4. seminář
kombinatorika
a pravděpodobnost

•Pro lepší názornost spusťte jako prezentaci



Příklad 1
a)Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu není nula
a ze zbývajících devíti číslic se v něm každá vyskytuje nejvýše jednou.
b)Kolik z těchto čísel je větších než 9.000?
c)Kolik je jich menších než 3.000?

Řešení 1a
•Hledáme 4ciferná čísla bez 0 a bez opakování.
•Máme na výběr cifry 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
•Máme čtyři pozice:
• __  __  __  __
•
•
• Kolik cifer lze na danou pozici umístit
9
8
7
6
= 3.024
*       *      *

Řešení 1b
•Kolik jich je větších než 9.000?
•Hledám 4ciferná čísla s konkrétní první cifrou.
• __  __  __  __
•
1
8
7
6
= 336
*       *      *
9

Řešení 1c
•Kolik jich je menších než 3.000?
•Hledám 4ciferná čísla s konkrétní první cifrou, kterou může být 1 nebo 2.
• __  __  __  __
•
• __   __  __  __
•
•
• 336 + 336 = 672
1
1
8
7
6
= 336
*       *      *
1
8
7
6
= 336
*         *      *
2

Řešení 1 – pravděpodobnost
•Pravděpodobnost případu b)
• P = 336/3024 =
•
•Pravděpodobnost případu c)
• P = 672/3024 =
0,111
0,222
= 11,1 %
= 22,2 %

Příklad 2
•Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu, jestliže si o čísle pamatujeme, že je
šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné dvaceti pěti.

Řešení 2
•Hledáme 6ciferné číslo, které začíná konkrétní číslicí, neopakují se v něm cifry a je dělitelné
25.
•Číslo je dělitelné 25, pokud končí na:
•25
•50
•75
•00
… lze
… lze
… nelze, sedmička je už na začátku
… nelze, cifry se nesmí opakovat

Řešení 2
•Zbývají 2 varianty
• __  __  __  __  __  __
•
•
• __  __  __  __  __  __
•
•
• 210 + 210 = 420
•
7
2
5
7
5
0
1
7
6
5
1
1
1
7
6
5
1
1
= 210
= 210
*     *     *    *    *
*    *     *    *    *

Příklad 3
•K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici
bílé, červené, modré, zelené a žluté pruhy.
a)Určete počet vlajek, které lze z těchto pruhů sestavit.
b)Kolik jich má modrý pruh uprostřed?
c)Kolik z nich má modrý pruh?
d)Kolik jich nemá uprostřed červený pruh?

Řešení 3a
•Kolik je všech možností?
•Sestavuji 3 pruhy z 5 možných, na pořadí záleží.
•
• V(3;5) =
= 5*4*3
= 60

Řešení 3b
•Kolik z nich má modrý pruh uprostřed?
•Jeden pruh je určený, vybírám 2 ze 4 barev.
•
• V(2;4) =
= 4*3
= 12

Řešení 3c
•Kolik má modrý pruh?
•Modrý pruh může být:
1.nahoře,
2.uprostřed,
3.dole.
4.
• 3 * V(2;4) =
= 36
= 3*4*3

Řešení 3d
•Kolik jich nemá uprostřed červený pruh?
•Všechny vlajky kromě té, která červený pruh uprostřed má.
•
• 60 – 12
= 48

Řešení 3 – pravděpodobnost
•Pravděpodobnost b)
• P = 12/60
•
•Pravděpodobnost c)
• P = 36/60
•
•Pravděpodobnost d)
• P = 48/60
= 0,2
= 0,6
= 0,8
= 20 %
= 60 %
= 80 %

Příklad 4
•Určete, kolika způsoby je možné ze 7 mužů
a 4 žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou
a)právě dvě ženy,
b)aspoň dvě ženy.
•

Řešení 4a
•Právě 2 ženy ve skupině.
•
•K(2;4) * K(4;7) =
•
•
•
•        = 6*35 =
•        = 210

Řešení 4b
•Aspoň 2 ženy.
•Tj. 2, 3 nebo 4 ženy.
•
•K(2;4)*K(4;7) =
•
•K(3;4)*K(3;7) =
•
•K(4;4)*K(2;7) =
•
•210 + 140 + 21 = 371
= 6*35
= 4*35
= 1*21
= 210
= 140
= 21