6.5 Průběh funkce — shrnutí 131 Proto funkce nemá žádné asymptoty bez směrnice. Nyní budeme hledat asymptoty se směrnicí. S použitím důsledku 6.35 dostaneme 1 tt b = lim arccotg — = — . x^±oo x 2 Tedy funkce má asymptotu se směrnicí y = j pro x —>• ±oo. A 6.5. Průběh funkce — shrnutí Při vyšetřování průběhu funkce / postupujeme takto: 1. Stanovíme D(f), H(f), zdaje funkce / případně sudá, lichá nebo periodická. Najdeme body nespojitosti a rozhodneme o jejich druhu. Určíme nulové body funkce / a intervaly, kde je / kladná a kde záporná. 2. Vypočítáme /' a podle jejího znaménka určíme: • intervaly, kde je / rostoucí (z podmínky /' > 0), • intervaly, kde je / klesající (z podmínky /' < 0), • lokální extrémy (podle změny znaménka /'). 3. Vypočítáme /" a podle jejího znaménka určíme: • intervaly, kde je / konvexní (z podmínky /" > 0), • intervaly, kde je / konkávni (z podmínky /" < 0), • inflexní body (podle změny znaménka /"). 4. Určíme asymptoty funkce /. 5. Vypočítáme funkční hodnoty ve významných bodech (lokální extrémy, inflexní body atd.). 6. Nakreslíme graf funkce. Příklad 6.37. Vyšetřete průběh funkce lnx2 Řešení. 1. Definiční obor D(f) = R\ {0}. Platí /(-*) = = -^f = -f(x), proto je daná funkce lichá a vlastnosti musí být jistým způsobem „symetrické". Nulové body funkce určíme z rovnice f(x) = 0, odkud dostáváme x = ±1. Vyšetříme znaménko funkce: /: ~ . + ^ - i + -1 0 1 132 Průběh funkce 2. Určíme první derivaci: ^x-\nx2 2-ln x X2 X2 Odtud zjistíme stacionární body funkce: f(x) = 0 4> ln;c2=2 4> x = ±e. Snadno zjistíme znaménko první derivace na jednotlivých intervalech: y y ^ f . -1-O-1- -e 0 e mm max Funkce nabývá lokálního minima v bodě x = — e a lokálního maxima v bodě x = c. 3. Druhá derivace je x x2 - (2-\nx2)2x 2(lnx2-3) X4 X3 Určíme nulové body druhé derivace, protože pouze v nich mohou být inflexní body: f\x) = 0 4> lnx2 = 3 4» x = iVe3. Její znaménko je: r\ w w / • -1-0-1- -Vě1 0 Vě1 inf inf 4. Pro určení asymptot funkce počítejme limity lnx2 lnx2 lim -= =(=oo, lim -= 0. x^0± X x^±oo x Odtud vidíme, že přímka v = 0 je asymptotou bez směrnice a přímka y = 0 je asymptotou pro x -> ±oo. 5. Spočítáme hodnoty funkce / ve významných bodech (extrémy, inflexní bod): 2 rr 3 maximum/minimum: /(±e) = ±- , inflexe: /(±ve3) = ±- e A/e3 6. Nakreslíme graf funkce — viz obr. 6.6. Funkce je lichá, proto je její graf souměrný podle počátku. (Měřítko na ose x je dvakrát větší než na ose v.) A 6.6 Řešené příklady na extrémy a průběh funkce 133 y In x2 .2 J = X -V? -e -1 j i l s / 0 _2_ e / 1 1 e V? X Obr. 6.6 6.6. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce Příklad 6.38. Vyšetřete průběh funkce /: y = x — 2 arctg x. Řešení. 1. Definiční obor dané funkce je D(f) = IR. Dále platí f(—x) = —x — 2arctg(—x) = — x + 2 arctg x = — f (x), proto je funkce lichá a její vlastnosti budou „symetrické". Pokusíme se určit znaménko funkčních hodnot. Rovnici arctg x = | však nedokážeme řešit. Jeden kořen je jasný — x = 0. Protože funkce arctg x má v bodě x = 0 derivaci rovnu 1 a funkce | má derivaci \, lze z grafů těchto funkcí odhadnout, že existuje jediné číslo a > 0 takové, že v ±a má naše funkce kořeny. Přesněji to uvidíme z výsledného grafu. Tedy: /: -1-+-1- —a 0 a 2. Počítejme první derivaci: 2 x2- 1 y' = \- \+x2 1 + x2 Odtud dostáváme stacionární body x = ±1 a znaménko první derivace na jednotlivých intervalech: y ^ y / : -1-1- -1 1 max min 134 Průběh funkce Vidíme, že funkce má v bodě x = 1 lokální extrém, a to lokální minimum; symetricky v bodě x = — 1 má lokální maximum. 3. Vypočteme druhou derivaci 2x(l + jc2) - (jc2 - 1)2* 4jc y = (l+JC2)2 (l+JC2)2' odkud f"(x) = 0 právě tehdy, když x = 0. Určíme znaménko druhé derivace: O W f"\ -1 + 0 inf 4. Funkce je spojitá na celém IR, nemá proto žádné asymptoty bez směrnice. Vyšetříme, zda má asymptoty se směrnicí: jc-2arctgjc .arctgjc a = hm -= lim 1 — 2-= 1—0 = 1, 71 b+ = lim (x — 2 arctg x — x) = — 2 ■ — = — tt, x^+oo 2 b- = lim (x — 2 arctg x — x) = —2 ■ (—) = tt. x^— oo \2/ Asymptotami funkce jsou tedy přímky y = x — tt pro x^+ooav=x + tt pro x —>• —oo. 5. Spočtěme funkční hodnoty funkce ve významných bodech: /(0) = 0, /(1) = 1-^, /(_i) = _i + |. 6. Nakreslíme graf funkce, viz obr. 6.7. A Příklad 6.39. Vyšetřete průběh funkce 2x f: y = arcsin 1 + x: 1. Nejprve určíme definiční obor. Funkce arcsinw je definována pouze pro hodnoty u g [—1,1], proto musí platit — 1 < < 1. V příkladu 1.31 a) jsme ukázali, že tato nerovnost platí pro všechna x e IR, tj. D(f) = IR. Funkce / je všude spojitá. Nyní vyšetříme, zdaje funkce / sudá nebo lichá: —2x 2x f(—x) = arcsm-- = — arcsm-- = — f (x). 6.6 Řešené příklady na extrémy a průběh funkce 135 Obr. 6.7 Funkce je lichá, a proto j sou její vlastnosti opět „symetrické". Nulové body funkce jsou 2x 2x arcsm-- = 0 -r =0 x = 0, 1+jc2 1+jc2 tj. jediným nulovým bodem je x = 0. Vzhledem k průběhu funkce arkussinus platí: 2. Počítejme první derivaci funkce. Je nutné si uvědomit, že funkce arcsinw má derivaci jen pro u e (— 1, 1) a v bodech u = — l,u = 1 existují pouze jednostranné nevlastní derivace +oo. 1 2(1 + jc2) - 2x ■ 2x 4x2 (\+X2)2 (1+x2)2 1+jc2 2-2jc2 2(1-jc2) ~ V1+2jc2+jc4-4jc2 ' (1 + x2)2 ~ (1 + x2)j(x2 - l)2 ' Odtud pro jc e (—oo, —1) U (1, oo) je 2(1-jc2) 2 37 ~ (1 +jc2)(jc2 - 1) ~ ~jc2 + 1 136 Průběh funkce a pro x e (—1, 1) je 2(1 - jc2) y = (1 +jc2)(1 - jc2) X2 + 1 ' (Při výpočtu jsme použili rovnosti Va2 = \a\ pro libovolné a G IR.) V bodech — 1,1 existují pouze jednostranné derivace. S použitím cvičení 9 z kapitoly 5 dostaneme: /K-D= lim -^ = -1, /Í(-l)= lim —=-^ = 1, /Id) = lim —^ = 1, ^(1) = lim = -1. Body x = ±1 jsou tedy tzv. úhlové body. Dále určíme znaménko první derivace na jednotlivých podintervalech: -1 1 min max Odtud podle věty 6.10 nahlédneme, že v bodě 1 nabývá funkce lokálního maxima (přestože v tomto bodě neexistuje derivace!); symetricky pak v bodě —1 nabývá lokálního minima. 3. Výpočet druhé derivace provedeme na jednotlivých podintervalech: Pro x e (—oo, —1) U (1, oo) je 4jc l+x2J (1+x2)2' pro x e (—1, 1) je -4x l+x2J (1+x2)2 Nulový bod druhé derivace je tedy pouze x = 0 a jen tam může být inflexe. Určíme znaménko /" a intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávni. w W r„ - + - + / : -?-1 ■1 0 1 inf V bodech —1,1 inflexe není, protože v nich neexistuje první derivace. 6.6 Řešené příklady na extrémy a průběh funkce 137 4. Funkce je spojitá na celém IR, zjevně tedy nemá žádné asymptoty bez směrnice. Vyšetříme, zda má asymptotu se směrnicí pro x —>• ±oo. Platí a = lim x^±oc arcsm 2x 1+x2 0 x 1 + x2" ' = 0, 2x b = lim arcsin-- = lim arcsin y = 0, x^±oo přičemž jsme v posledním kroku použili větu o limitě složené funkce (v = y^i)-Přímka y = 0 je asymptotou dané funkce pro x —>• ±oo. 5. Určíme funkční hodnoty ve významných bodech tt /(-l) = arcsin(-l) = -- , 6. Nakreslíme graf funkce — viz obr. 6.8. tt f(l) = arcsin 1 = — TT 2 ' y y = arcsin-r- -1 1 f j s 1 0 1 X TT " 2 Obr. 6.8 Příklad 6.40. Vyšetřete průběh funkce f: y = l/l — x3. Řešení. 1. Definiční obor je D(f) = IR. Dále snadno určíme nulové body funkce: lj\ - x3 = 0 4» 1 — jc3 = 0 4» x3 = 1 4» x = l. U třetí odmocniny je znaménko funkce / stejné jako znaménko výrazu pod odmocninou: 1 Protože f(—x) = l/l — (—x)3 = l/l + x3, funkce není ani sudá. ani lichá. 138 Průběh funkce 2. Funkce XJu má konečnou derivaci pouze pro u e IR \ {0}. Proto pro x ^ 1 platí / = Í(l-*3)~*-(-3*2) = 3 ^/(1-x3)2' odkud plyne f' = 0 právě tehdy, když x = 0. Dále vyšetříme znaménko derivace: 0 1 Funkce je na celém IR klesající a nemá tudíž lokální extrém ve svém stacionárním bodě x = 0. V bodě x = 1 s pomocí cvičení 9 z kapitoly 5 určíme derivaci v bodě x = 1: -x2 /'(l) = lim , = -oo. ~iya-*3)2 3. Pro x ^ 1 je druhá derivace y„ = _ /2*(1 - x3)1 - x2f (1 - x3) - ±(-3x2)\ = (1-x3)3 y 2x(l — x3) + 2x2 ■ x2 2x (1 -*3)*(1-x3)*' VO -^3)5 odkud plyne, že /" = 0 právě tehdy, když x = 0. Znázorníme znaménko druhé derivace: w W + . - _ + -o- 0 1 inf inf Funkce má inflexní body x = 0 a x = 1. 4. Funkce je spojitá na celém IR, proto nemá žádné asymptoty bez směrnice. Počítejme asymptoty se směrnicí: a = lim -— = lim ľ/— — 1 = — 1. b = lim (Vl -x3 + x) = , 3/r^—, x2 + xVx^T + lj(x3 - l)2 lim (x — yx3 — 1 -, - - = *^±0°V 7 x2 + xVx1^! + ^U3 - l)2 x3-x3 + l 1 lim --^=^=- : =-= 0. x^±oo x2 + _ j + y(jc3 _ j)2 +00 + 00 + 00 6.6 Řešené příklady na extrémy a průběh funkce 139 Tedy přímka y = — x je asymptotou funkce pro x -> ±oo. 5. Spočítáme funkční hodnoty ve významných bodech: /(O) = 1, f(l) = 0. 6. Nakreslíme graf funkce — viz obr. 6.9. v v y i y = Vl — x3 I ^ \ \ \ \ 0 \ \ ll * ' \ \ \ \\ v Obr. 6.9 Příklad 6.41. Vyšetřete průběh funkce 1 f: y = x arccotg — . x Řešení. 1. Je D(f) = R\ {0}. Protože x ' 71 X — - 12 1 \- X ) ~ X X X funkce není ani sudá, ani lichá. Dále vidíme, že / ^ 0 na celém D(f). Funkce je kladná pro x > 0 a záporná pro x < 0: + 0 2. Vypočteme první derivaci: y = arccotg —h x x X' 1 X = arccotg —h - - = arccotg - + x 1 + xz x x 1 + xz 1 140 Průběh funkce Určení znaménka derivace nelze provést klasickým způsobem, musíme použít menší úvahu. Ze znalosti funkce arccotg u jednoduše zjistíme, že 1 x > 0 =>• arccotg — > 0, x 1 * x < 0 =>• arccotg — > — . x 2 S použitím výsledku příkladu 1.31 a) dále určíme, že x > 0 1 ^ , > 0, l + x < 0 Z těchto úvah již snadno vyplývá, že x l +x: l < -~ 2 x > 0 =>- / > 0, x < 0 =>- y >---> 0. •^2 2 Takže funkce nemá žádný stacionární bod a je na celém D(f) rostoucí: 3. Vypočteme druhou derivaci: — 1 / 1 \ x2 + 1 — 2x • x 1 + (I)2 V -*2/ (x2 + l)2 1 1 - x2 x2 + 1 + 1 - x2 + 1 + X2 (1 + X2)2 (1 + X2)2 (1 + X2)2 odkud vidíme, že f"{x) > 0 pro všechna x e D(f): 0 Funkce je na obou intervalech definičního oboru konvexní. 6.6 Řešené příklady na extrémy a průběh funkce 141 4. Spočtěme jednostranné limity funkce / v bodě x = 0: 1 arccotg - arccotg y 0 lim x arccotg — = lim -:-= lim -=-= 0, -^0+ X x^0+ - y^+oo y -\-QO 1 arccotg y tt lim x arccotg — = lim -=-= 0. x^O" X y^-oo y —OO (Při výpočtu jsme použili větu o limitě složené funkce, kde y = K) Proto funkce nemá v bodě x = 0 asymptotu bez směrnice. Vyšetříme asymptoty se směrnicí: x arccotg \ 1 tt a = lim -= lim arccotg — = lim arccotg y = — , x^±oo x x^±oo x y^0± 2 1 tt / 1 7t\ b = lim x arccotg---x = lim x I arccotg---I = x^±oo x 2 x^±oo y x 2) arccotg^-f arccotgv-f 0 1^2 = lun --±-- = lim-- = - = lim —— = — 1. x^±oo i y^0± y 0 y^0± 1 Přímka y = ^ x — 1 je asymptotou funkce pro x —>• ±00. 5. Nakreslíme graf—viz obr. 6.10. A Obr. 6.10 142 Průběh funkce Příklad 6.42. Vyšetřete průběh funkce f: y = ln cos x. Řešení. 1. Určíme definiční obor dané funkce. Funkce ln m je definovaná pouze pro hodnoty u e (0, oo), proto musí být cos x > 0. Zřejmě platí / tt tt \ cosx > 0 4> x g { — — + 2k7i, — + Ikiij , k e Z. Odtud plyne 2 2 fceZ Dále se nabízí ověřit, zdaje daná funkce periodická. Jelikož funkce cosx je periodická s periodou 2tt, platí cos(x + 2tt) = cosx, odkud lncos(x + 2tt) = = lncosx, takže je funkce / periodická s periodou 2tt. Proto stačí se omezit při vyšetřování průběhu pouze najeden z intervalů tvořících D(f), např. (—f, f). Ověřme sudost/lichost funkce. Platí f(—x) = lncos(—x) = lncosx = f(x), neboť funkce cosx je sudá. Odtud je vidět, že je daná funkce sudá a její graf bude osově souměrný podle osy v. Vyšetříme znaménko funkce /. Víme, že lnu > 0 právě tehdy, když u > 1 a dále cos x < 1 pro všechna x g IR. Odtud snadno plyne / tt tt \ f(x) < 0 prox G (--,-J, / tt tt\ f(x) = 0 cosx = 1, x G [— —, — J 4» x = 0. Tedy /: —*-1-*- _ Tt A Tt 2 V 2 2. Počítejme první derivaci: , -siní y =-= -tgx. cosx Odtud plyne y' = 0 právě tehdy, když x = 0. Znaménko první derivace je /': -h Tt Q Tt max 2 0 2 Vidíme, že funkce má v bodě x = 0 lokální maximum. 6.6 Řešené příklady na extrémy a průběh funkce 143 3. Počítejme druhou derivaci: ,. 1 / Tt TT\ y = -(tg*) =--— < 0 pro x G (--,-) cos2 x V 2 2/ Tedy: f": TT ' 2 Tt 2 Funkce je na celém intervalu (—f, f) konkávni. 4. Jelikož funkce není definovaná na žádné polopřímce {a, +oo) ani (—oo, a), nemá smysl vyšetřovat asymptoty pro x —>• ±oo. Spočítejme limity v krajních bodech vyšetřovaného intervalu: lim ln cos x = lim ln v = —oo. 2 ^ Analogický výsledek vychází pro limitu x —>• y , takže funkce má asymptoty bez směrnice v bodech — f a y . 5. Spočítáme funkční hodnoty ve významných bodech: /(O) = 0. 6. Nakreslíme graf—viz obr. 6.11. 3rt ' 2 y = ln cos x Obr. 6.11 Příklad 6.43. Vyšetřete průběh funkce f:y = x~ x2 - 1 144 Průběh funkce Řešení. 1. Jedná se o racionální funkci, která není definovaná pouze v kořenech jmenovatele. Tedy D(f) = IR \ {—1, 1}. Funkce f(x) je spojitá na D(f). Protože (—x)3 —x3 x3 (—x)2 — 1 xl — 1 — 1 je funkce je lichá, její graf bude středově souměrný vzhledem k počátku. Dále určíme znaménko f(x). Je to racionální lomená funkce, kořen čitatele x = 0 je trojnásobný, kořeny jmenovatele x = — 1 jsou jednoduché. Tedy - + - + /: -°-1- ■1 0 1 2. Vypočteme první derivaci: x3 Y 3x2(x2 - 1) - x3 -2x x4 - 3x: y = x2 -17 u2 - i)2 u2 - i)2' Kořeny čitatele x4 — 3x2 = x2(x2 — 3) jsou x = 0 (dvojnásobný) a x = ±V3 (jednoduché). V nich jsou stacionární body. Dále určíme znaménko y'\ N. N. N. ^ . f: -1-o-1-o-1- -V3 -1 0 1 V3 max mm Tedy v bodě x = — VJ je lokální maximum a v bodě x = VŠ je lokální minimum. 3. Vypočteme druhou derivaci: " _ (x* -3x2 V _(4*3 ~ 6x^x2 -1)2 ~(jc4 ~ 3x2)(x2 - i)2x _ y V(x2- i)2y (x2 - i)4 (x2 - l)[(4x3 - 6x)(x2 - 1) - 4x(x4 - 3x2)] (x2 - l)4 4x5 - 6x3 - 4x3 + 6x - 4x5 + 12x3 2x3 + 6x = (x2 - l)3 = (x2 - l)3 ' Čitatel 2x3 + 6x = 2x(x2 + 3) má jednoduchý kořen x = 0, v němž může být inflexe (komplexní kořeny nás nezajímají). Dále určíme znaménko y". Nesmíme zapomenout, že kořeny x = ±1 ve jmenovateli jsou trojnásobné. Dostaneme: n\ r\ -1 0 1 inf V bodě x = 0 má funkce inflexi. 6.6 Řešené příklady na extrémy a průběh funkce 145 4. Nyní máme najít asymptoty bez směrnice a se směrnicí. Protože funkce je spojitá na svém definičním oboru, asymptoty bez směrnice mohou být jen v bodech x = — 1 a x = 1. Vypočteme jednostranné limity: x3 — 1 x3 — 1 lim —-= — = —oo, lim —-= — = +oo, x^-l- JC2 — 1 +0 X^_i+X2_1 _0 JC3 1 JC3 1 lim —-= — = —oo, lim —-= — = +oo. x^i-x2-l -0 x^i+x2-l +0 Asymptoty bez směrnice jsou x = — 1 a x = 1. Dále určíme asymptoty se směrnicí: 3 * 3 -, *2-l - X a = lim -= lim —-= lim x^±oo x x^±oo x — X x^±oc / X3 \ X 1 b = lim I —--x ) = lim —--= lim —= 0. x^±oo \ x — 1 / x^±oo x — 1 x^±oo \ — _L V 7 X2 Asymptota pro x —>• ±oo tedy existuje a má rovnici y = x. 5. Spočítáme funkční hodnoty ve významných bodech: /(O) = 0, f'(Q) = 0 a (±V3)2-1 2 6. Nakreslíme graf funkce — viz obr. 6.12. Příklad 6.44. Určete hodnotu reálného parametru a tak, aby funkce 1 f(x) = a sinx H— sin3x 3 měla v bodě x = j extrém. Řešení. Nejprve určíme první derivaci: f'(x) = a cos x + cos 3x. Odtud TT TT a —h cos 3 — = - 3 3 2 Má-li nastat v bodě j extrém, musí být f'(j) = 0, a tedy a = 2. Ještě musíme ověřit, že extrém opravdu nastane. Při a = 2 je f"{x) = —2 sin x — 3sin3x a f"{^) = — VŠ — 0 < 0, takže je zde lokální maximum. A 146 Průběh funkce Obr. 6.12 Příklad 6.45. Ze čtverce papíru o straně a vystřihněte v rozích čtverce tak, aby krabice složená ze zbytku papíru měla co největší objem. í H //// '//// Řešení. Snadno nahlédneme, že vzniklá krabice bude kvádr se čtvercovou podstavou. Označme x, y její rozměry — viz obr. 6.13. Objem krabice je pak dán vzorcem V = x2y. Dále z obrázku snadno odhalíme závislost 2y+x = a, odkud y = a tudíž platí V = x" a — x Obr 6 13 Hledejme maximum funkce V na intervalu [0, a]. Funkce je spojitá a má derivaci, takže podle Weierstrassovy věty existuje absolutní maximum a je buď ve vnitřním stacionárním bodě, nebo v krajních bodech. 6.6 Řešené příklady na extrémy a průběh funkce 147 Vyjádříme první derivaci x2 / 3 V (x) = x(a — x)--= x a--x odkud V'(x) = 0 právě tehdy, když x = 0 nebo x = | a. Lehce zjistíme, že v bodě %o = f a nabývá funkce globálního maxima (v krajních bodech je V (0) = V(a) = 0, takže jsou to absolutní minima). Hledané rozměry jsou tedy a xq = -a, 3 y o = T/ 2 - Vmax — -^o ' ^0 — — « Příklad 6.46. Do půlkruhu o poloměru r vepište obdélník nej většího obsahu. Řešení. Označme si strany obdélníku a, b. Z obrázku 6.14 vidíme, že podle Pythagorovy věty platí: g)2+«w, odkud Obr. 6.14 a = b2 ~4 jelikož uvažujeme pouze a > 0. Pro obsah obdélníku platí S = a ■ b, a tedy v našem konkrétním případě S = ^r2--.b. Vyjádřili jsme obsah vepsaného obdélníku jakožto funkci jedné proměnné b. Budeme hledat extrémy této funkce na intervalu [0, 2r]. Podle Weierstrassovy věty absolutní extrémy existují. Vyjádřeme nejprve první derivaci: 2b2 -b- ľ b2 r2-- S'(b) = ^^=-b + Jr2- - r2_E b2 ~4 r2~bÍ Nyní S'(b) = 0 O r 2 4» b = V2r Funkce S je v krajních bodech intervalu [0, 2r] nulová, na celém intervalu je nezáporná (obsah obdélníku nemůže být záporné číslo) a tedy je zřejmé, že v bodě bo = \flr nabývá svého maxima (b = 0 a b = 2r dávají minimum). Odtud již snadno určíme hledaný maximální obsah vepsaného obdélníku: 'max = clo ■ bo = V2 \Í2r = r' 148 Průběh funkce Příklad 6.47. Do elipsy s hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b vepište obdélník se stranami rovnoběžnými s poloosami tak, aby obsah obdélníku byl maximální. D ^ I C 1 \ a X ) A B Obr. 6.15 Řešení. Rovnice elipsy se středem v bodě (0, 0) má tvar 2 2 ^2 + — 1- Označme si vrcholy obdélníku dle obrázku 6.15. Bod C má souřadnice C = (x, y), kde x e [0,a], y e [0,b]. Ze symetrie je jasné, že obsah obdélníku určíme jako S = 4xy. Jelikož bod C leží na elipse, určíme jeho v-ovou souřadnici z rovnice elipsy: x' x' a' jelikož uvažujeme y > 0. Nyní již můžeme vyjádřit obsah vepsaného obdélníku jako funkci jedné proměnné: / x2 S(x) = 4bxJl- — V a1 Hledejme nyní absolutní maximum funkce S(x) na intervalu [0, a]. To podle Weier-strassovy věty existuje. Stacionární bod S určíme z rovnice S'(x) = 4b ( I x~i (-%) \ 1-24 1- — +x \ a } =4b , a2 =0, odkud 2x v a 1--— = 0, takže x = a 2 ■Ji' jelikož opět uvažujeme pouze x > 0. Je zřejmé, že v krajních bodech intervalu [0, a] je funkce S(x) nulová (vytvořený obrazec je úsečka), je proto na celém intervalu [0, a] nezáporná, a tedy je zřejmé, že v bodě xo = a/V2 nabývá svého absolutního maxima. Nyní již snadno určíme hledaný maximální obsah: x b ci b 1 - -| = — Smax = 4xo3^o = 4 • — • — = 2ab. 6.6 Řešené příklady na extrémy a průběh funkce 149 Příklad 6.48. Do koule o poloměru R vepište válec s největším obsahem. Řešení. Při řešení těchto „prostorových" úloh je vždy základem úspěchu nakreslit si vhodný obrázek. Na našem obrázku 6.16 vidíme středový řez danou koulí. Označme r poloměr základny a v výšku vepsaného válce. Podle Pythagorovy věty platí: l)2 + r* = R*> odkud v = 2^R2 - r2.. Obr. 6.16 jelikož uvažujeme pouze nezápornou výšku. Nyní můžeme vyjádřit objem vepsaného válce jakožto funkci jedné proměnné r: V(r) = nr2 - v = 2nr2^R2 - r2. Budeme hledat absolutní extrém této funkce na intervalu [0, i?]. Podle Weierstrassovy věty existuje. Nejprve vyjádříme první derivaci: V'{r) = 2tt (iry/R2 - r2 + r2 V#2 - r2 = 2tt 2r(R2 - r2) - r: V# 2 - r2 tedy V'(r) = 0 4> r(2R2 - 3r2) =0 4» r = 0 nebo r = J-R. V krajních bodech je V(0) = V(R) = 0, takže jde o absolutní minima. Absolutní maximum je v bodě tq = ^2/3R. Nyní již snadno dokončíme výpočet: takže 2 2 2 2R 4tt ^max = Ttr0 • v0 = 71 - R ■ — = -— 3 V3 3V3 R' 150 Průběh funkce Příklad 6.49. Do koule o poloměru R vepište kužel s největším objemem. r R-v ^R S / S / v- R \ r / a) b) Obr. 6.17 Řešení. Nakresleme si středový řez koulí a označme v výšku kuželu a r poloměr základny. Situace vypadá následovně. V prvním případě (pro v < R — viz obr. 6.17 a)) platí dle Pythagorovy věty (R - v)2 = R: >2 2 r . v druhém případě (pro v > R — viz obr. 6.17 b)) (v - R)2 = R2 - r2. V obou případech získáváme = y/2vR - v2. Nyní již můžeme vyjádřit objem vepsaného kužele pouze v závislosti na v: V = — Tir v = - Tiv(2vR — v ) = - Tiv R--tiv . 3 3 3 3 Hledejme absolutní maximum funkce V (v) na intervalu [0, 2R]. Podle Weierstrassovy věty existuje. Vyjádříme si první derivaci: V 4 ? /4 \ (v) = - tivR — tiv = ti vy- R — v J odkud V'(v) = 0 4» v = Onebo v = - R. 3