1
Prubeh funce
1. definiční obor funkce
2. sudost, lichost, periodičnost funkce - má-li totiž funkce jednu z uvedených vlastnosti, zjednodussi to vyšetřováni jejího průběhu
3. pruseciky s osami kartézského systému souřadnic
4. limity v krajních bodech definicniho oboru
5. první derivaci funkce, stacionární body a body, v nichž není první derivace definována
6. intervaly monotonosti a lokálni extrémy
7. druhou derivaci funkce, nulové body druhé derivace a body, v nichž není druha derivace funkce definovaná
8. intervaly konvexnosti a konkávnosti a inflexní body
9. asymptoty funkce
10. obor hodnot
11. graf funkce
1.1 Definiční obor
Definiční obor funkce jsou všechny přípustné hodnoty, které můžeme ve funkci f(x) dosadit za argument x tak, aby daná funkce měla smysl.
1.2 Sudost, lichost, periodičnost funkce
Sudou, anebo lichou funkci poznáme snadno z grafu funkce. Jestliže je graf osově souměrný podle osy y, pak se jedná o funkci sudou. V případě, že je graf funkce středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic, pak se jedná o funkci lichou.
Funkce / je suda, pravé když platí: Pro všechna x z definicniho oboru lezi v definičním oboru take —x a plati
f(x) = f(-x)
Funkce / je lichá, právě když platí: Pro všechna x z definičního oboru leží v definičním oboru i—x a zároveň
f(-x) = -f(x)
Periodickou funkci poznáme z grafu funkce. Jestliže je celý graf určen jen částí,
1
která se neustále opakuje, pak je to graf periodické funkce.
Funkce / je periodická, právě když existuje takové reálné číslo T >) ,že pro
funkci / platí:
• Pro všechna x z definičního oboru leží v definičním oboru i x + T a zároveň
• pro všechna x z definičního oboru platí f(x) = f(x + T) Cislo T je periodou funkce.
1.3 Pruseicky s osami kartzezskeho systému
Všechny body ležící na ose y mají oj-ovou souřadnici rovnu 0, proto průsečík s osou y vypočítáme, když dosadíme do funkčního předpisu x = 0 Body na ose x mají y-ovou souřadnici rovnu 0, tedy průsečíky s osou x dostaneme, když dosadíme y = 0 .
1.4 Limity v krajních bodech definicniho oboru
1.5 První derivaci funkce, stacionární body a body, v nichž není první derivace, druha derivace, intervaly monotonosti a extrémy
Prvni derivace se pouziva k určeni stacionárních bodu, intervalu monotnonosti a lokálních extrému.
Jako stacionární bod funkce f(x) se označuje každý bod a jejího definičního oboru, v němž je první derivace této funkce nulová, tzn. ve stacionárním bodě platí:
/'(«) = o
tyto body nam rozdeli definiční obor na intervaly, ve kterých pote zjistíme znaménka f'{x) a tim prubeh funkce v jednotlicych intervalech a pomuze určit extrémy.
Lokálni extrémy určime i tak ze do druhé derivace dosadíme stacioanrni body.
1.6 Konvexnost a konkavnost
2
Řešení » Skrýt řešení «
Nejdříve určíme definiční obor funkce f\Xj. Je zřejmé, že platí D\f\ = IR. Spočítáme první derivaci, tj.
f'(x) = 60j4 - 60.r3 - 120j2 = 60j2(j2 -i-2).
Nyní musíme určit definiční obor pro ff(x), ten je očividně D(fľ) = K, a stacionární body funkce f{x), tedy musíme vyřešit rovnici fl{j~) = 0. Proto
60i2(i2 - x - 2) = 0 =>
=>    x\ = 0 neho x2 — x — 2 = 0 xt = 0, Xi = 2, £3 = —1<
Tyto body nám rozdělí definiční obor rozdělí na čtyři intervaly (— oo, — 1), (—1, 0), (0. 2) a (2, Oo), ve kterých zjistíme znaménka f'(x). Podle těchto znamének určíme průběh funkce v jednotlivých intervalech a určíme případné extrémy. K tomu nám pomůže následující tabulka
X	(-oo,-l)	(-1.0)	(0,2)	(2, 00)
sgn /'	+	-	-	+
/		\	\	
Odtud je vidět, že funkce /(./') je rostoucí v intervalech ( —OO, —1), a (2, oo), klesající v
( —1, 2). Funkce /(.r) má dva lokální extrémy, lokální maximum pro X = — 1 a lokální minimum
pro X = 2.
1.7 Asymptoty
Asymptoty ke grafu funkce jsou přímky, k nimž se graf funkce přibližuje v nějakém (vlastním či nevlastním) bodě
3
Najděte ostré lokálni extrémy funkce f '. y = 2x3 — 3x2 — 36x + 5 pomoci druhé derivace. Řešeni
Definiční obor: (—00,00).
Prvni derivace: }'{x) = 6x2 - 6s - 36 = 6(x2 - x + 6) = 6(1 - 3){aľ + 2).
Stacionární body: —2; 3.
Druhá derivace: f"{x) = 12a: — 6.
Zjišťováni ostrých lokálních extrémů pomoci druhé derivace:
* výpočty hodnot druhé derivace ve stacionárních bodech;
* zjištění, zda lze extrémy určit pomocí druhé derivace, a v pľípadé, že ano, jakého jsou typu;
* určení funkční hodnoty v bodech, v nichž se nacházejí extrémy.
-2	3
f"(-2) = -30 < 0 ostré lok. maximum /( 2) = 49	/"(3) = 30 > 0 ostré lok. minimum /(3) = -T6
Závěr: LMax = {[-2,49] }, LMin = ([3,-76]}.
Najděte ostré lokálni extrémy funkce / : y = x2 + 6a; pomocí druhé derivace.
X
graf funkce
áJ
Definiční obor: (—00,00).
Prvni derivace: f'(x) = 2x + 6 = 2{x + 3).
Stacionární body: —3.
Druhá derivace: f"{x) = 2.
Zjišťování ostrých lokálních extrémů pomoci druhé derivace:
3
/"{-3) = 2 > 0 ostré lok, minimum
/(-3) = 9
Závěr: LMin = ([-3,-9]).
4
Príklad 1
Určete intervaly monotónnosti funkce f : y = x2 — Ax. Řešení
Intervaly spojitosti: (—00, +00). Derivace: f (x) = 1x — 4.
Body z intervalů spojitostí, v nichž není derivace definována: žádné. Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice 1x — 4 = 0): 2. Tabulka:
(-00,2)	2	(2,+00)
f'(l) = -2 < 0 klesající		/'(3) = 2 > 0 rostoucí
Závěr: Funkce / je klesající na intervalu (—co, 2} a rostoucí na intervalu (2,+00).
Najděte body, v nichž má funkce / : y = x2 + 6a; + 9 na intervalu (—00,+00) ostré lokální extrémy.
y
-4 -3 -2 -1
graf funkce
Řešení
Intervaly spojitosti: (—00,+00). Derivace: f'(x) = 1x + 6.
Body z intervalů spojitosti, v nichž neni derivace definována: žádné. Stacionární body z intervalů spojitosti (ľešení rovnice 2x + 6 = 0): —3. Tabulka:
(-00,-3)	-3	(-3,+00)
/'(-4) = -2 < 0 klesajici	m	/'(-2) = 2>0 rostouc!
Závěr: Funkce / má ostré lokální minimum v bodě x = —3.
5
,.Do konkávni kávy nenaíeješ."
Definice
Xl        X2       X} X\        Xj x$
ryze konvexní ryze konkávni
Funkce / se nazývá ryze konvexní v intervalu I, právě když pro libovolná čisla xi,X3,xs e I, která splňuji nerovnost Xi < X2 < Xs, platí, že bod [xi\ f{xi)} leží pod přímkou procházející body
Funkce / se nazývá ryze konkávni v intervalu I, právě když pro libovolná čísla xi,x%,X3 £ I, která splňuji nerovnost xL < x% < xs, platí, že bod [x2;f(x2)] ležf nad přímkou procházející body a [xs;f{xs)].
6
Určete intervaly, ve kterých je funkce / : y = Ax2 — x + 5 ryze konvexní a ryze konkávni.
schéma grafu funkce Řešení
Prvni derivace: f'{x) = Sx — 1.
Otevřené intervaly spojitosti první derivace: (—oo, +00).
KBS: žádné.
Druhá derivace: f"{x) = 8.
BN2D: žádné.
Tabulka:
(-00, +00)
/"(O) = 8 > 0 ryze konvexní
Závěr: Funkce / je ryze konvexní na intervalu (—00, +00).
7
Určete intervaly, ve kterých je funkce / : y = ^/x ryze konvexní a ryze konkávni.
y
schéma grafu funkce Řešení
První derivace: f'(x) =
Otevřené intervaly spojitosti první derivace: (0, +00). KBS: 0.
1
Druhá derivace: f"(x)
BN2D: žádné. Tabulka:
0
(0, +00)
ryze konkávni
Závěr: Funkce / je ryze konkávni na intervalu (0, +00).
8