STATISTIKA
.
6. PŘEDNÁŠKA
 Téma přednášky:
diskrétní náhodná veličina
a)Stejnoměrné rozdělení,
b)Binomické rozdělení,
c)Poissonovo rozdělení.
Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D.

Náhodná veličina
Náhodná veličina = soubor všech hodnot znaku + rozdělení pravdě-podobnosti hodnot
- některé hodnoty se nabývají častěji než jiné ® mají větší pravděpodobnost výskytu
- hodnoty znaku statistických jednotek se „generují“ podle pravděpodobnostního rozdělení

Příklady diskrétní náhodné veličiny
1. Jistý hotel má 100 pokojů, celkový počet obsazených pokojů 1. července je náhodná veličina X
s možnými hodnotami x =  0,1,2,...,100
2. Počet zákazníků v supermarketu mezi 12 až 18 hod. je náhodná veličina X, která může teoreticky
nabývat jakékoliv nezáporné celočíselné hodnoty x ³ 0

Příklady diskrétní náhodné veličiny
3. Rozdíl mezi počtem zákazníků ve dvou supermarketech (Kaufland, Tesco) v jednom dni je náhodná
veličina X, jež může teoreticky nabýt jakékoliv celočíselné hodnoty  x = ..., -3, ‑2, ‑1, 0, 1, 2,
...

1. Diskrétní model pr-sti rozdělení: Stejnoměrné rozdělení
Diskrétní náhodná veličina X
nabývá právě k různých hodnot:   1, 2, 3, ..., k
se stejnou pravděpodobností
P(x) =       pro x = 1,2,3,...,k

Stejnoměrné rozdělení
Střední hodnota:
obecný vzorec:
Rozptyl:
obecný vzorec:

Příklad – hod kostkou
lStřední hodnota: E(X) = (6+1)/2 = 3,5
l
lRozptyl: Var(X) = (62 - 1)/12 = 2,92

2. Model: Binomické rozdělení
n pokusů s alternativním rozdělením,
celkem x krát úspěch a n-x krát neúspěch,
p pravděpodobnost úspěchu
Binomické rozdělení pravděpodobnosti:
pravděpodobnost, že při n‑krát opakovaném
alternativním procesu nastane x krát úspěch a  n-x krát neúspěch

Charakteristiky binomického rozdělení
lStřední hodnota: E(X) = n.p
lRozptyl: Var(X) = n.p.(1- p)
l
lSměrodatná odchylka: s(X) =

Příklad
•
•
   Je známo, že při epidemii chřipky onemocní každý třetí student, tj. pravděpodobnost onemocnění
je    1/3 =0,333 , tj. p = 1/3.
    Zjistěte pravděpodobnost, že ve studijní skupině s 20 studenty onemocní každý druhý
  n = 20, p = 1/3,  x = 10   Þ  P(10| 20;1/3) =
=   = 20*0,333 = 0,092  (9,2 %)
E(X) = 20. 1/3 = 6,67
Var(X) = 20 .1/3.2/3 = 4,44
s(X) = 2,11

Binomické rozdělení – různé parametry
•
•

3. Model: Poissonovo rozdělení
•
•
Uvažujme jevy, které nastávají v průběhu časového
intervalu, například:
- požadavky na telefonní spojení přicházející na ústřednu,
- zákazníci přicházející do prodejny,
-automobily zastavující u benzínového čerpadla.
Takové jevy vznikají v tzv.
     Poissonově procesu !!!

Poissonovo rozdělení
•
•
X - náhodná veličina = počet výskytu jevu Poissonova procesu
v daném časovém intervalu délky t
(např. za 1 minutu, 1 hodinu apod.)
+ rozdělení pr-sti počtu výskytů
(tj. s jakou pr-stí nastane v daném čas. intervalu určitý počet výskytů jevu)

Vlastnosti Poissonova procesu
•
•
3 vlastnosti:
1. Počet výskytu jevu je nezávislý na počtu výskytu tohoto jevu v jiném intervalu
2. Střední hodnota počtu výskytu jevu v daném intervalu je přímo úměrná délce zvoleného intervalu
3. Ve velmi malém časovém intervalu může nastat nejvýše jeden výskyt daného  jevu

Vlastnosti Poissonova rozdělení
•
•
lPravděpodobnost výskytu x jevů Poissonova procesu X:
ll, t - parametry Poissonova rozdělení
lx – počet výskytů jevu
ll - intenzita Poissonova procesu (střední hodnota výskytů jevů)
lt  - délka časového intervalu
E(X) = l.t Var(X) = l.t   s(X) =

Poissonovo rozdělení s různými parametry (t = 1)
l= 0,5
l = 5
l= 2

Příklad – Poissonovo rozdělení
•
•
Zákazníci přicházejí náhodně do opravny obuvi s průměrnou
intenzitou 4 za hodinu. Zjistěte pravděpodobnost, že do
opravny přijdou za hodinu právě 2 zákazníci, vypočtěte střední
hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku.
Řešení:
Střední hodnota E(X) = 4 , rozptyl Var(X) = 4,
směrodatná odchylka

Diskrétní náhodná veličina - obecně
•
•
Počet různých druhů zboží, které zákazník nakoupí při jedné
návštěvě obchodního domu, je náhodná veličina X.
Bylo zjištěno, že tato veličina nabývá hodnot:
Řešení:
Střední hodnota počtu druhů zboží zakoupeného jedním
zákazníkem
E(X)  = 0*0,2+1*0,4+2*0,25+3*0,1+4*0,03 +5*0,01 =  1,37

Diskrétní náhodná veličina - obecně
•
•

Diskrétní náhodná veličina - obecně
•
•
lPravděpodobnostní funkce p(x)  nabývá maximální hodnotu 0,4 pro x = 1 :     Mod(X) = 1
lMedián:   p(X £ 1) = p(X=0) + p(X =1) = 0,2+0,4 = 0,6 ³ 0,5
p(X ³ 1) = p(X=1) + p(X=2) +…+ p(X=5) = 0,4+0,25+0,1+0,03+0,01 = 0,7 ³ 1 - 0,5 = 0,5
Podle definice je medián:    Med(X) = 1
lVar (X) =  02.0,2+12.0,4+22.0,25+32.0,1+42.0,03 + 52.0,01 - 1,372 = 3,39 – 1,88 = 1,51
ls(x) = √1,51 = 1,23

Závěr přednášky
•
•
•Děkuji Vám za pozornost !!!