STATISTIKA
.
7. PŘEDNÁŠKA
 Téma přednášky:
spojitá náhodná veličina
a)Stejnoměrné rozdělení,
b) Exponenciální rozdělení,
c) Normální rozdělení.
Mgr. Radmila Krkošková, Ph.D.

Spojité modely – Stejnoměrné rozdělení
•
•
Spojitá náhodná veličina X má stejnoměrné rozdělení:
nabývá hodnot  z intervalu [a,b] stejnou pravděpodobností
Funkce hustoty:           pro x Î [a,b], jinak  f(x) = 0

Pravděpodobnost: c,dÎ[a,b],
Střední hodnota:
Rozptyl:

Příklad – stejnoměrné rozdělení –
čekání na autobus
•
•
Autobusy odjíždějí z určité zastávky během dne
pravidelně každých 15 minut. V náhodnou dobu
přijdete na zastávku.
(a) Jaká je pravděpodobnost, že budete na autobus čekat dobu mezi 5 až 10 minutami?
(b) Jaká je pravděpodobnost, že budete čekat alespoň 12 minut?
(c) Stanovte střední hodnotu a směrodatnou odchylku doby čekání.

Příklad – stejnoměrné rozdělení –
čekání na autobus
•
•
X je spojitá náhodná veličina s následující hustotou:
•
•

Příklad – stejnoměrné rozdělení –
čekání na autobus
(a)S využitím vzorce vypočítáme: P(5<X<10)= (10-5)/(15-0) = 0,33
(b) Analogicky obdržíme: P(12< X<15)= (15-12)/(15-0) = 0,2
(c)              s(X)  = Ö18,75 = 4,33
Střední čekací doba je 7,5 minut, směrodatná odchylka je 4,33 minut.

Normální rozdělení
•
•
Nejdůležitější rozdělení ve statistice!
Normální (Gaussovo) rozdělení pr-sti NV:
Způsobené kolísáním NV velkého počtu nepatrných
a vzájemně nezávislých vlivů, které se skládají (sečítají).
Příklady:
(1) výsledky různých testů (body)
(2) výsledky měření rozměrů a hmotností (mm, cm, m, g, kg, t  aj.)

Normální rozdělení
•
•
Funkce hustoty rozdělení pr-sti f(x|m,s2):
se nazývají parametry rozdělení

Gaussova křivka – funkce hustoty
•
•

Charakteristiky normálního rozdělení
•
•
Střední hodnota:  E(X) = m
Rozptyl: Var(X) = s2
Směrodatná odchylka: s(X) = s
•

Normované normální rozdělení
•
•
•Namísto NV X s normálním rozdělením s parametry m, s2 uvažujeme transformovanou NV Z takto:
•potom se funkce hustoty převede na hustotu normovaného normálního rozdělení transformaci (*)
nazýváme normalizace
•V Excelu: NORMDIST(x; Střed_hodn; Sm_odch; Součet)
   NORMINV(prst; střední; sm_odch)

Významné hodnoty normovaného normálního rozdělení N(0,1)
•
•

Příklad – normální rozdělení
•
•
Jistý  druh pomerančů má průměrnou hmotnost plodu   m  =100 g se směrodatnou odchylkou s =10 g.
(a)Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný plod bude mít hmotnost mezi 100g až 110g?
(b) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný plod bude mít hmotnost větší než 120g?

Exponenciální rozdělení
Exponenciální rozdělení slouží jako vhodný model pro
výpočet pravděpodobnosti doby životnosti výrobků,
čekacích dob v modelech hromadné obsluhy, apod.
Příklady: (1) doba pobytu ve frontě u přepážky
(2) doba obsluhy jednoho zákazníka
•Funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti f(x| d):
Přitom d > 0 je parametr

Exponenciální rozdělení - charakteristiky
Střední hodnota:  E(X) = d
Rozptyl: Var(X) = d 2
Směrodatná odchylka: s(X) = d  (= E(X) !!!)
Pravděpodobnost:
•
•

Exponenciální rozdělení - příklad
•
•
Průměrná doba čekání u přepážky v bance je 5 min.
Jaká je pravděpodobnost, že zákazník bude čekat
(a) Právě 5 minut,
(b) Méně než 5 minut
(c) Více než 5 minut
(d) Více než 3 minuty a méně než 6 minut?
•
•

Exponenciální rozdělení – řešení příkladu
•
•
Průměrná doba čekání u přepážky v bance je d = 5.
(a)Právě 5 minut: P(X = 5) = 0 !!! - spojité rozdělení,
(b)
(b) Více než 5 minut:  P(X ³ 5) =

(c) Méně než 5 minut:  P(X £ 5) =
(d) Více než 3 minuty a méně než 6 minut:
P(3£ X £ 6) =
•
•

Závěr přednášky
•
•
•Děkuji Vám za pozornost !!!