MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 6: Neurčitý integrál, metoda per partes, integrace racionálních funkcí Integrace racionálních funkcí (metoda parciálních zlomků) - Racionální funkcí rozumíme výraz , kde P(x) a Q(x) jsou polynomy proměnné x. Budeme předpokládat, že stupeň polynomu P(x) je menší než stupeň polynomu Q(x). K integraci (ryzích) racionálních funkcí ve využívá metoda rozkladu na parciální zlomky. Smyslem této metody je rozložit zadanou (a obvykle složitou) racionální funkci na součet „nejjednodušších“ (parciální znamená „částečný“) zlomků. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Integrujte . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Integrujte: . Integrace součinu funkcí (metoda per partes) - Smyslem této metody je rozložit jeden složitější integrál na dva jednodušší členy (odtud název metody: per partes je latinsky „po částech“). - Vzorec, který používáme při integraci per partes, si odvodíme z pravidla pro derivaci součinu dvou funkcí, které označíme a . Nyní osamostatníme vlevo člen uv´: , a tuto rovnost integrujeme: Prostřední člen obsahuje integrál i derivaci, proto se tyto dvě operace vyruší, a dostaneme: - Důležitá je správná volba funkcí u a v´. Nesprávná volba funkcí vede k tomu, že složitost úlohy naroste. V takovém případě je zapotřebí zvolit funkce u a v´ opačně. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.10. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.11. Vypočtěte: . Celkové náklady a celkové příjmy - V ekonomii lze (neurčitý) integrál využít k výpočtu celkových příjmů nebo celkových nákladů, pokud jsou známy (dány) mezní příjmy respektive mezní náklady. - Funkce celkových nákladů TC(x) a funkce mezních nákladů MC(x), kde x je počet výrobků, spolu souvisejí vztahem: (6.1) Vztah (6.1) říká, že celkové náklady jsou součtem mezních nákladů. Integrační konstanta C se určí z jedné známé hodnoty TC(x) pro dané x. Stejný vztah platí také pro celkové příjmy TR(x) a mezní příjmy MR(x): (6.2) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.12. Určete funkci celkových nákladů, jestliže funkce mezních nákladů a náklady na produkci 10 výrobků činí 6000 Kč. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.14. Mezní příjmy jsou popsány funkcí , najděte funkci celkového příjmu. - Složitější neurčité integrály je možné řešit pomocí substituce, kterou se integrály zjednoduší. - Substituce = náhrada původní proměnné nebo výrazu novou proměnnou. - Budeme se zabývat substitucemi složených funkcí, a dále logaritmických, exponenciálních a goniometrických funkcí. Integrace složených funkcí ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 7.2. Vypočtěte: .