Expertní systémy
Fuzzy přístupy k neurčitosti
Jan Górecki
Název
prezentace
Název projektu
Rozvoj vzdělávání na Slezské univerzitě v Opavě
Registrační číslo projektu
CZ.02.2.69/0.0./0.0/16_015/0002400
Logolink_OP_VVV_hor_barva_cz

•Fuzzy množina A v univerzu U :
•
•
•U ¹ Æ … klasická množina
• … funkce příslušnosti (charakteristická funkce)
•
•
• … stupeň příslušnosti prvku x k fuzzy množině A
•
•Prázdná fuzzy množina Æ
–
Fuzzy množiny

csvukrs

•Fuzzy číslo A je fuzzy množina na universu reálných čísel, která je určena čtveřicí bodů
•( a(1), a(2), a(3), a(4) )
• a po částech souvislou funkcí příslušnosti s následujícími vlastnostmi:
–a(1) £ a(2) £ a(3) £ a(4)
–je rovna nule pro x £ a(1) a x ³ a(4)
–je rovna jedné pro a(2) £ x £ a(3)
–je rostoucí na áa(1),  a(2)ñ a klesající na áa(3), a(4)ñ
•
–
Fuzzy čísla

csvukrs

–Lichoběžníkové fuzzy číslo: A = ( a(1), a(2), a(3), a(4) )
–
–
–
–
–
–
–
Speciální případy fuzzy čísel
mA(x)
1
0
a(3)
a(4)
a(2)
a(1)
x

csvukrs

–Trojúhelníkové fuzzy číslo: A = ( a(1), a(2), a(3) )
–
–
–
–
–
–
–
Speciální případy fuzzy čísel
mA(x)
1
0
a(3)
a(2)
a(1)
x

csvukrs

•Nechť                   ,                    .
•
•Doplněk fuzzy množiny A:
•
•
•
•
–
Základní operace s fuzzy množinami

csvukrs

•Nechť                   ,                    .
•
•Sjednocení fuzzy množin A a B:
•
•
•
•
–
Základní operace s fuzzy množinami

csvukrs

•Nechť                   ,                    .
•
•Průnik fuzzy množin A a B:
•
•
•
•
–
Základní operace s fuzzy množinami

csvukrs

•Nechť                   ,                    .
•
•Kartézský součin fuzzy množin A a B:
•
•
•
•
–
Základní operace s fuzzy množinami

csvukrs

•
• jsou klasické množiny
•
•
•Kartézský součin fuzzy množin je zvláštním případem fuzzy relace
Fuzzy relace

csvukrs

•Nechť m < n,                                   ,
•
•Cylindrické rozšíření fuzzy relace R na
• Cyl(R) = R*
–
Cylindrické rozšíření

csvukrs

•Nechť                          ,
•Silná kompozice relací R a S
•
•
–
Silná kompozice

csvukrs

–Lingvistická (slovní, jazyková) proměnná je taková proměnná, jejíž hodnotami jsou slova. Významy
těchto slov jsou reprezentovány jako fuzzy množiny v nějakém univerzu.
–
Lingvistická proměnná

csvukrs

•Strukturovaná lingvistická proměnná:
•
•
• X … jméno proměnné,
• T … množina termů (tj. slovních hodnot proměnné),
• U … univerzum (neprázdná klasická množina),
• G … množina syntaktických pravidel pro generování hodnot z T
• M … množina sémantických pravidel interpretujících hodnoty z T      jako fuzzy množiny
s univerzem U.
–
Lingvistická proměnná

csvukrs

•Nestrukturovaná lingvistická proměnná:
•
•
• T … konečná množina fuzzy množin s univerzem U.
Lingvistická proměnná

csvukrs

•Množina logických (pravdivostních) hodnot
•C = á0, 1ñ
• 0 představuje pravdu a 1 nepravdu.
•
•Logická proměnná je proměnná nabývající hodnot z množiny C. Nechť W je konečná množina logických
proměnných.
–
Vícehodnotová logika

csvukrs

•Množina logických spojek
•L = {Ú, Ù, &, Þ}
• (disjunkce, konjunkce, odvážná konjunkce, implikace).
Vícehodnotová logika

csvukrs

•Formule je konečný řetězec, definovaný těmito pravidly:
• Je-li a Î C, pak a  je formule.
• Je-li b Î W, pak b  je formule.
• Jestliže j a y jsou formule a * Î L, pak (j  * y) je formule.
Vícehodnotová logika

csvukrs

•Interpretace formule je dosazení logických konstant za logické proměnné.
Vícehodnotová logika

csvukrs

•Nechť Q je množina všech formulí a W(Q) množina všech jejich interpretací. Pravdivostním
ohodnocením nazveme zobrazení V: W(Q) ® C, splňující následující požadavky:
• V(a) = a
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Pravdivostní ohodnocení

csvukrs

•Operace negace je definována takto:
•Øj  = j Þ 0
•Pro pravdivostní ohodnocení negace pak dostaneme:
–
Negace

csvukrs

–Lukasiewiczova:
–
–
Příklady implikací

csvukrs

–Kleene-Dienesova:
–
–
Příklady implikací

csvukrs

–Zadehova:
–
–
Příklady implikací

csvukrs

–Gödelova:
–
–
Příklady implikací

csvukrs

•Uvažujme pravidlo
•IF X = A THEN Y = B
•Nechť                   ,                    . Pak toto pravidlo můžeme chápat jako fuzzy relaci
•
•Ve fuzzy systémech se charakteristická funkce této relace často definuje vztahem
•
• a relace se nepřesně označuje názvem Mamdaniho implikace.
Kompoziční pravidlo usuzování

csvukrs

•Pravidlo fuzzy modus ponens:
•
•
•
•Nechť                       . Pak fuzzy množina                       může být určena takto:
•
•
•Je-li univerzum U konečná množina, můžeme operátor sup nahradit operátorem max.
–
Kompoziční pravidlo usuzování

csvukrs

•Předpokládejme , že znalostní báze je tvořena m pravidly tvaru
• IF X1 = Ai1 AND X2 = Ai2 AND … AND Xn = Ain THEN Y = B
• kde                           ,                        .
•Těmto pravidlům odpovídají fuzzy relace
•
•Podmínku na levé straně i-tého pravidla můžeme vyjádřit ve tvaru
• X = Ai , kde                                     ,
• Báze fuzzy pravidel může být reprezentována relací
–
Báze fuzzy pravidel

csvukrs

•Nechť nyní je položen dotaz
• X1 = A01 AND X2 = A02 AND … AND Xn = A0n
•Odpovědí systému je fuzzy množina
•
•
•Při použití Mamdaniho interpretace relací Ri můžeme tento vztah převést do tvaru umožňujícího
efektivnější výpočet:
–
Zodpovězení dotazu

csvukrs

Příklad tvorby odpovědi

csvukrs

•Defuzzifikace je proces, v němž nějaké fuzzy množině přiřazujeme ostrou hodnotu, která ji v jistém
smyslu nejlépe reprezentuje.
•Nejčastěji používané metody defuzzifikace:
•Metoda těžiště (COA, center of area):
•
•
•Metoda maxima:
•
• Pokud je takových bodů více, může se použít některá z následujících metod.
•Metoda prvého maxima (FOM, first of maxima).
•Metoda průměrného maxima (MOM, mean of maxima).
–
Defuzzifikace

csvukrs

Děkuji za pozornost
Některé snímky převzaty od:
RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@fme.vutbr.cz