MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 5: (Lokální a vázané extrémy funkce dvou proměnných, úvod do integrálního počtu) V této přednášce se budeme zabývat hledáním extrémů funkce dvou proměnných x a y. - Lokální extrémy funkce: Má-li funkce dvou proměnných v jistém bodě maximum nebo minimum, a existují obě parciální derivace, pak platí: . Tato podmínka však není postačující, neboť v daném bodě může být i inflexní (sedlový) bod. - Existenci maxima (minima) funkce při splnění určitých podmínek zaručuje následující věta: ______________________________________________ Věta 5.1 (Weierstrassova). Nechť funkce je spojitá na uzavřené a omezené oblasti . Pak funkce nabývá na oblasti M (globálního) maxima i minima. Poznámka: Funkce může mít extrémy i v bodech, v nichž některá první parciální derivace neexistuje. Takové body se musí vyšetřit zvlášť a v dalším výkladu se jimi nebudeme zabývat. - Bod, v němž má funkce všechny první derivace nulové, se nazývá stacionární bod nebo též bod podezřelý z extrému, a bude značen C. - O tom, která alternativa nastává, rozhodneme na základě druhých parciálních derivací, z nichž sestavíme Hesseovu matici a její determinant zvaný hessián: H[f](x,y) = Do hessiánu dosadíme souřadnice bodu C a označíme: D[1] = a D[2] = H[f](C). D[2] je determinant Hesseovy matice. Pro určení extrému pak platí následující pravidlo: Ø D[2] > 0: v bodě C je EXTRÉM, a to (lokální ostré) MINIMUM, pokud je D[1] > 0; a (lokální ostré) MAXIMUM, pokud je D[1] < 0. Ø D[2] < 0: v bodě C je sedlo (inflexní bod). Ø D[2] = 0: v daném bodě může (ale nemusí) být extrém, o extrému se musí rozhodnout jiným způsobem, například pomocí totálního diferenciálu druhého či vyššího řádu. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.1. Určete lokální extrémy funkce: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Určete lokální extrémy funkce: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.3. Určete lokální extrémy funkce: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.4. Určete lokální extrémy funkce: . - Vázané extrémy: kromě funkce je ještě zadána vazba (omezující podmínka pro x a y) ve tvaru . Hledáme extrémy funkce , které jsou vázány (leží na ní) křivkou . Budeme používat dvě metody: a) Dosazovací metoda: z vazby vyjádříme x nebo y a dosadíme do , čímž získáme funkci jedné proměnné, a extrémy tedy hledáme podobně jako u funkce jedné proměnné. Tuto metodu použijeme v případě, že z rovnice vazby lze osamostatnit x nebo y. b) Lagrangeova metoda neurčitých koeficientů: sestavíme Lagrangeovu funkci , kde λ je Lagrangeův multiplikátor. Poté vypočteme parciální derivace L a položíme je rovny 0. Jako třetí rovnici pro tři neznámé x, y, λ použijeme rovnici vazby. Vyřešíme soustavu a výsledné „podezřelé“ body C dosadíme do hessiánu, pomocí kterého rozhodneme, zda se jedná o maximum, minimum nebo inflexní bod. Pro určení extrému platí následující pravidlo: Ø D[2] > 0: v bodě C je EXTRÉM, a to (lokální ostré) MINIMUM, pokud je navíc D[1] > 0; a (lokální ostré) MAXIMUM, pokud je D[1] < 0. Ø D[2] 0: o extrému se musí rozhodnout jiným způsobem. U Lagrangeovy metody můžeme o charakteru kritického bodu C rozhodnout i bez hessiánu, pokud jsou splněny podmínky Věty 5.1, tedy pokud je funkce definovaná na omezené a uzavřené oblasti: spočteme hodnotu všech kritických bodů, a bod s největší (nejmenší) hodnotou bude vázaným maximem (minimem) dané funkce. Omezenou a uzavřenou oblastí může být například kružnice, elipsa, úsečka, apod. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.6. Určete vázané extrémy funkce , . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.7. Určete vázané extrémy funkce , . Maximalizace příjmu ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 5.9. Firma vyrábí dva druhy zboží, jejich množství označme Q[1] a Q[2]. Příjem firmy je dán funkcí . Najděte maximum příjmu. Minimalizace nákladů ___________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Příklad 5.13. Jsou dány celkové náklady: . Najděte minimum nákladů. Pojem neurčitého integrálu, základní vlastnosti - Funkce F(x) se nazývá primitivní funkcí k funkci f(x) na otevřeném intervalu právě tehdy, když pro všechna . Primitivní funkce existuje ke každé spojité funkci na J. - Množina všech primitivních funkcí k dané funkci se nazývá neurčitý integrál, a značí se takto: , kde je integrační znak, x integrační proměnná, f(x) integrovaná funkce neboli integrand, F(x) primitivní funkce k f(x), C integrační konstanta. Neurčitý integrál je lineární operátor, což znamená, že splňuje následující dvě podmínky: i) , ii) Tabulka 6.1. Základní integrály. řádek f(x) 1 0 C 2 1 x + C 3 + C 4 + C 5 + C 6 7 + C 8 sinx –cosx + C 9 cosx sinx + C 10 tgx + C 11 cotgx + C 12 arctgx + C 13 14 arcsinx + C 15 arccosx + C 16 + C ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.2. Integrujte: a) . b) . c) . d) . e) . Integrace součinu funkcí (metoda per partes) Smyslem této metody je rozložit jeden složitější integrál na dva jednodušší členy (odtud název metody: per partes je latinsky „po částech“). Vzorec, který používáme při integraci per partes: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.7. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.8. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.10. Vypočtěte: .