ANALÝZA ROZPTYLU Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. Analýza rozptylu (ANOVA) •Často používaná metoda v marketingovém výzkumu i jiných oblastech datové analýzy. •Metoda umožňuje posoudit vliv různých úrovní/kategorií nějakého kvalitativního nebo kvantitativního znaku na kvantitativní veličinu. •ANOVA testuje, zda existují rozdíly v populačních průměrech kvantitativního znaku, které náleží různým úrovním znaku kvalitativního. •Například dovoluje hodnotit účinky různých reklamních kampaní na velikost tržeb z prodeje konkrétního produktu. Různé reklamní kampaně v tomto případě reprezentují různé kategorie sledovaného kvalitativního znaku (znak = reklamní kampaň). Velikost tržeb je pak zmíněný kvantitativní znak. Aplikace ANOVY •Nejdůležitější aplikací ANOVY je test rovnosti tří a více výběrových průměrů. •Máme-li dva (výběrové) soubory, testujeme rovnost jejich středních hodnot pomocí Studentova t-testu. •Máme-li však tři a více souborů, musíme použít ANOVU. Základní idea ANOVY •Matematicky spočívá základní myšlenka analýzy rozptylu v rozkladu celkového rozptylu kvantitativního znaku na dílčí rozptyly příslušející jednotlivým vlivům, které tuto variabilitu způsobují. •Kromě dílčích rozptylů je složkou celkového rozptylu také reziduální rozptyl, způsobený nepostiženými vlivy. Rozdělení ANOVY •Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu. •Hovoříme také o jednoduchém a dvojném třídění, případně o tříděních vyšší úrovně (trojném, čtverném a podobně). • JEDNOFAKTOROVÁ ANOVA Rozdělení podle statistického znaku Princip výpočtu •Metoda analýzy rozptylu ANOVA spočívá v tom, že se celková variabilita měřená součtem čtverců odchylek zjištěných hodnot od celkového průměru rozdělí na variabilitu uvnitř jednotlivých výběrů a na variabilitu mezi jednotlivými výběry. •Analýza rozptylu je statistickým testem. •ANOVA má stejně jako i jiné statistické testy předpoklady svého použití. V případě ANOVA se předpokládá, že každý z k náhodných výběrů, s nimiž pracujeme, pochází z populace řídící se normálním rozdělením, že tato normální rozdělení mají stejný rozptyl a výběry jsou nezávislé. ANOVA ANOVA Postup testování: nulová hypotéza •Testujeme nulovou hypotézu • • •Zkoumáme, zda střední hodnota (průměr) všech výběrů pochází ze stejné základní populace (základního souboru), což vzhledem k předpokladům učiněným pro ANOVA znamená, že si klademe otázku, zda střední hodnoty jsou stejné, respektive zda efekty jsou nulové. •Alternativní hypotéza je negací nulové hypotézy. Postup testování: testové kritérium Postup testování: testové kritérium Postup testování: testové kritérium •Platí: • •V anglické literatuře nebo v softwarech je možné se setkat i s následujícím označením: •Sy = SD (D z angl. Difference), •Sy,m = ST (T z angl. Treatment), •Sy,v = SR (R z angl. Residual). • Postup testování: testové kritérium •Pro ověření nulové hypotézy použijeme statistiku: • • • • •která má při platnosti nulové hypotézy Fisherovo rozdělení Fk-1,n-k. Postup testování: kritická hodnota, výsledek Výpočet pomocí statistických programů •ANOVA tabulka • Zdroj proměnlivosti Součty čtverců odchylek Počty stupňů volnosti Průměrné čtverce Testové kritérium F Faktor x (meziskupinová variabilita) Sym k – 1 Sym /(k – 1) F Reziduální (vnitroskupinová variabilita Syv n – k Syv / (n – k) Celkový Sy n – 1 Korelační poměr •Na otázku „Jak silná je vazba mezi nezávislou nominální proměnnou a proměnnou číselnou?“, odpovídá hodnota korelačního poměru. • Poměr determinace •Pokud hodnotu korelačního poměru umocníme, dostáváme poměr determinace P2. •Hodnoty determinačního poměru blízké 1 svědčí o vysoké závislosti mezi proměnnými. •Poměr determinace nabývá hodnot z intervalu [0,1]. Čím těsnější je závislost Y na X, tím více se hodnota poměru determinace blíží k jedné, tím více se také meziskupinový součet čtverců blíží k celkovému součtu čtverců, přičemž vnitroskupinový součet čtverců se blíží k nule. Naopak, čím více se poměr determinace blíží k 0, tím menší část z celkového součtu čtverců připadá na meziskupinový součet čtverců, a tím menší je závislost znaku Y na X. Příklad 1 P1 P2 P3 49 50 50 48 50 50 50 51 52 47 49 52 51 50 51 Následující tabulka udává počet zákazníků, kteří navštívili 3 pobočky telefonního operátora během 5 pracovních dní. Našim úkolem je otestovat nulovou hypotézu, že průměrný počet zákazníků byl ve všech pobočkách stejný. Tuto úlohu si vyřešíme „ručně“ i s pomocí Excelu. Určíme i korelační poměr a Poměr determinace. Řešení Anova: jeden faktor Faktor Výběr Počet Součet Průměr Rozptyl Anova: jeden faktor Faktor Výběr Počet Součet Průměr Rozptyl H1 5 245 49 2,5 H2 5 250 50 0,5 H3 5 255 51 1 ANOVA Zdroj variability SS Rozdíl MS F Hodnota P F krit Mezi výběry 10 2 5 3,75 0,054310001 3,885293835 Všechny výběry 16 12 1,333333333 Celkem 26 14 Příklad 2 •Následující tabulka reprezentuje údaje získané nezávislými náhodnými výběry. Sledovaným faktorem je v tomto případě oktanové číslo pohonné směsi užívané v automobilech (90, 91, 95, 98). Máme tedy čtyři úrovně faktoru. Pro každou tuto úroveň byly náhodným výběrem čtyř řidičů zjištěny spotřeby automobilů. Zajímá nás otázka, zda oktanové číslo ovlivňuje (statisticky významně) úroveň spotřeby. Faktor (oktanové číslo) Spotřeba 90 91 95 98 8,1 7,7 7,6 7,5 8 7,8 7,6 7,8 7,9 7,9 7,5 7,6 7,8 7,6 7,6 7,5 Děkuji za pozornost •