MATEMATIKA V EKONOMII – PŘEDNÁŠKA Č. 7: Integrační metody Integrace součinu funkcí (metoda per partes) Smyslem této metody je rozložit jeden složitější integrál na dva jednodušší členy (odtud název metody: per partes je latinsky „po částech“). - Vzorec, který používáme při integraci per partes, si odvodíme z pravidla pro derivaci součinu dvou funkcí, které označíme a . Nyní osamostatníme vlevo člen uv´: , a tuto rovnost integrujeme: Prostřední člen obsahuje integrál i derivaci, proto se tyto dvě operace vyruší, a dostaneme: - Důležitá je správná volba funkcí u a v´. Nesprávná volba funkcí vede k tomu, že složitost úlohy naroste. V takovém případě je zapotřebí zvolit funkce u a v´ opačně. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.7. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.8. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.10. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.11. Vypočtěte: . Integrace racionálních funkcí (metoda parciálních zlomků) - Racionální funkcí rozumíme výraz , kde P(x) a Q(x) jsou polynomy proměnné x. Budeme předpokládat, že stupeň polynomu P(x) je menší než stupeň polynomu Q(x). K integraci (ryzích) racionálních funkcí ve využívá metoda rozkladu na parciální zlomky. Smyslem této metody je rozložit zadanou (a obvykle složitou) racionální funkci na součet „nejjednodušších“ (parciální znamená „částečný“) zlomků. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Integrujte . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Integrujte: . Celkové náklady a celkové příjmy - V ekonomii lze (neurčitý) integrál využít k výpočtu celkových příjmů nebo celkových nákladů, pokud jsou známy (dány) mezní příjmy respektive mezní náklady. - Funkce celkových nákladů TC(x) a funkce mezních nákladů MC(x), kde x je počet výrobků, spolu souvisejí vztahem: (6.1) Vztah (6.1) říká, že celkové náklady jsou součtem mezních nákladů. Integrační konstanta C se určí z jedné známé hodnoty TC(x) pro dané x. Stejný vztah platí také pro celkové příjmy TR(x) a mezní příjmy MR(x): (6.2) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.12. Určete funkci celkových nákladů, jestliže funkce mezních nákladů a náklady na produkci 10 výrobků činí 6000 Kč. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 6.14. Mezní příjmy jsou popsány funkcí , najděte funkci celkového příjmu. SUBSTITUCE V NEURČITÉM INTERGRÁLU - Složitější neurčité integrály je možné řešit pomocí substituce, kterou se integrály zjednoduší. - Substituce = náhrada původní proměnné nebo výrazu novou proměnnou. - Budeme se zabývat substitucemi složených funkcí, a dále logaritmických, exponenciálních a goniometrických funkcí. Integrace složených funkcí ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 7.2. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte: . Integrace logaritmických a exponenciálních funkcí Obsahují-li integrály exponenciální funkci respektive logaritmickou funkci , provádíme náhradu právě těchto funkcí (u logaritmické funkce je zvláště výhodné, pokud integrál obsahuje člen .) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 7.4. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 7.5. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 7.7. Vypočtěte: . Integrace goniometrických funkcí Integrály obsahující goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens nebo kotangens lze řešit pomocí následujících substitucí: * Integrál obsahuje funkce a , přičemž α je liché a β sudé. V tomto případě užijeme substituci: , nahrazujeme tedy sudou funkci. Pokud je situace opačná a α je sudé a β liché, užijeme substituci: . * Integrál obsahuje funkce a , přičemž α i jsou β sudé. Pak použijeme substituci . * Integrál obsahuje funkce a , přičemž α i jsou β liché. Nahrazujeme tu funkci, která má vyšší exponent. * Pokud nelze použít žádnou z předchozích substitucí, je možné využít univerzální substituci , viz Tabulka 7.2. Při úpravách integrandu používáme základní goniometrické vzorce, viz Tabulka 7.1. Tabulka 7.1. Nejdůležitější goniometrické vztahy č. vztah (1) (2) (3) (4) (5) Tabulka 7.2. Univerzální goniometrická substituce. č. vztah (1) (2) (3) (4) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 7.10. Vypočtěte: ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 7.11. Vypočtěte: Integrace iracionálních funkcí - Iracionální funkce jsou funkce obsahující proměnnou pod odmocninou. V tomto případě obvykle nahrazujeme celou odmocninu. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 7.12. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 7.13. Vypočtěte: . URČITÝ INTEGRÁL Newtonův určitý integrál ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Definice 8.1.: Nechť funkce je spojitá na otevřeném intervalu J. Newtonovým určitým integrálem funkce od a do b (na intervalu ) nazýváme symbol , kde a je horní integrační mez a b je dolní integrační mez. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ - Výpočet určitého integrálu provádíme pomocí Newtonova-Leibnizova vzorce: (8.2) - Zatímco neurčitý integrál je funkce (přesněji množina funkcí lišících se o konstantu C), je určitý integrál číslo, které vypočteme ze vztahu (8.2). Význam integrační mezí spočívá v tom, že nám říkají „odkud kam integrujeme“. - Základní vlastnosti určitého integrálu: i) ii) iii) iv) v) , - Užití určitého integrálu je velmi široké, zvláště v přírodních a vědách a technických oborech. Určitý integrál se používá nejčastěji k výpočtu: * obsahu plochy ohraničené danými křivkami * délky křivky * objemu rotačního tělesa * povrchu rotačního tělesa * při řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami V ekonomii můžeme určitý integrál využít k výpočtu: * celkových veličin z mezních (marginálních) veličin, například celkového příjmu z mezního příjmu, * celkové veličiny, je-li dán její tok či intenzita. * k výpočtu přebytku spotřebitele a výrobce v podmínkách dokonalé konkurence ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.1. Vypočtěte: . Graf 22 Obr. 8.2. Obsah plochy pod křivkou . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.2. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.3. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.4. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.5. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.6. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.8. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Varovný příklad 8.9. Vypočtěte: . Metoda per partes v určitém integrálu Metodu per partes jsme zavedli v Kapitole 6. Pro určitý integrál při užití této integrační metody platí: (8.3) ___________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Příklad 8.10. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.11. Vypočtěte: . Substituce v určitém integrálu - Při substituci v určitém integrálu nahrazujeme nejen integrovanou funkci, ale také integrační meze! ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Věta 8.1. Nechť funkce je spojitá v intervalu , nechť (t) a j¢(t) jsou spojité funkce v intervalu , přičemž nechť j(a) = a, j(ß) = b, nechť j¢(t) je ryze monotónní v . Potom: (8.4) ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Užití Věty 8.1, respektive vztahu (8.4) si předvedeme na několika řešených úlohách. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.13. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.14. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.15. Vypočtěte: Nevlastní integrál V předchozích kapitolách o určitém integrálu jsme předpokládali, že obě integrační meze a a b jsou konečné, a také, že integrovaná funkce je v daném intervalu spojitá a nabývá pouze konečných hodnot. * Pokud není splněna první podmínka, hovoříme o nevlastním integrálu vlivem integrační meze. * Pokud není splněna druhá podmínka, hovoříme o nevlastním integrálu vlivem nespojitosti funkce. V nevlastním integrálu je tedy buď integrační mez nekonečná, nebo integrovaná funkce nabývá nekonečné hodnoty v bodě nespojitosti. Připomeňme, že pojmem „vlastní“ se označují konečné hodnoty (reálná čísla), zatímco pojem „nevlastní“ označuje plus nebo mínus nekonečno. Odtud tedy pojmenování tohoto typu integrálu. Hodnota nevlastního integrálu může být konečná, v tom případě říkáme, že konverguje. V opačném případě říkáme, že integrál diverguje. Výpočet nevlastního integrálu vlivem horní meze se provádí pomocí následujícího vztahu: (8.5) Výpočet nevlastního integrálu vlivem dolní meze se provádí analogicky. ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.17. Vypočtěte: . ___________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Příklad 8.18. Vypočtěte: .