Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ustav fyziky Silesian University in Opava INSTITUTE OF PHYSICS SU OPAVA ^ £3 MINISTRY OF EDUCATION, OPEducatlon YOUTH AND SPORTS for Competitiveness investments in education development Fyzikální procesy v poli černých děr Sbírka řešených úloh Jan Schee, Filip Blaschke Opava 2014 Obsah 1 Rovnice geodetiky 3 2 Testovací častice ve sféricky symetrických, statický prostoročasech 12 3 Pohyb testovacích částic v Kerrově geometrii 25 4 Pohyb testovacích částic v elektromagnetickém poli 47 5 Skalární pole v okolí černých děr 54 6 Termodynamika černých děr 60 7 Elektromagnetické pole v zakřiveném prostoročase 66 Reference 69 2 1 Rovnice geodetiky Volné testovací částice se pohybují v metrickém poli podél takové světočáry spojující dva světobody, která je extrémami a nazýváme ji geodetika. Jestliže je ds2 = gapdxadx13 (1) délkový element světočáry, pak prostoročasový interval geodetiky musí splňovat podmínku ÔS = mcô í ds = 0. (2) J a Geodetika xfl(X) je pak řešením rovnice kde jsou koeficienty afinní konexe, které mají tvar ra/37 = \gaa (-g?-?,* + 9*p,i + sw) • (4) Pokud má metrické pole určité symetrie, tak s těmito symetriemi jsou spojeny pohybové konstanty. Symetrie prostoročasu určují Kilingovy vektorová pole, řekněme £a, které splňují Killinkovu rovnici 6*;/3 + = 0. (5) Detailnímu teoretický základ studia pohybu testovacích částic v metrických polích najdete například v [9, 16]. Úloha č.l) Odvoďte rovnici geodetiky z principu nejmenší akce. Řešení: Určeme nejprve variaci veličiny ds2. Dostaneme výraz ôds2 = 2dsôds, (6) který se současně rovná vztahu ôds2 = ô (gaPdxadxp) = ^-dxadxpôxIJ + 2gaPdxad5xp. (7) Variace akce S má potom tvar cC fb (1 dgaP dxa dx13 dxadôx/3\ ôS=mcL U^^^ +^^^Jds=0- (8) a b Obrázek 1: Hledání trajektorie xa(X) spojující body a a 6 tak aby příslušná akce byla extremální, tj. 5S = 0. Když si uvědomíme, že hledáme funkcionál spojující dva pevné body a a, b jejichž variace je, samozřejmě, ôxa = ôxi, = 0 pak úpravou druhého členu v integraci postupně, pomocí integrační metody per-partes, dostaneme dxa dôx13 ľ dxa ň -ds = ga/3^—oxp ds ds ds (9) o 4 Variaci akce potom dostane tvar Nyní už jenom, ve druhOm 41enu, přejmenujeme index j5 na a a vytkneme ôxa. Pohybová rovnice testovací částice potom je 1 dgan dxa dx13 d f dx 2 dx° ds ds ds \9a0 ds J °- Po úpravách a s využitím vztahu pro afinní konexi Tap dostaneme hledanou rovnici d V* dxadx? _ □ Úloha č.2) Uvažujte Killingovo vektorové pole £a asociované s metrickým polem gap. Dále, nechť je ua čtyřrychlost testovací částice. Ukažte, se podél geodetiky zachovává veličina ua^a. Řešení: Jestliže se má zachovávat podél geodetiky xa veličina ua£a, pak musí být splněna identicky rovnice Počítejme, (UaO;/X=0. (13) Rce gedetiky ^ o + UQ^/ Killingova rce Přejmenování indexů Poslední řádek plyne z faktu, že pokud má být A = —A pak jedinou možností je A = 0. □ Úloha č.3) Ukažte, že Hamiltonián ve tvaru H = \gaPPaPP (14) vede na rovnici geodetiky ve tvaru ^ + rv>V = o. (15) Řešení: Vezměme Hamiltonián v předkládaném tvaru 2 a dosaďme jej do Hamiltonových rovnic H = \ga0paPí3 (16) dpa d H dxa d H a —— = —— (17) dA dxa' dA dp, a dostaneme dgaadxp a dpa ldg*" . . P +^— = "ô— PvP* (18) dxP dA" * dA 2 <9x kde jsme využili vztah pa = gaaPa- Dále zřejmě platí dx dA Použijeme tento vztah v rovnici (18) a dále ji upravíme Pa- (19) dpa dgaa a 1 *"ďT+ +2^W = °- (20) 6 Z identity <7,. pa = const. (26) □ Úloha č.5) Řešte Hamiltonovu-Jacobiho rovnici pro nerelativistickou testovací částici v potenciálovém poli V(x) mající energii E (ID pohyb). 7 Řešení: Nejprve připomeňme původ Hamiltonovy rovnice. William Hamilton byl přesvědčený že trajetorie testovacích částic je idealizací v analaogii k paprskům v geometrické optice. Naše testovací částice (ze zadání) je popsána Hamiltoniánem 2 H(x,p) = ^- + V(x) (27) a lokalizovaná energie částice je E. Jestliže přijmeme tezi, že trajektorie částice je krátkovlnou aproximací vlnového pohybu musíme nějak tento vlnový pohyb adekvátně popsat. Částici popíšeme vlnou amplitudy pravděpodobnosti výskytu částice. V krátkovlné aproximaci tuto vlnu popíšeme WKB vlnovou funkcí ýE{x, t) = A{x, t) expt^'*) (28) kde je A pomalu se měnící amplituda vlny a SE je dynamická fáze. Tato fáze splňuje rovnici dS TT, dS, 1 fdS\2 Tr/ , -ä=ff^>=^UJ+v{x)- (29) Řešení budeme hledat v separovaném tvaru S = Sx + St. (30) V konzervativním poli V(x) platí že H = V, neboli dS , x odkud, z předpokladu separability (30), plyne vztah St = -Et + 5e- (32) Tento poslední vztah použijeme v Hamiltonově-Jacobiho rovnici (29) a obdržíme rovnici E = — + V(x) Sx = j [2m(E - V{x))]l'2áx. (33) Celkové řešení (30) tak můžeme psát ve tvaru S{x,t) = -Et+ / [2m{E- V{x))]1/2dx + ôE. (34) J x0 Určili jsme amplitudu pravděpodobnosti ale stále jsme neurčili trajektorii částice x = x(t). Abychom mohli lokalizovat částici, tj. určit její trajektorii, vytvoříme vlnový balík amplitudy pravděpodonosti superpozicí monochromatických vln, tj. ý(x, t) = ýE(x, t) + ^e+ae(x, t)-\----. (35) Vlnový balík bude soustředěn v oblasti s konstruktivní interferencí jednotlivých vln. V této oblasti jsou fáze různých vln totožné, tj. SE(x,t) = SE+AE(x,t). (36) Pro konstruktivní interferenci navíc musí platit, že změna fáze vzhledem ke změně energie (parametru popisující vlnu) je taky nulová, tj. platí g-a Aplikujeme tudto podmínku na řešení (34) a obdržíme výsledek t = Z,,[2m(£-V(x))]^dl + t° (38) kde je to = dôE/dE. Rovnice (38) tak představuje implicitně trajektori částice s energií E, mezi body x0 a x\. □ Úloha č.6) Použijte Hamilton-Jacobiho rovnici k vyřešení problému pohybu testovací částice v centrálním gravitačním poli. Řešení: Hamiltonián testovací částice v centrálním gravitačním poli, ve sférických souřadnicích, bude mít tvar 1 9 1 9 1 o M 2 2rz 2rl sin 0 ^ r 9 a k němu odpovídající Hamiltonovu-Jacobiho rovnici, pro fázi S amplitudy pravděpodobnosti částice, zapíšeme výrazem dS 1 fdS\2 1 fdS\2 1 fdS\2 M dt 2 \ dr) + 2r2 \d6) + 2r2sin2# V<9^J r ' ^ Řešení budeme hledat v separovaném tvaru S = St + Sr + S9 + *V (41) Z Hamiltoniánu a Hamiltonových rovnic dp^/dí = —dH/dxl ihned zjistíme, že existují dvě pohybové konstanty které označíme E = — pt a Lz =píp. Potom, fázi (41) píšeme ve tvaru S = -E t + Sr + S0 + Lz

d^2) . (52) V našich dalších úvahách budeme uvažovat následující prostoročasy: • Schwarzchildův prostoročas je vakuovým řešením Einsteinových rovnic = 0. Funkce /(r) má tvar [9, 16] 2GM , x f{r) = 1 " -ä-- 53 • Schwarzchildův-de Sitterův prostoročas je vakuovým řešením Einsteinových rovnic s Kosmologickou konstantou. Funkce f(r) pak bude [12] 2GM A f(r) = 1 - - ^c2r2. (54) c2r Reissnerův-Nordstromův prostoročas je řešením Einsteinových rovnic s tenzorem energie hybnosti elektromagnetického pole. Funkce /(r) má tvar [9, 16] 2GM Q2 , x c^r r£ Úloha č.l) Uvažujte sféricky symetrický a statický prostoročas pokrytý souřadnicemi (t, r, 6, ip). Uvažujte pohyb testovací částice v ekvatoriální rovině (9 = tt/2) podél geodetiky, která má pro pro radiální souřadnici tvar (J)2 = B2-K//('r,L), (56) 12 kde E = — pt a, L = p^ jsou integrály pohybu ve stationárním, sféricky symetrickém prostoročase. Nalezněte podmínky, které rozhodují o stabilitě či nestabilitě kruhových orbit. Řešení: Zderivujeme-li (56) podle afinního parametru r (vlastního času) obdržíme: dVeff dr d2r 1 dVP dr /d2r ' dr V dr2) dr dr ' dr2 2 dr Na kruhových geodetikách je radiální zrychlení nulové d2r (57) dr2 = 0, (58) Podmínky stability/nestability určíme perturbační analýzou rovnice (57). Kruhovou orbitu r0, E0, L0 radiálně perturbujeme na r = r0 + ôr, E = E0 + ô E ale L = L0. Po dosazení do (57) dostáváme 1 d ro+Sr = '^Veff(r0+ôr, L0] Celkově tedy máme: 6r 1 2 ld2Vf 1 d2Veff dr 2 dr2 ''0 =0 5r+0(5r2). (59) ro eff 2 dr2 8r. (60) Tudíž, je-li 'eff dr- d2Vf eff dr2 > 0 ?'0 < 0 harmonické kmity poruchy Sr exponenciální růst poruchy 5r STABILITA. NESTABILITA. □ Úloha č.2) V Reissnerově-Nordstrómově prostoročase je délkový element dán výrazem ds2 = -/(r)dť2 + /_1(r)dr2 + r2d<92 + r2 sin2 6dip2 , (61) 13 kde 2M Q2 f{r) = 1--+ ^ • 62 ty ty Ukažte, že v této geometrii existuje r = rmin, na které může být částice v klidu (hranice repulsivní oblasti). Řešení: Uvažujme pohyb v ekvatoriální rovině. Pak má rovnice geodetiky pro radiální složku tvar 2M Q2\f L2 \ 1--+ 1 + ^7 • ^)2 = E2- dr/ v r r" / v rz Uvažujme částici s nulovým momentem hybnosti L = 0. 2M Q2 (63) eff ■> 1 L=0 r + r. f{r). (64) Pokud má existovat stabilní hranice r = rmin mezi repulsivním a atraktivním charakterem geometrie, pak musí v tomto bodě platit dVeff/ dr I = 0 a d2Vef f / dr21 ' T min ' 0. Počítejme: > df(r) dr ď/(r) dr2 2M 2QS 0 r, min mm 4M 6Q2 Q "I" ži rr M r, mm mm 2Ml > 0 (65) (66) □ Úloha č.3) V poli Reissnerovi-Nordstrômovi nahé singularity jsou k jejímu centru vyslány dvě částice sE'=l,L = 0as klidovou hmotností m. Obě částice jsou vyslány za sebou s určitým časových odstupem. První částice se po dosažení bodu obratu otočí a střetne se s polétávající částicí v určité vzdálenosti r od singularity. 14 Určete energii této srážky. Dále určete ve které vzdálenosti by muselo ke srážce dojít aby byla její energie maximální. Řešení: R-N metrika je dána rovnicí (61). Čtyř-rychlost radiálně se pohybující částice je ,t „u,, Ut E 1 ^=^. = -7 = 7 = 7. m (Ury = E2-Veff = E2-f = l-f Ur = ±y/T=f. (68) V okamžiku srážky jsou tedy čtyř-rychlosti polétávající a odlétávající částice dány jako _ _ tfi = (l//,\/W,0,0), U2 = (1//,-v/W,0,0). (69) Energie srážky je E2CM = ~ipi + P2)2 = m\ + m22- 2g^P» = 2m2 - 2m2g^U»U» = f 1 2rrť + 1 f2 f n f 4m (70) Maximální energie srážky E^M max bude dosaženo v minimu /(r), tedy v bodě rmin = Q2/M. Tudíž 2 4m2 □ Úloha č.4) Ve Schwartzschildově-de Sitterově prostoročase ukažte, že 1. existují dva horizonty události, pokud je A < 1/(9M2), 2. existuje poloměr, na kterém může být částice s L = 0 v klidu. Určete jeho závislost na A. 15 Řešení: Ve Schwartzschildově-de Sitterově prostoročase má dráhový element tvar: ds2 = -f{r)dt2 + /"1(r)dr2 + r2d<92 + r2 sin2 6d(p2 , (72) kde 2M A 9 /(r) = 1 - — - -r . (73) 1. Horizonty leží tam, kde je metrika singulární, tj. f(r) = 0. Odtud dostáváme kubickou rovnici: r3--r+—-=0. 74) A A v 7 Diskriminant je '■(íUíí-^-h- Abychom obdrželi dva kladné reálné kořeny, pak musí platit D < 0 a tudíž A < • (76) 9M2 v 7 Goniometrické řešení má potom tvar: n = 2A1/2 cos(<^/3), (77) r2 = -2A1/2 cos(

Dále definujme impaktní parametr l vztahem 17 Vztah mezi Q a l pak zřejmě bude ; = iV =9^ = jl_o^n = ML (86) -ik -gttu1 J{r) H Zbývá tedy určit E = E(r) a L = L(r). Tyto funkce jsou určeny z podmínek, které musí být na kruhové orbitě splněny, tj. ur = 0 a dVeff/diffr = 0. Máme tedy rovnice u')2 = E2 - f(r) (l + ^) = 0, (87) dr \ rz I ró Z rovnice (88) dostaneme po algebraických úpravách vztah pro čtverec azimutálního momentu hybnosti ve tvaru r2 = r3//tr) (*q\ 2f(r)-rf(rY { } Jeho dosazením do rovnice (87) dostaneme vztah pro čtverec energie testovací částice na kruhové orbitě ve tvaru E2 =__ (90) 2/(r)-r/'(r)- 1 ] Když dosadíme obě získané funkce do vztahu (86) pak výsledný výraz pro čtverec úhlové rychlosti částice na kruhové orbitě bude íí2 = tĽĎ. (91) Nyní stačí tyto obecné vztahy aplikovat na případy konkrétních prostoročasů. • R-N metrika, funkce / a její první derivace podle r mají tvar 2M Q2 elt x 2M 2Q2 , x /M = l- — + = —(92) 18 Příslušné tvary funkcí L(r), E(r) a 0(r) potom jsou r2(rM - Q2) r(r-3M) + 2Q2' [r(r - 2M) + Q2 r2 [r(r - 3M) + 2Q2]' fi2 = I* ~ m + Qf , (94) rif - Q2 , s Í22 = —(95) Schw-dS metrika, funkce / a její první derivace podle r mají tvar 2M Ar2 ,„ x 2M 2Ar , x r 3 rz 3 Příslušné tary funkcí L(r), E^r) a O(r) potom jsou = r2(M 3) r-3M v 7 £2 = 'A''3 73'- + 6M]2, (98) 9r(r - 3M) n2 = (99) M A rá 3 □ Úloha č.6) Určete velikost lokálního zrychlení, které je zapotřebí k udržení testovací částice v klidu na daném poloměru r. Jaká bude velikost tohoto zrychlení na horizontu? Řešení: Uvažujme sféricky symetrický prostoročas s dráhovým elementem ds2 = -f(r)dt2 + /"1(r)dr2 + r2d<92 + r2 sin2 6>d^2 . (100) Ctyř-zrychlení částice s čtyř-rychlostí ua je dáno: d?/ aa = — = ua.puP = + r^wV. (10i; 19 Složky čtyř-rychlosti stacionární částice jsou u = (u*, 0,0,0). Z normovači podmínky plyne = 1/\/—f(r). Tudíž: a° = r£M2 = -r^. (102) Zřejmě je Y\t = Yett = rj£ = 0 a Tu = \9rr(-9n,r)=\ff ■ (103) Jedinou nenulovou složkou čtyř-zrychlení je tedy ď = —f'/2. Velikost čtyř-zrychlení je a(r) = y/g^afi = y/g„{ď)2 = ^= . (104) Jelikož na horizontu je / = 0 tak potom, zřejmě a(r/lor) = oo. □ Úloha č.7) Uvažujte, že testovací částice je spouštěna pozorovatelem v nekonečnu na poloměr r pomocí nekonečně dlouhé, nehmotné struny. Jaká je velikost a.oo(r), kterou působí tento pozorovatel na testovací částici? Jaká bude hodnota (rhor)l Řešení: Uvažujme následující myšlenkový pokus. Pozorovatel v nekonečnu posune strunu o malou vlastní vzdálenost ôs. Tím vykoná práci ÔW00 = a00ôs. (105) Na poloměru r se částice posune o vlastní vzdálenost ôs, ale vykonaná práce je ÔW = a(r)ôs. (106) Necht je nyní práce ÔW přeměněna na záření, které je sbíráno v nekonečnu. Energie tohoto záření podléhá rudému posuvu ÔE^ = f1/2ôu = f1/2aôs . (107) Ze zákona zachování energie ovšem plyne, že ÔE^ = ôWoo a tudíž f1/2aôs = aooôs, =>• aOQ = f1/2a. (108) 20 Dosazením do tohoto vztahu za a z předchozího příkladu (rov. (104)) tak docházíme k závěru (109) Hodnota zrychlení a00(r/lor) na horizontu je tudíž konečná. □ Úloha č.8) Určete kovariantní energii testovací částice v klidu na statickém poloměru rstat ve Schwartzschildově-de Sitterově geometrii. Řešení: Z normovači podmínky pro čtyř-rychlost U^U^ = — 1 dostaneme (pro 6 = n/2) {lr)> = É>-(l-*±-^)(l + »). (HO) Jelikož je na statickém poloměru částice v klidu Ur = 0 a L = 0 dostáváme 9 2M A 9 , , E2 = l----r2. 111) r 3 y J Z minulého příkladu víme, že rstat = (SM/A)1^3. Dosadíme-li tento výraz do předchozí rovnice, obdržíme energii pozorovatele na statickém poloměru V3 a /Q/l/fX2/3 / A ä/t\ V3 £- = 1-2MU?J -šlirj =1-3l—J =1-%1/3-(112) kde jsme zavedli bezrozměrný parametr y = AM /3. Výsledná energie je tak £síaí = \/l " 3?/1/3 . (113) □ Úloha č.9) Ukažte, že v případě nulových geodetik existuje mezní hodnota im-paktního parametru l2, taková že pro l2 < l2 spadne foton do černé díry. Ukažte, že tato hodnota záleží na parametru y podle vztahu 27 l\ = . (114) c 1-27?/ v } 21 Řešení: Z normovací podmínky pro čtyř-rychlost fotonu U^U^ dostaneme rovnici (yf = £2-(i-;-^2)^ ("5) kde r a L měříme v jednotkách M. Změníme-li afinní parametr A —>• EX můžeme napsat r)2=i-(i-'-^2)5- rc °<1- (i-f-^2)^- (U7) Odtud máme 9 r Prozkoumejme průběh funkce l2(r;y). Pokud bude existovat minimum l2{rph]y) potom pro l2 < l2(rph;y) nebude na příslušné geodetice existovat bod obratu a foton spadne pod horizont černé díry. Minimum určíme z extrému funkce l2(r; y): d/2(r; y) _ 3r2(r - 2 - yr3) - r3(l - 3yr2) _ 2r3 - 6r2 Q dr r — 2 — yr3 r — 2 — yr3 ' jejímž řešením je rph = 3 (viz obr. 2). Po dosazení dostáváme l2(rph, y) = č2 l\ = —^- . (120) c l-27y V 7 □ 22 l%(r;y) žádný bod obratu Obrázek 2: Průběh funkce l2(r; y) pro y = 0.14. Úloha č.10) Určete únikový světelný kužel z pohledu tetrády statického pozorovatele -1/2 e(í) e(r) e(¥,) 5 / 2 2\1/2 5 1---yr \ — , \ r J or ld_ r 39 ' __1__d_ r sin 0 dip 121) (122) (123) (124) Řešení: Složky čtyř-hybnosti fotonu měřené statickým pozorovatelem jsou (125) 23 Definujeme směrový úhel fotonu a vůči dané tetrádě vztahem sin a piv) cos a p{r) (126) Postupně tak dostáváme (s využitím (125)) P srna P (*) P cos a (r) » P ev p4) Cr(r)9rrPr 1/2 1---yrc r 1 — - — yr2 L ~Ě~r 1/2 i — ^r _ r I r (127) '#2 1 — f — ?/r2^L2/r2 -Pí (*) (t)iť ± 2 1/2 yr2) E 1---yr — r rz 1/2 (128) □ Úloha č.ll) Určete hodnotu kritického úhlu aC: pro který daný foton ještě unikne do oo. Diskutujte hodnotu cosac s ohledem na radiální polohu zdroje r vůči fotonové orbitě rph = 3. Řešení: Hodnotu kritického úhlu určíme dosazením kritické hodnoty impaktního parametru lc{y) do vztahů (127) a (128). sin ar cos ar (129) (130) Na r = rph = 3 je coshac = 0 a tudíž ac = tt/2 a P^ = 0. Je-li r > rph pak cl Zel znaménko v rovnici (130) bereme (—) => cosac < 0. Je-li r < rph pak musí být pM > 0 cl Zel znaménko v rovnici (130) bereme (+) => cosac > 0. □ 24 3 Pohyb testovacích částic v Kerrově geometrii Kerrova metrika Prostoročasový interval obecného, statického, osově symetrického prostoročasu píšeme ve tvaru ds2 = -e2vát2 + e2^ (oV - ooátf + e2/íldr2 + e^d^2. (131) Srovnáním s Kerrovou metrikou v Boyer-Lindquistových souřadnicích [7] , 9 f 2r\ , 9 /2arsin20\ , , ds2 = - í 1 - — J dt2 - 2 í---J dtdip E , o ^ , „o / 9 9 2o2r sin2 9\ 9 „ , 9 +—dr2 + Ed6>2 + í r2 + a2 +---J sin2 6>d^2 (132) dostaneme vztahy e2" = SA/A, e2^ = Asin2#/E, (133) e2Ml = E/A, e2^2 = E, u = 2ar/A (134) kde je A = r2-2r + a2, (135) E = r2 + a2 cos2 0, (136) A = (r2 + a2)2-a2 A sin2 0. (137) Úloha č.l) Určete meze hodnot kruhových frekvencí stacionárních pozorovatelů a ukažte, že existuje oblast ve které neexistují protirotující trajektorie. Řešení: Stacionární pozorovatelé mají pevné souřadnice r a 9 a pohybují se s uniformní kruhovou frekvencí Q = uv/u1. Příslušný vektor 4-rychlosti u = (V,0,0,^) (138) 25 leží uvnitř světelného kuželu, tj. nanejvýš se mohou blížit k jeho plášti, kde 4-rychlost splňuje podmínku 0 = vřup = gtttf)2 + 2gtvutu'p + g^f. (139) Společně s definicí úhlové frekvence vůči statickým pozorovatelům v nekonečnu dostáváme rovnici 0 = gtt + 2gtipQ + gipipQ (140) s řešením ft±=u± ýu2 - gtt/g 0. • je-li gu = 0 pak je Q>min = 0 a Qmax = 2uj. Pro danou latitudu dostaneme z rovnice gtt = - (1 - 2/-/E) = 0 = r2 - 2r + a2 cos2 0 (146) radiální souřadnici bodu na ploše statické limity r stat 1 + Vl-a2 cos2 6. (147) 26 • je-li gu > O, tj. pro r < rstat bude zřejmě Qmax > Qmm > 0. V oblasti pod statickou limitou neexistují protirotující stacionární pozorovatelé. • je-li gu = co2gvv bude Qmín = ^max = co. V takovém případě nemají stacionární pozorovatelé na výběr a musejí korotovat s rotojící černou dírou s frekvencí co. K této situaci dochází na horizontu, protože je AS gu = co2gvv => -e2v + co2e2íp = coe2íp => e2v = 0 = — (148) a horizonty černé díry splňují podmínku A = 0. □ Úloha č.2) Určete tetrádu lokálně nerotujících pozorovatelů (LNRF). Řešení: 4-rychlost lokálně nerotujících pozorovatelů je u = M(í)e(í) =u*eí + w%. (149) Vyjádřeme vektor časový tetrády obecně vztahem et = Aet + Bev (150) a dosaďme jej do (149). Dostaneme rovnice Au{t) = u\ (151) Bu{t) = uLp = uut (152) ze kterých plyne B = Au. (153) Vektory tetrády splňují podmínku ortonormality, tj. e(a) • e(6) = í/(a)(Ď). (154) Pro e(t) tak dostáváme rovnici e(t) • e(í) = -1 = A2 (gtt + 2ugt(p + co2gw) (155) 27 Odtud získáme funkci A ve tvaru A = 1 = e~\ (156) y-Qtt - 2ugtip - u2gw Časový vektor tetrády má výsledný tvar e(í)=e"!/(eí + wej. (157) Azimutální vektor tetrády hledejme opět v obecném tvaru e(ip) = Cet + De^. (158) S využitím podmínek ortonormality, máme soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé 1 = e{• e(r) • e(r) = 1 —>• e(r) = e~Mler (163) and e(0) = Gee e(0) • e(0) = 1 e(0) = e"M2e0. (164) □ Úloha č.3) Určete kovariantní energii E testovací částice, pohybující se v ekva-toriální rovině, určenou vzhledem k LNRF. Určete podmínku pro kterou bude E < 0. 28 Řešení: Vzlhedem k LNRF je vektor čtyřhybnosti čističe P = M7,7V0, (165) kde je 7 = y/l — V2. Kovariantní energie je určena vztahem E=-Pt = -p(a)et{a) = ^{ď + ue*VM) (166) a v ekvatoriální rovině nakonec obdržíme E = ^A~1/2{rA1/2 + 2MaV{íp)). (167) Energie E bude záporná při splnění podmínky yír) < r{r2-2Mr + a2fl2 2Ma ' v } □ Úloha č.4) Ukažte, že oblast ve které je E < 0 leží pod statickou limitou, tj. pro pohyb v ekvatoriální rovině r < 2M. yM • r± = - (171 29 Snadno se přesvědčíme, že r± jsou monotónní na a a dostáváme 3 r+(o = 0) = - a r_(a = 0) = 0, (172) r+(o = l) = l a r_(a = 0) = -. (173) V případě černých děr je extrémy funkce Vmax pod horizontem a nad nimi je monotónní. Studujme následující tři případy vzhledem k r = 2M. • Pro r = 2M, tj. na statické limitě je Vmax = -1. (174) Požadavek E < 0 zde nemůže být splněn protože by muselo platit < Vmax 1 • • Pro r > 2M je ymaa; < — 1 a tedy v této oblasti taky nemůžou být geodetiky s E < 0 protože by opět muselo platit E^ < — 1. • Z monotónnosti funkce Vmax nad horizontem musí být Vmax > — 1 a tedy, v této oblasti může být podmínka — 1 < < Vmax splněna. Zde existují geodetiky s E < 0. □ Úloha č.5) Určete pohybové rovnice testovací částice v Kerrově geometrii pomocí Hamiltonovy-Jacobiho metody. Řešení: Na geodetice zřejmě platí aM = 0, což je ekvivalentní Hamiltonovým rovnicím dx^ dH dp^ dH ~ď\=dp~^ ~ď\=~dx^ ^ ' s Hamiltoniánem ve tvaru H = \g»vwv. (176) 30 Jádrem Hamiltonovy-Jacobiho metody je Hamiltonova-Jacobiho funkce S. Když v Hamiltoniánu nahradíme zobecněné hybnosti gradienty funkce S, tj. Příslušná Hamiltonova-Jacobiho rovnice má potom tvar ÔS V|^#. (178) dX 2 dx^dxv' Za předpokladu, že má systém integrály pohybu budou se testovací částice pohybovat po takových trajektoriích na kterých je funkce S vzhledem k příslušným integrálům pohybu extremální, tj. platí i=°- (179) Kontravariantní metrické koeficienty g^v jsou, v Boyer-Lindquistových souřadnicích, dány vztahem g 9 jJLV d d dx^ dxv Ap2 2 t 2 2\ ® & + p2 sin 6 d d -- + a sin2 6J-Oíf ot — (—] — (— p2 \drJ p2 \d9 + (180) kde je A = r2 — 2r + o2 a p2 = r2 + a2cos2#. Srovnáním rovnic (178) a (180) dostaneme HJ rovnice ve tvaru dS 2Ap2 r + a )^rr + a— ot d ip + 2p2 sin2 6 dS ,dS ^- + asin2^^-Oíf ot 2p2 \dr J 2p2 \ae Řešení této rovnice hledáme v separovaném tvaru S = S\ + St + + *SV + 5*0. + 18ť (182) 31 Protože Hamiltonián H nezávisí na t a <~p tak se během pohybu testovací částice zachovávají pt = —E a pv = Lz, tj. kovariantní energie a azimutální moment hybnosti. Vzhledem ke vztahu (177) dostáváme pro funkci S danou vztahem (182) následující Pt = ^r = ^r = -E St = -Et, 183) ot ot P* = ^ = ^ = L* =* SV = LZ^. (184) Dále, je čtyřhybnost normována tak, že platí -m2 = g^p,pv, (185) kde m je klidová hmotnost částice. Odtud srovnáním s Hamiltonovou-Jacobiho rovnicí dostáváme, že platí Hledané řešení tak píšeme ve tvaru S = \m2\ -Et + Lzip + Sr + Se. (187) Zbývající neznámé funkce Sr a Se určíme dosazením S do Hamiltonovy-Jacobiho rovnice (181) a řešíme rovnici -5-' " -ŠAŠiK.-a-"')!'*!^!!.-^."-']'* ♦ H§)" + Kf)' Vynásobení této rovnice výrazem 2p2 a následnou separací funkcí závislých na r od funkcí závislých na 6 dostaneme rovnici F(r) = -mV + i^-^+flf-A^)2, (189) G{9) = m2a2 cos2 6+-^[Lz-aEsin2 9]2+(^^j , (190) F(r) = G{6). (191) 32 Výše uvedená rovnice musí platit pro libovolné r a 9, tzn. musí platit F(r) = K = konst = G(9), (192) kde K je Carterova separační konstanta. Dostáváme tak pro Sr a Se obyčejné diferenciální rovnice ve tvaru dSr\2 drJ ^{K--£(r2+a2)]2-A(mV+A-)}=Mľ), (193) ' jn \ 2 -i ^ = K - m2 a2 cos2 9--^-\LZ - aE sin2 9? = W(9) (194) ad j sin 9 s řešeními 5r = y -^-dr, &S9 = j ^W{9)d9. (195) Z podmínky extremálnosti funkce S vzhledem k pohybovým konstantám dostaneme dS dSr dSfí + dK dK dK dr R dr 2VR d9 + de o 2VW (196) dS dS x dSr + dSfí drn2 drn2 drn2 drn2 A r2dr r2dr "0 a2 cos2 9d9 R + R 2 J 9 a2 cos2 9d9 0 (197) 33 dS dSt OS?, dSe_ _ _ fr (r2 + a2) [E{r2 + a2) - aLz] dr <9£ dE dE dE J AVŘ i0 a sin2 9E-L, sin2 6» VH7 d0 = O t _ ír (r2 + a2) [£(r2 + a2) - aLz] ížr y av^ř f a^E~L'éB. (198) 7 sm2eVW dS dSt dSr dSe fr a[aLz - E(r2 + a2), , <9L, <9L, <9L, <9L, ^ 7 Av^Ř í0 aE sin2 6- L sin2 Ča/W7 -d6 ír a [E(r2 + a2 - aL J , p = / —^-7=--dr + J aVř Lz — aE sin2 9 7„ , -^^d6. 199) sin2 e Vw Rovnice (196) - (199) jsou Carterovými rovnicemi v integrálním tvaru [5]. Carterovy rovnice v diferenciálním tvaru snadno obdržíme ze vztahu (177). Počítejme, _ as _ dSr _ o_ r VRdr _ Pr dr dr dr J A A 9rrPr = ^ P2pr = ^Ř. (200) 34 Pe = — = —f = — / vwde = vw dS d ľ ~~dě ~ oe děj ty 9eepe = Vw => pV- W. (201) Diferenciální rovnice pro souřadnicový čas t a pro azimutální souřadnici ip dostaneme derivací rovnic (198) a (199) podle afinního parametru A a dostáváme rovnice 2 dt_ _ (r2 + a2) [E{r2 + a2) - aLz] a sin2 6E - Lz 9 dX ~ A + a sin2 e [ } a 2áp _ a [E(r2 + a2) - aLz] Lz - aEsin2 6 9 dX ~ A sin2 e [ } □ Ekvatoriální rovina Úloha č.l) V Kerrově geometrii určete hranici, která rozděluje tuto geometrii na oblast, kde existují stacionární pozorovatelé (vůči stacionárním pozorovatelům v nekonečnu) a na oblast, kde takoví pozorovatelé neexistují. Řešení: Délkový element v Boyerových-Lindquistových souřadnicích má tvar A / \2 sin2 e r i2 o ds2 =—(dt-asm2ed(p)--— (r2 + a2)d(^ - adí - -^dr2 - p2d62 , (204) pz \ J pz L JA kde A = r2 - 2r + a2 , (205) p = r2 + o2 cos2 6 . (206) 35 Uvažujme nulové křivky, které splňují podmínky ds = dr = d6 = 0, (207) z rovnice (204) potom dostaneme A / \2 sin2 6 r i2 0 = — [dt - a sin2 Ôdif)--— (r2 + a2)d(^ - adt . (208) pz \ J pz L J Tuto rovnici budeme řešit pro veličinu ^ a dostaneme do9 o sin 6 ± VA -r =-—• 209) dt (r2+ a2)smÔ±aVÄsm2Ô Pro znaménko (+) v této rovnici je ^ > 0 a foton se pohybuje ve stejném směru jako je rotace černé díry. Nyní zjistíme, za jakých podmínek bude ^ < 0 (tj. bereme rovnici (209) se znaménkem (-)). 1. Určeme znaménko jmenovatele v rovnici (209). Snadno se přesvědčíme, že (r2 + a2) sin B ± aVÄ sin2 0 > 0 . (210) 2. To znamená, že pokud < 0 pak musí platit asin# - vA < 0. Tato nerovnost je splněna pro všechna r > rs, kde rs je kořen rovnice r2 - 2r + a2cos26> = 0. (211 Plocha r = rs se nazývá plochou statické limity, kde ^ = 0. Jinými slovy, každá částice na této ploše se musí pohybovat rychlostí světla proti směru rotace černé díry, aby byla v klidu vůči statickým pozorovatelům v nekonečnu. □ 36 Úloha č.2) Ukažte, že testovací částice v Kerrově prostoročase bude mít na kruhové orbitě specifickou energii S a specifický moment hybnosti C ve tvaru r3/2 _ 2rl/2 ±a Z = —-ÍT72> (212) r3/4fr3/2 _3rl/2±2a C = ±-r2T2arV2 + a2 1/2. (213) r3/4 ^r3/2 _3rl/2±2o) Řešení: Vyjdeme z Carterovi rovnice pro radiální souřadnici o dr P dr (214) kde R je v ekvatoriální rovině (6 = 7r/2) dáno vztahem R = mz £{r2 + cŕ aC m2A r2 + (£ - o£)J (215) Pro kruhové orbity musí zřejmě platit ^ = ^ = 0, což implikuje soustavu rovnic R = 4^ = 0 ve tvaru dr £(r2 + a2) - aC A r2 + (C-aE)2 = 0, (216) 4(£2 - l)ró + 6r2 + 2 a2(£2 - 1) - Ĺ2 r + 2(£ - a£)2 = 0 Z těchto rovnic obdržíme hledaný výsledek r3/2 _ 2rl/2 ± fl o — 1/2 3/4^3/2 _3rl/2± 2a) r2 =F 2ar1/2 + a2 r3/4 ^r3/2 _3ri/2±2a) 1/2 • (217) (218) (219) 37 □ Úloha č.3) Určete limitní hranici, na které ještě může existovat kruhová orbita. Řešení: Výraz pod odmocninou ve jmenovateli rovnic (218) a (219) z předchozího příkladu musí být > 0, tj. .3/2 _ 3ri/2 ± 2a > 0 . (220) Mezní hodnota poloměru pro kruhové orbity je kořen rovnice ,3/2 _ 3ri/2 ± 2a = 0 r. ph 1 + cos(| arccos(=Fa)) '22ť Pro poloměr rph specifická energie S a specifický moment hybnosti C divergují. To naznačuje, že r = rph odpovídá fotonové kruhové orbitě. Pokud a = 0 pak rPh = 3 jako u Schwartzshildovy černé díry. Pro extrémní Kerrovu díru a = 1 je hodnota poloměru fotonové orbity rph = 1 pro korotující fotony a rph = 4 pro antikorotující fotony. □ Úloha č.4) Určete polohu mezně vázaných orbit a mezně stabilních kruhových orbit. Řešení: Nevázané kruhové orbity splňují podmínku S > 1. Pro mezně vázanou orbitu pak dostáváme rovnici (viz rovnice (218)) r3/2 _ 2rV2 ±a (222) r3/4(V3/2 _3ri/2±2a) což dává 1/2 ' korotující: r2 — 4r + Aay^ř — a2 = 0 => rmb+ = 2 — a + 2y/l — a, antikorotující: r2 — 4r — Aay/ř — a2 = 0 => rmĎ_ = 2 + a + 2y/l — a. (223) 38 A pro a = 0 =>• rmb+ = rmh_ = 4 , a = 1 =>• rmĎ+ = 1, rmĎ_ = 3 + 2^2 « 5.i (224) Stabilita kruhových orbit implikuje nerovnost < 0. Dostáváme tak rovnici 12(£2 - l)r2 + 12r - 2 £2 - a2{82 - 1 < 0. Dosazením z rovnice (218) a (219) obdržíme nerovnost r — 6r ± 8ar 1 — 3a > 0 ^> r > rr kde rms je kořen rovnice r 6r ± 8ar1/2 - 3a2 = 0, (225) (226) (227) jehož řešením je r, 3 + Z2 T l Z, = 1 + (1 - a)1/3 Z2 = (3a2 + Z12)1/2. = 6. Pro a = 1 pak r, 1/2 (3-Zi)(3 + Zi + 2Z2 l + a^ + U-a)1/3 Pro a = 0 obdržíme rms rms_ = 9 v antikorotujícím případě. (228) (229) (230) 1 v korotujícím případě a □ Úloha č.5) Uvažujte dvě testovací částice pohybující v ekvatoriální rovině směrem ke Kerrově černé díře. Každá částice má nenulový moment hybnosti Zi, resp. I2. Tyto částice necháme srazit v bodě rc > r+ kde r+ = 1 + y/l — a2 je vnější horizont černé díry. Určete: • minimální a maximální azimutální moment hybnosti, pro který částice spadne na horizont, 39 • energii srážky Eqm vůči hmotnému středu systému obou částic. Řešení: Radiální rovnice má pro testovací částici pohybující s kovariantní energií E = 1 v ekvatoriální rovině Kerrovy černé díry tvar | = ±^^m). (231) kde je V(r; l) = (r2 + a2 - alf - A (r2 + (l - a)2) . (232) Částice putující z nekonečna se do něj opět vrátní, pokud má její geodetika bod obratu, tj. bod rt > r+ splňující podmínku V(rt;l) = 0. Pro mezní hodnoty momentu hybnosti musí být navíc splněna podmínka dV(rt;l)/dr = 0, která znamená, že pokud má funkce nestabilní kruhovou orbitu tak pro lmin < l < lmax se neodrazí od potenciálové bariéry a spadne pod černoděrový horizont. Řešíme tak soustavu rovnic (r2 + a2-alf- A (r2 + (/- a)2) = 0 (233) 3r2 - l2r + (a - l)2 = 0 (234) Řešením této soustavy jsou následující kořeny n = 2(1 - y/l-á) -a Zi = 2(1 - Vl - a), (235) r2 = 2(1 + y/l-a) -a l2 = 2(1 + y/l-a), (236) r3 = 2(l + v/TT^)+a /3 = -2(1 + VTT^), (237) + a) + a h = — 2(1 - y/l + á). (238) Pouze r2 a r3 jsou větší než r+ a tedy dostáváme výsledek lmin = -2(1 + Vl + a) a /maa; = 2(1 + Vl - a). (239) A dostáváme se k druhému bodu zadání, určení energie srážky Eqm- Je-li celková 4-hybnost srážejících se částic Ptot = P1 + P2, kde P\ a P2 jsou čtyřhybnosti první, res. druhé částice, pak je energie srážky v CM systému určena vztahem E2cm = -Ptot ■ Ptot- (240) 40 Z něj pak postupně dostáváme, za předpokladu m\ = m2 = m, E2CM = -{Pl + P2)-{Pl + P2) = -{Pl-Pl + P2-P2 + 2Pl-P2) (241) = |p. p| = -m2\ = 2m2(l + UX ■ U2) = 2m2(l + gijU[U32), (242) kde byl využit vztah P = mU. Složky 4-rychlostí obou částic v ekvatoriální rovině jsou u, = (ut uio,ut) &u2 = (ulur2lo,u, Vztah pro E21M tak upravíme a obdržíme vztah E2CM = 2m2 y/l + guUlUi + g„U[U^ + g^UfU? + gtíp(U(U^ + ^ kde pak jsou jednotlivé, nenulové složky určeny z Carterových rovnic kde je T r2 + o2 U1 Tjr al. ala 0 + r2 + g2)T 7, aT (243) (244) (245) (246) (247) □ Úloha č.6) Uvažujte následující experiment (demonstrace Penroseova procesu) kterým je "odčerpávána"energie a moment hybnosti Kerrovy černé díry. Nechť se částice vypuštěná v z klidu v nekonečnu, E^ = 1 a L°z, rozpadne v bodě obratu (Lz je voleno tak aby rt < 2M) své geodetiky na dva fotony. Foton č. 1 necháme spadnout pod horizont s enerií a momntem hybnosti l}p < 0 a E1 < 0 zatímco druhý foton odletí zpět do nekonečna s E^ a Určete maximální možný výtěžek energie AE = E^ — E^ při tomto pokusu. Řešení: Uvažujeme pohyb v ekvatoriální rovině, tj. Q = 0. Z Carterovy rovnice pro radiální složku 4—hybnosti máme rovnici pro [r(r2 + a2) + 2a2M] E2 - AaMLzE - L2z{r - 2M) + (Kr)A = 0 (248) 41 kde k = 1 pro časupodobné geodetiky a k = 0 pro nulové geodetiky. Vyjádřeme z této rovnice kovariantní energii E a azimutální moment hybnosti Lz a dostaneme rovnice 2aMLz±A1/2[r2L2 + (r(r2 + a2) + 2a2M)Kr]1/2 ± ~ r(r2 + a2) + 2a2M ' ^ ™ —2aME ± A1/2 [r2£2 + (r - 2MW]1/2 . . = -r~2M-• (250) Poznamenejme, že pro radiálně padající částici z klidu z nekonečna je E = 1 a tedy bereme rovnici s E = E+. Geodetika rozpadající se částice má následující konstanty pohybu = 1, (251) L?) = -2aM + A^[2Kr-M)]V2^(, ^ Nechť momenty hybnosti pro vzniklé fotony jsou (odpovídají bodu obratu na daném r) = -2aM-r^ = r-2M v } a /9n -2aM + rAx/2 ^ (9, M Ú2) =---E{2) = a(2)£(2). 254) Samozřejmě, platí zákony zachování energie + E^ = E^ = 1 (255) a momentu hybnosti + = a^1) + a^E^ = L f = (256) Řešením této soustavy rovnic obdržíme následující výrazy pro energie fotonů ^ = sítt^. (257) E{2) = (258) «(0) _a(2) -«(2) _a(0) -«(2) 42 Dosazením za dostaneme konečné výrazy E(1) = -žlr?-1'- (259) Ei2> = ±| + (260) 2 \ V r (261) V ergosféře (r < 2M) je energie fotonu č. 1 záporná. Výtěžek energie bude AE = E^ - E® = \ y\J™ - lj = -EU. (262) Maximální výtěžek energie získáme pro minimálně možný bod obratu, který je na r+, tj. AB4(\/W-1)' (263) Pro extrémní černou díru (a = 1) je r+ = M a tedy maximálně možný výtěžek energie bude AE = i (y/2 - l) = 0.207. (264) □ Úloha č.7) Uvažujte prachovou slupku s radiálním rozměrem rs >> r+ v Kerrově metrickém poli [2]. Určete jak se původně sféricky symetrická slupka bude, během volného pádu na černoděrový horizont měnit (jako charakteristiku distorze slupky zvolte dobu radiální souřadnici, rs(t; 9), prachových částic ve stejném souřadnicovém čase ť). Řešení: V Boyerových-Lindquistových souřadnicích má prostorčasový interval v 43 Kerrově geometrii tvar ds2 kde je / 2Mr\ , 9 E , 9 ~ ■ í 1--— J dt2 + -dr2 + Ed6>2 AMra sin2 0 , , A 2 „ , 2 --—-dme/? + — sin (Jdip , E = r2 + a2 cos2 0, A = r — 2mr + o , A= (r2 + a2)2-a2Asin20. (265) (266) (267) (268) Pro testovací částici odvodil Bandon Carter, z Hamilton-Jacobiho rovnic, pohybové rovnice ve tvaru (269) (270) (271) (272) dr z— E— = dr d0 _ dr dt E-r- = —a (( dr X— = (aE dr \ r2 + a2 A sin2 6 + aP V těchto rovnicích jsou zavedeny funkce W(0) = Q-cos29 P(r) E(r2 + a2) a2(m2 - E2) + $2 sin2 6 a R = P2 -A [m2r2 + Q + ($ - a£)2] . Testovací částice, tvočící slupku, se pohybují s pohybovými konstantami E = m, $ = 0, aQ = 0. (273) (274) (275) (276) 44 Za těchto předpokladů se Carterovy rovnice zjednodušší a píšeme je ve tvaru dr Sd, Lďr" Lď7 V2Mr(r2 + a2), 0, a2 sin2 0 + 1 r2 + a2)2 A -a r2 + o2 A (277) (278) (279) (280) Z rovnice (278) je ihned vidět, že prachové částice budou následovat trajektorie s konstantní latitudinální souřadnicí 9 = 6i. Abychom určili deformaci slupky sloučíme dohromady rovnice (277) a (279) a obdržíme (z definice derivace složené funkce dt(r(r))/'dr = (dt/dr)(dr/dr)) dt dt j dr dr dr/dr -a2 sin2 6 i + [r2 + a2)2 y/2Mr(r2 + a2) Av/2Mr(r2 + a2] (281) Zavedeme bezrozměrné veličiny výrazy r/M —>• r, a/M^-a&t/M^-t. Rovnice (281) bude mít tvar dt dr -a2 sin2 Oj + r2 + a2)2 ^2r(r2 + a2) Ay/2r(r2 + (282) Nejprve integrujme tuto rovnici pro a = 0. Vzhledem k tomuto případu pak budeme diskutovat výsledky pro a ^ 0. Nechť je tedy a = 0. Určujeme následující integrál t r r3/2 -dr Ir = x2, dr = 2xdx| x Snadno se přesvědčíte, že výsledkem je funkce r \i/2 2 / r \3/2 V2J x2-2 dx. (283) 2M 2M 3 \2M + log i_j_\ _ -, \2M/ (284) 45 Určeme aproximaci výrazu log 1 + x 1 — x (285) pro x » 1. Z Taylorova rozvoje dostaneme l+x log 1 — X ~ log (1 + x) \ = 2 log |1 + x\ ~ x. (286) Odkud tedy plyne přibližná forma vztahu (284), kterou píšeme ve tvaru t f r y/2 2 / r \3/2 Í2M 2M~~2\2m) ~3\2m) + 2\~. 1/2 (287) Pro r » 2M lze analyticky řešit rovnici (282) pro a ^ 0. Pro tento případ přepíšeme rovnici (282) na následující dt dr -a2 sin2 B i + r2 + a2)2 ^J2r{r2 + a2) Ay/2r(r2 + a2) (288) kterou řeší funkce 2M 2M 1/2 2 3 V2M 3/2 + a 2 + yl--sin^ 2M' 1/2 r . (289) □ 46 4 Pohyb testovacích částic v elektromagnetickém poli Přítomnost elektrických nábojů a proudů nabitých částic generují elektromagnetické pole, které samo, jako nositel energie, generuje zakřivený prostoročas. Jestliže jsou složky vektorového 4-potenciálu pak píšeme složky Faradayova tenzoru vet tvaru Ffxv = A^v - Av.tlí. (290) Tenzor energie-hybnosti elektromagnetického pole pak je t„ = ^ (f^F? - \f^F^ . (291) Pokud hmotný objekt je kromě hmotnosti navíc vybaven nenulovým elektrickým nábojem tak v případě sférické symetrie a statičnosti dostáváme Reissnerův-Nordstromův prostoročas [11, 16]. V případě osové symetrie a stacionarity je řešením Einsteinových rovnic s tenzorem energie-hybnosti elektromagnetického pole Kerr-Newmanův prostoročas [10]. Jeho délkový element má tvar kde je dsz f 2Mr - e2\ , 9 E , 9 ~ í i---— J dŕ + -dr2 + me2 2(2Mr - e2)asm26 , , A . 9 ^-^-dtdif + -dif2 (292) E = r2 + a2 cos2 6, A = r2-2Mr + a2 + e2, A = (r2 + a2)2 - a2Asin26>. (293) (294) (295) Úloha č.l) Z Hamiltonova formalizmu určete pohybové rovnice nabité, testovací částice v zakřiveném prostoročase, na kterou působí elektro-magnetické síly. 47 Řešení: Elektromagnetické pole, je ve prostoročasové formulaci zakódováno do 4-potenciálu A^. Hamiltonián vedoucí k Lorentzově síle má tvar H = \g^{K» - eAJfa - eAv), (296) kde je e elektrický náboj testovací částice a 7rM jsou kovariantní složky zobecněné hybnosti. Pohybové rovnice jsou určeny Hamiltonovými rovnicemi dx^ d H dir^ d H Z první soustavy Hamiltonových rovnic dostáváme dx11 _ 1 a/3 ( ÔTT^ ^ OTTa _ ^ dTT^ _ ^ d7Ta\ = ga»{ita-eAa) = ^-eA». (298) V parametrizaci A = r/m je dx^/dX = takže máme první výsledek p» = 7rv - eA» 7T^ = př + eA11. (299) Odtud dosadíme za 7r„ do druhých Hamiltonových rovnic a postupně obdržíme d 1 — {p^ + eA^) = - ga^ll{TTa-eAa){TTP-eAp) -egaP (7rpAattl - 7raApítl + eApAa^ + eAaA^)] (300) Podrobnějším rozepsáním této rovnice obdržíme rovnici \g,a^papa + e-pPAp^. (301) 48 Celou rovnici vynásobíme členem gKfJj a osamostatníme člen dpv/d\, dostaneme ^ = ^(íra/pQ-v//-v/rt +a = eF^>, (305) kde je Fap = Aafi - Ap,a. (306) □ Úloha č.2) Uvažujte pozorovatele, pohybujícího se na kruhové, Keplerovské orbitě v okolí Reissnerovy-Nordstromovy černé díry s nábojem Q a hmotnosti M. Určete nenulové složky elektromagnetického pole, který tento pozorovatel bude měřit. Řešení: Kovariantní složky tenzoru obecného elektromagnetického pole F v lokálni tetrádě statického pozorovatele jsou F, (a)(/3) 0 Er Eq Ev \ —Er 0 —Bv Be — Eq Bv 0 —Br v —Ev -Be Br 0 / (307) Centrálni objekt má naboj Q a pole je statické a sféricky symetrické, tzn. jediná nenulová složka je Er = - — . (308) r 49 Kovariantní složky tenzoru, tohoto elektromagnetického pole jsou F, (a) 03) / 0 -Q/r 0 0 \ Q/r 0 0 0 0 0 0 0 V o o o o y (309) Nás zajímají složky tenzoru elektromagnetického pole v systému pohybujícího se po keplerovské kruhové orbitě rychlostí yis>) kde transformační matice [L^] určuje vztah mezi složkami souřadnicové baze u/ a složkami tetrády statického pozorovatele u^. Složky této matice zřejmě jsou (ověřte) f1'2 0 0 0 0 f-1'2 0 0 0 0 r 0 0 0 0 rsin6> (310) (3ii; takže pro rychlost obdržíme výraz r sin 6 y( 0) q2Q2r4 - 2q2Q2r3 - (1 - q2Q4)r2 + 2Q2r - Q4 = 0, (332) kterou musí rstat splňovat. □ 53 5 Skalární pole v okolí černých děr V této kapitole se na okamžik opustíme diskrétní částice a budeme studovat jak se vyvíjí v metrickém poli skalární pole [3]. Úloha č.l) Hustota Lagrangianu má pro komplexní skalární pole p s hmotností fi tvar C = -g^V^VjP* - /i2pp*. (333) Odvoďte z této hustoty Lagrangianu pohybové rovnice skalárního pole. Řešení: Příslušné pohybové rovnice plynou z Eulerových-Lagrangeových rovnic, které mají pro p* tvar ™(w&)-w=0 (334) Určeme nejprve d C = (335) gi - "MV- (336) Tyto dva výsledky vložíme do Eulerových-Lagrangeových rovnic (334) a obdržíme Vť(-^'V^)+/iV = o -V^Vjp-g^V.VjP + irp = 0 =o (VlVt-p2)p = 0 (□ — p ) p = 0. (337) □ Úloha č.2) Ukažte, že pro skalární funkci p lze d'Alambertián □ psát ve tvaru Up = {Srdi - Y\kdk) p. (338) 54 Řešení: O správnosti vztahu (338) se snadno přesvědčíme přímým výpočtem. Postupně tak dostáváme D

= e-^R(r)Alm(Ô, dt -iue -ÍLút d<š> -ÍLút R RA, dA dt2 d2

V této rovnice lze zřejmě od sebe oddělit radiální a úhlovou část a pak symbolicky zapsáno dostáváme P{r) = W(0,ip). (353) Tato rovnice musí zřejmě platit pro libovolné r, 9 a c/>, tj. Pravá i levá strana se musí rovnat stejné konstantě, řekněme K. Vzhledem k této separační konstantě K dostáváme dvě rovnice sd?R . ^dR (r3u2 9 9 \ „ , r(r - 2) — + 2(r - 1) — + - ^r2 - K j R = 0 (354) 1 d2 A BA d2 A , x . 2fl^ 2 + cot 0— + — - K A = 0. 355 sin 9 d(f2 o9 o92 Kvůli snadnějšímu zápisu píšeme místo Aim jen A. Nyní se soustředíme na úhlovou rovnici (355). □ Úloha č.5) Určete tenzor energie hybnosti klasického skalárního pole v poli Sch-warchildovy černé díry a určete podmínky, za kterých toto pole splňuje slabou a silnou energetickou podmínku. 57 Řešení: Tenzor energie hybnosti pole které je určeno Lagrangeovou hustotou £, určuje rovnice dC T^ = ~ (356) Hustota Lagrangiánu C klasického skalárního pole $ je dána vztahem C = U.^+l-pH2. (357) K určení příslušného tenzoru energie hybnosti už jen stačí dosadit poslední vztah do rovnice (356). Postupnými výpočty dostáváme n = 5 0, (360) • Slabá energetická podmínka - vyjádřena vztahem > 0. (361) V obou případech je jednotkový, času-podobný 4-vektor. Než určíme silnou energetickou podmmínku pro naše skalární pole spočítejme nejprve výraz pro T = T^. Po krátkém výpočtu dostáváme výsledek T = T^ = - [(W)2 + m2$2] = -(W)2 - 2m2$2. (362) 58 Tento výsledek využijeme k určení silné energerické podmínky = {V^.,f -X-m2& (363) kde jsme využili V^V^1 = — 1. Vidíme, že silnou energetickou podmínku lze velmi snadno porušit. Například, pokud bude pole $ časově nezávislé v soustavě kde je = (1,0,0,0) tak bude silná energetická podmínka zjevně porušena. Nyní obraťme pozornost ke slabé energetické podmínce, která pozadu platnost nerovnosti 0 < t^vv" = {v^.^f + i (W)2 + \m2<$>2. (364) Jak je ihned vidět tato podmínka je pro skalární pole $ vždy splněna. □ 59 6 Termodynamika černých děr Stephen Hawking ukázal [6], že celková plocha všech, klasických černých děr ve Vesmíru nemůže klesat. Je-li A plocha černé díry pak Hawkingův teorém říká ô A > 0. (365) Tento teorém silně připomíná druhý termodynamický zákon, který říká, že žádným fyzikálním způsobem nemůže celková entropie S veškeré hmoty ve Vesmíru klesat ,t j. ÔS > 0. Tím ovšem analogie nekončí. Na povrchu libovolné černé díry lze zavést veličinu k - povrchová gravitace, která je konstantní v případě stacionárních černých děr. Toto pravidlo je analogií k nultému zákonu termodynamiky a sice, že teplota T je konstantní v tělese v termodynamické rovnováze. Dále, zde nalézáme analog k zákonu zachování celkové energie soustavy a to ve tvaru dM = —KdA + QHdJ, (366) 8tt který říká, že celková změna hmotnosti černé díry odpovídá změně její plochy A a/nebo změně jejího momentu hybnosti J. A nakonec k třetímu termodynamickému zákonu, který říká, že je nemožné fyzikálními procesy dosáhnout T = 0, existuje analogie tvrdící, že není možné fyzikálními procesy dosáhnout k = 0. K entropii S je ekvivalentem plocha černé díry A a k teplotě T je analogem povrchová gravit ace k . V roce 1975 Stephen Hawking navíc ukázal, že černé díry, v důsledku kvantově-mechanických procesů v blízkosti horizontu, vyzařují energii jako absolutně černé těleso. Můžeme tedy skutečně hovořit o termodynamice černých děr. Úloha č.l) Nechť \a Je Killingovo pole, které je normálou k horizontu staionární černé díry. Ukažtem, že lze na povrchu černé díry zavést veličinu k, která je konstantní podél orbit určených \a- Řešení: Obecně Killingovo pole xa nemusí splývat se stacionárním Killingovým polem £a. V takovém případě získáme axiální Killingovo pole ípa jako lineární kombinaci polí xa a Obecně tedy píšeme Xa = C + VHr, (367) 60 kde je Qh úhlová rychlost horizontu černé díry, která je konstantní. Horizont je nulový povrch a xa Je normálou k horizontu, pak musí platit XaXa = O- (368) Jinýmy slovy, XaXa Je na horizontu konstantní a proto je i Va(xbXb) normálou k horizontu. Takže existuje funkce k takovová, že je Va(x&Xa) = ~^Xa- (369) □ Úloha č.2) Uvažujme klasickou, rotující černou díru. Vratným procesem odebírejme z této černé díry energii (hmotnost) a rotaci (moment hybnosti). Ukažte, ze zákona neklesajících ploch černých děr, že takto vytvořená statická černá díra bude mít hmotnost Mf > Mirr = \JMl{Ml + y'M2 - a2)/2. Index i označuje iniciální, rotující černou díru se spinem o a index / označuje finální, nerotující černou díru. Řešení: Určeme nejprve plochu rotující černé díry. Ta bude zřejmě p2ir pír _ p2ir pír A= / y^deip= / / (r2 +a2)sin6>d6>d(/? = 47r(r2 +a2). (370) Jo Jo Jo Jo Užitím vztahu A = 0 = — 2Mr+ + o2 dostáváme pro plochu horizontu Kerrovy černé díry výraz A = 8irMr+ = 8irM(M + VM2 - a2). (371) Ze zákona neklesajících ploch klasických črných děr dostáváme nerovnost Af > A, (372) kde je Af = WttMJ (373) 61 a Ai = %ttM%{M% + ^M2-a2). (374) Dostáváme tak nerovnost M2 > + ^M2-a2). (375) Hmotnost takto vytvořené statické černé díry nemůže být menší než určitá hmotnost Mirr která je dána vztahem Ml = -2M,(.\1, + ^M2-a2). (376) □ Úloha č.3) Uvažujte kolizi dvou Kerrových černých děr se stejnou hmotností Mi a s opačnými rotačními parametry o. Jaká bude minimální hmotnost, M2, Schwarzchildovy černé díry, která tímto procesem vznikne? Řešení: Nechť je ploch každé z našich Kerrových černých děr A\ a plocha vytvořené Schwarzchildovy černé díry A2. Podle teorému o neklesajících plochách černých děr musí platit Ai + Ai < A2 ->> 2AX < A2. (377) Plocha Kerrovy černé díry bude Ai = / / y/žjjdOdip, (378) Jo Jo kde je 2g = gee9ipip = [(r2 + o2)2 - a26+ sin2 6] sin2 6 = (r2 + a2) sin2 6. (379) Výsledná plocha Kerrovy černé díry potom je Ax = 47r(r2 + a2) = %nMlr+. (380) 62 V případě Schwarzchildovy černé díry dostaneme pro její plochu výraz A2 = Airrl = IôttM2. (381) Dosazením do (377) obdržíme výsledek 167rMir+ < 16ttM22 M2 > \jM1{M1 + ^M2-a2). (382) □ Úloha č.4) Z Hawkingova teorému o neklesajících plochách černých děr ukažte, že Kerrova černá díra určité mody dopadajícího záření spíše zesiluje. Řešení: Plocha Kerrovy černé díry je A = 8ttÄ = 8tt [M2 + (M4 - J2)1/2] , (383) kde je J = aM. Odkud zřejmě dostaneme Ä = M2 + (M4 — J2)1/2 Ä2 - 2ÄM2 + J2 = 0. (384) První variací této rovnice obdržíme výraz 2ÄÔÄ - 2M2ÔÄ - AÄMÔM + 2JÔJ = 0 (385) případně v upravené podobě (Ä - M2)ÔÄ = 2ÄMÔM - JÔJ. (386) Z teorému o neklesajících plochách plyne, že levá strana předchozí rovnice je pozitivní. Předpokládejme, že vlnové mody mají časovou t a fázovou

0. (388) u / Pro zesílenou vlnu, ze zákona zachování energie, plyne ÔM < 0 (389) takže musí platit ~ m 2Mr+ m 2AM--J < 0 =>----< 0. 390) co au To vede k podmínce am 0 < u < -= mtth. (391) 2Mr+ v } K zesílení dopadající vlny dojde tehdy, když je její kruhová frekvence celočíselným násobkem kruhové frekvence Kerrovy černé díry. □ Úloha č.5) Uvažujte Schwarzchildovu černou díru s hmotností M. Najděte výraz pro zářivý výkon Hawkingova záření. Jaký je vztah mezi její hmotností M a dobou jejího vypaření tvypl Řešení: Stephen Hawking ukázal, že vlivek kvantověmechanických procesů v blízkosti horizontu černé díry dochází k odebírání její energie která je vyzařována do okolí ve formě záření absolutně černého tělesa s teplotou TH = ± (392) kde k je povrchová gravitace černé díry. Určeme, jaké je zrychlení statického pozorovatele na daném r > r h a pak určíme limitu pro r —>• r h- Pro 4-zrychlení platí d2 ryf-ť ^"1 ry ^ ^"1 ryfó ď- + r^ď7ďf (393) Pro statického pozorovatele budou složky jeho 4-rychlosti áX" ;^,0,0,0) (394) dr dr 64 kde z normovači podmínky uaua = — 1 dostaneme a* = ^! + rííí(wí)2 = ^^ + 0 = 0, (395) = ^- + r¥'tt(uí)2 = 0 + 0 = 0, (396) ae = ^ + reíí(wí)2 = 0 + 0 = 0, (397) H?/r 1 ar = —+ ríí(Wí)2 = 0 + -^íí,r(Kí)2. (398) V případě statických prostoročasů je povrchová gravitace úměrná velikosti 4-zrychlení o, tj. k = Va, (399) kde V je redshiftový faktor. Velikost 4-zrychlení bude a = sja^ = y/g~^ď'. (400) Protože pro složku ď snadno dostaneme výraz r 1 / 2M\ 2\1 .., M t x tak výsledná povrchová gravitace bude M K = a = V-, (402) r2^l - 2M/r kde redshift faktor zřejmě bude V = y7! - 2M/r. (403) Pro teplotu Hawkingovského záření ve Schwarzchildově poli tak dostaneme vztah M 1 TH =-- = Ir = 2MI =-. (404) 27rr2 1 1 8ttM v ; 65 Celkový zářivý výkon zdroje vyzařující jako absolutně černé těleso je P = AaTft, (405) kde je A plocha povrchu černé díry A = J J ^jdÔdip = \9 = r2sin6>| = Airr2. (406) Pro zářivý výkon P pak dostaneme výraz P = 256» <407' Nyní určíme dobu za kterou se černá díra vypaří. Zářivý výkon představuje ztrátu energie černé díry, tj. ^ dE a /. n p = "ďT = w (408) kde jsme zavedli faktor a = l/(2567r3). Vztah mezi energií a hmotností určuje Einsteinův vztah E = M c2. (409) Dostáváme tak diferenciální rovnici, popisující ztrátu hmoty černé díry za dobu t ve tvaru o dM a -c -r- = tttt. 410) dt M2 v } Její řešení snadno najdeme separací proměnných, tj. ľM ŕ c2 - / M2dM = a dt => t = (411) *J 0 ví Čím těžší bude černá díra tím déle se bude vypařovat a naopak. □ 7 Elektromagnetické pole v zakřiveném prostoročase Elektromagnetické pole budeme v následujících úlohách považovat za testovací, tj. neovliňující geometrii prostoročasu. Maxwellovy rovnice mají v kovariantním záise tvar Fv\l = Airf Gaussův-Ampérův zákon (412) 66 a F[a.P;i] = O Gaussův-Faradayův zákon. (413) Zde je antisymetrický tenzor určen 4-vektorem elektromagnetického pole vztahem F/J.V = A^ - A^. (414) a jM je 4-proud. Úloha č.6) Ukažte, že platí: 1. = A^v - AVttl, (415) 2. Řešení: 1. Počítejme 2. F — A —A A —Va A — A A-Va A | symetrie koeficientů Y v dolních indexech | - A^. (417) ,v ,v av av □ Úloha č.7) Určete elektromagnetické pole generované statickým, bodovým nábojem e, který leží na souřadnicích r = 6a# = 0ve Schwarzchildově metrickém poli. 67 Řešení: □ 68 Reference [1] Bardeen, J. M. and Press, W. H. and Teukolsky, S. A., Rotating Black Holes: Locally Nonrotating Frames, Energy Extraction, and Scalar Synchrotron Radiation, The Astrophys. J., 178, p.347-370, 1972 [2] Bicak, J. and Stuchhk, Z., The Fall of the Shell of Dust on to a Rotating Black Hole, Mon. Not. R. astr. Soc, 175, 381-393, 1976 [3] Bicak, J., Stuchhk, Z., and Sob, M., Scalar fields around a charged, rotating black hole, Czechoslovak Jour, of Phys., 28, p.121-124, 1978 [4] Bhat, M. and Dhurandhar, S. and Dadhich, N., Energetics of the Kerr-Newman black hole by the Penrose process, Journ. of Astrophys. and Astron., 6, p.85-100, 1985 [5] Carter, B., Hamilton-Jacobi and Schrodinger Separable Solutions of Einstein's Equations, Commun. math. Phys., 10, p.280-310, 1968 [6] Hawking, S. W., Particle creation by black holes, Comm. in Math. Phys., 43, p. 199-220, 1975 [7] Kerr, R. P., Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics, Phys. Rev. Lett., 11, p.237-238, 1963 [8] Madsen, M. S., Scalar fields in curved spacetimes, Class, and Quant. Grav., 5, p.627-639, 1988 [9] Misner, C. W. and Thorne, K. S. and Wheeler, J. A., Gravitation, San Francisco: W.H. Freeman and Co., 1973, [10] Newman, E., Chinnapared, K., Exton, A., Prakash, A., and Torrence, R., Metric of a Rotating, Charged Mass, Journ. of Math. Phys., 6 (6), p.918-919, 1965 [11] Reissner, H., Uber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, Annalen der Physik, 50,p. 106-120, 1916 69 [12] Stuchlík, Z., Equatorial circular orbits and the motion of the shell of dust in the field of a rotating naked singularity, Bull, of the Astron. Inst, of Czechoslovakia, 31, p.129-144,1980 [13] Stuchlík, Z., The motion of test particles in black-hole backgrounds with nonzero cosmological constant, Bull, of the Astron. Instit. of Czechoslovakia, 34, p.129-149, 1983 [14] Teukolsky, S. A. and Press, W. H., Perturbations of a rotating black hole. Ill - Interaction of the hole with gravitational and electromagnetic radiation, The Astrophys. J., 193, p.443-461, 1974 [15] Wald, R. M., Energy Limits on the Penrose Process, The Astrophys. J., 191, p.231-234, 1974 [16] Wald, R. M., General relativity, Chicago, University of Chicago Press, 1984, 504 P-, 1984 70