární aproximace
• Nechť / má v bodě xq vlastní derivaci. Pak nejlepší lineární aproximací funkce / v okolí bodu xq je tečna ke grafu funkce / v bodě xo, tj.
f(x) ~ f(x0) + f'{x0)(x - x0)
pro x dostatečně blízká k x$.
Pro funkční hodnotu v bodě x0 + h platí:
f(x0 + h) = f(x0) + Af(x0).
Přírůstek funkce Af(x0) lze vyjádřit:
Af(x0)= df(x0) + r(h),
kde d/(xo) Je tzv. diferenciál funkce f v bodě xo (= přírůstek na tečně), tedy
d/(zo) = f'(xo)h.
Je-li h dostatečně malé (bod xo + h je blízko bodu xo), pak rih) je mnohem menší než diferenciál. Hodnotu r (h) tedy zanedbáme a skutečný přírůstek funkce vyjádříme přibližně pomocí diferenciálu:
f(x0 + h) = f(x0) + f'{x0)h.
Geometrický význam — diferenciál
x0     x0 + h
2   Taylorův polynom
• Nechť / má v bodě xq derivace až do řádu n.
• Chceme najít polynom stupně n, který aproximuje co nejlépe funkci / v okolí bodu xq.
• Požadujeme, aby hledaný polynom měl v bodě xq stejnou funkční hodnotu a hodnotu derivací až do řádu n jako funkce /.
Příklad (Motivace). Nechť f{x) = ^, xq = —2. Najděte polynom druhého stupně, který má v bodě xq stejnou funkční hodnotu a stejnou hodnotu první a druhé derivace jako funkce /.
Hledaný polynom je tvaru:
P(x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)2.
Spočítáme derivace:
P'(x) = b + 2c(x + 2), f\x)=-\
xz
P"(x) = 2c ,   f"(x)= 1
Porovnáním funkčních hodnot a hodnot derivací polynomu P a funkce / v bodě xq = —2:
-\ = a,    -\ = b,    -\ = 2c.
Tedy P(x) = -\ - \{x + 2) - \{x + 2)2.
Polynom Pix) je tzv. Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x) = - se středem xq = -2.
Stejným způsobem jako v předchozím příkladu je možné odvodit obecný tvar Taylorova polynomu:
Definice (Taylorův polynom). Nechť / je funkce, která má v bodě xq derivace až do řádu n. Pak polynom tvaru
Tn(x) = f(x0) H---j— {x - Xq) H----(x -Xq)   H-----1--j-(x - Xq)
1! 21 n\
se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f se středem xq.
• Připomeňme, že n\ = nin — l)(n — 2) • • • 3 • 2 • 1.
2
• Střed xq je pevně daný, proměnná polynomu je x.
• Pro n = 1, dostáváme lineární polynom
Ti{x) = f(x0) + f'{x0)(x - x0),
tj. tečnu ke grafu funkce / v bodě xq.
Poznámka. Polynom Tn a funkce / mají v bodě xq stejnou funkční hodnotu i hodnotu všech derivací až do řádu n, tj.
Tn{x0) = f(x0) T'Axo)   = f\x0)
Tn(Xo)    = f"(x0)
Věta 1 (Taylorova). Necht f je funkce, která má v okolí O [xq) bodu xq derivace až do řádu n + 1. Nechi Tn{x) je Taylorův polynom funkce f se středem xq. Pak
(1) f(x) = Tn(x) + Rn+1{x)
pro všechna x G O (x q), kde Rn+i(x) je tzv. zbytek, který lze vyjádřit ve tvaru
f{n+1\c) x Rn+i(z) = -.——-rr{x — xqY i [n + lj!
kde c je nějaké číslo mezi x a xq-
• Zbytek Rn+i{x) lze vyjádřit i v jiných tvarech. Tvar zbytku uvedený v předchozí větě je tzv. Lagrangeův tvar zbytku.
• Vzorec (1) se nazývá Taylorův vzorec.
• Polynom Tn(x) aproximuje funkci f(x) v okolí bodu a'o s chybou Rn+i(x). Pokud je x dostatečně blízko k xq, píšeme f(x) a; Tn(x).
• Pokud n = 1, pak f(x) « f(x0) + f'(xo)(x — :r0), tj. funkci / aproximujeme její tečnou v bodě Xq.
• Čím menší je okolí bodu .tq a čím větší je n, tím je aproximace lepší.
3
4
Příklady
1. V okolí bodu cio = 0 aproximujte funkci y = cos x Taylorovým polynomem 2. a 3. řádu
2. Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete V382
3. Napište Taylorúv vzorec pro n = 2, xq = 1 a /(.?;) = xhix
Primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné reálné proměnné
5
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
1. přednáška
V předcházejícím studiu jste se seznámili s důležitým pojmem, a to derivací funkce. Funkci / byla přiřazena jistým způsobem definovaná nová funkce /'. Přitom pro konkrétní
hodnotu x číslo f'(x) mohlo mít různou interpretaci podle toho, co vyjadřovala funkce/.
Úloha, kterou se budeme zabývat nyní, je v podstatě opačná. K zadané funkci / budeme hledat funkci F takovou, aby platilo F' = f . Budeme se tedy ptát, jakou funkci je nutné derivovat, abychom dostali zadanou funkci /. Tudíž ze znalosti směrnic tečen ke grafu funkce budeme chtít najít tuto funkci, ze znalosti okamžité rychlosti bodu budeme chtít zjistit polohu tohoto bodu, ze znalosti okamžitého zrychlení bodu budeme chtít určit jeho okamžitou rychlost apod.. Poznáme, že tato úloha je podstatně složitější než derivování, protože neexistuje obecný algoritmus výpočtu.
Podíváme-li se do dnešních učebnic diferenciálního a integrálního počtu, většinou výklad začíná seznámením s reálnými čísly, následuje pojem limita, pomocí limity se definuje derivace, pak neurčitý integrál a nakonec integrál určitý.
Historicky ovšem tyto pojmy nevznikaly v tomto pořadí. Ve skutečnosti se nejdříve vyvíjel pojem určitého integrálu (výpočty obsahů a objemů), pak derivace a neurčitý integrál (v 17. stol.), které byly založeny na intuitivním chápání nekonečně malé a velké veličiny a tudíž limitního procesu, a o 100 let později se upřesňoval pojem limity a teprve v 19. století byla vybudována teorie reálných čísel.
PRIMITIVNÍ FUNKCE A NEURČITÝ INTEGRÁL
Definice: Nechť funkce f(x) je definovaná na intervalu /. Funkce F(x) se nazývá primitivní k funkci f(x) na /, jestliže platí F'(x) = f(x) pro každé x e I.
Věta: Nechť funkce F(x) je primitivní k f(x) na /, pak každá jiná primitivní funkce k funkci f(x) na/má tvarF(x) + c, kde c e R.
Definice: Množina všech primitivních funkcí k funkci f(x) na / se nazývá neurčitý integrál funkce f(x) a značí se symbolem jf(x)dx. Tedy
| f(x)dx = F(x) +c , x e I.
Poznámka:
1. Integrační znak j vznikl protažením písmene S, kterým začíná slovo suma
2. Funkci f(x) nazýváme integrandem
3. Výraz dx je diferenciál proměnné x a v tuto chvíli je jeho význam jen v tom, že nám říká, jak j e označená proměnná.
4. Číslo c nazýváme integrační konstanta
1
Zkusme nyní najít nějakou primitivní funkci např. k funkci cos x, x e R. Ze znalostí derivací není těžké odhadnout, že taková funkce je např. F(x) = sin x nebo také F(x) = sin x + 3, atd.. Tzn. že všechny funkce sin x + c , kde c g R, jsou primitivní k funkci cos x => j"cosxdx = sinx + c, c e R.
ta: Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu /, pak na tomto intervalu existuje alespoň jedna primitivní funkce.
Na závěr uvedeme jednoduchou (ale důležitou) větu, kterou budeme při výpočtu neurčitých integrálů neustále používat.
ta: Nechť na intervalu / existují integrály j f(x)dx	a j g(x)dx, pak na / existuje rovněž
integrál jejich součtu, rozdílu a násobku konstantou:	
\{f{x)±g{x))dx = \f{x)dx±	:jg(x)dx
j" kf(x)dx = kj f(x)dx, k	g R .
Tato věta plyne přímo ze základních vlastností derivace. Stručně říkáme, že neurčitý integrál ze součtu (rozdílu) je součtem (rozdílem) neurčitých integrálů a že konstantu, kterou se násobí, smíme z neurčitého integrálu vytknout.
Poznámka: Z definice neurčitého integrálu vyplývá platnost rovností:
1. \j f(x)dx\ = f(x)
2. JF'(x)dx = F(x) + c , ceR,
takže operace derivování a integrace jsou navzájem komplementární. O správnosti výsledku integrace se můžeme vždy přesvědčit derivací výsledku.
Tabulkové integrály
První skupinu vzorců (1-10,12,13) dostaneme, obrátíme-li základní vzorce pro derivování. Tu doplníme o dva užitečné vzorce 11 a 14.
1. J0dx = C ;
2. dx = x + C
2
n+l
xndx
í-
J x
>. jexdx
n + l dx = ln x + C
C ,nž -1;
:ex + C
ax
6. \axdx =--\-C,a^í,a>0;
J lna
7. | sin x dx = - cos x + C;
8. jcosx dx = sinx + C ;
9. f ——dx = arctgx + C ; J x +1
10.
11.
12. 13 14.
vr
ríix =arcsin x + C
1
Vx2 +a2 1
cos2 x
r(ix = ln
-Vx2 +fl
C
íix = tg x + C
• ľ—
J sin2
-íix = -cotgx + C
f'(x) f (x)
& = ln|/(x)| + C
C   1 ii
obecněji -dx = ln x + a + C
J x + fl
r 1
obecněji    \ewcdx = —ewc+C
f 1
obecněji    sin axcfx = — cos ax + C
J a
f 1
obecněj i    cos axdx = —sin ax + C
J a
obecněji   í ——^—— Jx = — arctg — + C
J a2 +x2        a a
obecněji
1     j        ■ x ^ . -dx =arcsm—h C
■4 a1-x2 fl
obecněji   í—\ J cos
obecněji   í—\-J sin
—dx = — tgax + C ax a
—dx = — cotg ax + C
ax a
Poznámka:
1. Vzorec 2. je zkráceným zápisem pro jlcfx, podobně se ve vzorci 4. a dalších obdobných
integrálech používá místo [—Jx zápis f—
J x J x
2. Vzorec 3. umožňuje integraci obecné mocniny, tj. i nej různějších odmocnin
3. Protože derivace funkcí arkustangens a arkuskotangens se liší pouze znaménkem (totéž platí   pro   arkussinus   a   arkuskosinus)   je   možné   ve   vzorci   9.   (resp. 10.) psát
-TT-—dx = -arccotgx + C (resp. x +1
1
vr
-dx =- arccos x + C)
3
Příklad: Vypočtěte následující neurčité integrály:
a) jx2dx = (použijeme 3. vzorec, n=2) = ^- + c
j X2I3 ^ _
b) —p=dx= \ x~ll3dx = (použiieme 3. vzorec, n=-l/3) =--\-c = — ví2 +c
J Ví     J 2/3 2
c~2x 1
c) je~2xdx = (použijeme 5. vzorec, a=-2)= —^~ + c = "^^^ +c
d) í——dx = (použijeme 9. vzorec, a=VŠ)= —j=arctg—j= + c Jx2+5 V5 V5
e) ľ—-cfx = (použijeme 14. vzorec)= ln x3 + x + 5 + c
J x +x + 5 1 1
f) [í—--3sin5x + 3xH—-—\dx  = (integrál rozdělíme na jednodušší a použijeme
J ^cos x 3- x J
potřebné vzorce) =2Í—^—dx - 3 í sin 5xdx + Í3xdx-4{—-—dx = 2tgx -3—cos $x + _3--
J cos x        J J J x - 3 5 1n3
-41n|x-3| + c
4
Domácí úkol
1. Napište Taylorův vzorec pro n = 2, xq = 1 a f(x) = xlnx
2. Vyřešte integrály e) a f) z příkladů ve druhé sekci
10