MATEMATIKA V EKONOMII - PŘEDNÁŠKA č. 1 Přednášející: Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. Vedoucí seminářů: Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D., Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. Kredity: 5 Podmínka absolvování: zkouška (alespoň 60 bodů ze dvou písemných testů) + účast na seminářích (alespoň 70 %) Skripta: Mazurek, J. Matematika v Ekonomii. (umístěno na publicu a Moodlu). Starší učebnice: Matematika B. Materiály ke cvičením a ke zkoušce: mazurek/public/matematika v ekonomii, resp. stoklasova/public/matematika v ekonomii, a také na elearningu – Moodle, kurz INM/NPMAT. Videozáznamy přednášek: http://media.slu.cz/videolist.php?idsada=42 Obsah předmětu: diferenciální a integrální počet jedné a dvou reálných proměnných s aplikacemi v ekonomii. (podrobněji viz Plán přednášek nebo Sylabus předmětu). Hodnocení: 0-59: F, 60-65: E, 66-70: D, 71-80: C, 81-90: B, 91-100: A. Funkce jedné reálné proměnné Pojem funkce -Funkcí rozumíme předpis, který každému číslu x z jedné množiny (definičního oboru) přiřadí právě jedno číslo y z druhé množiny (oboru hodnot). -Definiční obor nebo -Obor hodnot nebo . -Funkční předpis se značí , například . -Explicitní funkce: Je-li možné upravit funkci na tvar . -Implicitní funkce: nelze osamostatnit y na levé straně, značíme . - V ekonomii se nejčastěji setkáváme s funkcemi poptávky, nabídky, příjmů, nákladů, užitku, produkce, atd. -Funkce mohou být definovány pro různé číselné obory (čísla přirozená, celá, reálná, komplexní, reálná kladná, apod.). -Funkce jedné proměnné a funkce více proměnných (např. Cobb-Douglasova funkce). Graf funkce -Grafem funkce nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích , kde . -Vybrané grafy viz dále. -Přehledně znázorňuje závislost x na y, a je možné z něj vyčíst vlastnosti funkce. -Průsečíky grafu funkce s grafem jiné funkce jsou body, kde jsou si obě funkce rovny, což bývá v ekonomické teorii interpretováno jako stav rovnováhy (například mezi poptávkou a nabídkou). Vlastnosti funkce -Definiční obor funkce -V ekonomii platí, že většina veličin může nabývat pouze kladných hodnot. -Je užitečné si pamatovat, že funkce ve tvaru polynomu a exponenciální funkce mají definiční obor vždy rovný R. - Pak existují funkce, kde se definiční obor obecně nerovná R, a mezi ně patří především tyto: · racionální lomené funkce (zlomky s proměnnou x ve jmenovateli): jmenovatel nesmí být roven nule, · logaritmické funkce: výraz v logaritmu musí být kladný, · odmocninné funkce: výraz pod odmocninou musí být nezáporný, · tangens a cotangens: výraz ve jmenovateli (tedy cosinus, resp. sinus) nesmí být roven nule. · arcsinus a arccosinus: definičním oborem je interval . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 1.1. Určete definiční obor funkcí: a) f: b) f: c) f: d) f: -Obor hodnot : je množina všech y, které získáme z funkčního předpisu pro všechna x z definičního oboru. Je-li funkce omezená (viz níže), je rovněž obor hodnot omezený. -Monotónnost funkce: funkce je na intervalu monotónní, pokud je na tomto intervalu rostoucí, klesající, nerostoucí nebo neklesající. Funkce je na intervalu I: - rostoucí, pokud pro všechna , , platí: , - klesající, pokud pro všechna , , platí: , - nerostoucí, pokud pro všechna , , platí: , - neklesající, pokud pro všechna , , platí: . -Extrémy funkce: globální a lokální: Funkce má v bodě a globální maximum, jestliže pro všechna x ( ) z definičního oboru je . Funkce má v bodě a globální minimum, jestliže pro všechna x ( ) z definičního oboru je . Funkce má v bodě a lokální maximum, jestliže pro všechna x ( ) z nějakého okolí bodu a je . Funkce má v bodě a lokální minimum, jestliže pro všechna x ( ) z nějakého okolí bodu a je . Okolím bodu a nazýváme otevřený interval . Platí-li v předešlých vztazích ostrá nerovnost (“>” nebo “<”), je extrém ostrý, v opačném případě neostrý. -Omezenost funkce: funkce je omezená shora, jestliže existuje takové reálné číslo h, že pro všechna x z definičního oboru funkce. Podobně, funkce je omezená zdola, jestliže existuje takové reálné číslo d, že pro všechna x z definičního oboru funkce. Pokud je funkce omezená shora i zdola, říkáme krátce, že je omezená. V ekonomii jsou všechny funkce omezené, neboť produkce, příjmy, náklady, práce, kapitál či zdroje surovin nejsou nekonečné. -Prostá funkce: Funkce se nazývá prostá, jestliže platí: . Význam prostých funkcí tkví v tom, že k nim existují funkce inverzní (opačné). Algebraické funkce -Lineární funkce má předpis , jejím grafem je přímka (řecky linea je přímka). Koeficient a se nazývá směrnice přímky, neboť udává sklon (směr) přímky vzhledem k ose x. Koeficient b udává průsečík grafu funkce s osou y. Je užitečné si pamatovat, že: · Pro je funkce rostoucí. · Pro je funkce klesající. · Pro je funkce konstantní. -Kvadratická funkce má předpis . Grafem je parabola. Pro je graf funkce (parabola) orientovaná „nahoru“, pro „dolů“, viz Obr. 1.2 a 1.3. Koeficienty b a c v předpisu funkce posouvají parabolu ve směru osy x nebo y. graf01 Obr. 1.2. Graf funkce y = x^2. graf02 Obr. 1.3. Graf funkce y = –x^2. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 1.4. Najděte vrchol paraboly . -Mocninná funkce má předpis , kde n je celé číslo. Na základě toho, jestli je n kladné/záporné a liché/sudé má mocninná funkce jeden ze 4 typů grafů. Na Obr. 1.4. je pro ilustraci graf kubické funkce . graf04 Obr. 1.4. Graf funkce y = x^3. - Racionální lomená funkce: . Grafem racionální funkce bývají obvykle složité křivky, viz Kapitola 3. Nepřímá úměrnost: , kde k je kladná konstanta. Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola, viz Obr 1.5. graf08 Obr. 1.5. Graf funkce y = 1/x. Transcendentní funkce Funkce, které nejsou algebraické, se označují jako transcendentní. Mezi transcendentní funkce patří především funkce exponenciální, logaritmické a goniometrické. -Exponenciální funkce má předpis . Číslo a je základ mocniny a musí být kladné a různé od 1, x je exponent. Vlastnosti exponenciální funkce závisí na základu a: · Je-li , funkce je rostoucí, viz Obr. 1.6. · Je-li , funkce je klesající, viz Obr. 1.7. Graf (základní) exponenciální funkce vždy prochází bodem 1 na ose y, obor hodnot a funkce je omezená zdola osou x. Nejčastěji používanou exponenciální funkcí je , kde konstanta e = 2,718... se nazývá Eulerova konstanta, a jedná se o iracionální číslo, podobně jako π. graf06 Obr. 1.6. Graf funkce y = e^x. graf38 Obr. 1.7. Graf funkce y = (0,5)^x. -Logaritmická funkce má předpis . Číslo a se nazývá základ logaritmu a musí být kladné a různé od 1. Pro a = 10 se logaritmus nazývá dekadický (značka logx, pro přirozený logaritmus (značka lnx). Logaritmická funkce je inverzní funkcí k funkci exponenciální, což znamená, že definiční obor logaritmické funkce je roven oboru příslušné inverzní exponenciální funkce a naopak. · Je-li , funkce je rostoucí, viz Obr. 1.8. · Je-li , funkce je klesající, viz Obr. 1.9. Graf (základní) logaritmické funkce vždy prochází bodem 1 na ose x, definiční obor je a funkce není omezená. graf05 Obr. 1.8. Graf funkce y = logx. graf37 Obr. 1.9. Graf funkce . - Goniometrické funkce: sinus, kosinus, tangens a kotangens. - Cyklometrické funkce: arcsinx, arccosx, arctgx a arcotgx. Na kalkulačkách jsou značeny jako sin^-1, cos^-1 a tg-1. graf33 Obr. 1.10. Graf funkce y = sinx. graf34 Obr. 1.11. Graf funkce y = cosx. Obr. 1.12. Graf funkce y = tgx. Obr. 1.13. Graf funkce y = cotgx. Složená funkce V některých případech může být argumentem funkce jiná funkce. V tom případě hovoříme o složené funkci. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Definice 1.1. Nechť jsou dány funkce a , a nechť pro platí, že . Potom funkci nazýváme složenou funkcí. Funkce je vnější funkce a funkce je vnitřní funkce. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Typickým příkladem složené funkce je například nebo . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 1.5. Jsou dány funkce a . Určete a . Polynomy - polynom (česky mnohočlen): výraz . Je-li n = 0, je polynom roven konstantě a[0]; je-li n = 1, je polynom lineární: ; pro n = 2 je polynom kvadratický: , atd. - Nulovým bodem (kořenem) polynomu je takové číslo x[0], pro které platí P[n](x) = 0. - Rozklad polynomu na součin lze využít při zjednodušování algebraických výrazů krácením nebo při integraci metodou parciálních zlomků. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 1.6. Určete nulové body polynomu a upravte na součin: a) b) c) Funkce nabídky, poptávky a rovnováha na trhu v podmínkách dokonalé konkurence -Funkce poptávky D (angl. demand) vyjadřuje vztah mezi cenou výrobku P (price) a poptávaným množstvím Q (quantity): resp. . Tato funkce je vždy klesající, což znamená, že s rostoucí cenou P klesá poptávané množství Q. Dále pro funkci poptávky platí, že veličiny P i Q musí být nezáporné, neboť záporné množství ani záporná cena nemají v této situaci smysl. Rovněž P ani Q nemohou růst do nekonečna, proto říkáme, že jsou omezené. -Funkce nabídky S (angl. supply) vyjadřuje vztah mezi cenou výrobku P (price) a nabízeným množstvím Q (quantity): resp. . Tato funkce je vždy rostoucí, což znamená, že s rostoucí cenou P roste nabízené množství Q. Při grafickém znázornění obou křivek je zvykem nanášet na osu x množství Q a na osu y cenu P. Graf 31 Obr. 1.14. Typický tvar křivek funkce poptávky a nabídky s rovnovážným bodem E. -Lineární funkce poptávky je dána vztahem: , kde a a b jsou konstanty, pro které platí: , . -Lineární funkce nabídky je dána vztahem: , kde c a d jsou konstanty, pro které platí: , . -Rovnováha: . -Rovnovážná cena P[E]: . -Rovnovážné množství Q[E]: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 1.8 (Chen, 2007). Předpokládejme, že a . Najděte rovnováhu mezi poptávkou a nabídkou. Graf 07-b Obr. 1.15. Rovnováha mezi poptávkou a nabídkou. Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné Derivace funkce - Mějme funkci . Výraz nazýváme derivací funkce . - Geometrický význam derivace: je rovna směrnici tečny ke grafu funkce v daném bodě. -Značení: y´, f´(x), (čteme dy podle dx), (čteme df podle dx). ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.1. Určete derivaci funkce v bodě x = 2. ___________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Příklad 2.2. Určete rovnici tečny ke křivce v bodě [2,4]. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.3. Užitím definice derivace odvoďte derivaci funkce . Řešení: . Protože je výpočet derivací pomocí definice derivace často zdlouhavý, používáme pro derivování základních funkcí již odvozené vzorce, které najdete v Tabulce 2.1. Nechť funkce f(x) a g(x) mají derivaci na intervalu . K výpočtu derivací součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí používáme následující pravidla: i) ii) iii) iv) , v) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.4. Derivujte následující funkce: a) b) c) d) e) f) g) Tabulka 2.1. Přehled derivací elementárních funkcí. f(x) f´(x) konstanta 0 x 1 sinx cosx cosx –sinx tgx cotgx arcsinx arccosx arctgx arccotgx Derivace vyšších řádů -První, druhá, třetí a další derivace: f´(x), f´´(x), f´´´(x), atd. -Význam mají především první a druhá derivace, užití vyšších derivací je v ekonomii spíše výjimečné. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.5. Vypočtěte první, druhou a třetí derivaci funkce . Historická poznámka: Americký prezident R. Nixon použil v roce 1972 v jednom televizním přenosu v rámci prezidentské kampaně následující argument: „Tempo růstu inflace zpomaluje.“ Jistý komentátor to okomentoval: „Je to poprvé v historii, co americký prezident použil pro své znovuzvolení argument obsahující třetí derivaci.“ Je tomu opravdu tak: Pokud inflaci považujeme za danou veličinu (y), pak její růst je první derivace, tempo tohoto růstu druhá derivace a zpomalování tohoto tempa pak představuje třetí derivaci. Podobně můžeme z televizní obrazovky slýchat, že „růst nezaměstnanosti zpomaluje“ nebo „pokles stavební výroby zrychluje“, což jsou vlastně druhé derivace. Extrémy funkce - Maxima a minima funkce hledáme takto: 1. Najdeme body, v nichž je první derivace nulová: – jsou to stacionární body (body podezřelé z extrému). 2. Pomocí druhé derivace rozhodneme, zda jde o maximum, minimum nebo inflexní bod: ... maximum ... minimum ... nelze rozhodnout ___________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________ Příklad. Určete extrémy funkce a) , b) . Diferenciál funkce Diferenciálem funkce nazýváme funkci . Diferenciál funkce závisí na x a dx, a vyjadřuje přibližně přírůstek funkce df při změně argumentu x o dx v bodě x. (Toto přibližné vyjádření je tím přesnější, čím menší je dx). ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 2.6. Určete přírůstek funkce v bodě x = 3 pro přírůstek argumentu dx = 0,2 pomocí diferenciálu funkce.